Динамические системы типа Черри на окружности и на поверхностях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Медведев, Тимур Владиславович

• Медведев, Тимур Владиславович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Медведев, Тимур Владиславович

Введение

1 Отображения окружности без периодических точек

1.1 Отображения окружности с флипами.

1.2 Классификация отображений Черри окружности.

2 Потоки типа Черри на двумерных поверхностях

2.1 Понятие потока типа Черри. Вспомогательные результаты

2.2 Потоки типа Черри на двумерном торе.

2.3 Потоки типа Черри на замкнутой неориентируемой поверхности рода 3.

2.4 Потоки Черри на гиперболических поверхностях.

3 Слоения Черри на двумерной сфере

3.1 Предварительные замечания.

3.2 Орбита вращения.

3.3 Влияние степени гладкости на характеристические числа

3.4 Топологическая классификация простейших слоений Черри на сфере.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические системы типа Черри на окружности и на поверхностях»

Одной;из основных задач качественной/теории-динамических систем является топологическая классификацияшотокови, гомеоморфизмов, заданных на многообразиях. Существенные результаты в этом направлении для раз7 : личных классов потоков и гомеоморфизмов были получены А. А'. Андроновым, Л.С. Понтрягиным, Е.А. Леоитович, А.Г. Майером, многими другими математиками [31, 30]. Классификационные результаты, полученные в этих работах, касались, в основном, динамических систем, у траекторий которых отсутствуют нетривиальные предельные множества; Топологические инварианты потоков' с конечным множеством- особых траекторий? на двумерной'сфере были получены Е.А. Леонтович и А.Г. Майером [50]; а для потоков Морса-Смейла на компактных поверхностях - Пейкшото [24].

В настоящей диссертации; рассматриваются арациональные потоки и слоения на замкнутых двумерртых поверхностях, то есть потоки и слоения без замкнутых траекторий (слоев) и сепаратрисных связей. Динамика таких потоков и слоений наиболее тесно< связана с топологией несущей поверхности; Объектомнашего интереса являются слоения и потоки, имеющие нетривиальные рекуррентные траектории; (слои), то есть отличные от точки покоя (особенности) незамкнутые траектории (слои), лежащие в собственном предельном множестве. Напомним-, что замыкание нетривиальной рекуррентной траектории (слоя) называется квазиминимальным множеством.

Потоки с нетривиальными рекуррентными траекториями существуют на ориентируемых поверхностях, начиная с рода 1 (тор), и на неориентиру-емых поверхностях, начиная с рода 3 [10, 22]. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда у потока (слоения) существует одно квазиминимальное множество, что в случае потоков на двумерном торе и замкнутой неориентируемой поверхности М| рода 3 единственно возможно [7, 36]. Отметим, что в отличие от потоков, не имеющих нетривиальных рекуррентных траекторий на плоскости, двумерном диске и сфере, слоения на этих поверхностях могут иметь нетривиальные рекуррентные слои, и, соответственно, квазиминимальные множества [15, 16];

Изучение потоков с нетривиальными рекуррентными траекториями восходит к Пуанкаре [25], который рассматривал потоки на двумерном торе без состояний равновесия и периодических траекторий: Пуанкаре показал^ что квазиминимальное множество таких потоков может быть либо всюду плотно (такой поток называется, транзитивным), либо нигде не плотно. Примером транзитивного (аналитического) потока на торе является иррациональная обмотка, задаваемая на универсальном накрытии тора евклидовой плоскостью Ж2 системой х — 1-у у — где // иррационально. Пуанкаре полагал, что на торе можно задать аналитический поток с нигде не плотным квазиминимальным множеством; В 1932 году Данжуа [8] однако показал, что такой поток не может быть даже: гладкости • С2.: Вместе с- тем в 1937 году Черри [6] построил аналитический поток на торе, имеющий' два состояния равновесия - узел и седло и нигде не плотное квазиминимальное множество; доказав тем самым ослабленную гипотезу Пуанкаре. Односвязную компоненту дополнения к квазиминимальному множеству, содержащую узел, Черри назвал черной ячейкой. Остальные компоненты этого дополнения- серыми ячейками.

Обобщение конструкции Черри позволило ввести класс потоков и слоений на замкнутых двумерных поверхностях, так называемых потоков и слоений Черри, топологической классификации которых посвящена настоящая диссертация.

