Инвариантные подмодели одноатомного газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Никонорова Рената Фуатовна

• Никонорова Рената Фуатовна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Никонорова Рената Фуатовна

1.1. Математическая модель одноатомного газа и ее групповые свойства

1.2. Оптимальная система подалгебр с проективным оператором, допускаемых уравнениями газовой динамики одноатомного газа

1.3. Граф вложенных подалгебр

1.4. Система вложенных подмоделей для подграфа ГД4.4)

Глава 2. Подмодели одноатомного газа

2.1. Инвариантные подмодели ранга

2.2. Инвариантные подмодели ранга

2.3. Инвариантные подмодели ранга

2.4. Регулярные частично-инвариантные подмодели ранга 2 дефекта

Глава 3. Исследование подмоделей и точных решений

3.1. Подмодель на трехмерной подалгебре из переносов, растяжений

и проективного оператора

3.1.1. Иееледование подмодели. Сведение к уравнению Абеля. Картина интегральных кривых

3.1.2. Представление движения газа для сепаратрисы седла: вихревое сгущение к плоскости х = 0 и последующий разлет газа

без образования коллапса

3.2. Подмодель на двумерной подалгебре из переносов, вращения, проективного оператора и оператора растяжения по термодинамическим параметрам одноатомного газа

3.2.1. Некоторые простые решения подмодели: безвихревые решения, вихревые решения с постоянным и линейным полем скоростей, инвариантное решение, не зависящее от у

3.2.2. Движение частиц газа для точных решений, описывающих сгущение и разлет газа во всем пространстве и в полупространствах без образования коллапса. Движение уединенных волн плотности

Заключение

Литература

100

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инвариантные подмодели одноатомного газа»

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

Газовая динамика — отдельная физико-математическая дисциплина, изучающая движения сжимаемых сплошных сред [42]. Она основывается на наблюдении и анализе движений газоподобных сред, происходящих в природе, в технических устройствах и в специальных экспериментах. Также объектами ее исследований могут являться жидкие тела и твердые под воздействием больших температур и давлений или потоки элементарных частиц.

В газовой динамике можно выделить теоретическое [24,42,48,66], экспериментальное [14] и вычислительное направления [9]. Цель теоретического направления предсказать поведение газов, в том числе при их взаимодействии с другими телами. Для этого строятся адекватные математические модели и ставятся краевые и начальные условия, соотвествующие реальным задачам. Газовая динамика с ее хорошо поставленными математическими задачами оказала существенное стимулирующее влияние на развитие ряда областей математики, в частности, связанных с теорией дифференциальных уравнений, понятием обобщенных решений и других решений с особенностями.

Математическая модель газовой динамики, как и другие модели классической механики, инварианта относительно группы преобразований Галилея [2]. Это следствие симметричности пространства (однородность, изотропность, динамическое подобие событий), в котором происходит движение сплошной среды. Исследование моделей и поиск классов частных решений, для которых исходные дифференциальные уравнения существенно упрощаются, обычно выполнялись либо на основании "соображений симметрии" , либо с помощью теории размерностей [3,48,87]. Вместе с этим исследователи обращали внимание на групповую природу этой проблемы [89] и настаивали на использовании теории групп для дифференциальных уравнений механики жидкости и других моделей [4].

В современном представлении наиболее полное использование допускаемой моделью группы преобразований называется групповым или симмет-рийным анализом дифференциальных уравнений. С помощью группового анализа можно получать точные решения регулярным образом. Начало в этой области было положено исследованием групповых свойств обык-

новенных дифференциальных уравнений норвежским математиком Софу-сом Ли(1842-1899), поставившим перед собой цель разработать общую теорию интегрирования таких уравнения. Он также занимался рассмотрением дифференциальных уравнений в частных производных. Первое подробное изложение основных элементов теории непрерывных групп преобразований дано в трехтомной монографии Ли-Энгеля [88], переведенной на русский язык в [21-23]. Классическая теория Ли излагалась многими авторами в различных формах [18,46,64,86].

Существенное развитие в применении к механике жидкости и газа теория получила во второй половине XX века в работах Л.В. Овсянникова [34], Н.Х. Ибрагимова [17], В.М. Тешукова [51], В.В. Пухначева [47], В.М. Меньшикова [29], А.А. Бучнева [5], В.О. Бытева [6], М.Я. Ланкеровича [20], К.П. Суровихина [50], В.Л. Каткова [19], С. В. Хабирова, Ю. А. Чиркунова [69], А. П. Чупахина, С. В. Мелешко, А. А. Черевко, С.В. Головина, Е. В. Мамонтова [26], и многих других авторов. Также достижения и приложения группового анализа отражены в монографиях П. Олвера [43], В.К. Андреева, В.О. Капцова, В.В. Пухначева, А.А. Родионова [1] и др.

Групповой анализ уравений газовой динамики включает в себя следующие задачи, частичное решение которых можно найти в работе [41]:

• вычисление основной допускаемой группы преобразований или алгебры Ли этой группы [36];

• групповая классификация (расширение допускаемой группы при различных спецификациях произвольного элемента) [36];

• перечисление всех подалгебр допускаемой алгебры Ли [10,35,49, 56, 62,65];

• построение графа вложенных подалгебр [25,61];

• перечисление вложенных подмоделей согласно графу: инвариантных, частично инвариантных, дифференциально инвариантных; иерархия подмоделей [40,61];

• групповой анализ подмоделей [7,27,54,55];

• получение точных решений [58,60];

• исследование подмоделей и точных решений с целью выявления свойств движений газа: движение частиц, движение ограниченных объемов, движение характеристик и характеристического коноида;

выявление особенностей: предельные поверхности, коллапсы, точечные и не точечные источники, центрированные волны, слабые и сильные разрывы и другие обобщенные решения.

