Стационарные сопряженные течения полярных и неполярных жидкостей в изотропных нанопористых структурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Ханукаева Дарья Юрьевна

• Ханукаева Дарья Юрьевна
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Ханукаева Дарья Юрьевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ВВЕДЕНИЮ 19 ГЛАВА 1. АТОМНО-СИЛОВАЯ МИКРОСКОПИЯ ПОРИСТЫХ

СТРУКТУР

1.1. ВОЗМОЖНОСТИ АТОМНО-СИЛОВОЙ МИКРОСКОПИИ

1.2. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО РАЗМЕРАМ ПОР УЛЬТРАФИЛЬТРАЦИОННЫХ МЕМБРАН «МИФИЛ» 43 ВЫВОДЫ ГЛАВЫ 1 62 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛАВЕ 1 63 ГЛАВА 2. ФИЛЬТРАЦИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ТВЕРДЫХ ГРАНИЦ 67 ТЕЧЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНОМ ПОРИСТОМ КАНАЛЕ С ТВЕРДЫМИ СТЕНКАМИ 70 ВЫВОДЫ ГЛАВЫ 2 81 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛАВЕ 2 82 ГЛАВА 3. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАПИЛЛЯРЕ

3.1. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ПРИ НАЛИЧИИ ПРИСТЕННОГО ПОРИСТОГО СЛОЯ БРИНКМАНА

3.2. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ НАВЬЕ И СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ

3.3. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МИКРОПОЛЯРНОГО ТЕЧЕНИЯ 108 ВЫВОДЫ ГЛАВЫ 3 129 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛАВЕ 3 131 ГЛАВА 4. ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ. ФИЛЬТРАЦИЯ В ВОЛОКНИСТЫХ МЕМБРАНАХ 138 4.1. О ПАРАДОКСЕ СТОКСА

4.2. О ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОРИСТОГО ЦИЛИНДРА

4.3. ЯЧЕЕЧНАЯ МОДЕЛЬ ВОЛОКНИСТОЙ МЕМБРАНЫ

4.4. О ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ НА ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТИ 192 ВЫВОДЫ ГЛАВЫ 4 200 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛАВЕ 4 201 ГЛАВА 5. ОБТЕКАНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ. ФИЛЬТРАЦИЯ В ГЛОБУЛЯРНЫХ МЕМБРАНАХ

5.1. ОБТЕКАНИЕ ТВЕРДОЙ СФЕРЫ МИКРОПОЛЯРНОЙ ЖИДКОСТЬЮ

5.2. ЯЧЕЕЧНАЯ МОДЕЛЬ ФИЛЬТРАЦИИ МИКРОПОЛЯРНОЙ ЖИДКОСТИ В ГЛОБУЛЯРНОЙ МЕМБРАНЕ

5.3. АППРОКСИМАЦИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ГЛОБУЛЯРНОЙ МЕМБРАНЫ 235 ВЫВОДЫ ГЛАВЫ 5 271 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛАВЕ 5 272 ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОФОРЕЗ ПОЛИЭЛЕКТРОЛИТНОЙ КАПСУЛЫ

6.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

6.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА

6.3. ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ И ДАВЛЕНИЙ

6.4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ 298 ВЫВОДЫ ГЛАВЫ 6 318 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛАВЕ 6 319 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Процессы фильтрации стали неотъемлемой частью жизни современного человека. Они задействованы во множестве технологических процессов и в предметах обихода. При этом наряду с уже хорошо развитыми механизмами фильтрации, используемыми в быту, в медицине [1], в химических и пищевых производствах [2-4], в процессах очистки и опреснения воды [5], в нефтегазовой промышленности [6, 7] и многих других отраслях происходит постоянное усовершенствование технологий, развитие новых методов.

Особенностью современных инноваций в области течений жидкости является уменьшение характерных размеров и переход на микроскопический масштаб, когда область течения сильно ограничена многообразными поверхностями с большим набором различных свойств. К примеру, в мембранных технологиях активно разрабатываются новые типы материалов путем внедрения в матрицу мембраны наночастиц оксидов металлов, существенно влияющих на их микроструктуру и, как следствие, транспортные свойства. Кроме того, в процессе эксплуатации материал мембраны претерпевает физико-химические изменения, которые также влияют на протекание фильтрационного процесса. В результате оказывается существенным наномасштабное взаимодействие меняющейся микроструктуры пористой среды и фильтрующейся жидкости. Аналогичный эффект известен для течения в очень тонких капиллярах, в которых расход жидкости превышает ожидаемый в рамках классических моделей. Также давно наблюдаются аномальные изменения реологических характеристик жидкостей под воздействием внешних электромагнитных полей или при формировании тонких пленок и пограничных слоев вблизи твердых поверхностей, когда свойства жидкости оказываются зависящими от характерного масштаба течения. К примеру, вязкость раствора полимера низкой концентрации, находящегося в нанопористой среде, выше, чем в объемном растворе [8].

Имеющаяся теоретическая база не справляется с описанием наблюдаемых в экспериментах эффектов и нуждается в развитии. К примеру, нефтяная гидродинамика, которая изначально представляла собой продолжение трубной гидравлики, обычно рассматривала пористую среду как систему капилляров с ровными стенками. При этом капиллярные силы не учитывались. В работе А.Я.Хавкина [9] показано, что формы наноразмерных минеральных фаз коллектора при его заводнении меняются. Как следствие, меняется капиллярный гистерезис и коэффициент извлечения нефти. Глинистые коллекторы при закачке воды меняют структуру порового пространства за счет разбухания глин, вызываемого ионным обменом с закачиваемой водой [10]. Проницаемость коллектора может при этом упасть на порядок. Согласно современному взгляду на развитие нефтегазовых технологий [11], и нефть, и закачиваемую в пласты воду, растворы полимеров и ПАВ следует рассматривать как наножидкости, обладающие внутренней структурой, взаимодействующей с пористой средой. Таким образом, развитие моделей фильтрации структурированных жидкостей в пористых средах является актуальной задачей.

Дискуссия на тему граничных условий в гидродинамических задачах продолжается со времен Стокса, который утверждал, что жидкость должна прилипать к твердой стенке, и Навье, выдвинувшего идею проскальзывания [12]. Большой обзор по взаимодействию Ньютоновских жидкостей с твердыми поверхностями дали Нето и соавт. [13].

Что касается вопроса взаимодействия жидкости с пористой стенкой, то проблема заключается в сопряжении решения уравнений Стокса и скорости фильтрации, если она вычисляется по закону Дарси. Первым, по-видимому, этот вопрос поднял А.С.Берман [14]. Он предложил использовать условие прилипания для тангенциальной компоненты и непрерывность нормальной к поверхности компоненты скорости. Г.С.Биверс и Д.Д.Джозеф [15] рассматривали свойства проницаемых стенок и выдвинули гипотезу, что вязкие сдвиги распространяются вдоль поверхности проницаемой среды и

образуют тонкий пограничный слой жидкости, движущийся внутри пористой области параллельно свободному потоку. В этом тонком слое происходит изменение скорости, касательной к межфазной поверхности, от ее значения вне этого слоя, которая много больше скорости фильтрации, до значения скорости фильтрации Дарси. Аналитически это выражалось как условие проскальзывания с безразмерным параметром, игравшим роль калибровочного множителя, ответственного за свойства различных материалов [16]. Эта полуэмпирическая идея получила физическое и математическое развитие в работах [17-20] и широко использовалась в фильтрационных моделях. Альтернативное граничное условие аналитически вывели Дж.А.Очоа-Тапиа и С.Уайтеккер [21-23]. Согласно их идее, скорость течения остается непрерывной на границе с пористой средой, а скачок испытывают касательные напряжения. Такой подход оказался более удобным для моделирования процессов теплообмена, однако, он нуждается в экспериментальных данных для оценки введенного подгоночного параметра.

Имеется альтернативный подход к сопряжению решений в пористой и свободной областях течения, впервые предложенный Х.С.Бринкманом [24, 25]. Он полуэмпирическим образом добавил оператор Лапласа от скорости течения в закон Дарси, превратив его тем самым в дифференциальное уравнение второго порядка относительно скорости фильтрации, названное уравнением Бринкмана. Позже оно получило теоретическое обоснование [18, 26-28], а также было строго выведено наряду с законом Дарси через асимптотические разложения [29] и путем осреднения уравнения Стокса и уравнения неразрывности для жидкой фазы в пористой среде [30]. Отметим, что уравнения, выведенные аналитически, содержат еще один член вдобавок к члену Дарси, причем того же порядка величины. Пренебречь им можно только в случае постоянной пористости среды. Еще один способ вывода уравнений Дарси и Бринкмана известен в рамках метода гомогенизации. Они возникают в результате осреднения по объему уравнений движения в локально периодической пористой структуре, соответственно, как

приближения нулевого и второго порядка по отношению к малому параметру, характеризующему отношение микро и макро-масштабов задачи [31]. Следует отметить, что проницаемость пористой среды в законе Дарси изначально является тензорной величиной и остается тензором во всех теоретических выкладках. В то же время вывод уравнения Бринкмана требует предположения однородности и изотропности пористой среды. Эти предположения приводят к двум особенностям формулировки уравнения Бринкмана: (а) проницаемость пористой среды в нем является скалярной величиной; (б) отсутствуют члены того же порядка, что и член Дарси, которые имели бы место для анизотропной неоднородной пористой среды. Данная диссертация посвящена исследованию течений в однородных изотропных пористых средах, поэтому использование уравнения Бринкмана и уравнения типа Бринкмана правомерно.

Несмотря на существенное усовершенствование фильтрационных моделей благодаря использованию уравнения Бринкмана, остается большой спектр явлений, которые не находят объяснения в рамках классической гидродинамики. Особенно ярко они проявляются в микромасштабных течениях сред, обладающих внутренней нано-структурой.

Одним из путей решения данной проблемы является использование нелинейных реологических моделей. Наиболее распространенными являются степенные законы, описывающие дилатантные и псевдопластические жидкости, называемые неньютоновскими. Также к неньютоновским относят вязкопластические жидкости, у которых имеется некоторое фиксированное напряжение сдвига, которое необходимо превысить, чтобы инициировать течение. Частными случаями таких моделей является жидкость Бингама и Хершли-Балкли, успешно применяемая для описания течения цементных, глинистых, буровых растворов. По-видимому, наиболее полной нелинейной реологической моделью является 8-константная модель Дж.Г.Олдройда [32]. Анализ ее полной версии достаточно трудоемок, поэтому используются различные значительные упрощения и, тем не менее, некоторые неньютоновские жидкости хорошо описываются в рамках этой модели.

