Аппроксимационные свойства HNN-расширений групп и групп с одним определяющим соотношением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Молдаванский, Давид Ионович

• Молдаванский, Давид Ионович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Молдаванский, Давид Ионович

У Введение.

ГЛАВА I. Аппроксимируемость .ЯЛ^-расширений групп

§ 1. Предварительные замечания и результаты.

§ 2. Финитная аппроксимируемость Н NN-расширении. с центральными связанными подгруппами.

§ 3. Аппроксимируемость ЯЛ^-расширений в классе конечных р-групп.

ГЛАВА II. Группы с одним определяющим соотношением

§ 4. Предварительные замечания о строении групп

Баумслага - Солитэра и групп Бруннера.

§5. Финитная аппроксимируемость и аппроксимируемость конечными р-группами групп Баумслага - Солитэра и групп Бруннера.

§ 6. Классификация и хопфовость групп Баумслага - Солитэра и групп Бруннера.

§ 7. О пересечении подгрупп конечного индекса в группах

Баумслага - Солитэра.

ГЛАВА III. Отделимость подгрупп и некоторые другие аппроксимационные свойства групп

§8.0 финитной отделимости подгрупп.

§ 9. О финитной аппроксимируемости групп относительно сопряженности подгрупп.

§ 10. О группах с одинаковыми конечными гомоморфными образами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимационные свойства HNN-расширений групп и групп с одним определяющим соотношением»

Понятие финитно аппроксимируемой группы, как свидетельствуют В. Чандлер и В. Магнус в историческом обзоре [25], впервые в явном виде появилось в работе А. И. Мальцева [13], где была установлена финитная аппроксимируемость конечно порожденных матричных групп и доказана хопфовость конечно порожденных финитно аппроксимируемых групп. Это понятие обобщалось затем в различных направлениях; в частности, в статьях А. И. Мальцева [14] и [15] рассматривались свойства апроксимируемости группы и отделимости подгруппы в произвольном классе групп. В настоящее время в наиболее общей форме аппроксимируемость групп определяется следующим образом (см. [7]):

Пусть G — некоторая группа и р — отношение между элементами и (или) множествами элементов, определенное на группе G и всех ее гомоморфных образах. Пусть также К, — некоторый класс групп. Будем говорить, что группа G аппроксимируема группами из класса К (или, короче, К-аппроксимируема) относительно отношения р, если для любых элементов и множеств элементов из G, не находящихся в отношении р, существует гомоморфизм группы G на группу из класса /С, при котором образы этих элементов и множеств также не находятся в отношении р.

В работах по данному направлению чаще всего рассматривается аппроксимируемость относительно отношения равенства (и в этом случае мы будем говорить просто о /С-аппроксимируемости), отношения сопряженности элементов и отношения вхождения в подмножество (если группа G К- аппроксимируема относительно вхождения в подмножество М, говорят, что подмножество М является К-отделимым в G). При этом, как правило, в качестве К выступает или класс Т всех конечных групп, или класс Tv всех конечных р-групп, или класс N всех нильпотентных групп.

Одним из заметных направлений в исследованиях по аппроксимируемости групп является изучение поведения того или иного аппроксимационного свойства относительно той или иной теоретико-групповой конструкции. Так, прямое или декартово произведение произвольного семейства /С-аппроксимируемых или /С-аппроксимируемых относительно сопряженности групп является, очевидно, группой, /С-аппроксимируемой или /С-аппроксимируемой относительно сопряженности соответственно. Вместе с тем, прямое произведение двух свободных групп ранга 2 содержит конечно порожденную подгруппу, не являющуюся ^-отделимой (см., напр., [26]), тогда как в силу теоремы Холла - Бернса (см. [10, с. 34]) в любой свободной группе все все конечно порожденные подгруппы ^"-отделимы.

Аппроксимируемость свободного произведения групп рассматривалась К. Грюнбергом в работе [42]. В этой работе вводится понятие корневого класса групп и доказывается, что если класс групп К является корневым, то свободное произведение произвольного семейства /С-аппроксимируемых групп будет снова К-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда произвольная свободная группа /С-аппроксимируема. (Напомним, что класс групп /С, содержащий хотя бы одну неединичную группу, называется корневым, если он замкнут относительно взятия подгрупп и конечных прямых произведений и для любой последовательности С ^ В ^ А подгрупп группы А такой, что С нормальна в В, В нормальна в А и фактор-группы В/С и А/В принадлежат классу /С, в подгруппе С содержится некоторая нормальная подгруппа D группы А, такая, что A/D £ К.) Недавно Д. Н. Азаров [2] заметил, что произвольный корневой класс содержит или все конечно порожденные нильпотентные группы, или все конечные р-группы, и потому каждая свободная группа является /С-аппроксимируемой для любого корневого класса 1С. С учетом этого замечания теорема Грюнберга утверждает, таким образом, что для любого корневого класса К класс /С-аппроксимируемых групп замкнут относительно свободных произведений. В частности, свободное произведение ^"-аппроксимируемых групп или ^-аппроксимируемых групп является ^-аппроксимируемой или J^-аппроксимируемой группой соответственно. Свободное произведение Л/*-аппроксимируемых групп далеко не всегда будет М-аппроксимируемой группой (простейшим примером может служить свободное произведение двух циклических групп порядков 2 и 3); необходимые, а также достаточные условия Л/*-аппроксимируемости свободного произведения указаны А. И. Мальцевым [14]. Ранее ЛЛаппроксимируемость произвольной свободной группы была установлена В. Магнусом. В. Н. Ремесленников [20] показал, что свободное произведение произвольного семейства групп, .F-аппроксимируемых относительно сопряженности, является группой, ^"-аппроксимируемой относительно сопряженности, а в работе Н. С. Романовского [22] доказано, что в свободном произведении произвольного семейства групп все конечно порожденные подгруппы ^"-отделимы, если ^-отделимыми являются все конечно порожденные подгруппы в каждой группе этого семейства.