Также рассматривается проблема инвариантности краевых задач. Вопросы инвариантности характеристик и сильных разрывов изучались в [28,30]. Сопряжение точных решений проведено в работах [8,59].

В данной работе рассматривается модель идеальной газовой динамики с уравнением состояния p = f (S)р3. Тогда для удельной внутреннней энергии и температуры справедливы равенства

3 2 3 2

е = 2 Р з f (S) + g(S), T = 3 р 2 f(S) + g'(S).

Если две произвольные функции выбрать следующими

S-S0

f (S) = e cv ,g(S) = const,

то получается

3

pV = RT, е = cvT, cv = -R,

уравнение состояния отвечает одноатомному газу. При стандартных давлении и температуре все инертные газы (гелий, неон, аргон и др.) являются одноатомными. При очень высоких температурах и другие химические элементы в газообразном состоянии являются одноатомными. Для других функций f (S) и g(S) получается параметрическое представление измеримых уравнений состояния видаp = p(T, V),е = е(Т, V),V = р-1, которыми описываются различные среды механики сплошной среды.

Аналогичный вид p = p0(p/p0)5 имеет уравнение изэнтропы идеального электронного газа (вырожденный ферми-газ) с электронным аналогом параметра Грюнайзена 7э = -. Так, для меди 7э « 0, 7, что близко к значению для идеального электронного газа [15].

Математическая специфика таких моделей "одноатомного газа" заключается в том, что допускаемая в этом случае группа расширяется за счет дополнительных растяжений и проективного преобразования. Это преобразование не является очевидным из физических соображений, было обнаружено математическими вычислениями Л.В. Овсянниковым в 1958 году [33]. При этом в [17] показано, что канонический проективный оператор порождает дополнительные законы сохранения уравнений газовой динамики.

Групповой анализ модели одноатомного газа естественно начать с изучения инвариантных движений на подалгебрах с проективным оператором — остальные движения могут быть получены как частный случай движений произвольного политропного газа. В литературе имеются отдельные примеры рассмотрения задач и построения новых точных решений уравнений газовой динамики (на основе групповых методов) с использованием проективной симметрии.

Так, в работе [31] А.А.Никольским проективное преобразование было найдено независимо (как преобразование к координатам однородно расширяющегося пространства) и использовано для производства новых точных решений и исследовании задачи о точечном взрыве в однородно расширяющемся и однородно сжимающемся газе.

В работе [53] С.В. Хабировым получена инвариантная подмодель на одномерной подалгебре с базисом из проективного оператора, операторов переноса по времени и равномерного растяжения в случае произвольной размерности п пространства независимых переменных. Подмодель описывает растекание газа до вакуума за бесконечное время, во всех точках пространства происходит торможение. Автором отмечено, что решение системы имеет физический смысл с любым натуральным п. Для этой подмодели рассматривается особое инвариантное решение (на подгруппе вращений), описывающее одномерные течения из источника в вакуум и фокусировку газа внутри сферы или цилиндра с ударными волнами.

В [45] исследована подмодель вихря Овсянникова с проективной симметрией, описывающая движение газа с нестационарными источником и стоком. Рассмотрена задача о движении объема газа между поршнями сферической формы, найдено ее решение с инвариантной ударной волной.

В работе [13] проективная симметрия была рассмотрена для класса точных решений с линейной функцией скорости, построенных на основе инвариантных подмоделях ранга 2 эволюционного типа.

В работе [44] построена оптимальная система подалгебр для модели двумерных изэнтропических движений политропного газа с показателем адиабаты 7 = 2. Оптимальная система включает 179 представителей. Там же получены и исследованы инвариантные решения ранга нуль ("простые решения"). В [12] С.В. Головиным для этой модели приведена оптимальная система подалгебр с проективным оператором, она насчитывает 68 представителей. Там же дан полный список инвариантных подмоделей, порождае-

мых проективным преобразованием, исследуются некоторые инвариантные и частично инвариантные подмодели. Получен ряд новых точных решений УГД и дана их физическая интерпретация.

Модель мелкой воды (с различными предположениями) также обладает проективной симметрией, допускаемая в этом случае алгебра Ли изоморфна алгебре Ли для уравнений двумерных изэнтропических движений политропного газа с показателем адиабаты 7 = 2 [67,68]. В рамках модели мелкой воды подмодели с проективной симметрией были рассмотрены в работах [52,67].

В случае трехмерных уравнений одноатомной газовой динамики оптимальная система неподобных подалгебр была построена А.А. Черевко в работе [65]. Система построена с учетом инволюции, переводящей проективный оператор в оператор сдвига по времени. А так как наличие проективного оператора в базисе подалгебры существенно усложняет нахождение ее инвариантов и при выборе представителя из каждого класса эквивалентности (подобных подалгебр) предпочтение отдается подалгебре, не содержащей проективный оператор, то в оптимальной системе имеются только такие подалгебры, в базисе которых одновременно присутствуют и оператор переноса по времени, и проективный. Оптимальная система насчитывает 1827 представителей (из них 1248 подалгебр содержат оператор растяжения по термодинамическим переменным - центр допускаемой алгебры).

Большое число приведенных работ и полученные оригинальные примеры движений газа не исчерпывает сформулированную выше задачу. Дальнейшее систематическое исследование трехмерной модели подразумевает классификацию (построение) подмоделей на подалгебрах малой размерности, содержащих проективный оператор, и их дальнейший групповой анализ.