Однако, все эти результаты носят частный характер, т. е. пригодны для того или иного конкретного типа флюида.

Иное направление состоит в рассмотрении внутренней структуры жидкости и учете дополнительных к поступательным степеней свободы частиц, формирующих среду. В классической гидродинамике частицы среды моделируются как материальные точки, взаимодействующие друг с другом через вязкие силы. Движение среды полностью описывается полем линейных скоростей, а тензор напряжений и тензор скоростей деформаций симметричные. Если ввести в модель вращение частиц среды и моментное взаимодействие ее элементов, то наряду с тензором силовых напряжений возникает тензор моментных напряжений. При этом оба тензора несимметричные. Такие среды называются микрополярными, а теория, их описывающая, иногда называется несимметричной теорией.

Первая попытка учесть моментное взаимодействие элементов среды и ввести тензор моментных напряжений вдобавок к тензору силовых напряжений была предпринята В.Фойгтом в 1887 году в рамках теории упругости [33]. А полная теория несимметричной упругости и сплошной среды с микроструктурой была дана в 1909 году И.Коссера и Ф.Коссера [34]. Их фундаментальный труд включал обобщенную теорию механики, оптики и электродинамики. Причем, теория учитывала не только малые деформации, поэтому была нелинейной, содержала большое количество материальных констант и параметров новой среды. Математический аппарат был достаточно громоздким, чтобы использоваться в инженерных задачах. Поэтому труд И.Коссера и Ф.Коссера остался невостребованным при их жизни.

Развитие и применение модель микрополярной среды получила в 1960-х годах, когда была разработана линейная модель и введен более простой математический аппарат. Несимметричная (микрополярная) теория упругости изложена в монографии В.Новацкого [35]. Микрополярную гидродинамику развивал Э.Л.Аэро и др. [36], а впоследствии А.С,Эринген [37, 38], работы которого способствовали ее активному применению. В дальнейшем он

расширил эту теорию и объединил ее с несимметричными моделями упругих сред [39, 40]. Строгая математическая теория и приложения микрополярных жидкостей даны Г.Лукашевичем [41]. Инженерное изложение теоретических основ и приложений микрополярных твердых и жидких сред даны В,Пабстом [42].

Остановимся на некоторых терминологических аспектах. В общем случае уравнение состояния микрополярной среды нелинейное. В линейном приближении для так называемых простых микрополярных сред связь между тензором скоростей деформаций и тензором напряжений остается линейной. Таким образом, формально они не являются неньютоновскими. В то же время ньютоновскими они также не являются, поскольку подразумевают более сложное движение и взаимодействие элементов среды. Усложнение структуры элементов ньютоновской жидкости, в свою очередь, может иметь два направления. Первое из них состоит в учете действующих в среде моментов сил и введение тензора моментных напряжений. Такие среды принято называть моментными. Второе направление подразумевает учет влияния внутренней микроструктуры среды, т. е. частицы среды представляются не просто материальными точками, а бесконечно малыми телами, которые могут совершать вращательные движения, деформироваться и испытывать напряжения, не связанные с поступательными движениями. Такие жидкости называют жидкостями с микроструктурой, причем, моменты сил могут в них и не рассматриваться. В общем случае модель включает в себя и микроструктуру среды, и моментные взаимодействия. В зависимости от тех степеней свободы, которыми обладают частицы среды, различают микрополярные, микрорастяжимые и микроморфные среды. Если частицы среды вдобавок к трем поступательным степеням свободы могут еще совершать вращения относительно трех независимых осей, такая среда называется микрополярной. Если к шести перечисленным степеням свободы добавить возможность частиц претерпевать объемные деформации, т. е. «дышать», такие среды называют микрорастяжимыми. Частицы, образующие

микроморфные среды, могут совершать все перечисленные движения и еще испытывать все возможные деформации. Приведенная классификация сред с микроструктурой дана А.С.Эрингеном в его двухтомной монографии [39, 40], где также изложена теория всех трех сред. Моментные жидкости и жидкости с микроструктурой подробно описаны и сравниваются в монографии Стокса [43].

Отдельно следует упомянуть теплопроводные микрополярные жидкости. Н.В.Дьеп и А.Т.Листров [44] еще в 1967 году обнаружили термомеханический эффект: тепловой поток в микрополярной жидкости вызывает моментные напряжения. В уравнении моментов необходимо учитывать тепловые эффекты, а в уравнении теплопроводности - новые члены, связанные с микровращениями. Нелинейная теория теплопроводных микрополярных жидкостей была разработана А.С.Эрингеном в 1972 году [45]. Ввиду сложности ее математического аппарата обычно используется линеаризованная версия. Большое внимание задачам теплообмена в микрополярных жидкостях уделено в монографии Н.П.Мигуна и П.П.Прохоренко [46]. В данной диссертации рассматриваются течения только изотермических простых микрополярных жидкостей.

Несмотря на то, что математическое описание микрополярных сред значительно сложнее, чем классических ньютоновских, достаточно обширный класс задач допускает аналитические решения в рамках модели простых микрополярных жидкостей благодаря линейности уравнения состояния. Ряд решений классических задач, их анализ и приложения рассмотрены в монографиях [39-41, 43, 46-48] и обзорах [49-51]. Фильтрация двухфазной гранулированной вязкопластической жидкости рассмотрена в работе [52]. Задачи фильтрации простых микро-жидкостей рассматривались крайне редко. Им уделено особое внимание в данной диссертации.

Наконец, еще один аспект проблем фильтрации помимо изучения свойств пермеата - это недостаточная информация о строении и свойствах собственно пористой среды. По мнению Б.В. Дерягина и его последователей,

специфика подавляющего большинства фильтрационных процессов определяется не столько формальными размерами пор, сколько способом взаимодействия жидкости и пористой среды [8, 53-55]. В связи с этим важно обладать информацией хотя бы о свойствах поверхности пористой среды, взаимодействующей с пермеатом. Такую информацию дают микроскопические исследования поверхностей, которые стало возможно проводить благодаря бурному развитию в течение последних десятилетий электронной и сканирующей зондовой микроскопии.

Электронный просвечивающий микроскоп был изобретен в 1931 году, сканирующий электронный микроскоп появился в 1965 году, а сканирующий зондовый микроскоп - в 1981 году. Сейчас эти приборы в различных модификациях выпускаются серийно. Принцип работы электронных микроскопов состоит в облучении образца сильно сфокусированным пучком электронов диаметром порядка 10 нм и регистрации либо прошедших насквозь, либо рассеянных вторичных электронов. Зондовый микроскоп, в частности, атомно-силовой, обеспечивает межатомное взаимодействие исследуемой поверхности и тонкой иглы - зонда с радиусом кривизны порядка 10-30 нм. Информация о морфологии поверхности образца получается в результате обработки данных об отклонении зонда в результате его взаимодействия с атомами образца.

В результате работы сканирующих микроскопов строится изображение поверхности. Для электронных микроскопов оно дается в градациях серого цвета и представляет собой результат непосредственного взаимодействия электронов и улавливающего устройства - люминесцентного экрана, фотопластинки или специальной кремниевой пластинки с зарядовой связью (ПЗС-матрицей). Таким образом, сигнал на выходе электронного микроскопа является аналоговым, и для дальнейшей работы с ним он преобразуется в изображение современных графических форматов. Принцип формирования изображения на атомно-силовом микроскопе принципиально иной. Отклонение зонда от положения равновесия, характеризующее топографию

исследуемой поверхности, регистрируется и измеряется специальной системой, т. е. изначально представляет собой массив чисел. Далее он обрабатывается и подается пользователю в виде графической интерпретации в той или иной цветовой шкале. Однако, количественная информация о рельефе поверхности сохраняется и допускает различные виды обработки.

Благодаря появлению, развитию и внедрению сканирующей микроскопии за последние десятилетия наблюдается грандиозный прорыв в изучении строения веществ на микро и нано-уровне. Так, в лаборатории кафедры высшей математики РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина за последние несколько лет на атомно-силовом микроскопе было исследовано множество разнообразных образцов. Были разработаны методики обработки и характеризации поверхностей мембран, минералов и других пористых материалов. Сформированное понимание структуры порового пространства позволило представить в диссертации развитие математических моделей фильтрации. Им и посвящена основная часть работы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стационарные сопряженные течения полярных и неполярных жидкостей в изотропных нанопористых структурах»

Целью работы

является развитие математического аппарата гидродинамического моделирования фильтрации в пористых средах с учетом наноструктуры жидкости. А именно:

Исследование структуры различных пористых сред методами сканирующей зондовой микроскопии.

Постановка сопряженных задач обтекания композитной ячейки пористой среды микрополярной жидкостью в рамках ячеечной модели.

Получение и исследование аналитических выражений для гидродинамической проницаемости сложнопористых сред, состоящих из композитных ячеек, как функций параметров среды и пермеата.

Исследование влияния на течение условий на границах твердой, пористой и жидкой сред, входящих в фильтрационные системы.

Формулировка критериев выбора модели среды и условий на межфазных границах в зависимости от специфики задачи.

Научная новизна

В работе впервые поставлены и решены задачи фильтрации микрополярной жидкости в системах со сложной микроструктурой. Решения, полученные в рамках микромасштабных задач обтекания, использованы для оценки и анализа макрохарактеристик фильтрационной системы. В частности, представлены следующие результаты.

На основе ячеечной модели поставлены краевые задачи течения микрополярной жидкости в глобулярных и волокнистых мембранах, моделируемых сферическими и цилиндрическими композитными ячейками с твердым ядром, пористым слоем и жидкой оболочкой. Течение в пористом слое описывалось уравнением типа Бринкмана, а на границе жидкости и пористого слоя использовались условия непрерывности скорости и напряжений. Вычислена гидродинамическая проницаемость как функция геометрических характеристик ячейки, физико-механических свойств пористого слоя и микрополярной жидкости. Расчетные зависимости показали хорошее согласие с экспериментальными данными.

