Карты на римановых поверхностях и якобианы графов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Дерягина, Мадина Александровна

• Дерягина, Мадина Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Дерягина, Мадина Александровна

Содержание

Введение

1 КРУГОВЫЕ КАРТЫ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

1.1 Основные определения

1.2 Карты общего вида на языке фуксовых групп

1.3 Подсчет подгрупп в свободной группе ранга г

1.4 Общие теоремы

1.5 Структура групп, униформизирующих карты общего вида

1.6 Подсчет числа эпиморфизмов

1.7 Перечисление подгрупп

1.7.1 Подсчет числа положительных и отрицательных подгрупп без кручения

1.7.2 Подсчет числа подгрупп с кручением

1.8 Число круговых карт с п ребрами

1.9 Метод нахождения уравнений и построения графиков плоских круговых карт

2 КАРТЫ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ И РАСКРАСКА В ДВА ЦВЕТА

2.1 О раскраске круговых карт в два цвета

2.2 Двойственность. Связь двудольных и круговых карт

2.3 Гиперкарты. Теорема о числе гиперкарт с заданным числом ребер в независимости от рода поверхности

2.4 Теорема о числе гиперкарт самосопряженных относительно смены раскраски вершин

3 ЯКОБИАНЫ КОНЕЧНЫХ ГРАФОВ

3.1 Введение в терминологию

3.2 Предварительные сведения

3.3 Вычисление якобиана лестницы Мёбиуса

3.4 Вычисление якобиана призматического графа

4 О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ НА ДИСКРЕТНОМ ТОРЕ

4.1 Постановка задачи

4.2 Решение задачи Дирихле для Тог2

4.3 Решение задачи Дирихле для Тог3

Список литературы

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Карты на римановых поверхностях и якобианы графов»

Введение

Данная работа посвящена исследованию карт на римановых поверхностях и якобианов конечных графов.

Картой называется замкнутая риманова поверхность Б вместе с вложенным в нее графом С, таким, что б1 \ С представляет собой дизъюнктное объединение связных компонент, называемых гранями, каждая из которых гомеоморфна открытому диску. Вершины графа представляют собой различные точки на римановой поверхности, ребра — несамопересекающиеся кривые на римановой поверхности, не имеющие общих точек, отличных от вершин. Заметим, что мы рассматриваем только связные графы, так как для несвязного графа появляется "грань", не гомеоморфная диску.

Для карты, имеющей V вершин, Е ребер и Г граней, на римановой поверхности рода д выполнена формула Эйлера-Пуанкаре [23]:

У-£ + F = 2-2£.

Карты на римановой поверхности рода 0, будем называть плоскими.

Две карты £ и С на римановой поверхности 5 эквивалентны, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм /г., переводящий в С. Указанный гомеоморфизм будем называть изоморфизмом карт.

Полуребрами графа С назовем ребра графа, полученного из С барицентрическим подразбиением. В этом случае, каждое ребро С состоит из двух полуребер. Валентность вершины — это число полуребер инцидентных ей. Ребро считается инцидентным грани, если оно является частью ее границы. Если "обе стороны" ребра принадлежат одной и той же грани, то такое ребро называется перешейком. Считаем, что перешеек инцидентен соответствующей грани дважды. Валентность грани — число инцидентных этой грани ребер.

Карта называется корневой, если одно из ее полуребер рассматривается как корень (то есть отмечено). Изоморфизм между корневыми картами переводит корень в корень.

Систематическое исследование карт было начато в работах Татта в 1960-е годы, в них был заложен фундамент теории карт с точки зрения топологии и

комбинаторики. Поставленная им проблема о подсчете числа неэквивалентных карт с заданным числом ребер на римановой поверхности заданного рода [47] стала уже классической в рамках данной теории. Для решения этой проблемы Таттом были введены корневые карты. Корневые карты могут быть подсчитаны без учета автоморфизмов, так как только тривиальный автоморфизм сохраняет корень [48]. Решение корневой версии проблемы для карт с Е ребрами на римановой поверхности рода д = 0 получено Таттом [47] и выражается следующей формулой:

_ 2 х 3£ х (2-Е)! ЩЕ) ~ ЕЦЕ + 2)! '

Явная формула для числа корневых карт с Е ребрами на торе (д — 1) была получена Д. Арком [13] :

Е (Е

к

Мг{Е) = 2Е~3~к(3Е~1 - Зк) (Е + ^

к=О

В работе [17] Бендером и Кенфилдом получены производящие функции для числа корневых карт с Е ребрами на поверхности рода д~2ид = З.В [49] Т. Уолшем и А. Гиоргетти подсчитаны корневые карты с Е ребрами на поверхности рода д = 4, д = 5ид = 6.

В. А. Лисковцом получена формула для подсчета плоских некорневых карт с заданным числом ребер [38].

