Факторизационные теоремы и размерность подмножеств пределов обратных спектров и топологических произведений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Одиноков, Андрей Валентинович

• Одиноков, Андрей Валентинович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Одиноков, Андрей Валентинович

Оглавление

Введение

Глава 1. Факторизационные теоремы

1.1. Факторизационная теорема для размерности йгсНт

1.2. Факторизационные теоремы для пространств,

близких к метризуемым пространствам

Глава 2. Размерность топологических произведений

2.1. Размерность и прямоугольность произведений с лашневским сомножителем

2.2. Конечномерность топологических произведений

Глава 3. Бикомпакты с несовпадающими размерностями,

разложимые в обратные спектры специального вида

3.1. Индуктивная размерность и пределы обратных последовательностей бикомпактов

3.2. Бикомпакты Дугунджи с несовпадающими размерностями

Список литературы

59

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Факторизационные теоремы и размерность подмножеств пределов обратных спектров и топологических произведений»

ВВЕДЕНИЕ

Факторизационные теоремы играют важную роль в распространении основных фактов классической теории размерности на общие топологические пространства. Исторически первая факторизационная теорема была доказана С. Мардешичем [50] в 1960 году и касалась отображений между бикомпактами и размерности dim. Двумя годами позднее A.B. Зарелуа [6] перенес утверждение Мардешича на случай системы подбикомпактов отображаемого бикомпакта, получив, тем самым, "коллективный" вариант факторизадионной теоремы. В 1988 году П. Борет [35] определил продолжение trdim лебеговой размерности на трансфиниты. Размерность Борста классифицирует ¿'-слабо бесконечномерные пространства. Факторизационная теорема для ¿'-слабо бесконечномерных бикомпактов получена в 1971 году Б.А. Пасынковым [16]. Этот результат конкретизирован К. Йокои [74] и В. А. Чатырко [39] на случай размерности trdim.

Глава 1 посвящена доказательству новых факторизационных теорем и их следствий. В разделе 1.1 дается положительный ответ на вопрос Б.А. Пасынкова о коллективной факторизационной теореме для размерности trdim, обобщающей одновременно теорему Зарелуа и теорему Иокои-Чатырко.

Теорема 1.1.3. Пусть дано непрерывное отображение f . X —>Z бикомпакта X на бикомпакт Z и пусть в бикомпакте X выделена система замкнутых подпространств v мощности | v | < wZ. Тогда существуют такой бикомпакт Y и такие непрерывные отображения g: X —» Г и h:Y —»Z, что f = hg, wF<wZ и trdimg(F) < trdimF, F ev .

Теорема 1.1.3 доказана методом Пасынкова (см., например, [1]). Искомый бикомпакт, через который "пропускается" исходное отображение, строится как предел некоторой обратной последовательности из определяемых специальным образом бикомпактов. Одним из этапов доказательства является вычисление размерности предела построенной обратной последовательности.

С. Мардешич [50] предложил метод вывода теорем о бикомпактифика-

циях, сохраняющих размерность и вес, из соответствующих факторизационных теорем. Например, теорема Скляренко [23] о бикомпактификации нормального пространства, сохраняющей его вес и размерность dim, оказывается следствием теоремы Мардешича, а аналогичная теорема для размерности trdim получена К. Йокои [74] и В.А. Чатырко [39] как следствие факторизационной теоремы для размерности trdim. Коллективная факторизационная теорема для размерности dim позволила A.B. Зарелуа [6] доказать коллективную бикомпактификационную теорему.

Теорема 1.1.3 позволяет следующим образом обобщить бикомпактифи-кационные теоремы Йокои-Чатырко и Зарелуа.

Теорема 1.1.4. Пусть в нормальном пространстве X выделена система замкнутых подпространств v мощности | v | < w X. Тогда существует бикомпактное расширение ЪХ пространства X, такое, что у>(ЪХ) = м>Х и trdimclbX F < trdimF, F ev .