Для построения классификации потоков (и слоений) на поверхностях часто удобно использовать технику, предложенную Пуанкаре, заключающуюся в исследовании отображения последования, задаваемого потоком на замкнутой трансверсали. Для гомеоморфизмов окружности Пуанкаре показал существование топологического инварианта - числа вращения Пуанкаре, характеризующее "усредненный поворот". Гомеоморфизмы окружности без периодических точек сопряжены (в транзитивном случае) или полусопряжены (в нетранзитивном) повороту на угол, равный числу вращения [18]. Потоки Черри индуцируют на замкнутой трансверсали отображения, которые не имеют периодических точек, разрывны и в случае потока на замкнутом двумерном многообразии рода 3 имеют так называемый флип. Такие преобразования мы называем преобразованиями Черри, и их топологической классификации посвящена глава 1. Полученные результаты мы применяем в главе 2 для топологической классификации потоков типа Черри на торе и замкнутой неориентируемой поверхности рода 3, а также для классификации слоений Черри в главе 3.

Другой подход к построению системы топологических инвариантов, предложенный А. Вейлем в 1931 году [28] и развитый в работах Д.А. Аносова ([32, 33, 34], обзор [35]), связан с исследованием нелокального асимптотического поведения слоев и траекторий на универсальном накрытии. Поверхность при этом изометричпа фактор-пространству универсального накрытия относительно свободного действия некоторой вполне разрывной группы изометрий, и появляется возможность использования результатов Нильсена [20] о продолжении на абсолют поднятий гомеоморфизма поверхности. Универсальным накрытием тора является евклидова плоскость, а универсальным накрытием замкнутых ориентируемых поверхностей большего рода - плоскость Лобачевского. В обоих случаях абсолютом можно считать окружность. Если поднятие траектории (слоя) па универсальном накрытии уходит в бесконечность, в случае потоков типа Черри это означает, что оно стремится к единственной точке абсолюта (имеет асимптотическое направление). Применение этого подхода позволило, в частности, С.Х. Арансону и В.З. Гринесу классифицировать сверхтранзитивпые потоки на гиперболических поверхностях [40] и нетривиальные минимальные множества потоков на таких поверхностях [41]. В [47, 60] эти результаты были обобщены для сверхтранзитивных потоков на замкнутых неориенти-руемых поверхностях.

Накрывающей кривой, которая в отрицательном и положительном направлениях стремится к различным точкам абсолюта, можно поставить в соответствие соасимптотическую геодезическую. Совокупность соасимпто-тических геодезических образует геодезическую ламинацию, которую называют геодезическим каркасом, и которая содержит информацию о всевозможных асимптотических направлениях нетривиально рекуррентных траекторий (слоев). Такое представление подробно обсуждалось в [2, 21, 35, 41]. В главе 2 мы строим полную систему топологических инвариантов, основанную на геодезическом каркасе потоков типа Черри на замкнутых ориентируемых многообразиях рода больше 1, хотя построенный нами топологический инвариант потоков типа Черри на торе также можно считать инвариантом такого типа. Идея геодезического каркаса берет свое начало из [41].

Диссертация состоит из введения и трех глав. В главе 1 рассматриваются преобразования Черри окружности. Эти преобразования пе имеют периодических точек, и не во всех точках непрерывны и взаимно однозначны. Дается топологическая классификация преобразований Черри окружности, которые имеют не более одного флипа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Медведев, Тимур Владиславович, 2011 год

1. Anjos D. Polynomial vector fields on the torus // Bol. Soc. Bras. Math. 1986. Vol. 17, no. 2. Pp. 1-22.

2. Aranson S., Belitsky G., Zhuzhoma E. Introduction to Qualitative Theory of Dynamical Systems on Closed Surfaces. Amer. Math. Soc., 1996. Vol. 153 of Translations of Math. Monographs.

3. Aranson S., Medvedev T., Zhuzhoma E. Cherry foliations and Cherry flows on the sphere // Selecta Math. Sovietica. 1994. Vol. 13, no. 4. Pp. 283-303.

4. Bendixson I. Sur les courbes définiés par les equations différentielles // Acta Math. 1901. Vol. 24. Pp. 1-88.

5. Cherry Т. Analytic quasi-periodic curves of discontinuous type on a torus // Proc. Lond. Math. Soc. 1937. Vol. 44, no. 2. Pp. 175-215.

6. Cherry T. Topological properties of solutions of ordinary differential equations // Amer. J. Math. 1937. Vol. 59. Pp. 957-982.

