Мультипликативно идемпотентные полукольца тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Петров, Андрей Александрович

• Петров, Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Петров, Андрей Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Предварительные результаты

1.1 Исходные понятия и примеры

1.2 Свойства мультипликативно идемпотентных полуколец

1.3 Конечные мультипликативно идемпотентные полукольца

ГЛАВА 2. Структурные свойства мультипликативно идемпотентных полуколец

2.1 Общие структурные теоремы

2.2 Полукольца с дополнительными условиями

ГЛАВА 3. Многообразия мультипликативно идемпотентных полуколец

3.1 Подпрямо неразложимые полукольца в многообразии коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец

3.2 Подмногообразия в £9Л

3.3 О решетке подмногообразий многообразия всех мультипликативно идемпотентных полуколец

ЛИТЕРАТУРА

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мультипликативно идемпотентные полукольца»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация находится в русле развития и расширения классической теории колец. Работа посвящена одному из интенсивно развивающихся в последние десятилетия разделов общей алгебры — теории полуколец [6,24,31,32]. Становление теории полуколец пришлось на 50-70-е годы XX века. Дальнейшее развитие этой теории связано с успешным применением ее в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, тропической математике, теории оптимального управления, теории графов, теории автоматов, формальных языках и других разделах дискретной математики (см., например, [16,33,35]).

Полукольца образуют широкий класс алгебраических объектов, содержащий все (ассоциативные) кольца, все дистрибутивные решетки, ряд числовых систем. Поэтому для успешного изучения полуколец на них накладываются естественные дополнительные условия, позволяющие выделить важные классы полуколец. В ряде случаев это позволяет сводить исследование полуколец к более известным, достаточно хорошо изученным объектам, например, к кольцам или дистрибутивным решеткам (см. работы [7-9]).

В кандидатских диссертациях [3,14,19,22,23], исследуются полукольца с различными дополнительными условиями.

Современное определение полукольца (в широком смысле) было дано Ван-дивером [50] в 1934 году: полукольцом он назвал совокупность элементов, по сложению и по умножению образующих полугруппы, с правым и левым дистрибутивными законами умножения относительно сложения. Мы же под полукольцом будем понимать непустое множество 5 с бинарными операциями сложения + и умножения •, для которых (£,+)— коммутативная полугруппа, (5, •) — полугруппа и а(Ь + с) = аЪ + ас, (а + Ъ)с = ас + Ьс для любых а,Ь,с б

Если полукольцо 3 обладает элементом 1, таким, что 1 • х = х • 1 = х для всех х Е 5, то б* называется полукольцом с единицей 1. Если мультипликатив-

пая полугруппа полукольца коммутативна, то полукольцо называется коммутативным. Полукольцо называется мультипликативно идемпотентным, если оно обладает тождеством хх = х. Аналогично, полукольцо называется аддитивно идемпотентным, если на нем тождественно х + х = х. Полукольцо, одновременно аддитивно и мультипликативно идемпотентное, называется идемпотентным. Полукольцо с тождеством х + у = ху называется моно-полукольцом. Будем говорить, что полукольцо £ обладает константным сложением, если в нем выполняется тождество х-\-у = и + и. Наконец, полукольцо с тождеством хух = х называется прямоугольным.

Объектом данной работы являются мультипликативно идемпотентные полукольца. Многообразие 9Я мультипликативно идемпотентных полуколец достаточно обширно и интересно. Оно содержит следующие многообразия полуколец: дистрибутивные решетки, булевы кольца, идемпотентные монополукольца, прямоугольные полукольца, мультипликативно идемпотентные полукольца с константным сложением. В работе показано, что во многом изучение класса сводится к этим пяти классам полуколец.

Ранее изучались отдельные классы мультипликативно идемпотентных полуколец, в основном идемпотентные полукольца. В частности, Р. Рав^п [42] изучал решетку подмногообразий многообразия всех идемпотентных полуколец. Им показано, что она дистрибутивна и содержит ровно 78 элементов.

С точностью до изоморфизма, существует 6 двухэлементных полуколец: двухэлементная цепь В, двухэлементное поле двухэлементное идемпотентное моно-полукольцо с единицей В, двухэлементное полукольцо с единицей и константным сложением Т, двухэлементное полукольцо Ь с тождеством ху = х и двухэлементное полукольцо К с тождеством ху = у. Первые четыре из них коммутативны, а полукольца В, В, Ь,К. — идемпотентны.

В произвольном полукольце Б:

— элемент в называется поглощающим по умноо/сепию (поглощающим по сложению), если для всех х Е Б выполняется в • х — х • 9 = О

(соответственно, в + х = в) для всех х € 5;

— элемент со называется поглощающим, если он является поглощающим как по сложению, так и по умножению;

— элемент 0 называется пулевым, если он поглощающий по умножению и нейтральный по сложению.

Если полукольцо обладает нулевым элементом 0, то оно называется полукольцом с нулем 0. Полукольцо с нулем 0 называется антикольцом, если оно удовлетворяет квазитождеству х + у = 0=$*х = 0.

К любому полукольцу S можно присоединить нулевой элемент 0, или поглощающий элемент сю. Полученные полукольца обозначим S U {0} и S U {оо}, соответственно. Отметим, что если S мультипликативно идемпотентно (идемпотентно), то полукольца S U {0} и S U {сю} также мультипликативно идемпотентны (идемпотентны).