Цель диссертационной работы — исследование уравнений одноатомной газовой динамики методами группового анализа дифференциальных уравнений.

Для достижения цели решаются следующие задачи:

• построение графа всех вложенных подалгебр из оптимальной системы неподобных подалгебр, содержащих проективный оператор;

• построение иерархии вложенных инвариантных подмоделей по одному из фрагментов графа с четырехмерной вершиной;

• классификация подмоделей на подалгебрах размерности 1-3;

• исследование некоторых инвариантных подмоделей: нахождение точных решений и описание для них движений газа в целом.

Научная новизна

Перечисленные выше задачи (элементы группового анализа) для трехмерных уравнений газовой динамики с уравнением состояния одноатомного газа были реальзованы впервые. Ранее различные элементы группового анализа проводились для уравнений двумерной одноатомной газовой динамики и уравнений газовой динамики с другими, более общими уравнениями состояния.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты работы носят теоретический характер и могут служить основой для дальнейшего исследования всевозможных инвариантных подмоделей. Например, нахождение новых точных решений с особенностями. Полученные точные решения могут быть использованы в тестовых задачах для численных методов и для создания новых методов расчета. Точные решения обычно используют в приближенном моделировании сложных практических задач.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обусловлена применением известных теорем и алгоритмов симметрийного анализа дифференциальных уравнений, хорошо зарекомендовавших себя при исследовании уравнений газовой динамики. Проведено сравнение результатов пространственых движений с аналогичными плоскими движениями.

На защиту выносятся:

• новые точные и приближенные решения уравнений газовой динамики, описывающие вихревые сгущения газа с последующим растеканием до вакуума без образования коллапса, решения с уединенными волнами плотности;

• граф всех вложенных подалгебр с проективным оператором из оптимальной системы подалгебр 13-мерной алгебры (представлен 6 фрагментами);

• пример иерархии вложенных инвариантных подмоделей;

• инвариантные подмодели ранга 3, 2 и 1; регулярные частично инвариантные подмодели ранга 2 дефекта 1.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах:

- Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», Стерлитамак, 2013 г;

- VII Всероссийская конференция, посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова, «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», Абрау-Дюрсо, 2014 г;

- Международная научная конференция «Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ», Уфа, 2015 г;

- Международная (47-я Всероссийская) молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики и ее приложений», Екатеринбург, 2016 г;

- Первая летняя школа-конференция «Физико-химическая гидродинамика: Модели и приложения», Уфа, 2016 г;

- VIII Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А.Ф.Сидорова, и Всероссийская молодежная школа-конференция, Абрау-Дюрсо, 2016 г;

- Уфимская математическая конференция с международным участием, Уфа, 2016 г;

- IX Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Уфа, 2016 г;

- Конференция «Математическое моделирование процессов и систем», Стерлитамак, 2016 г;

- Международная конференция по теории функций, посвящённая 100-летию А.Ф.Леонтьева, Уфа, 2017 г;

- VI Российская конференция «Многофазные системы: модели, эксперимент, приложения» и школы молодых ученых «Газовые гидраты - энергия будущего», Уфа, 2017 г;

- Международная научная конференция «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения», Уфа, 2018 г;

- Вторая летняя школа-конференция «Физико-химическая гидродинамика: модели и приложения», Уфа, 2018 г.

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [32, 63, 7085], 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [63,71,83].

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 107 страниц машинописного текста, в том числе 24 рисунка, 3 таблицы. Список литературы состоит из 89 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме исследования, отмечается актуальность темы исследований, теоретическая ценность. Сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту. Описана структура диссертации.

Первая глава посвящена построению графа всех вложенных подалгебр из оптимальной системы подалгебр с проективным оператором 13-мерной алгебры Ли. Рассмотрен подграф с четырехмерной вершиной, для него строится иерархия вложенных инвариантных подмоделей.

Во второй главе рассматриваются все подалгебры малой размерности (1-3) с проективным оператором. Для каждой из них вычислены инварианты и построены подмодели минимального ранга.

В третьей главе исследуются 2 инвариантные подмодели ранга один и два, находятся точные и приближенные решения и приводятся примеры движения частиц для некоторых решений.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю С.В. Хабирову за постановку задачи и ценные замечания, высказанные во время неоднократных обсуждений представленных результатов.

Диссертационная работа поддержана средствами государственного бюджета по госзаданию (№ 0246-2019-0052) и грантом РФФИ (№ 18-2910071).

Глава 1 Граф вложенных подалгебр

Рассматривается система уравнений газовой динамики с уравнением состояния одноатомного газа. Модель допускает 14-мерную алгебру Ли, особенностью которой является наличие проективного оператора. Из оптимальной системы подалгебр выбраны подалгебры, содержащие проективный оператор. Полученная оптимальная система записана в компактном виде, включающем 73 неподобные подалгебры. Все они вложены друг в друга — построен граф вложений, состоящий из 6 фрагментов. Для одного подграфа с четырехмерной вершиной построена иерархия вложенных подмоделей. Результаты опубликованы в работах [70,71,73].

1.1. Математическая модель одноатомного газа и ее групповые свойства

Модель движения одноатомного газа задается системой уравнений [36]:

рВи + Ур = 0,

Вр + р (Пуп = 0, (1.1)

5

ВБ = 0,Б = рр-з,

где В = дг + и •У — оператор полного дифференцирования по времени, У = (дх,ду,дх) — вектор градиента, и = (и,у,/ш) - вектор скорости, р -плотность, р - давление, Б — функция энтропии. Все зависимые переменные считаются функциями времени £ и декартовых координат х = (х,у, г). Система (1.1) допускает группу преобразований с 14-мерной алгеброй Ли.

