Аналитические исследования нелинейных начально-краевых задач для некоторых классов течений идеального газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Чуев, Николай Павлович

• Чуев, Николай Павлович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чуев, Николай Павлович

Оглавление

Введение

Глава I. Сферически-симметричное истечение самогравитирующего

газа в вакуум

§ 1. Постановка задачи о распаде разрыва

§2. Построение волны разрежения

§3. Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму

Глава II. Аналитический метод исследования пространственных задач

динамики самогравитирующего газа

§4. Постановка задачи Коши для системы уравнений газовой динамики

с учетом гравитационных сил

§5. Построение решения задачи Коши и исследования структуры

коэффициентов ряда

§'-•. Об эволюции вращающегося газового шара в условиях

самогравитации

§7. Исследование закона движения свободной поверхности

гравитирующего газового шара

Заключение

Литература

Приложение

Таблицы №1-№! 0

Рисунки №1-№20

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические исследования нелинейных начально-краевых задач для некоторых классов течений идеального газа»

Введение

Диссертация посвящена решению начально-краевых задач для нелинейных систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, описывающих пространственное нестационарное истечение идеального газа в вакуум. При этом предполагается, что кроме поверхностных сил давления, под действием которых происходит движение газа, заданы силы взаимного гравитационного притяжения по закону Ньютона между частицами.

Решение начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными является актуальной проблемой общей теории дифференциальных уравнений. Результаты теоретических исследований находят важное применение при решении задач математической физики, в частности, газовой динамики. Среди краевых задач можно выделить краевые задачи со свободными границами, на которых известны значения некоторых искомых функций, но заранее неизвестны положения самих границ. Исследование задач неустановившегося движения газа со свободными границами, важными с точки зрения приложений, представляет собой значительные математические трудности. К таким задачам газовой динамики относится задача по изучению движений, возникающих при истечении газа в вакуум, которая состоит из двух частей: задача о распаде соответствующего разрыва и задача о непрерывном примыкании газа к вакууму.

Сформулируем задачу о распаде разрыва. Пусть в момент I = О замкнутая поверхность Г, граница области О0, отделяет идеальный политропный гравитирующий по закону Ньютона газ от вакуума. При этом в момент / = О известны распределения параметров газа в П0: и = -

скорости газа; р = р0(^) - плотности, - энтропии, Зг = {х,у,г}.

Функции й0, р0, л0, а также функция /0(1,/) = 0, задающая поверхность Г, предполагаются аналитическими в окрестности точки х0, а плотность газа всюду в П0 больше нуля, в том числе р0(*)|г > 0. В момент £ = 0 поверхность

Г мгновенно разрушается и начинается разлет части гравитирующего идеального газа в вакуум. Возмущения, возникшие в фоновом течении в результате мгновенного убирания поверхности Г, распространяются по газу в виде волны разрежения, отделенной от фонового течения границей Г,, являющейся поверхностью слабого разрыва. С другой стороны, волна разрежения примыкает к вакууму: р|г =0, где Г0 - свободная поверхность,

отделяющая волну разрежения от вакуума. Требуется построить как фоновое течение, так и волну разрежения, а также найти законы движения Г; и Г0. Для построения фонового течения необходимо решить задачу Коши с начальными данными й0, р0, s(). Это решение позволяет найти закон распространения Г^ и распределение газодинамических параметров на ней. Определив значения искомых функций на Г1 можно решить характеристическую задачу Коши, построив тем самым течение в области между Г1 и Г0, и найти закон распространения Г0. В дальнейшем эту задачу будем называть задачей о распаде специального разрыва.

Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму формулируется следующим образом. Пусть в момент времени / - /0 (в частности ¿ = 0) известная замкнутая поверхность Г0 является границей, отделяющей область £10, заполненную идеальным политропным гравитирующим газом, от вакуума. В начальный момент времени t = t0 (Г=0) известны распределения параметров газа в области П0: и = р = -р0(х), я = ^Зс), I = е П0.

Функции й0, р0, л0 и уравнение поверхности Г0 являются аналитическими

функциями, причем р|г = 0. Требуется построить течение газа при / > /0

(/ >0) и найти закон движения свободной поверхности. При построении этого течения можно решать задачу Коши с начальными данными, заданными при г = /0, а можно решать характеристическую задачу Коши с

данными на поверхности /(.*,/) = 0, где / = 0 - есть уравнение, задающее

закон движения свободной поверхности. Оба этих подхода реализованы в диссертации.