В работе [11] А. Д. Медных предложен новый метод вычисления числа классов сопряженных подгрупп в произвольной конечно порожденной группе. Приложением этого метода является полное решение проблемы Татта для карт с заданным числом ребер на поверхности заданного рода [40]. С помощью этого метода также получена новая формула для числа пар близнецов (карт, между которыми существует меняющий ориентацию гомеоморфизм, но не существует сохраняющего ориентацию) с заданным числом ребер [20].

В главе 1 диссертации будет введено понятие круговых карт, а также, с помощью указанного метода, будет найдена явная формула для числа круговых карт с заданным числом ребер в независимости от рода поверхности.

В своей знаменитой программе [26] А. Гротендик связал исследование карт со многими задачами комплексного анализа, комбинаторной теории, теории чисел и теории фуксовых групп. Важным аспектом этой теории является теорема Г. Белого, устанавливающая связь между римановыми поверхностями, определенными над и мероморфными функциями, имеющими три критических значения [2]. Указанные функции называют функциями Белого. Вычислению этих функций посвящены работы Г. Б. Шабата, А. Звонкина и других авторов ([46], [1], [3]).

В главе 2 диссертации будет доказана эквивалентность круговых карт и карт, допускающих раскраску граней в два цвета таким образом, чтобы каждое ребро разграничивало два разных цвета. Простым следствием этой эквивалентности и утверждений из главы 1 будет являться факт, что любая плоская карта допускает раскраску граней в два цвета тогда и только тогда, когда валентности всех ее вершин четные. Для римановых поверхностей большего рода, это вообще говоря не верно. Через понятие двойственности карт будет продемонстрирована связь между двудольными и круговыми картами, получена формула для подсчета двудольных карт с заданным числом ребер в независимости от рода поверхности. Отметим, что число двудольных карт с заданным число ребер на поверхности рода д = 0 ранее получено В. А. Лисковцом в [37].

Гиперкартой будем называть карту, вершины которой раскрашены в два цвета таким образом, что каждое ребро соединяет вершины двух разных цветов. Другие определения гиперкарты и их эквивалентность данному можно посмотреть, например, в работе Т. Уолша [50]. В ней также подсчитано число плоских корневых гиперкарт с заданным числом ребер. Д. Арком получена формула для числа корневых гиперкарт с заданным числом ребер на поверхности рода д = 1 [12]. А. Д. Медных и Р. Неделя предложена формула для подсчета гииеркарт с заданным числом ребер на римановой поверхности заданного рода [41]. В главе 2 будет доказана теорема о числе гиперкарт самосопряженных относительно смены раскраски вершин с заданным числом ребер в независимости от рода римановой поверхности. Для рода д — 0 этот результат получен в работе [37].

В последние десятилетия появилось множество работ, посвященных дискретным версиям теории римановых поверхностей ([14], [15], [16]). Роль ри-мановых поверхностей в этой теории отводится конечным графам. Для них доказаны аналоги теорем Римана-Гурвица и Римана-Роха. А также построена теория якобианов. Понятие группы Пикара для графа (которую также называют якобианом или критической группой) было независимо введено многими авторами ([14], [15], [18], [22]). Она является важным алгебраическим инвариантом конечного графа. В частности, ее порядок совпадает с числом порождающих деревьев графа. Последнее число хорошо известно для некоторых простейших семейств графов, таких как колесо, веер, призма, лестница и лестница Мебиуса [19]. В то же время, структура группы Пикара известна только в некоторых случаях (см. [24], [34], [45]).

Следуя Бейкеру и Норину [15], определим якобиан (или группу Пикара) графа следующим образом.

Рассмотрим конечный, связный граф С, допускающий кратные ребра, но не имеющий петель. Пусть У {С) и Е{С1) — это множества вершин и ребер С, соответственно. Обозначим через 1)гг?(С) свободную абелеву группу на У {С). Элементы £)гг>(6г) являются целочисленными линейными комбинациями элементов У{(3), то есть для любого Б 6 /}п?(С) существует единственное представление Б = В(х)(х), 0{х) £ Z. По анало-

гии с теорией римановых поверхностей, элементы Игу (О) будем называть дивизорами на графе С. Определим степень элемента £) следующей формулой ¿ед{Б) = ^2хеУ(С) Обозначим через Им0^) подгруппу группы .Огг^С?), состоящую из дивизоров нулевой степени.

Пусть / — Ж—значная функция на У(С). Определим дивизор / по следующей формуле

<м/)= Е Е №)-/ш*)-

хеУ{в) хуеЕ(С)

Дивизор б/гг>(/) естественным образом может быть отождествлен с оператором Лапласа функции / на графе (7. Дивизоры вида с?гг>(/), где / — Z—значная функция на У (С), называются главными дивизорами. Обозначим через Ргт(С) группу главных дивизоров на С. Нетрудно заметить, что

каждый главный дивизор имеет степень 0, поэтому группа Рггп{С1) является подгруппой группы

Определим группу Jac(G), называемую якобианом (или группой Пикара) графа С, как фактор-группу

Зас(С) = ту°{С)/РНп(С).