Допускаемая 14-параметрическая группа преобразований:

1o. x' = x + a (переносы по пространству); 2o. t' = t + ao (перенос по времени);

3 o. xX = Ox, í = OH, OOT = 1, det O = 1 (вращения);

4 o. xX = X + tb, í = í + b (галилеевы переносы); 5o. t' = ct, xX = cx (равномерное растяжение);

ПО , ->/ H / p / P ( \

6 . t = cit, í = —, p = -3, p = -5 (растяжение);

ci ci ci

S

t-r o / / a> í

7 . p = gp, p = gp, S = —2 (растяжение по термодинамическим

g3

параметрам газа);

8o. t = r-ft, x' = r-ft, i' = fx + (1 - ft)i, p' = (1 - ft)3p,

p' = (1 — ft)5p (проективное преобразование).

Орбита проективного преобразования в физическом пространстве есть прямая, проходящая через начало координат. Параметр преобразования принимает ограниченные значения, зависящие от преобразуемой точки.

Базисные операторы алгебры Ь14, записанные в декартовой системе координат, имеют вид:

Х1 = дх, Х2 = ду, Х3 = дг — переносы по пространству;

Х4 = Ьдх + ди, Х5 = Ьду + ду, Х6 = 1дг + ды — галилеевы переносы;

Х7 = удг — гду + уды — иду ,Х8 = гдх — хдг + иди — идю,

Хд = хду — удх + иду — уди — вращения;

Хю = дг — перенос по времени;

Хц = 1д1 + хдх + уду + гдг — равномерное растяжение; Х12 = + Ьхдх + Ьуду + 1хдг + (х — Ьи)ди + (у — Ьу)ду + (г — 1и)дп, — — 3Ьрдр — Ырдр — проективный оператор; Х13 = гдг — иди — уду — — Зрдр — 5рдр,

Х14 = рдр + рдр — - — растяжения.

Далее представлена таблица коммутаторов базисных операторов (вместо операторов пишутся их номера).

Таблица 1.1: Коммутаторы алгебры Ли Ь\4.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 0 0 0 0 0 0 0 -3 2 0 1 4 0 0

2 0 0 0 0 0 0 3 0 -1 0 2 5 0 0

3 0 0 0 0 0 0 -2 1 0 0 3 6 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 -6 5 -1 0 0 -4 0

5 0 0 0 0 0 0 6 0 -4 -2 0 0 -5 0

6 0 0 0 0 0 0 -5 4 0 -3 0 0 -6 0

7 0 -3 2 0 -6 5 0 -9 8 0 0 0 0 0

8 3 0 -1 6 0 -4 9 0 -7 0 0 0 0 0

9 -2 1 0 -5 4 0 -8 7 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 10 11+13 10 0

11 -1 -2 -3 0 0 0 0 0 0 -10 0 12 0 0

12 -4 -5 -6 0 0 0 0 0 0 -11-13 -12 0 -12 0

13 0 0 0 4 5 6 0 0 0 -10 0 12 0 0

14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Система (1.1) и таблица 1.1 допускает три дискретных преобразования [36]:

I\ : (t, x) ^ (-t, -x), ¡2 : (t, и) ^ (-t, -u),

I3 : t ^ (1/t),x ^ (x/t),y ^ (y/t), z ^ (z/t), и ^ (x - tu),v ^ (y - tv), w ^ (z - tw),p ^ (-t3p),p ^ (-t5p).

Внутренним автоморфизмом алгебры Ь\4 является решение задачи: dX'

= [X ',X,],X '|a=0 = X,i = 1,..., 14

dai

Обозначим произвольный элемент из Ь\4 так: X = х1Х1 + х2Х2 + х3Хз + ••• + х14Х14 е Ьи,

х = (х1,...,х14) - коэффициенты разложения оператора по базису

X1,..., Х14.

Для удобства введены проекции:

р1 (х) = (х1,х2, х3), р2(х) = (х4, х5, х6), р3(х) = (х7, х8, х9); а также параметры внутренних автоморфизмов:

¿1 = (а\, а2, а3), а2 = (а4, а5, а6) - векторные; Ь = в-0'11 ,с = в-0'13. S - общая (3 х 3) матрица вращений в трехмерном пространстве.

В работе [65] приведены внутренние автоморфизмы алгебры Ь14. С помощью введенных обозначений они сгруппированы в удобном виде:

Т : р1(ж) = р1(х) — <01 х р3(х) + х11с^1, р2(х) = р2(х) + ж12<о1; Г : р1(Х) = Р1 (х) — х10(12, р2(Х) = Р2(х) — <02 х рз(х) — х13<о2;

5 : р1(Х) = 5р1(х), р2(Х) = 5р2(х), рз(х) = Spз(x);

А10 : р1(Х) = р1(х) + а10р2(х), X10 = х10 + а10х11 + а{0х12 + а10х13, X11 = х11 + а10х12, X13 = х13 + а10х12;

А11 : р1(Х) = Ьр1(х), р2(Х) = Ь—1р2(х), X10 = Ь2х10, X12 = Ь—2х12;

А12 : р2 (X) = а12р1(х) + р2 (х), X11 = а12х10 + х11,

X12 = а22х10 + а12х11 + х12 + а12х13, X13 = а12х10 + х13;

А13 : Рl(X) = ср1(х), р2 (X) = ср2(х);

Дискретные автоморфизмы:

£1 : p1(X) = —р1(х), X10 = —х10, X12 = —х12; е2 : р2(х) = —р2(х), X10 = —х10, X12 = —х12;

£3 : р1(хс) = р2(х), p2(X) = р1(х), X10 = —х12, X11 = —х13, X12 = —х10,

X13 - -х11

- .