7. Denjoy A. Sur les curbes définies par les equations différentielles a la surface du tore // J. Math. Pures Appl.Ser. 1932. Vol. 9, no. II. Pp. 333-375.

8. Gardiner C. The structure of flows exhibiting nontrivial recurrence on two-dimensional manifolds //J. DM. Equal. 1985. Vol. 57, no. 1. Pp. 138-158.

9. Gutierrez C. Smooth nonorientable recurrence on 2-manifolds //J. Diff. Eq. 1978. Vol. 29, no. 3. Pp. 388-395.

10. Gutierrez C. Smoothing continuous flows on 2-manifolds and recurrences // Brgod. Th. and Dyn. Sys. 1986. Vol. 6. Pp. 17-44.

11. Gutierrez C., Lloyd S., Medvedev V. et al. Transitive circle exchange maps with flips // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2010. Vol. 26, no. 1. Pp. 251-263.

12. Herman M. Sur la conjugaison differentiate des diffeomorphismes du cercle a des rotations // PubL Math. I.H.E.S. 1979. Vol. 49. Pp. 5-233.

13. Kneser H. Regulare Kurverscharen auf Ringflachen // Math. Ann. 1923. Vol. 91. Pp. 135-154.

14. Levitt G. Feuilleiages des surfaces. These, Paris, 1983. 234 pp.

15. Levitt G., Rosenberg H. Differentialbility and topology of labyrinths in the disc and annuius // Topology. 1986. Pp. 1-14.

16. Markley N. G. The Poincare-Bendixon theorem for Klein bottle // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 135. Pp. 159-165.

17. Markley N. G. Homeomorphisms of the circle without periodic points //J. London Math. Soc. 1970. Vol. 20. Pp. 688-698.

18. Martens M., van Srien S., de Melo W., Mendes P. On Cherry flows // Ergod. Th.and Dyn. Syst. 1990. Vol. 10. Pp. 531-554.

19. Nielsen J. Untersuchungen zur Topologie der geshlosseenen zweiseitigen Flachen // Acta Math. 1927, 1929, 1932. Vol. 50, 53, 58. Pp. 189-358; 1-76; 87-167.

20. Nikolaev I., Zhuzhoma E. Flows on 2-dimensional manifolds. Lect. Notes 1705, 1999.

21. Nogueira A. Nonorientable recurrence of flows and interval exchange transformations // J. Diff. Eq. 1987. Vol. 70. Pp. 153-166.

22. Palis J., de Melo W. Geometric Theory of Dynamical Systems. An Introduction. Springer-Verlag, 1982.

23. Peixoto M. M. On a classification of flows on 2-manifolds // Proc. Symp. Dyn. Syst. London: Acad. Press, 1973. Pp. 389-419. Salvador.

24. Poincare H. Memoire sur les courbes définies par une equation différentielle // Mayh Pures Appl. 1881, 1882, 1885, 1886. Vol. 1,11. III. IV, 1., no. 7, X, 1, 2. Pp. 375-422; 251-286; 167-244; 151-217.

25. Rosenberg H. Labyrinth in the disc and surfaces // Ann. of Math. 1983. Vol. 117, no. 1. Pp. 1-33.

26. Strelkin J. Flots sur le tore et nombres de rotation // Bull Soc Math. France. 1972. Vol. 100. Pp. 195-208.

27. Weil A. On systems of curves on a ring-shaped surface. // J. Indian Math. Soc. 1931. Vol. 19, no. 5. Pp. 109-112.

28. Yoccoz J. C. Il ny a pas de counter exemple de Denjoy analitique // C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I. Math. 1984. Vol. 298, no. 7. Pp. 141-144.

29. Андронов A. A., Леонтович E. A., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. "Наука", Москва, 1966.

30. Андронов А. А., Понтрягин JI. С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т. 14, № 5. С. 247-250.

31. Аносов Д. В. О поведении траекторий на плоскости Евклида или Лобачевского, накрывающих траектории потоков на замкнутых поверхностях. 1 // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. Т. 51, № 1. С. 16-43.

32. Аносов Д. В. О поведении траекторий на плоскости Евклида или Лобачевского, накрывающих траектории потоков на замкнутых поверхностях. 2 // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1988. Т. 52, № 52. С. 451-478.!

33. Аносов Д. В. О поведении траекторий на плоскости Евклида или Лобачевского, накрывающих траектории потоков на замкнутых поверхностях. 3 // Изв. РАН. Сер. мат. 1995. Т. 59, № 2. С. 63-96.