Проанализировано влияние на решение различных условий на внешней границе ячейки. При вариации одного из условий на данной границе выявлено и доказано универсальное свойство решения, имеющее место, как для ньютоновского, так и для микрополярного пермеата, а также ячейки любой формы и структуры. Сформулированы критерии эквивалентности в первом приближении гидродинамической проницаемости мембран, полученных в рамках моделей с различными граничными условиями на внешней границе ячейки.

Предложена аппроксимация в элементарных функциях гидродинамической проницаемости мембраны в зависимости от всех определяющих параметров. Она включает в себя зависимость от свойств

микрополярной жидкости и в предельном случае пригодна для эксплуатации применительно к ньютоновскому пермеату.

Рассмотрена и решена классическая задача обтекания пористого цилиндра однородным микрополярным потоком. Проанализированы полученные решения при условиях непрерывности касательных или моментных напряжений на поверхности цилиндра. Дана механическая интерпретация полученных картин течения, которая позволяет моделировать пористые среды различной природы при помощи условия на границе с жидкой фазой. В рассмотренной постановке сформулированы критерии возникновения и отсутствия парадокса Стокса, имеющего место при обтекании непроницаемого цилиндра с условиями прилипания на его поверхности.

Поставлена и решена задача движения полиэлектролитной капсулы в растворе электролита под действием внешнего однородного электрического поля. Задача решена для трех областей течения: вне капсулы, внутри капсулы и в пористой стенке капсулы в рамках модели Стокса-Бринкмана. Использована сферическая геометрия и приближение Дебая-Хюккеля. Проведено параметрическое исследование полученного аналитического решения, найдены зависимости скорости движения капсулы от всех параметров задачи, включая механические и электрические свойства материала капсулы и электролита.

Рассмотрены решения классических задач течения в пористых каналах с твердыми стенками и в канале с пористыми стенками в сопряженной постановке Стокса-Бринкмана. Найден масштаб переходных слоев, возникающих в окрестностях межфазных границ. Сформулирован критерий выбора между моделью пористой среды Дарси и Бринкмана.

Проведены эксперименты на атомно-силовом микроскопе по исследованию морфологии поверхности пористых структур. Разработана методика определения распределения пор по размерам на основе обработки полученных изображений. Получено, что локальное распределение имеет

логнормальный закон, а на больших масштабах распределение подчиняется билогнормальному распределению. Кроме того, анализ характеристик полученных АСМ-сканов поверхностей мембран позволяет делать выводы об их функциональных свойствах.

Все разработанные модели основаны на классических теориях, развитых Стоксом, Х.С.Бринкманом, И.Коссера и Ф.Коссера, А.С.Эрингеном, Дж.Хаппелем, Г.Бреннером и др., и используют современные теоретические и эмпирические знания о процессах фильтрации.

Практическое значение работы

Функционирование любой фильтрационной системы сопровождается изменением физико-химических свойств пористой среды. Мембраны, к примеру, набухают, засоряются, разрыхляются, т. е. деградируют и отравляются. На микроуровне это отражается в изменении локальной специфики течения, а также структуры и характеристик материала мембраны. Макромасштабное изменение затрагивает измеряемые на практике основные характеристики мембраны, такие как гидродинамическая проницаемость. Упомянутые и иные особенности течения на микроуровне учтены в разработанных моделях. Рассмотрено влияние граничных условий на межфазных границах внутри пористой среды. Получены аналитические решения в рамках микрополярной модели жидкости, охватывающей широкий класс структурированных сред и дающей возможность описывать пермеаты с различными свойствами в рамках единого подхода. На основе найденных решений рассчитана и исследована гидродинамическая проницаемость системы как функция параметров пористой среды и пермеата. Кроме того, предложена простая аппроксимация найденной зависимости, пригодная для простых инженерных расчетов. Таким образом, разработан инструмент для математического описания состояния мембраны и контроля ее гидродинамической проницаемости.

На основе предложенной физико-математической модели электрофореза полиэлектролитной капсулы и решения поставленной задачи выявлен характер зависимости электрофоретической подвижности от свойств электролита и параметров капсулы. Показан экстремальный характер зависимости скорости электрофореза от проницаемости пористого материала капсулы, что позволяет создавать электрофоретические системы с оптимальными характеристиками.

Разработана методика определения распределения по размерам пор пористой среды на основе изображения поверхности с помощью сканирующего зондового микроскопа. Особенностью данной методики является применение метода кривых Пирсона, не требующего выдвижения гипотез о виде исследуемого распределения. Исследования морфологии поверхностей перфторированных сульфокатионообменных мембран МФ-4СК при помощи сканирующего микроскопа позволили выявить анизотропию строения мембраны при ее модификации полианилином и позволили сформулировать критерии режима модификации для получения мембраны с заданными характеристиками.

Большая часть исследований поддержана различными грантами, в которых автор является ответственным исполнителем или руководителем. В частности: грант РФФИ 19-08-00058_а «Моделирование фильтрации микрополярных жидкостей в сложно-пористых мембранах», 2019-2021 (рук.); грант РНФ 20-19-00670 «Создание и характеризация новых двухслойных заряженных мембран, обладающих существенной асимметрией транспортных свойств, с целью их применения в электромембранных устройствах, а также при нанофильтрации растворов электролитов и водно-органических смесей», 2020-2022 (исп.); грант РФФИ 20-08-00661_а «Моделирование ячеечным методом диффузионной проницаемости, обратноосмотического и электродиффузионного коэффициента заряженных мембран», 2020-2022 (исп); грант РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина «Сопряженные задачи течения в областях, частично заполненных пористыми средами или

частицами», 2020-2021 (исп.); грант РФФИ 15-58-45142-ИНД_а «Течение через мембрану, моделируемую пористыми цилиндрическими частицами ячеечным методом», 2015-2017 (исп.); грант РФФИ 14-08-00893_а «Моделирование задержания водно-органических растворов красителей с помощью гидрофобных нанопористых мембран», 2014-2016 (исп.); грант CRDF-Global U.S.- Russian University Research Competition (project 60158) «Исследование отклика наноразмерной структуры поверхности твердых энергоносителей при термо- и электрохимическом воздействии сканирующего зондового микроскопа», 2014 (рук.); грант РФФИ 12-08-90010-Бел_а «Получение высокопроницаемых композиционных половолоконных мембран для мембранных контакторов газ-жидкость», 2012-2013 (исп.); грант РФФИ 11-08-01043_а «Моделирование переноса водно-органических смесей через нанопористые мембраны», 2011-2013 (исп.); грант РФФИ 11-08-00807_а «Движение композитных микрокапсул в вязкой жидкости», 2011-2013 (исп.); грант РФФИ 10-08-92652-ИНД_а «Исследование влияния физико-химических параметров и магнитного поля на процесс нанофильтрации неньютоновских жидкостей через сложнопористые мембраны», 2010-2011 (исп.).

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались Всемирном конгрессе по теоретической и прикладной механике ICTAM XXV+I (2021, Италия); Международной конференции «Моделирование мембранных процессов» (2020, Москва); Международной конференции по мембранам и электромембранным процессам MELPRO (2020, Чехия); Всероссийском симпозиуме с международным участием «Физико-химические проблемы адсорбции и технологии нанопористых материалов» (2020, Москва); XII Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (2019, Уфа); Всероссийской научной конференции «Мембраны» (2019, Сочи); Всероссийской конференции с международным участием «Ионный перенос в органических и

неорганических мембранах» (2019, 2018, Сочи; 2014, 2013, Туапсе); VI Всероссийском семинаре «Физикохимия поверхностей и наноразмерных систем» (2015, Москва); Международной конференции «Методологические аспекты сканирующей зондовой микроскопии» БелСЗМ-2014 (2014, Беларусь); XIV Европейской конференции по математике нефтедобычи ECMOR XIV (2014, Италия).

Вклад автора в разработку проблемы

Автору принадлежит формулировка проблематики, инициировавшей разработку всех направлений диссертации; формулировка основных выводов и положений; формализация рассматриваемых задач в терминах математических моделей; постановка и решение краевых задач, как аналитически, так и численно; анализ полученных решений, сравнений их с имеющимися экспериментальными данными; постановка и проведение экспериментов на атомно-силовом микроскопе. В диссертации используется ряд результатов, полученных при совместной работе с сотрудниками кафедры высшей математики РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина А.Н. Филипповым, В.И. Ивановым, Ю.О. Королевой, Л.А. Острером; с сотрудниками Аллахабадского университета (Индия) С. Део, П.К. Ядав, А. Тивари, Д. Маурия; с директором Института физико-органической химии НАН Беларуси А.В. Бильдюкевичем; с сотрудниками Кубанского государственного университета Н.А. Кононенко, Н.В. Лозой, И.В. Фалиной, С.А. Шкирской; с сотрудниками Национальной лаборатории Оак-Ридж (США) С. Калининым, А. Иевлевым, И. Ивановым, Д. Хэнсли, Б. Окатан.

Выражаю признательность всем упомянутым коллегам за интересное и плодотворное сотрудничество. Выражаю признательность своей семье за проявленное терпение и понимание. Отдельно хочу поблагодарить своего наставника - профессора Анатолия Николаевича Филиппова, участие и влияние которого переоценить невозможно.

Основные результаты диссертации изложены в работах [51, 56-88].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ВВЕДЕНИЮ

1. Capelle N., Moulin P., Charbit F., Gallo R. Purification of heterocyclic drug derivatives from concentrated saline solution by nanofiltration // J. Membr. Sci. 2002. V. 196. P. 125 - 141.

2. Whu J.A., Baltzis B.C., Sirkar K.K. Nanofiltration studies of larger organic microsolutes in methanol solutions // J. Membr. Sci. 2000. V. 170. P. 159 - 172.

3. Barrantes L.D., Morr C.V. Partial deacidification and demineralisation of Cottage cheese whey by nanofiltration // J. Food Sci. 1997. V. 62. P. 338 - 341.

4. Bird J. The application of membrane systems in the dairy industry // J. Soc. Dairy Tech. 1996. V. 49(1). P. 16 - 23.

5. Crook J. Water Reuse in California // Journal of American Water Works Association. 1985. V. 77(7). P. 60 - 71.

6. Bhore N.A., Gould R.M., Jacob S.M., Staffeld P.O., McNally D., Smiley P.H., Wildemuth G.R. New membrane process debottlenecks solvent dewaxing unit // Oil Gas J. 1999. V. 97. P. 67 -74.