Инволюция £3 переводит друг в друга проективный оператор Х12 и оператор переноса по времени Х10. Впервые инволюция £3 была указана в работе [65], где была использована для уменьшения числа представителей оптимальной системы подалгебр алгебры Ли Ь14.

1.2. Оптимальная система подалгебр с проективным оператором, допускаемых уравнениями газовой динамики одноатомного газа

В работе [65] построена оптимальная система всех подалгебр 14-мерной алгебры Ли, допускаемых уравнениями движения одноатомного газа. В этой таблице 1248 классов неподобных подалгебр различных размерностей. С таким числом подалгебр работать невозможно, если иметь ввиду построение графа вложенных друг в друга подалгебр. Поэтому ограничимся

рассмотрением подалгебр, содержащих проективный оператор, специфический для одноатомного газа. Также показано, что достаточно рассмотреть 13-мерный идеал.

Общие положения

Алгебра Ь14 является прямой суммой идеалов Ь13 и Х14 : Ь14 = Ь13 0 Х14, где Ь13 = {Х1,Х2,..., Х13}, а Х14 - центр в алгебре Ь14, т.е. [Х.^,Х14] = 0,г = 1..13 (табл. 1.1). Подалгебы Ь14, образованные из подалгебр алгебры Ь13 добавлением к базису оператора Х14, назовем тривиальными. В дальнейшем речь пойдет о нетривиальных подалгебрах.

Любая нетривиальная подалгебра N размерности к из Ь14, не входящая в оптимальную систему для Ь13, имеет следующий базис:

13 13 13

У = ¿Г1Х14 + ЬцХ{, = ¿Г2Х14 + Ь2гХг, ...,% = ак Х14 + ЬкгХг,

¡=1 ¡=1 ¡=1

где не все с равны нулю.

Очевидно, можно выбрать новый базис в виде:

13 13

У1 = Х14 + У1,У2 = ^ Ь2гХг, ... ,Ук = ^ ЪыХг,

=1 =1

_ 13

где У1 = Е ЪуХ. = 0 (нетривиальный случай) определен с точностью до

¡=1

линейной комбинации У2,... ,Ук.

к _

Условия подалгебры есть [У, У3] = Е У1, г,] = 1, к, т.к. при коммути-

1=2

ровании оператор Х14 появиться не может (табл. 1.1), а значит, оператор

У1 не появится в правой части равенства.

к _

Отсюда следует равенство [У.] = Е е\3У,г,] = 2, к, значит 3к—1 =

1=2

= {У2,... ,Ук} - подалгебра из Ь13 размерности к — 1. Подпространство

Хк = {У1,У2,... ,Ук^ также есть подалгебра из Ь13 размерности к, т.к.

к

[У,У ] = [Х14 + У,У ] = [У,У ] = Е с113 У,] = 2Л Более того, есть

1=2

идеал для Хк.

Принцип построения оптимальной системы, содержащей проективный оператор

Из таблицы работы [65] выбраны подалгебры, содержащие оператор Х12, и не содержащие оператор Х14. Результат содержит 73 класса непо-

добных подалгебр, которые приведены в таблице 1.2. Оператор Х12 входит только в один из базисных операторов.

Перечисление нетривиальных подалгебр из Ь14 состоит из двух этапов.

Этап 1. Для каждой подалгебры Зк—1 размерности к — 1 из таблицы найти всевозможные надалгебры Ык размерности к (Ык = {.1к—1,У1}), для которых подалгебра Зк—1 является идеалом. Выбрать базис в N так, чтобы он содержал базисные операторы Зк—1. Прибавить Х14 к оператору У1.

Этап 2. Для каждой подалгебры из таблицы выбрать операторы, не содержащие Х12, и проверить образуют ли они идеал выбранной подалгебры. Если это выполнено, то прибавить Х14 к оператору, содержащему Х12.

Далее приведены примеры описанных процедур. Вместо операторов пишутся их номера.

Пример 1.

Подалгебра 4.3 подпространство {7, 8,9,10 + 12 + а(11 — 13)} вложена в

подалгебру 5.2 подпространство {7,8,9,10 + 12,11 — 13} ~

{7, 8,9,10 + 12 + а(11 — 13), 11 — 13}. Вычисляя коммутаторы, получаем,

что подалгебра 4.3 является идеалом в 5.2. Значит, подалгебра

{7, 8,9,10 + 12 + а(11 — 13), 11 — 13 + Ь14} входит в оптимальную систему

для Ь14 (см. [65]).

Пример 2.

Возьмем подалгебру 5.2 подпространство {7,8,9,10 + 12,11 — 13}. Подпространство {7, 8, 9, 11 — 13} является идеалом в 5.2. Значит, существует подалгебра {7, 8, 9, 11 — 13, 10 + 12 + а14} из оптимальной системы для Ь14 (см. [65]).

Пояснение к этапу 1. не является идеалом в N, если при коммутировании операторов из с У1 получится оператор, содержащий У1. Из вида таблицы 1.2 и таблицы коммутаторов можно заключить, что если оператор У1 содержит операторы Х7 или Х11 — Х13, то Зк—1 будет идеалом в Ык.

Пояснение к этапу 2. Если операторы, не содержащие Х12, не образуют идеал выбранной подалгебры, то оператор, полученный при коммутировании, должен содержать Х12. Из таблицы коммутаторов видно, что он может появиться только при коммутировании оператора, содержащего Х11 или Х13 с оператором, содержащим Х12. Так что проверять будем только такие операторы. Причем, как видно из таблицы 1.2, это либо Х11,Х13, либо Х11 ± Х13 .