Полукольца, по тем или иным параметрам близкие к дистрибутивным решеткам, изучались в работах многих авторов.

Укажем ряд статей, в которых рассматриваются идемпотентные полукольца (включая полукольца с некоммутативным сложением), многообразие всех таких полуколец, решетка подмногообразий: [38,45,46,49,52-54].

F. Pastijn, A. Romanowska, Y. Guo и др. изучали дистрибутивные полукольца, то есть полукольца обладающие двойственным законом дистрибутивности x+yz — (x-\-y)(x+z) с идемпотентным (в том числе некоммутативным) сложением (см., например [41,43,44,48]). Отметим, что коммутативные идемпотентные дистрибутивные полукольца называют также квазирешетками, им посвящены статьи [26,36,47].

J. А. Kaiman доказал [36], что с точностью до изоморфизма существует три иодпрямо неразложимых коммутативных идемпотентных дистрибутивных полукольца: В, Ю> и В U {оо}.

S. Ghosh показал [29], что произвольное коммутативное мультипликативно полукольцо с тождеством х + 2ху = х будет подпрямым произведением

булева кольца и дистрибутивной решетки. Аналогичный результат для многообразия всех мультипликативно идемпотентных полуколец с нулем и единицей, обладающих тождеством 1 + 2х = 1 получил F. Guzman [34]. Показано, что любое полукольцо из коммутативно и является подпрямым произведением семейства полуколец и В, а также может быть порождено полукольцом Z2 U {0}.

В диссертации решены следующие задачи:

1. доказаны исходные свойства мультипликативно идемпотентных полуколец (пункты 1.2 и 1.3);

2. в терминах расширений получены структурные результаты о мультипликативно идемпотентных полукольцах, в определенной мере сводящие их изучение к пяти указанным выше классам полуколец (глава 2);

3. найдены необходимые условия подпрямой неразложимости полуколец в многообразии полуколец с коммутативным идемпотентным умножением, позволившие описать конечные цепные подпрямо неразложимые полукольца €Ш (пункт 3.1);

4. изучено многообразие 91 полуколец, порожденное двухэлементными коммутативными мультипликативно идемпотентными полукольцами (пункт 3.2);

5. доказано, что решетка £(9Л) подмногообразий в ШТ является бесконечной немодулярной решеткой с псевдодополнениями (пункт 3.3).

Кратко рассмотрим содержание диссертации, указывая мотивы выбора вопросов и основные результаты. Диссертация содержит введение, 3 главы, разбитых на 8 пунктов, список литературы и предметный указатель.

В каждом из параграфов применяется сквозная тройная нумерация отдельно для теорем, предложений, лемм, следствий, замечаний и примеров. Например, предложение 1.2.3 означает, что это третье по порядку предложение второго пункта первой главы.

В главе 1 вводятся основные понятия теории полуколец; приводятся общие исходные свойства мультипликативно идемпотентных полуколец; даются примеры конечных полуколец с идемпотентным умножением. Для замкнутости изложения ряд известных утверждений главы 1 приводится с доказательством и ссылкой на соответствующий источник.

В пункте 1.1 приведены примеры полуколец с различными свойствами, а также примеры известных конгруэнций на полукольцах.

Дана следующая характеризация моно-полуколец:

Предложение 1.1.2. Справедливы следующие утверждения:

1. Моно-полукольца Б — это в точности коммутативные полугруппы (Б, +) с тождеством х-\-х + у + г — х-\-у + г и умножением -К

2. Моно-полукольца с единицей 1 совпадают с идемпотентными полукольцами с единицей 1, являющейся наименьшим элементом в Б.

В пункте 1.2 рассматриваются исходные свойства мультипликативно идемпотентных полуколец.

Предложение 1.2.1. В любом мультипликативно идемпотентном полукольце Б выполняются следующие тождества:

1. х + ху + ух + у = х + у, в частности, х + х + х + х = х + х (или 4х = 2х);

2. х + ху + у = х + ух + у;

3. х + 2ху + у = х + у;

4■ х + ху = х 4- 3ху и х + ух — х + 3ух.

Непустое подмножество I полукольца Б называется идеалом, если для любых а, Ь 6 /, я € 5 выполняется о + 6, ав, ва Е I. Идеал I называется простым, если аЬ € I влечет а £ I или Ь Е I для всех а, Ъ Е £>.

Говорят, что простые идеалы полукольца Б разделяют его элементы, если для любых а,Ъ £ Б, а ^ Ъ, найдется простой идеал в Б, содержащий ровно один из элементов а, Ъ.

Предложение 1.2.3. Простые идеалы произвольного полукольца Б разделяют его элементы тогда и только тогда, когда 5 коммутативно и мультипликативно идемпотептно.

В произвольном полукольце Б вводится «разностное» бинарное отношение

х ^ у х — у или (3 х е 5) х + г = у, которое рефлексивно и транзитивно. Если отношение ^ антисимметрично, то есть является отношением порядка, то полукольцо Б назовем упорядочиваемым.

Предложение 1.2.4. Произвольное мультипликативно идемпотент-ное полукольцо упорядочиваемо тогда и только тогда, когда на нем тождественно Зх = 2х.

Кроме того, показано, что для любого мультипликативно идемпотентного полукольца <5 решетка всех его идеалов дистрибутивна (предложение 1.2.10), а решетка конгруэнций, вообще говоря, не обязана быть модулярной (замечание 1.2.1).