Свободное произведение является исторически первой из так называемых свободных конструкций групп; другими свободными конструкциями являются обобщенное свободное произведение, т. е. свободное произведение групп с объединенными подгруппами, и расширение Хигмана - Неймана - Нейман (iIiViV-расширение). Положение с аппроксимационными свойствами этих конструкций оказывается более сложным, чем для обычного свободного произведения: свободное произведение с объединенными подгруппами двух ^"-аппроксимируемых групп и ЯТУЖ-расширение ^-аппроксимируемой группы далеко не всегда являются ^"-аппроксимируемыми группами.

По-видимому, первым примером обобщенного свободного произведения двух ^-аппроксимируемых групп, не являющегося ^-аппроксимируемой группой, является группа Хигмана а, 6, с; Ь~хаЬ — а2, с-1ас = а2), предложенная им в работе [44] в качестве примера нехопфовой конечно определенной группы. Ввиду нехопфовости и в силу теоремы Мальцева эта группа не является ^"-аппроксимируемой. С другой стороны, она раскладывается в свободное произведение с объединенной циклической подгруппой групп а,6; b~1ab = a2) и (а,с; с1ас = а2), входящих в семейство так называемых групп Баумслага - Солит-эра, т. е. в семейство групп с одним определяющим соотношением вида H(l,m) = (a,b; b~1alb = ат), где I и т ненулевые целые числа. Именно в этом классе групп Г. Баумслаг и Д. Солитэр в 1962 году обнаружили первые примеры групп с одним определяющим соотношением, не являющихся /-аппроксимируемыми: оказалось (см. [35] и [55]), что группа Н(1,т) /-аппроксимируема тогда и только тогда, когда или |/| = 1, или \т\ — 1, или |/| = \т\. Мы видим, таким образом, что группа Хигмана действительно является обобщенным свободным произведением двух /"-аппроксимируемых групп. Кроме того, поскольку каждая группа Н(1, т) является ЯЛ^-расширением с проходной буквой b бесконечной циклической группы, порождаемой элементом а, среди групп Баумслага - Солитэра мы находим и примеры ЯЛТАТ-расширений /-аппроксимируемых групп, не являющихся /-аппроксимируемой группой.

Началом систематического изучения /"-аппроксимируемости свободного произведения G = (А* В\ Я = К, </?) двух групп А и В с объединенными подгруппами Н и К следует, по-видимому, считать работу Г. Баумслага [33]. В этой работе доказано, что если группы А и В конечны, то группа G является /"-аппроксимируемой, и на основе этого результата с использованием введенного там же понятия пары совместимых подгрупп из свободных множителей сформулировано весьма общее достаточное (а также и некоторое необходимое) условие /-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух произвольных групп. Тем самым в работе [33] была предложена определенная методика получения конкретных результатов об /"-аппроксимируемости обобщенных свободных произведений. Так, например, эта методика практически сразу приводит к /аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух /аппроксимируемых групп в случае, когда объединяемые подгруппы конечны, а также к Т-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечно порожденных абелевых групп. Подавляющее большинство известных результатов об J*7-аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп было получено с использованием этой методики.

Развитие исследований /"-аппроксимируемости .ffiViV-расшире-ний началось с работ [30] и [40], в которых практически одновременно и независимо было показано, что НNiV-расширение

G* = (G,t] Г1 At = B,ip), базовая группа G которого конечна, является /"-аппроксимируемой группой. Более того, в работе [30] фактически было сформулировано понятие совместимой подгруппы, явившееся аналогом введенного Баумслагом вышеупомянутого понятия пары совместимых подгрупп, и на языке этого понятия указано достаточное условие /-аппроксимируемости HN^"-расширения с произвольной базовой группой, из которого легко вытекает, например, ^-аппроксимируемость ЯА^-расширения, базовая группа которого ^-аппроксимируема, а связанные подгруппы конечны. Некоторое уточнение формулировок из [30] приводит к методике, аналогичной той, которая была указана Баумслагом, и состоящей в том, что, как и в случае обобщенных свободных произведений, условия /-аппроксимируемости HNN-расширения могут быть выражены как определенные свойства семейства всех совместимых нормальных подгрупп конечного индекса базовой группы. А именно, необходимое условие /"-аппроксимируемости ЯЛ^-расширения состоит в том, что базовая группа его является не просто /"-аппроксимируемой, а аппроксимируемой факторгруппами по нормальным совместимым подгруппам конечного индекса, а достаточное условие /"-аппроксимируемости получается, если к этому добавить требование отделимости в классе таких фактор-групп каждой из связанных подгрупп (точные формулировки см. в § 1).

Несмотря на то, что указанное необходимое условие ^-аппроксимируемости Я]УЛг-расширения в общем случае не является достаточным (соответствующие примеры можно найти среди HNN-расширений, базовая группа которых является бесконечной циклической, т. е. среди групп Баумслага - Солитэра), теорема 1.1 данной работы утверждает, что для достаточно широкого класса HNД^-расши-рений это условие является и достаточным для ^-аппроксимируемости. Это так называемые нисходящие HNiV-расширения, т. е. HNN-расширения, в которых одна из связанных подгрупп совпадает с базовой группой. С использованием этого результата получено более конкретное достаточное условие ^-аппроксимируемости нисходящего iIiViV-расширения (теорема 1.2), из которого, в свою очередь, следует, что нисходящее HNTV-расширение G* = (G,t-, t~1Gt = В,у) является ^"-аппроксимируемой группой в следующих случаях:

1) G — свободная группа конечного ранга, а ее подгруппа В имеет конечный индекс по модулю коммутанта G' группы С;

2) G — конечно порожденная свободная нильпотентная группа.