34. Аносов Д. В., Жужома, Е. В. Нелокальное асимптотическое поведение кривых и слоев ламинаций на универсальных накрывающих. Тр. МИ-АН, 2005. Т. 249. С. 3-239.

35. Арансон С. X. Траектории на неориентируемых двумерных многообразиях // Математический сборник. 1969. Т. 80 (122), № 3 (11). С. 314-333.

36. Арапеон С. X. О топологической структуре квазиминимальных множеств потоков Черри на торе // Методы качествен, теории дифференц. уравнений. 1985. С. 3-18.

37. Арансон С. X. О топологической структуре потоков Черри на торе // Функц. анализ и его прилож. 1986. Т. 20, № 1. С. 62-63.

38. Арансон С. X. О проблеме серых ячеек // Мат. заметки. 1990. Т. 47. С. 3-14.

39. Арансон С. X., Гринес В. 3. О некоторых инвариантах динамических систем на двумерных многообразиях (необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности транзитивных динамических систем) // Мат. сборник. 1973. Т. 90, № 3. С. 372-402.

40. Арансон С. X., Гринес В. 3. О представлении мнинимальных множеств потоков на двумерных многообразиях геодезическими линиями // Известия Академии Наук СССР. 1978. Т. 42, № 1. С. 104-129.

41. Арансон С. X., Жужома Е. В. О топологической классификации сингулярных динамических систем на торе // Изв. вузов. Математика. 1976. Т. 5. С. 104-107.

42. Арансон С. X., Жужома Е. В. Классификация транзитивных слоений на сфере с четырьмя особенностями типа игла // Методы КТДУ. 1984. С. 3-10. Горький.

43. Арансон С. X., Жужома Е. В. С^-поток Черри с серыми ячейками // Методы качествен, теории дифференц. уравнений. 1988. С. 5-10.

44. Арансон С. X., Жужома Е. В., Медведев Т. В. Потоки Черри на двумерной сфере // УМН. 1994. Т. 5(299), № 49. С. 167-168.

45. Арансон С. X., Жужома Е. В., Медведев Т. В. Классификация преобразований Черри на окружности и потоков Черри на торе // Известия ВУЗов. Математика. 1996. Т. 4, № 407. С. 7-17.

46. Арапсоп С. X., Жужома Е. В., Тельных И. А. Транзитивные и сверхтранзитивные потоки на замкнутых неориентируемых поверхностях // Матем. заметки. 1998. Т. 63, № 4. С. 625-628.

47. Блохин А. А. Гладкие эргодические потоки // Труды Московского математического общества. 1972. Т. 27. С. 113-128.

48. Жужома Е. В., Медведев Т. В. Классификация потоков Черри на замкнутых гиперболических поверхностях // Труды Средневолжского математического общества. 2003. Т. 5, № 1. С. 248-252.

49. Леонтович Е. А., Майер А. Г. О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы па траектории // ДАН СССР. 1937. Т. 14, № 5. С. 251-257.

50. Майер А. Г. О траекториях на ориентируемых поверхностях // Мат. сборник. 1943. Т. 12, № 1. С. 71-84.

51. Медведев Т. В. Потоки и слоения Черри па двумерных многообразиях // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. 2010. С. 131. Суздаль.

52. Медведев Т. В. Разрывные отображения окружности. // Методы прикладного функционального анализа: Межвуз. сб. Нижегородский ун-т, Нижний Новгород. 1991. С. 49-54.

53. Медведев Т. В. О сопряженности перекладываний двух открытых интервалов окружности без периодических точек // Успехи мат. наук. 1992. Т. 4. С. 201-202.

54. Медведев Т. В. О классификации слоений Черри на сфере // Труды Средпеволжского математического общества. 2004. Т. 6, № 1. С. 186189.

55. Медведев Т. В. Классификация потоков типа Черри на неориентируе-мой поверхности рода три // Вестник ННГУ. 2011. № 2(1). С. 139-145.

56. Нитецки 3. Введение дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975.

57. Рейзинь Л. Э. Топологическая классификация динамических систем без точек покоя на торе // Латв. мат. ежегодник. 1969. Т. 5. С. 113121.

58. Тельных И. А. Топологическая классификация сверхтранзитивных потоков на замкнутых неориентируемых поверхностях. Часть 1. Необходимые условия топологической эквивалентности // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 3. С. 461-470.