Методы, алгоритмы и комплекс программ аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Соловьева, Яна Владимировна

• Соловьева, Яна Владимировна
• кандидат технических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат технических наук Соловьева, Яна Владимировна

Введение.

1 Обзор существующих методов и средств построения ортогональных моделей корреляционно-спектральных функций.

1.1 Обзор областей приложения функций Бесселя.

1.1.1 Математическая физика и прикладная математика.

1.1.2 Оптика.

1.1.3 Обработка сигналов.

1.2 Общие положения методики проведения аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональных базисах.

1.3 Обзор теории ортогональных многочленов и направлений её развития.

1.4 Обзор существующих математических систем обработки и анализа данных.

Выводы и результаты.

2 Исследование свойств ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях.

2.1 Свойства цилиндрических функций Бесселя 1-го рода.

2.2 Описание свойств ортогональных функций Бесселя во временной области

2.3 Описание свойств ортогональных функций Бесселя в частотной области

2.3.1 Преобразование Фурье ортогональных функций Бесселя.

2.3.2 Преобразование Фурье ортогональных фильтров Бесселя.

Выводы и результаты.

3 Построение моделей корреляционно-спектральных характеристик в ортогональном базисе Бесселя с аппроксимативным подходом.

3.1 Построение ортогональных моделей КФ.

3.2 Оценка спектра КФ по параметрам модели КФ.

3.3 Построение ортогональной модели СПМ.

3.4 Оценка обобщенных корреляционно-спектральных характеристик.

3.5 Сравнительный анализ результатов построения ортогональных моделей при применении различных подходов к оценке корреляционно-спектральных характеристик в различных ортогональных базисах.

Выводы и результаты.

4 Анализ погрешностей аппроксимации корреляционно-спектральных функций ортогональными функциями Бесселя.

4.1 Погрешность оценки коэффициентов разложения ортогональных моделей корреляционной функции в базисе Бесселя.

4.2 Погрешность аппроксимации корреляционных функций ортогональными функциями Бесселя.

4.3 Погрешность оценки спектра по параметрам модели КФ.

4.4 Погрешность оценки корреляционно-спектральных характеристик.

Выводы и результаты.

5 Комплекс программ аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа случайных процессов в ортогональном базисе Бесселя.

5.1 Описание комплекса программ.

5.2 Структурная схема комплекса программ.

Выводы и результаты.85 •

6 Применение комплекса программ аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя при обработке данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей

6.1 Описание предметной области.

6.2 Особенности реализации этапов методики оценки корреляционно-спектральных характеристик параметров камеры сгорания.

6.2.1 Этап 1.

6.2.2 Этап 2.

6.2.3 Этап 3.

6.2.4 Этап 4.

6.3 Особенности применения предлагаемой методики для анализа КС.

6.3.1 Двухзонная КС с выносными жаровыми трубами (вариант Г).

6.3.2 Двухзонная кольцевая КС (вариант В).

6.3.3 Малоэмиссионная КС (вариант Д).

Выводы и результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы, алгоритмы и комплекс программ аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя»

При проведении различных исследований технических объектов нередко приходится сталкиваться с необходимостью обработки больших массивов экспериментальных данных, имеющих случайный характер. При этом для исследования поведения объекта во временной и частотной областях ставится задача проведения корреляционно-спектрального анализа.

Построение моделей корреляционных функций (КФ) и спектральных плотностей мощности (СПМ) нередко осуществляется с использованием аппроксимативного подхода при помощи ортогональных базисов. Данный вопрос рассматривался такими учёными, как Р.Г. Бэттин, Д.Г. Лампард, Дж. X. Лэннинг, В.И. Батищев, И.И. Волков, Е.Д. Горбацевич, Ф.Ф. Дедус, Г.Я. Мирский, С.А. Прохоров, А.Ф. Романенко, Г.А. Сергеев, П.М. Чеголин, Э.И. Цветков и другие [4,5,18,23,24,25,39,40,41,45,63,64,70,71,72,81].

Одной из важных и сложных задач, от правильного решения которой будет зависеть точность полученных результатов при применении метода ортогональных разложений, является выбор ортогонального базиса. В настоящее время при построении ортогональных моделей функциональных характеристик используются, как правило, ортогональные многочлены Лагерра, Лежандра, Якоби, Дирихле. Это связано с тем, что они хорошо изучены и имеют явное аналитическое представление.

