Подавление магнитной релаксации в массивных высокотемпературных сверхпроводниках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.11, кандидат наук Захаров Максим Сергеевич

• Захаров Максим Сергеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Захаров Максим Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. МАГНИТНАЯ РЕЛАКСАЦИЯ В ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СВЕРХПРОВОДНИКАХ

1.1. Критическое состояние в сверхпроводниках

1.1.1. Вихревая структура в сверхпроводниках II рода

1.1.2. Вихри в ВТСП

1.1.3. Сила Лоренца

1.1.4. Пиннинг

1.1.5. Модель критического состояния

1.2. Крип потока. Механизм магнитной релаксации

1.3. Известные методы подавления магнитной релаксации

1.3.1. Создание новых центров пиннинга

1.3.2. «Отжиг магнитного потока»

1.3.3. Методы внутренней магнитной релаксации

Глава 2. ПОДАВЛЕНИЕ КРИПА ПОТОКА В СВЕРХПРОВОДНИКЕ ПРИ СБЛИЖЕНИИ С ФЕРРОМАГНЕТИКОМ

2.1. Эксперимент

2.1.1. Схема экспериментальной установки

2.1.2. Автоматизация измерений

2.1.3. Опыты с ферромагнетиком

2.2. Результаты опытов

2.3. Интерпретация эффекта. Гипотеза встречных сил Лоренца

2.4. Моделирование критического состояния в сверхпроводнике

2.4.1. Метод конечных элементов

2.4.2. Расчет критического состояния в сверхпроводнике, захватившем магнитный поток

2.4.3. Расчет критического состояния в сверхпроводнике в опытах с ферромагнетиком

2.4.4. Результаты расчета

Глава 3. ПОДАВЛЕНИЕ МАГНИТНОЙ РЕЛАКСАЦИИ ВНЕШНИМ НЕОДНОРОДНЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

3.1. Эксперимент

3.2. Обсуждение результатов опыта

3.3. Расчет критического состояния в намагниченном сверхпроводнике при наложении неоднородного магнитного поля

3.3.1. Процедура расчета

3.3.2. Обсуждение результатов расчета

3.4. Силовое воздействие внешнего неоднородного магнитного поля на концы вихрей

3.5. Ускорение релаксации магнитными силами

Глава 4. ЭФФЕКТ ЗАМЕДЛЕНИЯ РЕЛАКСАЦИИ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА ЛЕВИТИРУЮЩИЙ СВЕРХПРОВОДНИК

4.1. Подъемная сила

4.1. Существует ли релаксация подъемной силы в сверхпроводниковых системах левитации?

4.3. Зависимость скорости релаксации силы левитации от жесткости механической связи, накладываемой на объект левитации

4.4. Основная идея эксперимента

4.5. Экспериментальная установка

4.6. Методика измерений

4.7. Численный расчет силы левитации

4.8. Результаты опытов и расчета

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования

Интенсивное изучение свойств высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) обусловлено возможностью создания сверхпроводящих устройств, в которых в качестве хладагента используется жидкий азот. Наиболее перспективные направления практического использования массивных ВТСП связаны с разработкой систем магнитной левитации (маховиковые накопители энергии, магнитные подшипники, транспорт на магнитной подушке, гиро-системы для спутников и т.п.), а также с созданием источников сильного магнитного поля. Необходимым условием устойчивой работы этих устройств является неизменность основных параметров: величины индукции магнитного поля, создаваемого сверхпроводящим источником, и силы, удерживающей заданный вес в системе магнитной левитации. Почти сразу же после открытия высокотемпературной сверхпроводимости [1] было обнаружено, что в отличие от классических низкотемпературных сверхпроводников в ВТСП наблюдается сильная магнитная релаксация (крип магнитного потока), которая приводит к деградации сверхтоков со временем. Это накладывает ограничения на практическое применение ВТСП материалов. Поэтому проблемы разработки и эксплуатации сверхпроводящих устройств тесно связаны с решением проблемы крипа.

В настоящее время имеется большое число публикаций, посвященных экспериментальному и теоретическому исследованию явления «гигантского» крипа магнитного потока в ВТСП. Разработаны теории и модели, которые хорошо качественно и количественно описывают механизм данного явления. Однако лишь в немногих работах уделяется внимание воздействию на скорость магнитной релаксации. Кроме того, известные методы подавления крипа трудно применить на практике. В этой связи поиск и разработка новых методов замедления или полного подавления магнитной релаксации являются актуальными и представляют значительный научный и практический интерес.

Целью настоящей диссертационной работы является исследование новых способов воздействия на скорость крипа магнитного потока в массивных ВТСП, разработка методов подавления магнитной релаксации и изучение эффекта замедления релаксации подъемной силы в сверхпроводниковой системе левитации.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1) Разработать автоматизированный комплекс для наблюдения релаксации локальной магнитной индукции на поверхности сверхпроводника.

2) Измерить скорости релаксации распределений магнитной индукции при захвате потока и при помещении сверхпроводника вблизи ферромагнетика или в неоднородное магнитное поле.

3) Экспериментально изучить релаксацию подъемной силы в системе левитации.

4) Измерить скорость релаксации высоты левитации в системе сверхпроводник/магнит при разной весовой нагрузке.

5) Рассчитать критические состояния, возникающие в сверхпроводнике в присутствии ферромагнетика, при наложении внешнего неоднородного магнитного поля и в условиях левитации.

Научная новизна работы:

1) Исследован новый эффект воздействия внешнего неоднородного магнитного поля на скорость магнитной релаксации. Впервые введены в рассмотрение магнитные силы, действующие на концы вихрей, которые в зависимости от направления внешнего поля могут замедлять или ускорять магнитную релаксацию.

2) Впервые выполнены расчеты токовых структур в намагниченном сверхпроводнике при его помещении вблизи ферромагнетика или в неоднородное магнитное поле, подтверждающие гипотезу о встречных силах Лоренца, которые замедляют диффузию вихрей.

3) Впервые экспериментально установлено, что в сверхпроводниковой системе левитации релаксация подъемной силы возникает только в случае, когда на объект левитации наложена механическая связь; в условиях реальной левитации подъемная сила не изменяется со временем.

Фундаментальная и практическая значимость работы

Исследованы новые способы воздействия на скорость магнитной релаксации в ВТСП, которые могут быть использованы при разработке сверхпроводниковых технологий, в частности, источников сильного магнитного поля и систем левитации.

Соответствие содержания диссертации паспорту специальности, по которой она рекомендуется к защите

Содержание диссертационной работы соответствует формуле паспорта специальности 01.04.11 - Физика магнитных явлений: «... область науки, занимающаяся изучением: взаимодействий веществ и их структурных элементов., обладающих магнитным моментом, между собой или с внешними магнитными полями; явлений, обусловленных этими взаимодействиями.» и области исследований п. 2 «Экспериментальные исследования магнитных свойств и состояний веществ различными методами ..., выявление закономерностей их изменения под влиянием различных внешних воздействий».

Личный вклад автора

Автор лично принимал участие в разработке, изготовлении и автоматизации экспериментальных установок, в проведении измерений, в обсуждении и интерпретации полученных результатов, написании статей. Автором лично была выполнена обработка экспериментальных данных и сделаны все численные расчеты.

На защиту выносятся:

1) Экспериментальные результаты по подавлению магнитной релаксации в намагниченном сверхпроводнике, помещенном вблизи ферромагнетика или в неоднородное магнитное поле.

2) Результаты численного расчета, показывающие, что в сверхпроводнике устанавливается биполярная токовая структура, при которой на разные участки вихрей действуют встречные силы Лоренца.

3) Во внешнем неоднородном магнитном поле помимо сил Лоренца на вихри действуют магнитные силы, которые в зависимости от направления внешнего поля замедляют или ускоряют крип магнитного потока.

4) Методика сравнительного эксперимента, позволяющая выявить влияние крипа на подъемную силу в системе левитации сверхпроводник/магнит.

5) Результаты измерения высоты левитации сверхпроводника над постоянным магнитом в зависимости от времени при различной весовой нагрузке.

