Модели гранулированных микрополярных жидкостей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Неверов Владимир Валерьевич

• Неверов Владимир Валерьевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Неверов Владимир Валерьевич

Введение

Глава 1. Течение микрополярной вязкопластической жидкости

в ячейке Хеле-Шоу

1.1 Математическая модель

1.2 Течение Куэтта между двумя плоскостями

1.3 Одномерные течения в ячейке Хеле-Шоу

1.4 Двумерные течения в ячейке Хеле-Шоу

Глава 2. Глобальная разрешимость одномерных уравнений микрополярной жидкости при наличии осевой

симметрии

2.1 Математическая формулировка задачи

2.2 Глобальная теорема существования

2.3 Априорные оценки

2.4 Доказательство глобальной теоремы существования

Глава 3. Односкоростная модель смеси

3.1 Термодинамика жидкости с концентрацией полярных частиц

3.2 Определяющие уравнения

3.3 Одномерные течения среды без предельного напряжения сдвига

3.4 Одномерные течения среды с предельным напряжением сдвига

3.5 Стационарные течения микрополярной жидкости Бингама

Глава 4. Двухскоростная модель смеси

4.1 Математическая модель

4.1.1 Основные определения

4.1.2 Равновесные состояния

4.1.3 Вывод уравнений без диссипации

4.1.4 Диссипативные члены в уравнениях двухскоростного раствора

4.2 Уравнения модели в случае постоянных физических плотностей

4.3 Задача о седиментации

4.4 Численный алгоритм

4.5 Результаты расчетов

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели гранулированных микрополярных жидкостей»

Актуальность темы исследования

Во многих прикладных задачах переноса твердых частиц жидкостью необходимо учитывать не только взаимодействие твердых частиц и жидкости, но и взаимодействие частиц между собой. Примерами являются транспорт про-ппанта в трещине гидроразрыва пласта, вынос шлама при бурении скважин, течение крови и других биологических жидкостей, движение селей и оползней, заливка конструкций строительным бетоном и т.п. В диссертации такие среды рассматриваются в рамках модели континуума Коссера или микрополярной жидкости, в которой каждая материальная частица характеризуется не только положением в пространстве, но и ориентацией трех взаимно-ортогональных направляющих векторов. В этом подходе учитываются внутренние моменты количества движения, а тензор напряжений Коши в общем случае не является симметричным. Целью работы является вывод и исследование моделей типа континуума Коссера для случаев, когда среда имеет вязкопластическую реологию, концентрация полярных частиц не является постоянной, а частицы и несущая жидкость имеют разную плотность.

Степень разработанности темы исследования

Впервые модель сплошной среды с дополнительными вращательными степенями свободы частиц была предложена в начале прошлого века братьями Эженом и Франсуа Коссера в работе [1]. Впоследствии данная модель получила название континуума Коссера или модели микрополярной среды. В рамках этой модели частицы сплошой среды рассматривались как твердые тела с поступательными и вращательными степенями свободы, а наряду с полем напряжений вводилось поле моментных напряжений. Через полвека эта теория была заново открыта независимо несколькими авторами: в работе [2] методами статистической физики были получены некоторые законы сохранения для полярных сред, в работах [3] и [4] рассмотрены модели упругих сред с учетом микрополярности.

Значительное развитие механика сред с полярными частицами получила в работах К. Эрингена. В работе [5] была выведена и исследована линейная модель упругой полярной среды, нелинейная теория упругости с моментными напряжениями была разработана в работах [6] и [7]. Модель жидкой среды с

вращательными степенями свободы выведена в работе [8], а в [9] данная модель была обобщена на случай жидкости с деформируемыми полярными частицами. Основные результаты работ К. Эрингена по полярным средам приведены в монографии [10].

В русскоязычной литературе механика микрополярной среды впервые получила развитие в работах Э.Л. Аэро и соавторов. В работах [11] и [12] дан вывод основных уравнений теории упругости с вращательным взаимодействием частиц. В работе [13] изучается модель жидкой среды с моментными напряжениями.

Следующим шагом в развитии теории моментных жидкостей стало обобщение данных моделей на случай сложной реологии. В работах [14; 15] содержатся определяющие уравнения вязкоупругих моментных тел. В монографии [16] рассмотрена кинематика микрополярной среды и развита теория определяющих соотношений для вязкоупругой микрополярной жидкости, там же решен ряд задач о течении таких сред. В работе [17] предложена модель микрополярной жидкости с вязкопластической реологией, численно решена задача о течении типа Пуазейля.

Важный для практики случай полярных сред — жидкие кристаллы рассматривались в работах [18-21]. Модели типа Коссера оказались полезными для построения неклассических моделей стержней, пластин и оболочек [22-24]. В работе [25] при помощи асимптотического перехода из общей трехмерной теории Коссера получены уравнения для тонких упругих плит, а в работе [26] изучено влияние моментных напряжений на характеристики свободных колебаний в тонких пластинах.

Вопросам механики микрополярных жидкостей посвящено большое количество публикаций. В частности, в монографии [27] рассмотрены задачи о течении микрополярной жидкости в каналах и её диссипативный нагрев, исследованы процессы стационарного переноса тепла и предложена методика экспериментального определения микроструктурных параметров. В этой же работе описаны возможности применения теории моментных жидкостей в фильтрации и капиллярной дефектоскопии. В работе [28] исследуются различные краевые условия для задач механики микрополярных жидкостей, показано, что для простейших течений при специальном выборе краевого условия модель допускает решение, совпадающее с решением классических уравнений Навье-Стокса.