Эти результаты были опубликованы в 1992 году в работе [68].

В этой работе отмечался, как открытый, вопрос о том, будет ли произвольное нисходящее HNTV-расширение свободной группы Т-аппроксимируемой группой. Недавно А. Борисов и М. Сапир [37] с помощью методов, отличных от используемых здесь, доказали, что любое нисходящее HNN-расширение конечно порожденной свободной группы является ^-аппроксимируемой группой. В работе [47] утверждение пункта 2) было распространено на произвольные почти полициклические группы.

Упомянутые выше условия ^"-аппроксимируемости HNN-расширения несмотря на их весьма общий характер и наличие существенного пробела между необходимым и достаточным условиями, в ряде случаев позволяют получать конкретные критерии JF-аппроксимируемости группы G* — (G, t\ t~lAt = В, if). Так, в случае, когда G является абелевой группой с конечным числом порождающих, соответствующий критерий указан в статье [27]. В теоремах 2.1 и 2.2 данной работы такие критерии (в других терминах) получены при более слабых предположениях, а именно: подгруппы А и В являются конечно порожденными и лежат в центре группы G, Аф G и В ф G и все подгруппы, лежащие в подгруппе АВ, /"-отделимы в группе G.

Первый из этих критериев формулируется на языке последовательностей Uk и Vk подгрупп группы G, определяемых по правилу UQ = A, Vq = В и Uk+г = UkHVk, Vk+i = Uk+1(p, и утверждает, что (при указанных предположениях) группа G* = t~lAt = B, <р) является /"-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда для некоторого 7i ^ О имеет место равенство Un — Vn.

Второй критерий утверждает, что при тех же предположениях группа G* /"-аппроксимируема тогда и только тогда, когда в каждой нормальной подгруппе конечного индекса группы G содержится некоторая совместимая нормальная подгруппа, также имеющая конечный индекс в группе G. Отсюда в свою очередь следует, что если группа G является, к тому же, 7гс-группой, то группа G* является 7гс-группой тогда и только тогда, когда она /"-аппроксимируема. (Напомним, что группа G называется 7гс-группой, если все ее циклические подгруппы /-отделимы.) В частности, если группа G является конечным расширением полициклической группы и А и В — собственные центральные подгруппы группы G, то группа

G* = (G,*; t~1At = B, ip) является 7ГС - группой в точности тогда, когда она /-аппроксимируема.

Следует отметить, что в случае, когда G является конечно порожденной абелевой группой, последнее утверждение вытекает из результатов работ [27] и [63]. Отмечу также, что в доказательствах теорем 2.1 и 2.2 используют прием, который назван методом спуска и подъема совместимых подгрупп, и который состоит в установлении определенных связей между свойствами семейств совместимых подгрупп группы G и группы В (с подгруппами U = АП В и V = Utp).

Переходя к рассмотрению ^-аппроксимируемости HNN-расширений, заметим, что при получении указанных выше необходимых и достаточных условий ^"-аппроксимируемости используется следующее свойство совместимых подгрупп: образы связанных подгрупп в фактор-группе базовой группы по нормальной совместимой подгруппе конечного индекса оказываются изоморфными, и соответствующее ЯЛ^ТУ-расширение этой фактор-группы является ^-аппроксимируемой группой, как ЯЛ^-расширение конечной группы. Поскольку как обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп, так и Я]У]У-расширение конечной р-группы может не быть Тр-аппроксимируемой группой, для получения аналогов соответствующей методики необходимо располагать условиями ^-аппроксимируемости обобщенного свободного произведение двух конечных р-групп и TV TV-расширения конечной р- группы.

Для обобщенного свободного произведения соответствующий критерий указан Г. Хигманом [45], и на его основе в работе [11] был сформулирован аналог понятия совместимой пары подгрупп, с помощью которого был получен аналог методики Баумслага для изучения ^-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения.

Почти очевидный "внешний" критерий ^-аппроксимируемости ЯЛ^-расширения G* = (G,t; t~lAt = базовая группа G которого является конечной р-группой, состоящий в существовании гомоморфизма группы G* на некоторую конечную р-группу, инъек-тивного на базовой группе, для указанной цели не подходит, так же как не подходит и вариант "внутреннего" критерия, указанный в работе [61]. В данной работе будет получен другой критерий (теорема 3.1), формулируемый практически в тех же терминах, что и вышеупомянутый критерий Хигмана, и соответствующая модификация на его основе понятия совместимой подгруппы приводит к условиям Тр-аппроксимируемости Я TV/^-расширения, формулировка которых (см. предложение 3.6) практически дословно повторяет упоминавшиеся выше условия ^"-аппроксимируемости. Этот результат с использоваи нием упоминавшегося выше метода спуска и подъема совместимых подгрупп приводит к характеризации аппроксимируемых HNN-расширении G* = (G,t; t-lAt = В, (р) при некоторых предположениях, включающих, в частности, требование центральности в группе G подгрупп А и В (теоремы 3.2 и 3.3). Из этой характеризации следует, например, что если А и В — конечные центральные подгруппы /^-аппроксимируемой группы G и АП В = 1, то группа G* = (G,t] t~lAt = В, (/?) является /^-аппроксимируемой.