В данной работе предложено решение задачи построения моделей корреляционно-спектральных характеристик с использованием ортогональных функций Бесселя первого рода нулевого порядка в качестве системы базисных функций.

Идея применения данных функций в качестве ортогонального базиса при решении задач аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа случайных процессов возникла в связи с широким применением функций Бесселя в различных областях математической физики, прикладной математики, оптики и обработки сигналов, что обусловлено рядом свойств, которыми они обладают, в том числе способностью точно приближать различные функциональные зависимости, и, в особенности, затухающие колебательные процессы.

Во многих случаях приближение исходных функций целесообразнее проводить с использованием ортогональных функций, что позволяет обеспечить требуемую точность аппроксимации меньшим числом членов разложения ряда.

При этом возникла необходимость исследования свойств и особенностей ортогонального базиса Бесселя, получения характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях, разработки алгоритмов Построения моделей корреляционно-спектральных характеристик в ортогональном базисе Бесселя. К моменту начала проведения исследований по данному вопросу перечисленные задачи не были решены и рассмотрены в литературе.

В ходе проведения исследований выяснилось, что ортогональные функции Бесселя имеют выгодные аппроксимативные возможности по сравнению с ранее изученными системами базисных функций, а их применение в качестве базисных функций дает возможность повысить точность построения ортогональных моделей корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

Разработанные алгоритмы корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя были положены в основу комплекса программ, с помощью которого проводилось исследование их работы путем использования методов имитационного моделирования.

Данная работа позволила автору работы стать победителем областного конкурса «Молодой ученый» в номинации «Студент» в 2009 году.

Объектом исследования в диссертационной работе являются ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов в базисе Бесселя.

Предметом исследования в диссертационной работе является методика и алгоритмы построения моделей корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов в ортогональном базисе Бесселя.

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов и комплекса программ для проведения аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа стационарных случайных процессов в ортогональном базисе Бесселя, позволяющих развить метод аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа и повысить точность оценки корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

Методы исследования. В работе использованы методы, основанные на положениях теории ортогональных многочленов, теории случайных процессов, теории функций комплексной переменной, численных методах и методах интегрального представления.

Задачи диссертационной работы:

1. Сравнительный анализ современных методов и средств оценки корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов методом ортогональных разложений, а также инструментальных средств обработки и анализа данных.

2. Получение выражений для определения характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях, проведение сравнительного анализа с другими ортогональными базисами с целью выявления аппроксимативных возможностей базиса Бесселя.

3. Разработка методики и алгоритмов корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя с целью развития метода аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа и повышения точности оценки корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

4. Разработка комплекса программ для оценки корреляционно-спектральных характеристик с помощью аппроксимативного подхода в базисе Бесселя.

5. Проведение анализа погрешностей аппроксимации корреляционно-спектральных функций ортогональными функциями Бесселя и проведение имитационного моделирования с целью проверки адекватности разработанных алгоритмов.

6. Апробация разработанных алгоритмов и комплекса программ на реальных данных.

Научная новизна работы:

1. Получены выражения для определения характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях, необходимые для построения ортогональных моделей корреляционно-спектральных характеристик.

2. Предложены алгоритмы корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя, позволяющие развить метод аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа и повысить точность оценки корреляционно-спектральных характеристик стационарных случайных процессов.

3. Предложена методика определения параметров ортогональных моделей корреляционно-спектральных характеристик в ортогональном базисе Бесселя.

4. Предложена методика обработки данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей с использованием разработанных алгоритмов и комплекса программ.

Практическая значимость работы:

1. Разработан комплекс программ для оценки корреляционно-спектральных характеристик с помощью аппроксимативного подхода в базисе Бесселя.

2. Разработанные алгоритмы и комплекс программ использованы при обработке данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей и необходимы для анализа экспериментальных испытаний новых вариантов камер сгорания и оценки качества серийных изделий.

На защиту выносятся:

1. Выражения для определения характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях.