По теореме Кирхгофа [33], группа Jac{G) является конечной абелевой группой порядка где Ьд — число порождающих деревьев графа С. Более того, любая конечная абелева группа является якобианом некоторого графа.

Целью главы 3 будет найти структуры якобианов лестницы Мебиуса Мп и призматического графа Ргп. Отметим, что новыми методами получен ранее известный результат, при этом использование этого метода позволило связать результат с полиномами Чебышева и, как следствие, получить ранее неизвестные связи между структурами якобианов рассматриваемых графов.

В главе 4 мы рассмотрим функции на графе Сп х Сп, представляющем из себя дискретный тор и изучим строение якобиана данного графа. Будут изучены гармонические функции на дискретном торе и их поднятия на универсальную накрывающую Ъ х Ъ. Такие функции решают задачу Дирихле на дискретном квадрате с попарно отождествленными противоположными сторонами. Анализ полученных решений позволяет построить пример неединственности решения задачи Дирихле для дискретного оператора Лапласа в классе функций, принимающих значения в конечной абелевой группе. Это не противоречит классическому принципу максимума для гармонических функций, поскольку конечная абелева группа не может быть упорядочена.

В Приложении к диссертации можно найти уравнения и графики некоторых плоских круговых карт, метод построения которых описан в соответствующей параграфе главы 1.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях: летних школах по геометрическому анализу (г. Горно-Алтайск, 2009 г., 2 -8 августа 2010 г., 13-19 августа 2011 г.); Российской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В. А. Топоногова (6 марта 2010 год, Новосибирск); ХЬУШ Междуна-

родной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2010 г.); XLIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2011 г.); Международной школе-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19 - 26 июня 2011 г.); Десятой Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы - 2011»(г. Казань, 30 июня - 7 июля 2011 г); XV International Conference on Geometry, Integrability and Quantization ( June 7 - 12, 2013, Varna (Bulgaria)); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске, 2013» (г. Новосибирск, 28-31 августа 2013 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4], [5], [6], [7], [8], [9], [25], [42], [43].

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору А. Д. Медных за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку. Автор выражает благодарность профессору В. А. Лисков-цу, профессору Р. Неделя, С. Г. Басалаеву за полезные обсуждения полученных результатов. А также благодарит свою семью: мать, Н. С. Зиндинову, и мужа, Д. Г. Дерягина,— за их неоценимую поддержку на протяжении всей работы над диссертацией.

1 КРУГОВЫЕ КАРТЫ НА РИМАНОВЫХ

ПОВЕРХНОСТЯХ

Систематическое исследование карт (dessins d'enfants) было начато в работах Татта в 1960-е годы и до сих пор активно развивается современными авторами. В данной главе мы введем понятие круговой карты, получим аналитическую формула для числа круговых карт с заданным числом ребер, а также опишем метод нахождения уравнений и построения графиков плоских круговых карт.

1.1 Основные определения

Определение 1. Картой (S, G) называется замкнутая риманова поверхность S вместе с вложенным в нее графом G, таким, что S\G представляет собой дизъюнктное объединение связных компонент, называемых гранями, каждая из которых гомеоморфна открытому диску.

Определение 2. Две карты (S, G) и (Si, G\) называются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм h : S —> Si такой, что h(G) = Gi.

Полный список карт с числом ребер, не превосходящим пять, и иллюстрации к ним можно найти в [30].

Определение 3. Пусть X и Y линейные связные топологические пространства. Пусть / : X —> Y некоторое непрерывное отображение. Тройка (X, У, /) называется накрытием, если для любого у 6 Y существует окрестность V такая, что полный прообраз представляется в виде

r\v) = Un

f "Ъ

дизъюнктного объединения открытых в X множеств таких, что f\y : Vç —> V является гомеоморфизмом.

Определение 4. Пусть X компактное ориентируемое двумерное многообразие, a S0 двумерная сфера. Непрерывное отображение / : X —> S0 называется разветвленным накрытием, если существует конечное множество

в = {2/1,2/2, • • • ,Ук} с 5о такое, что ¡\Х\/-^в) • Х\/ 1(В) -> 50\Б является накрытием. Минимальное множество В, удовлетворяющее указанному выше свойству, называется множеством ветвления /.

Определение 5. Элементарной круговой картой (50, С0) будем называть карту на сфере 50, имеющую 1 ребро, 1 вершину и 2 грани (внутреннюю и внешнюю).