Наряду с теоремой Мардешича, частое применение находит доказанная в 1964 году Б.А. Пасынковым [13] факторизационная теорема для отображений в меггризуемые пространства. С ее помощью можно, например, доказать равенство размерностей dim и Ind для нормальных пространств, обладающих замкнутым и нульмерным в смысле dim отображением в мелгризуемое пространство (Б.А. Пасынков [14], 1964 г.) или даже в замкнутый образ метризуемого пространства (т.е. лашневское пространство) (И.М. Лейбо [9], 1975 г.). Факторизационная теорема Пасынкова была распространена на случай счетной системы замкнутых подпространств (A.B. Архангельский [4], 1967 г. и Б.А. Пасынков [15], 1968 г.) и, даже более того, счетной системы ^-вложенных подпространств (М. Хараламбус [38], 1991 г.) отображаемого пространства. Напомним, что подпространство М топологического пространства X называется z-вложенным в X, если любое функционально замкнутое множество из М есть ограничение на М некоторого функционально замкнутого множества из X.

Решая задачу распространения основных характеризаций размерности на возможно больший класс пространств, К. Нагами [56, 58] в 1970 г. ввел в

рассмотрение более широкий, чем лашневские пространства, класс ц -пространств. Он состоит из подпространств счетных произведений о -метризуемых (s= F а -метризуемых) паракомпактов. Ш. Ока [61] в 1980 г. и Т. Мицоками [55] в 1981 г. доказали эквивалентность следующих свойств ¡л -пространства X: (1) dim X < п, (2) существует такое замкнутое отображение / из //-пространства Z размерности dimZ <0 на X, что ord f <п +1 , (3) X = U{Xk : к<п},тда dimXk < 0 для всех к, и (4)ШХ <п .

В разделе 1.2 диссертации доказана факгоризационная теорема для отображений в ju -пространства, обобщающая теорему Хараламбуса.

Теорема 1.2.1. Пусть f :X->Z — непрерывное отображение тихоновского пространства X в /л-пространство Z и v — счетная система z-вложенных в X подпространств. Тогда существует непрерывное отображение г : X -» 1т, такое, что dim (/ Ar)(F) < dimF, F ev .

Среди следствий теоремы 1.2.1 выделим

Следствие 1.2.3. Если тихоновское пространство X обладает непрерывным отображением f размерности dim /3 f < 0 (в частности, нормальное пространство X обладает замкнутым отображением / размерности dim/ < 0j в р. -пространство, то dim X = Ind f5X = А (ЗХ. Если пространство X нормально, то dim X - Ind X - Д (ЗХ. Если к тому же пространство X паракомпактно, то dim X = Ind X = Д X.

С помощью теоремы 1.2.1 получены факгоризационная теорема для отображений в замкнутые образы локально компактных метризуемых пространств и "слабая" факгоризационная теорема для отображений в произвольные лашневские пространства:

Теорема 1.2.10. Пусть f :Х —»Z — непрерывное отображение тихоновского пространства X в пространство Z, являющееся замкнутым образом локально компактного метризуемого пространства, и v — счетная система z-вложенных в X подпространств. Тогда существуют такое пространство Y, являющееся замкнутым образом локально компактного метризуемого пространства, и такие непрерывные отображения

g:X -» 7, h:Y Z, что f -hg, wY <wZ и dimg(F) < dimF, F e v .

Теорема 1.2.11. Пусть f:X-*Z — непрерывное отображение тихоновского пространства X в лашневское пространство Z и v — счетная система z-вложенных в X подпространств. Если отображение f в точках несчетного характера послойно нульмерно в смысле размерности dim и совершенно, то существуют такое лашневское пространство Y и такие непрерывные отображения g: X —» 7, h:Y —» Z, что f -hg, wY <wZ и dim g(F) < dim F +1, Fev.

В Главе 2 рассматривается размерность топологического произведения X х Y в связи с размерностями сомножителей X и Y.

