Частично инвариантные решения уравнений магнитной гидродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Головин, Сергей Валерьевич

• Головин, Сергей Валерьевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Головин, Сергей Валерьевич

Введение

I Частично инвариантные решения уравнений магнитной гидродинамики

1 Иерархия частично инвариантных решений дифференциальных уравнений

1.1 Частично инвариантные многообразия.

1.2 Частично инвариантные решения.

1.3 Иерархия частично инвариантных подмоделей.

1.4 Двухшаговое построение решений.

1.5 Уравнения мелкой воды.

2 Регулярные частично инвариантные решения для уравнений магнитной гидродинамики

2.1 Классификация частично инвариантных решений.

2.2 Подмодель типа (3,1).

2.3 Подмодели типа (2,1)

2.3.1 Подмодель {Х2,Х3,Х7}.

2.3.2 Подмодель {Х5,Хб,Х7}.

2.3.3 Подмодель {Х3 + Х5, Х2 - Х6, Х7}.

2.3.4 Подмодель {Х7, Х8, Х9}.

2.3.5 Подмодель Х5, + Х6}.

3 Вихрь Овсянникова

3.1 Плоский вихрь Овсянникова.

3.1.1 Траектории частиц и магнитные силовые линии

3.1.2 Геометрическое построение поля направлений

3.1.3 Область определения решения в трехмерном пространстве

3.1.4 Стационарное решение.

3.1.5 Решения с однородной деформацией.

3.1.6 Случай идеальной жидкости.

3.2 Сферический вихрь Овсянникова.

3.2.1 Траектории частиц и магнитные силовые линии

3.2.2 Начальное векторное поле на сфере.

3.2.3 Критерий отсутствия сингулярностей в начальном поле направлений.

3.2.4 Свойства симметрии инвариантной системы

3.2.5 Стационарное решение.

3.2.6 Автомодельное решение.

3.2.7 Логарифмическая подмодель.

3.2.8 Однородная подмодель

3.2.9 Построение решения в целом.

3.3 О безвихревом вихре Овсянникова.

3.3.1 Безвихревой плоский вихрь Овсянникова.

3.3.2 Безвихревой сферический вихрь Овсянникова

3.3.3 Геометрическая трактовка неявного соотношения

3.3.4 Алгоритм построения безвихревого особого вихря

3.3.5 Геометрические свойства полученного поля направлений

3.3.6 Совместность с уравнением неразрывности.

3.4 О возможности обобщения вихря Овсянникова на случай произвольных поверхностей уровня решения.

3.4.1 Движения газа с плоскими траекториями.

3.4.2 Специальное представление искомых функций

3.4.3 Свойства детерминанта ц>.

3.4.4 Вывод уравнений для поверхностей уровня решения

3.4.5 Классификация возможных видов поверхностей уровня решения.

3.4.6 Движение с плоскими волнами.

3.4.7 Движения с цилиндрическими волнами.

3.4.8 Движение со сферическими волнами.

4 Течения несжимаемой плазмы с постоянным полным давлением

4.1 Предварительные сведения.

4.1.1 Перезапись уравнений в криволинейных координатах

4.1.2 Геометрическая интерпретация.

4.2 Решения с постоянным полным давлением.

4.2.1 Примеры решений.

4.2.2 Интегрирование уравнения для векторного поля т.

4.2.3 Анализ полученных решений.

Основные результаты раздела

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Частично инвариантные решения уравнений магнитной гидродинамики»

Понятие симметрии играет фундаментальную роль в естествознании. Каждая математическая модель механики обладает некоторым набором симметрий. В классической механике обычно группа симметрий является расширением группы Галилея, состоящей из переносов по времени и пространственным координатам, галилеевых переносов и вращений пространства. Этот факт является отражением основных принципов инвариантности, заложенных в формулировку моделей: изотропности пространства, независимости выбора начала системы отсчета в пространстве и принципа Галилея — неизменности законов классической механики при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. Важно, что допускаемая группа симметрий инвариантна относительно точечных замен координат и, тем самым, является таким же инвариантным свойством системы уравнений, как ее тип, характеристики, способы постановки основных начально-краевых задач.

Симметрии дифференциальных уравнений дают алгоритм построения их точных упрощений — инвариантных или частично инвариантных решений. Под решением системы дифференциальных уравнений мы понимаем не только явное представление искомых функций через независимые переменные, но и подмодели, получаемые в результате сведения исходных систем дифференциальных уравнений к более простым, содержащим либо меньшее число независимых переменных, либо меньшее количество искомых функций. Такие точные упрощения исходной "большой" модели получаются на основе требования полной или частичной инвариантности решения относительно подгрупп допускаемой группы симметрий. Свойство системы дифференциальных уравнений обладать некоторым набором точных инвариантных и частично инвариантных решений не зависит от выбора переменных и поэтому инвариантно (в отличии от решений с линейным полем скоростей, с разделением переменных). Алгоритмы группового анализа дифференциальных уравнений позволяют на основе построения оптимальной системы подгрупп допускаемой группы находить все неэквивалентные (не сводящиеся одно в другое при помощи точечной замены переменных) инвариантно-групповые решения системы уравнений. Таким образом, полный набор инвариантно-групповых решений данной математической модели механики является одним из элементов ее "паспорта" — набора инвариантных характеристик модели, необходимых для ее применения при анализе конкретных физических процессов.

Идея полного исчерпания свойств симметрии математических моделей была выдвинута около 15 лет назад академиком Л.В. Овсянниковым на VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (г. Москва) под названием программы ПОДМОДЕЛИ [61, 64]. В настоящее время эта концепция успешно применена для исследования моделей гидро- и газодинамики [70, 84,109], а также механики деформируемого твердого тела [5]. Многочисленные новые результаты, полученные на этом пути группами исследователей, работающими в Москве, Новосибирске, Красноярске, Уфе, а также научных центрах Германии, Франции, Италии, Канады, США и других стран показали плодотворность данного подхода. Отметим, что групповой анализ дифференциальных уравнений во многих случаях является единственным универсальным методом, позволяющим находить точные решения нелинейных систем дифференциальных уравнений, делать выводы об их линеаризуемости, получать законы сохранения.