Исследованию конвективных течений микрополярной жидкости посвящены работы [29-32]. В работе [33] рассматриваются течения моментных жидкостей с пограничным слоем. В [34] построено точное решение для двухслойного неизотермического течения ньютоновской и микрополярной жидкостей в вертикальном канале. В работе [35] также рассмотрено совместное течение ньютоновской жидкости с тонким пристеночным слоем жидкости Коссера и при помощи асимптотического метода получено условие проскальзывания для классической жидкости. Методами группового анализа [36; 37] в работе [38] построены точные решения двумерных уравнений микрополярной жидкости.

В статье [39] рассмотрена задача о течении гранулированной среды по склону под действием гравитации. Методами статистической физики для случая малой концентрации полярных частиц были получены характерные соотношения между классической и микроструктурными вязкостями. Там же было проведено сравнение численного решения, полученного по модели Коссера с решением, полученным методом дискретного элемента и показано качественное совпадение результатов расчета по двум моделям.

Неизотермические течения микрополярных сред в областях с проницаемыми стенками изучались в работах [40; 41]. В работе [42] исследовано несколько задач о неизотермическом течении микрополярной жидкости с вязкостью, зависящей от температуры. Динамика магнитных жидкостей с учетом вращательного взаимодействия частиц обсуждалась в монографии [43]. В работе [44] рассматривалась модель магнитной гидродинамики микрополярных сред. Вопросы механики жидкостей с несимметричным тензором напряжений изучаются в работах [45; 46]. Возможное применение теории микрополярных жидкостей в биомеханике описано в работах [47; 48].

В работах [49] и [50] экспериментально исследованы двумерные и трехмерные течения гранулированной среды в вертикальных каналах. Для двумерного случая измерены угловые скорости частиц и показано, что они могут сильно отличаться от макроскопической угловой скорости среды. Приведено качественное сравнение экспериментальных результатов с расчетами по модели микрополярной жидкости. Показано, что модель микрополярной жидкости корректно описывает вращение частиц при таком течении.

Математические проблемы механики микрополярных жидкостей были подробно изучены в монографии Г. Лукашевича [51], где была доказана одно-

значная разрешимость ряда стационарных и нестационарных задач, а также методом гомогенизации получен аналог закона Дарси для фильтрации такой жидкости. В работе [52] доказана глобальная разрешимость двумерной задачи Коши для жидкости Коссера в случае, когда вращательная вязкость равна нулю, то есть исчезают вторые производные в законе сохранения момента импульса. Корректность двумерных задач для уравнений микрополярной жидкости, в которой присутствует только вращательная диссипация изучалась в [53]. Глобальная разрешимость трехмерной задачи Коши для уравнений микрополярной жидкости со сглаживающими слагаемыми показана в [54]. В работе [55] изучалась гладкость обобщенных решений уравнений микрополярной жидкости.

Математические свойства модели микрополярной жидкости с предельным напряжением сдвига [17] изучались в работах [56] и [57]. В [56] доказана однозначная разрешимость одномерной нестационарной начально-краевой задачи, а в [57] доказана разрешимость стационарной трехмерной задачи. В данных работах при доказательстве использовался метод регуляризации уравнений жидкости с предельным напряжением сдвига, предложенный в [58] и [59].

Последние две главы диссертации посвящены выводу и исследованию моделей с переменной концентрацией полярных частиц. Данные модели были получены методом, предложенным в работах И.М. Халатникова [60], [61] и Л.Д. Ландау [62] для построения модели сверхтекучего гелия вблизи критической точки. Метод Ландау-Халатникова применялся в дальнейшем как для получения моделей сверхтекучих жидкостей [63], так и для получения моделей классических многофазных сред [64], [65]. Важной особенностью метода является то, что он позволяет получить термодинамически согласованную систему законов сохранения и определяющих соотношений.

Следует упомянуть и другие методы выведения уравнений многофазных сред. Самым известным из которых является метод геометрического осреднения, описанный в работах [66], [67] и [68]. Метод состоит в том, что к фазовым законам сохранения применяется подходящий оператор осреднения. Полученная таким способом модель не является замкнутой, для её замыкания необходимы дополнительные физические гипотезы. Модели, полученные методом осреднения, нашли широкое практическое применение в атомной [69], нефтяной [70; 71] и других видах промышленности. Также, как было показано в работах [72-75],

модели многофазной среды могут быть выведены из принципа наименьшего действия.

Цели и задачи исследования

Цель работы заключается в построении новых моделей сред с микроструктурой, а также в анализе этих моделей при помощи аналитических и численных методов. Можно выделить следующие задачи:

- построение термодинамически согласованных моделей смеси ньютоновской и микрополярной жидкостей;

- численное решение полученных уравнений, оценка влияния параметров и качественное сравнение с экспериментом;

- построение точных решений в задачах о течении микрополярной жидкости с предельным напряжением сдвига;

- исследование корректности начально-краевой задачи течения микрополярной жидкости между двух цилиндров.