7. White L.S., Nitsch A.R. Solvent recovery from lube oil filtrates with a polyimide mtmbrane // J. Vtvdr. Sci. 2000. V. 179. P. 267 - 274.

8. Чураев Н.В. Физикохимия процессов массопереноса в пористых телах // М.: Химия, 1990. 272 с.

9. Хавкин А.Я. Самоорганизация наноминеральных комплексов глин и нефтедобыча // НАНОтехнологии Экология Производсгво, ноябрь 2009, N 2, с. 94-99.

10.Хавкин А.Я. Результаты математического моделирования процесса вытеснения нефти водой из глиносодержащих пластов // Вопросы изучения нефтегазоносности недр, ИГиРГИ, М., 1981, с. 99-104.

11. Хавкин А.Я. Нанотехнологии в добыче нефти и газа // М., Нефть и газ, 2016, 358 с.

12.Navier C. L. М. Н. Memoire sur les lois du mouvement des Auides // Mt'moires de l'Academie Royale des Sciences de l'Institut de France Vl. 1823. P. 389 -440.

13.Neto C., Evans D.R., Bonaccurso E., Butt H.-J., Craig V.S.J. Boundary slip in Newtonian liquids: A review of experimental studies // Rep. Progr. Phys. 2005. V. 68. P. 2859.

14.Berman A.S. Laminar flow in channels with porous walls // Journal of Applied Physics, 1953, 24, 1232-1235.

15.Beavers G.S. and Joseph D.D. Boundary conditions at a naturally permeable wall // Journal of Fluid Mechanics, 1967, 30, 197-207.

16.Beavers G.S., Sparrow E.M., and Magnuson R.A. Experiments on coupled parallel flows in a channel and bounding porous medium // ASME Journal of Basic Engineering, 1970, 92, 843-848.

17.Neale G. and Nader W. Practical significance of Brinkman's extension of Darcy's law: Coupled parallel flow within a channel and a bounding porous medium // Canadian Journal of Chemical Engineering, 1974, 52, 475-478.

18.Saffman P.G. On the boundary conditions at the surface of a porous medium // Studies in Applied Mathematics, 1971, 50(2), 93-101.

19.Ligrani P., Blanchard D., and Gale B. Slip due to surface roughness for a Newtonian liquid in a viscous microscale pump // Physics of Fluids, 2010, 22, 0520021.

20. Sahraoui M. and Kaviany M. Slip and no-slip velocity boundary conditions at the interface of porous, plain media // International Journal of Heat and Mass Transfer, 1992, 35, 927-943.

21.Ochoa-Tapia J.A. and Whitaker S. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid I. Theoretical development // International Journal of Heat and Mass Transfer, 1995, 38, 2635-2646.

22.Ochoa-Tapia J.A. and Whitaker S. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid II. Comparison with experiment // International Journal of Heat and Mass Transfer, 1995, 38, 2647-2655.

23.Ochoa-Tapia J.A. and Whitaker S. Momentum jump condition at a boundary between a porous medium and a homogeneous fluid: Inertial effect // Journal of Porous Media, 1998, 1, 201-207.

24.Brinkman H.C. A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid in a dense swarm of particles // Applied Scientific Researches, 1947, A1, 27-34.

25.Brinkman H.C. Problems of fluid flows through swarms of particles and through macromolecules in solution // Research (London), 1949, 2, 190-194.

26.Lundgren T.S. Slow flow through stationary random beds and suspension of spheres // Journal of Fluid Mechanics, 1972, 51, 273-299.

27.Slattery J.C. Single phase flow through porous media // Applied International Chemical Engineering Journal, 1969, 15, 866-972.

28.Tam C.K.W. The drag on a cloud of spherical particles in a low Reynolds number flow // Journal of Fluid Mechanics, 1969, 38, 537-546.

29.Giorgi T. Derivation of the Forchheimer law via matched asymptotic expansion // Transport in Porous Media, 1997, 29, 191-206.

30.Whitaker S. The Forchheimer equation: A theoretical development // Transport in Porous Media, 1996, 25, 27-61.

31.Auriault J.L., Geindreau C., and Boutin C. Filtration law in porous media with poor separation of scales // Transport in Porous Media, 2005, 60, 89-108.

32.Oldroyd J.G. On the formulation of rheological equations of state // Proc. Roy. Soc. Ser. A. London. 1950. V. 200. P. 523.

33.Voigt W. Theoretische Studien uber die Elasticitatsverhalnisse der Kristalle // Gottingen: Abh. Der Konigl. Ges. Wiss., 1887.

34.Cosserat E., and Cosserat F. Theorie des corps deformables // Paris: A. Herrman, 1909.

35.Nowacki W. Theory of micropolar elasticity // Wien: J. Springer, 1970.

36.Аэро Э.Л., Булыгин А.Н., Кувшинский Е.В. // Прикл. мат. и мех. 1965. Т. 29. С. 297.

37.Eringen A.C. Simple Microfluids // Int. J. Eng. Sci. 1964. V. 2. P. 205-217.

38.Eringen A.C. Theory of Micropolar Fluids // J. Math and Mech. 1966. V. 16. P. 118.

39.Eringen A.C. Microcontinuum field theories: foundations and solids // Springer, 1999.

40.Eringen A.C. Microcontinuum field theories: II: Fluent media // Springer, 2001.

41.Lukaszewicz G. Micropolar fluids: theory and applications // Birkhauser: Boston, 1999.

42.Pabst W. Micropolar materials // Ceramics - Silikaty. 2005. V. 49. P. 170.

43.Stokes V.K. Theories of fluids with microstructure. An introduction // Berlin-

Heidelberg-New York-Tokyo: Springer Verlag, 1984.

44.Дьеп Нгуен Ван, Листров А.Т. О неизотермической модели несимметрических жидкостей // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. №№5. C. 132-136.

45.Eringen A.C. Theory of thermomicrofluids // J. Math. Anal. and Appl. 1972. V. 38. P.480-496.

46.Мигун Н.П., Прохоренко П.П. Гидродинамика и теплообмен градиентных течений микроструктурной жидкости // Минск: Наука и техника, 1984.

47.Петросян Л.Г. Некоторые вопросы механики жидкости с несимметричным тензором напряжений // Ереван: Изд-во Ереван. ун-та, 1984.

48.Еремеев В.А., Зубов Л.М. Основы механики вязкоупругой микрополярной жидкости // Ростов-на-Дону: Изд-во Южного научного центра РАН, 2009.

49.Ariman T., Turk M.A., Silvester N.D. Microcontinuum fluid mechanics—A review // Int. J. Eng. Sci. 1973. V. 11. P.905-930.

50.Ariman T., Turk M.A., Silvester N.D. Application of microcontinum fluid mechanics // Int. J. Eng. Sci. 1974. V. 12. P.273-293.

51.Ханукаева Д.Ю., Филиппов А.Н. Изотермические течения микрополярных жидкостей: постановка задач и аналитические решения // Коллоидный журнал, 2018, т.80, №1, с.17-40. (D.Yu.Khanukaeva, A.N.Filippov Isothermal flows of micropolar liquids: formulation of problems and analytical solutions // Colloid Journal, 2018, v.80, N1, p.14-36.)

52.Шелухин В.В. Конторович А.Э. Поведение пород с вязкопластическими свойствами: математическое моделирование // Доклады академии наук. 2019. Т. 489, № 4, с. 362-367.

53.Дерягин Б.В., Чураев Н.В., Муллер В.М. Поверхностные силы // М.: Наука, 1985. 398 с.

54. Филиппов А.Н. Роль поверхностных сил в процессах ультра- и микрофильтрации // Дисс. доктора физ.-мат. наук. Институт физической химии РАН, М.: 1999. 300 с.

55.Филиппов А.Н., Старов В.М. Теория гомогенной мембраны в применении к баромембранным процессам и ее экспериментальное подтверждение // Серия критические технологии. Мембраны. 2003. №17. С. 36 - 39.

56.Филиппов А.Н., Ханукаева Д.Ю., Васин С.И., Соболев В.Д., Старов В.М. Течение жидкости внутри цилиндрического капилляра, стенки которого покрыты пористым слоем (гелем) // Коллоидный журнал, 2013, т.75, №2, с.237-249. (A.N.Filippov, D.Yu.Khanukaeva, S.I.Vasin, V.D.Sobolev, V.M.Starov Liquid Flow inside a Cylindrical Capillary with Walls Covered with a Porous Layer (Gel) // Colloid Journal, 2013, V.75, N2, p.214-225.)

57.Ханукаева Д.Ю., Филиппов А.Н. Статистическая обработка распределения по размерам пор ультрафильтрационной мембраны, полученного методом атомно-силовой микроскопии // Мембраны и мембранные технологии, 2013, т.3, №3, с.210-220. (D. Yu. Khanukaeva and A. N. Filippov Statistical Processing of Ultrafiltration Membrane Pore Size Distribution Determined by Atomic Force Microscopy // Petroleum Chemistry, 2015, Vol. 55, No. 10, pp. 909-917.)

58.Ханукаева Д.Ю., Филиппов А.Н., Бильдюкевич А.В. Исследование ультрафильтрационных мембран с помощью АСМ: особенности распределения размеров пор // Мембраны и мембранные технологии, 2014, т.4, №1, с.37-46. (D.Yu. Khanukaeva, A.N. Filippov, A.V. Bildyukevich. An AFM Study of Ultrafiltration Membranes: Peculiarities of Pore Size Distribution // Petroleum Chemistry, 2014, Vol.54, No.7, pp.498-506.)

59.Khanukaeva D.Yu., Filippov A.N. Modeling of Flow in a Fracture Inside Porous Medium // Proc. of the 14th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, September 8-11, 2014, Catania, Sicily.

60.Ханукаева Д.Ю., Филиппов А.Н. Фильтрация вязкой жидкости через среду Бринкмана, ограниченную непроницаемыми стенками // В сб. трудов РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина 2014, №3 (276) июль - сентябрь. с.145-155.