6) В сверхпроводниковых системах левитации релаксация подъемной силы возникает только при фиксированном положении объекта левитации; в случае реальной левитации (когда вес тела уравновешивается только магнитной силой) подъемная сила не изменяется со временем.

Достоверность научных результатов, полученных в диссертационной работе, определяется использованием широко применяемых надежных экспериментальных методов, воспроизводимостью результатов при повторных измерениях, согласием полученных данных с результатами численных расчетов, а также с экспериментальными данными, известными из литературы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Подавление магнитной релаксации в массивных высокотемпературных сверхпроводниках»

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях: 1) 2nd International Conference on Superconductivity and Magnetism (ICSM-2010), 25 - 30 April 2010, Antalya, Turkey;

2) XI Всероссийская молодежная школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (СПФКС-11), 15 - 21 ноября 2010 г., Верхняя Сысерть, Свердловская обл.;

3) 3nd International Conference on Superconductivity and Magnetism (ICSM-2012), 29 April - 4 May 2012, Istanbul, Turkey;

4) 4nd International Conference on Superconductivity and Magnetism (ICSM-2014), 27 April - 2 May 2014, Antalya, Turkey.

Публикации

Материалы диссертации изложены в 5 статьях, опубликованных в ведущих зарубежных научных журналах, входящих в перечень ВАК, и в международном сборнике, а также в тезисах докладов на конференциях.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений, библиографического списка. Общий объем диссертации составляет 100 страниц, включая 43 рисунка. Список цитируемой литературы содержит 111 наименований.

В первой главе даются основные понятия, характеризующие процесс магнитной релаксации. Приводится обзор известных методов воздействия на скорость крипа магнитного потока в высокотемпературных сверхпроводниках.

Вторая глава посвящена исследованию эффекта подавления магнитной релаксации в намагниченном сверхпроводнике при его сближении с ферромагнетиком. Дается описание экспериментальной установки для измерения магнитной индукции на поверхности сверхпроводника и приводятся результаты измерений. Представлена методика и результаты расчета распределений плотности тока и магнитной индукции в сверхпроводнике. Результаты опытов сопоставляются с данными численного расчета.

Третья глава содержит результаты измерений скорости магнитной релаксации при помещении намагниченного сверхпроводника во внешнее неоднородное магнитное поле. Результаты опытов сопоставляются с данными

численного расчета. Вводится в рассмотрение магнитная сила, действующая на концы вихрей.

В четвертой главе представлены результаты исследования эффекта замедления релаксации подъемной силы в сверхпроводниковой системе левитации. Описана экспериментальная установка для измерения скорости релаксации высоты магнитного подвеса при истинной левитации и в случае наложения на левитирующий ВТСП жесткой механической связи. Приведены результаты опытов и численного расчета силы взаимодействия между сверхпроводником и постоянным магнитом.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Диссертационная работа была выполнена в лаборатории криогеники и энергетики Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт теплофизики Уральского отделения Российской академии наук.

Автор благодарит научного руководителя Бориса Михайловича Смоляка за помощь в подготовке диссертации на разных её этапах.

Глава 1. МАГНИТНАЯ РЕЛАКСАЦИЯ В ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СВЕРХПРОВОДНИКАХ

Для понимания природы сильной магнитной релаксации в ВТСП необходимо рассмотреть магнитные свойства сверхпроводников II рода, присущие как классическим, так и высокотемпературным сверхпроводникам.

1.1. Критическое состояние в сверхпроводниках 1.1.1. Вихревая структура в сверхпроводниках II рода

При помещении сверхпроводника II рода в слабое внешнее магнитное поле Н < Нс1 (Нс1 - первое критическое поле) магнитный поток не проникает в объем сверхпроводника. При Н > Нс1 магнитный поток начинает проникать в сверхпроводник в виде отдельных нитей, которые направлены также как и внешнее магнитное поле, и представляют собой нормальные несверхпроводящие цилиндрические области (содержащие определенную порцию магнитного потока) вокруг которых циркулируют токи. Это образование - нить магнитного потока с круговым током - называется вихрем. Структура одиночного вихря представлена на рис. 1 [2].

«

В

XV0 г

л

Рис. 1. Схематичное распределение плотности сверхпроводящих электронов пс, магнитного поля В и плотности сверхпроводящего тока по поперечному сечению одиночного вихря.

Каждому вихрю энергетически выгодно содержать только один квант магнитного потока:

Ф0= —= 2,07-10"15Вб, (1)

2е

где Й = 1,055-10"34 Дж-с - приведенная постоянная Планка, е= 1,6-10~19 Кл -заряд электрона.

Таким образом, сверхпроводник II рода разбивается на систему сосуществующих нормальных (сердцевина вихрей) и сверхпроводящих фаз, образующих так называемое смешанное состояние. На рис. 2 показаны зависимости магнитной индукции В и намагниченности М в сверхпроводнике II рода от величины приложенного магнитного поля Н.

Рис. 2. Зависимость магнитной индукции В и намагниченности М от величины внешнего магнитного поля для сверхпроводника II рода.

В слабых полях Н < Нс1 сверхпроводнику энергетически не выгодно существование границы раздела фаз, поэтому магнитное поле выталкивается из объема сверхпроводника. При Н = Нс1 энергия для создания вихревой нити равна уменьшению магнитной энергии при проникновении одного кванта магнитного потока в сверхпроводник, поэтому вихри начинают заходить в материал.

Смешанное состояние сверхпроводников было теоретически предсказано А.А. Абрикосовым [3]. Согласно его теории взаимодействие между сонаправленными вихрями носит характер отталкивания, так как вихрь с одним квантом магнитного потока представляет собой энергетически наиболее выгодную конфигурацию. Два противоположно направленных вихря притягиваются, так как при их взаимном сближении и аннигиляции свободная энергия уменьшается. Поскольку наименьшей свободной энергией обладает система, в которой вихри расположены по углам равносторонних треугольников, то в идеальном изотропном сверхпроводнике, свободном от каких-либо дефектов, вихревые нити образуют гексагональную решетку (рис. 3) с однородной плотностью вихрей, которая зависит от величины приложенного внешнего магнитного поля.

Рис. 3. Вид сверху треугольной решетки вихрей Абрикосова в сверхпроводнике II рода. Черными точками показаны нормальные несверхпроводящие области. Стрелки обозначают направление циркулирующих сверхпроводящих токов. Магнитное поле B направлено из плоскости листа.

С увеличением магнитного поля возрастает плотность вихревой решетки, нормальные сердцевины вихрей сближаются и при полях H ~ Hc2 начинают перекрываться, в результате сверхпроводимость разрушается. Вихревая структура в сверхпроводниках существует в диапазоне полей Hc1 < H < Hc2 . Поле Hc2 , при котором сверхпроводимость исчезает в объеме материала, называется вторым критическим полем.

1.1.2. Вихри в ВТСП

Все ВТСП материалы являются сверхпроводниками II рода, которые имеют высокую температуру сверхпроводящего перехода. Структуры вихрей в них имеют ряд отличительных особенностей, по сравнению с классическими низкотемпературными сверхпроводниками. Это объясняется высокой степенью анизотропии данных материалов: ВТСП обладают слоистой структурой из сверхпроводящих CuO2 плоскостей («¿-плоскости) (см. рис. 4).

Рис. 4. Структура типичного широко распространенного YBa2Cu3O7-соединения [4].

В ВТСП вихрь, ориентированный вдоль оси с (ось с ± «¿-плоскости), представляет собой набор токовых блинов [5-7]. Взаимодействие между блинами (вихревыми токами в «¿-плоскостях) вдоль оси вихря слабое, поэтому в условиях термических возбуждений может происходить их сдвиг относительно друг друга (рис. 5). Сила связи блинов определяет степень анизотропии магнитных свойств по трем осям сверхпроводника. Наибольшей анизотропией среди ВТСП материалов обладают соединения на основе висмута BiSrCaCuO, наименьшей -иттриевые YBaCuO.

