Полунормальные функторы в категории СОМР и обобщенная теорема Катетова тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Кашуба, Елена Викторовна

• Кашуба, Елена Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кашуба, Елена Викторовна

Введение

1 Предварительные сведения

2 Обобщенная теорема Катетова для полунормальных функторов

3 Обобщение примера Грюнхаге для полунормальных функторов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полунормальные функторы в категории СОМР и обобщенная теорема Катетова»

В 1948 году М. Катетов [1] доказал, что из наследственной нормальности куба компакта следует его метризуемость. Вопросу обобщения теоремы Катетова о кубе посвящены многие работы в области общей топологии. Количество публикаций, связанных с данной темой, продолжает увеличиваться и в настоящее время.

В 1971 году Ф. Зенор [2] доказал, что если куб компакта X наследственно счетно паракомпактен, то X метриуем. Операция возведения в куб компакта X является нормальным функтором1 степени 3, поэтому следующая теорема В. В. Федорчука [3] 1989 года является обобщением теоремы Катетова о кубе: если для какого-нибудь нормального функтора Т степени > 3 компакт Т{Х) наследственно нормален, то X — метризуемый компакт. В 2000 году Т. Ф. Жураев [4] заметил, что требование наследственной нормальности F{X) в теореме Федорчука можно ослабить до требования наследственной нормальности Т{Х)\Х и по аналогии с теоремой Зенора заменил в теореме Федорчука наследственную нормальность пространства Т{Х)\Х на наследственную счетную паракомпактность F(X)\X. А. П. Комбаров [5] в 2004 году доказал следующую теорему: если для какого-нибудь нормального функтора F степени > 3 пространство Т(Х)\Х наследственно /С-нормально, где /С — класс а~ компактных пространств, то X — метризуемый компакт. Из теоремы Комба-рова следуют одновременно и теорема Федорчука, и теорема Жураева. Для функтора суперрасширения Л (Л является полунормальным функтором) имеется следующий результат Т. Ф. Жураева [6] 1999 года: если пространство Л4(Х)\Х наследственно нормально, то компакт X — метризуем. Индекс 4 — третий по величине элемент степенного спектра функтора Л. Степенной спектр sp{J~) функтора Т — это множество степеней точек пространств вида 3~{Х). А. В. Иванов в работе [7] доказал, что если Т — полупормальный

1Все необходимые определения приведены в главе 1. функтор, удовлетворяющий некоторому комбинаторному условию (*), и sp^F) = {1 .}, то наследственная нормальность Тп{Х) \Х влечет метризуемость X (здесь п — третий по величине элемент з-р{Т)). Условию (*) удовлетворяют такие известные в общей топологии функторы, как функтор экспоненты ехр, функтор суперрасширения Л, функтор вероятностных мер Р и все их конечные композиции [7, 8].

В работе 1948 года [1] М. Катетов также поставил проблему о метризуемости компакта, квадрат которого наследственно нормален. Контрпример в предположении MA+-iCH был построен в 1977 году Никошем [9]. В 1993 году Грюнхаге [10] в предположении континуум-гипотезы СН построил пример неметризуемого компакта Y, для которого У2 наследственно сепарабельно, У2\Д совершенно нормально и Y2 наследственно нормально. В 2002 году Ларсон и Тодорчевич [11] форсингом построили модель теории множеств, в которой справедлив положительный ответ на проблему Катетова, и тем самым доказали независимость проблемы Катетова от системы аксиом ZFC. Для полунормальных фунторов проблема Катетова имеет следующий аналог: верно ли, что из наследственной нормальности ^(Х), где к — второй по величине элемент степенного спектра полунормального функтора J7, следует метризуемость XI Заметим, что Т. Ф. Жураевым в работе [6] было объявлено о "наивном" положительном решении этого вопроса для функтора суперрасширения Л.

Целью данной работы является изучение вопросов, связанных с обобщением теоремы и проблемы Катетова для полу нормальных функторов.

В первой главе приведены сведения, необходимые для изложения основных результатов. Кроме того, рассматривается вопрос о строении носителей точек пространств вида F{X) для некоторых полунормальных функторов Т, в частности, для случая Т = А. Для максимальных сцепленных систем носитель совпадает с замыканием объединения всех минимальных по включению элементов, причем доказано, что замыкание в общем случае опускать нельзя. Приведено построение примера максимальной сцепленной системы, у которой объединение всех минимальных по включению элементов не является замкнутым множеством.