Научная новизна

При решении задач были получены следующие новые результаты:

- Построена термодинамически согласованная односкоростная модель смеси жидкости с частицами, учитывающая вращение частиц и вязкопластическую реологию смеси. Замечено, что в общем случае поток концентрации в такой жидкости зависит не только от градиентов температуры, давления и концентрации, но и от микровращений частиц. Показано, что в одномерном течении при учете нелинейной зависимости потока концентрации от микровращений, решение согласуется с эффектом Сегре-Сильберберга.

- Построена термодинамически согласованная двухскоростная модель смеси, учитывающая диффузию частиц. В рамках полученной модели численно решена задача об оседании в двумерной области, исследованы конвективные течения, возникающие при наклоне сосуда и их влияние на ускорение оседания (эффект Бойкотта).

- Впервые была исследована модель микрополярной жидкости с предельным напряжением сдвига [17]. Для одномерных течений такой жидкости в канале были построены точные решения. Показано, что модель допускает течения с двумя типами твердотельных зон. Для микрополярной жидкости, вязкость которой подчиняется закону Хершель-Балкли, в ячейке Хеле-Шоу методом асимп-

тотического анализа получена связь средней скорости течения и градиента давления.

- В случае осевой симметрии доказана глобальная разрешимость одномерной начально-краевой задачи для уравнений микрополярной жидкости.

Теоретическая и практическая значимость

Диссертационная работа носит теоретический характер. Точные решения и результаты о разрешимости, полученные в работе, могут применяться для дальнейшего численного и теоретического анализа задач. Полученные модели жидкостей с переменной концентрацией полярных частиц могут быть использованы для изучения течений селей и оползней, а также при моделировании технологических процессов в химической, нефтяной и пищевой промышленно-стях.

Методология и методы исследования

Для решения поставленных задач в диссертационной работе использовались:

- методы механики сплошных сред;

- теория дифференциальных уравнений, функциональный анализ, теория обобщенных функций, теория осреднения;

- метод искусственной сжимаемости, метод простой итерации, метод конечных элементов, реализованные в пакете РгееРЕМ++, и методы численного решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, реализованные в пакете Ма^ешаМса.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы:

- построена односкоростная, термодинамически согласованная модель смеси ньютоновской и микрополярной жидкости, построены численные решения модели, согласованные с эффектом Сегре-Сильберберга;

- выведена двухскоростная термодинамически согласованная модель, учитывающая диффузию частиц, и построено численное решение, показывающее, что предложенная модель позволяет описать эффект Бойкотта;

- построены точные решения одномерных уравнений микрополярной жидкости Бингама с различными типами твердотельных зон;

- для одномерных и двумерных течений микрополярной жидкости Хер-шель-Балкли в ячейке Хеле-Шоу получена связь между средней скоростью и градиентом давления;

- доказана глобальная теорема о существовании слабого решения одномерной начально-краевой задачи для уравнений микрополярной жидкости при наличии осевой симметрии.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается использованием устоявшихся в научном сообществе законов механики и основных принципов термодинамики при выводе моделей. Аналитические результаты диссертации в значительной мере опираются на методы, предложенные Л.Д. Ландау [62], И.М. Халатниковым [61] и О.А. Ладыженской [76]. Корректность результатов численного решения подтверждается проделанной проверкой численных алгоритмов на сходимость, в том числе с использованием аналитических решений. Основные результаты диссертационной работы прошли процедуру рецензирования и опубликованы в международных и российских журналах [77-81].

Доклады по теме работы были представлены и обсуждались

- на 51-й Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2013), где был получен диплом второй степени;

- на 53-й Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2015), где был получен диплом третьей степени;

- на Всероссийской конференции "Нелинейные волны: теория и новые приложения", посвященной 70-летию со дня рождения чл.-корр. РАН В.М. Тешу-кова (Новосибирск, 2016);

- на Всероссийской конференции и школе для молодых ученых "Математические проблемы механики сплошных сред", посвященной 100-летию со дня рождения акад. РАН Л.В.Овсянникова (Новосибирск, 2019);

- на Международной конференции "Coupled thermo-hydro-mechanical problems of fracture mechanics" (Новосибирск, 2019);

- на семинаре под руководством д.ф.-м.н. С.Н. Антонцева Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2016);

- на семинаре "Краевые задачи механики сплошных сред" под руководством чл.-корр. РАН П.И. Плотникова и д.ф.-м.н. В.Н. Старовойтова Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2021);

- на семинаре "Прикладная гидродинамика" под руководством чл.-корр. РАН В.В. Пухначева и д.ф.-м.н. Е.В. Ерманюка Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2016, 2019, 2020 и 2021);

- на семинаре "Математическое моделирование ГРП" под руководством д.ф.-м.н. С.В. Головина Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2019, 2021);

- на семинаре "Избранные вопросы математического анализа" под руководством д.ф.-м.н. Г.В. Демиденко Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (Новосибирск, 2021);

- на 20-й Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2019);

- на 10-й Международной конференции-школе молодых ученых "Волны и вихри в сложных средах" (Москва, 2019);

- на 7-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Красноярск, 2020);

- на открытом заседании Ученого совета по рассмотрению важнейших результатов Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева (Новосибирск, 2020).