Вычислим коммутаторы:

[Х11,Х12\ = X12, [Х13,Х12\ = X12, [Х11 + Х13,Х12] = 2X12,

[Х11 — Х13, Х12] = 0.

Отсюда следует, что подалгебра не будет идеалом в тех надалгебрах, в которых есть операторы Х11,Х13 или Х11 + Х13. Просмотр подалгебр из таблицы 1.2 дает следующий результат.

Этапу 1 удовлетворяют вложения подалгебр в качестве идеала: 1.1 С 2.2,2.3; 1.2 С 2.1,2.3; 1.3 С 2.5; 2.1 С 3.2;2.2 С 3.2;2.3 С 3.2; 2.4 С 3.3; 2.5 С 3.4; 3.1 С 4.1,4.2; 3.4 С 4.6,4.9;3.5 С 4.7;3.6 С 4.8,4.10;3.7 С 4.4,4.9;3.8 С 4.11,4.12; 4.1 С 51; 4.2 С 5.1; 4.3 С 5.2; 4.4 С 5.5; 4.5 С 5.4; 4.6 С 5.5; 4.8 С 5.4; 4.9 С 5.5; 4.10 С 5.4; 4.11 С 5.6; 4.12 С 5.8;5.3 С 6.2,6.3;5.8 С 6.7,6.9; 5.9 С 6.6; 5.10 С 6.8, 6.10; 5.11 С 6.4,6.9; 6.1 С 7.1; 6.2 С 7.2; 6.3 С 7.2; 6.4 С 7.5; 6.5 С 7.4; 6.7 С 7.5; 6.8 С 7.4; 6.9 С 7.5; 6.10 С 7.4;6.11 С 7.6;7.3 С 8.1,8.2;7.7 С 8.4,8.5;7.8 С 8.3,8.5; 8.1 С 9.1;8.2 С 9.1;8.3 С 9.3; 8.4 С 9.3;8.5 С 9.3; 9.2 С 10.1,10.2; 10.1 С 11.1; 10.2 С 11.1; 10.3 С 11.2.

Этапу 2 удовлетворяют все подалгебры из таблицы 1.2 кроме следующих: 3.1, 4.1, 4.2, 5.1, 5.3, 6.1, 6.2, 6.3, 7.1, 7.2, 7.3, 8.1, 8.2, 9.1, 9.2, 10.1, 10.2, 11.1, 12.1, 13.1.

Таблица подалгебр из

В таблице в первой колонке стоит номер подалгебры, где число до точки обозначает размерность подалгебры, а число после точки - порядковый номер подалгебры данной размерности. Во второй колонке указаны номера подалгебр из [65], по которым получена указанная в строке подалгебра. В третьей колонке приведен базис подалгебры и условия на параметры операторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Никонорова Рената Фуатовна, 2019 год

Литература

1. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. — Новосибирск: ВО Наука, 1994. — 319 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1974. — 431 с.

3. Баренблатт Г.И. Анализ размерностей: Уч. пос. — М.: МФТИ, 1987.

— 168 с.

4. Биркгоф Г. Гидродинамика. — М.: Изд-во иностр. лит., 1963. — 244 с.

5. Бучнев А.А. Группа Ли, допускаемая уравнениями идеальной несжимаемой жидкости. // Динамика сплошной среды. — 1971. — Вып. 7.

— С. 212-214.

6. Бытев В.О. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса. // Чис-леннные методы механики сплошоной среды. — 1972. — Т. 3, № 3. — С. 13-17.

7. Гарифуллин А.Р. Групповая классификация гидродинамической системы ранга два стационарного типа. // Сиб. журн. индустр. матем.

— 2004. — Т. 7, № 3. — С. 66-75.

8. Гарифуллин А.Р., Хабиров С.В. Непрерывное сопряжение специальных неизэнтропических одномерных движений газа. // Тр. ИММ УрО РАН. — 2008. —Т. 14, №1. — С. 22-30.

9. Годунов С.К, Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М: Наука, 1976. — 400 с.

10. Головин С. В. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае по-литропного газа. — Новосибирск: РАН, Сибирское отделение, Институт гидродинамики, 1996. — (Препринт/ Институт гидродинамики СО РАН; № 5).

11. Головин С. В. Об одном инвариантном решении уравнений газовой динамики. // Прикладная механика и техническая физика. — 1997.

— Т.38, № 1. — С. 3-10.

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Головин С. В. Подмодели динамики политропного газа: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.05/ Головин Сергей Валерьевич. — Новосибирск, 2000. — 116 с.

Головин С. В. Точные решения для эволюционных подмоделей газовой динамики. // Прикладная механика и техническая физика. — 2002. — Т. 43, № 4. — С. 3-14.

Дерибас А.А. Физика упрочнения и сварка взврывом. — Новосибирск: Наука, 1972. — 188 с.

Жарков В.Н., Калинин В.А. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. — М.: Наука, 1968. — 312 с. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 576 с. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983. — 280 с.

Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия. — М.: Изд-во МГУ, 1962. — 367 с. Катков В.Л. Точные решения некоторых задач конвекции. // Прикладная механика и техническая физика. — 1968. — Т. 32, №3. — С. 482-486.

Ланкерович М.Я. Групповые свойства уравнений трехмерного пограничного слоя на произвольной поверхности. // Динамика сплошной среды. —1971. — Вып. 7. — С. 12-24.

Ли С. Теория групп преобразований: В 3-х частях. Часть 1. — М.Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 712 с.

Ли С. Теория групп преобразований: В 3-х частях. Часть 2. — М.Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2012. — 640 с.