Результаты, перечисленные выше, содержатся в первой главе работы. Во второй главе рассматриваются аппроксимационные и близкие к ним свойства групп, принадлежащих двум известным классам групп с одним определяющим соотношением. Это уже упоминавшийся класс групп Баумслага - Солитэра, т. е. групп вида

Н(1,т) = {а,Ь; b~1alb = arn), где тип — произвольные целые числа, отличные от 0, и класс некоторых iJiViV-расширений групп Н(1,т), состоящий из групп вида

G(l, т; к) = (a, t\ t~1a~ktalt~1akt = ат), где I, тик — произвольные целые числа, отличные от нуля. (То, что группа G(l,m;k) является ЯЛ^А^-расширением группы Н{1,т), становится очевидным после введения в ее представление нового образующего b вместе с определяющим соотношением b = t~lakt.) В обоих случаях мы можем без потери общности считать, что |/| ^ т > 0, а для групп G(l, m; к) предполагать также, что к > 0.

Подробное изучение свойств групп G(l,m] к) впервые предпринял А. М. Бруннер в работе [38]. Следует, впрочем, заметить, что на группы этого класса еще в 1969 году обратил внимание Г. Ба-умслаг [31], доказав, что все конечные гомоморфные образы группы (7(2,1; 1) являются циклическими группами (и приведя тем самым наиболее впечатляющий пример группы с одним определяющим соотношением, не аппроксимируемой конечными группами). Тем не менее, здесь нам будет удобно называть группы вида G(l, m; к) группами Бруннера.

Здесь показано, прежде всего, что упоминавшийся выше критерий /-аппроксимируемости групп групп Баумслага - Солитэра, сформулированный в работе [35], уточненный в [55] и утверждающий, что группа Н(1,т) (где \l\ ^ т > 0) является /-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда или т = 1, или )/| = га, может быть получен как непосредственное следствие результатов главы I. Доказано также (теорема 5.3), что группа Бруннера G(l,m]k) (где к > 0 и \1\ ^ т > 0) является /-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда |Z| = ттг; необходимость условия отмечена без доказательства в [38].

С помощью результатов главы I получена и характеризация /р-аппроксимируемых групп Баумслага - Солитэра и Бруннера: группа Н(I, га) /^-аппроксимируема тогда и только тогда, когда или га = 1 и / = 1 (modp), или \1\ = т — рг для некоторого г ^ 0, причем если I — —т, то р = 2 (теорема 5.2); группа G(/,m; к) является /р-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда \l\ = т = рг и к = ps для некоторых целых чисел г ^ 0 и s ^ 0, причем если I = — т, то р = 2 и s ^ г (теорема 5.4).

Дальнейшие результаты главы II относятся к свойствам групп Баумслага - Солитэра и Бруннера, связанным с понятием хопфово-сти.

Напомним, что группа G называется хопфовой, если она не может быть изоморфной никакой своей истинной фактор-группе, т. е. для любой нормальной подгруппы N группы G из G/N ~ G следует, что N = 1. В противном случае группа G называется нехопфовой.

Вопрос о существовании конечно порожденных нехопфовых групп был сформулирован Хопфом в 1932 году (см. [25]), и первым общим результатом по этому вопросу явилась теорема Мальцева [13], утверждающая хопфовость произвольной конечно порожденной /-аппроксимируемой группы. Первый пример конечно порожденной нехопфовой группы принадлежит Б. Нейману [57]; построенная им нехопфова группа имеет два порождающих, но требует бесконечного множества определяющих соотношений. Г. Хигманом [44] построен пример нехопфовой группы с тремя порождающими и двумя определяющими соотношениями. Минимальные в этом смысле примеры нехопфовых групп с двумя порождающими и одним определяющим соотношением были указаны в работе Г. Баумслага и Д. Солитэра [35] среди групп Н(1,т) (отсюда и общепринятое и обозначенное выше наименование групп этого класса). Было доказано, что группа Н(1,т) не является хопфовой тогда и только тогда, когда т > 1 и множество простых делителей числа I не совпадает с множеством простых делителей числа га. В той же работе были приведены примеры двух неизоморфных групп, гомоморфно отображающихся друг на друга, причем одна из них совпадает с некоторой группой Н(1, га), а другая, как удалось установить, не может быть определена одним соотношением. В связи с этим в 1969 году автором был сформулирован вопрос (см. [8, вопрос 3.33]), будут ли изоморфны две группы, каждая из которых задается одним определяющим соотношением и является гомоморфным образом другой? Здесь будет доказано (в теореме 6.3), что для групп Баумслага - Солитэра ответ на этот вопрос положителен, и, более того, будет дана классификация этих групп. Отрицательный ответ на этот вопрос на примерах, являющихся группами Бруннера, был анонсирован в работе [5]. Здесь при |/| > га будет дана классификация групп Бруннера, а также будут перечислены все пары неизоморфных групп Бруннера, гомоморфно отображающихся друг на друга (теорема 6.4). Оказалось, что среди групп G(l, га; к) имеется бесконечно много пар, доставляющих контрпримеры к сформулированному выше вопросу; минимальную такую пару составляют группы (7(18,2; 2) и G(18,2;6). В этом же параграфе доказана теорема 6.2, утверждающая, что группа G(l, m; к) не является хопфовой тогда и только тогда, когда |/| > т > 1, число га является делителем чисел I и к и числа га и 1/т взаимно просты (достаточность этих условий установлена в работе [38]),

В последнем параграфе второй главы рассматривается вопрос В. Магнуса, сформулированный в работе Р. Хиршона [46].