О-о

• -Си О -Ва О -У

с

Ь

Рис. 5. Вихрь в ВТСП, состоящий из набора токовых блинов в ай-плоскостях [8].

Существование вихревой структуры в ВТСП было подтверждено в многочисленных экспериментах с использованием метода высокоразрешающего декорирования [9], а также методом малоуглового нейтронного рассеяния [10].

1.1.3. Сила Лоренца

Вихревая структура смешанного состояния неустойчива по отношению к току, протекающему нормально приложенному магнитному полю [11], т.к. на вихри действует сила Лоренца

1л = [* X Фс ], (2)

Здесь ^ - сила, действующая на единицу длины вихря. Сила на единицу объема сверхпроводника [12]:

= [ I х В], (3)

где J - плотность тока, В - магнитная индукция.

Сила Лоренца вызывает движение вихрей, которое является вязким (диссипативным), поэтому часть подводимой мощности должна идти на поддержку этого состояния. При этом в сверхпроводнике появляется макроскопическое электрическое поле

Е = [Б х у ], (4)

где V - вектор скорости движения вихрей. Сверхпроводник переходит в так называемое резистивное состояние, т.е. имеет конечное сопротивление, на котором рассеивается мощность. Экспериментальное доказательство появления сопротивления в сверхпроводниках II рода впервые было получено Кимом и др. [13, 14].

1.1.4. Пиннинг

Движение магнитного потока под действием сколь угодно малой силы Лоренца происходит только в идеальном, свободном от дефектов, сверхпроводнике, когда отсутствуют какие-либо механизмы, препятствующие этому движению. Такой механизм называется пиннингом, он возникает вследствие локального уменьшения свободной энергии Гиббса, связанной с вихрем [15]. Потенциальная яма (центр пиннинга) может образоваться из-за любой пространственной неоднородности материала.

В сверхпроводниках всегда присутствуют разного рода дефекты, на которых могут закрепляться вихри: протяженные (дислокации, плоскости двойникования, дефекты упаковки) и точечные (включения, отклонения от стехиометрии). Поэтому резистивное состояние в них появляется выше некоторого значения протекающего тока, достаточного для создания силы Лоренца, способной сорвать вихри с центров пиннинга и привести их в состояние вязкого течения. Максимальная плотность бездиссипативного тока, при которой силы Лоренца и пиннинга равны, называется критической плотностью тока

В отсутствие пиннинга вихревая структура всегда может прийти к состоянию термодинамического равновесия, т.е. к однородному распределению вихрей по образцу. Процесс намагничивания сверхпроводника в этом случае является обратимым, т.е. не зависит от магнитной предыстории образца. Для реальных сверхпроводящих материалов, обладающих пиннингом, кривая намагничивания оказывается в той или иной степени необратимой. Пиннинг

приводит к тому, что в сверхпроводнике становятся возможными пространственно неоднородные распределения плотности вихрей.

В соответствии с уравнением Максвелла

rot B = fa J, (5)

Градиенты плотности вихрей создают токи, текущие в объеме сверхпроводника. Возможность протекания сверхтоков по всему объему сверхпроводника имеет большое практическое значение.

1.1.5. Модель критического состояния

Для описания необратимых кривых намагничивания очень удачной оказалась модель, предложенная Бином [16, 17]. В рамках данной модели сделано два простых предположения:

1) ток в сверхпроводнике равен критическому Jc;

2) любые изменения в распределении магнитного потока в образце

начинаются на границе сверхпроводника.

Из этого следует, что в результате любого изменения внешнего магнитного поля, на поверхности сверхпроводника индуцируются экранирующие токи плотностью Jc. Если в каком-либо месте образца критическая плотность уже достигнута, то магнитный поток начинает проникать дальше вглубь сверхпроводника. Состояние сверхпроводника, когда по нему текут токи с плотностью Jc, называется критическим.

В условиях данной модели в сверхпроводнике возможны только три токовых состояния: ток критической плотности, J = ±Jc, (знак определяется направлением градиента вихрей), текущий перпендикулярно приложенному магнитному полю, и нулевой ток, J = 0, в областях, куда не проник магнитный поток.

Рассмотрим процесс установления вихревой структуры в сверхпроводнике на примере намагничивания бесконечно длинного сверхпроводящего цилиндра диаметром 2R во внешнем магнитном поле (см. рис. 6).

Рис. 6. Распределение магнитного поля Bz и плотности тока Jf в бесконечном сверхпроводящем цилиндре диаметром 2R.

Магнитное поле B монотонно возрастает от нуля до своего конечного значения. Поле направленно вдоль боковой поверхности цилиндра. Задача обладает азимутальной симметрией, поэтому ее удобно рассматривать в цилиндрической системе координат. В этом случае индукция магнитного поля имеет только z компоненту, а в сверхпроводнике течет только азимутальный ток. Уравнение Максвелла (5) тогда запишется в следующем виде

дБ (r)

= ~Мо Jv. (6)

дг

Магнитный поток проникает в цилиндр с боковой поверхности и вследствие пиннинга устанавливается с градиентом (6). Критическое состояние характеризуется равенством силы пиннинга Fp и силы Лоренца F^ Действия этих сил направлены в противоположные стороны:

Fp ( B ) = -F„. (7)

Подставляя уравнения (3) и (5) в (7), получаем

F (B ) = -—[rot B х B] (8)

Mo

или для случая цилиндра:

FM) = ^МВ(Г). (9)

Mo дг

Так как в модели Бина Jф = ± Jc = сош1:, то дБг(г)/дг = сош1 Это приводит к линейной зависимости Бг от координаты г - поле убывает вглубь цилиндра по линейному закону. Тогда из (9) следует ^ ~ Бг.

На рис. 6 показано распределение магнитного поля Бг и плотности тока Jч> внутри цилиндра при разных значениях внешнего поля. Глубина проникновения магнитного потока в толщу сверхпроводника определяется как

тз

$ = —х—, (10) и при величине внешнего магнитного поля

в* = Мо ^ (11)

ток течет по всему объему цилиндра (Б** - поле полного проникновения). Видно, что глубина проникновения магнитного потока зависит от величины внешнего поля. Это является следствием сделанных в рамках данной модели предположений. Поэтому кривая намагничивания зависит не только от свойств самого сверхпроводника, но и от его геометрических размеров.

Следует отметить, что критический ток в действительности не является константой, а зависит от величины магнитного поля. Данная идея получила развитие в работах Кима [13, 18]. Согласно его модели критического состояния сила пиннинга ^ не зависит от величины поля Б. Это приводит к параболической зависимости Б2(г).

В дальнейшем зависимость плотности критического тока от поля не будет браться в расчет, поскольку ее учет не существенен для описания механизма магнитной релаксации [19, 20] а модель Бина, несмотря на весьма грубое приближение, качественно хорошо описывает критическое состояние сверхпроводников.

1.2. Крип потока. Механизм магнитной релаксации

Состояния вихревых структур с пространственно-неоднородным распределением нитей магнитного потока являются метастабильными. Даже при наличии пиннинга и небольших токах вихри способны за счет любых случайных воздействий преодолевать силы, удерживающие их в потенциальных ямах, и перемещаться на новые центры пиннинга. Такое явление называется магнитной релаксацией или крипом магнитного потока. Релаксация неравновесной конфигурации вихрей приводит к перераспределению магнитного потока в сверхпроводнике, уменьшению сверхпроводящего тока и, соответственно, изменению магнитного момента образца со временем. Крип обычно связан с термической активацией вихрей, однако может происходить из-за квантового туннелирования или внешних воздействий, например, механических вибраций. Понятие о термической активации, вызывающей скачки вихрей от одного центра пиннинга к другому, было предложено Андерсоном [21] для количественного описания уменьшения магнитного момента полого цилиндра из КЪ-7г со временем в экспериментах Кима [22].

В теории Андерсона-Кима предполагается, что магнитная релаксация происходит в виде скачков целых связок вихрей между соседними центрами пиннинга. В условиях термической активации, вероятность, что вихрь преодолеет потенциальный барьер и (согласно формуле Аррениуса), определяется как

( и Л

Ж ~ ехр - — , (12)

V кТ)

где Т - температура, к - постоянная Больцмана.