Определение 6. Круговой картой будем называть карту, накрывающую элементарную круговую карту. Другими словами, (5, С) — круговая карта, если существует разветвленное накрытие / : (5, С?) —> (S0, С0), допускающее ветвление только над центрами граней и вершиной С0, и такое, что /(С) =

Со-

Пример 1.1. Следующие плоские карты являются круговыми.

Следуя [36] (стр. 42), введем понятие гиперкарты.

Определение 7. Гиперкартой называется карта, вершины которой раскрашены в черный и белый цвета так, что каждое ребро соединяет вершины противоположных цветов.

Рассмотрим произвольную карту. Выполним следующую операцию разбиения ребер: к уже имеющимся вершинам, которые мы покрасим белым цветом, добавим новые, черные вершины, по одной в середину каждого ребра. Таким образом, любую карту можно рассматривать как гиперкарту, где

Рисунок 1 — Элементарная круговая карта

Рисунок 2 — Круговые карты

белые вершины — вершины, а черные — середины ребер исходной карты, с одним лишь ограничением, что валентности черных вершин одинаковы и равны 2. При этом, ребро исходной карты состоит из двух ребер гиперкарты, которые будем называть полуребрами исходной карты.

Определение 8. Предположим теперь, что помимо ребер карта может иметь висячие полуребра, т.е. у соответствующей ей гиперкарты валентности черных вершин могут быть равны 1, а не только 2, как ранее. Полученный таким образом объект назовем картой общего вида. При этом белые вершины этой гиперкарты будем называть вершинами карты общего вида, а черные — серединами ребер карты общего вида (даже если полуребро висячее).

Замечание 1. Любую карту можно рассматривать как карту общего вида, полагая количество висячих полуребер равным нулю.

Определение 9. Элементарной гиперкартой назовем гиперкарту, состоящую из одного ребра, одной белой и одной черной вершин и одной грани.

О-•

Рисунок 3 — Элементарная гиперкарта

Замечание 2. Любая карта общего вида естественным образом накрывает элементарную гиперкарту.

Поясним это на следующем примере.

Пример 1.2. Рассмотрим карту общего вида. Белые кружочки отвечают за вершины, черные — за середины ребер, квадратики — за центры граней. Сделаем барицентрическое подразбиение, раскрасим в шахматном порядке (см. рис. 4). Тогда существует естественное отображение / раскрашенной картинки, кроме пары треугольников, общей стороной которых будет висячее полуребро, на следующую пару треугольников (рис. 5).

После отождествления сторон, показанного на рис. 5, легко получается сфера с тремя особыми точками (рис. 6). Отождествляя третью сторону пары треугольников, соответствующих висячему полуребру, также получим

Рисунок 4 — Карта общего вида

Рисунок 5 — Раскрашенная пара треугольников

сферу с тремя особыми точками. Таким образом, вся раскрашенная картинка отображается на рисунок 6.

Конформная структура на сфере с проколами поднимается по отображению / до конформной структуры на исходной римановой поверхности с удаленными вершинами, центрами граней и серединами ребер. При этом отображение / становится голоморфным отображением. По теореме Рима-на об устранении особенностей указанное отображение однозначно продолжается до голоморфного отображения римановой поверхности на риманову сферу. Это отображение называется функцией Белого.

Функция Белого всегда имеет не более трех критических значения. В нашем случае ее критическими значениями будут точки квадратик, белый кружочек и черный кружочек, которые обычно полагают равными 0,1, оо. Во многих важных случаях ее можно выписать в явном виде. Вычислению этих функций посвящены работы Г. Б. Шабата, А. К. Звонкина и других

Рисунок 6 — Сфера с тремя особыми точками

авторов ([46], [1], [3]).

1.2 Карты общего вида на языке фуксовых групп

В предыдущем параграфе основные понятия были введены на языке топологии, но для дальнейших целей будет уместно переформулировать многие из них с помощью фуксовых групп.

Для этого рассмотрим верхнюю полуплоскость Н2 = {г £ С : 1т г > 0} как модель плоскости Лобачевского с метрикой ¿Б2 = где г = х + гг/, а |сЬ|2 = йх2 + ¿у2. Рассмотрим две изометрии плоскости Лобачевского а : г ^ г+ 2 п в \ г ^

1 г

Тогда по теореме Пуанкаре группа Г = (а, /3\ ¡З2 = 1} = есть фук-

сова группа, то есть дискретная группа изометрий плоскости Лобачевского.