Вторая глава посвящена следующей теореме, обобщающей теоремы Ком-барова [5] и Иванова [7].

Теорема 1 Пусть X — компакт,, К, — класс а-компактных пространств, Т — полунормальный функтор, удовлетворяющей условию (*) и sp(T) = {1, m, те,.}. Если пространство Тп(Х)\Х наследственно К-нормально, то компакт X метризуем.

Следствие 1 Пусть Т — полунормальный функтор, sp(J-) = {1, m,п, .} и функтор Т удовлетворяет условию (*). Если для компакта X пространство Fn(X) \ X наследственно счетно паракомпактно, то компакт X метризуем.

Это следствие является обобщением теорем Зенора [2] и Жураева [4]. В третьей главе приводится построение примера, усиливающего упомянутый выше пример Грюнхаге [10].

Теорема 2 (СН) Существует неметризуемый компакт X такой, что

1. Хп наследственно сепарабельно для любого п £ N;

2. если F - замкнутое подмноэюество Хп и [F \ Дп] = F, то F — G$-MHOQtcecmeo в Xй (Ап — обобгцеиная диагональ, которая определяется как множество точек пространства Хп, имеющих хотя бы две совпадающие координаты);

3. Xй \ Ап совершенно нормально для любого п £ N;

4- для любого сохраняющего вес полу нормально го функтора Т и любого п G sp^J7) Fn(X) наследственно сепарабелъно и J~nn{X^j совершенно нормально (Тпп(Х) — аналог пространства Хп\Ап, см. Глава 1, с. Ц);

5. для любого сохраняющего вес и точки взаимной однозначности полунормального функтора Т со степенным спектром sp(T) = {1 пространство J-'k(X) наследственно нормально (в частности, наследственно нормальны X2 и \?,Х).

Отметим, что X является контрпримером к отмеченному выше утверждению Т. Ф. Жураева о функторе суперрасширения Л.

Условие сохранения функтором точек взаимной однозначности в пункте 5) теоремы 2 существенно, что показывает следующая теорема.

Теорема 3 (СН) Пространство ехрА (X) не является наследственно нормальным при К — {1; 3}.

Определение функтора ехр-^ приведено в Главе 1, с. 8. Этот функтор при К — {1,3} не сохраняет точек взаимной однозначности (Глава 1, с. 16).

Теорема 4 (СН) Существует счетный набор неметризуемых компактов Хп, п G N, произведение которых Хп совершенно норлшльно и наследственно сепарабелъно.

В 1979 году М. Э. Рудин [12] было доказано в предположении принципа Йенсена <> существование двух неметризуемых компактов, произведение которых совершенно нормально. Из примера Грюнхаге следует существование таких компактов в предположении СН. В 1978 году А. В. Иванов [13] в предположении 0 доказал существование счетного набора неметризуемых компактов, произведение которых совершенно нормально. Теорема 4 является одновременным усилением результатов Грюнхаге и Иванова.

В качестве методов исследования используются различные методы общей топологии, в частности, техника вполне замкнутых отображений В. В. Федор-чука и методы применения этой техники, развитые В. В. Федорчуком [14] и А. В. Ивановым [13].

Основные результаты опубликованы в работах [31, 32, 30] и докладывались на студенческих научных конференциях Петрозаводского государственного университета (ПетрГУ) и научных семинарах кафедры геометрии и топологии ПетрГУ (2003 - 2008 гг.), на XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова в 2004 году (тезисы доклада и доклад опубликованы в [33, 34]), на международной конференции "Александровские чтения "в 2007 году и на научно-исследовательском семинаре по общей топологии имени П. С. Александрова под руководством профессора В. В. Федорчука в 2008 году.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору, заведующему кафедрой геометрии и топологии Петрозаводского государственного университета Александру Владимировичу Иванову за постановку задачи. Автор благодарит заведующего кафедрой общей топологии и геометрии Московского государст-" венного университета им. М. В. Ломоносова, доктора физико-математических наук, профессора Виталия Витальевича Федорчука и весь коллектив кафедры за обсуждение данной работы и неоценимую поддержку. Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры геометрии и топологии Петрозаводского государственного университета за помощь и доброжелательную атмосферу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кашуба, Елена Викторовна, 2008 год

1. Жураев Т. Ф. Функтор Л и метризуемость бикомпактов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 1999. №4. С. 54-56.

