Подмодели газовой динамики с линейным полем скоростей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Юлмухаметова, Юлия Валерьевна

• Юлмухаметова, Юлия Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юлмухаметова, Юлия Валерьевна

Введение

1 Постановка задачи и основные уравнения

1.1 Об инвариантных решениях с линейным полем скоростей.

1.2 Общая постановка задачи, уравнения совместности: угловая скорость и вспомогательная матрица.

1.3 Решения УГД с линейным полем скоростей в эйлеровых и лагранжевых переменных и их связь.

1.4 Подмодель с плотностью, зависящей только от времени.

2 Подмодели с нулевой угловой скоростью

2.1 Дифференциальные уравнения подмодели и классифицирующее соотношение

2.2 Классификация уравнений состояния. Три подмодели.

2.3 Уравнения подмоделей в лагранжевых переменных.

3 Подмодели с нулевой вспомогательной матрицей

3.1 Дифференциальные уравнения подмоделей. Общий вид функции плотности.

3.2 Нахождение уравнений состояния. Две подмодели.

3.3 Новые интегралы

4 Вырожденная вспомогательная матрица и ненулевая угловая скорость

4.1 Уравнение для определения плотности инвариантно относительно растяжения. Уравнение для угловой скорости.

4.2 Уравнение для вспомогательной матрицы и уравнение состояния

4.3 Уравнение для определения плотности инвариантно относительно переноса

4.4 Уравнения подмодели с плотностью экспоненциального типа.

4.5 Уравнения подмодели с плотностью дробного типа.

4.6 Уравнения подмодели с плотностью дробно-линейного типа.

5 Примеры поведения частиц газа для некоторых подмоделей

5.1 Разлет частиц газа из точечного источника.

5.2 Схлопывание шара в иголку или диск.

5.3 Выпрямляющийся разлет газа из вихря

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Подмодели газовой динамики с линейным полем скоростей»

Многие явления окружающего нас мира можно описать математической моделью, состоящей из набора дифференциальных уравнений. Математическая модель движения сжимаемой жидкости - уравнения газовой динамики. Настоящая диссертационная работа посвящена нахождению решений уравнений газовой динамики в виде линейного поля скоростей. Объектами исследования газовой динамики являются газ, при обычных условиях, жидкие тела и твердые тела, находящиеся под воздействием больших температур и давлений. Поэтому решение в виде линейного поля скоростей является фундаментальным решением для любых уравнений механики сплошной среды: при этом постоянная вязкость и постоянная теплопроводность не влияют на такие движения.

Движения сплошной среды с линейным полем скоростей изучали G.L. Dirichlet [1] и Б. Риман [2]. В своих работах они рассматривали движения с однородной деформацией (линейное поле скоростей) несжимаемой жидкости. При этом предполагалось, что жидкость движется в силовом поле, обусловленном взаимным притяжением частиц по закону всемирного тяготения Ньютона. В статье JI.B. Овсянникова [3] впервые было показано, что для политропного газа система уравнений газодинамики сводится к системе девяти обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Найдено несколько первых интегралов такой системы. Развитие математической теории этих уравнений получил J.F. Dyson [4] при изучении динамики вращающегося газового облака. Им были найдены другие первые интегралы системы, а также выяснено за какие физические законы сохранения они отвечают. Найден интеграл энергии системы при условии, что внутренняя энергия зависит только от времени. Доказано утверждение (лемма Дайсона) о необходимости и достаточности равенства нулю первых интегралов системы для того, чтобы существовали такие системы эйлеровых и лагранжевых координат, в которых матрица перехода от эйлеровых к лагранжевым переменным диагональна. В работах В.К. Андреева [5], [14], [22] изучалась устойчивость неустановившегося движения идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей, имеющей форму эллипсоида вращения. Им рассматривались уравнения газовой динамики в лагранжевых переменных. Найдена функция давления при условии, что плотность зависит только от времени. Для изоэнтропических движений найдено соотношение для определения давления. О.И. Богоявленским доказаны некоторые общие свойства динамики газового эллипсоида с однородной деформацией [6]. А именно, получены оценки скорости роста суммы квадратов полуосей эллипсоида. Результаты, полученные в [3], были использованы И.В. Немчиновым для описания адиабатического разлета в пустоту трехосного газового эллипсоида [7]. Были приведены результаты численных расчетов, показывающих изменение формы газового облака и характер его разлета во времени. Найдено частное решение для случая движения газа при наличии подогрева. На основании работ [3], [4] С.И. Анисимовым и Ю.И. Лысиковым в [8] решается задача о расширении газового облака в вакуум. Найдены частные решения, описывающие расширение сфероида в отсутствии вращения и вращающегося эллиптического цилиндра. В работе С.И. Анисимова и H.A. Иногамова [9] исследовано нелинейное развитие возмущений при изоэнтропическом сжатии сферической капли под действием приложенного к ее поверхности внешнего давления. Показано, что сферическая форма капли неустойчива. C.B. Хабировым в