На протяжении последних 50-ти лет усилиями многих топологов изучается неравенство

dimXx7<dimX+ dimF. (*)

Достаточные условия для него постепенно ослаблялись. Укажем наиболее важные среди них: произведение X х Y — бикомпакт (И. Хеммингсен [45], 1946 г.), произведение X х 7 — метризуемо (М. Катетов [7], 1952 г. и К. Морита [51], 1954 г.), произведение X х 7 — нормально и 7 — метризуемо (Й. Кодама [48], 1969 г.), X — локально бикомпактный паракомпакт (К. Морита [54], 1973 г.), наконец, произведение 1x7 — (кусочно) прямоугольно (Б.А. Пасынков [17, 18, 21], 1973, 1975, 1982 гг.). Последнее условие является наиболее общим из перечисленных. В частности, Б.А. Пасынков [18] доказал прямоугольность нормального произведения X х 7 с метризуемым сомножителем 7. Для произвольных нормальных произведений X х 7 и не нормальных произведений X х 7 с метризуемым сомножителем 7 неравенство (*) может не выполняться [72, 66]. X. Ота [59], 1990 г., дал внутреннюю характеризацию тихоновским пространствам, произведения которых с произвольными метризуемыми пространствами прямоугольны, и назвал их ii-пространствами. Класс ^-пространств содержит нормальные Р-пространства в смысле К. Мориты [52] (т.е. пространства, произведения которых с любым метризуемым пространством нормальны) и

совершенно к -нормальные (например, экстремально несвязные) пространства [33].

Раздел 2.1 диссертации посвящен прямоугольности и размерности тихоновского произведения X х 7 в случае, когда сомножитель 7 есть лашневское пространство (т.е. замкнутый образ метризуемого пространства) и, следовательно, весьма близок по своим свойствам к метризуемым пространствам (см., например, [8, 9]). Т. Хошина (см. [70]) поставил вопрос о выполнении неравенства (*) для нормальных произведений X х 7 с лашневским сомножителем 7, а Б.А. Пасынков — о прямоугольности таких произведений. Пример 2.1.4 (в предположении принципа Йенсена (0)) дает отрицательный ответ на вопрос Пасынкова, а теорема 2.1.6 дает положительный, при дополнительном условии, что X — паракомпакт, ответ на вопрос Хошины:

Пример 2.1.4 (0). Существуют пространство X и а-метризуемое лашневское пространство 7, такие, что произведение X х 7 совершенно нормально и не кусочно прямоугольно.

Теорема 2.1.6. Нормальное произведение X х 7 паракомпактного пространства X и лашневского пространства 7 прямоугольно.

Отметим, что неравенство (*) выполнено для произведения X х 7 из примера 2.1.4.

Понятие ^-пространства позволяет получить (в определенном смысле) окончательный результат о прямоугольности произведения 1x7 с лашневским сомножителем 7 в случае, когда сомножитель X паракомпактен.

Теорема 2.1.8. Если X — паракомпакт, то произведение X х 7 прямоугольно для любого лашневского пространства 7 тогда и только тогда, когда X есть Я-пространство.

Отметим, что существует (см. [68]) не нормальное произведение паракомпактного ^-пространства с метризуемым пространством. Поэтому теорема 2.1.8 не следует из теоремы 2.1.6.

Теорема 2.1.9. Если произведение тихоновского пространства X с любым метризуемым пространством 7 удовлетворяет неравенству (*) (в

частности, если X есть R-пространство), то произведение пространства X с любым сг-метризуемым паракомпактом Y также удовлетворяет неравенству (*).

Из теоремы 2.1.9 выводится

Следствие 2.1.11. Если X есть R-пространство и Y—замкнутый образ локально бикомпактного а-метризуемого паракомпакта, то выполняется неравенство (*).

В разделе 2.2 диссертации изучается размерность bid нормального произведения XxY. Б.А. Пасынков ([18] , 1975 г., и [63], 1991 г.) доказал, что (кусочно) прямоугольное произведение, в сомножителях которого есть конечная теорема суммы (КТС) для bid, удовлетворяет неравенству

Ind XxY < Ind X + Ind Y. От условия выполнения КТС в сомножителях нельзя отказаться даже, когда они бикомпактны (В.В. Филиппов [30], 1972 г.). Существуют примеры не конечномерных произведений конечномерных пространств [69, 41]. Однако, как доказал Б.А. Пасынков [64], 1998 г., если один из сомножителей метризуем или является локально бикомпактным паракомпактом, то произведение XxY конечномерно. Эти утверждения обобщаются теоремой 2.2.1 диссертации, которая дает положительный ответ на вопрос Б.А. Пасынкова [64] о конечномерности произведения XxY в том случае, когда один из сомножителей есть паракомпактное ^-пространство (т.е. совершенный прообраз метризуемого пространства [3]).