В настоящее время наиболее изученными являются инвариантные решения систем уравнений [60, 77]. Они выделяются требованием инвариантности многообразия, задаваемого решением, относительно некоторой подгруппы допускаемой уравнениями группы симметрий. Построение инвариантных решений опирается на известные и хорошо апробированные алгоритмы группового анализа дифференциальных уравнений. Исходная система уравнений некоторой вырожденной заменой переменных сводится к так называемой факторсистеме — более простой системе дифференциальных уравнений, содержащей меньшее число независимых переменных. В частности, факторсистема может быть системой конечных (алгебраических соотношений) для искомых функций, либо системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В этих случаях удается получить явные формулы решения, либо свести задачу к исследованию динамических систем обыкновенных дифференциальных уравнений, качественный анализ которых в настоящее время достаточно развит. К числу инвариантных относится большинство хорошо известных решений, применяемых в механике сплошной среды: автомодельные, стационарные, одно- и двумерные, решения с осевой и радиальной симметрией.

Понятие частично инвариантного решения как естественного обобщения инвариантного решения дифференциальных уравнений было впервые предложено в работе Л. В. Овсянникова [59]. Полное изложение теории частично инвариантных решений имеется в [60]. Идея построения частично инвариантных решений состоит в ослаблении требования инвариантности решения — многообразие, задаваемое решением должно быть лишь частично инвариантным многообразием с фиксированным дефектом относительно некоторой подгруппы допускаемой группы. Имеющиеся в настоящее время многочисленные примеры частично инвариантных решений для уравнений газовой динамики (см. [48, 50, 64,67,76,95,100-102,155], а также [70] и ссылки в ней), гидродинамики [49,54,81,109,168,169,185,189,193], динамики вязкого теплопроводного газа [10,157], уравнений магнитогидродинамики [25,145,150], уравнений теории упругости и пластичности [4,5], других моделей механики и физики [32,121-123,152,153,167,190] показали содержательность данного обобщения. В отличии от инвариантных, частично инвариантные подмодели задаются переопределенной системой уравнений. Это усложняет их анализ, однако дает классы решений, обладающих большим произволом по сравнению с инвариантными решениями.

Опыт исследования подмоделей газовой динамики показывает, что число частично инвариантных подмоделей может быть достаточно большим (десятки подмоделей). Каждая частично инвариантная подмодель требует приведения в инволюцию и физической интерпретации. В этой связи особенно полезны дополнительные классификационные признаки, позволяющие минимизировать объем работы по построению и описанию решений.

Допускаемая группа ряда основных моделей механики (уравнения Навье — Стокса, Эйлера, стационарной газовой динамики и стационарной магнитогидродинамики) оказывается бесконечномерной [121-123]. Исследование бесконечномерных групп Ли является предметом многих работ, однако окончательной теории бесконечномерных групп Ли до настоящего времени не построено.'Основной сложностью здесь является отсутствие понятия абстрактной группы и алгебры "Ли, которое в конечномерном случае позволяет отвлечься от конкретного представления группы и работать только с ее структурными свойствами.

Важной характеристикой группы преобразований является набор ее инвариантов. В случае групп симметрий дифференциальных уравнений нужно рассматривать действие группы не только в основном пространстве независимых переменных и функций, но также и в продолженном пространстве производных. Действие группы при этом также продолжается по известным законам математического анализа [60,77]. Инварианты продолженной группы преобразований зависящие от производных называются дифференциальными инвариантами [60,173]. При рассмотрении продолжений пространства все более высокого порядка, количество дифференциальных инвариантов неограниченно растет. Однако в пространстве дифференциальных инвариантов имеется вполне четкая структура. Всегда имеется некоторый конечный набор дифференциальных инвариантов (базис), из которого любой дифференциальный инвариант получается применением функциональных операций и выполнением инвариантного дифференцирования. Таким образом, для описания всего бесконечного множества дифференциальных инвариантов заданной группы необходимо вычислить базис инвариантов и операторы инвариантного дифференцирования. В случае конечномерных групп построение базиса инвариантов осуществляется достаточно просто в силу имеющегося ограничения на максимальное продолжение пространства, в котором может лежать базис инвариантов. В случае бесконечномерных групп этого ограничения нет, поэтому сложность построения базиса состоит в доказательстве факта "достаточности" того набора инвариантов, который претендует быть базисом.

Целью, диссертации является систематическое построение и изучение частично инвариантных решений для системы уравнений идеальной магнитной гидродинамики и газовой динамики, а также развитие методов группового анализа для отыскания и использования дифференциальных инвариантов бесконечномерных групп Ли.

Работа состоит из трех частей, включающих восемь глав. Первая часть посвящена построению и анализу частично инвариантных решений для уравнений идеальной магнитной гидродинамики. В первой главе приводятся основные сведения, относящиеся к теории частично инвариантных решений. На множестве частично инвариантных подмоделей произвольной системы дифференциальных уравнений вводится иерархическая структура. Выделяется класс неприводимых частично инвариантных подмоделей. Доказывается теорема об иерархии частично инвариантных решений, позволяющая свести исследования всего класса частично инвариантных решений к анализу только неприводимых подмоделей.

Во второй главе введенное понятие иерархии используются для систематического построения и классификации регулярных частично инвариантных решений уравнений идеальной магнитной гидродинамики. Показано, что все множество частично инвариантных подмоделей делится на три класса: подмодели типа вихря Овсянникова, подмодели с линейным по части переменных полем скорости и подмодели барохрон-ного типа. Построены и приведены в инволюцию все подмодели с одной неинвариантной функцией.

Третья глава диссертации посвящена подробному исследованию наиболее интересных из полученных во второй главе подмоделей: плоского и сферического вихрей Овсянникова. Дается интерпретация задаваемых ими существенно трехмерных движений бесконечно проводящей плазмы, выявлены особенности, присущие описываемым движениям. Выявлены признаки появления таких особенностей в терминах инвариантных свойств произвольных функций, входящих в построенные решения. Показана невозможность обобщения вихря Овсянникова на аналогичные решения с произвольными поверхностями уровня. Дано геометрическое описание безвихревых векторных полей в трехмерном пространстве, обладающих той же симметрией, что и вихрь Овсянникова, и показано, что такие поля не могут служить полем скорости движения сплошной среды.

В четвертой главе исследуются барохронные решения, в которых полное давление зависит только от времени. В связи со сложностью исследования общего случая, основное внимание уделено стационарным несжимаемым течениям. В этом случае использование специальной криволинейной системы координат позволяет значительно упростить систему уравнений магнитной гидродинамики и описать решения с постоянным полным давлением в явном виде. Показано, что контактные магнитные поверхности для таких течений являются поверхностями переноса.

