Исследование некоторых подклассов решений динамики атмосферы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Турцынский Марко Казимирович

• Турцынский Марко Казимирович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Турцынский Марко Казимирович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Основные уравнения двумерной газовой динамики. Решения с линейным профилем скорости

1.1. Система в эйлеровых координатах

1.2. Система в лагранжевых координатах

ГЛАВА 2. Система уравнений газовой динамики для равномерного вращения системы координат без трения и потенциала центробежной силы

2.1. Первые интегралы системы

2.2. Особые точки. Исследование устойчивости в эйлеровых переменных. Подклассы решений

2.3. Квадратура системы. Исследование устойчивости для y =

2.4. Исследование устойчивости для 1 ^ y <

2.4.1. Численно-аналитические результаты исследования устойчивости

ГЛАВА 3. Система уравнений газовой динамики для равномерного вращения системы координат с трением и без потенциала центробежной силы

3.1. Особые точки. Исследование устойчивости

3.2. Случай осесимметричного вихря

ГЛАВА 4. Система уравнений газовой динамики для равномерного вращения системы координат без трения и с потенциалом центробежной силы

4.1. Особые точки. Исследование устойчивости

4.2. Первые интегралы системы. Квадратура для y =

ГЛАВА 5. Система уравнений 2+1-мерной газовой динамики

5.1. Особые точки. Исследование устойчивости

5.2. Система в лагранжевых переменных. Первые интегралы

5.3. Случай осесимметричного вихря. Интегрируемость и редукция системы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование некоторых подклассов решений динамики атмосферы»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Представленная работа является исследованием в области качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости. Мы рассматриваем гиперболические системы уравнений в связи с многочисленными приложениями к задачам гидродинамики, газовой динамики [1]. В частности, одним из наиболее важных случаев является движение политропного иэоэнтропического газа на плоскости. Особый интерес он представляет собой в связи с возможностью моделировать достаточно сложное поведение газов, к примеру, поведение больших атмосферных вихрей (приложения этой теории подробно обсуждаются в

[19]).

Рассмотрим систему, задающую движение идеального политропного газа в трехмерном пространстве в пренебрежении проекциями центробежной силы и силы Кориолиса на вертикальное направление [79], [80] на плотность g(x, t), давление p(x, t) и скорость u(x, t) газа:

g(dtu + (u • Vx)u + Lu + ge3 — 6ш2Dx) + Vxp = 0, dtg + div(gu) = 0,

dtp + (u • Vxp) + Yp div u = 0. (1)

Здесь x e R3, t ^ 0, y £ [1,2] - показатель адиабаты, L = IL + д/,

L =

^ 0 -1 0 ^

1 0 0 000

I - единичная матрица, l = 2u sin 0 = const ^ 0

- параметр Кориолиса, д = const ^ 0 - коэффициент трения о подсти-

лающую поверхность, D =

^10 0^

0 k 0 000

, k = sin2 0, 0 - географическая

широта, ш - угловая скорость вращения планеты, V и div - градиент и дивергенция по пространственным переменным, д - ускорение свободного падения, e3 - вектор, направленный вертикально вверх. Уравнение состояния имеет вид p = C(S)gY, где S - энтропия. Для изоэнтропического случая положим C(S) = C = const.

Данная система может быть получена из трехмерной системы методом усреднения по горизонтали [34] или другими методами [35]-[36]. Часто в метеорологических моделях не рассматривают центробежную силу, так как существует преобразование, добавляющее ее в геопотенциал, мы, однако, рассмотрим полную систему с учетом потенциала центробежной силы.

Пусть х = ^а, ^ = (^к)г,к=1..з - невырожденная матрица перехода от эйлеровых координат х = (х1, х2, х3) к лагранжевым а = (а1, а2, а3). Тогда система (1) запишется в лагранжевых координатах [106]:

где U - внутренняя энергия частиц газа, U = U01 det F |-Y det F для 7 е (1, 2], U = — Uo sgn(det F) ln | det F | для 7 = 1, U0 = const > 0, производные берутся по времени.

Исследование системы (1) для несжимаемого случая и l = д = 5 = 0 началось с работы Г.Л.Дирихле [42]. В ней было найдено частное решение системы (1) в эйлеровых координатах и найдены семь первых интегралов данной системы (шесть соответствуют законам сохранения кинетических моментов, один - полной энергии). Р.Дедекинд [43] обнаружил закон взаимности, по которому любому решению системы (1) соответствует другое ее решение с точностью до замены переменных, отвечающих за вращение, на переменные, описывающие само движение [7].

Результаты Дирихле и Дедекинда были обобщены в работе Б.Римана [44], который записал систему (1) в лагранжевых координатах, выполнил редукцию системы по линейным интегралам для l = 0 и исследовал устойчивость движений, используя интеграл энергии в качестве функции Ляпунова. Исследовалась также устойчивость движений с сохранением формы. Изучение системы было продолжено в работах Г.Кирхгофа [45] (указал квадратуру для осесимметрического случая Fn = —F22, F12 = F2i), Е.Падовы [46] и Р.Липшица [47] (изучали вопросы применения вариационного принципа к уравнениям движения (1) при l = 0) и в дальней-

(2)

шем в работах А.Бассе [48], [53]-[55], Г.Ламба [49], книгах П.Аппеля [51], Р.Литтлтона [52], М.Дюгема [56], Й.Хагена [57], У.Хикса [58] и М.Хилла [59]. Изучались также родственные вопросы, связанные с отдельными направлениями исследований в данной области, например, исследованием фигур равновесия и их устойчивости (см. работы А.М.Ляпунова [62], Г.Пуанкаре [63]-[64] и Л.Н.Сретенского [65]), причем в некоторых работах рассматривались различные типы неустойчивости [66]-[68]. Важные результаты об устойчивости получены также в работах [87]-[88].

Результаты в эйлеровых координатах по системе (1) для сжимаемого случая и I = 0 были получены в работе [69] в контексте задач, связанных с метеорологией. В работе [70] авторы получают аналитическое решение системы (1) и приводят сравнение результатов с численными результатами экспериментов. В работах [71],[72] обсуждаются различные случаи неустойчивости в сжимаемой среде. Имеются работы [73]-[76], где был проведен линейный анализ устойчивости в контексте различных задач, возникающих на практике. В других ([77],[78]) - устойчивость исследовалась при помощи преобразования годографа на плоскости.