Для произвольной группы G через cr(G) будет обозначаться пересечение всех нормальных подгрупп конечного индекса группы G. Из хопфовости конечно порожденных .Т7-аппроксимируемых групп следует, что для любого сюръективного эндоморфизма ip конечно порожденной группы G имеет место включение Кег<р С cr(G), а потому — и включение К(ср) С cr(G), где оо

К(<р) = IjKer^. i=1

Спрашивается, какие нехопфовы группы с конечным числом порождающих обладают хотя бы одним сюръективным эндоморфизмом (р таким, что К((р) = cr(G). В работе [46] такие эндоморфизмы были явно указаны для ряда известных конечно определенных нехопфо-вых групп и поставлен вопрос о существовании эндоморфизма с указанным свойством в произвольной конечно определенной нехопфовой группе. Нетрудно показать, тем не менее, что ответ на этот вопрос отрицателен. А именно, в теореме 7.1 указаны условия, при которых свободное произведение групп G = (А * В] Н) групп А и В с объединенной подгруппой Н является нехопфовой группой, ни один сюръективный эндоморфизм кр которой не удовлетворяет равенству К(<р) = cr(G). Конкретным контрпримером, полученным с помощью этого результата является группа

G = (а, 6, с; Ь~1а2Ъ = а3, Ъ = [Ъ, с~1Ьс]).

С другой стороны, один из результатов работы [46] утверждает, что группа Баумслага - Солитэра Н(1,т) в случае, когда числа I и т взаимно просты, таким сюръективным эндоморфизмом ip, что К{(р) = <т(Н(1,т)), обладает. Основная часть этого параграфа направлена на получение исчерпывающей характеризации тех групп

Я(£,га), которые обладают сюръективным эндоморфизмом с указанным свойством. Здесь доказана теорема 7.2, утверждающая, что если H(l, га) — произвольная группа Баумслага - Солитэра и если числа I и га, определяющие эту группу, записаны в виде I = 1\р и га = raiq , где (р, га) = (g,l) = 1 и положительные числа li и rai имеют одни и те же простые делители, то группа Н(1,т) обладает сюръективным эндоморфизмом </? таким, что K(ip) = а(Н(1, га)), тогда и только тогда, когда rai = ni.

В третьей главе работы рассматривается свойство отделимости подгрупп, а также некоторые другие аппроксимационные свойства групп.

Напомним, что в соответствии с общим подходом к определению аппроксимационных свойств групп /С-отделимость подгруппы Н группы G (где К — некоторый класс групп) означает, что для любого элемента д группы (7, не принадлежащего подгруппе Н: существует такой гомоморфизм (р группы G на некоторую /С-группу, что gtp £ Hip.

Говоря о группе, в которой /С-отделимы все подгруппы, или все конечно порожденные подгруппы, или все циклические подгруппы, обычно тем самым предполагают /С-отделимость и единичной подгруппы, т. е. /С-аппроксимируемость этой группы. Тем не менее, /С-отделимость подгрупп оказывается, как правило, более сильным свойством группы, чем /С-аппроксимируемость. Например, группа Баумслага - Солитэра H(l, 1) при |/| > 1 содержит циклическую подгруппу, не являющуюся /-отделимой. В статье [39] приводится пример группы, являющейся расширением свободной группы ранга два при помощи бесконечной циклической группы и содержащей не Т-отделимую 2-порожденную подгруппу. С другой стороны, по теореме 1 из [15] эта группа является /-аппроксимируемой, а по теореме 4 из [26] — 7гс-группой (т. е., напомним, группой, все циклические подгруппы которой /-отделимы).

Группы, упомянутые в предыдущем абзаце, являются нисходящими iifiVTV-расширениями некоторой группы, и первый результат третьей главы (теорема 8.1) содержит необходимое и достаточное условие принадлежности произвольного нисходящего HNN-расширения классу 7гс-групп. Это условие, формулируемое в тех же терминах, что и теорема 1.1, означает, что каждая циклическая подгруппа базовой группы ЯЛ^-расширения отделима ее фактор-группами по нормальным совместимым подгруппам конечного индекса.

Следующий результат относится к группам с одним определяющим соотношением, обладающих нетривиальным центром. Хорошо известно, что группы этого класса обладают рядом аппроксимацион-ных свойств. Они .Т7-аппроксимируемы и даже .F-аппроксимируемы относительно сопряженности (см., напр., [41]). Критерий ^-аппроксимируемости таких групп получен в работах [52] и [54], причем установлено, что группа с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром Л/"-аппроксимируема тогда и только тогда, когда она является .^-аппроксимируемой для некоторого простого р. Теорема 8.2 данной работы утверждает, что в группе с одним определяющим соотношением, обладающей нетривиальным центром, все конечно порожденные подгруппы ^"-отделимы.

В силу общего замечания А. И. Мальцева [15] о связи ^"-аппроксимируемости конечно определенной группы относительно некоторого отношения и алгоритмической распознаваемости этого отношения следствием теоремы 8.2 является установленная В. Н. Безверхним [4] для групп с одним соотношением и нетривиальным центром разрешимость проблемы вхождения в конечно порожденные подгруппы.

Заметим, что предположение о конечной порожденности подгрупп является здесь существенным: каждая группа с одним соотношением и нетривиальным центром содержит неотделимую подгруппу, если, разумеется, она вообще содержит хотя бы одну подгруппу, не являющуюся конечно порожденной (т. е. не является циклической и не изоморфна (полициклической) группе Я(±1,1)).

Следует также отметить, что теорема 8.2 была опубликована в < 1987 году в работе [65], а в опубликованной в том же году статье

39] утверждение этой теоремы было доказано при дополнительном предположении нормальности подгрупп.

Рассмотрим теперь другой вид отделимости подгрупп, который получается заменой отношение принадлежности подмножеству отношением быть сопряженным с некоторым элементом этого подмножества. Более точно, назовем подмножество М группы G сопряженно /С-отделимым, если для любого элемента а е G, не сопряженного ни с одним элементом из М, найдется такой гомоморфизм группы G на некоторую группу из класса /С, что элемент а<р не сопряжен в группе G(f ни с одним элементом из подмножества Мер.