Вторая часть диссертации связана с изучением бесконечномерных групп Ли, допускаемых моделями гидро- и газодинамики. В пятой главе исследуются дифференциальные инварианты бесконечномерных групп Ли, допускаемых уравнениями Навье — Стокса и Эйлера в случае вращательной симметрии и для общих трехмерных движений жидкости; уравнений стационарной газовой динамики; уравнения Кармана — Гу-дерлея для околозвуковых течений газа. Для бесконечномерных групп преобразований, допускаемых всеми перечисленными моделями, построены базисы дифференциальных инвариантов и вычислены операторы инвариантного дифференцирования. Данная информация дает исчерпывающее описание множества дифференциальных инвариантов данных групп: произвольный дифференциальный инвариант получается путем инвариантного дифференцирования базисных инвариантов и применения функциональных операций.

Шестая глава диссертации описывает применения полученных базисов дифференциальных инвариантов для построения дифференциально инвариантных решений и группового расслоения указанных систем уравнений относительно допускаемых бесконечномерных групп.

В третьей части диссертации развитые методы применяются для построения точных решений, описывающих движения идеального газа. В седьмой главе на основании полученного ранее группового расслоения проводится полное описание точных инвариантно-групповых решений уравнения Кармана — Гудерлея, задающего околозвуковые течения газа. Исследуются вопросы существования непрерывных во всем пространстве решений, а также дан пример решения, содержащего ударную волну в виде винтовой поверхности. Построено решение типа двойной волны.

В восьмой главе диссертации исследуются инвариантные подмодели с двумя независимыми переменными для уравнений идеальной газовой динамики. Для них полностью описан класс решений, в которых одна из компонент скорости линейно зависит от независимой переменной. Показано, что такие решения задают движения газа в цилиндрическом или плоском слоях. Дана физическая интерпретация полученных решений.

На защиту выносятся следующие основные положения:

• Полное описание регулярных частично инвариантных решений дефекта 1 уравнений идеальной магнитной гидродинамики: введено понятие иерархии частично инвариантных решений произвольной системы дифференциальных уравнений; построена полная иерархия частично инвариантных решений для уравнений идеальной магнитной гидродинамики; построены и описаны решения типа вихря Овсянникова, даны геометрические алгоритмы описания движения в вихре Овсянникова; получены новые примеры решений линейным по части пространственных переменных полем скорости; полностью проанализированы стационарные течения несжимаемой идеально проводящей жидкости с постоянным полным давлением.

• Построение и использование базисов дифференциальных инвариантов для бесконечномерных групп Ли: вычислены базисы дифференциальных инвариантов для бесконечномерных групп симметрий основных моделей механики сплошных сред; построены новые примеры групповых расслоений уравнений механики относительно допускаемых бесконечномерных групп Ли.

• Построение и анализ подмоделей уравнений газовой динамики: полностью описаны инвариантные подмодели уравнения околозвукового движения газа; построены и проанализированы точные решения эволюционных подмоделей ранга 2 с однородной деформацией.

Результаты диссертации опубликованы в статьях [20-26,140,142,143, 145,146,149,150], трудах конференций [16,18,19,137-139,141,144] и препринтах [147,148,151].

Часть I

Частично инвариантные решения уравнений магнитной гидродинамики

В исследовании волновых движений сплошных сред под воздействием сильных силовых полей (задачи магнитного удержания плазмы) или в условиях сильной разреженности среды (астрофизика), необходимо учитывать эффекты ионизации и электромагнитной проводимости жидкостей и газов. Наличие магнитного поля в области движения сплошной среды порождает в нем электрический ток. Взаимодействуя с электромагнитным полем, он изменяет течение жидкости. В свою очередь, это вызывает изменение электромагнитного поля. Таким образом, в теоретическом исследовании подобных процессов является существенным взаимное влияние гидродинамических и электромагнитных эффектов. Такие движения являются существенно неодномерными, что существенно усложняет их изучение. Большую роль при этом играют точные решения, которые дают возможность построить аналитическое описание процесса, выявить характерные области параметров, при которых возможны различные те или иные эффекты. Особо ценны решения, содержащие произвольные функции.

Для уравнений идеальной магнитогидродинамики групповой анализ применялся в основном для поиска инвариантных решений [125,130, 131,135,136,154,179,191,192]. К классу нерегулярных частично инвариантных относятся решения типа кратных волн, изучавшиеся в [156]. Они являются обобщением классических простых волн [40,160]. Точные решения типа течений Бельтрами, в которых вектор скорости пропорционален вектору вихря для уравнений магнитогидродинамики с учетом диссипативных процессов были построены и исследованы в работах [9,110,112,114]. Эти решения обобщались в [113,118] на уравнения магнитогидродинамики с учетом анизотропии тензора напряжений. Решения идеальной магнитной гидродинамики с однородной деформацией исследовались в статьях [39,56].

В настоящем разделе проводится систематическое изучение регулярных частично инвариантных решений (ЧИР) для уравнений идеальной магнитогидродинамики. Доказано наличие иерархической структуры на множестве частично инвариантных подмоделей произвольной системы дифференциальных уравнений. Введено понятие неприводимый ЧИР так, что произвольное ЧИР может быть получено из некоторого неприводимого ЧИР более высокого ранга за счет только инвариантной редукции. Проклассифицированы все регулярные небарохронные неприводимые ЧИР для уравнений идеальной магнитогидродинамики. Все подмодели дефекта 1 этого класса приведены в инволюцию. Среди полученных подмоделей особо выделяются две, порождаемые группами движений плоскости и сферы. Эти подмодели (плоский и сферический вихри Овсянникова) подвергнуты тщательному исследованию. Дано описание картины движений плазмы, задаваемые этими решениями, выявлены и описаны возможные особенности решений. Исследована возможность существования безвихревого вихря Овсянникова и обобщения вихря Овсянникова на решения с произвольными поверхностями уровня. Полностью описаны решения, задающие стационарные течения с-постоянным полным давлением для несжимаемой плазмы. Показано, что магнитными поверхностями в таких решениях являются поверхности переноса.

Результаты раздела опубликованы в работах [23-26,143-151].