Рассмотрим карту общего вида. У каждой вершины рассмотрим достаточно малую окрестность. С учетом того, что поверхность, на которой расположена карта, ориентированная, существует циклический порядок на полуребрах, инцидентных одной вершине. Определим его следующим образом: берем полуребра одно за другим в направлении против часовой стрелки. Обозначим через И множество всех полуребер. Множество описанных выше циклических порядков на полуребрах, соответствующих всем вершинам, есть подстановка на И. Будем обозначать ее Я. Если рассмотреть таким же образом окрестности вокруг середин ребер, то получим подстановку Ь, состоящую из циклов длин два или один. Заметим, что Ь2 = 1, а группа (Я, Ь), порожденная Д и Ь, транзитивно действует на И. Отметим, что существует естественный гомоморфизм Ф : а Я, (3 ^ Ь группы Г на группу (Я: Ь).

Хорошо известно [31],что Г является универсальной фуксовой группой, униформизирующей элементарную гиперкарту, и каждой карте общего вида сопоставляется подгруппа группы Г. Более точно, элементарная карта есть фактор-пространство Н2/Г, а карта общего вида с т полуребрами — фактор-пространство Н2/К, где К <т Г. Поясним, что Н2/К = {Кх: х € Н2} — множество орбит, рассматриваемое как риманова поверхность с индуцированной из Н2 метрикой, причем Кх = [х] = {у £ Н2 : 35 Е К : 5х = у}.

)

При этом (р : В2 ¡К —> Н2/Г есть накрытие, индуцированное групповым включением К <т Г, т.е. : Кх —^ Тх.

Отношение эквивалентности карт общего вида на языке фуксовых групп можно сформулировать следующим образом [32]:

Факт 1. Две карты Н2/К и Н2/К' эквивалентны тогда и только тогда, когда группы К и К' сопряжены в группе Г, т. е. 3 8 Е Г : К' — 5Кд~1.

Элементарная круговая карта представляет собой фактор-пространство где Г+ = (а, ¡За/З есть фуксова группа, свободно порожденная элементами а,/За/З"1, и Г+ <2 Г.

Из определения следует, что круговая карта представляется в виде Н2/К, где К <е Г+, где е — количество ребер карты.

Наша главная проблема: посчитать число круговых карт с е ребрами с точностью до эквивалентности, или, что то же, посчитать число подгрупп индекса е в группе Г+ с точностью до сопряжения в группе Г.

Замечание 3. Число подгрупп индекса п (без сопряэюения) в группе Г+, которая изоморфна свободной группе ранга 2, было подсчитано М. Холлом /27/.

Замечание 4. Число подгрупп индекса п в группе Г+ с точностью до сопряжения в Г+; т.е. число классов сопряженных подгрупп индекса п, было подсчитано В. А. Лисковцом [10].

Общий подход решения нашей задачи предложен в статье Дж. X. Квака, А. Д. Медных, Р. Неделя [35]. Нам нужно получить конкретные аналитические формулы, исходя из их общего вида.

1.3 Подсчет подгрупп в свободной группе ^ ранга г

Напомним несколько хорошо известных результатов из комбинаторной теории групп.

Задача Холла. Посчитать число подгрупп индекса п в свободной группе

Рассмотрим сначала более общий случай. Пусть С = (#1, х2, ■ ■ ■, хг) некоторая группа на г порождающих. Если есть подгруппа Н индекса п в группе С, то есть и разложение на классы смежности: С = Нд\ + Нд2 + . • ■-(~Ндп, тогда С действует на множестве из п элементов {Нд\, Нд2, • ■ •, Ндп} по правилу

С 3> д : Ндг -> Нд1д, г = 1,2,..., п.

Таким образом, имеем гомоморфизм группы С в группу подстановок определенный по правилу

(Ндъ Нд2, ..., Ндп\ V? : д -»• I € 6„ .

\Hgig, Нд2д, ..., Я^у

Без ограничения общности можем считать, что #1 = 1 (так как С группа). В этом случае Нд\ — Н и справедливо следующее свойство

Ндхд = Нд = Н ^ д Е Н.

Другими словами, образ д £ Н в5п имеет по крайней мере один неподвижный элемент, стоящий на первом месте, т. е. Н. Этим полностью характеризуются элементы группы Н.

Положим </2(С) = С и <р(Н) = Н. Тогда справедливы следующие свойства:

1. С — транзитивная подгруппа группы 5П (или <р — транзитивный гомоморфизм);

2. Н <п С, т. е. Н - подгруппа индекса п в группе С;

3. Н = т. е. Н — стабилизатор группы С, действующий на множестве {Нд\, Нд2,..., Ндп} := {1, 2,..., п] и оставляющий на месте Нд\ — Н (или 1).

Обратно, если С и Н удовлетворяют свойствам 1-3, то Н = <£>_1(Н) есть подгруппа индекса п в группе С. Таким образом, описание подгрупп индекса п в С сводится к описанию транзитивных гомоморфизмов группы С в группу

В нашем рассмотрении класс смежности Нд\ — Н фиксирован. А оставшиеся классы Нд2, Нд%,..., Ндп ^ Н выбраны произвольным образом (они все между собой различны). Такой выбор можно сделать (п — 1)! способами.

