Подгруппы групп Баумслага-Солитера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Дудкин, Федор Анатольевич

• Дудкин, Федор Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дудкин, Федор Анатольевич

Введение

1 Подгруппы групп Баумслага—Солитера

1.1 Необходимые определения.

1.2 Свойства погружаемых графов групп.

1.3 Упрощение проверки погружаемости.

1.4 Некоторые свойства BS(p, q).

1.5 Критерии вложимости.

2 Подгруппы конечного индекса

2.1 Двуиорожденность.

2.2 Копредставления.

2.3 Число классов сопряженных подгрупп индекса п.

3 Число подгрупп данного конечного индекса в группах Баумслага-Солитера

3.1 Двупорожденные транзитивные подгруппы симметрической группы.

3.2' Число подгрупп индекса п в группе BS(dp,dq).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Подгруппы групп Баумслага-Солитера»

Группа называется хопфовой, если всякий её гомоморфизм на себя имеет тривиальное ядро, т. е. является автоморфизмом. Это свойство было отмечено X. Хопфом (Н. Hopf) в связи с исследованием проблемы, связаны ли отображения степени 1 между замкнутыми многообразиями гомотопической эквивалентностью.

Очевидно, любая конечная группа хопфова, а свободная группа счетного ранга нехопфова. А. И. Мальцев [5] доказал, что любая конечно порожденная финитно аппроксимируемая группа хопфова, в частности, это верно для конечно порожденных линейных групп. Первые примеры [23] конечно порожденных нехопфовых групп были достаточно сложны. В 1962 году Г. Баумслаг и Д. Солитер [8] нашли серию нехопфовых групп с одним соотношением простого вида в классе групп

BS(p,q) = (a, t || rVt = a").

Здесь p,q - пара ненулевых целых чисел (параметры).

Оказалось, что если р и q взаимно просты (обозначение: р L q) и по модулю не равны 1, то BS(p, q) нехопфова: её эпиморфизм ip: t i—» t,a ap отображает нетривиальный элемент [t~lat, а] в единицу группы.

Впоследствии группы BS(p, q) стали называть группами Баумслага-Солитера, а соотношение t~lapt = aq - соотношением Баумслага-Солитера. Уже видно, что с одной стороны группы Баумслага Солитера обладают нетривиальными свойствами, с другой - относительно просто заданы. Кроме того, соотношение сопряженности Баумслага-Солитера часто встречается в теории групп и её приложениях. Приведем небольшой обзор результатов о группах Баумслага-Солитера.

Отметим сразу, что группы BS(p, q), BS(q,p) и BS(—p, —q) изоморфны. Поэтому можно считать, что р > 0,р < \q\. Если р = \q\ = 1, то BS(p, g) - абслева или почти абелева (фундаментальная группа тора или бутылки Клейна). Если р = 1, то BS(p,q) - линейная группа, порожденная целочисленными матрицами

Можно так же считать, что BS(l,q) — расширение аддитивной группы кольца д-адических рациональных чисел h[l/q] с помощью автоморфизма

В частности, это метабелева группа при q ^ 1, каждый её элемент единственным образом представим в форме слова tlakt~i, где г, j > 0 и, если г, j > 0, то к не делится на q.

Если \р\ > 1 и \q\ > 1, то группы BS(p,q) более близки к свободным неабелевым группам. Если обозначить щ = t~lat\ г Е Z, то подгруппа N, порожденная элементами а^, где г Е Z, нормальна и представима в виде итерированного нетривиального свободного произведения с объединением бесконечных циклических групп

Иначе говоря, BS(p, q) — ЯА^А^-расширение с базисной бесконечной циклической группой (о) и сопрягаемыми подгруппами (аР) и (а4}. Её элементы представимы единственным способом в виде левой (или правой) нормальной формы. Произвольное редуцированное слово w — w(t,a) свободной группы F(t,a), представляющее единичный элемент группы BS(p,q), либо имеет подслово t~lakt, где р | к, либо имеет подслово takt~l, где q | к (ввиду леммы Бриттона, см., например, [4|, гл. 4, §2). Отсюда коммутатор \t~lat,a\ не равен единице в BS(p,q) х t-> qx,х Е Z[1 /q}. при р > 1, а его образ при гомоморфизме а ap,t > t равен \t~lapt, ар] = [aq,ap] = 1. Если pig, то образ ip содержит элементы аР, t, aq — t~]apt и, следовательно, элемент а, то есть Im ip = BS(p, g).

Мескин [22] доказал, что группа BS(p, q) финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда p\q или q\p. Группа BS(p, g) хопфова (см. [8]) тогда и только тогда, когда она финитно аппроксимируема или р и q имеют одинаковые множества простых делителей. В частности, простейшая нехопфова группа — это BS(2, 3).