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Головин, Сергей Валерьевич

Основные результаты раздела

• На основании построенного группового расслоения проведен полный анализ инвариантно-групповых решений уравнения Кармана — Гудерлея найдены все инвариантные подмодели; для инвариантных подмоделей проанализирована возможность существования непрерывного решения во всем пространстве; показана возможность существования существенно трехмерных течений с ударной волной на винтовой поверхности; построено решение типа двойной волны.

• Построены точные решения с линейной зависимостью части компонент скорости от части пространственных переменных для эволюционных подмоделей газовой динамики интегрирование подмоделей сведено к одному обыкновенному дифференциальному уравнению типа Эмдена — Фаулера; показано, что все описываемые течения задают эволюцию плоского или цилиндрического слоев газа: дано описание картин движения, задаваемых полученными решениями.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Головин, Сергей Валерьевич, 2009 год

1. Андреев В. К. Нестационарное движение струи газа с линейным полем скоростей // Сиб. Журн. Инд. Мат-ки.— Т. 5, № 2(10). — С. 23-35.

2. Андреев В. К., Гапоненко Ю. А. Математическое моделирование конвективных течений. — Красноярск: КрасГУ, 2006.

3. Аннин Б. Д. Об одной задаче с неизвестной границей для уравнения Пуассона в пространстве // Уравнения в частных производных и задачи со свободной границей. — Киев. Нукова думка, 1983.

4. Аннин Б. Д. Новые точные решения пространственных уравнений пластичности Треска // Докл. РАН. — 2007.— Т. 415, № 4.— С. 482-485.

5. Аннин Б. Д., Бытев В. О., Сенашев С. И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. — Новосибирск. Наука, 1995.

6. Аристов С. Н. Стационарный цилиндрический вихрь в вязкой жидкости // Докл. РАН. 2001. - Т. 377, № 4. - С. 477-480.

7. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", МЦНМО, ВКМ НМУ, 1999.

8. Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. Т. 1. Элементарная дифференциальная геометрия. М. ОНТИ НКТП СССР, 1935.

9. Богоявленский О. И. Точные глобальные равновесия плазмы // УМН. 2000. - Т. 55. - С. 63-102.

10. Бублик В. В. О регулярных частично инвариантных решениях ранга 1 дефекта 1 уравнений плоских движений вязкого теплопроводного газа // ПМТФ. 2006. - Т. 47, № 6. - С. 23-33.

11. Вытев В. О. К задаче о редукции // ДСС. 1970. — Т. 5. - С. 146148.

12. Вытев В. О. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса // Числ. мет. МСС. Новосибирск. 1972. — Т. 3, № 3. — С. 13-17.

13. Верещагина Л. И. Групповое расслоение уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя // Вестник Ленинградского ун-та. 1974. - Т. 3, № 13. - С. 82-86.

14. Головин С. В. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае политропного газа // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; ]№5-96). — 1996.

15. Головин С. В. Об одном инвариантном решении уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1997. - Т. 38, № 1. - С. 3-10.

16. Головин С. В. Исследование одной инвариантной подмодели уравнений газовой динамики // Тр. межд. конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск: ИВМ СО РАН. — 2000.

17. Головин С. В. О двумерных движениях газа со специальным показателем адиабаты // ПММ. 2000. - Т. 64, № 4. - С. 569-579.

18. Головин С. В. О стационарных инвариантно-групповых решениях уравнений навье-стокса // Тр. межд. конф. "Математические модели и методы их исследования", Красноярск: ИВМ СО РАН,.— 2001.

19. Головин С. В. Решения с линейным полем скорости для эволюционных подмоделей газовой динамики //Тр. 32-й Рег. молодежи, конф. "Проблемы теоретич. и прикл. математики". 29 янв.-2 февр. 2001г. Екатеринбург: Инст. матем. и механ. УрО РАН. — 2001.

20. Головин С. В. Точные решения для эволюционных подмоделей газовой динамики // ПМТФ. 2002. - Т. 43, № 4. - С. 3-14.

21. Головин С. В. Групповое расслоение и точные решения уравнения трансзвукового движения газа // ПМТФ.— 2003.— Т. 44, № 3. — С. 51-63.

22. Головин С. В. Нестационарное движение газа в полосе // ПМТФ. — 2004. Т. 45, № 2. - С. 90-98.

23. Головин С. В. Безвихревые векторные поля, частично инвариантные относительно группы вращений // ПММ.— 2008.— Т. 72, № 6. С. 734—740.

24. Головин С. В. Плоский вихрь Овсянникова. Свойства описываемого движения и точные решения // ПМТФ. — 2008. — Т. 49, № 6. — С. 55-68.

25. Головин С. В. Плоский вихрь Овсянникова. Уравнения подмодели // ПМТФ. 2008. - Т. 49, № 5. - С. 27-40.

26. Головин С. В. Регулярные частично инвариантные решеиня дефекта 1 уравнений идеальной магнитогидродинамики // ПМТФ. — 2009. Т. 50, № 2. - С. 5-15.

27. Головин С. В., Чесноков А. А. Групповой анализ дифференциальных уравнений. Учебное пособие. — Изд-во НГУ, 2008.

28. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений.— М.: Изд-во. иностр. лит., 1960.

29. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. Приложения в механике, точные решения. — М.: Физматгиз, 1993.

30. Земляков А. Н., Каток А. Б. Топологическая транзитивность биллиардов в многоугольниках // Мат. заметки.— 1975.— Т. 18, № 2. С. 291-300.

31. Ибрагимов Н. X. Классификация инвариантных решений уравнений двумерного нестационарного движения газа // ПМТФ.— 1966.-С. 19-22.

32. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике.— М.: Наука, 1983.

33. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. Часть первая. Аппарат исследования. Общие основания теории и внутренняя геометрия поверхности. — М.-Л., Гостехиздат, 1947.

34. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Наука, 1976.

35. Капитанский Л. В. Групповой анализ уравнений Навье-Стокса и уравнений Эйлера // Докл. РАН. — 1978. Т. 243, № 4. — С. 901904.

36. Капитанский Л. В. Групповой анализ уравнений Навье-Стокса при наличии вращательной симметрии и некоторые новые точные решения // Зап. научн. сем. ЛОМИ. — 1979. — Т. 84. — С. 89-107.

37. Капцов О. В. Стационарные вихревые структуры в идеальной жидкости // ЖЭТФ. — 1990. — Т. 98, № 2(8).- С. 532-541.

38. Коул Д., Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика. — М.: Мир, 1989.