Личный вклад

Автор диссертационной работы принимал активное участие в получении результатов, отражённых во всех совместных публикациях на равноправной основе: постановке задачи, выводе математической модели, разработке и верификации численного метода для ее решения, проведении численных экспериментов, обсуждении полученных результатов и их физической интерпретации, а также оформлении результатов в виде публикаций и научных докладов. Результаты, изложенные во второй главе диссертации, были получены автором самостоятельно и опубликованы без соавторов.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из 103 страниц, в которые входят введение, четыре главы, заключение и список литературы. В работе 16 рисунков, а список литературы содержит 98 наименований.

Краткое содержание работы

В первой главе исследуется модель микрополярной жидкости с предельным напряжением сдвига, предложенная в [17]. Дается определение сильной и слабой твердотельной зоны и аналитическими методами строятся решения с двумя типами таких зон. В приближении ячейки Хеле-Шоу выводится обобщенный закон Дарси для жидкости Коссера-Бингама. Показано, что для таких жидкостей имеет место эффект предельного градиента давления. Далее полученный закон обобщается на случай микрополярной жидкости Хершель-Балкли. Показано, что учет вращения частиц среды увеличивает предельный градиент давления и кажущуюся вязкость.

Во второй главе рассматривается осесимметричное течение микрополярной жидкости между концентрическими цилиндрами. Для такого течения явно выписывается вид тензоров напряжений и скоростей деформаций, ставится начально-краевая задача. Получены априорные оценки для решения предложенной задачи. В последнем параграфе второй главы доказывается глобальная теорема о существовании слабого решения одномерной осесимметричной начально-краевой задачи.

В третьей главе модель микрополярной жидкости обобщается на случай произвольной концентрации полярных частиц. Рассматривается случай, когда несущая жидкость и полярные частицы имеют одинаковую плотность и скорость. Модель смеси с переменной концентрацией выводится методом Ландау-Халатникова [60], [61], [62], что позволяет получить законы сохранения и определяющие уравнения, согласующиеся с неотрицательным знаком производства энтропии. При выводе предполагается, что правая часть закона сохранения массы дисперсной фазы содержит диффузионный поток, который зависит не только от градиентов давления, концентрации и температуры, но и от микровращений полярных частиц. Такое предположение впервые было предложено в работе [48], где термодинамика микрополярной жидкости изучалась без учета эффектов инерции и конвекции.

Во второй части третьей главы рассматривается течение Пуазейля между двумя параллельными плоскостями. Было замечено, что при некоторых значе-

ниях коэффициентов в обобщенном законе Фика максимум концентрации смещается в область между центром канала и его границами. Это согласуется с экспериментальным эффектом Сегре-Сильберберга [82]. Показано, что если поток концентрации в модели не зависит от микровращений, то эффект отсутствует.

В четвертой главе исследуется случай, когда частицы и несущая жидкость имеют разные плотности и скорости. Методом Ландау-Халатникова проводится вывод двухскоростной модели [80]. Для исследования полученной модели рассматривается задача о седиментации частиц в двумерном сосуде. Методом конечных элементов найдено численное решение задачи в случае вертикальной и наклоненной области. Показано, что при наклоне сосуда фронт концентрации ортогонален направлению ускорения свободного падения, а также, что частицы в наклонной ячейке оседают быстрее, что согласуется с эффектом Бойкотта. Численно изучены конвективные течения, возникающие при оседании. Показано, что в наклоненном сосуде конвективное течение имеет большую интенсивность, чем в вертикальном, что влияет на скорость оседания частиц и форму фронта чистой жидкости. Проведено сравнение с экспериментальными данными [83] и исследование сходимости метода, оценен порядок сходимости.

Благодарности

Автор выражает большую благодарность своему научному руководителю Шелухину Владимиру Валентиновичу за руководство при проведении исследований, помощь в научной и организационной работе.

1. Течение микрополярной вязкопластической жидкости в ячейке

Хеле-Шоу

1.1 Математическая модель

Частица среды Коссера имеет шесть степеней свободы подобно твердому телу. Каждая материальная точка с Лагранжевыми координатами (£,£) характеризуется положением в пространстве х(£,£) и с ней связана тройка взаимно-ортогональных направляющих векторов ф(£,£), г = 1,2,3. Их ориентация определяется ортогональным тензором Q(t,$)), а скорость вращения тензором О(£,х) = QÍQ^ Антисимметричный тензор О определяет локальное вращение с угловой скоростью

2 ег х О(ег) 2 ^ • е Х ej ^вц• О)г — °]к

где - ортонормированный базис, а £ — тензор Леви-Чивиты третьего ранга. Для 3 х 3-матриц А и В скалярное произведение А • В определяется формулой А • В = Ац Вц, а матрица А* в ортонормированном базисе совпадает с транспонированной.

Пусть v(t,x) — поле скорости, которое в переменных Лагранжа совпадает с производной xt(t,£), тогда тензоры В = дv/дх — О, А = д*ш/дх являются тензорами скоростей деформаций микрополярной среды [10]. Известно, что В и А объективны по отношению к трансляциям и поворотам [10].

Законы сохранения масс и импульса имеют вид

р + р^у V = 0, р V — ^у Т = р f,

где (&у Т) = дТц/дх^, р — массовая плотность, Т — тензор напряжений Коши, f — плотность массовых сил, а точка означает материальную производную. В уравнении момента импульса

р ё — а1у N = £ • Т* + р 1

величина 8 есть плотность момента импульса, N — тензор пар напряжений, а 1 — плотность пар внешних сил.