Пункт 1.3 посвящен конечным полукольцам с идемпотентным умножением. Приведены важные примеры таких полуколец. Подсчитано число элементов в свободных коммутативных мультипликативно идемпотентных полукольцах (в том числе с дополнительными тождествами За; = 2х, Зж = х,2х — х) с п ^ 3 свободными образующими. Указаны все двух- и трехэлементные полукольца с коммутативным идемпотентным умножением, описаны их свойства.

Показано, что произвольное (конечное) мультипликативно идемпотентное полукольцо с нулем изоморфно вкладывается в (конечное) мультипликативно идемпотентное полукольцо с нулем и единицей (предложение 1.3.1).

На основании результата о конечности конечнопорожденных идемпотентных полугрупп [39] получается

Предложение 1.3.5. Свободное мультипликативно идемпотентное

полукольцо с множеством X свободных образующих конечно тогда и только тогда, когда мнооюество X конечно.

В главе 2 рассматриваются структурные свойства мультипликативно идемпотентных полуколец.

Полукольцо S с поглощающим элементом по умножению 9 называется 9-расширением полукольца А при помощи полукольца В, если существует такая конгруэнция р на S, что [в]р = А и S/p = В. Если 0 = 0 — нуль, то S называется 0-расширением полукольца А при помощи полукольца В. Аналогично, полукольцо S с единицей 1 назовем 1 -расширением полукольца А при помощи полукольца В, если на S существует такая конгруэнция р, что [1], = А и S/p = В.

Полукольцо S будем называть полукольцевым расширением (или связкой) семейства полуколец А{ (г £ I) при помощи полукольца В, если на S существует такая конгруэнция что S/p = В и каждый класс [а{]р является подполукольцом в S, изоморфным соответствующему полукольцу А{.

В пункте 2.1 изучаются основные структурные свойства мультипликативно идемпотентных полуколец (в том числе с коммутативным умножением и нулем).

Для произвольного полукольца S с нулем 0 через r(S) обозначим множество элементов полукольца, имеющих противоположный элемент по сложению. Ясно, что если S — мультипликативно идемпотентное полукольцо, то r(S) будет булевым кольцом.

Теорема 2.1.1. Всякое конечное мультипликативно идемпотентное полукольцо с нулем разлагается в прямую сумму однозначно определенных булева кольца и мультипликативно идемпотептного антикольца.

Предложение 2.1.3. Всякое мультипликативно идемпотентное полукольцо S является полукольцевым расширением семейства мультипликативно идемпотентных полуколец с тождеством 2х = 2у при помощи идемпотептного полукольца.

Теорема 2.1.4. Любое мультипликативно идемпотеитиое полукольцо S с нулем 0 является 0-расширением булева кольца r(S) с помощью идем-потентного полукольца.

Предложение 2.1.8 Всякое коммутативное мультипликативно идем-потентное полукольцо S с нулем является 0—расширением булева кольца при помощи дистрибутивной решетки.

В пункте 2.2 указаны структурные результаты для мультипликативно идемпотентных полуколец с некоторыми дополнительными условиями, выраженными тождествами 2х ~ х, 2х — 2у, х + 2хух = х и другими.

В предложении 2.2.6 рассматривается строение коммутативных мультипликативно идемпотентных дистрибутивных полуколец, из которого вытекает

Следствие 2.2.3. Любое коммутативное иделтотеитпое дистрибутивное полукольцо S является полукольцевым расширением селгейства дистрибутивных решеток при помощи идемпотентного моно-полукольца.

Глава 3 посвящена изучению многообразия 9Л мультипликативно идемпотентных полуколец. Главное внимание уделено изучению многообразия (£®Т коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец. При изучении многообразий полуколец исходными служат две классические теоремы Бирк-гофа. Напомним, что многообразием полуколец называется класс всех полуколец, удовлетворяющих некоторому набору полукольцевых тождеств. По первой теореме Биркгофа [12, с. 185], произвольный класс полуколец будет многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия подполуколец, гомоморфных образов и любых прямых произведений. Из второй теоремы Биркгофа [12, с. 115] следует, что любое полукольцо является подпрямым произведением подпрямо неразложимых полуколец (полукольцо S называется подпрямо неразложимым, если на нем существует наименьшая ненулевая конгруэнция).

В пункте 3.1 изучаются подпрямо неразложимые коммутативные муль-

типликативно идемпотентные полукольца (получены необходимые условия, описаны конечные цепные полукольца).

Теорема 3.1.1. Для всякого подпрямо неразложимого полукольца Б £ справедливы следующие утверждения:

1. <9 имеет единицу 1;

2. множество {1} — наибольший идеал в <5>, обладающий единицей е;

3. наименьшей ненулевой конгруэнцией на Б служит конгруэнция, склеивающая только элементы 1 и е;

4- в Б верно равенство 3 = 2 или 3 = 1 и е = 2.

Коммутативное мультипликативно идемпотентное полукольцо назовем цепным, если полурешетка (5, •) является цепью.

Теорема 3.1.2. Для любого кардинала га ^ 2 в многообразии существуют цепные подпрямо неразложимые полукольца мощности т как с О, так и с оо.