Этот вид отделимости подмножеств также представляет определенный интерес. Хорошо известно, например, что если класс К, гомоморфно замкнут, то для любой нормальной подгруппы N группы G г /С-аппроксимируемость фактор-группы G/N равносильна /С-отделимости подгруппы N. В работе [6] замечено, что если снова К, — гомоморфно замкнутый класс , то для любой группы G и произвольной ее нормальной подгруппы N фактор-группа G/N является /С-аппрокси-мируемой относительно сопряженности тогда и только тогда, когда каждый смежный класс группы G по подгруппе N сопряженно /С-отделим.

Как уже упоминалось, все конечно порожденные подгруппы свободной группы являются Т-отделимыми; здесь доказывается (в теореме 8.3), что все они и сопряженно ^-отделимы. В общем случае свойства J^-отделимымости и сопряженной ^"-отделимымости конечно порожденных подгрупп, как показывают примеры, являются независимыми.

В общую схему понятия аппроксимируемости группы относи-1 тельно некоторого отношения между элементами и множествами элементов этой группы укладывается еще одно естественное аппрок-симационное свойство групп. Будем говорить, что группа G Таппроксимируема относительно сопряженности (конечно порожденных) подгрупп, если для любых двух (конечно порожденных) подгрупп Н и К группы G, не сопряженных в ней, существует гомоморфизм </? группы G на конечную группу X такой, что образы Н(р и К^р подгрупп Н и К не сопряжены в группе X.

Это свойство групп рассматривалось в работе В. Н. Ремеслен-никова [21], где было доказано, что конечно порожденные нильпо-тентные группы .Т7-аппроксимируемы относительно сопряженности подгрупп. Впоследствии этот результат был распространен на класс полициклических групп в работе [43]. Теорема 9.1 данной работы утверждает, что произвольная свободная группа ^"-аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп. Следствием этой теоремы является алгоритмическая распознаваемость сопряженности конечно порожденных подгрупп свободной группы; ранее этот результат был получен другими методами в работе [17].

Интересной оказалась ситуация с ^-"-аппроксимируемостью относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп для групп Баумслага - Солитэра вида H(l, 1). Если I = ±1, группа H(l, 1) является полициклической, и потому ^-аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп в силу вышеупомянутого результата работы [43] (при I — 1 это просто очевидно). В оставшемся случае |/| > 1 группа Я(/, 1) ^"-аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп тогда и только тогда, когда I = для некоторого простого числа р (теорема 9.2).

Результаты последнего параграфа работы относятся к проблеме определяемости ^"-аппроксимируемой группы G семейством T{G) ее конечных гомоморфных образов.

Хорошо известно, что вопрос о том, будут ли ^"-аппроксимируемые группы G и Н обязательно изоморфны, если F{G) = ^(Я), в общем случае решается отрицательно. В. Н. Ремесленников [21] привел пример двух неизоморфных 2-порожденных 4-ступенно нильпотентных групп с одинаковыми конечными гомоморфными образами. В работе Г. Баумслага [32] указана серия пар неизоморфных метацик-лических групп, также имеющих одни и те же конечные гомоморфные образы. С другой стороны, имеется не так уж много результатов противоположного характера. Уместно напомнить, в частности, что до сих пор неизвестен ответ на вопрос В. Н. Ремесленникова, будут ли изоморфными две конечно порожденные финитно аппроксимируемые группы с одинаковыми семействами конечных гомоморфных образов, если одна из них — свободная или свободная разрешимая (см. [8], вопрос 5.48).

Сформулируем результаты, полученные здесь в этом направлении.

В теореме 10.1 утверждается, что для любой конечно порожденной /"-аппроксимируемой группы G и произвольной ее нормальной подгруппы N из равенства T{G) = /(G/iV) следует, что N = 1. Этот результат можно рассматривать как некоторое усиление теоремы А. И. Мальцева о хопфовости конечно порожденных /"-аппроксимируемых групп.

С помощью теоремы 10.1 можно получить следующий результат, представляющий, возможно, определенный интерес в связи с вышеупомянутым вопросом В. Н. Ремесленникова: если конечно порожденная группа G является конечным расширением свободной группы и если /(G) = /(Я) для некоторой свободной группы Я, то группы G и Я изоморфны.

Наконец, в двух последних результатах работы сравниваются конечные гомоморфные образы групп Баумслага - Солитэра вида Я(/, 1). Доказано (в теореме 10.3), что для любых ненулевых целых чисел к и I равенство Т(Н(к, 1)) = /"(Я(/, 1)) имеет место тогда и только тогда, когда к = I. Отсюда следует, в частности, однозначная определяемость группы Я(/, 1) семейством конечных гомоморфных в классе всех /-аппроксимируемых групп с одним определяющим соотношением.

Если же рассматривать лишь те конечные гомоморфные образы, которые являютсяр-группами (при фиксированном простому), утверждение теоремы 10.3 перестает быть справедливым. Соответствующая классификация групп вида H(l, 1) получена в теореме 10.4.

Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных и Международных конференциях в Красноярске (1980, 1993), Ленинграде (1981), Минске (1983), Свердловске (1989), Новосибирске (1989), Барнауле (1991), Санкт-Петербурге (1997), Туле (2003), Москве (2004), на семинаре по теории групп МГУ и на алгебраическом семинаре Ивановского госуниверситета. Основные результаты опубликованы в работах [64]—[81].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Молдаванский, Давид Ионович, 2005 год

1. Азаров Д. Н., Иванова Е. А. О финитной аппроксимируемости относительно сопряженности свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 5. Иваново. 2002. С. 3-5.

2. Азаров Д.Н., Тьеджо Д. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой корневым классом групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 5. Иваново. 2002. С. 6-10.

3. Бардаков В. Г. К вопросу Д. И. Молдаванского о р-отделимости подгрупп свободной группы // Сиб. матем. ж. 2004. Т. 45. № 3. С. 505-509.