Задачи, близкие к поставленным, но без учета гравитации, рассматривались ранее. При помощи характеристических рядов в работе А.Ф.Сидорова [1] были построены двумерные и трехмерные течения идеального газа, примыкающие через слабый разрыв к области покоящегося газа. В работе В.М.Тешукова [2] рассмотрен распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности, когда по обе стороны от поверхности разрыва плотность газа больше нуля. На основе анализа первых членов некоторых асимптотических разложений в работе Я.М.Каждана сделан вывод о том, что свободная поверхность Г0 некоторое время движется с постоянной скоростью. В работе С.П.Баутина [4] изучено течение, возникшее в результате схлопывания одномерной полости; при 1 < у < 3 решение построено в виде сходящихся характеристических рядов в области от Г1 до Г0 включительно и доказано, что поверхность Г0 движется некоторое время с постоянной скоростью. Этот результат обобщен на случай двумерных и трехмерных течений в работах С.П.Баутина и С.Л.Дерябина [5], С.Л.Дерябин [6] исследовал задачу о трехмерных течениях в условиях действия внешних массовых сил.

Изучение закономерностей движения газа с учетом гравитационных сил возможно в трех случаях: движение в постоянном поле тяжести, во внешнем переменном поле тяжести и во внутреннем (собственном) поле

тяжести. Большой астрофизический интерес представляет исследование движения газа во внутреннем (собственном) поле тяжести или в условиях самогравитации. В этом случае гравитационный потенциал Ф связан с распределением плотности р уравнением Пуассона

АФ = -4кСтр,

здесь О - гравитационная постоянная, А - оператор Лапласа, сила тяготения Р определяется равенством Р = grad Ф.

Исследованиями движений сплошной среды с учетом сил самогравитации занимались Дирихле, Дедекинд и Риман. Они изучали фигуры равновесия вращающейся идеальной несжимаемой жидкости. Затем данная теория получила развитие в работах выдающихся ученых А.Пуанкаре, Дж.Дарвина, Дж.Джинса, А.М.Ляпунова, Л.Лихтенштейна и др.

Движение гравитирующего газового шара рассматривалось как модель звезд в работах и монографиях Л.И.Седова [7], К.П.Станюковича [8]. Движения газа в поле тяжести изучались в работе А.Ф.Сидорова [9], в которой построены точные решения установившегося плоскопараллельного изэнтропического течения газа с политропным уравнением состояния.

В работе О.И.Богоявленского [10] рассмотрена динамика адиабатических движений гравитирующего идеального газа, при которых скорости являются линейными функциями координат и газ с постоянной плотностью заполняет некоторый эллипсоид.

В диссертации содержится исследование задачи о сферически-симметричном истечении самогравитирующего идеального газа в вакуум, решается задача о распаде разрыва и строятся точные решения начально-краевых задач нелинейной интегро-дифференциальной системы с частными производными в виде сходящихся рядов. Условие сферической симметрии позволило свести интегро-дифференциальную систему к нелинейной системе дифференциальных уравнений с частными производными типа Коши-

Ковалевской. В работе исследуются одномерные и многомерные задачи о гладком примыкании самогравитирующего газа к вакууму, при этом используются основные уравнения газовой динамики как в форме Эйлера, так и в форме Лагранжа.

Целью диссертационной работы является следующее:

1. Решение задачи о распаде разрыва для сферически-симметричных течений самогравитирующего идеального политропного газа.

2. Решение задачи о гладком примыкании гравитирующего газа к вакууму для сферически симметричных течений и исследование транспортных уравнений для определения границ применимости данного решения.

3. Построение решения задачи о гладком примыкании гравитирующего газа к вакууму в общем трехмерном случае.

4. Исследование эволюции гравитирующего газового шара, который в начальный момент времени вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью.