61. Kononenko N.A., Loza N.V., Shkirskaya S.A., Falina I.V., Khanukaeva D.Yu. Influence of conditions of polyaniline synthesis in perfluorinated membrane on electrotransport properties and surface morphology of composites // Journal of Solid State Electrochemistry 2015, 19(9), 2623-2631.

62.Ханукаева Д.Ю., Филиппов А.Н., Иванов В.И., Калинин В.В. О применении сканирующей зондовой микроскопии в исследовании морфологии твердых поверхностей // В сб. трудов РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина 2016, №1 (282) январь - март. с.134-151.

63.Ханукаева Д.Ю. Об аналогии между фильтрационным течением ньютоновской жидкости и свободным течением микрополярной жидкости // Мембраны и мембранные технологии, 2018, т.8, №3, с.190-195. (D.Yu.Khanukaeva On the analogy between filtration flow of newtonian fluid and free flow of micropolar fluid // Petroleum Chemistry, 2018, v.58, N6, p.503-507.)

64.Khanukaeva D.Yu., Filippov A.N., Yadav P.K., Tiwari A. Creeping flow of micropolar fluid parallel to the axis of cylindrical cells with porous layer // European Journal of Mechanics / B Fluids 76 (2019) 73-80

65.Khanukaeva D. Yu. and Deo S. On the Stokes Paradox in a Micropolar Liquid // Colloid Journal. 2019. V. 81. N4. P.395-400.

66.Khanukaeva D.Yu., Filippov A.N., Yadav P.K., Tiwari A. Creeping flow of micropolar fluid through a swarm of cylindrical cells with porous layer (membrane) // Journal of Molecular Liquids 294 (2019) 111558

67.Khanukaeva D.Yu. Filtration of micropolar liquid through a membrane composed of spherical cells with porous layer // Theor. Comput. Fluid Dyn.,

2020. 34(3), P. 215-229

68.Khanukaeva D.Yu. Approximation of the hydrodynamic permeability for globular-structured membranes // Mechanics of Materials, 2020, 148 (1), 103528.

69.Khanukaeva D.Yu., Ostrer L.A. On the boundary conditions in the Stokesian flows // Theor. Comput. Fluid Dyn. 2021 35(1):1-14.

70.Maurya D.K., Deo S., Khanukaeva D.Yu. Analysis of Stokes flow of micropolar fluid through a porous cylinder // Mathematical Methods in the Applied Sciences

2021, 44(5) 10.1002/mma.7214

71.Khanukaeva D.Yu. Approximation of the hydrodynamic permeability for globular-structured membranes. Part II: The micropolar filtrate // Mechanics of Materials, 2021. 157(1), 103829.

72.Калинин В.В., Филиппов А.Н., Ханукаева Д.Ю. Возможности атомно-силовой микроскопии в исследовании морфологии твердых поверхностей // IX Всероссийская научно-техническая конференция «Актуальные проблемы развития нефтегазового комплекса России» 30 января - 1 февраля 2012 г., РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина. (сб. тезисов, Часть II). с. 103-104.

73.Khanukaeva D.Yu., Filippov A.N. Investigation Of Pore Size Distribution For Ultrafiltration Membrane: Atomic-Force Microscopy And Statistical Treatment // Proc. of the international conference "Ion Transport in Organic and Inorganic Membranes", June 2-9, 2013, Krasnodar, p.118-120.

74.Khanukaeva D.Yu., Filippov A.N., Bildukevich A.V. AFM-investigation of the inner surface structure of polyethersulfone hollow fiber membrane // Proc. of the international conference "Ion Transport in Organic and Inorganic Membranes", June 2-8, 2014, Krasnodar, p.98-100.

75.Ханукаева Д.Ю., Калинин С.В., Филиппов А.Н., Иевлев А.В., Бузилов А.С. Сканирующая зондовая микроскопия микроструктуры минералов //

Сборник докладов XI Международной конференции «Методологические аспекты сканирующей зондовой микроскопии - БелСЗМ XI», Минск, 21-24 октября 2014, С.178-183.

76.Khanukaeva D.Yu., Filippov A.N., Yadav P.K., Tiwari A. Hydrodynamic permeability of a fibrous membrane consisting of cylindrical cells with porous layer under flow of micropolar fluid parallel to the axis of cylinders // Proc. of the international conference "Ion Transport in Organic and Inorganic Membranes", Мау 21-26, 2018, Krasnodar, p.120-122.

77.Khanukaeva D.Yu., Filippov A.N., Yadav P.K., Tiwari A. Hydrodynamic permeability of a fibrous membrane modelled as a package of composite solid-porous cylindrical cells in micropolar flow // In Conf. Proc. "Ion transport in organic and inorganic membranes", Sochi, 20-25 May, 2019, p.135-137.

78.Ханукаева Д.Ю., Филиппов А.Н. Течение микрополярной жидкости в цилиндрической ячейке с пористым ядром // В сб. трудов XII Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Уфа, 19-24 августа 2019, с. 257-259

79.Ханукаева Д.Ю. Течение микрополярной жидкости через мембрану глобулярной структуры (ячеечная модель) // В сб. тезисов докладов XIV Всероссийской научной конференции (с международным участием) Мембраны - 2019, Сочи, 21-25 октября 2019, с. 508-510

80.Khanukaeva D. Analytical approximation of the hydrodynamic permeability for globular membranes // Book of Abstracts, MELPRO Conference, 2020, p.87 ISBN 978-80-907673-3-1 ISSN 2694-8958

81.Filippov A.N., Khanukaeva D.Yu. Influence of magnetic field on micropolar fluid flow in a tube enclosing an impermeable core with a porous layer // Физико-химические проблемы адсорбции и технологии нанопористых материалов: всероссийский интернет-симпозиум с международным участием. 19 октября-15 ноября, 2020, Москва, Россия. Материалы интернет-симпозиума. - М.: ИФХЭ РАН, 2020. C.40-42. ISBN 978-5-4465-3028-1

82.Khanukaeva D.Yu., Filippov A.N. Micropolar flow simulation in modified membranes // Физико-химические проблемы адсорбции и технологии нанопористых материалов: всероссийский интернет-симпозиум с международным участием. 19 октября-15 ноября, 2020, Москва, Россия. Материалы интернет-симпозиума. - М.: ИФХЭ РАН, 2020. C.43-45. ISBN 978-5-4465-3028-1

83.Khanukaeva D.Yu., Filippov A.N. Membrane hydrodynamic permeability: approximation for the micropolar filtrate // Book of abstracts of International web-conference "Membrane Process Modeling" December, 3-4, 2020. -Ставрополь: Логос, 2020. C.52-53. ISBN 978-5-907258-83-9

84.Koroleva Yu.O., Khanukaeva D.Yu. On a micropolar fluid filtration problem through an axially symmetric cell // Book of abstracts of International webconference "Membrane Process Modeling" December, 3-4, 2020. - Ставрополь: Логос, 2020. C.56-57. ISBN 978-5-907258-83-9

85.Ostrer L.A., Khanukaeva D.Yu. On the peculiarities of simulated flows in spherical cells // Book of abstracts of International web-conference "Membrane Process Modeling" December, 3-4, 2020. - Ставрополь: Логос, 2020. C.66-67.

86.Filippov A.N., Khanukaeva D.Yu. The cell model for capillary-osmotic coefficient of cation-exchange membrane // In Conf. Proc. "Ion transport in organic and inorganic membranes", Sochi, 20-25 September 2021, p.

87.Filippov A.N., Khanukaeva D.Yu., Deo S., Maurya D.K. Influence of magnetic field on hydrodynamic permeability of biporous membrane to micropolar liquid flow // In Conf. Proc. "Ion transport in organic and inorganic membranes", Sochi, 20-25 September 2021, p.

88.Khanukaeva D.Yu., Ostrer L.A., Filippov A.N. On the boundary conditions in cell models of filtration in membranes // In Conf. Proc. XXV ICTAM, Milano, Italy, 22-27 August 2021, p.1118-1119.

Глава 1. АТОМНО-СИЛОВАЯ МИКРОСКОПИЯ ПОРИСТЫХ

СТРУКТУР

В данной главе представлены результаты исследования различных материалов в разных режимах работы атомно-силового микроскопа (АСМ) Бшаг^БРМ 1000 производства российской компании АКТ-ЫТ. Сканирование проводилось в базовых контактном и бесконтактном режимах, а также в электропроводящих режимах. Кроме того, описана методика комплексного исследования материалов на оптическом микроскопе, электронном микроскопе в режиме дисперсионного рентгеновского излучения, Раман-спектрографе, АСМ в режиме пьезоотклика. Представлена методика статистической обработки данных, получаемых на АСМ.

Заметим, что в отличие от электронного сканирующего микроскопа атомно-силовое взаимодействие может измеряться и для незаряженных поверхностей. Поэтому никакой физико-химической подготовки образца, типа напыления токопроводящего покрытия, не требуется. Более того, бесконтактный режим работы атомно-силового микроскопа не оказывает никакого воздействия на поверхность, и образец остается в исходном состоянии. Это важно, во-первых, при исследовании хрупких и мягких поверхностей и, во-вторых, в тех случаях, когда проводится не один, а несколько различных экспериментов с одним и тем же участком поверхности. С другой стороны, система обратной связи атомно-силового микроскопа настолько чувствительна, что может регистрировать изменения рельефа поверхности вплоть до нанометров. При этом рабочее расстояние от зонда до исследуемой поверхности можно варьировать в пределах сотни микрометров. Поэтому образцы для исследования на атомно-силовом микроскопе следует шлифовать и полировать, а материалы с шероховатостями микронных масштабов изучать на атомно-силовом микроскопе можно, но эффективнее делать это другими методами.