Отметим, что для любого натурального числа т ^ 2, с точностью до изоморфизма, существует ровно 4 га-элементных цепных подпрямо неразложимых коммутативных мультипликативно идемпотентных полукольца (см. предложение 3.1.6).

Пункт 3.2 посвящен изучению подмногообразий многообразия полуколец, порожденного двухэлементными коммутативными мультипликативно идем-потентными полукольцами. Доказано, что решетка таких подмногообразий является 16-элементной булевой решеткой.

Для полуколец 61,..., 5П через Ш1(51,..., 5П) будем обозначать многообразие полуколец, порожденное этими полукольцами. Это означает, что многообразие 9Л(51,... ,5П) задается множеством всевозможных тождеств, выполняемых на каждом из полуколец 51,..., ¿>п.

Отметим, что ШТ(В) есть многообразие всевозможных дистрибутивных решеток, то есть полуколец с коммутативным идемпотентным умножением, обладающих законом поглощения х+ху = х. Легко видеть, что многообразие

всех булевых колец характеризуется в 9Л тождеством х -Ь 2у = х и совпадает с Кроме того, 9Л(В) — многообразие всех моно-полуколец, а 9Л(Т) —

многообразие всех коммутативных мультипликативно идемиотентных полуколец с константным сложением (предложения 3.2.1, 3.2.2).

Как было отмечено выше, многообразие Ш1(В, й2) = ШТ(22 и {0}) — это многообразие всех коммутативных мультипликативно идемиотентных полуколец с тождеством х + 2ху = х [29], а Ш?(В,В) = 9Л(Ви{оо}) является многообразием всевозможных идемпотентных дистрибутивных полуколец [36].

Перечислим основные результаты пункта 3.2 (предложения 3.2.6-3.2.9):

• ШТ(В,Т) — это многообразие всех коммутативных лгультипликатив-но идемиотентных полуколец Б с тождеством х + ху = 2х.

• 9Л(В, Т) есть многообразие всех коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец с тоэюдеством х + у = 2ху.

• Ш1(Й2,Т) совпадает с многообразием всех коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец с тождеством 2х = 2у.

• 9Л(В, Ъ<2) = Ш1(й2и{оо}) является многообразием всевозможных коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец с тоо/с-деством 2х + ху = ху.

В пункте 3.2 изучается многообразие ОХ полуколец, порожденное двухэлементными полукольцами с коммутативным идемпотентным умножением В, В, г2,Т.

Теорема 3.2.1. Лолугсолъ^а В, й2, В, Т,Ви{оо}^2и{оо} исчерпывают — с точностью до изоморфизма — все подпрямо неразлоэ/симые полукольца многообразия 91.

Таким образом, произвольное полукольцо /5 Е ОТ будет подпрямым произведением некоторого семейства полуколец В,Й2,В, Т,В и {оо},й2 и {оо}. В классе 9К многообразие ОТ задается одним тождеством х + 2 ху + у г = х + 2хг + уг (следствие 3.2.6).

Теорема 3.2.2. Решетка подмногообразий многообразия 01 является 16-элементной булевой решеткой.

Предложение 3.2.10. Для всякого полукольца Б Е имеют место следующие утверждения:

1. 5 Е ШТ(В, 7*2, Т) <9 обладает тождеством х + 2ху = Зх;

2. 5 Е ШТ(В, О, Т) <=$ 5 дистрибутивно 5 Е ОХ и удовлетворяет тождеству Зх = 2х;

3. Б Е Т) 5 обладает тождеством х + 2ху = Зжу;

| 5 6 Ш1(В^2,Е>) -ФФ 5 Е ОТ и в удовлетворяет тождеству Зх = х.

В пункте 3.3 получены новые соотношения для подмногообразий многообразия ШТ.

Теорема 3.3.1. Произвольное мультипликативно идемпотентное полукольцо является подпрямым произведением полуколец, одно из которых обладает тождеством Зх = 2х, а другое обладает тождеством Зх = х. Стало быть,

ШТ = Ш{3х = х)У ШТ(Зж = 2х).

Теорема 3.3.2. Решетка Ь{ШТ) является решеткой с псевдодополнениями.

Теорема 3.3.4. Решетка 1/(ШТ) не является модулярной.

Показано, что решетка Ь(Ш(Зх = 3у)) дистрибутивна и счетна (предложение 3.3.7).

Главными результатами диссертации можно считать теоремы 2.1.1, 3.1.1, 3.1.2, 3.2.1, 3.2.2, 3.3.1, 3.3.2, 3.3.4, предложение 1.2.3, 3.3.7.

Используемые понятия и факты можно найти: по теории полуколец — в книгах Д. С. Голана [32] и В. В. Чермных [24], по общей алгебре — в монографии П. Кона [12] и справочниках [1,17], по теории упорядоченных множеств и решеток — в трудах Г. Биркгофа [2], Г. Гретцера [10], Р. Сикорского [20].

Список литературы содержит 72 источника. Основные результаты диссертации опубликованы в 18 работах [55-72], из них две в ведущих рецензируемых журналах [55, 56].

Результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях Вятского государственного гуманитарного университета в 2012—

2014 годах, регулярно на научном алгебраическом семинаре г. Кирова (руководители семинара доктора физ.-мат. наук профессора Е. М. Вечтомов и В. В. Чермных), апробированы на Международных алгебраических и математических конференциях в Туле (2012, 2014 гг.), Екатеринбурге (2012 -

2015 гг.), Волгограде (2012 г.), Николаеве (2012 г.), Красноярске (2013 г.), Вологде (2013 г.), Львове (2013 г.), Казани (2014 г.).