Коллинз [12] описал группу автоморфизмов BS(p, q) при взаимно простых р и q. Коллинз и Левин [13] заметили, что группа BS{2,4), или, более общо, BS(p,q), где \р\, \q\ ^ 1 и одно из чисел р, q делит другое, имеет бесконечно порожденную группу автоморфизмов.

В [19] доказано, что конечно порожденные (не циклические) разрешимые подгруппы групп с одним соотношением в точности — метабелевы группы Баумслага-Солитера.

Соотношения Баумслага-Солитера активно исследовалось для фундаментальных групп многообразий и комплексов (см., например, монографии [9], гл. III.Г, §7 и [18], гл. 1, §10). Известно, что фундаментальные группы компактных 2-многообразий всегда хопфовы. Фундаментальные группы компактных 4-многообразий могут быть любыми конечно представленными группами. Доказано, что группа BS(p, q) при |р| ф не может быть подгруппой фундаментальной группы связного ориентируемого 3-многообразия (см. [27] и [17]). Зела [25] доказал, что гиперболическая группа без кручения хопфова, если она не разлагается в нетривиальное свободное произведение. В частности, фундаментальные группы замкнутых многообразий отрицательной кривизны хопфовы.

Никакая группа Баумслага-Солитера не может быть подгруппой гиперболической группы (см., например, [9], стр. 462). Группа BS(p, q) обладает автоматной структурой тогда и только тогда, когда |р| = |д|. Ослабленному условию автоматности, известному как "асинхронная ав-томатность удовлетворяют все группы Баумслага-Солитера (см. [14], §7.4).

Предположим, что для любого слова длины ^ п, представляющего единицу группы, существует не более, чем /(п) вставок и сокращений нетривиальных определяющих соотношений, необходимых для установления равенства слова единице. Класс эквивалентности функции / не зависит от выбора конечного копредставления группы. Говорят, что в этом случае группа удовлетворяет изопериметрическому неравенству класса /. Неравенство линейно тогда и только тогда, когда группа гиперболическая (см., например, [24], гл. 2, §8 или [2], §2). Для автоматных групп неравенство квадратичное (см. [14], §2.3). Изопериметрическое неравенство для групп BS(p,q) экспоненциально при |р| ^ 1, |<?| ^ 1, см. [16].

Одна из классических задач теории групп состоит в описании подгрупп данной группы. Нильсен и Шрайер доказали, что подгруппы свободной группы сами свободны. Курош получил описание подгрупп свободного произведения групп. В дальнейшем исследовались подгруппы свободных произведений с объединенной подгруппой и HNN-расширений. Эти исследования завершились известной теорией Басса-Серра, где описание подгрупп задавалось в виде "фундаментальной группы графа групп". При этом оставалось неясным, какие "фундаментальные группы графов групп" задают подгруппы данной группы. Указанный недостаток позднее исправил Басс [7], однако предложенные им условия были трудно проверяемы даже в конкретной ситуации групп Баумслага-Солитера. В данной диссертации найдено прозрачное описание всех подгрупп групп Баумслага-Солитера при различных простых параметрах (глава 1). Найдены простые копредставления для подгрупп конечного индекса групп Баумслага-Солитера при взаимно простых параметрах (глава 2). Найдена также формула для числа подгрупп данного конечного индекса при произвольных параметрах (глава 3). Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации.

Граф А задается множеством "вершин" V(A), множеством "ребер" Е(А), двумя отображениями до - "начало" ребра и д\ - "конец" ребра из множества ребер в множество вершин и инверсией ребер ~: Е(А) —> Е{А) такой, что die = c?iz-e, е = е, ё Ф е.

Пара А = (А, я?) называется графом групп, если А - связный граф, «й/ - такое семейство групп и гомоморфизмов, что всякой вершине а графа А сопоставлена группа всякому ребру е графа А сопоставлена группа g/j; и, если а = д^е, то задано изоморфное вложение ае: &/Р —+£/а.

Пусть Т — максимальное поддерево графа А. Фундаментальная группа, 7Ti (А) графа групп А задается копредставлением, где порождающие -это

1) порождающие вершинных групп &/v,v G V{A),

2) новые символы te, е ^ Т, а определяющие соотношения

1) определяющие соотношения &/v,v €Е У {Л),

2) ае(д) = Оё(д), для всех д б е 6 Т,

3) t-^eCg)^ = для всех д е (£Т.

Это определение не зависит от выбора максимального поддерева Т (см., например, [26] или [7]).