Теорема 2.2.1. Существует функция p:ZxZ->Z, где Z — множество целых чисел, такая, что

Ind X xY < /?(Ind X, Ind Y ), (**)

если произведение XxY нормально, X есть паракомпактное р-пространство и IndX< со, Ind Y< со.

Напомним, что топологическое пространство X называется М-пространством, если существует квази-совершенное отображение из X на метризуемое пространство [52].

Теорема 2.2.2. Пусть Xесть М-пространство, Уесть Р-пространство (в смысле К. Morita [52]) и Ind X < оо, Ind Y < оо. Если произведение XxY нормально и прямоугольно, то выполняется неравенство (**).

Глава 3 посвящена построению бикомпактов с несовпадающими размерностями, разложимых в обратные спектры специального вида, а также рассмотрению размерностей пределов обратных последовательностей в связи с размерностями допредельных пространств.

I

Хорошо известно, что лебегова размерность предела обратной последовательности мажорируется лебеговыми размерностями допредельных пространств, если допредельные пространства бикомпактны (X. Фрейденталь [43], 1937 г.) или совершенно нормальны (М. Хараламбус [36], 1976 г.). Хараламбус [37], 1981 г., построил бикомпакт с лебеговой размерностью 1 и индуктивной размерностью 2, разложимый в обратную последовательность индуктивно одномерных бикомпактов. В разделе 3.1 диссертации дается положительный ответ на возникающий в связи с результатами Хараламбуса вопрос о существовании совершенно нормальных лебегово одномерных бикомпактов сколь угодно большой индуктивной размерности, разложимых в обратные последовательности индуктивно одномерных бикомпактов. Напомним, что топологическое пространство, имеющее базу из множеств со счетными границами, называется рациональным.

Теорема 3.1.6 (СН). Для каждого р = 2, 3, ...,су ,оо существует совершенно нормальный наследственно сепарабельный бикомпакт Yp размерности trlnd Yp = р, являющийся пределом обратной

последовательности из змеевидных рациональных бикомпактов, связанных сюрьективными проекциями.

Отметим, что бикомпакт Yp змеевиден и, следовательно, лебегово

одномерен, а его малая и большая трансфинитные индуктивные размерности совпадают и равны р, р = 2,3,...,со, со. Исторически первый бикомпакт с несовпадающими лебеговой и индуктивной размерностями построен А.Л. Лунцем [10], 1949 г. Змеевидные бикомпакты с размерностью ind, равной 2, определены С. Мардешичем [49], 1959 г. и Б.А. Пасынковым [12],

1963 г. Для каждого р - 2, 3, ...,<у,со змеевидный бикомпакт размерности trind С = р построен В.А. Чатырко ([31], 1984 г., и [32], 1990 г.). Совершенно

нормальные бикомпакты с несовпадающими размерностями известны лишь в теоретико-множественных предположениях. В.В. Филиппов [29], 1970 г., определил в предположении континуум-гипотезы (СН) для каждого порядкового числа р > 1 совершенно нормальный наследственно сепарабельный бикомпакт Fp размерности dim/7^ = 1 и trind Fp - trind Fp = p.

Аналогичные бикомпакты для конечныхр построены в СН В.В. Федорчуком [42] в 1978 году. А.А. Одинцов [11], 1986 г., в СН модифицировал бикомпакты Федорчука так, чтобы они дополнительно стали змеевидными, а также построил змеевидный совершенно нормальный не O-Ind-счетномерный бикомпакт. Бикомпакт из теоремы 3.1.6 также обладает последним свойством.