При I = д = 5 = 0 для случая сжимаемой среды система (2) подробно рассматривалась в литературе в работах Л.В.Овсянникова [2], Ф.Дайсона [5], О.И.Богоявленского [3], С.И.Анисимова и Ю.И.Лысикова [4] для размерностей п = 2 и п = 3.

В работе Л.В.Овсянникова [2] был рассмотрен наиболее общий случай п = 3 и найдено частное решение, задаваемое формулами:

и = ^М-1х, 6 = -¡-^7^(М-1х), р =л * С(М-1х), (г м v у ^м)7 v

где матрицы третьего порядка М, Ь и функции ^, С одновременно удовлетворяют уравнениям

т (2М л

V С = Мт —м + ае1 М1-7 Ь = 0,

^ (г2

необходимое и достаточное условие существования нетривиальных решений в зависимости от ранга матрицы Ь. Было показано, что для случая

гк(Ь) = г = 3 система имеет 4 первых интеграла, три из которых выражаются формулами:

т -М -Мт т т

Мт —---—М = М0т Ых - мТ М0,

М(¿0) = М0, ^ (¿0) = М1, четвертый опущен в силу громоздкости. Для случая г = 2 из трех первых интегралов остается два и появляются шесть новых:

тз(0 = + ^(¿-¿0).

Для случаев г = 0 и г = 1 уравнение элементарно интегрируется до конца. Работа Л.В.Овсянникова по своей сути положила начало исследованию системы (1) в лагранжевых координатах (заметим, что в обозначениях Овсянникова матрица М соответствует нашей матрице Р, а вектор £ вектору а лагранжевых координат) и была продолжена работами Д.Линденбелла [13] и Я.Б.Зельдовича [15] по сжатию газового эллипсоида в вакуум.

В работе Ф.Дайсона [5] был рассмотрен случай движения облака идеального газа для случая изотермического течения [7] (но без гипотезы о политропности газа), найдены семь первых интегралов системы (2):

3

1 ^ Р? + и = Е, - РРт = 7, РтР - РтР = К,

где Е, J ,К - константы. При 7 = |, что соответствует случаю внутрен-

_2

ней энергии и = и0^е1 Р) з, был найден восьмой первый интеграл

3

5

С = ^ р2 = 2Е^2 + + к1,

к0, к1 - константы. Похожая система рассмотрена в работе [14]. Практические приложения обсуждаются также в [16],[17].

С.И.Анисимов и Ю.И.Лысиков [4] рассмотрели систему (2) для частного случая диагональной матрицы Р с элементами Р11 = Р22 = Р33 и получили квадратуру этой системы, выраженную через эллиптические

интегралы. Авторы полностью рассмотрели случай интегрирования для размерности п = 2 и 7 = 2: свели систему первых интегралов

1 2

т (^к)2 + и = E, ^11^21 + *12*22 — *21*11 — *22*12 = J,

г,к=1

2

+ *21*22 — ¿12*11 — *22*21 = К, ^ = 2Е^2 + М + ко, (3)

г,к=1

А, В, Е - константы, к одному дифференциальному уравнению первого порядка и проинтегрировали его.

В работе О.И.Богоявленского [3] продолжалось изучение системы (2) для п = 2. Было показано, что (2) имеет лагранжев вид:

( дЬ дЬ

с лагранжианом

Ь = 2 Е — -и°т (аее *)1—-.

г,к=1 1

Помимо этого, были найдены законы распределения давления и плотности газа:

р =(7 — 1)Р (С). я = рю р (ае1 *)7 ' и

Р(() - произвольная функция параметра ( = ±(а1 + а2). Было отмечено, что в данном случае газ может иметь как конечную, так и бесконечную массу. Помимо этого, автором был исследован колебательный режим расширения газового облака в вакуум, задаваемый системой (2).

Отметим, что все вышеуказанные работы были посвящены в первую очередь нахождению первых интегралов. При этом авторами не исследовался вопрос устойчивости особых точек системы (2). В самом деле, несложно показать, что при I = д = 5 = 0 единственная особая точка этой системы неустойчива. В случае же добавления членов только с I поведение системы (2) усложняется: у особой точки появляются интервалы как устойчивости, так и неустойчивости, однако при добавлении членов

с д и 6 особая точка вновь становится неустойчивой. Таким образом, показано, что задача исследования системы (2) с добавленными членами с 1, д и 6 является актуальной.

Цели и задачи работы. Исследовать систему уравнений политропного газа (1) для размерности п = 2 и п = 3 (2+1-мерная газовая динамика) в эйлеровых и лагранжевых координатах: найти и исследовать особые точки системы, рассмотреть вопросы устойчивости и существования первых интегралов, найти разложения решений в асимптотические ряды по малым параметрам.

Научная новизна. Степень разработанности диссертации. Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• уравнения движения с однородной деформацией (с линейным профилем скорости) политропного газа в приближении I - плоскости (где I - фиксированное значение параметра Кориолиса) записаны в лагранже-вых координатах и показано, что решение исходной системы записывается в терминах решений квадратично-нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка. Для этой системы ОДУ

- найдены первые интегралы и квадратура в некоторых частных случаях;

- найдены семейства особых точек, зависящих от параметров, и исследована их устойчивость в зависимости от показателя адиабаты;

- показано, что положениям равновесия отвечают движения исходной системы типа осесимметричных вихрей (однопараметрическое семейство) и сдвигов (двупараметрическое семейство), причем устойчивыми к малым возмущениям начальных данных из класса движений с однородной деформацией могут быть только вихри при специальном выборе параметра. В частности, при стремлении к нулю параметра Кориолиса множество параметров, при которых возможно устойчивое движение, исчезает.

- показано, что при значении показателя адиабаты, равного двум, что

отвечает также случаю уравнений мелкой воды, система ОДУ является полностью интегрируемой, ее решение записано в квадратурах.

• рассмотрены уравнения движения с линейным профилем скорости политропного газа в приближении I - плоскости в присутствии постоянного сухого трения с коэффициентом д, исследована соответствующая квадратично-нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этой системы ОДУ

- найдены семейства особых точек, доказана их неустойчивость;

- построено решение в некоторых частных случаях;

- для осесимметрического случая найдено асимптотическое разложение решений по малому параметру д.