В общем случае для микрополярной жидкости тензор напряжений Т не является симметричным. Плотность момента импульса 8 = ©эд выражается через угловую скорость частиц эд и тензор микроинерции ©. Тензор © является симметричным [10] и подчиняется уравнению О — ©^ = 0.

В отсутствие внешних источников тепла полная энергия Е меняется согласно уравнению

р Е = (ТЧ + — ц) + р f • V + р 1 • эд,

где Е = е+V• v/2 + 8• эд/2, е — удельная внутренняя энергия, ц — приток тепла, задаваемый законом Фурье. В общем случае е = е(г/,р,О), где ^ — удельная энтропия. Вводя давление р = р2де/др и температуру в = де/дц, уравнение изменения энтропии можно записать в виде

в рг/ + ^у п = Я, где производство энтропии Я имеет вид

п \7Й

вя = Б : Бл + (р + т) 1;г В + N : А —

0

Здесь 3т = ^ Т, Т = Б + т1, Б^ = Б — 3—1 (1г Б)1. Далее рассматривается случай несжимаемой жидкости, для которой 1г Б = 0. Поэтому необходимое условие неотрицательности производства энтропии сводится к неравенству Б : Б + N : А > 0.

Систему законов сохранения необходимо дополнить определяющими уравнениями для тензоров напряжений, которые совместны с этим неравенством. В общем случае для микрополярных сред с предельным напряжением сдвига вид определяющих уравнений был получен В.В. Шелухиным и М. Ружичкой в работе [17]. Пусть Б5, Ба — симметричная и антисимметричная части тензора Б

Бо = Б5 + кБа, к = ^

(1.1)

аналогично, если А8, Аа — симметричная и антисимметричная части тензора А

Ао = Л? + к2Ла + кз(1гА) I, К2 = кз = ^. (1.2)

ъ ъ

В формулах (1.2) и (1.1) через обозначена классическая вязкость, через д2 — антисимметричная вязкость, а через 71, 72 и 73 — угловые вязкости. Следует отметить, что вязкости д2 и (1= 1, 2, 3) равны нулю в случае Ньютоновской жидкости. Для микрополярной жидкости оценка антисимметричной и угловых вязкостей была получена в [39] методами молекулярно-кинетической теории.

С помощью субдифференциалов определяющие уравнения микрополярной вязкопластической жидкости Бингама записываются в виде

8 едУ(Во), N ео>К(Ао), (1.3)

где

У = М11 Во |2 + т*|Во|, К = у |Ао|2 + г„|Ло|.

По определению включение 8 е дУ (Во) означает 8 : (X — Во) < У(X) — У(Во) для любой 3 х 3-матрицы X.

Из (1.3) следует другая эквивалентная формулировка:

д = , 2(цБа + ^2Ва + г*||0|, Бо(*,х) = 0, (1 4)

8Р(* ,х), Бо(^ ,х) = 0, (.)

{

м = I ЦА^ + ъАа + 7з ^г А) I + тп, Ао(1 ,х) = 0, (15)

{

Np(í ,х), Ао(1 ,х) = 0.

Тензоры 8„ и N подчиняются условиям |8р| < П, lN.pl < тп, где |8| = 8:8. Как уже было отмечено, при ^ = 71 = 72 = 13 = 0 приведенная выше модель сводится к классической жидкости Бингама, так как В5 = Ю, = дуг/дх^ + ду^/дх{. Данные определяющие уравнения могут быть обобщены на случай жидкости Хершеля-Балкли (НегзсЬе1-Би1к1еу), в которой коэффициент вязкости уже не является постоянным, а зависит от тензора И.

1.2 Течение Куэтта между двумя плоскостями.

В предположении, что градиент давления отсутствует, рассматривается одномерное течение микрополярной жидкости Бингама вдоль оси х1 = х между двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми равно 2Н. В данном параграфе изучаются две задачи, в первой из них причиной течения являются граничные микровращения, а во второй движение граничных плоскостей. В случае, когда ось х2 = у направлена перпендикулярно граничным плоскостям, искомые характеристики течения обладают свойствами

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Неверов Владимир Валерьевич, 2021 год

Список литературы

1. Cosserat E, Cosserat F. Theorie des Corps Deformable. — Paris: Librairie Scientifique A. Hermannet Fils, 1909.

2. Grad H. Statistical mechanics, thermodynamics and fluid dynamics of systems with an arbitrary number of integrals // Comm. Pure Appl. Math. — 1952. — Vol. 5. — Pp. 455-494.

3. Gunther W. Zur Statik und Kinematik des Cosseratschen Kontinuums // Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. — 1958. — Vol. 10. — P. 195.

4. Schaefer. Das Cosserat-Kontinuum // Z. Angew. Math. Mech. — 1967. — Vol. 47. — P. 34.

5. Eringen A.C. Linear theory of micropolar elasticity // J. Math. Mech. — 1966. — Vol. 15. — Pp. 909-923.

6. Eringen A.C. Theory of Micropolar Elasticity. — New York: Academic Press, 1968. — Chapter 7 of Fracture.

7. Eringen A.C. Foundations of Micropolar Thermoelasticity: Intern. Cent. for Mech. Studies. — Wien: Springer-Verlag, 1970. — Course and Lectures.