Как результат предыдущих рассуждений имеем фундаментальное соотношение, сформулированное в лемме.

Лемма 1.1. Число подгрупп индекса п в группе С равно числу транзитивных гомоморфизмов О в Зп, деленному на {п — 1)!.

Справедлива следующая лемма, восходящая к Гурвицу [29].

Лемма 1.2. Число Вп гомоморфизмов (р : С —> Бп и число Тп транзитивных гомоморфизмов связаны следующим соотношением Гурвица:

где для удобства положено Во = 17 То = 0.

Если приравнять коэффициенты при равных степенях гп в указанных в лемме 1.2 степенных рядах, то получатся равенства

для всех п — 0,1, 2,...

В случае задачи Холла, С = Гг = {х\, Х2,..., хг) есть свободная группа на г порождающих. Тогда число Вп всех гомоморфизмов Гг в ¿>п равно (тг!)г, а число транзитивных представлений Тп группы Рг в Зп определяется по рекуррентной формуле (1.1), которую удобно переписать в следующем виде:

Поскольку, по лемме 1.1, число подгрупп Мп и число транзитивных гомо-

ГГ]

морфизмов Тп связаны соотношением Мп = , имеем следующую рекуррентную формулу Холла для числа подгрупп индекса п в свободной группе

(1.1)

(1.2)

1 = 1

откуда Мг = 1, М2 = 2Г - 1, М3 = Зг ■ 2Г~1 - 3 • Т~х + 1 и т. д.

Рассмотрим задачу о нахождении числа классов сопряженных подгрупп индекса п в свободной группе Рг. Ее решение получено В. А. Лисковцом и сформулировано в следующей теореме.

Теорема 1.1. Число Л^ классов сопряженных подгрупп индекса п в свободной группе Рг определяется по формуле

1\п <1\1 4 ' 1т—п

где ¡л{п) функция Мебиуса.

Элементарное доказательство этой теоремы приведено в работе [11].

1.4 Общие теоремы

Остановимся более подробно на результатах, полученных Дж. X. Кваком, А. Д. Медных, Р. Неделя [35].

Рассмотрим конечно порожденную группу Л. Пусть Р есть некоторое свойство подгрупп группы Л, которое инвариантно относительно сопряжения (например, быть нормальной, быть без элементов конечного порядка, быть ориентируемой и т. д.). Немного модифицируя аргументы из работы [11], имеем следующий результат, полученный ранее в [40].

Теорема 1.2. Пусть Л — произвольная конечно порожденная группа. Тогда число сопряженных классов подгрупп индекса п в группе Л, имеющих свойство Р, задается формулой

п

1\п к <тА 1т~п

где сумма ^1к<тк берется по всем подгруппам К индекса т в группе А, а \Ер1р(К^1)\ число эпиморфизмов группы К на циклическую группу Zl порядка I, ядро которых имеет свойство Р.

Предположим теперь, что Л = (Л, а;) — конечно порожденная группа с нетривиальной знаковой структурой. Это означает, что существует гомоморфизм ш : Л —» ядро которого Л+ = Кегш состоит из положительных элементов группы Л. Соответственно, отрицательными элементами Л называются элементы дополнения Л- = Л\Л+. Характерный пример группы Л с нетривиальной знаковой структурой — фундаментальная группа неориен-тируемого многообразия. В этом случае, Л+ соответствует фундаментальной группе ориентируемого дубля указанного многообразия. Подгруппа К группы А называется ориентируемой, если она лежит в Л+, и неориентируемой в противном случае. Используя теорему 1.2, получим следующий результат:

Теорема 1.3. Пусть Л — произвольная конечно порожденная группа с нетривиальной знаковой структурой. Число сопряженных классов пеори-ентируемых подгрупп индекса п в группе Л задается формулой

сл(я) = ^Е Е \Epi~(K~iZi) I,

l\n к~<т Л 1т=п

где сумма ^~2к~<тА берется по всем неориентируемым подгруппам индекса m в группе Л, а \Epi~(К~, Z{)\ — число эпиморфизмов группы К~ на циклическую группу Z\ порядка I с неориентиру емым ядром.

Пусть M связное неориентируемое многообразие с конечно порожденной фундаментальной группой Л. Тогда группа Л действует как группа гомеоморфизмов на универсальном накрытии M многообразия М. Обозначим через Л+ подгруппу индекса два в группе Л, состоящую из всех сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов. Тогда Л допускает нетривиальную знаковую структуру с множеством положительных элементов Л+. Мы отождествим классы эквивалентности ориентируемых накрытий M и классы сопряженности ориентируемых подгрупп в Л. Имеет место следующая теорема ([35]).