• рассмотрены уравнения движения с однородной деформацией (с линейным профилем скорости) политропного газа в приближении I - плоскости без пренебрежения центробежной силой, в том числе и в лагранже-вых координатах; исследована соответствующая квадратично-нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этой системы ОДУ

- найдены семейства особых точек, показано, как видоизменяются движения исходной системы, соответствующие осесимметричным вихрям и сдвигам, при учете центробежной силы;

- доказана неустойчивость особых точек при всех значениях параметра;

- сделан вывод о том, что пренебрежение в системе уравнений движения политропного газа в приближении I - плоскости центробежной силой вследствие ее малости радикально меняет свойства решения;

- в случае показателя адиабаты, равного двум, найдены первые интегралы, решение записано в квадратурах.

• рассмотрены уравнения движения с однородной деформацией (с линейным профилем скорости) политропного газа в приближении I - плоскости по горизонтальным координатам и при учете вертикального движения. Система записана в лагранжевых координатах; исследована соответ-

ствующая квадратично-нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этой системы ОДУ

- найдены особые точки и показано, что все они неустойчивы;

- рассмотрены различные сценарии разрушения движений исходной системы, отвечающих особым точкам;

- найдены некоторые первые интегралы.

Методология и методы исследования. В работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, теории дифференциальных матричных уравнений и теории возмущений.

Положения, выносимые на защиту. В работе выносятся на защиту следующие основные положения, касающиеся свойств решений с линейным профилем скорости системы уравнений динамики атмосферы:

• Для системы на вращающейся плоскости без трения и потенциала центробежной силы в лагранжевых координатах:

- доказательство теоремы о системе первых интегралов, о существовании квадратуры для показателя адиабаты 7 = 2;

- доказательство теоремы о существовании двух семейств особых точек системы (семейств, отвечающих вихревому движению и сдвиговому течению газа);

- доказательство теоремы о промежутках устойчивости по Ляпунову семейства особых точек, отвечающих вихревому движению, в классе возмущений начальных данных при показателях

о г

адиабаты 7 = 2, 7 = |, 7 = |;

- метод построения оценок для нахождения промежутков устойчивости семейства особых точек, отвечающего вихревому движению, при оставшихся значениях показателя адиабаты 7 е [1, 2),

/35 ^

7 = 2, 5, в классе возмущений начальных данных;

- доказательство теоремы о неустойчивости семейства особых точек, отвечающих сдвиговому течению.

• Для системы с однородной деформацией на вращающейся плоскости в присутствии сухого трения д:

- доказательство теоремы о неустойчивости всех особых точек данной системы;

- доказательство теоремы об ограниченности решений данной системы в осесимметрическом случае;

- доказательство теоремы об асимптотическом разложении решений в окрестности особых точек по малому параметру д в осе-симметрическом случае и о явном виде первого приближения;

• Для системы на вращающейся плоскости без пренебрежения центробежной силой и для системы уравнений в 2 + 1-мерной модели:

- доказательство теоремы о существовании двух семейств особых точек систем (семейств, отвечающих вихревому движению и сдвиговому течению газа);

- доказательство теоремы о неустойчивости данных семейств особых точек;

- доказательство теоремы о системах первых интегралов, о существовании квадратуры при показателе адиабаты 7 = 2 (и некоторых случаях редукции).

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах качественной теории дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, механики сплошных сред. В работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, теории дифференциальных матричных уравнений и теории возмущений.

Степень достоверности. Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались автором на следующих научных конференциях.

1. Международная научная конференция «Дни студенческой науки МЭСИ» (Москва, МЭСИ, 2013-2014 гг.),

2. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2014, 2016 гг.),

3. Международная научная конференция «Волны и вихри в сложных средах» (Москва, ИПМех РАН, 2014, 2018 г.),

4. Международная научная конференция «Аналитические и вычислительные методы в теории вероятностей и ее приложениях (ACMPT-2017)» (Москва, РУДН, 2017 г.),

5. Международная научная конференция по математическому моделированию в физических науках (Москва, МГУ, 2018 г.),

6. Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2018 г.),

7. Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения, динамические системы» (Долгопрудный, МФТИ, 2019 г.).

По теме диссертации были сделаны доклады на следующих научно-исследовательских семинарах.

1. Семинар по математическим моделям экономики под руководством проф. Шамаева А.С. и Розановой О.С. (МГУ, 2015-2018 гг.),

2. Семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством проф. И.В.Асташовой, проф. А.В.Боровских и проф. И.Н.Сергееева (МГУ, 2018 г.),

3. Межвузовский научный семинар по качественной теории дифференциальных уравнений МГУ им. М.В.Ломоносова, РЭУ им. Г.В.Плеханова, МГТУ им. Н.Э.Баумана под руководством проф. И.В.Асташовой и А.В.Филиновского (МГУ, 2020 г.),

4. Семинар им. К.И.Бабенко под рук. проф. Афендикова А.Л. (ИПМ

им. М.В.Келдыша, 2020 г.).

Публикации. Личный вклад автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах автора. Статьи [89]-[93] (четыре работы [89]-[90], [92]-[93] - в соавторстве) - в рецензируемых научных журналах из списка ВАК, входящих в базы данных SCOPUS и Web of Science, статья [94] - в рецензируемом научном журнале из списка ВАК. В статьях [89]-[90], [92]-[93] соавтору О.С.Розановой принадлежит постановка задачи, идея сведения системы интегральных функционалов к матричной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, построение системы первых интегралов в эйлеровых координатах. Все представленные в диссертации результаты являются новыми и получены автором лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 110 наименований. Общий объем диссертации составляет 134 страницы.

Краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматривается система уравнений (1) и различные способы ее записи в эйлеровых и лагранжевых координатах. Ранее, в работах [79], [80] было показано, что:

Для y Е (1, 2] система (1) может быть сведена к паре уравнений:

dtu + (u • Vx)u + L u + c0 Vxn - ¿w2Dx = 0,

ад + (УхП • u) + (y - 1) ndiv u = 0, (4)

1 Y—1

П-Y-1C

Для y = 1 имеем:

где со = -Yr CY, П = p Y .

^и + (и • Ух)и + С и + с0 УХП - £>х = 0,

+ (УхП • и) + а1у и = о,

где с0 = С, П = 1п

Также показано, что система (4) является следствием системы уравнений в частных производных на функции ^(х, £), р(х, £), и(х, £), Б(х, £), Б

- энтропия:

u + (u • Vx)u + Lu - + Vxp = 0, + Vx • (pu) = 0,

dtS + u • VxS = 0.