Раздел 3.2 диссертации посвящен вопросу несовпадения размерностей у бикомпактов Дугунджи. Класс бикомпактов Дугунджи — один из самых близких к метризуемым компактам. Он состоит из пределов таких обратных последовательностей {Ха, , а </3< г} бикомпактов, что | Х0 j = 1 и все

соседние проекции каа+х открыты и имеют метризуемое ядро [44]. В.В. Федорчук [28] в 1977 г. доказал, что для бикомпактов Дугунджи классические индуктивные размерности совпадают, и построил бикомпакт Дугунджи с лебеговой размерностью 1 и индуктивной размерностью 2. Следующая теорема в предположении континуум-гипотезы дает положительный ответ на вопрос Б.А. Пасынкова об увеличении разрыва между лебеговой и индуктивной размерностями для бикомпактов Дугунджи.

Теорема 3.2.3 (СН). Для каждого р = 3,4,... существует бикомпакт Дугунджи Xр размерности dim Хр = \ и bid Хр = р.

В диссертации под пространством понимается топологическое пространство, под произведением — топологическое произведение.

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Б. А. Пасынкову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Одиноков, Андрей Валентинович, 1999 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М., 1973.

[2] Александров П.С., Пономарев В.И. О некоторых классах «-мерных пространств// Сиб. мат. ж. 1960. 1, № 1. 3 - 13.

[3] Архангельский A.B. Об одном классе пространств, содержащем все метрические и все локально бикомпактные пространства// Матем. сб. 1965. 67 (109), № 1. 55 - 85.

[4] Архангельский A.B. О факторизации отображений по весу и размерности// Докл. АН СССР. 1967. 174. 1243 - 1246.

[5] Архангельский A.B., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М., 1974.

[6] Зарелуа A.B. Равенство размерностей и бикомпактные расширения// Докл. АН СССР. 1962. 144. 713 - 716.

[7] Катетов М. О размерности несепарабельных пространств// Чехосл. матем. ж. 1952. 2. 333 - 368.

[8] Лашнев Н.С. О непрерывных разбиениях и замкнутых отображениях метрических пространств// Докл. АН СССР. 1965. 165. 756 - 758.

[9] Лейбо И.М. О замкнутых образах метрических пространств// Докл. АН СССР. 1975. 224. 756 - 759.

[10] Лунц А.Л. Бикомпакт, индуктивная размерность которого больше, чем размерность, определенная с помощью покрытий// Докл. АН СССР. 1949. 66.

'801-803.

[11] Одинцов A.A. Змеевидные бикомпакты и некоторые проблемы теории размерности//Вестн. МГУ. № 1. 1986. 59 - 62.

[12] Пасынков Б.А. О змеевидных бикомпактах//Чехосл. матем. ж. 1963. 13(88). 473 - 476.

[13] Пасынков Б.А. Об универсальных бикомпактах данного веса и данной размерности//Докл. АН СССР. 1964. 154. 1042- 1043.

[14] Пасынков Б.А. Об одном классе отображений и о размерности нормальных пространств// Сиб. матем. ж. 1964. 5. 356 - 376.

.5] Пасынков Б.А. Факторизация отображений на метрические пространства// Докл. АН СССР. 1968. 182. 268 - 271. .6] Пасынков Б А. О размерности нормальных пространств// Докл. АН СССР. 1971. 201. 1049- 1052.

17] Пасынков Б .А. Размерность произведений нормальных пространств// Докл. АН СССР. 1973. 209. 792 - 794.

18] Пасынков Б.А. О размерности прямоугольных произведений// Докл. АН СССР. 1975. 221.291 -294.

19] Пасынков Б.А. О размерности и геометрии отображений// Докл. АН СССР. 1975. 221. 543 - 546.

20] Пасынков Б.А. Факторизационные теоремы в теории размерности// Успехи матем. наук. 1981. 36, №3. 147 - 175.

21] Пасынков Б.А О монотонности размерности// Докл. АН СССР. 1982. 267. 548 - 552.