8. Eringen A.C. Micropolar fluids with stretch // Int. J. Eng. Sci. — 1969. — Vol. 7. — Pp. 115-127.

9. Eringen A.C., Kafadar C.B. Polar Field Theories, Continuum Physics,. — New York: Academic Press, 1976.

10. Eringen A.C. Microcontinuum field theories I, II. — New York: Springer-Verlag, 1999.

11. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. — 1960. — Т. 2, № 7. — С. 1399-1409.

12. Кувшинский Е.В., Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметрической упругости // ФТТ. — 1969. — Т. 5, № 9. — С. 2591-2598.

13. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н., Кувшинский Е.В. Асимметрическая гидромеханика // ПММ. — 1965. — Т. 29, № 2. — С. 297-308.

14. Silva C.N. De, Kline K.A. Nonlinear constitutive equations for directed vis-coelastic materials with memory // ZAMP. — 1968. — Vol. 19, no. 1. — Pp. 128-139.

15. Динариев О.Ю., Николаевский В.Н. Определяющие соотношения для вяз-коупругой среды с микровращениями // ПММ. — 1997. — Т. 61, № 6. — С. 1023-1030.

16. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Основы механики вязкоупругой микрополярной жидкости. — Ростов-на-Дону: Издательство ЮНЦ РАН, 2009.

17. Shelukhin V.V., Riizicka M. On Cosserat-Bingham Fluids // Z. Angew. Math. Mech. — 2013. — Vol. 93, no. 1. — Pp. 52-72.

18. Жен П. де. Физика жидких кристаллов. — Москва: Мир, 1982.

19. Doorn C.Z. Van. Dynamic behavior of twisted nematic liquid-crystal layers in switched fields // J. Appl. Phys. — 2013. — Vol. 46, no. 9. — Pp. 3738-3745.

20. Eringen A.C. A unified continuum theory of liqud crystals // ARI. — 1997. — Vol. 50. — Pp. 73-84.

21. Leslie F.M., Laverty J.C., Carlsson N. Continuum theory for nematic liquid crystals. — Oxford, New York, Tokyo: Oxford University Press, 1994. — In: Nonlinear elasticity and theoretical mechanics.

22. Зубов Л.М., Еремеев В.А. Механика упругих микрополярных оболочек // Дальневосточный математический журнал. — 2003. — Т. 4, № 2. — С. 182-225.

23. Eremeyev V.A., Pietraszkiewicz W. The nonlinear theory of elastic shells with phase transitions // J. Elasticity. — 2004. — Vol. 74. — Pp. 67-86.

24. Eremeyev V.A., Pietraszkiewicz W. Local symmetry group in the general theory of elastic shells // J. Elasticity. — 2006. — Vol. 85, no. 2. — Pp. 125-152.

25. Дудников В.А., Назаров С.А. Асимптотически точные уравнения тонких пластин на основе теории Коссера // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 262, № 2. — С. 306-309.

26. Атоян А.А., Саркисян С.О. Изучение свободных колебаний микрополярных упругихтонких пластин // Докл. НАН Армении. — 2004. — Т. 104, № 2. — С. 18-33.

27. Мигун Н.П., Прохоренко П.П. Гидродинамика и теплообмен градиентных течений микроструктурной жидкости. — Наука и техника, 1984.

28. Jr. A.D. Kirwan. Boundary conditions for micropolar fluids // Int. J. Eng. Sci. — 1986. — Vol. 24, no. 7. — Pp. 1237-1242.

29. Кан Нго Зуй, Хью Нгуен Суан. О тепловой конвекции микрополярной жидкости // Докл. АН СССР. — 1987. — Т. 295, № 3. — С. 559-562.

30. Can Ngo Huy, Huy Nguen Xuan, Cau Ta Ngoc. On the convective motion in a micropolar viscous fluid // Int. J. Eng. Sci. — 1989. — Vol. 27, no. 10. — Pp. 1183-1202.

31. Дьеп Нгуен Ван, Листров А.Т. О неизотермической модели несимметрических жидкостей // Изв. АН СССР. МЖГ. — 1967. — № 5. — С. 132-136.

32. Bhargava R., Kumar L., Takhar H. Mixed convection from a continuous surface in a parallel moving stream of a micropolar fluid // Heat and Mass Transfer. — 2003. — Vol. 39, no. 5-6. — Pp. 407-413.

33. Дьеп Нгуен Ван. Об уравнениях пограничного слоя жидкости с моментны-ми напряжениями // ПММ. — 1968. — Т. 32, № 4. — С. 748-753.

34. Fully-developed free-convective flow of micropolar and viscous fluids in a vertical channel / J.P. Kumar, J.C. Umavathi, A.J. Chamkha, I. Pop // Applied Mathematical Modelling. — 2010. — Vol. 34, no. 5. — Pp. 1175-1186.

35. Шелухин В.В., Христенко У.А. Об одном условии проскальзывания для уравнений вязкой жидкости // ПМТФ. — 2013. — Т. 54, № 5. — С. 101-109.

36. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — Москва: Наука, 1978.

37. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. — Москва: Наука, 1983.