Ли С. Теория групп преобразований: В 3-х частях. Часть 3. — М.Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2013. — 960 с. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. — М.: Дрофа, 2003. — 840 с.

Макаревич Е.В. Вложенные подмодели газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью: дис. ... канд. физ.-мат.

наук: 01.02.05/ Макаревич Елена Владимировна. — Уфа, 2013. — 136 с.

26. Мамонтов Е. В. Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовой динамики // Прикладная механика и техническая физика. — 1999. — Т. 40, №2. — С. 50-55.

27. Мамонтов Е. В. Групповые свойства 2-подмоделей класса 8 уравнений газовой динамики. // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. — 2007. — Т. 7, Вып. 1. — С. 72-84.

28. Меньщиков В.М. О продолжении инвариантных решений уравнений газовой динамики через ударную волну. // Динамика сплошной среды. — 1969. — Вып. 4. — С. 163-169.

29. Меньщиков В.М. Решения уравнений двумерной газовой динамики типа простых волн. // Прикладная механика и техническая физика.

— 1969. — №3. — С. 129-134.

30. Меньщиков В.М. О непрерывном сопряжении инвариантных решений. // Динамика сплошной среды. — 1972. — Вып. 10. — С. 70-84.

31. Никольский А.А. Инвариантное преобразование уравнений движения идеального одноатомного газа и новые классы их точных решений. // Прикладная математика и механика. — 1963. — Т. 27, № 3. — С. 496508.

32. Никонорова Р.Ф. Подмодели одноатомного газа наименьшего ранга, построенные на основе трехмерных подалгебр симметрии. // Сибирские электронные математические известия. — 2018. — Т. 15. — С. 1216-1226.

33. Овсянников Л. В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений. // ДАН СССР. — 1958. — Т. 118, №3. — С. 439-442.

34. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.

— М.: Наука, 1978. — 400 с.

35. Овсянников Л. В. Об оптимальных системах подалгебр. // Докл. РАН. — 1993. — Т. 333, №6. — С. 702—704.

36. Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика. // Прикладная математика и механика. — 1994. — Т. 58, Вып. 4. — С. 30-55.

37. Овсянников Л. В. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения. // Докл. РАН. — 1995. — Т. 343, № 2. — С. 156-159.

38. Овсянников Л. В. Регулярные типа (2,1) подмодели уравнений газовой динамики. // Прикладная механика и техническая физика. — 1996. — Т. 37, № 2. — С. 3-13.

39. Овсянников Л. В. Каноническая форма инвариантных подмоделей газовой динамики. — Новосибирск: РАН, Сибирское отделение, Институт гидродинамики, 1997. — 41 с. — (Препринт/ Институт гидродинамики СО РАН; № 3).

40. Овсянников Л. В. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений. // Доклады РАН. — 1998. — Т. 361, № 6. — С. 740-742.

41. Овсянников Л. В. Некоторые итоги выполнения программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики. // Прикладная математика и механика. — 1999. — Т. 63, Вып. 3. — С. 355-372.

42. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. — М.Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 336 с.

43. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. — М.: Мир, 1989. — 639 с.

44. Павленко А.С. Симметрии и решения уравнений двумерных движений политропного газа. // Сибирские электронные математические известия. — 2005. — Т. 2. — С. 291-307.

45. Павленко А.С. Проективная подмодель вихря Овсянникова. // Прикладная механика и техническая физика. — 2005. — Т. 46, № 4. — С. 3-16.

46. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. — М., Гостехиздат, 1954. — 527 с.

47. Пухначев В. В. Групповые свойства уравнений Навье — Стокса в плоском случае. // Прикладная механика и техническая физика. — 1960. — № 1. — С. 83-90.

48. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. — М.: Наука, 1977. — 440 с.

49. Сираева Д.Т. Оптимальная система неподобных подалгебр суммы двух идеалов. // Уфим. мат. журн. — 2014. — Т. 6, № 1. — С. 94107.

50. Суровихин К.П. Групповая классификация уравнений, описывающих одномерные нестационарные течения газа. // ДАН СССР. — 1964. — Т. 156, № 3. — С. 533-536.

51. Тешуков В.М. Центрированные волны в пространственных течениях газа. // Динамика сплошной среды. — 1979. — Вып. 39. — С. 102-118.

52. Хабиров С. В. Одно инвариантное решение уравнений мелкой воды. // Динамика сплошной среды. — 1969. — Вып. 3. — С. 82-90.

53. Хабиров С. В. Нестационарное инвариантное решение уравнений газовой динамики, описывающее растекание газа до вакуума. // Прикладная математика и механика. — 1988. — Т. 52, № 6. — С. 967-975.

54. Хабиров С. В. К анализу инвариантных подмоделей ранга три уравнений газовой динамики. // Доклады РАН. — 1995. — Т. 341, № 6. — С. 764-766.

55. Хабиров С. В. Об общих свойствах инвариантных подмоделей ранга два в газовой динамике. // Проблемы механики и управления. — 1996.

— С. 102-111.

56. Хабиров С. В. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики. — Уфа: Ин. мех. УНЦ РАН, 1998. — (Препринт/ Ин. мех. УНЦ РАН).

57. Хабиров С. В. Приведение инвариантной подмодели газовой динамики к каноническому виду. // Математические заметки. — 1999. — Т. 66, Вып. 3. — С. 439-444.

58. Хабиров С. В. Инвариантные решения уравнений газовой динамики. // Вестн. УГАТУ. — 2001. — Т. 1, № 3. — С. 47-52.

59. Хабиров С. В. Задача Гурса о непрерывном сопряжении радиальных прямолинейных движений газа. // Математические заметки. — 2006.