10] были найдены все подмодели движения газа с линейным полем скоростей в случае нулевого следа основной матрицы. В работе M. Fujimoto

11] изучались коллапс и осциляции вращающегося сжимающегося эллипсоида с плотностью, зависящей только от времени, с учетом гравитации. В этой модели рассмотрено решение в виде линейного поля скоростей. Для случая неадиабатического движения совершенного газа, найдена система семи дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая коллапс остывающего газового эллипсоида с вращением. Построено численное решение такой системы. В книге [15] рассмотрена задача о вихревом свободном движении идеальной жидкости, ограниченной поверхностью эллипсоида для случая, когда скорости являются линейными функциями координат. О.В. Лаврентьевой в [18], была рассмотрена математическая модель движения несжимаемого жидкого эллипсоида со свободной границей, в которой скорости частиц жидкости являются линейными функциями координат. Изучено качественное поведение решения такой модели при больших временах. В.В. Пухначевым в [19] рассмотрено плоское движение идеальной несжимаемой жидкости с линейным полем скоростей. Получено решение, описывающее вращение жидкого круга вокруг центра с постоянной угловой скоростью. В работе Гарифуллина А.Р. [44] были найдены решения с линейным полем скоростей регулярной переопределенной подмодели сжимаемой жидкости ранга 2 дефекта 1.

В настоящей работе, в отличии от перечисленных, разыскивались решения уравнений газовой динамики с линейным полем скоростей в эйлеровых переменных с произвольным уравнением состояния. Уравнения состояния, выражения для функций плотности и давления, обыкновенные дифференциальные уравнения для функций, зависящих только от времени, назовем подмоделью с линейным полем скоростей. Как будет показано, задачи о нахождении решения в эйлеровом и лагран-жевом представлениях эквивалентны, но при решении задачи в эйлеровых переменных намечается полная классификация подмоделей по рангу непостоянной вспомогательной матрицы и по видам уравнений состояния.

Целью работы является классификация и нахождение всех уравнений состояния, для которых уравнения газовой динамики имеют решение в виде линейного поля скоростей. При этом требуется определить выражения для функций плотности и давления, вывести обыкновенные дифференциальные уравнения для функций, зависящих только от времени, то есть построить подмодель. Найти интегралы полученных подмоделей. Графически представить и физически интерпретировать новые виды движений, полученных как частное аналитическое решение этих подмоделей.

Методы исследования. Для реализация поставленной задачи были использованы методы группового анализа, теории дифференциальных уравнений, теории матриц, обобщенный метод разделения переменных. Для визуализации полученных результатов, использовались пакеты прикладных программ. Научная новизна.

1. Развит метод разделения переменных, с помощью которого, проведена полная классификация подмоделей движения газа с линейным полем скоростей.

2. Найдены все уравнения состояния, для которых уравнения газовой динамики имеют решения в виде линейного поля скоростей.

3. Рассмотрены примеры движения газа с линейным полем скоростей: разлет частиц газа из точечного источника, схлопывание шара в иголку или диск, выпрямляющийся разлет газа из вихря.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Найдены все подмодели движения газа с линейным полем скоростей, на которые не оказывают влияние вязкость и теплопроводность. Полученные результаты могут служить основой для дальнейшего исследования. Например, нахождение новых точных решений перечисленных подмоделей и их физическое толкование. Развитие метода разделения переменных позволит, в дальнейшем, решать сложные переопределенные функционально-дифференциальные уравнения. Полученные точные решения можно использовать в качестве тестовых задач для численных методов, а так же для конструирования новых численных методов. Они так же могут быть положены в основу конструирования аппаратов с заданными характеристиками движения газа.