1.1. ВОЗМОЖНОСТИ АТОМНО-СИЛОВОЙ МИКРОСКОПИИ

Геологические образцы Образцы различных минералов были предоставлены кафедрой литологии РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина. Каждый образец прошел процедуру шлифовки и полировки. Соответственно, исследуемые поверхности представляли собой ровные срезы, открывающие доступ к внутренней структуре породы. Сканирование выполнялось в контактном и полуконтактном режимах кремниевыми кантилеверами с радиусом кривизны зонда 10-30 нм.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Ханукаева Дарья Юрьевна, 2022 год

- 4Кп

V 22 У

2

щ2(г)=--

С 2Е

К

N

I

2

г N2

Если наложить на границе г = 1 условия гиперприлипания, т. е. равенство нулю всех трех функций щ (г), \2 (г), щ (г), снова возникает парадокс Стокса так же, как и для ньютоновской жидкости. Однако, для нахождения двух констант - С и Е требуется только два условия. Если скорость микровращений щ (г) исключить из рассмотрения, то два условия

щ (1) = 0, г2 (1) = 0 представляют собой систему с невырожденной матрицей для однозначного нахождения этих констант, которая дает

Меу( N /(2 2)) „ 1

С = -1 +

2 Ко( N / 2)

Е =

2 К о( N / 2)

Таким образом, условия обычного прилипания для линейной скорости микрополярной жидкости удовлетворяются без всяких парадоксов. В то же время, если выполнить предельный переход в рассматриваемом решении к классическому случаю, устремляя параметр N к нулю, получим

lim C = -1, lim Е = 0,

N^0 N^0

следовательно,

lim щ (r) = —\ +1, lim v (r) = —\ -1, lim w9 (r) = 0,

N^0 r 2 N ^0 r 2 N ^0 2

и в классическом пределе условия прилипания при r ^ 1 не могут быть удовлетворены для обеих компонент щ (r) and v2 (r).

Итак, микрополярная жидкость обладает таким свойством, которое позволяет удовлетворить условиям прилипания для линейной скорости на поверхности твердого непроницаемого цилиндра и получить нетривиальное решение задачи обтекания в бесконечной области. Принципиальное отличие полярной жидкости от ньютоновской в наличии микровращений ее частиц. Из полученного решения для w2 (r) следует, что скорость микровращений не

равна нулю ни при каком r если Е Ф 0. Последнее условие выполняется, если N ф 0, т. е. жидкость существенно неклассическая. На Рис. 4.25 показаны зависимость компонент скоростей от радиальной координаты для трех характерных значений N: 0.99 - линии из точек, 0.5 - пунктирные линии, 0.1 - сплошные линии. При построении было использовано L = 0.5 , представляющее жидкость с хорошо развитыми полярными свойствами.

Как видно на Рис. 4.25 обе компоненты скорости меняются от их нулевых значений на поверхности цилиндра (r = 1) до своих предельных значений на бесконечности. Скорость этого изменения определяется величиной параметра N. Чем больше его значение, тем быстрее поток достигает своего однородного состояния после прохождения препятствия. Эти процессы сопровождаются резким изменением скорости микровращений ю2 (r). Она стремительно возрастает по абсолютной величине, когда поток

приближается к поверхности цилиндра. Скорость этого роста зависит от N и L, более того, lim (1) = -да. Компоненты линейной скорости стремятся к

N^0

нулевым значениям при любых r в этом предельном случае, соответствующем ньютоновской жидкости, т. е. демонстрируют известное парадоксальное поведение.

u

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

v

0

10

0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -1.2 r -1.4

а)

б)

w

10

0 -10 -20 -30 -40 -50

в)

Рис. 4.25. Профили радиальной компоненты (а), тангенциальной компоненты

(б) линейной скорости и скорости микровращений (с) при различных значениях Ы: 0.99 - линии из точек, 0.5 - пунктирные линии, 0.1 - сплошные

линии; 2 = 0.5.

С механической точки зрения, когда частицы жидкости приближаются к препятствию, где их линейная скорость должна исчезнуть, кинетическая

2

4

6

8

энергия должна быть передана в иную механическую степень свободы или в тепло. В изотермических течениях единственный получатель кинетической энергии поступательного движения - это вращательное движение элементов жидкости. Большие значения вихревой вязкости к (высокие значения параметра Ы) играют роль хорошего передатчика момента количества движения и делают процесс передачи энергии эффективным. Однако скорость микровращений при этом не будет высока. Чем ниже коэффициент вихревой вязкости (чем меньше значение Ы), тем быстрее будет микровращение.

Рассмотрим теперь на поверхности цилиндра комбинацию условия непроницаемости щ (1) = 0 и проскальзывания тангенциальной компоненты скорости (1)б1п 0 = Лг02(1,0) . Первое из них дает соотношение между константами С и Е:

г

С + ЕМеу

N

\

= -1.

ч 2Ь у

тогда тангенциальная скорость на поверхности цилиндра принимает вид:

у2(1) = -2 - 4 ЕКо

{N1

ч Ь у

г

= -2

1 + 2 ЕКп

N

ч Ь УУ

Подставляя выражения для и2 (1), у2 (1), ю2 (1) в ¿г02 (1,0) и учитывая полученное соотношение между константами С и Е, получим

^2(1,0) = 4(1 - N2)

1 + 2 ЕКп

Ч Ь уу

бШ 0.

Таким образом, в микрополярной жидкости касательные напряжения на поверхности цилиндра прямо пропорциональны тангенциальной компоненте скорости, если выполнено условие непротекания. Коэффициент пропорциональности зависит от вязких свойств жидкости. Поэтому условие проскальзывания на поверхности цилиндра в потоке микрополярной жидкости выполняется автоматически для любого значения длины проскальзывания Л:

Л^е2 (1,0) - v2 (1) sin e = (4(1 - Ж2 )Л + 2)

1 + 2 EKn

'nлЛ

v l j j

sine =

= (2(N2 - 1)Л-1)v2(1)sin0

и дает то же выражение для константы Е, что и условие прилипания V2(1) = 0.

Итак, проскальзывание на твердой поверхности, искусственно введенное для ньютоновской жидкости, есть внутреннее свойство микрополярной жидкости. А для внешнего наблюдателя при этом на поверхности происходит прилипание.

Можно заметить, что прямая пропорциональность имеет место также и между нормальным напряжением t и радиальной компонентой скорости, нормальной к поверхности цилиндра. Если выполнено условие непротекания щ (1) = 0, то используя решение задачи и полученное соотношение между С и Е, имеем

Кг 2(1,0) = (- р(1)+2щ2(1)) cos е =

-4С + 4 Е

2 K

v L у

Meij

^ N Л

v 2 L j

cos е = о.

Аналогично, моментные напряжения на поверхности цилиндра

mrz 2(1,0) = L2w2(1)sin е = - Е

K

Г N Л +K2 Г N Л

v L , 2 v L ,

всегда

®2(1)

прямо

пропорциональны

скорости

sin е

микровращений

—к,

NL 1

v L j

коэффициент этой пропорциональности равен

mrz2(1, е) _ NL

щ (1)sin е

к

v L J

+K

N

v L J

K

N

v L J

Это означает, что

проскальзывание микровращений нельзя ставить искусственно. Оно присутствует на твердой поверхности цилиндра в микрополярном потоке, и коэффициент проскальзывания зависит от свойств жидкости. К примеру, для

характерных значений параметров микрополярной жидкости N = 0.5, Ь = 0.2 этот коэффициент имеет порядок -0.1.

В заключение отметим, что несмотря на то, что проблема введения искусственного проскальзывания на твердой поверхности в микрополярной жидкости не возникает, это не означает, что природа ее взаимодействия с твердой поверхностью абсолютно ясна. Резкое возрастание скорости микровращений означает, что какие-то процессы не были учтены в модели. В этом контексте рассмотрение модели микроморфных жидкостей может быть продуктивным: способность частиц жидкости испытывать деформации может продемонстрировать пути передачи энергии потока, приближающегося к твердой непроницаемой стенке.

И последнее замечание касается использования бесконечной области течения в постановке задачи. Разумеется, все практические применения теории имеют дело с очень ограниченными областями, и краевые задачи обтекания ставятся для них обычно корректно. Тем не менее, парадокс Стокса наглядно показывает непонимание механизма взаимодействия жидкости с твердой стенкой и демонстрирует пробелы в моделировании жидкой среды. Поэтому полученное решение идеализированной задачи предназначено для лучшего понимания природы микрополярной жидкости и дальнейшего усовершенствования математических моделей.

Результаты, представленные в Главе 4, опубликованы в работах [4448].

ВЫВОДЫ ГЛАВЫ 4

1. Рассмотрена классическая задача обтекания бесконечного цилиндра ньютоновской и микрополярной жидкостями. Показано, что в случае пористого цилиндра парадокс Стокса в обоих случаях отсутствует.

2. Рассмотрено влияние граничных условий, выставляемых на поверхности пористого цилиндра, на картину течения в бесконечном однородном потоке. Показано, что краевые задачи, отличающиеся даже одним граничным условием, могут моделировать обтекание пористых препятствий разной природы.

3. Решены задачи фильтрации микрополярной жидкости в волокнистых мембранах в рамках ячеечного подхода. Рассмотрены композитные цилиндрические ячейки различной ориентации к потоку. Получены точные аналитические выражения для гидродинамической проницаемости мембраны и исследованы их зависимости от всех параметров жидкости и ячейки. Проведено сравнение с экспериментальными данными.

4. Рассмотрена задача обтекания непроницаемого цилиндра микрополярным потоком. Выявлен механический смысл условий проскальзывания на твердой поверхности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛАВЕ 4

1. Keller J.B. Viscous flow through a grating of lattice of cylinders // J. Fluid Mech. 1964. V.18. N1. P.94-96.

2. Hasimoto H. On the periodic fundamental solutions of the Stokes flow equations and application to viscous flow past a cubic array of spheres // J. Fluid Mech. 1959. V.5. N2. P.317-328.

3. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса // М.: Мир, 1976.

4. Кирш В.А. Фильтрация субмикронных аэрозолей волокнистыми фильтрами // Дисс. д.ф.-м.н. М. 2012, 300с.

5. Happel J. Viscous flow in multiparticle system: Slow motion of fluids relative to beds of spherical particles // A. I. Ch. E. J. 1958, 4(2), P.197-201.

6. Happel J. Viscous flow relative to arrays of cylinders // A.I.Ch. E. J. 1959, 5(2), P. 174-177.

7. Kuwabara S. The forces experienced by randomly distributed parallel circular cylinders or spheres in a viscous flow at small Reynolds numbers // J. Phys. Soc. Japan 1959, 14, P. 527-532.

8. Mehta G.D., and Morse T.F. Flow through charged membranes // J. Chem. Phys. 1975, 63(5), P. 1878-1889.

9. Cunningham E. On the velocity of steady fall of spherical particles through fluid medium // Proc. R. Soc. London. 1910, A83, P. 357-365.