Энергия активации и не является константой, а зависит от величины протекающего тока, т.е. — = — (3). При наличии тока J на вихри действует сила Лоренца Рл, которая стремиться сорвать вихри с центров пиннинга, уменьшая тем самым высоту потенциального барьера и. Чем больше плотность тока, тем больше действующая на вихри сила Лоренца и тем легче вихрям преодолеть энергетический барьер. Преодолевая эффективный потенциальный барьер и,

вихри диффундируют в область с меньшей плотностью вихрей с некоторой скоростью

и (У )•

V = г0 ехр

кТ

(13)

где V = а ш- У/УСо, а - среднее расстояние между центрами пиннинга, ш -

частота колебаний вихря или связки вихрей, У - плотность критического тока,

при которой барьер исчезает [23, 24].

Процесс диффузии (крип) описывается уравнением непрерывности для плотности вихрей. Это уравнение можно получить, подставляя выражение (4) в уравнение Максвелла

дВ

юг Е =--.

дг

(14)

Тогда для случая бесконечно длинного сверхпроводящего цилиндра (см. рис. 6) уравнение непрерывности, определяющее изменение плотности вихрей со временем записывается в следующем виде [25]:

дВг_ = 1 д(пВ ) ^ (15)

дг г дг

где vBz - радиальная плотность потока вихрей, V = V - скорость движения вихрей в направлении оси г.

Из уравнений (6) и (15), следует уравнение для изменения плотности тока:

У

дг

Мо дг

1 д( туВ2 )

г

(16)

Для решения данного уравнения будем полагать, что при уменьшении градиента плотности вихрей линейность профиля потока сохраняется [7]. Подставляя (13) в (16) и интегрируя при У = сотг, получаем

дУ

V?«

ехр

кТ

(17)

дг //0£)

Ч У

где Вех - плотность вихрей на внешней границе цилиндра, В -геометрический фактор, который зависит от глубины проникновения 3

критического состояния и определяется геометрией сверхпроводника. Для длинного цилиндра диаметром 2Я [26]

л Л

2

/

1 - 21

V 3 Я у

(18)

1 2 82 В случае полного проникновения, 8 = Я и Б = —Я . Если 8Я, то В = —

6 2

как для бесконечной пластины [7].

Уравнение (17) описывает временную эволюцию плотности тока. При выводе данного уравнения использовались два условия на границах области, где идет магнитная релаксация: (а) на внутренней границе в цилиндре плотность потока вихрей = 0; (б) на внешней границе плотность вихрей Бех (магнитная индукция) не меняется и равна по величине приложенному внешнему полю Бг, т.е. через эту границу идет поток вихрей, поддерживающий постоянную плотность вихрей.

Сделав в уравнении (17) замену

а/ а/ аи

а? эи а?

можно получить аналогичное уравнение для энергии активации и

(19)

ди д?

V,Бех эи

ехр

кТ

(20)

Мол д/,

V у

Это уравнение может быть решено с логарифмической точностью [27] с начальным условием и [ / = 0 ^ = 0:

МоЛкТ

Ч^с у

V, Бех

аи/ а/

(21) (22)

где ?8С -время скейлинга - величина, которая зависит от размеров образца и определяет время релаксации локальных флуктуаций в распределении потока [7].

На вид уравнения (21) не влияет форма функциональной зависимости и (39). Если известна эта зависимость, тогда можно определить, как со временем

будет изменяться плотность протекающего в сверхпроводнике тока.

В линейной модели Андерсона-Кима [21] предполагается, что и уменьшается с увеличением J как

и (= и0,

(23)

4ж 9 2 *

где V - объем связки вихрей, ио - высота барьера в отсутствие силы Лоренца. Второе слагаемое в правой части уравнения равняется работе силы Лоренца по перемещению связки вихрей на расстояние а. В этой простой модели V и а являются константами и не зависят от Jф и Бг. Уравнение (23) обычно записывают в виде

и = и

1 -

3

(24)

Со У

где Л

4жип

Мо

Из уравнений (21) и (24) можно получить известную логарифмическую зависимость плотности тока от времени - классическое уравнение Андерсона-Кима для крипа магнитного потока:

3А * ) = 3со

Уравнение (25) верно в пределе

1 - кТ 1п

и

V ^С у

(25)

кт щ

и

V ^вС У

«1.

(26)

когда плотность тока 3т близка к значению ./ , т.е. ./,. -Jm ./. . Поэтому (25)

хорошо описывает магнитную релаксацию в классических низкотемпературных сверхпроводниках, в которых скорость крипа очень мала.

Следует отметить, что вследствие «гигантского» крипа магнитного потока для корректного описания релаксации в ВТСП материалах разработаны модели с нелинейными и(/)-зависимостями (см., например, [28-30]).

Магнитная релаксация в остаточном состоянии (т.е. крип захваченного магнитного потока) описывается тем же уравнением диффузии вихрей (15). Обсуждение особенностей остаточного состояния, которые могут приводить к отклонению от логарифмической зависимости тока со временем (25), можно найти в [8].

Намагниченность длинного цилиндра в направлении оси 2 определяется как (индекс 2 будем опускать)

1 я

м = -2 \ г2 /9( г )Уг. (27)

Я о

Когда сверхпроводящие токи текут по всему объему цилиндра, намагниченность максимальна и пропорциональна плотности тока /ф:

Мтах = 1 (28)

Следовательно, релаксация магнитного момента сверхпроводника тоже происходит по логарифмическому закону.

В работе [31] показано, что при частичном проникновении критического состояния относительное уменьшение намагниченности вследствие крипа потока идет с меньшей скоростью по сравнению с уменьшением плотности тока, но с той же логарифмической зависимостью от времени.

Экспериментально в ВТСП величину / трудно определить из-за большой

релаксации, которая происходит еще до того, как начинается измерение. Обычно время начала наблюдения ?0 много больше ?8С, которое входит в (25). Удобно использовать не абсолютное изменение со временем плотности тока (25) (или намагниченности), а относительное:

1 М (г) а 1п м (г)_ а 1п г Ы2 (г0) а 1п г а 1п г а 1п г

где £ - нормированная скорость логарифмической релаксации, М2 (г0) -значение намагниченности в начальный момент г .

Из уравнения (25) следует, что

кТ

£ = -—, (30)

и

и ей-

где ией- = и - кТ 1п (г/гж) - эффективная энергия активации. Измеряя

нормированную скорость логарифмической релаксации 5 при известной температуре Т, можно найти величину потенциального барьера и0.

Магнитная релаксация сначала была обнаружена в классических низкотемпературных сверхпроводниках. Этому явлению не придавали особого значения при разработке сверхпроводящих устройств, поскольку скорость крипа в низкотемпературных сверхпроводниках была пренебрежимо мала. С появлением ВТСП материалов ситуация изменилась: в ВТСП наблюдается «гигантский» крип потока, что связано с сильной тепловой активацией вихрей (высокие температуры существования сверхпроводящего состояния) и невысоким барьером пиннинга и0. В этом случае необходимость замедлять или полностью подавлять крип магнитного потока является насущной задачей при разработке сверхпроводниковых устройств.

1.3. Известные методы подавления магнитной релаксации

Скорость магнитной релаксации можно уменьшить, повысив величину потенциального барьера, который вихри преодолевают вследствие термической активации. Это можно сделать, создавая в сверхпроводящем материале новые центры пиннинга или путем понижения температуры намагниченного сверхпроводника («отжиг магнитного потока»).

1.3.1. Создание новых центров пиннинга

Новые центры пиннинга в ВТСП материалах обычно создаются тремя основными способами [32]:

а) введение примесей и добавок;

б) радиационное облучение;

в) создание искусственной планарной структуры дефектов.

В целом, все эти методики способны создавать различные по форме и размеру дефекты.