В работе проведена визуализация следующих процессов: вытягивание выделенного сферического объема в иглу или диск; выпрямляющийся разлет частиц газа из вихря; радиальный разлет частиц газа из точечного источника с вакуумной границей и радиальный разлет частиц газа с дальнейшей фокусировкой в точке.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

• 37-ая региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2006 г.);

• 38-ая региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2007 г.);

• Российская конференция "Механика и химическая физика сплошных сред"(Бирск, 2007г.);

• 39-ая региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2008 г.);

• IV Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" , посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2008 г.);

• 40-ая региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2009 г.);

• Международная конференция "МОС11АК-13. Симметрии и точные решения дифференциальных и интегрально-дифференциальных уравнений" (Уфа, 2009 г.);

• Международная конференция "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(Банное, 2009 г.);

• V Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механик", посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2010 г.);

• Международная конференция "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(Банное, 2010 г.);

• Всероссийская конференция "Нелинейные волны: теория и новые приложения"(Новосибирск, 2010 г.);

• Семинар по дифференциальным уравнениям БашГУ под руководством д. ф.- м. н. А. В. Жибера и д. ф.- м. н. И. Т. Хабибуллина , 2011 г.;

• Семинар Института Механики УНЦ РАН, 2011 г.;

• VI Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (Уфа, 2011 г.);

• Семинар Института математики с ВЦ РАН, 2011 г.

В 2004 году работа, связанная с результатами первой главы была удостоина дипломом Министерства образования Всероссийского открытого конкурса на лучшую работу студентов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в высших учебных заведениях Российской Федерации.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ. Из них - 9 в виде статей [12], [23]-[31], (в том числе, 2 - в журналах из списка ВАК, 5 - в виде тезисов [34]-[38]).

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 118 страниц, в том числе 9 рисунков и 1 таблица. Список литературы состоит из 50 наименований.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Юлмухаметова, Юлия Валерьевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решены следующие новые задачи.

1. Развит метод разделения переменных в переопределенных дифференциально-функциональных уравнениях.

2. Проведена полная классификация уравнений состояния, для которых существуют решения УГД с линейным полем скоростей.

3. Найдены новые интегралы у подмоделей движения газа с линейным полем скоростей.

4. Изучены движения газа с линейным полем скоростей: разлет частиц газа из точечного источника, схлопывание шара в иголку или диск, выпрямляющийся разлет газа из вихря.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юлмухаметова, Юлия Валерьевна, 2011 год

1. Dirichlet G. L. Untersuchunger über eih Problem der Gydrodynamik // J. Reine Angev. Math. 1860. vol. 58. C. 181.

2. Риман В. Сочинения. M.-JL: ГИТТЛ, 1948. 339-366 с.

3. Овсянников JI. В. Новое решение уравнений гидродинамики // Докл. АН СССР. 1956. Т. Ill, mi. С. 47-49.

4. Dyson J. F. Dynamics of a spinning gas cloud // J.Math.Mech. 1968. vol. 18, m. pp 91-101.

5. Андреев В. К. К задаче о неустановившемся движении сжимаемой жидкости со свободной границей // ДАН СССР. 1979. Т. 244, №5. С. 1107-1110.

6. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980. 314 с.

7. Немчинов И. В. Разлет трехосного газового эллипсоида в регулярном режиме // ПММ. 1965. Т. 29, №1. С. 134-140.

8. Анисимов С. И., Лысиков Ю. И. О расширении газового облака в вакуум // ПММ. 1970. Т. 34, №5. С. 926-929.

9. Анисимов С. И., Иногамов Н. А. Развитие неустойчивости и потеря симметрии при изэнтропическом сжатии сферической капли // Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 20, №3. С. 174-176.

10. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Классификация подмоделей с линейным полем скоростей в газовой динамике // СибЖИМ. 2009. Т. 12. Ш. С. 128-136.

11. Богоявленский О.И., Новиков С. П. Однородные модели в общей тео-риии относительности и газовой динамике // УМН. 1976. Т. 31. Вып. 5. С. 33-48.

12. Андреев В.К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука, 1992.

13. Должанский Ф.В., Кляцкий В.И., Обухов A.M., Чусов М.А. Нелинейные системы гидродинамического типа. М.: Наука, 1974.

14. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. Пер. с англ./ Под ред. В.В. Румянцева. М.: Мир, 1973.

15. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. 3-е изд. М.: Наука, 1954.

16. Лаврентьева О.М. О движении жидкого эллипсоида // ДАН СССР. 1980. Т. 253. т. С. 828-831.

17. Пухначев В.В. О движении жидкого эллипса // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1978. Вып. 33. С. 68-75.

18. Андреев В.К. Нестационарное движение струи газа с линейным полем скоростей // СибЖИМ. 2002. Т. 5. №1. С. 23-35.