для уравнения состояния p = pYeS.

Вводится понятие линейного профиля скорости газа: u(t, x) = Q(t)x. В данном случае [79],[80], можно показать, что существует симметрическая квадратная матрица R(t), зависящая от функций давления и плотности, такая, что система (4) двумя способами может быть сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

R + RQ + QTR +(y- 1)trQR = 0, Q + Q2 + LQ + 2coR-6w2D = 0. (5)

Сперва рассмотрим двумерный случай, тогда матрицы Q = ^ ф) ) и

( A(t) 1 B(t)\

R = I 1 2 I. Для получения системы (5) можно предполагать, что

V 2B(t) C(t) /

Y-1

давление П = p Y является квадратичной формой по пространственным переменным n(t, x) = A(t)x2 + B(t)x2x2 + C(t)x2 + K(t) или использовать метод интегральных функционалов (для 6 = 0, ниже). Положим:

Gxi(t) = 1 JJ £x2dxidx2, Gx2(t) = 1 JJ p^dxife,

GXlx2 (t) = 1 JJ dx2,

Q(t)

где Œ(t) - подвижный объем,

Ep = JJ —--y dxidx2, A = Gxi Gx2 - G^,

Q(t)

Y+1 Y+1 Y+1

Gi = Gxi A-~, G2 = Gx2 A-T, G3 = Gx3A-T. В работах [79], [80] был получен следующий результат:

Система (5) является следствием системы (4), если имеет место линейный профиль скорости газа и А = С2, В = —2С3, С = ^, с0 =

—7—1 Ер А 2 |^о.

Система (1) рассмотрена также в лагранжевых координатах a.

Известно [2], что условие линейного профиля скорости в эйлеровых координатах соответствует условию однородной деформации x = Fa в лагранжевых.

Показано также, что исходная система в эйлеровых координатах имеет вид (2) в лагранжевых координатах. Рассмотрены частные случаи интегрируемости системы (5) в эйлеровых координатах. Заметим, что первое уравнение (5) как для случая с0 = 5 = 0, так и для случая 5 = 0 и R = 0 имеет вид:

Q + Q2 + LQ = 0.

Теорема 1.[96] Для с0 = 5 = 0 существует частное решение системы (5) вида:

Q(t) = (-1 - е^(С1д sin /t + C2/ sin /t + C1/cos /t - С2д cos /t + C3/ sin /t-дС4 sin/t - /C4 cos(/t) - дС3 cos/t) + e2^(CiC4 - C2C3)(/2 + д2))-1 x

e^(Ci sin lt-C2 cos li)(u2+l2)+^ -e^(C3 sin lt-C4 cos 1t)(^2+12)-1 e^(Ci cos lt+C2 sin lt)(^2 +l2 )+l -e^(C3 cos lt+C4 sin 1t)(^2+12)

Cr, C2, C3, C4 - константы, зависящие от начальных условий.

. Rii R12 R = | 11 12

R21 R22

Rij (t) = (-1 - eMt(C1^ sin /t + C2/sin /t + C1/cos /t - С2д cos /t + C3/sin /t - ДС4 sin/t - /C4 cos(/t) - дСз cos/t) + б^С^ - C2Сз)(/2 + д2))--x

(e^((Ao)ij sin(/t) + (A1)ij cos(/t)) + (^),

(A0)ij, (A1)ij и (A2)ij - неопределенные коэффициенты.

Следствие.[96] Для ó = 0 общее решение системы (5) имеет вид:

Q(t) = (-1 - eMt(Схд sin /t + C2/ sin /t + Ci/ cos /t - С2д cos /t + C3/ sin /t - Д.О4 sin /t - /C4 cos(/t) - дС3 cos /t) + e^CiC - C2C3)(/2 + д2))-1 x

e^C sin Zt-C2 cos -e^(C3 sin 1t-C4 cos Zt)Gu2+Z2)-Z \ ;

cos Zt+C2 sin Zt)(^2+Z2)+Z -e^(C3 cos Zt+C4 sin Zt)(^2+Z2)-^ '

R(t) = 0.

5 частности, для a = d, b = -c общее решение системы (5) имеет вид:

(^2+Z2) eMt(C1 cos(Zt)+C2 sin(Zt))-^

a(t) =

2eMt((C1Z-C2^) sin(Zt)-(C1^+C2Z) cos(Zt))+(^2+Z2)e2Mt(C12+C22)+1' (^2+Z2)eMt(C1 sin(Zt)-C2 cos(Zt))+Z

Ь(^ = 2в^((с1/-с2^) sin(гt)-(c1^+c2г) cos(гt))+(^2+г2)e2мí(c12+с2)+1, Сь С2 - константы, зависящие от начальных условий.

Во второй главе рассмотрена система (5) для случая равномерного вращения системы координат без трения и потенциала центробежной силы (/ > 0, д = 5 = 0).

Теорема 2. Система (5) имеет однопараметрическое семейство особых точек

а = й = 0, Ь = -с = Ь*, А = С = А* = —(-^, В = 0, (6)

' ' 2со ' v ;

отвечающее случаю осесимметричного вихря, и двупараметрическое семейство

(а*)2 /с* /а* /(а*)2 а = -й = а*, с = с*, Ь = -^, А = —, В = -—, С = , (7)

с* 2с0 с0 2с0с*

отвечающее случаю сдвигового течения, которое при с* = 0 переходит

в однопараметрическое семейство

а = с = й = 0, Ь = Ь*,А = В = 0, С = —-/Ь*, (8)

' ' ' 2со V ;

где а*, Ь*, с* - константы.

В работах [79],[80] показано, что система (5) имеет три первых интеграла:

_7+1

/1 = (Ь - с - /)Р- 27 ,/2 = ((й - а)В + 2ЬА - 2сС - /(А + С))Р- 27

1з = ((а2 + c2)C + (b2 + d2)A + (ас + bd)B - Y-i)D-^, (9) Di = AC - f.

Теорема 3.[91],[94] Первые интегралы (9) соответствуют первым интегралам:

E = const, J + l-G = A = const, K - l det F = B = const (10)

2

в лагранжевых координатах, причем для y = 2 существует дополнительный первый интеграл:

4E + 2/A G = M sin(/t + фо ) + -

I2 ' М, ф0 - константы.