Теорема 1.4. Пусть Л — конечно порожденная группа с нетривиальной знаковой структурой. Обозначим через Л+ группу положительных элементов группы Л. Тогда число классов сопряженности ориентируемых

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дерягина, Мадина Александровна, 2013 год

Список литературы

[1] Адрианов Н. М., Амбург Н. Я., Дремов В. А., Кочетков Ю. Ю., Крей-нес Е. М., Левицкая Ю. А., Насретдинова В. Ф., Шабат Г. Б. Каталог функций Белого детских рисунков с не более чем четырьмя рёбрами // Фундамент, и прикл. матем- 2007 - Т. 13, №6- С. 35-112.

[2] Белый Г. В. О расширениях Галуа максимального кругового поля // Изв. АН СССР. Сер. матем,- 1979.- Т. 43, №2,- С. 267-276.

[3] Бычков Б. СДремов В. А., Епифанов Е. М. Вычисление пар Белого шестирёберных рисунков рода 3 с группами автоморфизмов порядков 12 и 3 // Фундамент, и прикл. матем.- 2007 - Т. 13, №6,- С. 137-148.

[4] Дерягина М. А., Медных А. Д. О подсчете круговых карт с заданным числом ребер // Сиб. мат. журн- 2013 - Т.54, №4 - С. 788-806.

[5] Зиндинова М. А. Круговые карты на римановых поверхностях // Материалы ХЬУП Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2010. С. 95.

[6] Зиндинова М. А. О вычислении группы Пикара для лестницы Мёбиуса / / Материалы ХЫХ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2011. С. 98.

[7] Зиндинова М. А. О подсчете круговых карт // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2010.- С. 13.

[8] Зиндинова М. А. О подсчете круговых карт с заданным числом ребер // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского / Казанское

математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции.- Казань: Издательство Казанского математического общества, Издательство Казанского государственного университета, 2011.- Т. 43. - С. 152-153.

[9] Зиндинова М. А., Медных И. А. О структуре группы Пикара для лестницы Мёбиуса и Призматического графа // Вестник КемГУ.- 2011- № 3/1 (47).- С. 50-57.

[10] Лисковец В. А. К перечислению подгрупп свободной группы // Докл. АН БССР.- 1971,- Т. 15, №1.- С. 6-9.

[11] Медных А. Д. Новый метод подсчета числа накрытий над многообразием с конечно-порожденной фундаментальной группой// Докл. АН.-2006,- Т. 409 №2. - С. 158-162.

[12] Arqués D. Hypercartes pointées sur le tore: Décompositions et dénombrements // J. Combin. Theory Ser В.- 1987.- V. 43 №3,- P. 275-286.

[13] Arqués D. Relations fonctionelles et dénombrement des cartes pointées sur le torre // J. Combin. Theory Ser В.- 1987.- V. 43 №3.- P. 253-274.

[14] Bâcher R., de la Harpe P. and Nagnibeda T. The lattice of integral flows and the lattice of integral cuts on a finite graph // Bull. Soc. Math. Fr-1997.- V. 125.- P. 167-198.

[15] Baker M., Norine S. Harmonic morphisms and hyperelliptic graphs // Int. Math. Res. Notices.- 2009.- V.2009 №15,- P. 2914-2955.

[16] Baker M., Norine S. Riemann-Roch and Abel-Jacobi theory on a finite graph // Adv. Math.- 2007,- Vol. 215, №2.- P. 766-788.

[17] Bender E., Canfield E. The number of rooted maps on an orientable surface // J. Combin. Theory Ser В.- 1991.- V. 53 №2.- P. 293-299.

[18] Biggs N.L. Chip-firing and the critical group of a graph // J. Algebraic Combin.- 1999,- V.9 №1.- P. 25-45.

[19] Boesch F. T. and Prodinger H. Spanning tree formulas and chebyshev polynomials // Graphs and Combinatorics.- 1986 - V.2 №1- P. 191-200.

[20] Breda A., Mednykh A., Nedela R. Enumeration of maps regardless of genus. Geometric approach // Discrete Math - 2010 - V.310 №6-7 - P. 1184-1203.

[21] Bujalance E., Cirre J. F., Gamboa J. M. and Gromadzki G. Symmetries of Compact Riemann Surfaces (Lecture Notes in Mathematics 2007).- Springer: Berlin, 2010.

[22] Cori R., Rossin B. On the sandpile group of a graph // European J. Combin.- 2000. - V. 21 №4,- P. 447-459.

[23] Coxeter H.S.M. Poincaré's Proof of Euler's Formula, in: Regular Polytopes. -3rd ed.- Dover: New York, 1973 - chapter 9 - P. 165-172.

[24] Dartois A., Fiorenzi F. and Francini P. Sandpile group on the graph Dn of the dihedral group // European J. Combin.- 2003. - V.24.- P. 815-824.