22] Пономарев В.И. Паракомпакты, их проекционные спектры и непрервные отображения//Матем. сб. 1963. 50, № 1. 89 - 119.

¡23] Скляренко Е.Г. О вложении нормальных пространств в бикомпакты того

же веса и той же размерности// Докл. АН СССР. 1958. 123. 36 - 39. ¡24] Федорчук В.В. Бикомпакт с несовпадающими размерностями// Докл. АН

СССР. 1968. 182. 275 - 277. ¡25] Федорчук В.В. Об отображениях, не понижающих размерность// Докл. АН

СССР. 1969. 185. 54 - 57. ¡26] Федорчук В.В. О сильно замкнутых отображениях// Докл. АН СССР. 1969. . 187. 47 - 49.

¡27] Федорчук В.В. Бикомпакты без промежуточных размерностей// Докл. АН

СССР. 1973. 213. 795 - 797. ¡28] Федорчук В.В. О размерности к-метризуемых бикомпактов, в частности

пространств Дугунджи// Докл. АН СССР. 1977. 234. 30 -33. ¡29] Филиппов В.В. О бикомпактах с несовпадающими размерностями ind и

dim//Докл. АН СССР. 1970. 192. 516 - 519. ¡30] Филиппов В.В. Об индуктивной размерности произведения бикомпактов// Докл. АН СССР. 1972. 202. 1016 - 1019.

[31] Чатырко В.А. О змеевидных и однородных бикомпактах с несовпадающими размерностями// Успехи матем. наук. 1984. 39, № 3. 247 - 248.

[32] Чатырко В.А. О бикомпактах с несовпадающими размерностями// Тр. мат. о-ва. 1990. 53. 192-228.

[33] ГЦепин Е.В. О топологических произведениях, группах и новом классе пространств более общих, чем метрические// Докл. АН СССР. 1976. 226. 527 - 529.

[34] ЭнгелькингР. Общая топология. М., 1986.

[35] Borst Р. Classification of weakly infinite-dimensional spaces. P. 1: A transfinite extension of the coveringimension//Fund. Math. 1988. 130. 1 -25.

[36] Charalambous M.G. The dimension of inverse limits// Proc. Amer. Math. Soc. 1976. 58. 289 - 295.

[37] Charalambous M.G. Inductive dimension and inverse sequences of compact spaces//Proc. Amer. Math. Soc. 1981. 81. 482 - 484.

[38] Charalambous M.G. Further theory and applications of covering dimension of uniform spaces// Czech. Math. Journ. 1991. 41(116). 378 - 394.

[39] Chatyrko V.A. On the transfinite dimension dim// Q & A in General Topology. 1991. 9. 177- 194.

[40] Chiba К On products of normal spaces// Repts Fac. Sei. Shizuoka Univ. 9. 1 - 11.

[41] Engelking R, Pol E. Countable-dimensional spaces: a survey// Dissertations Math. 1983. 216. 1 -45.

[42] Fedorcuc V.V. On the dimension of hereditarily normal spaces// Proc. London Math. Soc. 1978. 36. 163 - 175.

[43] Freudenthal H. Entwicklungen von Räumen und ihren Gruppen// Comp. Math.

1937. 4. 145 - 234.

[44] Haydon R. On a problem of Pelczynski: Milutin spaces, Dugundji spaces and AE(O-dim)// Stud. Math. 1974. 52, № 1. 23 - 31.

[45] Hemmingsen E. Some theorems on dimension theory for normal Hausdorff spaces// Duke Math. J. 1946. 13. 495 - 504.

[46] Hoshina T. Normality of product spaces II// Topics in general topology/ Ed. by K.Morita, J.Nagata. 1989. 121 - 160.

[47] Hoshina T., Morita K. On rectangular products of topological spaces// Topology Appl. 1980. 11. 47 - 57.

[48] Kodama Y. On subset theorems and the dimension of products// Amer. J. Math. 1969. 91. 486-497.

[49] Mardesic S. Chainable continua and inverse limits// Glasnik mat.-fiz. i astron. 1959. 14, №3.219-232.