2. Алгоритмы и методика построения моделей корреляционно-спектральных характеристик в ортогональном базисе Бесселя.

3. Комплекс программ для оценки корреляционно-спектральных характеристик с помощью аппроксимативного подхода в базисе Бесселя.

4. Методика и результаты обработки данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей с использованием разработанных алгоритмов аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя и разработанного комплекса программ.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы в ОАО «Кузнецов» при обработке данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей, а также в учебном процессе при подготовке специалистов по специальности 230102 -«Автоматизированные системы обработки информации и управления» в ФГБОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)», ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет».

Результаты внедрения подтверждены соответствующими актами.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись на Всероссийской межвузовской научно-практической конференции «Компьютерные технологии в науке, практике и образовании», Самара (2008); Международной научно-технической конференции «Проблемы автоматизации и управления в технических системах», Пенза (2009); Международной научно- технической конференции «Радиотехника и связь», Саратов (2009); Всероссийской студенческой олимпиаде «Конкурс компьютерных программ», Вологда (2009); Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара (2009); Российской школы-семинара аспирантов, студентов и молодых ученых «Информатика, моделирование, автоматизация проектирования (ИМАП-2009)», Ульяновск (2009); Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «X Королевские чтения», Самара (2009); Международной научно-практической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза (2009); Международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса (ПИТ- 2010)», Самара (2010).

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 18 работах, из них: 3 публикации в журналах, рекомендованных ВАК, 10 работ в материалах и трудах Международных и Всероссийских конференций, 4 тезиса доклада, 1 свидетельство о регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и одного приложения. Общий объем диссертации 116 страниц. Диссертация содержит 21 таблицу, 48 рисунков и список литературы из 88 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Соловьева, Яна Владимировна

Выводы и результаты

С помощью разработанных алгоритмов построения моделей корреляционно-спектральных характеристик в ортогональном базисе Бесселя и разработанного комплекса программ были решены задачи обработки данных измерения полей температур контуров камеры сгорания газотурбинных двигателей и сделаны следующие выводы:

1. Использование АКФ, ВКФ, СПМ для анализа испытаний трёх вариантов КС (В, Г, Д) показало наличие связи между количеством горелок, головок и характеристиками температурного поля. Проявляется и качество отстройки горелок (карбюраторов) КС.

2. ВКФ и коэффициенты корреляции отражают уровень коррелированности процессов в КС и характеризуют степень смешения потоков [60].

3. СПМ характеризует уровень качества настройки головок, карбюраторов и одновременно оценивает степень влияния конструкции на окружную и радиальную неравномерность поля температур.

4. Наилучшими характеристиками по а, АКФ, ВКФ, спектру обладает вариант Д.

5. Дальнейшее повышение качества характеристик температурного поля по лучшему смешению потоков, уменьшению разброса (а), отсутствию пиков на спектре частот видится в увеличении числа горелок и тщательной отстройке горелок (форсунок) по характеристикам.

6. Предложенная методика обработки данных измерения полей температур контуров камеры сгорания газотурбинных двигателей значительно расширяет возможности анализа экспериментальных испытаний нового варианта КС и оценки качества серийных изделий. Кроме того, появляется возможность формализовать оценки параметров КС и проводить количественные оценки вариантов конструкции и качества сборки.

Заключение

В результате выполнения диссертационной работы были решены поставленные задачи и получены следующие результаты:

1. Проведен обзор приложений функций Бесселя к различным областям математической физики, прикладной математики, оптики и обработки сигналов, рассмотрены и проанализированы основные свойства функций Бесселя 1-го рода. Показано, что данные функции способны точно приближать различные функциональные зависимости, и, в особенности, затухающие колебательные процессы, однако до настоящего момента они не применялись для оценки корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов методом ортогональных разложений.

2. Получены выражения для определения характеристик ортогональных функций Бесселя во временной и частотной областях, необходимые для построения ортогональных моделей корреляционно-спектральных характеристик.

3. Разработаны методика и алгоритмы корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя, позволяющие повысить точность построения ортогональных моделей корреляционно-спектральных характеристик.

4. Разработан комплекс программ для оценки корреляционно-спектральных характеристик в базисе Бесселя с использованием аппроксимативного подхода.