Автор глубоко благодарен научному руководителю профессору Евгению Михайловичу Вечтомову за постановку задач, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку. Автор признателен доктору физ.-мат. наук В. В. Чермных, кандидатам физ.-мат. наук В. И. Варанкиной, Е. Н. Лубяги-ной, В. В. Сидорову, Д. В. Чупракову, Д. В. Широкову и всем участникам Кировского городского научного алгебраического семинара за полезные обсуждения, ценные замечания и советы.

ГЛАВА 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Эта глава носит общеалгебраический характер. 1.1 Исходные понятия и примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.1. Полукольцом называется алгебраическая структура (5, -+-, •) с бинарными операциями сложения + и умножения такая, что:

• (5, +) — коммутативная полугруппа;

• (£, •) — полугруппа;

• умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон: а(Ь+

с) — аЬ + ас, (а + Ъ)с = ас + Ьс для всех а, 6, с Е 5.

Полурешеткой называется любая идемпотентная коммутативная полугруппа.

Элемент 9 произвольного полукольца 5 назовем поглощающим по умножению (поглощающим по сложению), если для всех х £ Б выполняется х • 0 = 9 ■ х — 9 (соответственно, х + 9 = 9). Элемент полукольца, поглощающий по сложению и по умножению, называется поглощающим. Если в полукольце 5 существует нулевой элемент 0, нейтральный по сложению и поглощающий по умножению, то называется полукольцом с нулем 0. Наконец, если полукольцо Б обладает элементом 1, нейтральным по умножению, то Б называется полукольцом с единицей 1.

Отметим, что к любому полукольцу 5 можно естественным образом присоединить нулевой элемент 0 или поглощающий элемент оо. Обозначим полученные полукольца 5 и {0} и 5 и {оо}, соответственно.

Полукольцо называется коммутативным, если операция умножения • коммутативна.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.2. Полукольцо с тождеством хх = х (х + х = х) называется мультипликативно идемпотентным (соответственно, аддитивно идемпотентиым). Полукольцо, одновременно мультипликативно и аддитивно идемпотентное, называется идемпотентным.

Полукольцо S называется дистрибутивным, если на нем выполняется двойственный закон дистрибутивности х + yz = (х + у)(х + z).

Полукольцо с тождеством х + у = ху называется моно-полукольцом. Моно-полукольца коммутативны. Кроме того, моно-полукольца с единицей идемпотентны.

Будем говорить, что полукольцо S обладает константным сложением, если существует элемент t £ S, такой, что х + у = t для всех х,у £ S (равносильно, S удовлетворяет тождеству х + у = и + v).

ПРИМЕР 1.1.1. 1. Произвольное ассоциативное кольцо является полукольцом с нулем. В частности, любое булево кольцо — пример коммутативного мультипликативно идемпотентного полукольца. Заметим, что конечные булевы кольца содержат единицу.

2. Дистрибутивные решетки — суть в точности коммутативные идемпо-тентные полукольца, обладающие законом поглощения х + ху = х.

3. Множество всех идеалов произвольного кольца является аддитивно идемпотентным полукольцом с единицей относительно операций сложения и умножения идеалов.

4. Числовые полукольца. Множество всех натуральных чисел N, положительных рациональных чисел Q+ и положительных действительных чисел К+ наделенные обычными операциями сложения и умножения — коммутативные полукольца с единицей. Если в качестве операции сложения на любом из указанных множеств выбрать операцию max (взятие наибольшего элемента), то получим аддитивно идемпотентные полукольца.

4. Основой идемпотентного анализа [16] служит минимаксное полуполе (R U {—оо}, max, +). Нулем служит элемент —оо , а единицей — число 0. □

JlEMMA 1.1.1. [6, §2, теорема 2] Дистрибутивные полукольца S с нулем О — это в точности дистрибутивные решетки с нулем.

Доказательство. Достаточность очевидна. Для доказательства необходимости проверим аксиомы решетки. Имеем для произвольных х,у £ S

ж = я + 0- 0 = (ж + 0)(ж + 0) = хх, х = х + х • 0 = (х + х)(х + 0) = х2 + х2 = х + х, х = х + 0 • у = (х + 0)(х -{- у) = х + ху, х = х + у • 0 = (х + у)(х + 0) = х + ух, ху = ху + хух = хуху -f хух ■ хух = хух + ухух — хух + ух = ух.

□

Для любого элемента а полукольца S и натурального числа п ^ 2, будем обозначать

па = а + . + а.

п слагаемых

Если S — полукольцо с единицей 1, то при а = 1 пишем па = п, так 1 + 1 = 2,1 + 1 + 1 = 3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.3. Идеалом (фильтром) полукольца S называется всякое его непустое подмножество /, такое, что для любых a,b £ I, s £ S выполняется: as, sa £ I, а + Ъ £ I (a + s £ /, ab £ I). Для идеалов (множеств) I, J обозначим идеалы (множества) I + J — {i + j : г £ I, г £ J} и I • J = (DLi ikjk ■ ik £ IJk E J, n£ N}.

Множество Ids' всех идеалов полукольца S относительно теоретико-множественного включения С есть решетка с операциями sup(/, J) = I + J и inf(7, J) = IHJ.