Рассмотрены отдельные случаи редукции системы (5). В работах [79], [80] показано, что:

Для случая осесимметричного вихря (а = Ь = —с, А = С, В = 0) имеется первый интеграл вида

/ 1

Ь = 2 + С |А| ^,

С - константа, и особая точка

Ь*(Ь* - /)

а = 0, Ь = Ь*, А = А* = ^-/). (11)

2с0 V ;

На фазовой плоскости (А, а) особая точка (11) - центр. Аналогично можно показать:

Теорема 4. Для случая а = с = А = В = 0 система (5) имеет первый интеграл вида:

С = С(Ь — /)7+1

и особая точка

/Ь*

Ь = Ь*, С = —— = 0. (12)

2с0 V ;

Для Ь*// > — 1 на фазовой плоскости (Ь, особая точка (12) является центром.

Проведено исследование особой точки (6):

Теорема 5. Особая точка (6) является неустойчивой для значений b*/¿ е R \ (1—f2,1+f2) и устойчивой по Ляпунову для b*/¿ е (0, 1).

Результат о неустойчивости следует из теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Для доказательства устойчивости в интервале b*/l е (0, 1) построена функция Ляпунова. Для оставшихся значений ьу/ е (i—^, 0) U (1, ) собственные значения матрицы линейного приближения в особой точке являются чисто мнимыми комплексно сопряженными числами [96], исследование по линейному приближению невозможно.

Для y = 2 система четырёх первых интегралов (10) заменой Fu F12\ /cos v — sin v\ is cos u 0 \ /cos w — sin w

, . , . , . - (13)

F21 F22/ V sin v cos v J \ 0 s sin uj \sin w cos w сводится к одному дифференциальному уравнению первого порядка:

U2 = fi(u,s,S), (14)

где f (u s S) = 2E—S2+A l2 4Uo _ A2+B2+2AB sin2u s2 = G

1де f1(U,S,.S)= s2 4 s4 sin2u s4 cos2 2u ,S = G

которое может быть разрешено [91],[104].

Теорема 6.[91],[106] Существует квадратура уравнения (14):

1 arctg (4E + = ± i [(' )1/2 dr, (15)

\/Di 2l^D 2J \g(r)

где r = sin2u, g(r) = -Dir3 + r2(4U0 - 2AB) - r(A2 + B2 - Di) - 4U0,

D = 16E (E+1A)-14M 2+412A2 Di = 412 •

Замечание 1. Если g(r) имеет различные вещественные корни r1, r2, r3, ни один из которых не равен нулю и дополнительно выполнен определенный набор условий (см. теорему 2.3.4), то интеграл в правой части равенства (15) может быть выражен через эллиптические интегралы Ле-жандра первого и третьего рода в форме Якоби.

Замечание 2. Если положить s2(t) = G = 2Et2 + k1t + k0 для случая l = 0, то D1 = 8Ek4-kl > 0 в силу положительности G. Интеграл в левой

части (15) примет вид:

dt 1 4Et + ki

arctg

2Et2 + kit + ko vD 2vD '

интеграл в правой части остается таким же. Это согласуется с результатами, полученными в статье [4] для / = 0.

Сформулируем основной результат исследования устойчивости особой точки (6) для y = 2. Показано, что в этом случае систему трех первых интегралов (10) заменой (13) мы можем свести к дифференциальному соотношению вида:

U2 = fo(u Л Л) где * (u Л Л) = 2E-¿2+Al l2 Uo1 sin^ A2+B2+2ABsin2u

U = /2(U, S, S), где f2(U, S,S) = ¡2 J - 2Y s27 (sin2u)Y ¡4 cos2 2u ,

(16)

но без дополнительного уравнения на s, в отличие от случая y = 2.

Пусть £ > 0 - радиус окрестности положения равновесия (6), соответствующего r = -1 (r = sin2u). Начальным данным из этой окрестности соответствуют первые интегралы A, B, E, которые непрерывным образом зависят от £. Мы будем обозначать Ф£(г) функцию, непрерывно зависящую от £ через коэффициенты, включающие эти первые интегралы. Если коэффициенты соответствуют самому положению равновесия, функцию будем обозначать Ф0(г).

Теорема 7. Пусть существует £0 > 0 такое, что для любого £ Е [0, £0] найдётся функция Ф£(г), Ф£(г) Е C2 [-1,0), непрерывно зависящая от параметра £, достигающая строго неотрицательного максимума внутри [-1, 0), для которой в силу соотношения (16) имеет место оценка (r)2 ^ Ф£(г) (r = sin 2u), причём Ф0(г) достигает строго максимума при r = -1 и Ф0(-1) = 0. Тогда особая точка (6) устойчива по Ляпунову.

Замечание 3. Непосредственное применение теоремы к особой точке (6) показывает, что она является устойчивой по Ляпунову на множествах:

1. b*// Е (1-b2,2-2^-1 + 2--)u(1-b1, 0)и(1, b1)u(2+2^-1 + 2--,b2)

при 1 < y < 4;

2. b*// Е (1 - b1, 0) U (1, b1) при y ^ 4;

3. b*// Е (1 - b3, 0) U (1, b3) при y = 1,

где - функции оценки, зависящие от y ; b* - максимальный по b* Е (1,1+f2) корень уравнения ^i(r; b*) = 0, i = 1..3, на r Е (-1,0). Вычисления показывают, что вышеприведенные отрезки не покрывают интервал

Ь*// е (^, 0) и (1, ) целиком.

Замечание 4. Уточняя оценки из вышеприведенной теоремы, мы показываем, что для 7 = 2 и 7 = 5 имеет место устойчивость по Ляпунову особой точки (6) на всем Ь*// е (^, 0) и (1, ^).

Замечание 5. Для значений 7 = 2, |, | аналогичным образом можно численно-аналитически расширить интервал устойчивости из Теоремы 7 до всех Ь*// е (1—^, 0) и (1, ). Также, на интервале Ь*// е (1—, 0) и (1, 1+2^/2) можно численно-аналитически показать устойчивость по Ляпунову (6) при помощи алгоритма, основанного на нормализующем преобразовании Брюно [24] и критерии Бибикова [83].