38. Analytic solution for flow of a micropolar fluid / F. Shahzad, M. Sajid, T. Hayat, M. Ayub // Acta Mechanics. — 2007. — Vol. 188. — Pp. 93-102.

39. Mitarai N., Hayakawa H., Nakanishi H. Collisional Granular Flow as a Micropolar Fluid // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88. — Pp. 174-301.

40. Sheikholeslami M., M.Hatami, Ganji D.D. Micropolar fluid flow and heat transfer in a permeable channel using analytical method // Journal of Molecular Liquids. — 2014. — Vol. 194. — Pp. 30-36.

41. Micropolar fluid flow and heat transfer over an exponentially permeable shrinking sheet / Aurangzaib, Md. Sharif Uddin, Krishnendu Bhattacharyya, Shari-dan Shafie // Propulsion and Power Research. — 2016. — Vol. 5, no. 4. — Pp. 310-317.

42. El-hakiem M. Effects of a transverse flows with variable viscosity in micropolar fluids // Heat and Mass Transfer. — 1998. — Vol. 34. — Pp. 91-99.

43. Такетоми С, Тикадзуми С. Магнитные жидкости. — Москва: Мир, 1983.

44. Петросян Л.Г. К построению модели магнитной гидродинамики несимметричных жидкостей // Прикладная механика. — 1976. — Т. 12, № 11. — С. 103-109.

45. Листров А.Т. О модели вязкой жидкости с несимметричным тензором напряжений // ПММ. — 1967. — Т. 31, № 1. — С. 112-115.

46. Петросян Л.Г. Некоторые вопросы механики жидкостей с несимметричным тензором напряжений. — Москва: Наука, 1967.

47. Stavre R. The control of the pressure for a micropolar fluid // ZAMP. — 2002. — Vol. 53. — Pp. 912-922.

48. Popel A.S., Regirer S.A., UsickP.I. A continuum model of blood flow// Biorhe-ology. — 1974. — Vol. 11. — Pp. 427-437.

49. Ananda K.S., Moka S., Nott P.R. Kinematics and statistics of dense, slow granular flow through vertical channels // J. Fluid Mech. — 2008. — Vol. 610. — Pp. 69-97.

50. Ananda K.S., Patra J., Nott P.R. Experimental evidence of the kinematic Cosserat effect in dense granular flows // Phys. Fluids. — 2009. — Vol. 21, no. 5.

51. Lukaszewicz G. Micropolar Fluids: Theory and Applications. — Boston: Springer, 1999.

52. Dong B.Q., Zhang Z. Global regularity of the 2D micropolar fluid flows with zero angular viscosity // J. Differ. Equ. — 2010. — Vol. 249, no. 1. — Pp. 200-213.

53. Dong Bo-Qing, Li Jingna, Wu Jiahong. Global well-posedness and large-time decay for the 2D micropolar equations // Journal of Differential Equations. — 2017. — Vol. 262, no. 6. — Pp. 3488-3523.

54. Zhuan Ye. Global existence of strong solution to the 3D micropolar equations with a damping term // Appl. Math. Lett. — 2018. — Vol. 83. — Pp. 188-193.

55. Dong Bo-Qing, Chen Zhi-Min. Regularity criteria of weak solutions to the three-dimensional micropolar flows // Journal of Mathematical Physics. — 2009. — Vol. 50.

56. Shelukhin V.V., Chemetov N.V. Global solvability of the one-dimensional Cosserat-Bingham fluid equations // J. Math. Fluid Mech. — 2015. — Vol. 17, no. 3. — Pp. 495-511.

57. Ruzicka M, Shelukhin V.V., dos Santos M.M. Steady flows of Cosserat-Bingham fluids // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2017. — Vol. 40, no. 7. — Pp. 2746-2761.

58. V.V.Shelukhin. Bingham viscoplastic as a limit of Non-Newtonian fluids // J. Math. Fluid Mech. — 2002. — Vol. 4, no. 2. — Pp. 1-19.

59. Basov I.V., Shelukhin V.V. Nonhomogeneous incompressible Bingham viscoplastic as a limit of nonlinear fluids // J. Non-Newtonian Fluid Mech. — 2007. — Vol. 142. — Pp. 95-103.

60. Халатников И.М. Введение в теорию сверхтекучести. — Москва: Наука, 1965.

61. Халатников И.М. Теория сверхтекучести. — Москва: Наука, 1971.

62. Landau L.D., Lifshits E.M. Course of theoretical physics: Fluid Mechanics. — Oxford: Pergamon Press, 1987.

63. Putterman S. Super fluid hydrodynamics. — New York: American Elsevier Publishing Company, 1974.

64. Блохин А.М., Доровский В.Н. Проблемы математического моделирования в теории многоскоростного континуума. — Новосибирск: Объед. ин-т геологии и геофизики., 1994.

65. Шугрин С.М. Двухскоростная гидродинамика и термодинамика // ПМТФ. — 1994. — № 4. — С. 41-59.

66. Drew D.A. Mathematical modeling of two-phase flow // Annual Rev. Fluid Mech. — 1983. — Vol. 15. — Pp. 261-291.

67. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. — Москва: Наука, 1987.