Собственный идеал I полукольца S называется:

• полустрогим (строгим), если а, а + Ъ £ I (соответственно, а + b £ I) влечет Ъ £ /;

• простым, если из ab £ I следует а £ I или Ъ £ /;

• биидеалом, если для всех a £ I, s £ S выполняется a + s £ I.

Через Spec S обозначим множество всех простых идеалов полукольца S. Любой биидеал I определяет рисовскую конгруэнцию на полукольце S : I будет одним из ее классов, остальные классы одноэлементны. Обозначим соотвест-вующее факторполукольцо S/I.

Пусть r(S) — множество всех элементов полукольца S с нулем 0, имеющих противоположные по сложению элементы. Легко видеть, что r(S) является подкольцом и строгим идеалом в S. Полукольцо S с нулем 0 называется антикольцом, если в нем r(S) = {0}.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.4. Отношение эквивалентности р на произвольном полукольце S называется конгруэнцией, если для всех x,y,z £ S из хру следует (х + z)p(y + z), (xz)p{yz), (zx)p(zy).

Примеры конгруэнций на полукольцах.

1. На любом полукольце S есть две тривиальные конгруэнции: нулевая конгруэнция Os — отношение равенства и единичная конгруэнция Is — од-ноклассовая.

2. Для произвольного идеала I полукольца S определяется конгруэнция Берна р{1):

хр(1)у -ФФ 3s,t е 1(х + s = у + t).

Хорошо известно, что для произвольного идеала I полукольца S с нулем 0 эквивалентны следующие условия (см. [6, §4, предложение 2]):

1) I — полустрогий идеал;

2) I = [0]р — класс нуля некоторой конгруэнции р на S\

3) / = [оW).

3. Пусть а : S —> Т — произвольный гомоморфизм полуколец. Отношение равно образно emu ра отображения а :

араЪ означает а(а) = а(Ь) для любых а,Ъ £ S, является конгруэнцией на S. □

Множество Con S всех конгруэнций полукольца S является решеткой относительно включения конгруэнций:

р С т означает, что арЪ =>• атЪ для любых а, 6 G S. Наименьшим элементом в Con S служит конгруэнция Os, наибольшим элементом — I5.

В произвольном полукольце S вводится «разностное» отношение х ^у х = у или (3zES)x + z = y. Оно рефлексивно и транзитивно, но не обязательно антисимметрично. Если отношение ^ антисимметрично, то есть является отношением порядка, то полукольцо назовем упорядочиваемым. Бинарное отношение ~ на S :

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Петров, Андрей Александрович, 2015 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А. и др. Общая алгебра. Т. 2. Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. М.: Наука, 1991. 480 с.

[2] Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. 568 с.

[3] Богданов И. И. Полиномиальные соотношения в полукольцах: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Москва: МГУ им. М. В. Ломоносова, 2004. 72 с.

[4] Верников Б. М., Волков М. В. Дополнения в решетках многообразий и квазимногообразий // Изв. вузов. Мат. 1982. №11. С. 17-20.

[5] Вечтомов Е. М. Аннуляторные характеризации булевых колец и булевых решеток // Математические заметки. 53:2 (1993). С. 15-24.

[6] Вечтомов Е. М. Введение в полукольца. Киров: Изд-во ВятГПУ, 2000. 44 с.

[7] Вечтомов. Е. М. Введение в структурную теорию полуколец и полу-тел // Материалы XIX Международной конференции «Математика. Образование». Чебоксары: ЧГУ, 2011. С. 56-68.

[8] Вечтомов. Е. М. Две общие структурные теоремы о полу модулях / / Абелевы группы и модули. Сб. статей. Томск: Изд-во ТГУ, 2000. Вып. 15. С. 17-23.

[9] Вечтомов Е. М. Строение полутел // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 10. С. 3-42.

[10] Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982. 456 с.

[11] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 2. М.: Мир. 1972. 424 с.

[12] Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968. 352 с.

[13] Лукин М. А. Об одной универсальной конгруэнции на полукольцах // Проблемы современного математического образования в вузах и школах России: Материалы V Всероссийской науч.-метод. конф. Киров, 2012. С. 312-316.

[14] Лукин М. А. Полукольцевые объединения кольца и нолутела: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Киров: ВятГГУ, 2009. 82 с.

[15] Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.

[16] Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Наука, 1994. 144 с.

[17] Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Общая алгебра. Т. 1. Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. М.: Наука, 1990. 592 с.

[18]Полин С. В. Минимальные многообразия полуколец // Матем. заметки. 1980. Т. 27. № 4. С. 527-537.

[19] Ряттель А. В. Положительно упорядоченные полутела: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Киров: ВятГГУ, 2007. 89 с.

[20] Сикорский Р. Булевы алгебры. М.: Мир, 1969. 376 с.

[21] Скорняков Л. А. Элементы теории структур. М.: Наука, 1982. 160 с.

[22] Старостина О. В. Абелево-регулярные положительные полукольца: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Киров: ВятГГУ, 2007. 90 с.

[23] Черанева А. В. Ядра и пучки полутел: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Киров: ВятГГУ, 2008. 95 с.

[24] Чермных В. В. Функциональные представления полуколец. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2010. 224 с.

[25]Шеврин Л. Н., Верников Б. М., Волков М. В. Решетка многообразий полугрупп // Известия вузов. Математика. 2009. №3. С. 3-36.