39. Куликовский А. Г. О движениях с однородной деформацией в магнитной гидродинамике // Докл. АН СССР. — 1958. — Т. 120, № 5. — С. 984-986.

40. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. — М.: Физматгиз, 1962.

41. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964.

42. Мамонтов Е. В. Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1999. - Т. 40, № 2. - С. 50-55.

43. Мамонтов Е. В. Групповые свойства 2-подмоделей класса Е уравнений газовой динамики // ПМТФ. — 2001. Т. 42, № 1. — С. 33-39.

44. Меграбов А. Г. Об определеинии точных инвариантно-групповых решений с помощью метода группового расслоения // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 308, № 1. - С. 84-87.

45. Меграбов А. Г. Групповое расслоение и представление Лакса // Докл. РАН 2003. - Т. 390, № 3. - С. 325-329.

46. Меграбов А. Г. О некоторых результатах группового подхода в кинематической задаче сейсмики (геометрической оптики) // Докл. РАН. 2003. - Т. 390, № 4. - С. 457-461.

47. Мелешко С. В. Об одном классе частично инвариантных решений плоских течений газа // Дифференциальные уравнения. — 1994. — Т. 30, № 10. С. 1825 - 1827.

48. Мелешко С. В., Пухначев В. В. Об одном классе частично инвариантных решений уравнений Навье-Стокса // ПМТФ. — 1999. — Т. 40, № 2. С. 24-33.

49. Менщиков В. М. Решения уравнений двумерной газовой динамики типа простых волн // ПМТФ. 1969. — Т. 10, № 3. - С. 129-134.

50. Менъщиков В. М. О продолжении инвариантных решени уравнений газовой динамики через ударную волну // Динамика сплошной среды. 1969. - Т. 4. - С. 163-169.

51. Мещерякова Е. Ю. Точные решения уравнений врагцательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости // ПМТФ. 2002. - Т. 43, № 3. - С. 66-75.

52. Мещерякова Е. Ю. О новых стационарных и автомодельных решениях уравнений эйлера // ПМТФ. — 2003. Т. 44, № 4. — С. 3-9.

53. Мещерякова Е. Ю., Пухначев В. В. Интегрируемые модели вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости // Докл. РАН. 2007. - Т. 412, № 2. - С. 188—192.

54. Мустаев А. Ф., Хабиров С. В. Винтовые движения газа, инвариантные относительно равномерного движения системы отсчета // ПММ. 2001. - Т. 65, № 5. - С. 854-861.

55. Наумов Н. Д. О неустановившихся движениях с однородной деформацией в магнитной гидродинамике // Ж ТФ.— 2001. — Т. 71.-С. 37-41.

56. Овсянников Л. В. Новое решение уравнений гидродинамики // Докл. АН СССР. 1956. - № 1. - С. 47-49.

57. Овсянников Л. В. Групповое расслоение уравнений пограничного слоя // Динамика сплошной среды. — 1969. — Т. 1. — С. 24-36.

58. Овсянников Л. В. Частичная инвариантность // Докл. АН СССР. 1969. - № 1. - С. 22-25.

59. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений,— М.: Наука, 1978.

60. Овсянников Л. В. Программа подмодели // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; №1-92). — 1992.

61. Овсянников Л. В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. 1993. - Т. 333, № 6. - С. 702 - 704.

62. Овсянников Л. В. Изобарические движения газа // Дифференциальные уравнения. — 1994. — № 10. — С. 1792-1799.

63. Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. - Т. 58, № 4. - С. 30-55.

64. Овсянников Л. В. Особый вихрь // ПМТФ. 1995. - Т. 36, № 3. -С. 45 - 52.

65. Овсянников Л. В. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения // Докл. РАН. — 1995. — Т. 343, № 2. — С. 156-159.

66. Овсянников Л. В. Регулярные типа (2,1) подмодели уравнений газовой динамики // ПМТФ. — 1996. Т. 37, № 2. - С. 3-13.

67. Овсянников Л. В. Каноническая форма инвариантных подмоделей газовой динамики // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; № 3-97). — 1997.

68. Овсянников Л. В. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений // Докл. РАН.— 1998.— Т. 361, № 6.— С. 740-742.

69. Овсянников Л. В. Некоторые итоги выполнения программы «ПОДМОДЕЛИ» для уравнений газовой динамики // ПММ.— 1999.— Т. 63, № 3. — С. 362-372.

70. Овсянников Л. В. Газовый маятник // ПМТФ. — 2000.— Т. 41.— С. 115-119.

71. Овсянников Л. В. О периодических движениях газа // ПММ. — 2001. Т. 65, № 4. - С. 567-577.

72. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

73. Овсянников Л. В. Симметрия барохронных движений газа // СМЖ. 2003. - Т. 44, № 5.

74. Овсянников Л. В. О движениях газа с "одномерным потенциалом" // Докл. РАН. 2004. - Т. 394, № 2. - С. 200 - 202.

75. Овсянников Л. В., Чупахин А. П. Регулярные частично инвариантные подмодели уравнений газовой динамики // ПММ. — 1996. — Т. 60, №6.-С. 990-999.

76. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.

77. Павленко А. С. Проективная подмодель вихря Овсянникова // ПМТФ. 2005. - Т. 46, № 4. - С. 3-16.

78. Павленко А. С. Симметрии и решения уравнений двумерных движений политропного газа // Сиб. электр. мат. изв. (http://semr.math.nsc.ru). — 2005. Т. 2. - С. 291-307.

79. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. — М., 1983.

80. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике / В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Родионов.— Новосибирск. Наука, 1994.

81. Прист Э., Форбс Т. Магнитное пересоедиение: магнитогидродина-мическая теория и приложения. — М.: Физматлит, 2005.

82. Пухначев В. В. Точные решения уравнений гидродинамики, построенные на основе частично инвариантных // ПМТФ. — 2003. — Т. 44, № 3. С. 18-25.

83. Пухначев В. В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. — 2006. — Т. 4, № 1. — С. 6-76.

84. Радаев Ю. Н. Пространственная задача математической теории пластичности: Учебное пособие. — Самара: Издательство "Самарский университет", 2004.

85. Седов Л. И. Методы подобия и размерности.—- М.: Наука, 1965.

86. Сидоров А. Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн // ПМТФ. — 1989. — Т. 30, № 2. С. 34-40.

87. Сидоров А. Ф. Избранные труды. Математика, механика.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

88. Сидоров А. Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1984.

89. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1961.

90. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. — М.;Л.: Гостехтеоретиздат, 1948.

91. Фущич В. И., Баранник И. Ф., Баранник А. Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. — Киев: Наук, думка, 1991.

92. Фущич В. И., Жданов Р. 3., Ревенко И. В. Общие решения нелинейного волнового уравнения и уравнения эйконала // Укр. мат. журн. 2003. - Т. 43, № 11. - С. 1471-1786.

93. Хабиров С. В. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики // Препринт института механики УНЦ РАН. Уфа. 1998.

94. Хабиров С. В. Нерегулярные частично инвариантные решения ранга 2 дефекта 1 уравнений газовой динамики // СМЖ.— 2002.— Т. 43, № 5.-С. 1151-1164.

95. Хабиров С. В. Классификация дифференциально инвариантных подмоделей // СМЖ. 2004. - Т. 45, № 3. - С. 682-701.

96. Черевко А. А. Оптимальная система подалгебр для алгебры ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р = /(з)р5/3 // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; Щ 96). — 1996.

97. Черевко А. А., Чупахин А. П. Однородный особый вихрь // ПМТФ. 2004. - Т. 45. - С. 75-89.

98. Чупахин А. П. О барохронных движениях газа // Докл. РАН. — 1997. Т. 352, № 5. - С. 624 - 626.

99. Чупахин А. П. Барохронные движения газа, общие свойства и подмодели типов (1,2) и (1,1) // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Инги гидродинамики; №4~98. — 1998.

100. Чупахин А. П. Небарохронные подмодели типов (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики // Новосибирск. (Препр. / СО РАН, Ин-т гидродинамики; №1-99. — 1999.

101. Чупахин А. П. О регулярных подмоделях типа (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики // ПМТФ. — 1999. Т. 40, № 2. — С. 40-49.

102. Чупахин А. П. Базисы дифференциальных инвариантов алгебр Евклида и Галилея // Труды межд. конф. «Симметрия и дифференциальные уравнения». — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000.

103. Чупахин А. П. Инвариантные подмодели особого вихря // ПММ. — 2003. Т. 67, № 3. - С. 390 - 405.

104. Шанъко Ю. В., Капцов О. В. Оптимальные системы подалгебр и инвариантные решения ранга два для трехмерных уравнений Эйлера // Диф. уравнения. — Т. 30, № 10. С. 1814-1819.

105. Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М.: Мир, 1984.

106. Яненко Н. Н. Избранные труды. — М.: Наука, 1991.

107. Anco S., Liu S. Exact solutions of semilinear radial wave equations in n dimensions // J. Math. Anal. Appl — 2004.— Vol. 297, no. 1.— Pp. 317-342.

108. Applications of group-theoretical methods in hydrodynamics / V. K. Andreev, 0. V. Kaptsov, V. V. Pukhnachov, A. A. Rodionov. — Springer, 1998.

109. Bogoyavlenskij 0. I. Exact axially symmetric MHD equilibria // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences Series I -Mathematics. - 2000. - Vol. 331, no. 7. - Pp. 569-574.

110. Bogoyavlenskij 0. I. Symmetry transforms for ideal magnetohydrodynamics equilibria // Phys. Rev. E. — 2002. — Vol. 66, no. 5. P. 056410.

111. Bogoyavlenskij O. I. Exact unsteady solutions to the Navier-Stokes and viscous MHD equations // Phys. Lett. A,. — 2003. — Vol. 307, no. 5-6. Pp. 281-286.

112. Bogoyavlenskij 0. /., Cheviakov A. F. Exact anisotropic MHD equilibria // J. Phys. A: Math. Gen. 2004. - Vol. 37.- Pp. 75937607.

113. Bogoyavlenskij 0. I., Fuchssteiner B. Exact MHD solutions with crystallographic symmetries and non-interacting Fourier modes // Phys. Lett A. 2004. - Vol. 331, no. 1-2. - Pp. 53-59.

114. Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. The hamiltonian dynamics of self-graviting liquid and gas ellipsoids // Regular and chaotic dynaics. — 2009. Vol. 14, no. 2. — Pp. 179-217.

115. Chandrasekhar S. On the stability of the simplest solution of the equations of hydromagnetics // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. — 1956. — Vol. 42. Pp. 273-276.

116. Cheh J., Olver P. J., Pohjanpelto J. Algorithms for differential invariants of symmetry groups of differential equations // Foundations of Computational Mathematics. — 2008. — Vol. 8, no. 4. — Pp. 501-532.

117. Cheviakov A. F. Analytical 3-dimensional anisotropic plasma equilibria // Topology and its Applications. — 2005. — Vol. 152, no. 1-2.-Pp. 157-173.

118. Chupakhin A. Differential invariants: theorem of commutativity // Comm. in Nonlin. Sei. and Num. Simul— 2004.— Vol. 9, no. 1.— Pp. 25-33.

119. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. III. The De Sitter groups / J. Patera, R. T. Sharp, P. Winternitz, H. Zassenhaus // J. Math. Phys. 1977.- Vol. 18. - Pp. 2259-2288.

120. CRC handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol. 1: Symmetries, exact solutions and conservation laws / Ed. by N. H. Ibragimov.- Boca Raton, FL: CRC Press. XIII, 1994.

121. CRC handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol. 2: Applications in engineering and physical sciences / Ed. by N. H. Ibragimov. Boca Raton, FL: CRC Press. XIX, 1995.

122. CRC handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol. 3: New trends in theoretical development and computational methods / Ed. by N. H. Ibragimov. Boca Raton, FL: CRC Press. XVI, 1996.

123. Dirichlet G. L. Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik (Aus dessen Nachlass hergestellt von Herrn R. Dedekind zu Zürich) / / J. reine angew. Math. (Crelle's Journal).— 1861.— Vol. 58.— Pp. 181—216.

124. Donato A., Oliveri F. Reduction to autonomous form by group analysis and exact solutions of axisymmetric MHD equations // Mathematical and Computer Modelling. — 1993. — Vol. 18, no. 10. — Pp. 83-90.

125. Elsàsser W. M. The hydromagnetic equations // Phys. Rev. — 1950. — Vol. 79, no. l.-P. 183.

126. Elsàsser W. M. Hydromagnetic dynamo theory // Review of modem physics. 1956. - Vol. 28, no. 2. — Pp. 135-163.

127. Fels M., Olver P. J. Moving coframes: I. A practical algorithm // Acta Applicandae Mathematicae. — 1998. — Vol. 51. — Pp. 161-213.