10.Kvashnin A.G. Cell model of suspension of spherical particles // Fluid Dynamics 1979, 14, P. 598-602.

11.Стечкина И.Б. Сопротивление пористых цилиндров в потоке вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса // Изв. АН СССР, МЖГ. 1979. №6. С.122-124.

12.Perepelkin P.V., Starov V.M., Filippov A.N. Permeability of a suspension of porous particles. Cellular model // Kolloidn. Zh. - Colloid J. 1992, 54(2), P. 139145.

13.Васин С.И., Старов В.М., Филиппов А.Н. Гидродинамическая проницаемость мембраны как совокупности пористых частиц (ячеечная модель) // Коллоид. журн. 1996. Т. 58. №3. С. 307 - 311.

14.Васин С.И., Старов В.М., Филиппов А.Н. Движение в жидкости твердой сферической частицы покрытой пористым слоем // Коллоид. журн. 1996. Т. 58. №3. С. 298 - 306.

15.Васин С.И., Филиппов А.Н. Гидродинамическая проницаемость мембраны как совокупности жестких частиц, покрытых пористым слоем (ячеечная модель) // Коллоид. журн. 2004. Т. 66. №3. C. 305 - 309.

16.Filippov A.N., Vasin S.I., Starov V.M. Mathematical Modeling of the Hydrodynamic Permeability of a Membrane Built up from Porous Particles with a Permeable Shell // Colloids and Surfaces A: Physicochem. Eng. Aspects 2006, 282-283 C, P. 272-278.

17.Vasin S.I., Filippov A.N., Starov V.M. Hydrodynamic permeability of membranes built up by porous shells: cell models // Adv. Coll. Interface Sci. 2008, 139, P. 83-96.

18.Васин С.И., Филиппов А.Н. Ячеечные модели течений в концентрированных средах, состоящих из жестких непроницаемых цилиндров, покрытых пористым слоем // Колоид. журн. 2009. Т.71. №2. С. 149 - 163.

19.Васин С.И., Филиппов А.Н. Проницаемость сложнопористых сред // Коллоид. журн. 2009. Т. 71. №1. С. 32 - 46.

20.Deo S., Filippov A.N., Tiwari A., Vasin S.I. and Starov V.M. Hydrodynamic permeability of aggregates of porous particles with an impermeable core // Adv. Coll. Interface Sci. 2011, 164(1), P. 21-37.

21.Yadav P.K., Tiwari A., Deo S., Filippov A.N., and Vasin S.I. Hydrodynamic permeability of membranes built up by spherical particles covered by porous shells: effect of stress jump condition // Acta Mechanica 2010, 215, P. 193-209.

22.Ochoa-Tapia J.A., and Whitaker S. Momentum transfer at the boundary between

a porous medium and a homogeneous fluid - I. Theoretical development // Int. J.

202

Heat Mass transfer, 1995, 38, P. 2635-2646.

23.Ochoa-Tapia J.A., and Whitaker S. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid - II. Comparison with experiment // Int. J. Heat Mass transfer 1995, 38, P. 2647-2655.

24.Васин С.И., Шерышева Е.Е., Филиппов А.Н. Проницаемость среды, образованной цилиндрическими волокнами с фрактальным пористым адслоем // Коллоид. журн. 2011. Т. 73. № 2. С. 164 - 172.

25.Tiwari A., Yadav P.K. and Singh Priyanka. Stokes flow through assemblage of non-homogeneous porous cylindrical particles using cell model technique // NASI Letters 2018 41(1) P. 53-57.

26.Filippov A. and Koroleva Yu. On a hydrodynamic permeability of a system of coaxial partly porous cylinders with superhydrophobic surfaces // Applied Mathematics and Computation 2018, 338, P. 363-375.

27.Васин С.И. Моделирование фильтрационных процессов коллоидных дисперсий в композитных пористых средах // Дисс. д.ф.-м.н. М. 2012, 290с.

28.Кирш А.А., Двухименный В.А. Исследование осаждения частиц в модельном фильтре в процессе накопления осадка // Теор. Осн. Хим. Тех. 1982. Т.26. №5. С.711-714.

29.Ramkissoon H. and Devanthan R. On a linear steady-state system of equations in microcontinuum fluid mechanics // Int. J. Eng. Sci., 1980, vol. 18, p. 947-956.

30.Ханукаева Д.Ю., Филиппов А.Н. Изотермические течения микрополярных жидкостей: постановка задач и аналитические решения // Коллоидный журнал, 2018, т.80, №1, с.17-40.

31.Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories: II. Fluent Media // Berlin: Springer, 2001.

32.Kamel M.T., Roach D., Hamdan M.H.: On the micropolar fluid flow through porous media, In: Mathematical Methods, System Theory and Control, Proceedings of the 11th MAMECTIS '09, ISBN 978-960-474-094-9, 190-197, WSEAS Press (2009).

33.Sherief H.H., Faltas M.S., Ashmawy E.A., and Abdel-Hameid A.M. Parallel and perpendicular flows of a micropolar fluid between slip cylinder and coaxial fictitious cylindrical shell in cell models // Eur. Phys. J. Plus. 2014. V. 129. P. 217.

34.Saffman P.G. On the boundary condition at the surface of a porous medium // Studies in Appl. Math. 1971. V.50. N2. P.93-101.

35.Kirsh A.A., Stechkina I.B., Fuchs N.A. Effect of gas slip on the pressure drop in a system of parallel cylinders // J. Coll. Int. Sci. 1971. V.37. N2. P.458-461.

36.Кирш А.А., Стечкина И.Б., Фукс Н.А. Влияние скольжения газа на сопротивление волокнистых фильтров // Колл.Журн. 1973. Т.35. №1. С.34-39.

37.Кирш В. А., Будыка А.К., Кирш А.А. Моделирование нановолокнистых фильтров, получаемых методом электроспиннинга. 1 - Перепад давления и осаждение наночастиц // Колл. Журн. 2008. Т.70. №5. С.620-629.

38.Кирш В. А., Будыка А.К., Кирш А.А. Моделирование нановолокнистых фильтров, получаемых методом электроспиннинга. 2 - Влияние скольжения газа на перепад давления // Колл. Журн. 2008. Т.70. №5. С.630-634.

39.Koplik J., Levine H. Viscosity renormalization in the Brinkman equation // Phys. Fluids. 1983. V.26. N10. P.2864-2870.

40.Saad E.I. Cell models for micropolar flow past a viscous fluid sphere // Meccanica. 2012. V. 47. P. 2055-2068.

41.Haj Ibrahim S., Skibinski J., Oliver G.J., Wejrzanowski T. Microstructure effect on the permeability of the tape-cast open-porous materials // Materials and Design 2019, 167, 107639.

42.Wei Q., Li J., Qian B., Fang B., Zhao C. Preparation, characterization and application of functional polyethersulfone membranes blended with poly (acrylic acid) gels // J. Membr. Sci. 2009, 337. P. 266-273.

43.Neto C., Evans D.R., Bonaccurso E., Butt H.-J., Craig V.S.J. Boundary slip in Newtonian liquids: A review of experimental studies // Rep. Progr. Phys. 2005. V. 68. P. 2859.

44.Khanukaeva D.Yu., Filippov A.N., Yadav P.K., Tiwari A. Creeping flow of micropolar fluid parallel to the axis of cylindrical cells with porous layer // European Journal of Mechanics / B Fluids 76 (2019) 73-80.

45.Khanukaeva D. Yu. and Deo S. On the Stokes Paradox in a Micropolar Liquid // Colloid Journal. 2019. V. 81. N4. P.395-400.

46.Khanukaeva D.Yu., Filippov A.N., Yadav P.K., Tiwari A. Creeping flow of micropolar fluid through a swarm of cylindrical cells with porous layer (membrane) // Journal of Molecular Liquids 294 (2019) 111558

47.Khanukaeva Daria Yu., Ostrer Leonid A. On the boundary conditions in the Stokesian flows // Theor. Comput. Fluid Dyn. 2021 35(1):1-14.

48.Maurya Deepak K., Deo Satya, Khanukaeva Daria Yu. Analysis of Stokes flow of micropolar fluid through a porous cylinder // Mathematical Methods in the Applied Sciences 2021, 44(5) 10.1002/mma.7214

Глава 5. ОБТЕКАНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ. ФИЛЬТРАЦИЯ В ГЛОБУЛЯРНЫХ МЕМБРАНАХ

Глобулярные мембраны распространены ничуть не меньше, чем волокнистые. Их внутреннее строение напоминает упаковку сферических элементов - глобул. Ячеечные модели мембран, обсуждавшиеся в Главе 4, прекрасно развиты и для ячеек сферической формы. Как правило, достижения в моделировании течений для цилиндрической геометрии легко распространяются на сферическую. Результаты по ячеечному моделированию как для цилиндрической, так и для сферической геометрии собраны и обобщены в диссертации С.И.Васина [1]. Ячеечные модели для микрополярных течений разрабатывались в работах [2-8].

В данной главе рассматривается сопряженное течение микрополярной жидкости в композитной ячейке сферической формы, моделирующей глобулу мембраны. Полученное аналитическое решение позволяет вычислить явно гидродинамическую проницаемость мембраны и сравнивать результаты для различных постановок краевых задач. Однако, выражение для гидродинамической проницаемости столь громоздко, что выписать его не представляется возможным. Для удобства применения данного результата в инженерной практике будет получена простая аппроксимация гидродинамической проницаемости мембраны как функции ее геометрических характеристик и параметров фильтрата, как ньютоновского, так и микрополярного.

Стоит отметить, что парадокс Стокса, который имел место при

обтекании бесконечного цилиндра, при обтекании сферы не возникает.

Поэтому задача обтекания уединенной сферы решалась многими авторами в

самых различных постановках. Она имеет колоссальное теоретическое и

прикладное значение. В частности, в данной главе будет получено выражение

для главного момента и для силы сопротивления сферической частицы в

206

микрополярном потоке, которые в дальнейшем фигурируют в уравнениях фильтрации.