[26] Balbes R. A representation theorem for distributive quasi-lattices // Fund. Math. 1970. V. 68. P. 207-214.

[27] Cornish W. H. Subdirectly irreducible semirings and semigroups without nonzero nilpotents // Canad. Math. Bull. 1973. V. 16 (1). P. 45-47.

[28]Chermnykh V. V. Functional representations of semirings. // Journal of Mathematical Sciences (USA). 2012. 187:2. P. 187-267.

[29] Ghosh S. A characterization of semirings which are subdirect products of a distributive lattice and a ring // Semigroup Forum. 1999. V. 59. P. 106—120.

[30] Ghosh S. Another note on the least lattice congruence on semirings // Soochow journal of mathematics. 1996. V. 22. № 3. P. 357-362.

[31] Glazek K. A. A Guide to the Literature on Semirings and their Applications in Mathematics and Information Science. Kluwer academic publishers: Dordrecht, Boston, London. 2002. 392 p.

[32] Golan J. S. Semirings and their applications. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht-Boston-London, 1999. 380 p.

[33] Gondran M., Minoux M. Graphs, dioids and semirings: New models and algorithms // Springer Science+Business Media, LLC, 2008. 383 p.

[34] Guzman F. The variety of Boolean semirings // Journal of Pure and Applied Algebra 1992. V. 78. № 3. P. 253-270.

[35] Idempotency (J. Gunawardena, editor). Publ. of the Newton Institute, Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1998. 443 p.

[36] Kalman J. A. Subdirect decomposition of distributive quasilattices // Fund. Math. 1971. V. 71. P. 161-163.

[37] Kimura N. The structure of idempotent semigroups // Pasific J. Math., 1958. V. 8, m. P. 257-275.

[38] McKenzie R., Romanowska A. Varieties of -distributive bisemilattices // «Contrib. Gen. Algebra. Proc. Klagefurt Conf., 1978». Klagefurt, 1979. P. 213218.

[39] McLean D. Idempotent semigroups // Amer. Math. Monthly, 1954. V. 61, №2. P. 110-113.

[40] Monico C. On finite congruence-simple semirings // Journal of Algebra. 2004. V. 271. P. 846-854.

[41] Pastijn F. Idempotcnt distributive semirings II // Semigroup Forum. 1983. V. 26. P. 153-166.

[42] Pastijn F. Varieties Generated by Ordered Bands II // Order. 2005. V. 22. P. 129-143.

[43] Pastijn F., Guo Y. Q. The lattice of idempotent distributive semiring varieties // Science in China. Ser. A. 1999. V. 48(8). P. 785—804.

[44] Pastijn F., Romanowska A. Idempotent distributive semirings I // Acta Sci. Math. (Szeged). 1982. V. 44. P. 239-253.

[45] Pastijn F., Zhao X. Z. Green's D-relation for the multiplicative reduct of an idempotent semiring // Arch. Math. (Brno). 2000. V. 36. P. 77—93.

[46] Pastijn F., Zhao X. Z. Varieties of idempotent semirings with commutative addition // Algebra universalis. 2005. V. 54. P. 301—321.

[47] Plonka J. On distributive quasi-lattices // Fund. Math. 1967. V. 60. P. 191-200.

[48] Romanowska A. Idempotent distributive semirings with a semilattice reduct // Math. Japonica. 1982. V. 27. P. 483-493.

[49] Romanowska A. On bisemilattices with one distributive law // Algebra Universalis. 1980. V. 10. P. 36-47.

[50] Vandiver H. S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold // Bull. Amer. Math. Soc. 1954. V. 40. P. 914—920.

[51] Wiedemann D. A computation of the eight Dedekind number // Order, 1991. V. 8 (1). P. 5-6.

[52] Zhao X. Z. Idempotent semirings with a commutative additive reduct // Semigroup Forum. 2002. V. 64. P. 289—296.

[53] Zhao X. Z., Guo Y. Q., Shum K. P. D-subvariety of idempotent semirings // Algebra Colloquium. 2002. V. 9. P. 15—28.

[54] Zhao X. Z., Shum K. P., Guo Y. Q. L-subvariety of idempotent semirings // Algebra Universalis. 2001. V. 46 P. 75—96.

Публикации автора по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК:

[55] Вечтомов Е. М., Петров А. А. Мультипликативно идемпотентные полукольца // Фундаментальная и прикладная математика. 2013. Т. 18. № 4. С. 41-70.

Translation: Vechtomov Е. М., Petrov A. A. Multiplicatively idempotent semirings // Journal of Mathematical Sciences (USA). 2015. V. 206. № 6. P. 634653.

[56] Вечтомов E. M., Петров А. А. Свойства мультипликативно идемпо-тентных полуколец // Ученые записки Орловского государственного университета. Серия «Естественные, технические и медицинские науки». 2012. № 6. Ч. 2. С. 60-68.

Прочие публикации:

[57] Вечтомов Е. М., Петров А. А. Многообразие полуколец, порожденное двухэлементными полукольцами с коммутативным идемпотентным умножением // Чебышевский сборник. Том XV. Вып. 3. Тула, 2014. С. 12-30.

[58] Вечтомов Е. М., Петров А. А. Мультипликативно идемпотентные полукольца с тождеством х + 2хух = х // Вестник Сыктыв. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Информатика. 2013. № 17. С. 44-52.