5. Проведен анализ погрешностей построения ортогональных моделей в базисе Бесселя методом имитационного моделирования с целью проверки адекватности разработанных алгоритмов.

6. Предложена методика обработки данных измерения полей температур контуров камер сгорания газотурбинных двигателей с использованием разработанных алгоритмов аппроксимативного корреляционноспектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя и разработанного комплекса программ.

7. Результаты исследований внедрены в учебный процесс при подготовке специалистов по специальности 230102 - «Автоматизированные системы обработки информации и управления» в ФГБОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)», ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет», ОАО «Кузнецов».

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Соловьева, Яна Владимировна, 2013 год

1. Автоматизированные системы аппроксимативного анализа случайных процессов/Под ред. С.А. Прохорова.- Самара: СГАУ, 2010. 26 с. http://www.ssau.ru/files/resources/sotrudniki/prohorov/prohorov autosystems.р df

2. Бабич, В.М. Линейные уравнения математической физики/В.М. Бабич, М.Б. Капилевич, С.Г. Михлин. М.: Наука, 1964. - 368 с.

3. Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы/С.И. Баскаков. Высшая школа, 2003. - 442 с.

4. Батищев, В.И. Аппроксимационные методы и системы промышленных измерений, контроля, испытаний, диагностики/В.И. Батищев, B.C. Мелентьев. -М.: Машиностроение 1, 2007. - 393 с.

5. Берёзный, А.Е. Бессель-оптика/ А.Е. Березный, A.M. Прохоров, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер// Доклады АН СССР, 1984. Том 234, вып. 4,- С. 802805.

6. Борн, М. Основы оптики/ М. Борн, Э. Вольф. -М.: Наука, 1970. 856 с.

7. Ватсон, Г.Н. Теория Бесселевых функций. Часть первая/ Г.Н. Ватсон. М.: Издательство иностранной литературы, 1949. - 800 с.

8. Ватсон, Г.Н. Теория Бесселевых функций. Часть вторая/ Г.Н. Ватсон.- М.: Издательство иностранной литературы, 1949. 220 с.

9. Витязев, В.В. Спектрально-корреляционный анализ равномерных временных рядов: Учеб. Пособие/ В.В. Витязев. Спб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001.-48 с.

10. Газетова, Я.В. Автоматизированная система аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя/ Я.В. Газетова, С.А. Прохоров// Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ от 18.08.09 г. Рег.№ 2009614347.

11. Геронимус, Я.Л. Теория ортогональных многочленов. Обзор достижений отечественной математики/ Я.Л. Геронимус. М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.-164с.

12. Гольдштейн, Л.Д. Электромагнитные поля и волны. Издание второе, переработанное и дополненное/ Л.Д. Гольдштейн, Н.В. Зернов,- М: Советское радио, 1971. 665 с.

13. Гоноровский, И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для вузов/ И.С. Гоноровский.- М.: Советское радио, 1977. 608 с.

14. Горбацевич, Е.Д. Коррелометры с аппроксимацией/Е.Д. Горбацевич.-М.: Энергия, 1971. 96 с.

15. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведе- ний/И.С. Градштейн, И.М. Рыжик.-М.: ФИЗМАЛИТ, 1963. —1100 с.

16. Гриценко, Е. А. Конвертирование авиационных ГТД в газотурбинные установки наземного применения/Е. А. Гриценко, В. П. Данильченко, С. В. Лукачев. Самара: СНЦ РАН, 2004. - 266 с.

17. Дедус, Ф.Ф. Классические ортогональные базисы в задачах аналитического описания и обработки информационных сигналов/Ф.Ф. Дедус, Л.И. Куликова, А.Н. Панкратов, Р.К. Тетуев.- Москва, 2004.- 141 с.

18. Дедус, Ф.Ф. Обобщенный спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов/ Ф.Ф. Дедус, С.А. Махортых, М.Н. Устинин, А.Ф. Дедус.- М.: Машиностроение, 1999.- 357 с.

19. Джексон, Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы: пер. с англ./Д. Джексон, — М.,Л.: Главное издательство иностранной литературы, 1948.— 260 с.

20. Джеффрис, Г. Методы математической физики, вып. 1-3/ Г. Джеффрис, Б. Свирлс.- М.: Наука, 1970. 343 с.