[25] Beryagina M. Enumeration of two-colored map with given number of edges // Дни геометрии в Новосибирске, 2013: Тезисы Международной конференции. Новосибирск: Институт математики им. С. JI. Соболева СО РАН, 2013,- С. 39

[26] Grothendieck A. Esquisse d'un programme (1984) // Geometric Galois Action , Schneps L., Lochak P. eds. V. 1: Around Grothendieck's Esquisse d'un Programme. Cambridge Univ. Press.- 1997.- P. 5-48. (London Math. Soc. Lecture Notes Series V.242.) / English translation: Sketch of a programme, the same volume - P. 527-569.

[27] Hall M. Jr. Subgroups of finite index in free groups // Canadian J. Math. -1949.- VI.- P. 187-190.

[28] Hungerford T. W. Algebra. - Springer: New York, 1974.

[29] Hurwitz A. Über Riemann'sehe Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten // Math. Ann. - 1891- V. 39 - P. 1-61.

[30] Jackson D. M. and Visentin T. I. An Atlas of the Smaller Maps in Orientable and Nonorientable Surfaces. - Chapman & Hall/CRC Press: Boca Raton, 2001.

[31] Jones G. A. Maps on surfaces and Galois groups // Mathematica Slovaca. -1997. - V. 47, M- P. 1-33.

[32] Jones G. A. and Singerman D. Theory of Maps on Orientable Surfaces // Proc. London Math. Soc. - 1978.- V. 37.- P. 273-307.

[33] Kirchhoff G. t/ber die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Verteilung galvanischer Ströme geführt wird / / Ann. Phys. Chem. - 1847.-V. 72,- P. 497-508.

[34] Lorenzini D. Smith normal form and laplacians // J. Combin. Theory Ser B. - 2008. - V. 98 №6.- P. 1271-1300.

[35] Kwak J. H., Mednykh A. D. and Nedela R. Enumeration of orientable coverings of a nonorientable manifold // Discrete Math. Theor. Comput. Sei. Proc. AJ. - 2008. - P. 215-226 - (electronic) (20th Intern. Conf. "Formal Power Series and Algebr. Combin."FPSAC'08, Valparasio-Viña del Mar, Chile).

[36] Lando S. K. and Zvonkin A. K. Graphs on Surfaces and Their Applications (with Appendix by Don B. Zagier).- Springer: Verlag, 2004. - XVI+455 pages.- ISBN 3-540-00203-0

[37] Liskovets V.A. Enumerative formulae for unrooted planar maps: A pattern // Electronic J. Comb. - 2004 - V. 11. - 14 pages.

[38] Liskovets V.A. Enumeration of nonisomorphic planar maps // Selecta Math. Soviética.- 1985.- V. 4.- P. 303-323.

[39] M. Marcus, H. Mine, A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities. -Allyn and Bacon: Boston, 1964.

[40] Mednykh A., Nedela R. Enumeration of unrooted maps with given genus // J. Combin. Theory Ser B. - 2006.- V. 96.- P. 706-729.

[41] Mednykh A., Nedela R. Enumeration of unrooted hypermaps of a given genus // Discrete Mathematics. - 2010.- V. 310 №3.- P. 518-526.

[42] Mednykh I.A., Zindinova M.A. On the structure of Picard group for Moebius ladder // Sib. Electron. Math. Reports. - 2011- V. 8. - P. 54-61.

[43] Mednykh I.A., Zindinova M.A. On the structure of Jacobian of Moebius ladder and Prism graphs// Материалы школы-конференции по геометрическому анализу - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2011- С. 34.

[44] On-Line Encyclopedia of Integer Sequences // http://www.oeis.org

[45] Chen P., Hou Y. and Woo C. On the critical group of the Möbius ladder graph// Australasian J. Combin. - 2006 - V. 36 - P. 133-142.

[46] Shabat G. В., Zvonkin A. K. Plane trees and algebraic numbers: Jerusalem Combinatorics'93 / Ed by H. Barcelo, G. Kalai // Contemp. Mathematics.-1994,- V. 178,- P. 233-275.

[47] Tutte W. T. A census of planar maps // Canad. J. Math. - 1963.- V. 15-P. 249-271.

[48] Tutte W. T. On the enumeration of planar maps // Bull. Amer. Math. Soc. -1968.- V. 74.- P. 64-74.

[49] Giorgetti A., Walsh T. R. S. Efficient enumeration of rooted maps of a given orientable genus by number of vertices and faces. // Ars Mathematica Contemporanea. - 2014. - V. 7. - P.263-280.

[50] Walsh T. R. S. Hypermaps versus bipartite maps //J. Combin. Theory Ser B. - 1975. - V. 18 №2.- P. 155-163.