В главе также проведено исследование особых точек (7)-(8), отвечающих сдвиговому течению, по линейному приближению. Показано, что особая точка (8) системы (5) является неустойчивой для Ь*// < — 1, имеется линейное невырожденное преобразование:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Турцынский Марко Казимирович, 2020 год

Литература

[1] Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977. - 440 с.

[2] Овсянников Л.В. Новое решение уравнений гидродинамики // ДАН СССР. - 1956. - Т. 111. - С. 47-49.

[3] Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980. - 320 с.

[4] Анисимов С.И., Лысиков Ю.И. О расширении газового облака в вак-куум // ДАН СССР. - 1970. - Т. 34. - № 5. - С. 926-929.

[5] Дайсон Ф. Динамика вращающегося газового облака // Матем. Мех. - 1968. - Т. 18. - № 1. - С. 91-101.

[6] Егоров А.И. Уравнения Риккати. М.: Физматлит, 2000. - 319 с.

[7] Борисов А.В., Мамаев И.С., Килин А.А. Гамильтонова динамика жидких и самогравитирующих эллипсоидов // Нелинейная динамика. - 2008. - Т. 4. - № 4. - С. 363-407.

[8] Gaffet B. Two hidden symmetries of the Equations of Ideal Gas Dynamics, and the General Solution in a case of Nonuniform Entropy Distribution // J. Fluid Mech. - 1983. - Vol. 134. - P. 179-194.

[9] Gaffet B. SU(3) Symmetry of the Equations of Unidimensional Gas Flow // J. Math. Phys. - 1984. - Vol. 25. - № 2. - P. 245-255.

[10] Gaffet B. Expanding Gas Clouds of Ellipsoidal Shape: New Exact Solutions // J. Fluid Mech. - 1996. - Vol. 325. - P. 113-144.

[11] Gaffet B. Sprinning Gas without Vorticity: the Two Missing Interals // J. Phys. A.: Math. Gen. - 2001. - Vol. 34. - P. 2087-2095.

[12] Gaffet B. Sprinning Gas Clouds: Liouville Integrability // J. Phys. A.: Math. Gen. - 2001. - Vol. 34. - P. 2097-2109.

[13] Lynden-Bell D. On the gravitational collapse of a cold rotating gas cloud // Proc. Camb. Phys. Soc. - 1962. - Vol. 58. - P. 709-711.

[14] Fujimoto F. Gravitational Collapse of Rotating Gaseous Ellipsoids // Astrophys. J. - 1968. - Vol. 152. - № 2. - P. 523-536.

[15] Зельдович Я.Б. Ньютоновское и Эйнштейновское движение однородной среды // Астрономический Журнал. - 1964. - Т. 41. - № 5. -С. 872-883.

[16] Дерябин С.Л. Одномерное истечение самогравитирующего идеального газа в вакуум // Вычислительные технологии. - 2003. - Т. 8. -№ 4. - С. 32-44.

[17] Немчинов В.С. Разлет трехосного газового эллипсоида в регулярном режиме // Прикл. мат. мех. - 1965. - Т. 29. - № 1. - С. 134-140.

[18] Chorin A.J., Marsden J.E. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. New York: Springer, 2000.

[19] Dolzhansky F.V. Fundamentals of Geophysical Hydrodynamics. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Berlin: Springer, 2013.

[20] Найфе А.Г. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. - 533 c.

[21] Pedlosky J. Geophysical Fluid Dynamics. New York: Springer, 1979.

[22] Бибиков Ю.Н., Плисс В.А. О существовании инвариантных торов в окрестности нулевого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения - 1967. - Т. 3. - № 11.-С. 1864-1881.

[23] Bibikov Yu.N. Local Theory of Nonlinear Analytic Ordinary Differential Equations. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer, 1979.

[24] Bruno A.D. Local Methods in Nonlinear Differential Equations. Berlin: Springer, 1989.

[25] Meleshko V.V., Aref H. A bibliography of vortex dynamics, 1858-1956 // Adv. Appl. Mech. - 2007. - Vol. 41. - P. 197-292.

[26] Bershader D. Fluid Mechanics and Its Applications. Netherlands: Springer, 1995.

[27] Шалыбков Д.А. Гидромагнитная и гидродинамическая устойчивость течения Куэтта // УФН. - 2009. - Т. 52. - № 9. - P. 915-935.

[28] Hiejima T. Stability of compressible stream-wise vortices // Phys. Fluids

- 2015. - Vol. 27.

[29] Chan W.M., Shariff T.K., Pulliam T.H. Instabilities of two-dimensional inviscid compressible vortices // J. Fluid Mech. - 1993. - Vol. 253. -P. 173-209.

[30] Chomaz J.M., Ortiz S., Gallaire F., Billant P. Fronts, Waves and Vortices in Geophysical Flows. Berlin: Springer, 2010.

[31] Hopfinger E.J., Geist G.J. Vortices in rotating fluids // Annu. Rev. Fluid Mech. - 1993. - Vol. 25. - P. 241-289.

[32] Khazin L.G., Schnol E.E. Stability of critical equilibrium states. Manchester: Manchester University Press, 1991.

[33] Куницын А.Л. Об устойчивости в критическом случае чисто мнимых корней при внутреннем резонансе // Дифференциальные уравнения.

- 1971. - Т. 7. - С. 1704-1706.

[34] Обухов А.М. О геострофическом ветре // Изв. Акад. Наук. - 1949. -Т. 13.-С. 281-306.

[35] Durran D.R., Arakawa A. Generalizing the Boussinesq approximation to stratified compressible flow // Comptes Rendue Mecanique. - 2007. -Vol. 335. - P. 655-664.

[36] White A.A., Hoskins B.J., Roulstone I., Staniforth A. Consistant approximate models of the global atmosphere: shallow, deep, hydrostatic, quasihydrostatic and non-hydrostatic // Q.J.R.Meteorol.Soc. - 2005. -Vol. 131. - P. 2081-2107.

[37] Emanuel K.A. Sensitivity of tropical cyclones to surface exchange coefficients and a revised steadystate model incorporating eye dynamics // J. Atmosph. Sci. - 1995. - Vol. 52. - P. 3969-3976.

[38] Craig G.C., Gray S.L. CISK or WISHE as a mechanism for tropical cyclone intensification // J. Atmosph. Sci. - 1996. - Vol. 53. - P. 35283540.