4. Безверхний В. Н. Решение проблемы вхождения в группах с одним определяющим соотношением с нетривиальным центром // Деп. в ВИНИТИ, № 3207-84. 1984.

5. Борщев А. В. О проблеме изоморфизма для одного класса групп с одним определяющим соотношением / / Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д. К. Фадде-ева. Тезисы докладов. Санкт-Петербург. 1997. С. 170-171.

6. Иванова Е. А., Молдаванский Д. И. Об апппроксимируемо-сти относительно сопряженности конечно порожденных ниль-потентных групп // Вестник Иван. гос. ун-та. 2004. Вып. 3. С. 125-130.

7. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

8. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд. 15-е. Новосибирск. 2002.

9. Курош А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

10. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

11. Логинова Е. Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами / / Сиб. мат. ж. 1999. Т. 40, N 2. С. 395-407.

12. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.

13. Мальцев А. И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами // Матем. сб. 1940. Т. 8. С. 405-422.

14. Мальцев А. И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Матем. сб. 1949. Т. 25. № 3. С. 347-366.

15. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. Зап. Ивановск. пед. ин-та. 1958. Т. 18. С. 49-60.

16. Молдаванский Д. И. Об одной теореме Магнуса // Математика. Уч. зап. ИГПИ. Иваново, 1969. Т. 44. С. 26-28.

17. Молдаванский Д. И. Сопряженность подгрупп свободной группы // Алгебра и логика. 1969. Т. 8, вып. 6. С. 691-694.

18. Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир, 1969.

19. Ремесленников В. Н. Сопряженность в полициклических группах // Алгебра и логика. 1969. Т. 8. С. 712-725.

20. Ремесленников В. Н. Финитная аппроксимируемость групп относительно сопряженности // Сиб. мат. ж. 1971. Т. 12, № 5. С. 1085-1099.

21. Ремесленников В. Н. Сопряженность подгрупп в нильпотент-ных группах. // Алгебра и Логика. Семинар. 1967. Т. 6. Вып. 2. С. 61-75.

22. Романовский Н. С. О финитной аппроксимируемости свободных произведений относительно вхождения // Известия АН СССР. Сер. мат. 1969. Т. 33, № 6. С. 1324-1329.

23. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М.: Мир, 1974.

24. Холл Ф. Нильпотентные группы // Математика. Период, сб. переводов иностр. статей. 1968. Т. 12. № 1. С. 3-36.

25. Чандлер БМагнус В. Развитие комбинаторной теории групп М.: Мир, 1985.

26. Allenby R., Gregorac R. On locally extended residually finite groups // Lecture Notes Math. 1973. Vol. 319. P. 9-17.

27. Andreadakis S., Raptis E. and Varsos D. A characterization of residually finite HNN-extensions of finitely generated abelian groups // Arch. Math. 1988. Vol. 50. P. 495-501.

28. Anshel M. Non-hopfian groups with fully invariant kernels. Part 1 // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 170. P. 231-237.

29. Anshel M. Non-hopfian groups with fully invariant kernels. Part 2 11 J. Algebra. 1973. Vol. 24. P. 473-485.

30. Baumslag В., Tretkoff M. Residually finite HNN extensions // Communs in Algebra. 1978. Vol. 6. P. 179-194.

31. Baumslag G. A noncyclic one-relator group all of whose finite quotients are cyclic // J. Austral. Math. Soc. 1969. Vol. 10. № 3-4. P. 497-498.

32. Baumslag G. Residually finite groups with the same finite images // Compos. Math. 1974. Vol. 29. № 3 P. 249-252.

33. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 106. № 2. P. 193-209.

34. Baumslag G. Some problems on one-relator groups // Proc. second internat. conf. theory of groups. Canberra, 1973, P. 75-81.

35. Baumslag G.; Solitar D. Some two-generator one-relator non-Hop-fian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. Vol. 68. P. 199-201.

36. Baumslag G., Taylor T. The center of groups with one defining relator // Math. Ann. 1968. Vol. 175, P. 315-319.

37. Borisov A., Sapir M. Polinomial maps over finite fields and residual finiteness of mapping tori of groups endomorphisms // arXiv: math. GR/0309121vl. 6 Sep. 2003.

38. Brunner A. M. On a class of one-relator groups// Can. J. Math. 1980. Vol. 50. P. 414-420.

39. Burns R., Karrass A., Solitar D. A note on groups with separable finitely generated subgroups // Bull. Austral. Math. Soc. 1987. Vol. 36. P. 153-160.

40. Cohen D. Residual finiteness and Britton's lemma// J. London Math. Soc.(2). 1977. Vol. 16. P. 232-234.

41. Dyer J. Separating conjugates in amalgamating free products and HNN-extentions // J. Austral. Math. Soc. 1980. Vol. 29. № 1. P. 35-51.

42. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. (3) 1957. Vol. 7. P. 29-62.

43. Grunewald F., Segal D. Conjugacy in poly cyclic groups / / Com-muns. in Algebra. 1978. Vol. 6. P. 775-798.

44. Higman G. A finitely generated group with an isomorphic proper factor group // J. London Math. Soc. 1951. Vol. 26. P. 59-61.

45. Higman G. Amalgams of p-groups // J. of Algebra. 1964. Vol. 1. P. 301-305.

46. Hirshon R. The intersection of the subgroups of finite index in some finitely presented groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1975. Vol. 53, № 1. P. 32-36.

47. Hsu Т., Wise D. Ascending HNN extensions of polycyclic groups are residual finite // J. Pure Appl. Algebra. 2003. Vol. 182. P. 65-78.

48. Karrass A., Solitar D. The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated subgroup // Trans. Amer. Math. Soc. 1970. Vol. 150. P. 227-255.