128. Fels M., Olver P. J. Moving coframes: II. Regularization and theoretical foundations // Acta Applicandae Mathematicae. — 1999. — Vol. 55, no. 2. Pp. 127-208.

129. Fuchs J. C. Symmetry groups and similarity solutions of MHD equations // J. Math. Phys. 1991. - Vol. 32. — Pp. 1703-1708.

130. Fuchs J. C., Richter E. W. Similarity solutions for the two-dimensional non-stationary ideal MHD equations // Journal of Physics A: Mathematical and General— 1987.— Vol. 20, no. 11.— Pp. 31353157.

131. Fushchych W. I., Popovych R. O. Symmetry reduction and exact solutions of the Navier-Stokes equations. I // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 1994. — Vol. 1, no. 1. — Pp. 75-113.

132. Fushchych W. I., Popovych R. O. Symmetry reduction and exact solutions of the Navier-Stokes equations. II // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 1994. — Vol. 1, no. 2. — Pp. 158-188.

133. Gagnon L. Continuous subgroups of the Galilei and Galilei-similitude groups // Canad. J. Phys.— 1989.-Vol. 67. —Pp. 1-24.

134. Galas F. Generalized symmetries for the ideal MHD equations // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1993. — Vol. 63. — Pp. 87-98.

135. Galas F., Richter E. W. Exact similarity solutions of ideal MHD equations for plane motions // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1991. Vol. 50. - Pp. 297-307.

136. Golovin S. V. Two-dimensional gas motions with special symmetry properties // Proc. of the Int. Conf. MOGRAN VIII (Ufa, Russia, Sept. 27-Oct. 3, 2000), USATU Publ., Ufa. 2001. - Pp. 71-76.

137. Golovin S. V. Basis of differential invariants for certain Lie groups and its applications // Proc. of Int. Conf. "Nonlinear Acoustics at the Beginning of 21st Century". Facility of Physics, MSU, Moskow. — Vol. 1. 2002. - Pp. 539-542.

138. Golovin S. V. On the group-invariant solutions of the gas dynamics equations // EQUADIFF 2003, Proceedings of the International Conference on Differential Equations, Hasselt, Belgium 22 26 July 2003, pp. 470-472.- 2003.- Pp. 470-472.

139. Golovin S. V. Applications of the differential invariants of infinite dimensional groups in hydrodynamics // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2004. — Vol. 9, no. 1.-Pp. 35-51.

140. Golovin S. V. Group foliation of Euler equations in nonstationary rotationally symmetrical case // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. Vol. 50. - 2004. - Pp. 110-117.

141. Golovin S. V. Irrotational barochronous gas motions // Nonlinear Dynamics. 2004. - Vol. 36, no. 1. - Pp. 19-28.

142. Golovin S. V. Invariant solutions of the singular vortex in magnetohydrodynamics // J. Phys. A: Math. Gen.— 2005.— Vol. 38. Pp. 8169-8184.

143. Golovin S. V. Ovsyannikov vortex in magnetohydrodynamics // Proceedings of 10th International Conference in Modern Group Analysis, Larnaca, Cyprus. — 2005. — Pp. 92-99.

144. Golovin S. V. Singular vortex in magnetohydrodynamics // J. Phys. A: Math. Gen. 2005. - Vol. 38. - Pp. 4501-4516. \

145. Golovin S. V. Generalization of the one-dimensional ideal plasma flow with spherical waves //J. Phys. A: Math. Gen. — 2006.— Vol. 39.— Pp. 7579-7595.

146. Golovin S. V. Multidimensional fluid motions with planar waves // Arxiv preprint arXiv:0705.2311. 2007.

147. Golovin S. V. Exact solution describing a shallow water flow in an extending stripe // Arxiv preprint arXiv:0802.41S4. — 2008.

148. Golovin S. V. On the hierarchy of partially invariant submodels //J. Phys. A: Math. Theor. 2008. - Vol. 41. - P. 265501.

149. Golovin S. V. Partially invariant solutions to ideal magnetohydrodynamics // IMA volumes in mathematics and its aplications. — 2008. Vol. 144. - Pp. 367-381.

150. Golovin S. V. Analytical description of stationary ideal MHD flows with constant total pressure // Arxiv preprint arXiv:0906.3794. — 2009.

151. Grundland A., Tempesta P., Winternitz P. Weak transversality and partially invariant solutions //J. Math. Phys.— 2003.— Vol. 44.— Pp. 2704-2722.

152. Grundland A. M., Hariton A. J. Partially invariant solutions of models obtained from the Nambu-Goto action // Journal of Mathematical Physics. 2004. - Vol. 45. - P. 3239.

153. Grundland A. M., Lalague L. Lie subgroups of symmetry groups of fluid dynamics and magnetohydrodynamics equations // Canad. J. Phys. 1995. - Vol. 73. - Pp. 463-477.

154. Grundland A. M., Picard P. On conditionally invariant solutions of magnetohydrodynamic equations. Multiple waves //J. Nonlin. Math. Phys. 2004. - Vol. 11. - Pp. 47-74.

155. Hematulin A., Meleshko S. V. Rotationally invariant and partially invariant flows of a viscous incompressible fluid and a viscous gas // Nonlinear Dynamics. 2002. - Vol. 28, no. 2. — Pp. 105-124.

156. Ibragimov N. H. Equivalence groups and invariants of linear and nonlinear equations // Archives of ALGA. — 2004. — Vol. 1. — Pp. 969.

157. Ibragimov N. H., Meleshko S. V., Suksern S. Linearization of fourth-order ODEs // J. Phys. A: Math. Theor.— 2008,- Vol. 41.-P. 235206.

158. Jeffrey A., Taniuti T. Non-linear wave propogation with applications to physics and magnetohydrodynamics. — Academic Press: New York-London, 1964.

159. Karman T. Über laminare und turbulente Reibung // ZAMM.— 1921. Vol. 1, no. 4. - Pp. 233-252.

160. Lie S. Beitráge zur Theorie der Minimalfláchen //I. Math. Ann.— 1878. Vol. 14. - Pp. 331-416.

161. Lie S. Über differentialinvarianten // Math. Ann. — 1884. — Vol. 24, no. 1. Pp. 52-89.

162. Lie S., Hermann R. Sophus Lie's 1880 transformation group paper. — Math Science Pr, 1975.

163. Little J. Translation manifolds and the converse of Abel's theorem // Compositio Math. — 1983. Vol. 49. — Pp. 147-171.