Основными методами исследования, используемыми в диссертации являются аналитические методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической функции, в частности, метод представления решения в виде степенных рядов. Доказательство существования и единственности решений нелинейных систем с частными производными и представление их в виде степенных рядов опирается на классическую теорему Коши-Ковалевской и ее аналоги. Теорема Коши-Ковалевской обеспечивает существование и единственность решения задачи Коши для квазилинейной системы, если определитель матрицы, составленной из коэффициентов, стоящих перед выводящими производными, отличен от нуля, и все входные данные являются аналитическими. Если этот определитель равен нулю, то возникает характеристическая задача Коши, и

для единственности решения требуется задавать дополнительные условия. В случае линейной гиперболической системы Р.Курант [11], В.М.Бабич [12,13], Д.Людвиг [14] разработали метод представления решений характеристической задачи Коши в виде «обобщенной бегущей волны» -бесконечного, ряда по специальным системам функций, зависящих от ср, где ф = 0 - есть уравнение характеристической поверхности исходной гиперболической системы. В случае выполнения условий теоремы Коши-Ковалевской В.М.Бабичем и Д.Людвигом доказана сходимость этих рядов «в малом». Д.Людвиг свел вопрос о сходимости «обобщенной бегущей волны» к вопросу о существовании аналитического решения у линейной характеристической задачи Коши, когда начальное многообразие является характеристическим в каждой точке. Для линейных уравнений Дж.Даффом [15] и Д.Людвигом доказаны соответствующие аналоги теоремы Коши-Ковалевской.

Для нелинейной системы уравнений газовой динамики характеристическая задача Коши была решена А.А.Дороднициным [16]. А.Ф.Сидоров [17,18] предложил метод построения решения характеристической задачи Коши в виде степенных рядов. Коэффициенты рядов определяются из систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае характеристической задачи Коши стандартного вида, поставленной для аналитической квазилинейной системы, в работе С.П.Баутина [19] методом мажорант доказан аналог теоремы Коши-Ковалевской. В трудах А.Ф.Сидорова и его учеников активно разрабатывается метод характеристических рядов. Этот метод использован для решения задач газовой динамики, в работах С.П.Баутина [4,20-21], С.Л.Дерябина [6,22-23], Л.Г.Корзунина [24], С.С.Титова [25] и многих других.

Диссертация состоит из введения, двух глав, семи параграфов, заключения, приложения и списка литературы. Объем работы составляет 98

страниц машинописного текста, включая 20 рисунков, 10 таблиц. Библиография включает 42 наименования работ.

Введение содержит исторические сведения по исследуемой проблеме и краткое изложение основных результатов.

В первом параграфе рассматривается постановка задачи о распаде разрыва. Исходной системой, описывающей движения гравитирующего газа, является система уравнений в форме Эйлера

Р(+(ри)х + 2^= 0,

х

ut +иих+-рх = Fix, А Р

(1)

в X

где ^(х,?) = -471— |г2р(г,ф/г - сила притяжения, р - давление, р -х 0

плотность, и - скорость частиц газа. При I = 0 х е С2(), где - шар

рТ

радиуса г°. Уравнение состояния взято в виде р = s2 —. Для функции Fix t)

У

дифференцированием по t или по х с учетом уравнений системы (1), получены два дифференциальных соотношения

Ft = АпСтри,

2 ' Fx + — F + 4nGp = 0. х

Если ввести функцию M = -x2G 'F(x,/), то имеют место аналогичные равенства

/V/, + 4тис2р и = 0, Мх — 4пх2р = 0.

Введением неизвестных функций /'(-М) (или М(х,/))

и

_Т-1

а(х,?) = [р(-М)] 2 интегро-дифференциальная система (1) сводится к системе дифференциальных уравнений типа Коши-Ковалевской

У""1 ^ п

а, + о и + + (у -1)— = О,

2 х

2 2 2 2 т-> г\

щ + ихи ч--.V сах ч- —а ^ - ^ = О,

у-1 у

+ ^М = О,

2

^-4тшау-'=0. (1')

Задание аналитических начальных данных для и, а, .у, F в момент / = 0, при ст| >0, обеспечивает существование и единственность решения системы (Г) при малых значениях / в виде сходящихся рядов вида

СО и. к

и = 0 = {и,а,з,Р} (2)

к=0 к

Найденное решение определяет фоновое течение газа, по которому однозначно находится поверхность слабого разрыва с помощью обыкновенного дифференциального уравнения

с/х

— = и(х,1:)~ (3)

В силу того, что стх| о = оо на поверхности сферы в момент / = 0,

делается замена переменных. За независимые переменные берутся ( и с, а за неизвестные функции я, Т7. Якобиан такого преобразования равен:

В результате такой замены переменных получим систему

У - 1 ( А иа п х(-и- ——- (у - 1)хо — = О,

2* Х-

У-1 2 / л и° 2 2 2 2 х и,--и а - у - 1 )хи — +-я с + — - х р = О,

а £ ст \ < / с с -» о а '

2 х у -1 у

ад=0, 2

^+-х^-4.тга(м-х()сг"1 =0. (4)

х.