[39] Montgomery M.T., Smith R.K., Nguyen S.V. Sensitivity of tropical-cyclone models to the surface drag coefficient // Q.J.R.Meteorol.Soc. - 2010. - Vol. 136. - P. 1945-1953.

[40] Smit R.K., Montgomery M.T., Thomsen G.L. Sensitivity of tropical-cyclone models to the surface drag coefficient in different boundary-layer schemes // Q.J.R.Meteorol.Soc. - Vol. 140. - P. 792-804.

[41] Luo G., Gao Y. Influence of mesoscale topography on vortex intensivity // Natural Science. - 2008. - Vol. 18. - P. 71-78.

[42] Дирихле Г.Л. Исследование одной проблемы гидродинамики // Известия научного общества Геттингена. - 1857. - № 14. - С. 203-207.

[43] Dedekind R. Zusatz zu der vorstehenden Abhandlung // Crelle's Journal. -1861.-Bd. 58.-P. 217-228.

[44] Риман Б. Сочинения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.

[45] Kirchhoff G. Vorlesungen uber mathematische Physik. Leipzig: Teubner, 1876.

[46] Padova E. Sul moto di un ellissoide ed omogeneo // Annali della Scuola Normale di Pisa. - 1871. - T. 1. - P. 1-87.

[47] Lipschitz R. Reduktion der Bewegung eines flüssigen homogenen Ellipsoids auf das Variaitionsproblem eines einfachen Integrals, und Bestimmung der Bewegung fur den Grenzfall einen elliptischen Cylinders // Crelle's Journal. - 1874. - Bd. 78. - P. 245-272.

[48] Basset A. Hydrodynamics: With Numerous Examples. Cambridge: Deighton, 1888.

[49] Lamb H. Hydrodynamics. New York: Dover, 1932.

[50] Routh E.J. A treatise on analytical statics. Cambridge: Cambridge University Press, 1922.

[51] Аппель П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. Л.-М.: ОНТИ, 1936. - 376 c.

[52] Литтлтон Р.А. Устойчивость вращающихся масс жидкости. М.: НИЦ «РХД», 2001.

[53] Basset A. On the Motion of a Liquid Ellipsoid under the influence of its own attraction // Proc. London Math. Soc. - 1885. - № 1. - P. 255-262.

[54] Basset A. On the Stability of a Liquid Ellipsoid which is rotating about a principal axis under the influence of its own attraction // Proc. London Math. Soc. - 1887. - P. 46-56.

[55] Basset A. On the Steady Motion of an Annular Mass of Rotating Liquid // Amer. J. Math. - 1889. - Vol. 11. - № 2. - P. 172-181.

[56] Duhem M.P. Sur la stabilite de l'equilibre relatif d'une masse fluide animee d'un mouvement de rotation // J. de Math. Pures et Appl. - 1905. -Vol. 7. - P. 331-350.

[57] Hagen J. Über die Stabilitat des Gleichgewichtes einer auf einem dreiax-igen Ellipsoid mit kleinen Excentricitaten ausgebreiteten Flüssigkeit // Zeitschrift fur Mathematik und Physik. - 1877. - Bd. 22. - P. 65-86.

[58] Hicks W.M. On the motion of a mass of liquid under its own attraction // Proc. Cambr. Phil. Soc. - 1883. - Vol. 4. - P. 1-4.

[59] Hill M.J.M. Note on the motion of a fluid ellipsoid under its own attraction // Proc. London Math. Soc. - 1891. - P. 88-95.

[60] Love A.E.H. On the motion of a liquid elliptic cylinder under its own attraction // Quart. J. of Pure and Appl. Math. - 1889. - Vol. 23. -P. 153-158.

[61] Love A.E.H. The oscillations of a mass of gravitating liquid in the form of an ellyptic cylinder which rotates as if rigid about its axis // Quart. J. of Pure and Appl. Math. - n.d. - P. 158-165.

[62] Ляпунов А.М. О фигурах равновесия неоднородной вращающейся жидкости. М.: Изд. АН СССР, 1965.

[63] Poincare H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animee d'un mouvement de rotation // Acta Math. - 1885. - Vol. 7. - P. 259-380.

[64] Poincare H. Figures d'equilibre d'une masse fluide. Paris: Gauthier-Villars, 1902.

[65] Сретенский Л.Н. Теория фигур равновесия жидкой вращающейся массы // УМН. - 1938. - № 5. - С. 187-230.

[66] Leblanc S., Le Duc A., Le Penven L. On the stability of vortices in an ideal gas // Berlin Heidelberg: Springer, 2000.

[67] Sipp D., Lauga E., Jacquin L. Vortices in rotating systems: Centrifugal, elliptic and hyperbolic type instabilities // Physics of Fluids. - 1999. -Vol. 11. - P. 3716-3728.

[68] Flierl G.R. On the stability of geostrophic vortices // J. Fluid Mech. -1988. - Vol. 197. - P. 349-388.

[69] Chree C. Vortex rings in a compressible fluid // Edinburgh Mathematical Society. - 1887. - Vol. 6. - P. 59-68.

[70] Colonius T., Lele S., Moin P. The free compressible viscous vortex // J. Fluid Mech. - 1991. - Vol. 230. - P. 45-73.

[71] Lu G., Lele S. Inviscid instability of compressible swirling mixing layers // Physics of Fluids. - 1990. - Vol. 11. - P. 450-461.

[72] Caillo P. Absolute and convective instabilities of an inviscid compressible mixing layer // Physics of Fluids. - Vol. 21. - 2009.

[73] Fung Y.T. On the stability of vortex motions in compressible stratified fluids // Journal of Fluids Engineering. - 1988. - Vol. 107. - P. 73-78.

[74] Rusak Z., Lee J.H. On a stability of a compressible axisymmetric rotating flow in a pipe // J. Fluid Mech. - 2004. - Vol. 501.

[75] Chan W.M., Shariff T.K., Pulliam T.H. Instabilities of two-dimensional inviscid compressible vortices // J. Fluid Mech. - 1993. - Vol. 253. -P. 173-209.

[76] Menshov I., Nakamura Yo. Instability of isolated comressible entropy-stratified vorices // Physks of Fluids - 2005. - Vol. 17.

[77] Ardalan K., Meiron D.I., Pullin D.I. Compressible vortex flows: the hollow-core vortex array // J. Fluid Mech. - 1995. - Vol. 301. - P. 1-17.