— Т. 79, № 4. — С. 601-606.

60. Хабиров С. В. Лекции аналитические методы в газовой динамике. — Уфа: БГУ, 2013. — 224 с.

61. Хабиров С. В. Иерархия подмоделей дифференциальных уравнений. // Сибирский математический журнал. — 2013. — Т. 54, № 6. — С. 1396-1406.

62. Хабиров С. В. Оптимальные системы суммы двух идеалов, допускаемых уравнениями гидродинамического типа. // Уфим. мат. журн.

— 2014. — Т. 6, № 2. — С. 99-103.

63. Хабиров С. В., Шаяхметова Р.Ф. Простые решения инвариантной подмодели ранга 2 одноатомного газа. // Челябинский физико-математический журнал. — 2018. — Т. 3, Вып. 3. — С. 353-373.

64. Чеботарев Н.Г. Теория группы Ли. — М.: Гостехиздат, 1940. — 396 с.

65. Черевко А. А. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р = /(8)р5/3. — Новосибирск: РАН, Сибирское отделение, Институт гидродинамики, 1996. — (Препринт/ Институт гидродинамики СО РАН; № 4).

66. Черный Г. Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988. — 424 с.

67. Чесноков А.А. Симметрии и точные решения уравнений мелкой воды на пространственном сдвиговом потоке. // Прикладная механика и техническая физика. — 2008. — Т. 49, № 5. — С. 41-54.

68. Чесноков А.А. Свойства и точные решения уравнений движения мелкой воды во вращаюшемся параболоиде. // Прикладная математика и механика. — 2011. — Т. 75, Вып. 3. — С. 496-504.

69. Чиркунов Ю. А., Хабиров С. В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошных сред. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. — 659 с.

70. Шаяхметова Р.Ф. Оптимальная система подалгебр с проективным оператором, допускаемых уравнениями газовой динамики одноатомного газа. // Труды Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". — 2013. — С. 354-359.

71. Шаяхметова Р.Ф. Вложенные инвариантные подмодели движения одноатомного газа. // Сибирские электронные математические известия. — 2014. — Т. 11. — С. 605-625.

72. Шаяхметова Р.Ф. Завихренный разлет одноатомного газа. // Труды Института механики УНЦ РАН. — 2014. — Вып. 10. — С. 110-113.

73. Шаяхметова Р.Ф. Граф вложенных подалгебр с проективным оператором из оптимальной системы 13-мерной алгебры Ли, допускаемой моделью движения одноатомного газа. // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики". — 2014. — С. 75-76.

74. Шаяхметова Р.Ф. Инвариантная подмодель одноатомного газа, описываемая уравнением Абеля. // Сборник тезисов Международной

конференции «Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ». —2015. — С. 155-156.

75. Шаяхметова Р.Ф. Инвариантные подмодели ранга 3 одноатомного газа с проективным оператором. // Сборник трудов Первой летней школы-конференции «Физико-химическая гидродинамика: модели и приложения». —Уфа: РИЦ БашГУ, 2016. — С. 229-238.

76. Шаяхметова Р.Ф. Инвариантные подмодели ранга 3 и ранга 2 одноатомного газа с проективным оператором. // Труды Института механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН. — 2016.

— Т. 11, № 1. — С. 127-135.

77. Шаяхметова Р.Ф. Инвариантные подмодели стационарного типа для одноатомного газа. // Тезисы доклада на конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». — 2016. — С. 115— 116.

78. Шаяхметова Р.Ф. Инвариантные подмодели ранга 3 и ранга 2 стационарного типа для одноатомного газа. // Сборник тезисов Уфимской математической конференции с международным участием. — 2016. — С. 193-195.

79. Шаяхметова Р.Ф. Приведение инвариантной подмодели ранга 2 одноатомного газа к каноническому виду. // Тезисы доклада IX Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". — 2016. — С. 363.

80. Шаяхметова Р.Ф. Сгущение газа с последующим разлетом. // Труды Института механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН. — 2017. — Т. 12, № 2. — С. 195-198.

81. Шаяхметова Р.Ф. Приведение инвариантных подмоделей ранга 2 одноатомного газа к простейшему каноническому виду. // Тезисы доклада VI Российской конференции «Многофазные системы: модели, эксперимент, приложения» и школы молодых ученых «Газовые гидраты - энергия будущего». — 2017. — С. 119.

82. Шаяхметова Р.Ф. Подмодели одноатомного газа минимального ранга на трехмерных подалгебрах. // Материалы международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы».

— 2017. — С. 210-212.

83. Шаяхметова Р.Ф. Вихревой разлет одноатомного газа вдоль плоских кривых. // Прикладная механика и техническая физика. — 2018. — Т. 59, №2. — С. 63-73.

84. Шаяхметова Р.Ф. Безвихревое сгущение и последующий разлет одноатомного газа. // Сборник тезисов Международной научной конференции «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения». — 2018. — С. 87.

85. Шаяхметова Р.Ф. Некоторые решения инвариантной подмодели ранга 2 одноатомного газа. // Сборник тезисов Второй всероссийской школы-конференции «Физико-химическая гидродинамика: модели и приложения». — 2018. — С. 113.

86. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. — М.: Изд-во иностр. лит., 1947. — 360 с.

87. Birkhoff G. Dimensional analysis of partial differential equations. Electr. Engin. 67(1948). P. 1185-1188.

88. Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen, Bd. 1-3. Leipzig: Teubner, 1888, 1890, 1893.

89. Morgan A.J.A. The reduction by one of the number of independent variables in some systems of partial differential equations. Quart. J. Math. Oxford. 3, 12(1952). P. 250-259.