68. Ishii M. Thermo-fluid dynamic theory of two-phase flow. — Paris: Eyrolles, 1975.

69. Ishii M, T.Hibiki. Thermo-fluid dynamics of two-phase flow. — New York: Springer-Verlag, 2011.

70. Lubrication model of suspension flow in a hydraulic fracture with frictional rhe-ology for shear-induced migration and jamming / E.V. Dontsov, S.A. Boronin, A.A. Osiptsov, D.Yu. Derbyshev // Proc. R. Soc. A. — 2019. — Vol. 475.

71. Боронин С.А., Осипцов А.А. Двухконтинуальная модель течения суспензии в трещине гидроразрыва // Докл. РАН. — 2010. — Т. 431, № 6. — С. 758-761.

72. Bedford A., Drumheller D.S. A variational theory of immiscible mixtures // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1978. — Vol. 68. — Pp. 37-51.

73. Geurst J.A. Virtual mass in two-phase bubbly flow // Physica A. — 1985. — Vol. 129. — Pp. 233-261.

74. Geurst J.A. Variational principles and two-fluid hydrodynamics of bubbly liquid/gas mixtures // Physica A. — 1986. — Vol. 135. — Pp. 455-486.

75. Ndanou S., Favrie N., Gavrilyuk S. Multi-solid and multi-fluid diffuse interface model: applications to dynamic fracture and fragmentation // J. Comput. Phys.

— 2015. — Vol. 295. — Pp. 523-555.

76. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — Москва: Наука, 1967.

77. Шелухин В.В., Неверов В.В. Течение микрополярных и вязкопластических жидкостей в ячейке Хеле-Шоу // ПМТФ. — 2014. — Т. 55, № 6. — С. 3-15.

78. Shelukhin V.V., Neverov V.V. Thermodynamics of micropolar Bingham fluids // J. Non-Newtonian Fluid Mech. — 2016. — Vol. 236. — Pp. 83-90.

79. Neverov V.V., Shelukhin V.V. Thermodynamics of micropolar fluids with variable concentration of polar particles // Journal of Physics: Conference Series.

— 2017. — Vol. 894.

80. Шелухин В.В., Неверов В.В., Кривцов А.М. Концентрированные суспензии и обобщенный закон Фика // Сиб. электрон. матем. изв. — 2019. — Т. 16.

— С. 2124-2133.

81. Неверов В.В. Глобальная разрешимость одномерных уравнений микрополярной жидкости при наличии осевой симметрии // Сиб. журн. индустр. матем. — 2021. — Т. 24, № 1. — С. 67-77.

82. Segre G., Silberberg A. Radial particle displacements in Poiseuille flow of suspensions // Nature. — 1961. — Vol. 189. — Pp. 209-210.

83. Acrivos A., E.Herbolzheimer. Enhanced sedimentation in settling tanks with inclined walls // J. Fluid Mech. — 1976. — Vol. 92, no. 3. — Pp. 435-457.

84. Economides M.J., Nolte K.G. Reservoir stimulation. — Chichester: John Wi-ley&Sons Ltd, 2000. — 856 pp.

85. Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Ural'ceva N.N. Linear and quasi-linear equations of parabolic type. — Providence: American Mathematical Society, 1968.

86. Monakhov V.N. Boundary-value problems with free boundaries for elliptic systems of equations. — Providence: American Mathematical Society, 1983.

87. Shelukhin V.V. A poroelastic medium saturated by a two-phase capillary fluid // Continuum Mech. Thermodyn. — 2014. — Vol. 26. — Pp. 619-638.

88. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. — Москва: Наука, 1983.

89. Ishii M., Mishima K. Two-fluid model and hydrodynamic constitutive relations // Nuclear Engineering and Design. — 1984. — Vol. 82. — Pp. 107-126.

90. Krieger I.M., Dougherty T.J. A mechanism for non-Newtonian flow in suspensions of rigid spheres // Trans. Soc. Rheol. — 2002. — Vol. 3, no. 1. — Pp. 137-152.

91. Hecht F. New development in FreeFem++ // J. Numer. Math. — 2012. — Vol. 20, no. 3-4. — Pp. 251-265.

92. Boycott A.E. Sedimentation of blood corpuscles // Nature. — 1920. — Vol. 104.

93. McCaffery S.J., Elliott L., Ingham D.B. Enhanced sedimentation in inclined fracture channels. — Southampton, Boston: WIT Press, 1997.

94. Nakamura H, Kuroda K. La cause de l'acceleration de la vitesse de sedimentation des suspensions dans les recipients inclines // The Keijo Journal of Medicine. — 1937. — Vol. 8. — Pp. 191-195.

95. Ponder E. On sedimentation and rouleaux formation // Quarterly Journal of Experimental Physiology. — 1925. — Vol. 15. — Pp. 235-252.

96. Kinosita K. Sedimentation in tilted vessels // J. Colloid Interface Sci. — 1949. — Vol. 4. — Pp. 166-176.

97. Hill W.D., Tothfus R.R., Li K. Boundary enhanced sedimentation due to settling convection // Int. J. Multiphase Flow. — 1977. — Vol. 3. — Pp. 561-583.

98. Nevskii Yu.A., Osiptsov A.N. Slow gravitational convection of disperse systems in domains with inclined boundaries // Fluid Dynamics. — 2011. — Vol. 46, no. 2. — Pp. 225-239.