5.1. ОБТЕКАНИЕ ТВЕРДОЙ СФЕРЫ МИКРОПОЛЯРНОИ ЖИДКОСТЬЮ Рассмотрим медленный однородный поток микрополярной жидкости,

который обтекает шар радиуса R . Скорость потока на бесконечности будем

обозначать по-прежнему через U. Пусть ось 0 = 0 сферической системы

координат (г, 0, ф) совпадает с направлением вектора U

(0 < 0 < тс, 0 < ф < 2к). Искомыми величинами являются линейная скорость

v = {M(r,9);v(r,e); 0}, угловая скорость ш = {0; 0; ю(г,9)} и давление

j?(r,6). Все искомые величины ограничены, течение однородное, т. е. на

бесконечности имеем й(г, 0) = U cos 0, v(r, 0) = —Usin 0, соответственно.

Система уравнений в форме Новацкого, определяющая стационарное медленное движение микрополярной жидкости в отсутствие внешних сил и моментов, имеет вид

V • у = 0,

0 = -Vp + (Д + ic)Áv + 2icV х w, 0 = (а + 5 - с,) VV • ш + (5 + с;)Аш + 2icV х у - 4кш.

Сферическая симметрия задачи дает V-co = 0, что позволяет получить ее общее решение в аналитическом виде. Введем обозначение w = rotv, что дает

V • у = 0,

-(^ + k)Vxw + 2kVx® = Vp, (5.1)

-(8 + c,)V х V х ш + 2icw - 4кш = 0.

Определим безразмерные переменные следующим образом

г ü V „ R „ R _ R2 г = —, 11 = —, V = —, со = со—, р = p-^z, ор = р~

R U U U Щ Щ

Тогда второе уравнение системы (5.1) примет вид

207

i а

— Vxw + 2Vxo = -^Vp:

N к

где использовано прежнее обозначение N числа микрополярности.

Оператор ротор, примененный к обеим частям этого уравнения, дает

VxVx (w - 2 N 2ю) = 0.

(5.2)

Далее записываем уравнение (5.2) в координатной форме и решаем методом разделения переменных. Для третьей координаты вектора w — 2N2w получим 2 B

w — 2N ю = (Ar + —-)sin 6, где А и В - произвольные постоянные. В силу

r

симметрии задачи решение для ю(г, 6) будем искать в виде

(г B Л

ю(г, 6) = f(r)sin 6, тогда w = 2N f(r) + Ar + — sin 6. С учетом этого

l r J

выражения безразмерная координатная форма уравнения моментов импульсов системы (5.1) примет вид:

Г * Л 1 К W к

L2

Г f

У"" I О J Ю _ о J ю

Joo +2 2 2

r r J

2psin0 Д

Л= о..

что представляет собой неоднородное уравнение Бесселя. Его общее решение:

f (r) =

Ar

+ ■

1 B +cLJrN/L) + D Km(rN / L)

2(1 -Ы2) ' 2(1 -Ы2) г2 4г '

где /3/2 (гЫ / Ь) К3/2 (гЫ / Ь) - функции Бесселя и Макдональда с произвольными постоянными С и В. Накладывая условие ограниченности на / (г) при г ^да, получаем

ю(г, 6) =

1 B i DKy2(rN/L)

2(1 -Ы2) г2 ' ,

Тогда третья координата ротора скорости w запишется как

sin 6.

w = fw (r )sin 6 =

1 B + 2 N2 üK^2(rN / L>'

2 „2

1 — N r

-Jr

sin 6 .

Принимая во внимание симметрию задачи и условия на бесконечности, компоненты линейной скорости будем искать в виде u(r, 6) = f (r)cos 6, v(r, 6) = f (r) sin 6. В этом случае безразмерный координатный вид уравнения неразрывности и ротора скорости образуют систему для нахождения функций f (r), f (r):

f' + 2 fu + f = 0,

r

fl fu + fv J v

1 5 „ лт2тл KV2 (rN / Z) + 2N D-3/2v 7

r 1 -N2 r2 ' sir '

Она легко решается, после чего выражение для давления находится из 9 -

1 B

проекции второго уравнения системы (5.1): p (r, 9)

■ cos 9

1 - N г2

В размерном виде при условии однородности потока на бесконечности

решение запишется как ü(fß) = Ü

1 г3 2 г 4 (г/Rf2

v(r, в) = и

V

С, 1\ С0 R „ С, 1 1 н--—

cos 9.

у

с

2 Г 2 г

К

3/2

f т_л

УМ;

К,

rN

(r/R)

3/2

l 4i7I

sin 9.

w(r,9) =

U_ R

C2R2 C4 K3/2(rN/(RL))

2 r2 4L2

4i7I

sin 9.

a

p(rß) = \xUR-^cosQ

г

где по-другому введены произвольные постоянные С, С, С •

Обратимся к вычислению силы сопротивления и крутящего момента, которые испытывает шар. Вплоть до конца раздела 5.1 будем снова работать с размерными величинами, но знак тильда исключим во избежание

загромождения выкладок. Интегрирование соответствующих силовых и моментных напряжений по поверхности сферы дает проекцию на направление набегающего потока силы сопротивления и момент, соответственно,

ж

F = J(trr\r=R cos0-trQl=R sin0)2жЯ2 sin0d0, (5.3)

о

2ж ж

m = Цеф тгф| R2 sin 0d 0 d ф,

0 0

Cu cV 1 (Cu ^

гДе trr =-P + , tr0= + + (Ц-КЬ —-V - ,

cr cr r )

Сю , ю —+ fe-8)-

or r

Нетрудно видеть, что интеграл, выражающий М, равен нулю. Это объясняется тем, что компоненты тензора моментных напряжений и, в частности, m не зависят от ф, а вектор е коллинеарен экваториальной

плоскости сферической системы координат, поэтому интегрирование его по ф даст нуль. Причем результат этот получается независимо от значений констант C, значит, граничные условия на поверхности сферы на него не влияют. Конечно, этот вывод можно было предвидеть из соображений симметрии задачи. Иная ситуация с силой сопротивления.

Известная в классической гидродинамике формула Стокса была получена при условиях прилипания на поверхности сферы. Ее аналог в микрополярной жидкости вычисляется по формуле (5.3). Для этого сначала находится частное решение задачи обтекания при условиях u(R, 0) = v(R, 0) = q(R, 0) = 0 и вычисляются соответствующие компоненты

тензора напряжений на поверхности сферы. Результат расчетов можно представить в виде:

К = 6 кПЯЦ

1 +

к

Ц

1 + 2 Я.

|к(ц + к)

ц(5 + <)

В несколько иной форме и обозначениях эта формула была получена в работе [9]. Однако при ее анализе и сопоставлении с формулой Стокса для ньютоновской жидкости была допущена неточность: авторы не учитывали различие в определениях динамической вязкости полярной и неполярной жидкости. В работе [10] получено обобщение выражения для силы сопротивления на случай нестационарного обтекания. Анализ результата проведен для четырех различных зависимостей скорости набегающего потока от времени: для затухающих и не затухающих колебаний, постоянного и скачкообразного ускорения.

Вычислим силу сопротивления шара при условии проскальзывания Навье на его поверхности, которое запишем через длину проскальзывания Л: ц Я, 0) = Л ¿г0| Условие непротекания и отсутствия микровращений

оставим неизменными: и(Я, 0) = ю(Я, 0) = 0. В результате получим

К = 6%ОЯц

1

к Л ц Я

1 + 2 Я

V

к(ц + к) к

ц(5 + <) ц

1 + 2Я. ГЦ + к) + 3 Л

1 + 2 Я.

к(ц + к) к

ц(5 + <) 3ц

/у

ц(5 + <)

Аналогичный результат представлен в работе [11].

В ряде работ по течениям микрополярной жидкости наряду с условиями и(Я, 0) = ш(Я, 0) = 0 используется граничное условие = п го1;у|^, где п -

некий произвольный коэффициент. Сопротивление шара при таких граничных

условиях получено и проанализировано в работе Хоффмана и соавт. [12]. Тем

не менее, практическое применение полученного выражения затруднено

ввиду отсутствия информации о значениях коэффициента п.

211

m

Гф

Можно рассмотреть полное проскальзывание угловой скорости = 0 и прилипание линейной ы(Я, Э) = Э) = 0. Проекция силы

г =Я

сопротивления в этом случае примет вид

F = 6 nURp

1 +_1

(35 + <;)(р + к) + R (35 + q) р(р + к) | R- p

j

4к5 2 5 у к(5 + с;) 5

Наконец, условия конечного проскальзывания и линейной и угловой скорости также могут иметь место, причем, одновременно. Выражения для силы сопротивления можно получить и в этом случае, однако, они достаточно громоздкие, и здесь не приводятся.

Рассмотрим ряд предельных случаев. При Л ^ 0 ^ ^ ^, а при к ^ 0 получается что три полученные формулы дают соответствующие классические значения силы сопротивления, а именно,

f л \

lim F = 6nURp

к^0

1 Л

R + 3Л

V R+злу

lim F = lim F = lim F = 6nURp.

к^0 к^0 к^0

Л^0

Полное проскальзывание тангенциальной составляющей линейной скорости эквивалентно нулевому касательному напряжению на поверхности шара. Сама компонента скорости при этом конечна, а математически это формализуется как Л ^ да. Предельный переход в F при к ^ 0 дает известный в классической гидродинамике результат

2

lim F = 6nURp • - = 4nURp;

к^0 3

Л^-да

а при к Ф 0 имеем несколько большую силу, чем в ньютоновской жидкости при прочих равных условиях, как и должно быть:

= 4 nURp

1 +

2 к

3 p

1 + 2 R +к

+ Зр

Для понимания специфики фильтрации микрополярной жидкости полезно получить предельные выражения сил сопротивления для шаров бесконечно малого радиуса Я. При условии полного прилипания получаем

F

R^-Q

бтг UR\i

Г л

1+к

v

Р

Это означает, что в микрополярной жидкости силу

J

сопротивления можно вычислять при помощи формулы типа Стокса, в которой вместо динамической вязкости р следует использовать ее сумму с вихревой вязкостью к.

При наличии конечного ненулевого проскальзывания имеем,

1 -к

_Р

3 + — Р.

1 + к

= 4%URp-^.

к

1

3p

Заметим, что длина проскальзывания Л в полученном выражении отсутствует, как и при бесконечном проскальзывании. Тем не менее, FK

совпадет с F^ только в том случае, если в последнем положить R = Q.