а) Введение примесей и добавок в сверхпроводящий материал может производиться различными методами. Добавление отдельных элементов, образующих в процессе реакции несверхпроводящие соединения, может создавать в сверхпроводнике двумерные или объемные деффекты, на которых происходит эффективное закрепление вихревых нитей [33, 34]. Отдельные элементы также могут встраиваться в кристаллическую решетку ВТСП материала, что приводит к созданию точечных дефектов. Такие химические примеси как Pb, МЬ, Pr и другие способны локально подавлять сверхпроводящие свойства [35, 36]. Эти области в материале становятся дополнительными центрами пиннинга, что в результате увеличивает плотность критического тока даже в больших магнитных полях.

Метод увеличения центров пиннинга с помощью примесей и добавок является относительно дешевым и простым для промышленного применения. Основная проблема заключается в поиске подходящих видов добавок (многие добавки создают точечные дефекты, которые, из-за малых размеров, не приводят к существенному пиннингу вихрей) и оптимальных концентраций (обычно увеличение количества дефектов сначала приводит к повышению плотности критического тока, а затем наступает ее быстрое уменьшение).

б) Искусственные центры пиннинга можно создавать с помощью радиационного воздействия на сверхпроводящий материал. Дефекты, получающиеся в результате, их размер и концентрация определяются видом облучения (электронное, нейтронное, протонное, ионное) и энергией частиц.

Облучение сверхпроводника электронами не дает существенного влияния на скорость крипа магнитного потока в силу того, что при этом в материале образуются точечные дефекты, которые являются не слишком эффективными центрами закрепления вихрей.

Нейтронное облучение способно создавать в сверхпроводнике каскады повреждений, которые могут являться хорошими центрами пиннинга [37]. При этом получается однородное распределение дефектов в объеме материала. К недостаткам нейтронной обработки материала относят малую скорость дефектообразования, а также наличие пострадиационной активности.

Этих недостатков в значительной мере лишено ионное облучение. Тяжелые ионы образуют в сверхпроводнике дефекты в виде цилиндрических треков (столбчатые дефекты). Такие дефекты обеспечивают максимально возможный пиннинг вихревых линий параллельных этим трекам. Линейное расположение вихрей вдоль столбчатых дефектов, а также близость диаметров вихря и дефекта (~ 10 нм) позволяет хорошо закрепляться вихрям в материале. Уменьшение скорости магнитной релаксации в ВТСП, прошедших воздействие облучением тяжелыми ионами, было показано в ряде работ [38-40]. Недостатком данного метода является необходимость использовать либо образцы малой толщины вследствие небольшого пробега ионов в материале, либо ионы высоких энергий [41]. Также при облучении происходит нарушение структуры сверхпроводящей фазы, что приводит к ухудшению транспортных свойств сверхпроводника.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Захаров Максим Сергеевич, 2015 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

[1] Bednorz, J.G. Possible highJC superconductivity in the Ba-La-Cu-O system / J.G. Bednorz, K.A. Muller // Z. Phys. B. - 1986. - V. 64. - № 2. - P. 189-193.

[2] Хюбенер, Р.П. Структуры магнитных потоков в сверхпроводниках / Пер. с англ. А.Б. Ваганова, Ю.П. Чалисова. Под ред. д-ра физ.-мат. наук И.Л. Ландау. -М.: Машиностроение, 1984. - 224 с.

[3] Абрикосов, А.А. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы / А.А. Абрикосов // ЖЭТФ. - 1957. - Т. 32. - № 6. - С. 1442-1452.

[4] Гинзберг, Д.М. Физические свойства высокотемпературных сверхпроводников / Пер. с англ. под редакцией д-ра физ.-мат. наук Н.В. Заварицкого. - М.: Мир,

1990. - 543 с.

[5] Dissipation in highly anisotropic superconductors / P.H. Kes, J. Aarts, V.M. Vinokur, C.J. van der Beek // Phys. Rev. Lett. - 1990. - V. 64. - № 9. - P. 1063-1066.

[6] Clem, J.R. Two-dimensional vortices in a stack of thin superconducting films: a model for high-temperature superconducting multilayers / J.R. Clem // Phys. Rev. B. -

1991. - V. 43. - № 10. - P. 7837-7846.

[7] Vortices in high-temperature superconductors / G. Blatter, M.V. Feigel'man, V.B. Geshkenbein, A.I. Larkin, V.M. Vinokur // Rev. Mod. Phys. - 1994. - V. 66. - № 4. -P. 1125-1388.

[8] Yeshurun, Y. Magnetic relaxation in high-temperature superconductors / Y. Yeshurun, A.P. Malozemoff, A. Shaulov // Rev. Mod. Phys. - 1996. - V. 68. - № 3. -P. 911-949.

[9] Вихревая структура в монокристаллах сверхпроводящих пниктидов железа / Л.Я. Винников, Т.М. Артемова, И.С. Вещунов, Н.Д. Жигадло, Я. Карпински, П. Попович, Г.Л. Сун, Ч.Т. Лин, А.В. Борис // Письма в ЖЭТФ. - 2009.- Т. 90. - № 4. - С. 325-329.

[10] Vortex lattice structures in YBa2Cu3O7 / M. Yethiraj, H.A. Mook, G.D. Wignall, R. Cubitt, E.M. Forgan, S.L. Lee, D.M Paul, T. Armstrong // J. de Phys. IV. - 1993. - V. 3. - № С8. - P. 273-278.

[11] Gorter, C.J. On the partial persistence of superconductivity at very high magnetic fields and current densities / C.J. Gorter // Phys. Lett. - 1962. - V. 2. - № 1. - P. 26-27.

[12] Friedel, J. Nature of the driving force in flux creep phenomena / J. Friedel, P.G. De Gennes, J. Matricon // Appl. Phys. Lett. - 1963. - V. 2. - № 6. - P. 119-120.

[13] Kim, Y.B. Flux creep in hard superconductors / Y.B. Kim, C.F. Hempstead, A.R. Strnad // Phys. Rev. - 1963. - V. 131. - № 6. - P. 2486-2495.

[14] Kim, Y.B. Flux-flow resistance in type-II superconductors / Y.B. Kim, C.F. Hempstead, A.R. Strnad // Phys. Rev. - 1965. - V. 139. - № 4A. - P. A1163-A1172.

[15] Тинкхам, М. Введение в сверхпроводимость / Пер. с англ. В.К. Корнева, Л.С. Кузьмина, М.Ю. Куприянова, Л.А. Масловой, Р.А. Ченцова. Под ред. д-ра физ.-мат. наук К.К. Лихарева. - М.: Атомиздат, 1980. - 310 с.

[16] Bean, C.P. Magnetization of hard superconductors / C.P. Bean // Phys. Rev. Lett. -1962. - V. 8. - № 6. - P. 250-253.

[17] Bean, C.P. Magnetization of high-field superconductors / C.P. Bean // Rev. Mod. Phys. - 1964. - V. 31. - № 1. - P. 31-39.

[18] Kim, Y.B. Magnetization and critical supercurrents / Y.B. Kim, C.F. Hempstead, A.R. Strnad // Phys. Rev. - 1963. - V. 129. - № 2. - P. 528-535.

[19] Минц, Р.Г. Магнитные неустойчивости в жестких сверхпроводниках / Р.Г. Минц, А.Л. Рахманов // УФН. - 1977. - Т. 121. - № 3. - С. 499-524.

[20] Mints, R.G. Critical state stability in type-II superconductors and superconducting-normal-metal composites / R.G. Mints, A.L. Rakhmanov // Rev. Mod. Phys. - 1981. -V. 53. - № 4. - P. 551-592.

[21] Anderson, P.W. Theory of flux creep in hard superconductors / P.W. Anderson // Phys. Rev. Lett. - 1962. - V. 9. - № 7. - P. 309-311.

[22] Kim, Y.B. Critical persistent currents in hard superconductors / Y.B. Kim, C.F. Hempstead, A.R. Strnad // Phys. Rev. Lett. - 1962. - V. 9. - № 7. - P. 306-309.