[78] Chiocchia G. A hodograph approach to the rotational compressible flow of an ideal fluid // Q. Appl. Math. - 2009. - Vol. 47. - P. 513-528.

[79] Rozanova O.S., Yu J.-L., Hu C.-K. Typhooh eye trajectory based on a mathematical model: Comparing with observational data // Nonlinear analysis. Real World Applications - 2010. - № 11. - P. 1847-1861.

[80] Rozanova O.S., Yu J.-L., Hu C.-K. On the position of vortex in two-dimensional model of atmosphere // Nonlinear analysis. Real World Applications - 2012. - № 13. - P. 1941-1954.

[81] Rozanova O.S., Yu J.-L., Hu C.-K. Mathematical model of influence of friction on the vortex motion // arXiv: 1507.08308.

[82] Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. -533 c.

[83] Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1980. - 260 с.

[84] Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. - 536 c.

[85] Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.- 368 c.

[86] Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968. - 686 c.

[87] Калитин Б.С. Устойчивость при наличии первых интегралов // Вестник Белорусского университета. Серия 1, физика, математика, механика. - 1968. - № 3. - С. 69-70.

[88] Калитин Б.С. Устойчивость дифференциальных уравнений. LAP Lambert Publishing, 2012.

Работы автора по теме диссертации:

Статьи в научных журналах Web of Science, SCOPUS, RSCI, а также в изданиях, рекомендованных для защиты в диссертационном совете МГУ по специальности

[89] Rozanova O.S., Turzynsky M.K. On systems of nonlinear ODE arising in gas dynamics: application to vortical motion // Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. - 2018. - Vol. 230. - P. 387-398.

[90] Rozanova O.S., Turzynsky M.K. Nonlinear stability of localized and non-localized vortices in rotating compressible media // Theory, Numerics and Applications of Hyperbolic Problems. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. - 2018. - Vol. 236. - P. 567-580.

[91] Турцынский М.К. О свойствах решений уравнений газовой динамики на вращающейся плоскости, отвечающих движениям с однородной деформацией // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. - 2020. - № 2. - С. 39-45.

[92] Rozanova O.S., Turzynsky M.K. The stability of vortices in gas on the /-plane: the influence of centrifugal force // Nonlinear Analysis and Boundary Value Problems. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. - 2019. - Vol 292. - P. 131-143.

[93] Rozanova O.S., Turzynsky M.K. Full Classification of Motions with Uniform Deformation on a Rotating Plane // Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences. AIP Conference Proceedings. - 2019. -Vol. 2164. - P. 1-11. - https://doi.org/10.106371.5130835.

[94] Турцынский М.К. Об исследовании устойчивости одного класса стационарных решений системы уравнений газовой динамики на вращающейся плоскости // Управление большими системами. - 2020. - № 84. - С. 51-65.

Иные публикации

[95] Rozanova O.S., Turzynsky M. The stability of vortices in gas on the /-plane: the influence of centrifugal force // arXiv: 1901.08484v1.

[96] Rozanova O.S., Yu J.-L., Turzynsky M., Hu C.-K. Nonlinear stability of two-dimensional axisymmetric vortices in compressible inviscid medium in a rotating frame // arXiv: 1511.07039.

Аннотации докладов

[97] Турцынский М.К. Эйлеров и лагранжев подходы к исследованию свойств решений уравнений газовой динамики // Дифференциальные уравнения. - 2019. - Т. 55. - № 6. - С. 887.

Тезисы докладов на научных конференциях

[98] Турцынский М.К. О поведении решения динамической системы, возникающей при исследовании вихря в средах с трением // Сборник научных трудов научной конференции «Дни студенческой науки. Весна - 2013». М.: МЭСИ, 2013.

[99] Турцынский М.К. О движении стратифицированной жидкости в присутствии трения // Сборник научных трудов научной конференции «Ломоносов». М.: МЭСИ, 2014.

[100] Турцынский М.К. Исследование влияния суши на поведение атмосферного вихря // Материалы международного молодежного форума «Ломоносов» (в электронном виде). М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 2014.

[101] Турцынский М.К. Исследование малопараметрической модели вихревого движения в присутствии трения // Материалы 5-ой международной школы молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах». М.: ИПМех РАН, 2014.

[102] Rozanova O.S., Turzynsky M.K. Study of nonlinear stability of axisym-metrical vortex in compressible fluid with respect to the symmetry breaking // Proceedings of 6th International conference «Fluxes and structures in fluids». Kaliningrad: Kant KSU, 2015.

[103] Турцынский М.К. Исследование модели вихревого движения сжимаемой среды // Материалы международного молодежного форума «Ломоносов» (в электронном виде). М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 2016.

[104] Турцынский М.К. О свойствах системы уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах с учетом силы Кориолиса // Материалы международной научной конференции «Аналитические и вычислительные методы в теории вероятностей и ее приложениях (ACMPT-2017)». М.: РУДН, 2017.

[105] Турцынский М.К. О нахождении точных решений системы уравнений газовой динамики в поле силы Кориолиса // Сборник тезисов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Владимир: ВлГУ, 2018.

[106] Турцынский М.К. Исследование нелинейной устойчивости специальных классов решений уравнений мелкой воды на вращающейся плоскости // Материалы 9-ой международной школы молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах». М.: ИПМех РАН, 2018.

[107] Розанова О.С., Турцынский М.К., Винонен Н.В. Полная классификация положений равновесия движений с однородной деформацией

на вращающейся плоскости // Сборник тезисов международной научной конференции «Современные проблемы математики и механики», посвященная 80-летию академика В.А.Садовничего. М.: МГУ, 2019.

[108] Rozanova O.S., Turzynsky M.K. Ellipsoidal Vortices in Compressible Rotating Fluid // Book of abstracts of Eleventh International Conference on Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences. Albena, 2019.

[109] Розанова О.С., Турцынский М.К. Об устойчивости положений равновесия матричной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, ассоциированных с уравнениями газовой динамики // Тезисы докладов Всероссийской конференции, посвященной 100-летию Л.В.Овсянникова. Новосибирск: Институт гидродинамики СО РАН, 2019.

[110] Турцынский М.К. Исследование устойчивости решений с однородной деформацией для двумерной газовой динамики // Сборник тезисов Международной конференции «Дифференциальные уравнения, динамические системы». Долгопрудный: МФТИ, 2019.