Все группы Баумслага-Солитера явля- п — ются фундаментальными группами графов ^ ^ групп. Далее в диссертации А' - петля р\ / групп как на рисунке 1: граф А' имеет одну вершину ао и два ребра ео,ёо; вершинная Г*110- 1: Петля группА'. и реберные группы бесконечные циклические: &//1о = (ао) = Z, srf' = = (ео) = Z. Если считать, что оба вложения сохраняют ориентацию, то индексы вложения |,<о: о/^я/Ц = Р |,<п: I = <7, , i-де р и q - целые ненулевые числа, полностью задают а'еа и aig . При этом тп(А r) = BS(p,q).

Обобщенной группой Баумслага-Солитера называется всякая группа, действующая на дереве с бесконечными циклическими стабилизаторами вершин и ребер. По теореме Басса-Серра (см., например, [26] или [6]) всякая обобщенная группа Баумслага- Солитера является фундаментальной группой графа групп с бесконечными циклическими вершинными и реберными группами. Свойства этих групп исследовались в работах [11, 20]. Всякой обобщенной группе Баумслага-Солитера можно сопоставить граф с метками, например, как на рисунке 1. Метка А(е) £ Z\{0}, написанная на ребре е с началом в вершине v, определяет вложение ае: е —> циклической реберной группы (е) в циклическую вершинную группу (v). В диссертации вершинные и реберные группы всех рассматриваемых графов групп бесконечные циклические.

В первой главе диссертации будут описаны все подгруппы групп BS(p, q) при различных простых параметрах р и q. Группы Баумслага-Солитера действуют на дереве Басса-Ссрра так, что стабилизаторы вершин и ребер - бесконечные циклические группы. Их подгруппы тоже действуют на этом дереве и, по теореме Басса-Серра (см., например, [26] или [6]), представимы в виде фундаментальной группы некоторого графа групп, вершинные и реберные группы которого бесконечные циклические или единичные. Это значит, что всякая подгруппа является либо обобщенной группой Баумслага-Солитера, либо соответственно свободной группой не более, чем счетного ранга. Так как группа BS(p, q) содержит свободные группы, то проблема вложимости в качестве подгрупп остаётся только для обобщенных групп Баумслага-Солитера. Какие условия нужно наложить на граф групп, чтобы его фундаментальная группа вкладывалась в BS(p,q)?

В [7] Х.Басс показал, что если группа G «„., } изоморфна фундаментальной группе неко- а, ак.Г\ торого графа групп А, то группа Н явля- / а" ^Ч ется подгруппой группы G тогда и только / е< . \ тогда, когда существует граф групп Ai, по- |\ / " \ гружаемый в А, фундаментальная группа tt(t - ) которого изоморфна Н. Однако при задан- \ е, / ном графе групп А описание всех таких Ai \ аз а, /' трудная задача. ' е> х р.,

Мы покажем, что всякая подгруппа из BS(p, q) может быть представлена в виде фундаментальной группы графа групп ^ ——— —- • • • с метками на ребрах 1 ,р или q.

Пусть ei,e2, .,еп - реберный путь в графе с метками. Обозначим Рис- 2: ввеРхУ петля ГРУПП' внизу луч групп. q(e 1,е2,.,еп) = ti ХМ

ЛЕММА 1.9 Пусть А - петля групп (см. рис. 2), вершинные и реберные группы которой бесконечные циклические, щ, Д €Е {1,р, д}, г = 1,2,.,/:. Тогда фундаментальная группа графа групп А вкладывается изоморфно в группу BS(p, q), если и только если q(e 1, в2,., ей) = (f)"'m6Z

ЛЕММА 1.10 Пусть А - луч групп (см,, рис. 2), вершинные и реберные группы которого бесконечные циклические, индексы on,j3i влоэюения реберных групп в вершинные равны 1 ,р или q. Обозначим А„(А) - число индексов ctj = 1 при г ^ п, fJ.n(A) - число индексов Д = 1 при г ^ п, ДП(А) = An(A) — /in(А). Тогда фундаментальная группа графа групп А вкладывается изоморфно в группу BS(p,q), если и только если ДП(А) ограничена сверху как функция от п.

Будем рассматривать далее только связные графы. Основной результат первой главы диссертации

ТЕОРЕМА 1.12 Пусть р и q - различные простые числа. Пусть А - счетный граф групп с бесконечными циклическими вершинными и реберными группами, реберные группы которого вкладываются, в вершинные как подгруппы индекса 1 ,р или q. Тогда фундаментальная группа графа групп А вкладывается изоморфно в группу BS(p, q), если и только если все (достаточно - базисные) петли графа групп А удовлетворяют Лемме 1.9, а всякий луч групп из А удовлетворяет Лемме 1.10. Если фундаментальная группа графа групп А вкладывается изоморфно в группу BS(p,q), то изоморфное вложение можно найти алгоритмически.