49. Karrass A., Solitar D. Subgroups of HNN groups and groups with one defining relation// Can. J. Math. 1971. Vol. 28. P. 627-643.

50. Karrass A., Pietrowski A., Solitar D. Finite and infinite cyclic extensions of free groups // J. Austral. Math. Soc. 1973. Vol. 16. P. 458-466.

51. Kim G. Cyclic subgroup separability of HNN-extensions // Bull. Korean Math. Soc. 1993. Vol. 30. P. 285-293.

52. Kim G., McCarron J. On residually p-fmite one-relator groups // J. Algebra. 1994. Vol. 169. P. 817-826.

53. Magnus W. Uber diskontinuierliche gruppen mit einer definieren den relation (der Freiheitssatz) // J. reine angew. Math. 1930. Vol. 163. P. 141-165.

54. McCarron J. Residually nilpotent one-relator groups with non-trivial centre // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. Vol. 124. № 1. P. 1-5.

55. Meskin S. Nonresidually finite one-relator groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 164. P. 105-114.

56. Neumann В. H. An assay on free products of groups with amalgamations // Phil. Trans. Royal Soc. of London. 1954. Vol. 246. P. 503-554.

57. Neumann В. H. A two-generator group isomorphic to a proper factor group // J. London Math. Soc. 1950. Vol. 25. P. 247-248.

58. Neumann H. Generalized free products with amalgamated subgroups. 1// Amer. J. Math. 1948. Vol. 70. P. 590-625.

59. Neumann H. Generalized free products with amalgamated subgroups. II// Amer. J. Math. 1948. Vol. 71. P. 491-540.

60. Newman M., Sicher J. Free products of Hopf groups // Math. Z. 1973. Vol. 135, № 1. P. 69-72.

61. Raptis E., Varsos D. The residual nilpotence of HNN-extensions with base group a finite or a f.g. abelian group// J. of Pure Appl. Algebra 1991. Vol. 76. P. 167-178.

62. Segal D. Decidable properties of polycycle groups // Proc. London Math. Soc. 1990. Vol. 61. P. 497-528.

63. Wong P. C. and Tang С. K. Cyclic subgroup separability of certain HNN-extensions of finitely generated abelian groups // Rocky Mt. J. Math. 1999. Vol. 29. P. 347-356.Работы автора по теме диссертации

64. Молдаванский Д. И. Пересечение подгрупп конечного индекса в нехопфовых группах с одним определяющим соотношением (реферат статьи, депонированной в ВИНИТИ 18.05.1986 за № 6671-В86, 27 е., Библиогр. 16) // Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28, № 5. С. 219.

65. Молдаванский Д. И., Тимофеева Л. В. Конечно порожденные подгруппы группы, определяемой одним соотношением и обладающей нетривиальным центром, финитно отделимы // Известия ВУЗов. Математика. 1987. Вып. 12. С. 58-59.

66. Кавуцкий М. А., Молдаванский Д. И. Об одном классе групп с одним определяющим соотношением // Алгебраические и дискретные системы. Межвузовский сборник научных трудов. Иваново. 1988. С. 35-48.

67. Молдаванский Д. И. Изоморфизм групп Баумслага Солитэра // Укр. матем. журн. 1991. Т. 43. № 12. С. 1684-1686.

68. Молдаванский Д. И. Финитная аппроксимируемость нисходящих HNN-расширений групп // Укр. матем. журн. 1992. Т. 44. № 6. С. 842-845.

69. Молдаванский Д. И. О финитной отделимости подгрупп // Иван. гос. ун-т. 20 лет. Юбил. сб. науч. статей. Часть 2. Иваново, 1993. С. 18-23

70. Молдаванский Д. И. Об аппроксимируемости конечными р-груп-пами НTVjV-расширения конечной р-группы // Третья Международная конференция по алгебре памяти М.И.Каргаполова (23 28 августа 1993 г.). Сборник тезисов. Красноярск, 1993. С. 234235.

71. Moldavanski D., Sibyakova N. On the finite images of some one-relator groups. // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. Vol. 123. P. 20172020

72. Молдаванский Д. И., Якушев А. В. О конечных гомоморфных образах некоторых групп с одним определяющим соотношениемНауч. тр. Иван. гос. ун-та Сер. Математика. 1997. Вып. 1. С. 72-78.

73. Молдаванский Д. Я. Аппроксимируемость конечными ^-группами ЯЛ^Ж-расширений // Вестник Иван. гос. ун-та. 2000. Вып. 3. С. 129-140.

74. Молдаванский Д. И. Об отделимости циклических подгрупп нисходящего ЯЛ^ЛЦэасширения групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. 2000. Вып. 3. Иваново. С. 56-58.

75. Молдаванский Д. И. Два замечания о финитно аппроксимируемых группах с одинаковыми семействами конечных гомоморфных образов // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. 2001. Вып. 4. Иваново. С. 83-86.

76. Молдаванский Д. И. Финитная аппроксимируемость некоторых HNN-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. 2002. Вып. 3. С. 123-133.

77. Алексеев Ю. Я. Молдаванский Д. И. О сопряженности конечно порожденных подгрупп свободной группы // Чебышевский сб. 2002. Т. 3. Вып. 1. Тула. С. 8-10.

78. Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными р-группами некоторых ЯА^А^-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. 2003. Вып. 3. С. 102-116.

79. Borschev А, V., Moldavanskii D. I. On the isomorphism of some one-relator groups // arXiv: math.GR/0502153. Feb. 08, 2005)

80. Борщев А. В., Молдаванский Д. И. Об изоморфизме некоторых групп с одним определяющим соотношением // Матем. заметки. 2006. Т. 79. Вып. 1. С. 34-44.