[23] Feigel'man, M.V. Flux creep and current relaxation in high-Tc superconductors / M.V. Feigel'man, V.B. Geshkenbein, V.M. Vinokur // Phys. Rev. B. - 1991. - V. 43. -№ 7. - P. 6263-6265.

[24] Vinokur, V.M. Exact solution for flux creep with logarithmic U(j) dependence: self-organized critical state in high-Tc superconductors / V.M. Vinokur, M.V. Feigel'man, V.B. Geshkenbein // Phys. Rev. Lett. - 1991. - V. 67. - № 7. - P. 915-918.

[25] Beasley, M.R. Flux creep in type-II superconductors / M.R. Beasley, R. Labusch, W.W. Webb // Phys. Rev. - 1969. - V. 181. - № 2. - P. 682-700.

[26] Smolyak, B.M. Effect of relaxation in levitating superconductors / B.M. Smolyak, G.N. Perelshtein, G.V. Ermakov // Cryogenics. - 2002. - V. 42. - № 10. - P. 635-644.

[27] Geshkenbein, V.B. Time dependence of the magnetic moment of high-temperature superconductors / V.B. Geshkenbein, A.I. Larkin // J. Exp. Theor. Phys. - 1989. - Т. 68.

- №. 3. - P. 639-641.

[28] Optical and electrical enhancement of flux creep in YBa2Cu3O7-s epitaxial films / E. Zeldov, N.M. Amer, G. Koren, A. Gupta, R.J. Gambino, M.W. McElfresh // Phys. Rev. Lett. - 1989. - V. 62. - № 26. - P. 3093-3096

[29] Theory of collective flux creep / M.V. Feigel'man, V.B. Geshkenbein, A.I. Larkin, V.M. Vinokur // Phys. Rev. Lett. - 1989. - V. 63. - № 20. - P. 2303-2306.

[30] Thermal activation of vortex motion in YBa2Cu3O7-s films at low temperatures / B.M. Lairson, J.S. Sun, T.H. Geballe, M.R. Beasley, J.C. Bravman // Phys. Rev. B. -1991. - V. 43. - № 13. - P. 10405-10412.

[31] Smolyak, B.M. Internal magnetic relaxation in levitating superconductors / B.M. Smolyak, G.N. Perel'shtein, G.V. Ermakov // Tech. Phys. Lett. - 2001. - V. 27. - № 8.

- P. 674-676.

[32] Руднев, И.А. Эффекты влияния нанодобавок и радиационных воздействий на транспортные и магнитные характеристики перспективных сверхпроводящих материалов // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико -математических наук. Москва. 2013.

[33] Flux pinning by precipitates in the Bi-Sr-Ca-Cu-O system / D. Shi, M.S. Boley, U. Welp, J.G. Chen, Y. Liao // Phys. Rev. B. - 1989. - V. 40. - № 7. - P. 5255-5258.

[34] Flux pinning due to nonsuperconducting particles in melt processed YBaCuO superconductors / M. Murakami, H. Fujimoto, S. Gotoh, K. Yamaguchi, N. Koshizuka, S. Tanaka // Physica C. - 1991. - V. 185-189. - № 1. - P. 321-326.

[35] Paulius, L.M. Enhancement of flux pinning by Pr doping in Y1-xPrxBa2Cu3O7-5 (0<x<0.4) / L.M. Paulius, C.C. Almasan, M.B. Maple // Phys. Rev. B. - 1993. - V. 47.

- № 17. - P. 11627-11630.

[36] Influence of Pb and Nb substitution on pinning and irreversibility behavior of Bi2212 / P.L. Paulose, S. Patil, H. Frank, G. Guntherodt // Physica C. - 1993. - V. 208.

- № 1-2. - P. 11-17.

[37] Increased flux pinning upon thermal-neutron irradiation of uranium-doped YBa2CusO7 / R.L. Fleischer, H.R. Hart, K.W. Lay, F.E. Luborsky // Phys. Rev. B. -1989. - V. 40. - № 4. - P. 2163-2169.

[38] Effect of 5.3-GeV Pb-ion irradiation on irreversible magnetization in Y-Ba-Cu-O crystals / M. Konczykowski, F. Rullier-Albenque, E.R. Yacoby, A. Shaulov, Y. Yeshurun, P. Lejay // Phys. Rev. B. - 1991. - V. 44. - № 13. - P. 7167-7170.

[39] Flux-line pinning in Bi2Sr2Ca1Cu2Ox crystals: interplay of intrinsic 2D behavior and irradiation-induced columnar defects / W. Gerhauser, G. Ries, H.W. Neumuller, W. Schmidt, O. Eibl, G. Saemann-Ischenko, S. Klaumunzer // Phys. Rev. Lett. - 1992. - V. 68. - № 6. - P. 879-882.

[40] Observation of flux creep though columnar defects in YBa2Cu3O7 crystals / M. Konczykowski, V.M. Vinokur, F. Rullier-Albenque, Y. Yeshurun, F. Holtzberg // Phys. Rev. B. - 1993. - V. 47. - № 9. - P. 5531-5534.

[41] Влияние облучения на физические свойства перспективных упорядоченных сверхпроводников / А.С. Александров, В.Е. Архипов, Б.Н. Гощицкий, В.Ф. Елесин. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 221 с.

[42] Artificially induced reconfiguration of the vortex lattice by arrays of magnetic dots / J.I. Martin, M. Velez, A. Hoffmann, I.K. Schuller, J.L. Vicent // Phys. Rev. Lett. -1999. - V. 83. - № 5. - P. 1022-1025.

[43] Vortex phases in superconducting Nb thin films with periodic pinning / J.E. Villegas, E.M. Gonzalez, Z. Sefrioui, J. Santamaria, J.L. Vicent. // Phys. Rev. B. -2005. - V. 72. - № 17. - P. 174512 (1-6).

[44] Transport AC losses in YBCO coated conductors / M. Majoros, L.Ye, A.V. Velichko, T.A. Coombs, M.D. Sumption, E.W. Collings // Supercond. Sci. Technol. -2007. - V. 20. - № 9. - P. S299-S304.

[45] AC losses in coated conductors / F. Gomory, M. Vojenciak, E. Pardo, M. Solovyov, J. Souc // Supercond. Sci. Technol. - 2010. - V. 23. - № 3. - P. 034012(1-9).

[46] Магнитные свойства и пиннинг вихрей в гибридных структурах Pd99Fe01-Nb /

Л.С. Успенская, А.Л. Рахманов, Л.А. Доросинский, А.А. Чугунов, В.С. Столяров, О.В. Скрябина, С.В. Егоров // Письма в ЖЭТФ. - 2013. - Т. 97. - № 3. - С. 176179.

[47] Reduction of the magnetization decay rate in high-Tc superconductors / B.M. Lairson, J.Z. Sun, J.C. Bravman, T.H. Geballe // Phys. Rev. B. - 1990. - V. 42. - № 1. - P. 1008(R)-1011(R).

[48] Reduced flux motion via flux creep annealing in high-Jc single-crystal Y1Ba2Cu3O7 / J.R. Thompson, Y.R. Sun, A.P. Malozemoff, D.K. Christen, H.R. Kerchner, J.G. Ossandon, A.D. Marwick, F. Holtzberg // Appl. Phys. Lett. - 1991. - V. 59. - № 20. -P. 2612-2614.

[49] Смоляк, Б.М. Внутренняя магнитная релаксация в левитирующих сверхпроводниках / Б.М. Смоляк, Г.Н. Перельштейн, Г.В. Ермаков // Письма в ЖТФ. - 2001. - Т. 27. - № 16. - С. 21-26.

[50] Smolyak, B.M. Applications of high-Tc superconductivity / B.M. Smolyak, M.S. Zakharov, G.V. Ermakov, edited by A.M. Luiz. - Rijeka, Croatia: InTech, 2011. - P. 97-118.

[51] Kwasnitza, K. Strong magnetic history dependence of magnetic relaxation in high-Tc superconductors / K. Kwasnitza, Ch. Widmer // Physica C. - 1991. - V. 184. - № 46. - P. 341-352.