[50] Mardesic S. On covering dimension and inverse limits of compact spaces// HI. J. Math. 1960. 4, № 2. 278-291.

[51] Morita K. Normal families and dimension theory for metric spaces// Math. Ann. 1954. 128. 350 - 362.

[52] Morita K. Products of normal spaces with metric spaces// Math. Ann. 1964. 154. 365 -382.

[53] Morita K. Topological completions and M-spaces// Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, Sec. A. 1970. 10. 271 - 288.

[54] Morita K. On the dimension of the product of Tychonoff spaces// Gen. Topology Appl. 1973. 3. 125 - 133.

[55] Mizokami T. On the dimension of //-spaces// Proc. Amer. Math. Soc. 1981. 83. 195 -200.

[56] Nagami K. Normality of products// Actes Congres intern. Math. 1970. 2. 33 - 37.

[57]Nagami K. Dimension for oMnetric spaces// J. Math. Soc. Japan. 1971. 23. 123 - 129.

[58] Nagami K. Dimension of free L-spaces// Fund. Math. 1980. 108. 211 - 224.

[59] Ohta H. Extensions of zero-sets in the product of topological spaces// Topology Appl. 1990. 35.21 -39.

[60] Oka S. A note on the covering dimension of Lasnev spaces// Proc. Japan Acad., Ser. A. 1978. 54. 73 - 75.

[61] Oka S. Free patched spaces and fundamental theorems of dimension theory// Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Math. 1980. 28. 595 - 602.

[62] Okuyama A. Some generalizations of metric spaces, their metrization theorems and product spaces// Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, Sec. A. 1967. 9. 236 - 254.

[63] Pasynkov B.A. On the dimension of rectangular products, in: Conf./Workshop Gen. Topology and Geom. Topology, University of Tsukuba. 1991. 67 - 76.

[64] Pasynkov В.A. On the finite-dimensionality of topological products// Topology Appl. 1998. 82. 377 - 386.

[65] Pears A.R., Mack J. Closed covers, dimension and quasi-order spaces// Proc. London Math. Soc. 1974. 29, № 3. 289 - 316.

[66] Przymusinski T.// On the dimension of product spaces and an example of M. Wage// Proc. Amer. Math. Soc. 1979. 76. 315 -321.

[67] Starbird M. Extending maps from products// Studies in topology/ Ed. by N.H.Stavrakas and K.R.Allen. N. Y., 1975. 559 - 565.

[68] Tamano K. A note on E. Michael's example and rectangular products// J. Math. Soc. Japan. 1982. 34, № 2. 187 - 190.

[69] Tsuda K. Some examples concerning the dimension of product spaces// Math. Japonica. 1982. 27. 177 - 195.

[70] Tsuda K. Dimension theory of general spaces. Dissertation. Tsukuba. 1985.

[71] Tsuda K. Rectangularity versus piecewise rectangularity of product spaces// Can. Math. Bull. 1987. 30. 49 - 56.

[72] Wage M.L. The dimension of product spaces. Preprint 1977.

[73] Watson S. Locally compact normal metalindelof spaces may not be paracompact: an application of uniformization and Suslin lines// Proc. Amer. Math. Soc. 1986. 98. 676 - 680.

[74] Yokoi K. Compactification and factorization theorems for transfinite covering dimension// Tsukuba J. Math. 1991. 15, № 2. 389 - 395.

[75] Одиноков A.B. О пространствах трансфинитной размерности// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 4. 54 - 59.

[76] Одиноков А.В. Пространства Дугунджи с несовпадающими размерностями//Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1997. № 4. 51 - 52.

[77] Одиноков А.В. Некоторые факторизационные теоремы для пространств, близких к метризуемым пространствам// рук. деп. в ВИНИТИ 07.12.1998, № 3592-В98, 7с.

[78] Одиноков А.В. Об индуктивной размерности и обратных последовательностях// рук. деп. ВИНИТИ 07.12.1998, № 3593-В98, 10 с.

[79] Одиноков А.В. О размерности и прямоугольности произведений с лашнев-ским сомножителем// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 1. 59 - 62.