21. Иващенко, A.B. Самарская школа профессора С. А. Прохорова по прикладному анализу случайных процессов/ A.B. Иващенко, И.М. Куликовских// Программные продукты и системы, 2012 № 3, С. 8-11

22. Испытания авиационных двигателей: Учебник для вузов/под общ. Ред. В.А. Григорьева и A.C. Гишварова. М.: Машиностроение, 2009. - 504 с.:ил.

23. Кафтанова, Ю.В. Специальные функции математической физики. Научно-популярное издание/Ю.В. Кафтанова.- X.: ЧП Издательство «Новое слово», 2009. 596 с.

24. Кирьянов, Д.В. Вычислительная физика/Д.В. Кирьянов, E.H. Кирьянова -М.: Полибук Мультимедиа, 2006. 352 е.: ил.

25. Ковалёв, A.A. Лазерные пучки Ханкеля-Бесселя/ A.A. Ковалёв, В.В. Котляр. Компьютерная оптика, 2011. - Т. 35, №3. С. 237-304

26. Котляр, В.В. Компьютерная оптика и её приложения/В .В. Котляр//Институт систем обработки изображений РАН. http://bsffl.chat.ru/030200/kotlyar.htm

27. Коренев, Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций/Б.Г. Коренев. М.: Наука, 1971.-288 с.

28. Кошляков, Н.С. Уравнения в частных производных математической физики/ Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов.- М.: Высшая школа, 1970. 712 с.

29. Кузьмин, P.O. Бесселевы функции/ P.O. Кузьмин. М.,Л.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1933. - 152 с.

30. Куликовских, И.М. Построение моделей корреляционно-спектральных характеристик методом аналитических разложений: дисс. . канд. техн. наук: 05.13.18: защищена 17.06.2011. Самара, 2011. - 132 с.

31. Ландсберг, Г.С. Оптика/ Г.С. Ландсберг. М.: Наука, 1976. - 928 с.

32. Лэнинг, Дж. Случайные процессы в задачах автоматического управления. Пер. с англ./ Дж. Лэнинг, Р. Бэттин.- М.: Изд-во иностранной литературы, 1958.-388 с.

33. Мирский, Г. Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов. 2-е изд./Г.Я. Мирский. - М.: Энергия, 1972 - 456 с.

34. Мошкова, Е. С. Алгоритмы аппроксимативного анализа корреляционно-спектральных характеристик/ Е.С. Мошкова, В. И. Батищев// Математическое моделирование и краевые задачи, 4 (2007), С. 74-76

35. Никифоров, А.Ф. Специальные функции математической физики. Учебное пособие. Изд. 2-е, перераб. и доп./ А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 344 с.

36. Орловская, Л.В. Изучение дифракции лазерного излучения от круглого отверстия/Л.В. Орловская. Томск, 1985. - 10 с.

37. Прикладной анализ случайных процессов/Под ред. С.А. Прохорова. — Самара: СНЦ РАН, 2007.-582 с.

38. Прохоров, С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов/С.А. Прохоров-2-е изд., перераб. и доп.- Самара: СНЦ РАН, 2001.-380 с.

39. Прохоров, С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов/С.А. Прохоров — Самара: СНЦ РАН, 2001 —329 с.

40. Прохоров, С. А. Ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов. Лабораторный практикум/С.А. Прохоров, И.М. Куликовских. Самара: СНЦ РАН, 2008. - 301 с.

41. Прохоров, С.А. Численно-аналитический подход к вычислению интегралов при построении ортогональных моделей/ С.А. Прохоров, И.М. Куликовских // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. №2(19). - С.140-146.

42. Прохоров, С.А. Анализ погрешностей аппроксимации корреляционно-спектральных функций ортогональными функциями Бесселя/С.А. Прохоров, Я.В. Соловьева// Известия Самарского научного центра РАН. -2012. Том 14, №4. с. 155-162.

43. Прохоров, С.А. Частотные характеристики ортогональных функций Бесселя/С.А. Прохоров, Я.В. Газетова// Радиотехника и связь: Сборник научных трудов. Саратов, 2009. - С. 28-35.