2. Иванов А. В. Теорема Катетова о кубе и полунормальные функторы // http: //topology.karelia.ru/arh.html

3. G. Gruenhage, P. Nyikos. Normality in X2 for compact X // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. V. 340. №2. P. 563-586.

4. Larson P., Todorcevic S. Katetov's problem // Trans. Amer. Math. Soc. 2002. V. 354. P. 1783-1791.

5. Rudin M. E. Hereditary normality and Souslin lines // General Topology Appl. 1979. V. 10. P. 103-105.

6. Иванов А. В. О бикомпактах, все конечные степени которых наследственно сепарабельны // Доклады АН СССР. 1978. Т. 243. №5. С. 1109-1112.

7. Федорчук В. В. Бикомпакт, все бесконечные замкнутые подмножества которого п-мерны // Матем. сб. 1975. 96(1). С. 41-62.

8. Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции: Учеб. пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 336 с.

9. Понтрягин JI. С. Непрерывные группы. Изд. 3-е, испр. — М.: "Наука", 1973. 520 с.

10. Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: "Наука". 1973. 576 с.

11. Федорчук В. В. О бикомпактах с несовпадающими размерностями // Доклады АН СССР. 1968. Т. 182. №2. С. 275-277.

12. Vietoris L. Bereiche zweiter Ordnung // Monatsh. fiir Math, und Phys. 1922. V. 32. P. 258-280.

13. Щепин E. В. Функторы и несчетные степени компактов // Успехи математических наук. 1981. Т. 36. №3. С. 3-62.

14. Федорчук В. В. Ковариантные функторы в категории компактов, абсолютные ретракты и Q-многообразия // Успехи математических наук. 1981. Т. 36. №3. С. 177-195.

15. Borsuk К., Ulam S. On symmetric products of topological spaces // Bull. Amer. Mat. Soc. 1931. 37. P. 875-882.

16. J. de Groot. Superextensions and supercompactness // Proc. I. Intern. Symp. on extension theory of topological structures and its applications. — Berlin: VEB Deutscher Verlag Wiss., 1969. P. 89-90.

17. Щепин E. В. О функторах в категории бикомпактов. — В кн.: IV Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. Кишинев: "Штиинца". 1979. С. 173-176.

18. Fedorchuc V., Todorcevic S. Cellularity of covariant functors. // Topology and its Applications. 1997. V. 76. P. 125-150.

19. Басманов В. H. Ковариантные функторы, ретракты и размерность. // Доклады АН СССР. 1983. Т. 271. №5. С. 1033-1036.

20. Kombarov А. P. On Lindelof-normal spaces // Topology Appl. 2000, V.107. P. 117-122.

21. Жолков С. Ю., Салычев А. С. Стрелки и наследственное число Суслина в квадратах топологических пространств // Вестник Моск. ун-та. Серия Матем. Механ. 1976. №1. С. 27-32.

22. Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: "Мир". 1986. — 752 с.Публикации автора по теме диссертации

23. Иванов А. В., Кашуба Е. В. О наследственной нормальности пространства вида F(X) // Сибирский математический журнал. 2008. том 49. Ш. С. 813-824.

24. Вакулова Е. В. О носителях максимальных сцепленных систем // Труды Петрозаводского государственного университета. Серия "Математика". 2004. Вып. 11. С. 3-8.

25. Кашуба Е. В. Обобщенная теорема Катетова для полунормальных функторов // Труды Петрозаводского государственного университета. Серия "Математика". 2006. Вып. 13. С. 82-89.

26. Вакулова Е. В. О носителях максимальных сцепленных систем // XXVI Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Тезисы докладов. Механико-математический факультет МГУ. 2004. С. 29-30.

27. Вакулова Е. В. О носителях максимальных сцепленных систем // Труды XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, Том I. Механико-математический факультет МГУ. 2004. С. 47-52.