с начальными данными на характеристике Г}

4-,=«0(<). м1г, = ""(')■ < = АО. =

и дополнительным условием х(ст,0) = г°.

Во втором параграфе исследуется задача о распаде разрыва, строится волна разрежения (течение газа в области между Г^ и Г0).

Система (4) с аналитическими данными на характеристической поверхности Г1 с дополнительным условием в виде х(?,а)| = имеет

единственное решение, что устанавливается теоремой 1. Теорема 1. При 0 < I < (0 в некоторой окрестности Г1 существует единственное локально-аналитическое решение задачи о распаде разрыва.

Доказательство теоремы сводится [4-6] к соответствующему аналогу теоремы Коши-Ковалевской [19].

Для исследования вопроса о том, входит ли свободная поверхность Г0 в область применимости решения системы (4), установленное теоремой 1, данное решение представляется в виде ряда по степеням I

/Ы = £М°)гГ / = (5)

к=О К-

Анализ коэффициентов ./Дет) приводит к лемме. Лемма. При 1 < у < 3 коэффициенты рядов (4) при к > 1 имеют вид

xk+i =ak-i + aP1(fe(a,a\aina), uk ~ ak + а.Р2А.(а,аa In a), sk = aP3fc (a, a\a In a),

Fk+1 = ak + aP4fc(a,a\alna), (6)

где P¡k, i = 1,2,3,4 - многочлены от указанных аргументов, степень которых не превышает А-к, X > О, ак = const. Л = const, а0 = F0. На основании теоремы 1 и леммы доказывается теорема 2. Теорема 2. Для 1 < у < 3 при О <t <t0 область сходимости рядов (4), а

также рядов, задающих и /а покрывает всю область течения

от Г, до Г0 включительно. При этом закон движения Г0:

х = ф(7) определяется из решения вспомогательной задачи

хг = u(t\ ut = F(t),

(7)

x

с начальными данными

2

(0) = г°, ,<о) = И.=-4т50(Г0)СУо(г0) + Ио(Г0),

xi

\ / ' \ /

■у

С

//(о) = /•; = 4;: о

1Г ) 0

и на поверхности Г0 сохраняется исходное значение энтропии

В третьем параграфе исследуется задача о непрерывном примыкании газа к вакууму. Доказана теорема существования и единственности решения данной задачи для системы уравнений

а. + (и- (р, )стг + -—-аиг + (у - 1)-^- = О,

2 г + ф

/ \ 2 2 2 2 СМ00 .

",+("- Ф,К +-7* + ^ + 7-ту = О,

У-1 У (г + ф)

Ъ + (и ~ Фг К =

2

А/2-4тг(2 + ф)2а7Г1=0, (8)

с начальными условиями а(/1,0) = 0, Ц7,0) = и(7), ¿(¿,0) = 500, М(7,0) = М00. (8х) и дополнительными условиями

= и(*0,*)=и0(г), *) = **(*) (П

В системе уравнений (8) функция х = ф(/) задает закон движения свободной поверхности Г0, Мт - вся масса газа, г = - новая независимая

переменная.

Теорема 3. При /0 < I < и задача (8), (8х), (8") имеет единственное локально-аналитическое решение, представимое в виде

оо к

к=0

Доказательство этой теоремы сводится к соответствующему аналогу теоремы Коши-Ковалевской [19]. Данная теорема справедлива только для рациональных показателей адиабаты у . Анализ решения показывает, что при определенных значениях газодинамических параметров газовый шар разлетается до бесконечности, в других случаях граница газ-вакуум останавливается при t = tl и начинается схлопывание массы газа. Особенности решения на этой границе появляются только в момент фокусировки, который можно трактовать как момент схлопывания всей массы газа в центр симметрии. Исследование системы транспортных уравнений проводилось численными методами.

Во второй главе исследуется динамика движений гравитирующего по закону Ньютона идеального политропного газа, который при / = 0 заполняет выпуклую область Г!0 < Я] и непрерывно примыкает к вакууму.

В четвертом параграфе рассматривается постановка задачи Коши для системы уравнений, описывающей движение массы газа в трехмерном пространстве с учетом гравитационных сил. Задаются аналитические начальные распределения параметров газа в области П(): скорость частиц,

Р7

плотность, энтропия. Уравнение состояния задается в виде р=А(я)—.