[52] Kwasnitza, K. Methods for reduction of flux creep in high and low Tc type II superconductors / K. Kwasnitza, Ch. Widmer // Cryogenics. - 1993. - V. 33. - № 3. -P. 378-381.

[53] Uspenskaya, L.S. Specific features of relaxation of an alternating flux in YBCO plates / L.S. Uspenskaya, D.N. Kontuganov, A.B. Kulakov // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. - 2007. - V. 71. - № 8. - P. 1136-1138.

[54] Stopping of levitation force relaxation in superconductors: the flux-locking effect / B.M. Smolyak, G.N. Perelshtein, G.V. Ermakov, E.V. Postrekhin // Physica C. - 2000. - v. 341-348. - № 2. - P. 1129-1130.

[55] Матизен, Э.В. Влияние переменного поля на релаксацию магнитного потока в джозефсоновской среде // ЖЭТФ. - 1997. - Т. 111. - № 3. - С. 1047-1056.

[56] Rudnev, I.A. Suppression of magnetic levitation force in melt-textured YBa2Cu307_x superconductors by a transverse AC magnetic field / I.A. Rudnev, Y.S. Ermolaev // J. Phys.: Conf. Series. - 2008. - V. 97. - № 1. - P. 012006(1-4).

[57] Collapse of the magnetic moment in a hard superconductor under the action of a transverse ac magnetic field / L.M. Fisher, A.V. Kalinov, S.E. Savel'ev, I.F. Voloshin, V.A. Yampol'skii, M.A.R. LeBlanc, S. Hirscher // Physica C. - 1997. - V. 278. - № 34. - P. 169-179.

[58] Strong shift of the irreversibility line in high-Tc superconductors upon vortex shaking with an oscillating magnetic field / M. Willemin, C. Rossel, J. Hofer, H. Keller, A. Erb, E. Walker // Phys. Rev. B. - 1998. - V. 58. - № 10. - P. R5940-R5943.

[59] Smolyak, B.M. The effect of ac magnetic fields on the lifting power of levitating superconductors / B.M. Smolyak, G.V. Ermakov, L.I. Chubraeva // Supercond. Sci. Technol. - 2007. - V. 20. - № 4. - P. 406-411.

[60] Brandt, E.H. Reversible magnetic behavior of superconductors forced by a small transverse ac magnetic field / E.H. Brandt, G.P. Mikitik // J. Low Temp. Phys. - 2003. -V. 131. - № 5-6. - P. 1033-1042.

[61] Suppression of magnetic relaxation processes in melt-textured YBa2Cu3Ox superconductors by a transverse ac magnetic field / L.M. Fisher, A.V. Kalinov, I.F. Voloshin, V.A. Yampol'skii // Phys. Rev. B. - 2005. - V. 71. - № 14. - P. 140503-(1-4).

[62] Suppression of magnetic relaxation by a transverse alternating magnetic field / I.F. Voloshin, A.V. Kalinov, L.M. Fisher, V.A. Yampol'skii // J. Exp. Theor. Phys. - 2007. - V. 105. - № 1. - P. 278-282.

[63] Smolyak, B.M. Elimination of magnetic relaxation in superconductors on approaching a ferromagnet / B.M. Smolyak, G.V. Ermakov // Physica C. - 2010. - V. 470. - № 3. - P. 218-220.

[64] Смоляк, Б.М. Подавление магнитной релаксации в высокотемпературном сверхпроводнике, помещенном вблизи ферромагнетика / Б.М. Смоляк, Г.В. Ермаков // Письма в ЖТФ. - 2010. - Т. 36. - № 10. - P. 39-44.

[65] Konczykowski, M. Local Hall probe magnetometry: a new technique for investigation of magnetic flux penetration, exclusion and trapping in HTSC / M. Konczykowski, F. Holtzberg, P. Lejay // Supercond. Sci. Technol. - 1991. - V. 4. - № 1S. - P. S331-S333.

[66] Local magnetic relaxation in high-temperature superconductors / Y. Abulafia, A. Shaulov, Y. Wolfus, R. Prozorov, L. Burlachkov, Y. Yeshurun, D. Majer, E. Zeldov, V.M. Vinokur // Phys. Rev. Lett. - 1997. - V. 75. - № 12. - P. 2404-2407.

[67] Measurement of the stray field emanating from magnetic force microscope tips by Hall effect microsensors / A. Thiaville, L. Belliard, D. Majer, E. Zeldov, J. Miltat // J. Appl. Phys. - 1997. - V. 82. - № 7. - P. 3182-3191.

[68] Irreversible behavior of oriented grained YBa2Cu3Ox. Part 2: relaxation phenomena / C. Keller, H. Kupfer, R. Meier-Hirmer, U. Wiech, V. Selvamanickam, K. Salama // Cryogenics. - 1990. - V. 30. - № 5. - P. 410-416.

[69] Smolyak, B.M. Retardation of the magnetic relaxation in high-temperature superconductors near a ferromagnet / B.M. Smolyak, G.V. Ermakov, M.S. Zakharov // J. Supercond. Nov. Magn. - 2011. - V. 24. - № 1-2. - P. 325-329.

[70] Brandt, E.H. Determination of currents in flat superconductors / E.H. Brandt // Phys. Rev. B. - 1992. - V. 46. - № 13. - P. 8628-8631.

[71] Brandt, E.H. Superconductors of finite thickness in a perpendicular magnetic field: strips and slabs / E.H. Brandt // Phys. Rev. B. - 1996. - V. 54. - № 6. - P. 4246-4264.

[72] Prigozhin, L. Analysis of critical-state problems in type-II superconductivity / L. Prigozhin // IEEE Trans. Appl. Supercond. - 1997. - V. 7. - № 4. - P. 3866-3873.

[73] AC transport losses calculation in a Bi-2223 current lead using thermal coupling with an analytical formula / K. Berger, J. Leveque, D. Netter, B. Douine, A. Rezzoug // IEEE Trans. Appl. Supercond. - 2005. - V. 15. - № 2. - P. 1508-1511.

[74] Hong, Z. Numerical solution of critical state in superconductivity by finite element software / Z. Hong, A.M. Campbell, T.A. Coombs // Supercond. Sci. Technol. - 2006. -V. 19. - № 12. - P. 1246-1252.

[75] Ruiz-Alonso, D. Computer modelling of high-temperature superconductors using an A-V formulation / D. Ruiz-Alonso, T.A. Coombs, A.M. Campbell // Supercond. Sci. Technol. - 2004. - V. 17. - № 5. - P. S305-S310.

[76] Finite-element modeling of superconductors: from 2-D to 3-D / F. Grilli, S. Stavrev, Y. Le Floch, M. Costa-Bouzo, E. Vinot, I. Klutsch, G. Meunier, P. Tixador, B. Dutiot // IEEE Trans. Appl. Supercond. - 2005. - V. 15. - № 1. - P. 17-25.

[77] Numerical simulation of the magnetization of high-temperature superconductors: a 3D finite element method using a single time-step iteration / G.P. Lousberg, M. Ausloos, C. Geuzaine, P. Dular, P. Vanderbemden, B. Vanderheyden // Supercond. Sci. Technol. - 2009. - V. 22. - № 5. - P. 055005(1-9).

[78] Numerical modelings of superconducting wires for AC loss calculations / N. Amemiya, S.-I. Murasawa, N. Banno, K. Miyamoto // Physica C. - 1998. - V. 310. - № 1-4. - p. 16-29.

[79] Thermal-electromagnetic modeling of superconductors / P. Tixador, G. David, T. Chevalier, G. Meunier, K. Berger // Cryogenics. - 2007. - V. 47. - № 11-12. - P. 539545.

[80] Brambilla, R. Development of an edge-element model for AC loss computation of high-temperature superconductors / R. Brambilla, F. Grilli, L. Martini // Supercond. Sci. Technol. - 2007. - V. 20. - № 1. - P. 16-24.