164. Martina L., Sheftel M. B., Winternitz P. Group foliation and noninvariant solutions of the heavenly equation // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. - Vol. 34. - Pp. 9243-9263.

165. Martina L., Soliani G., Winternitz P. Partially invariant solutions of a class of nonlinear Schroedinger equations //J. Phys. A, Math. Gen. — 1992. Vol. 25, no. 16. - Pp. 4425-4435.

166. Meleshko S. V. A particular class of partially invariant solutions of the Navier—Stokes equations // Nonlinear Dynamics. — 2004. — Vol. 36, no. 1. Pp. 47-68.

167. Meleshko S. V. Methods for constructing exact solutions of partial differential equations: mathematical and analytical techniques with applications to engineering. — Springer Verlag, 2005.

168. Morozov 0. I. Structure of symmetry groups via Cartan's method: Survey of four approaches // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA). 2005. — Vol. 1.— Pp. 1-14.— math-ph/0508016.

169. Munk M., Prim R. On the multiplicity of steady gas flows having the same streamline pattern // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1947. — Vol. 33.-Pp. 137-141.

170. Nutku Y., Sheftel M. B. Differential invariants and group foliation for the complex Monge—Ampère equation //J. Phys. A: Math. Gen.— 2001.- Vol. 14, no. 1. Pp. 137-156.

171. Olver P. Equivalence, Invariants, and Symmetry.— Cambridge University Press, 1995.

172. Ondich J. A differential constraints approach to partial invariance // Eur. J. Appl. Math. 1995. - Vol. 6. - Pp. 631-637.

173. Ondich J. The reducibility of partially invariant solutions of systems of partial differential equations // Eur. J. Appl. Math. — 1995. — Vol. 6. — Pp. 329-354.

174. Peradzynski Z. Geometry of Interactions of Riemann Waves // Advances in Nonlinear Waves, Vol. II, Res. Notes Math. 111. — 1985. Pp. 244-285.

175. Peradzynski Z. Isobaric flows of an ideal fluid // Arch. Mech. — 1990. — Vol. 42, no. 3.-Pp. 291-295.

176. Peradzynski Z. On double waves and wave-wave interaction in gasdynamics // Arch. Mech.— 1996.— Vol. 48, no. 6.— Pp. 10691088.

177. Picard P. Y. Some exact solutions of the ideal MHD equations through symmetry reduction method //J. Math. Anal. Appl. — 2008. — Vol. 337.-Pp. 360-385.

178. Pommaret J. F. Systems of partial differential equations and Lie pseudogroups. — Gordon and Breach Science Publishers, 1978.

179. Pommaret J. F. Differential Galois theory.— Gordon and Breach Science Publishers, 1983.

180. Pommaret J. F. Partial Differential Equations and Group Theory: New Perspectives for Applications. — Kluwer, 1994.

181. Popovych H. V. On >S'0(3)-partially invariant solutions of the Euler equations // Proceedings of the Third International Conference "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics". — Kyiv: Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2000. — Pp. 180-183.

182. Popovych R. 0., Boiko V. M. Differential invariants of a one-parameter group of local transformations: One independent variable // Nonlinear Oscillations. 2002. - Vol. 5, no. 2. — Pp. 209-214.

183. Pukhnachov V. V. An integrable model of nonstationary rotationally symmetrical motion of ideal incompressible liquid // Nonlinear Dynamics. 2000. - Vol. 22, no. 1. - Pp. 101-109.

184. Razafindralandy D., Hamdouni A. Analysis of subgrid models of heat convection by symmetry group theory // Comptes rendus-Mécanique. 2007. - Vol. 335, no. 4. - Pp. 225-230.

185. Razafindralandy D., Hamdouni A., Oberlack M. Analysis and development of subgrid turbulence models preserving the symmetry properties of the Navier-Stokes equations // European Journal of Mechanics/B Fluids. — 2007.- Vol. 26, no. 4.- Pp. 531-550.

186. Riemann B. Ein Beitrag zu den Untersuchungen über die Bewegung einer flüssigen gleichartigen Ellipsoides // Abh. d. Königl. Gesell, der Wiss. zu Göttingen. — 1861. — Vol. 58.- Pp. 181—216.

187. Siriwat P., Meleshko S. V. Applications of group analysis to the three-dimensional equations of fluids with internal inertia // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA).— 2008. Vol. 4.

188. Strampp W. Partially invariant solutions of systems of differential equations in two independent variables //J. Math. Anal Appl. — 1983. Vol. 97.

189. Tassi E. V., Titov S., Hornig G. Exact solutions for magnetic annihilation in curvilinear geometry // Phys. Lett. A. — 2002.— Vol. 302, no. 5-6. Pp. 313-317.

190. Tassi E. V., Titov S., Hornig G. New classes of exact solutions for magnetic reconnective annihilation // Phys. Lett. A. — 2003. — Vol. 315, no. 5. Pp. 382-388.

191. Thailert K. One class of regular partially invariant solutions of the Navier-Stokes equations // Nonlinear Dynamics. — 2006. — Vol. 43, no. 4. Pp. 343-364.

192. Torrisi M., Tracina R., Valenti A. On the linearization of semilinear wave equations // Nonlinear Dynamics.— 2004.— Vol. 36, no. 1.— Pp. 97-106.

193. Tresse A. Sur les invariants differentieles des groupes continus de transformations // Acta Math. — 1894. — Vol. 18.

194. Vessiot E. Sur lintegration des sistem différentiels qui admittent des groupes continus de transformations // Acta Math.— 1904.— Vol. 28. Pp. 307-349.

195. Wang C. Y. Exact solutions of the steady-state Navier-Stokes equations // Annu. Rev. Fluid Mech.— 1991.— Vol. 2.— Pp. 159177.

196. Yumaguzhin V. A. Contact classification of linear ordinary differential equations: Iff Acta Applicandae Mathematicae. — 2002. — Vol. 72, no. 1-2.-Pp. 155-181.

197. Yumaguzhin V. A. On the obstruction to linearizability of second-order ordinary differential equations // Acta Applicandae Mathematicae. — 2004. Vol. 83, no. 1-2. - Pp. 133-148.