У

Система интегро-дифференциальных уравнений газовой динамики записывается в форме Лагранжа и в дальнейшем исследуется при

у = 1 + —, п,теЫ. Замена = У, р=ст'и позволяет получить

т

аналитическую систему (штрих опустим):

М*хи + -^—GnVs + -sVG•¡ = УФ, п + т п

т. ¡с: + а/, = О,

= 0, (9)

где х = х(а,() - неизвестные функции с лагранжевыми переменными

а = {а,Ь,с\, М = — - матрица Якоби, М* - транспонированная матрица, ^ да

с . с ■ д • 7 = с1е1 А/, оператор V = —/+—]+ — к,

да дЬ дс

Система (9) преобразуется к виду

М*х1 = Уф + ф, Фг = Ф + -\Х,\ ,

^ т „_ т

а"У?+-5У а"

МЛ

т^, = -а/,,

*,=0 (9-)

Для системы (9'), (10) ставится задача Коши с аналитическими начальными данными.

В пятом параграфе строится решение задачи Коши для системы (9х), (10) в виде ряда по степеням t

к=0 & ■

(? = {х,з;,2,ф,ф1,ф2,фз,а,4 (11)

Коэффициенты ряда определяются рекуррентным способом из системы алгебраических уравнений. Подробно изучается возможность последовательного дифференцирования потенциала Ф(а,^ по переменной

входящего в систему уравнений в виде несобственного интеграла по области О,0 с переменной особенностью. Доказывается лемма об аналитичности

дк

и коэффициентов ряда в области . Доказывается теорема о

¿=0

существовании и единственности задачи Коши для системы (8)-(9), в которой функция Ф заменена на

= ■ ' (12)

<7=0 Ч-

дс'

где Ф,=—Ф(3,0

В шестом параграфе рассматривается динамика изэнтропических движений гравитирующего идеального политропного газа, при заданном начальном вращении всей массы газа как твердого тела с постоянной угловой скоростью со и имеющей в начальный момент времени форму шара радиуса 1.

Рассматривается задача Коши для системы уравнений газовой динамики в форме Л.Эйлера

й, + (иУ)й + - Ур = УФ, Р

р( + ри = 0, (13)

где = С ||| у^-^сЫ' = ^х' - ньютоновский потенциал,

создаваемый всей массой газа, х = {х,у,г} - декартовы координаты точки,

Е2 = (х - х')2 + (у - у')2 + (т. - г')2, {и,у,м>} - скорость газа, р ~

давление, р - плотность газа.

Решение системы (13) строится в виде рядов по положительным степеням t

и = Ъик{х)\- и = р}, (14)

к=О К--

удовлетворяющие следующим начальным условиям

Щ1={) - щ

= {-соу,сох,0}, р|?=0 =р0 =р00(1-г2),

>2=х2+/+г2, р00=сож(, р| = 0, (15)

1 /

где Г, - свободная подвижная граница тела при I > 0. Доказывается лемма. Лемма Коэффициенты рядов (14) являются аналитическими функциями переменных х - {л*, еП0 иГ0 при условии аналитичности

начальных данных (15). Устанавливается, что для любого к> 0 система

и,

П п=О

1 д*1

ст,+—СТ<#УИ + УСТМ = о, Ф =-Ф| . (16)

т сд

тп

с начальными условиями (15) и где у = 1 + —, п,теЫ, является системой

и

типа Коши-Ковалевской. Задача Коши для этой системы имеет при малых ( аналитическое решение, которое можно представить в виде степенных рядов по степеням ? с коэффициентами, являющимися аналитическими функциями переменных х,у,г.

В седьмом параграфе проводится исследование эволюции свободной поверхности газового шара. Для этой цели используется приближенное решение системы (16) в виде

0 = О0 + . (17)

Функция г = , определяющая свободную поверхность Гг для

? > О, удовлетворяет уравнению

= 0 (18)

и начальному условию /(х,у,0) = /0 = ±д/ 1-х2 - у2 . (19)

Решение (18) с учетом (17) и (19) имеет вид

2 2 2 Х + >" -* = 1 (20)

ехр

»[(со2-аМ00)г2] ехр (-СЖ0/)

Таким образом, при I > 0 исходная сфера радиуса 1 принимает форму эллипсоида вращения. При ш2 -СМ00>0 происходит осесимметричный разлет частиц газа и сжатие вдоль оси 02. При ю2 - СМт < 0 шар начинает сжиматься под действием сил самогравитацйи.