[59] Вечтомов Е. М., Петров А. А. Некоторые многообразия коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец // Современные проблемы математики и ее приложений: труды 45-й Международной молодежной школы-конференции, поев. 75-летию В. И. Бердышева. Екатеринбург, 2014. С. 10-12.

[60] Вечтомов Е. М., Петров А. А. О конечных мультипликативно идемпотентных полукольцах // Алгебра и линейная оптимизация: Тезисы Между-нар. конф., посвящ. 100-летию С. Н. Черникова. Екатеринбург, 2012. С. 37-38.

[61] Вечтомов Е. М., Петров А. А. О многообразии полуколец с идемпотентным умножением // Алгебра и логика: теория и приложения: тез. докл.

Междунар. конф., посвящ. памяти В. П. Шункова. Красноярск, 2013. С. 3334.

[62] Вечтомов Е. М., Петров А. А. О подмногообразиях многообразия полуколец с полурешеточным умножением // Алгебра и математическая логика: теория и приложения: Матер. Междунар. конф. Казань, 2014. С. 155-156.

[63] Вечтомов Е. М., Петров А. А. О подпрямо неразложимых коммутативных мультипликативно идемпотентных полукольцах // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тез. докл. XI Междунар. конф. Саратов, 2013. С. 14-15.

[64] Вечтомов Е. М., Петров А. А. О свойствах мультипликативно идемпотентных полуколец // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тез. X Междунар. конф. Волгоград, 2012. С. 19-20.

[65] Вечтомов Е. М., Петров А. А. Полукольца с коммутативным идемпо-тентным умножением // Математика в современном мире: материалы Международной конференции, поев. 150-летию Д. А. Граве. Вологда, 2013. С. 1011.

[66] Петров А. А. Один класс мультипликативно идемпотентных полуколец // Алгебра и комбинаторика: тезисы Междунар. конф. по алгебре и комбинаторике, поев. 60-летию А. А. Махнева. Екатеринбург, 2013. С. 131132.

[67] Петров А. А. О двупорожденных полукольцах с идемиотентным умножением // Матем. вестник педвузов и ун-в Волго-Вятского региона. Вып. 14. Киров, 2012. С. 146-153.

[68] Петров А. А. О свободных полукольцах с коммутативным идемпо-тентным умножением // Матем. вестник педвузов и ун-в Волго-Вятского региона. Вып. 16. Киров, 2014. С. 102-106.

[69] Петров А. А. Полукольца с условиями идемпотентности // Чебышев-ский сборник. Том XIII. Вып. 1 (41). Тула, 2012. С. 118-129.

[70] Vechtomov Е. М., Petrov A. A. About semirings with semilattice multiplication // Algebra and Number Theory: Modern Problems and Application: Proceedings XII International Conference, dedicated to 80-th anniversary of Professor V. N. Latyshev. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2014. Р. 175-178.

[71] Vechtomov Е. М., Petrov A. A. About the structure of multiplicative idempotent semirings // Abstract of reports of the 9-th International Algebraic Conference in Ukraine. L'viv, 2013. P. 210.

[72] Vechtomov E. M., Petrov A. A. On idempotent semirings with dual distributive law // Book of Abstracts of the International Mathematical Conference on occasion the 70th year anniversary of Professor Vladimir Kirichenko. Mykolayiv, 2012. P. 174.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

FM(X), 32 FM(X), 32 S U {0}, 16 S U {oo}, 16 X, 63 тм, 67 Spec 5, 19 m(A), 88 r(S), 19

Аннулятор

подмножества Ann A, 28 элемента Ann a, 28 Антикольцо, 19

Бинарное отношение 51 5, 52 7, 58 20 21 cr, 56 cr(F), 53

64 6>(P), 65 a~, 54

Идеал, 18 биидеал, 18

полустрогий, 18 простой, 18 строгий, 18

Конгруэнция, 19 р', 34 Рш, 91 20 49

~(2), 49

~(3)> 67

Берна, р(1), 19 единичная, 19 задаваемая разбиением, 67 нулевая, 0^, 19 рисовская, 19 Конус

верхний, 30 нижний, 30

Многообразие полуколец, 62 62 ЯК, 62 т, 79 Моно-полукольцо, 17

Полукольцо, 16

5рО. 60

54} 32

аддитивно идемпотентное, 17 дистрибутивное, 17 идемпотентное, 17 коммутативное, 16 конгруэнц-простое, 64 мультипликативно идемпотентное, 17

подпрямо неразложимое, 64 полугрупповое, 34 прямоугольное, 56 с единицей, 16

с константным сложением, 17 с нулем, 16 свободное, 32 упорядочиваемое, 20 цепное, 70 Полурешетка, 16 верхняя, 21 нижняя, 21 Псевдодополнение, а*, 86

Равенство (*), 29 (**), 79 (***), 79 Расширение

0-расширение, 49

1-расширение, 49 ^-расширение, 48

полу кольцевое, 49 Решетка

О-дистрибутивная, 86 Ь{Ш), 62

дистрибутивная, 17 идеалов, IdS1, 18 конгруэнций, Con 5, 19 с псевдодополнениями, 86

Фильтр, 18

Элемент е, 66

моном, 36 нулевой, 16 однородный, 37 поглощающий, 16 по сложению, 16 по умножению, 16