44. Рабинер, Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов/Л. Рабинер, Б. Гоулд.- М: Мир, 1978. 848 С.

45. Романенко, А.Ф. Вопросы прикладного анализа случайных процессов/А.Ф. Романенко, Г.А. Сергеев// М: Советское радио, 1968. 255 С.

46. Романенко, А.Ф. Аппроксимативный анализ случайных процессов/А.Ф. Романенко, Г.А. Сергеев// М: Энергия, 1974. 176 С.

47. Сойфер, В.А. Оптическое манипулирование микрообъектами: достижения и новые возможности, порожденные дифракционной оптикой/ В.А. Сойфер, В.В. Котляр, С.Н. Хонина// Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2004.-35 (6).-С. 1368-1432.

48. Сойфер, В.А. Компьютерная оптика в работах профессора И.Н. Сисакяна/ В.А. Сойфер// Компьютерная оптика, 2002.- №24.- С. 5-7

49. Старцев, Н.И. Конструкция и проектирование камеры сгорания ГТД: учеб. пособие/ Н.И. Старцев. Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. Ун-та, 2007. - 120 с.:ил.

50. Суетин, П.К. Классические ортогональные многочлены: в 2-х томах/ П.К. Суетин.- М.: Наука, 1976.-Т. 1. -328 с.

51. Хованова, Н.А. Методы анализа временных рядов/ Н.А. Хованова, И.А. Хованов. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2001, 119 с.

52. Цветков, Э.И. Методические погрешности статистических измерений/ Э.И. Цветков.— Л.: Энергоатомиздат, 1984.—144 с.

53. Цветков, Э.И. Основы теории статистических измерений/ Э.И. Цветков.-2-е изд., перераб. и доп.- JL: Энергоатомиздат, 1982.-256 с.

54. Чеголин, П.М. Автоматизация спектрального и корреляционного анализа/ П.М. Чеголин. -М.: Энергия, 1969.-383 с.

55. Шевин, А.О. Исследование влияния искажений на свойства модовых лазерных полей/ А.О. Шевин, С.Н. Хонина// Вестник СГАУ, 2008.- т.2, № 15.- с.101-111

56. Abramowitz, М. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing./M. Abramowitz, I.A. Stegun//New York: Dover.—1972,—pp. 358-364.

57. Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed./G. Arfken//Orlando, FL: Academic Press.—1985,—pp. 573-591 and 591-596.

58. Cajori, F. A History of Mathematical Notations, Vols. 2/F. Cajori//New York: Dover, 1993.-pp. 279.

59. Carlitz, L. A Note on the Bessel Polynomials/L. Carlitz//Duke Math, 1957,- № 24.-pp. 151-162.

60. Fakhri, H. Ladder operators and recursion relations for the associated Bessel polynomials/H. Fakhri, A. Chenaghlou//Physics Letters, 2006,- № 358 (5-6).-pp. 345-353.

61. Gray, A. A Treatise on Bessel Functions and their Applications to Physics/A. Gray, G.W. Mathews// London: MacMillan & Co, 1895. pp. 292.

62. Morse, P.M. Methods of Theoretical Physics, Part I./ P.M. Morse, H. FeshBach//New York: McGraw-Hill, 1953. pp. 619-622.

63. Roman, S. The Bessel Polynomials. §4.1.7 in The Umbral Calculus/ S. Roman// New York: Academic Press, 1984,- pp. 78-82.

64. Self, D. The design of active crossovers/D. Self/Kidlington, UK: Focal Press, 2011.- 608 p.

65. Spanier, J. An Atlas of Functions/J. Spanier, K.B. Oldham//Washington, DC: Hemisphere, 1987. pp. 509-520 and 521-532.

66. Steinhaus, S. Comparison of mathematical programs for data analysis (Edition 5.04)/S. Steinhaus.- Germany, Miinchen, 2008.- pp. 64.

67. Szego, G. Orthogonal polynomials/ G. Szego- Rhode Island American Mathematical Society Providence, 1939. 431 p.

68. Thomson, W.E. Delay Networks having Maximally Flat Frequency Characteristics/ W.E. Thomson// Proceedings of the Institution of Electrical Engineers, Part III, 1949,- Vol. 96, №44,- pp. 487-490.