[81] Evaluation of two commercial finite element packages for calculating AC losses in 2-D high temperature superconducting strips / F. Sirois, M. Dione, F. Roy, F. Grilli, B. Dutoit // J. Phys.: Conf. Ser. - 2008. - V. 97. - № 1. - P. 012030(1-6).

[82] Grilli, F. Modeling high-temperature superconducting tapes by means of edge finite elements / F. Grilli, R. Brambilla, L. Martini // IEEE Trans. Appl. Supercond. -2007. - V. 17. - № 2. - P. 3155-3158.

[83] Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 428 с.

[84] Brandt, E.H. Superconductor disks and cylinders in an axial magnetic field. I. Flux penetration and magnetization curves / E.H. Brandt // Phys. Rev. B. - 1998. - V. 58. -№ 10. - P. 6506-6522.

[85] Comparison of the AC losses of BSCCO and YBCO conductors by means of numerical analysis / S. Stavrev, F. Grilli, B. Dutoit, S.P. Ashworth // Supercond. Sci. Technol. - 2005. - V. 18. - № 10. - P. 1300-1312.

[86] Theoretical and experimental study of AC loss in high temperature superconductor single pancake coils / J. Souc, E. Pardo, M. Vojenciak, F. Gomory // Supercond. Sci. Technol. - 2009. - V. 22. - № 1. - P. 015006(1-11).

[87] Yamasaki, H. Current-voltage characteristics and flux creep in melt-textured YBa2Cu3O7-5 / H. Yamasaki, Y. Mawatari // Supercond. Sci. Technol. - 2000. - V. 13. -№ 2. - P. 202-208.

[88] Алиевский, Б.Л. Расчет параметров магнитных полей осесимметричных катушек: Справочник / Б.Л. Алиевский, В.Л. Орлов. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 112 с.

[89] Smolyak, B.M. Slowing-down of the vortex motion in the flux creep process by counter forces exerted on the vortex ends / B.M. Smolyak, M.S. Zakharov // Supercond. Sci. Technol. - 2012. - V. 25. - № 12. - P. 125019(1-5).

[90] Zakharov, M.S. Effect of external nonuniform magnetic field on flux creep process in superconductor / M.S. Zakharov, B.M. Smolyak, G.V. Ermakov // J. Supercond. Nov. Magn. - 2013. - V. 26. - № 5. - P. 2013-2016.

[91] Vortex-antivortex annihilation dynamics in a square mesoscopic superconducting cylinder / E. Sardella, P.N. Lisboa-Filho, C.C. de Souza Silva, L.R.E. Cabral, W.A. Ortiz // Phys. Rev. B. - 2009. - V. 80. - № 1. - P. 012506(1-4).

[92] Mechanics of individual isolated vortices in a cuprate superconductor / O.M. Auslaender, L. Luan, E.W.J. Straver, J.E. Hoffman, N.C. Koshnick, E. Zeldov, D.A. Bonn, R. Liang, W.N. Hardy, K.A. Moler // Nature Phys. - 2009. - V. 5. - № 1. - P. 35-39.

[93] Brandt, E.H. Nanomechanics of an individual vortex in an anisotropic type-II superconductor / E.H. Brandt, G.P. Mikitik, E. Zeldov // Phys. Rev. B. - 2009. - V. 80.

- № 5. - P. 054513(1-10).

[94] Тамм, И.Е. Основы теории электричества: Учеб. пособие для вузов. - 10-е изд. испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 504 с.

[95] Hull, J.R. Superconducting bearings / J.R. Hull // Supercond. Sci. Technol. - 2000.

- V. 13. - № 2. - P. R1-R15.

[96] Lateral-displacement influence on the levitation force in a superconducting system with translational symmetry / N. Del-Valle, A. Sanchez, C. Navau, D.-X. Chen // Appl. Phys. Lett. - 2008. - V. 92. - № 4. - P. 042505(1-3).

[97] Tsuda, M. 'Electromaglev' ('active-maglev') - magnetic levitation of a superconducting disk with a DC field generated by electromagnets: Part 3. Theoretical results on levitation height and stability / M. Tsuda, H. Lee, Y. Iwasa // Cryogenics. -1998. - V. 38. - № 7. - P. 743-756.

[98] Ландау, Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц.

- 2-е изд. испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - 621 с.

[99] Levitation forces, relaxation and magnetic stiffness of melt-quenched YBa2Cu3Ox / F.C. Moon, P.-Z. Chang, H. Hojaji, A. Barkatt, A.N. Thorpe // Jpn. J. Appl. Phys. -1990. - V. 29. - № 7. - P. 1257-1258.

[100] Logarithmic relaxation in the levitation force in a magnet-high Tc superconductor system / A.B. Riise, T.H. Johansen, H. Bratsberg, Z.J. Yang // Appl. Phys. Lett. - 1992.

- V. 60. - № 18. - P. 2294-2296.

[101] Temperature dependency of levitation force and its relaxation in HTS / T. Suzuki, E. Ito, T. Sakai, S. Koga, M. Murakami, K. Nagashima, Y. Miyazaki, H. Seino, N. Sakai, I. Hirabayashi, K. Sawa // IEEE Trans. Appl. Supercond. - 2007. - V. 17. - № 2.

- P. 3020-3023.

[102] A study on levitation force and its time relaxation behavior for a bulk superconductor-magnet system / T. Suzuki, S. Araki, K. Koibuchi, K. Ogawa, K. Sawa, K. Takeuchi, M. Murakami, K. Nagashima, H. Seino, Y. Miyazaki, N. Sakai, I. Hirabayashi, Y. Iwasa // Physica C. - 2008. - V. 468. - № 15-20. - P. 1461-1464.

[103] Zhang, X.-Y. Suppression of magnetic relaxation in a magnet-high Tc superconductor system / X.-Y. Zhang, Y.-H. Zhou, J. Zhou // IEEE Trans. Appl. Supercond. - 2008. - V. 18. - № 3. - P. 1687-1691.

[104] Relaxation properties of magnetic force between a magnet and superconductor in an unsymmetrical levitation system / X.-Y. Zhang, J. Zhou, Y.-H. Zhou, X.-W. Liang // Supercond. Sci. Technol. - 2009. - V. 22. - № 2. - P. 025006(1-5).

[105] Parthasarathy, R. Near-oscillatory relaxation behavior of levitation force in infiltration and growth processed bulk YBCO/Ag superconducting composites / R. Parthasarathy, M.M. Lakshmi, V. Seshubai // Physica C. - 2011. - V. 471. - № 13-14. -P. 395-399.

[106] Calculation of the hysteretic force between a superconductor and a magnet / M.J. Qin, G. Li, H.K. Liu, S.X. Dou, E.H. Brandt // Phys. Rev. B. - 2002. - V. 66. - № 2. -P. 024516(1-11).

[107] Краснюк, Н.Н. Левитация керамики YBa2Cu3O7-x в магнитном поле / Н.Н. Краснюк, В.П. Митрофанов // Сверхпроводимость: физика, химия, техника. -1990. - Т. 3. - № 2. - С. 164-168.

[108] Terentiev, A.N. Drift of levitated YBCO superconductor induced by both a variable magnetic field and a vibration / A.N. Terentiev, A.A. Kuznetsov // Physica C. -1992. - V. 195. - № 1-2. - P. 41-46.

[109] Смоляк, Б.М. Замедление магнитной релаксации в левитирующих сверхпроводниках / Б.М. Смоляк, Г.Н. Перельштейн, Г.В. Ермаков // Письма в ЖТФ. - 2006. - Т. 32. - № 3. - С. 8-13.

[110] Critical-current density analysis of force and stability in maglev systems / A. Sanchez, N. Del-Valle, C. Navau, D.-X. Chen // J. Appl. Phys. - 2009. - V. 105. - № 2. - P. 023906(1-3).

[111] Smolyak, B.M. On the force relaxation in the magnetic levitation system with a high-rc superconductor / B.M. Smolyak, M.S. Zakharov // Supercond. Sci. Technol. -2014. - V. 27. - № 5. - P. 055018(1-5).