По теме диссертации опубликовано 8 работ [26-33]. Совместная работа выполнена С.Л.Дерябиным и автором диссертации с равным творческим вкладом.

Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах «Нелинейные задачи математической физики» в Институте математики и механики УрО РАН, председатель семинара академик РАН А.Ф.Сидоров; на 1-й Всесоюзной (в 1992 г.) в г. Екатеринбурге, 2-й Международной (1994 г.) в г. Арзамасе, 3-й Всероссийской (1996 г.) в г. Москве - школах-семинарах «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа»; на научно-технических конференциях Уральской государственной академии путей сообщения в 1995, 1996 годах.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Чуев, Николай Павлович

Заключение

В данной работе проведены аналитические исследования нелинейных начально-краевых задач для некоторых классов течений идеального газа

В первой главе:

1. Доказаны теоремы существования и единственности локально-аналитического решения задачи Коши для интегро-дифференциальной системы уравнений, описывающих сферически-симметричные течения идеального газа с разрывными начальными данными. Методом характеристических рядов решена задача о распаде разрыва.

2. Доказано, что частицы газа на свободной поверхности газ-вакуум движутся как частицы газа в поле притяжения материальной точки, помещенной в центр симметрии и имеющей массу, равную массе газа.

3. Исследована задача о непрерывном примыкании газа к вакууму для сферически-симметричных течений и доказана теорема существования и единственности решения для рациональных показателей адиабаты.

4. Получены и исследованы системы транспортных уравнений, описывающих поведение выводящих из Г0 производных. Показано, что при определенных газодинамических параметрах газовый шар разлетается до бесконечности, в других случаях граница газ вакуум останавливается при ^ - ^ > 0 и начинается схлопывание массы газа: При этом особенности решения на этой границе появляются только в момент фокусировки, который можно трактовать как момент схлопывания всей массы газа в центр симметрии.

Во второй главе проведены исследования задачи Коши для систем интегро-дифференциальных уравнений, описывающих течения идеального самогравитирующего газа в трехмерном пространстве.

5. Построено в виде рядов по степеням ? решение задачи Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений, взятых в форме Лагранжа, в случае когда в начальный момент времени газ заполняет произвольную выпуклую область С10 с Я3,. Доказана аналитичность всех производных по ? потенциала тяготения, что позволило доказать аналитичность коэффициентов рядов, задающих решение данной задачи.

6. Исследована задача Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений в форме Эйлера, описывающей движение идеального самогравитирующего газа при условии, что в начальный момент времени газ имеет форму шара, вращающегося как твердое тело с постоянной угловой скоростью вокруг оси. Получен приближенный закон движения свободной поверхности в виде эллипсоида вращения. Доказано, что при ш2 - ОМ00 > 0 происходит осесимметричный разлет частиц газа и сжатие вдоль оси 01, при ш2 - ОМт < О шар начинает сжиматься под действием сил самогравитации, где со - угловая скорость, М00 - масса газа, О -гравитационная постоянная.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чуев, Николай Павлович, 1999 год

Литература

1. Сидоров А.Ф. Приближенный метод решения некоторых задач о пространственном истечении газа в вакуум // Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976. Т.7, №5, с.137-148.

2. Тешуков В.М. Распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности // ПМТФ, 1980. №2, с. 126-133.

3. Каждан Я.М. Сферический разлет газа к центру. - Препринт №2. Ин-т прикл. матем. 1969. - 46 с.

4. Баутин С.П. Схлопывание одномерной полости // ПММ, 1982. Т.46, вып.1, с.50-59.

5. Баутин С.П., Дерябин С.Л. Истечение идеального газа в вакуум // Докл. АН СССР, 1983. Т.273, №4, с.817-820.

6. Дерябин С.Л. Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа в условиях действия внешних массовых сил // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1987. Вып.83, с.60-71.

7. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. - М.: «Наука», 1987.-430 с.

8. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. -М.: «Наука», 1971.-856 с.

9. Сидоров А.Ф. О некоторых течениях газа в поле тяжести. - ПММ, т.42, 1978.

10. Богоявленский О.И. Динамика гравитирующего газового эллипсоида // ПММ, т.40, 1976. Вып.2, с,270-280.

11. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: «Мир», 1964. - 830 с.

12. Бабич В.М. Об элементарных решениях гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. - 1959, т.219, №3, с.479-481.

13. Бабич В.М. Фундаментальные решения гиперболических уравнений с переменными коэффициентами // Матем. Сб. - 1960, т.52(94). Вып.2, с.702-738.

14. Ludwig D. Exact and asymptotic solutions of the Cauchy problem //Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1960, v. 13, №3, p.473-508.

15. Duff G.F.D. Mixed problems for linear systems of first order equation. //Canaden Journal of Mathematics. - 1958, v.10, №1, p.127-160.

16. Дородницын А.А. Некоторые случаи осесимметричных сверхзвуковых течений газа. Сборник теоретических работ по аэродинамике. - М.: «Оборонгиз», 1957. - с.77-88.

17. Сидоров А.Ф. Об одном методе решения некоторых краевых задач для нелинейных уравнений гиперболического типа и распространения слабых ударных волн. // ПММ. 1972, т.36, вып.З, с.426-434.

18. Сидоров А.Ф. О решении некоторых краевых задач в теории потенциальных течений газа и распространение слабых ударных волн // Докл. АН СССР, 1972, т.204, №4, с.62-65.

19. Баутин С.П. Характеристическая задача Коши для квазилинейной аналитической системы. // Дифференциальные уравнения. 1976, т. 12, №11, с.2052-2063.

20. Баутин С П. Одномерное истечение газа в вакуум // Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск. 1983, т. 14, №4, с.3-20.

21. Баутин С.П. Двумерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа. // ПММ, 1983, т.47, вып.З, с.433-439.

22. Дерябин С.Л. Трехмерное истечение в вакуум из состояния покоя //Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск,

1983, т. 14, №4, с.58-73.

23. Дерябин С.Л. Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа // Динамика сплошной среды. - Новосибирск,

1984, вып.65, с.56-74.

24. Корзунин Л.Г. О представлении решений уравнения Кортевега-де'Фриза в виде специальных рядов // Аналитические и численные методы исследования задач механики сплошной среды. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987, с.90-96.

25. Титов С.С. Разложение решений нелинейных уравнений в двойные ряды // Дифференциальные уравнения, 1978, т. 14, №10, с. 1844-1850.

26. Дерябин С.Л. Чуев Н.П. Сферически-симметричное истечение самогравитирующего идеального газа в вакуум. // ПММ, т.58, вып.З. - 1994, с.77-84.

27. Чуев Н.П. Об эволюции вращающегося газового шара в условиях самогравитации // Тезисы докладов Международной школы-семинара «Аналитические методы исследования процессов в механике жидкости и газа». - Арзамас, 1994. - с. 116.

28. Чуев Н.П. Динамика гравитирующего газового шара // Тезисы докладов научно-технической конференции Уральской государственной академии путей сообщения. - Екатеринбург, 1995, -с.93.

29. Чуев Н.П. Трехмерная задача об истечении самогравитирующего газа в вакуум // Тезисы докладов научно-технической конференции Уральской государственной академии путей сообщения. -Екатеринбург, 1996. - с.140.

30. Чуев Н.П. Об эволюции вращающегося газового шара в условиях самогравитации // Сборник научных трудов Уральской государственной академии путей сообщения. - Екатеринбург, 1997. -с.238-246.

31. Чуев Н.П. Динамика вращающегося газового шара в условиях самогравитации. - Деп. В ВИНИТИ 05.06.97 г. №1850-В97, 9с.

32. Чуев Н.П. Трехмерная задача о непрерывном примыкании гравитирующего идеального газа к вакууму. - Деп. В ВИНИТИ 16.09.97 г. №2844-В97, 15 с.

33. Чуев Н.П. Аналитический метод исследования пространственных задач динамики самогравитирующего газа. // Вычислительные технологии, т.З, №1. - 1998. - с.79-89.

34. Ламб Г. Гидродинамика. - М.-Л., 1947

35. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. - М.: «Мир», 1973.

36. Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. - М.-Л., 1946.

37. Гюнтер Н.М. Теория потенциала. - М., 1953.

38. Антонов В.А., Тимошкова Е.И., Холшевников К.В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. -М.: «Наука», 1988.

39. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. - М.: «Наука», 1981.

40. Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости. - М.: «Наука», 1965.

41. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.-М.: «Наука», 1970.

42. Кочин П.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. -М., 1961.