Перейдем к результатам второй главы диссертации. Пусть an(G) — число подгрупп индекса п в группе G, a ~~ число нормальных подгрупп индекса п в группе G. Гелман [15] доказал, что если р и q взаимно просты, то an(BS(p,q)) = Y;L С1) l\n l±.pq

Баттон [10] при тех же условиях доказал формулу a«(BS(p,q))= J2 НОД(/,р-<7). (2) ri=lm l\pm-qm

Во второй главе дается явное описание всех подгрупп индекса п в группе BS(p, q) при взаимно простых параметрах р и q. При этом используется только формула (1). Формула (2) получается как следствие.

ТЕОРЕМА 2.3 Множество подгрупп индекса п в группе BS(p, q), при р L q, совпадает с множеством подгрупп Н^ , порожденных двумя элементами а1 и tmas, где п = 1т, I, т Е N, / L pq, s = 0,1,., / — 1. Все подгруппы Н?г т различны.

Пусть Вт — граф-цикл с вершинами с0, сь ., cmi и ребрами е0, еъ ., етг. Поставим в соответствие вершинам и ребрам графа Вт бесконечные циклические группы Cb,Ci,.,Cmi и Е0,Еъ.,Ет^ соответственно. Пусть aei: bi —> cj и а^: Ь^ —» с?+1 — вложения реберной группы Ef = (&,-) в вершинные группы Сг;+1 = (cj+i) и Q = (а) вершин ci+i и Q, инцидентных ребру е^. Эти вложения обозначены на рисунке 3 метками р и q на началах и концах ребер е*. Таким образом построена петля групп Вт. Обозначим через Нт фундаментальную группу 7Ti(Bm) петли групп Вш.

ТЕОРЕМА 2.6 Пусть п,1,т — натуральные числа, 1т = п и I L pq. Тогда для любых s — 0,1,. ,1 — 1 подгруппа т изоморфна группе Нт. Группы Нт при различных т попарно неизоморфны.

Обозначим через Ng{ti) - число классов сопряженных подгрупп индекса п из группы G.

ТЕОРЕМА 2.9 Пусть р и q взаимно просты. Тогда 1 Kk)-ld-HOA{d,pm~qm). dklm=n, l±pq

В третьей главе диссертации будет получено обобщение формулы Гел-мана (1) для произвольных целых ненулевых параметров к и I. Обозначим через т(Ь) — число делителей натурального числа 6, а через b\,b2,., bT(fy — все различные делители этого числа.

ТЕОРЕМА 3.7 Пусть d - любое натуральное число, а числа р и q взаимно просты. Тогда верна следующая формула для числа подгрупп q с, V' р/ е' q ' е° \ ч

Р\ е /

Ч Ч е„2

Рис. 3: Петля групп индекса п в группе BS(dp,dq): an(BS(dp,dq))= ]Г п lr*~KT (г - V(b,s)) n=lrs l±pq,d~rb

7г(г)Стг(/),Ш k\ \. kT{i)\ b\l . 6'

I h n^ hkl Ькт{ь)гк

Здесь все числа - неотрицательные целые, 7г(г) - множество простых делителей r,K—k\ + k2 + --- + fcr(b), V{b, s) - вектор а Т ( v ) — число подстановок у из Sn, для которых подгруппа (х, у) группы Sn транзитивна [х - фиксированная подстановка, последовательность длин независимых циклов которой совпадает с вектором V). Теорема 3.1 главы 3, которую мы не приводим ввиду большого количества необходимых определений, дает рекурсивную формулу подсчета Т (~v) для произвольного вектора 1?.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дудкин, Федор Анатольевич, 2010 год

1. Богопольский О. В. Введение в теорию групп. — Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2002.

2. Громов М. Гиперболические группы: Пер. с англ. — Ижевск: Институт комп. исследований, 2002. — 160 с.

3. Ландо С. К. Лекции о производящих функциях. — М.: МЦНМО, 2002. 144 с.

4. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп: Пер. с англ. — М.: Мир, 1980.

5. Мальцев А. И. Об изоморфных матричных представлениях бесконечных групп // Матем. сб. 1940. - Т. 8, № 3. - С. 405-422.

6. Чуркин В. А. К теории групп действующих на деревьях // Алгебра и логика. 1983. - Т. 22, № 2. - С. 218-225.