19. Овсянников Л. В. Об одном случае неустановившегося движения жидкости со свободной границей // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1972. Вып. 12. С. 124-130.

20. Андреев В.К. Об устойчивости неустановившегося движения идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей, имеющей формуэллипсоида вражения // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1972. Вып. 12. С. 14-25.

21. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Движение газа с линейным полем скоростей и плотностью, зависящей только от времени // Труды 37-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН. 2006. С. 258-262.

22. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Главная подмодель движения газа с линейным полем скоростей // Труды 38-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН. 2007. С. 210-213.

23. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Частное решение одной подмодели движения газа с линейным полем скоростей // Труды 39-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН. 2008. С. 175-179.

24. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Подмодели движения газа с линейным полем скоростей, определяемые матрицами ранга 1 // Труды Института механики УНЦ РАН, Уфа: Нефтегазовое дело, 2008. Вып. 6. С. 137-142.

25. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Подмодели газовой динамики с линейным полем скоростей с нулевой вспомогательной матрицей // Труды 40-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН. 2009. С. 192-196.

26. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Подмодели движения газа с линейным полем скоростей и с нулевой вспомогательной матрицей // Уфимский математический журнал. 2009. Т.1. №3. С. 125-131.

27. Юлмухаметова Ю.В. Классификация подмоделей с линейным полем скоростей в газовой динамике // СибЖИМ. 2009. Т. 12, №4 С. 128-136.

28. Юлмухаметова Ю.В. Подмодели движения газа с линейным полем скоростей в вырожденном случае // СибЖИМ. 2011. Т. 14, №2 С. 139-150.

29. Tarasova (Yulmukhametova) Yu.V. Classiffication of submodels with a liner velocity field in gas dynamics // Journal of Applied Industrial Mathematics, Vol. 4. Number 4. p. 570-577.

30. Зельдович Я. Б. Ньютоновское и эйнштейновское движение вещества // Астроном, ж. 41:5, 1964. 873-883.

31. Овсянников JI. В. Лекции по основам газовой динамики. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003. 336 с.

32. Тарасова (Юлмухаметова) Ю.В. Подмодели газовой динамики с линейным полем скоростей с классификационной матрицей ранга 1// Тезисы докладов IV Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова, Екатеринбург.: УрО РАН, 2010, С. 59 60.

33. Тарасова (Юлмухаметова) А).5.Подмодели газовой динамики с линейным полем скоростей с вырожденной классификационной матрицей // Тезисы докладов V Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А.Ф.Сидорова, Екатеринбург.: УрО РАН,2010, с. 78.

34. Юлмухаметова Ю.В. Подмодели движения газа с линейным полем скоростей // Сборник тезисов Всероссийской конференции "Нелинейные волны: теория и новые приложения", Новосибирск.: ИГиЛ,2011, 75с.

35. Юлмухаметова Ю.В. Разлет газа с линейным полем скоростей из вихря // Тезисы VI Уфимской международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", Уфа.: ИМ с ВЦ УНЦ РАН, 2011, 167 с.

36. Хабиров C.B. Аналитические методы в газовой динамике. Уфа.: Гилем, 2003. 192 с.

37. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Высшая школа, 1998. - 320с.

38. Уразбахтина JI.3. Математическое моделирование движения сжимаемой жидкости методами группового анализа. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Уфа, УГАТУ. 2009. 144с.

39. Хабиров C.B. Плоские движения газа без расхождений с линейным полем скорорстей // УМЖ 2010. Т.2, №3 С. 107-113.

40. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.

41. Гарифуллин А.Р. Решения с линейным полем скоростей регулярной переопределенной подмодели сжимаемой жидкости ранга 2 дефекта 1 // Труды Всероссийской научной конференции "Современные проблемы физики и математики". Т.1. Уфа: Гилем, 2004. С. 32-35.

42. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем. 4-е изд., испр. - М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. - 576 с.

43. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1992. 11 с.

44. Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Доклады РАН. 1993. Т.ЗЗЗ, т. С. 702-704.

45. Хабиров С. В. Инвариантные решения уравнений газовой динамики // Вестник УГАТУ. 2001. №1(3). С. 47 52.

46. Овсянников Л. В. Некоторые итоги выполнения программы «Подмодели» для уравнений газовой динамики // ПММ. 1999. Т. 63, вып. 3, С. 439-444.

47. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983, 280 С.