7. Bass Н. Covering theory for graphs of groups // Journal of Pure and Applied Algebra. 1993. - V. 89, № 1. - P. 3-47.

8. Baumslag G., Solitar D. Some two-generator one-relator non-hopfian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. - V. 68, № 3. - P. 199-201.

9. Bridson M. R., Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature. Berlin/Heidelberg/New York: Springer-Verlag, 1999. (Grundlehren der mathematishen Wissenschaften, V. 319).

10. Button J. O. A formula for the normal subgroup growth of Baumslag-Solitar groups // J. Group Theory. 2008. - V. 11, № 6. - P. 879-884.

11. Clay M., Forester M. On the isomorphism problem for generalized Baumslag-Solitar groups // Alg. and Geom. topol. — 2008. — V. 8. — P. 2289-2322.

12. Collins D. J. The automorphism towers of some one-relator groups // J. London Math. Soc. 1978. V. 36, № 3. P. 480-493.

13. Collins D. J., Levin F. Automorphisms and Hopficity of certain Baumslag-Solitar groups j j Archiv Math. 1983. — V. 40. - P. 385-400.

14. Epstein D. В. A. with Cannon J. W., Holt D. F., Levy S. V. F., Paterson M. S., Thurston W. P. Word processing in groups. — Boston/London: Jones and Bartlett Publishers, 1992. 330 p.

15. Gelman E. Subgroup growth of Baumslag-Solitar groups // J. Group Theory. 2005. V. 8, № 6. - P. 801-806.

16. Gersten S. M. Dehn functions and li-norms of finite presentations — G. Baumslag (ed.), C.F. Miller, III (ed.), Algorithms and Classification in Combinatorial Group Theory. Springer, 1992.

17. Jaco W. H., Shalen P. B. Seifert fibered spaces in 3-manifolds // Merri. Amer. Math. Soc. 1979. - V. 21, № 220. - P. 192-200.

18. Kapovich M. Hyperbolic manifolds and discrete groups. — Boston/Basel/Berlin: Birkhauser, 2000. (Progress in Math. V. 183).

19. Karrass A., Solitar D. Subgroups of HNN-groups and one-relator groups // Canad. Math. J. 1971. - V. 23. - P. 627-643.

20. Levitt G. On the automorphism group of generalized Baumslag-Solitar groups // Geometry and Topology. 2007. - V. 11. - P. 473-515.

21. Mednykh A. Counting conjugacy classes of subgroups in a finitely generated group // Journal of Algebra. 2008. V. 320. - P. 2209-2217.

22. Meskin S. Non-residually finite one-relator groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. - V. 64. - P. 105-114.

23. Neumann В. H. A two generator group isomorphic to a proper factor group //J. London Math. Soc. 1950. - V. 25. - P. 465-479.

24. Ohshika K. Discrete groups. — Translations of mathematical monographs. — V. 207. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 2002.

25. Sela Z. Endomorphisms of hyperbolic groups I: The Hopf property // Topology. 1999. - V. 38. - P. 301-322.

26. Serre J.-P. Trees. Berlin/Heidelberg/New York: Springer, 1980.

27. Shalen P. Three-manifolds and Baumslag-Solitar groups // Topology Appl. 2001. - V. 110. - P. 113-118.Работы автора по теме диссертации

28. Дудкин Ф. А. Подгруппы групп Баумслага-Солитера // Алгебра и Логика. 2009. - Т. 48, № 1. - С. 3-30.

29. Дудкин Ф. А. Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага-Солитера // Алгебра и логика. — 2010. Т. 49, № 3. - С. 310-325.

30. Дудкин Ф. А., Чуркин В. А. Число подгрупп данного конечного индекса в группах Баумслага-Солитера // Вестник НГУ, Серия: Математика, механика, информатика. — 2010. — Т. 10, № 2. — С. 54-60.

31. Дудкин Ф. А. Подгруппы групп Баумслага-Солитера // Тезисы сообщений VII Международной школы-конференции, посвященной 60-летию А.С. Кондратьева. Челябинск, изд-во ЮУрГУ. — 2008. — С. 48-49.

32. Дудкин Ф. А. Подгруппы групп Баумслага-Солитера // Материалы XLVI международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск. 2008. — С. 10.

33. Дудкин Ф. А. Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага-Солитера // Материалы XLVII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск. — 2009. — С. 70-71.

34. Дудкин Ф. А. Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага-Солитера / / Материалы Восьмой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения 2009"; Казан. матем. об-во. — 2009. Т. 39. - С. 198-199.

35. Дудкин Ф. А. Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага-Солитера II Материалы XLVIII международной научной студенческойконференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / Новоеиб. гос. ун-т. Новосибирск. — 2010. — С. 9-10.