Подавление автомодуляционных неустойчивостей в распределенных радиофизических системах с запаздыванием при помощи методики управления хаосом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Хаврошин, Олег Сергеевич

• Хаврошин, Олег Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хаврошин, Олег Сергеевич

Введение.

Глава 1. Методика управления хаосом и ее применение для подавления автомодуляции в автогенераторе с кубичной нелинейностью и запаздыванием.

1.1. Модель автогенератора с кубичной нелинейностью и запаздыванием.

1.2. Метод управления хаосом.

1.3. Анализ упрощенной модели в виде точечного отображения.

1.4. Результаты численного моделирования.

1.5. Подавление режимов развитого хаоса и управляемая мультистабильность.

1.6. Сопоставление с известными методами управления хаосом в системах с запаздыванием.

1.7. Выводы.

Глава 2. Подавление автомодуляции в двухрезонаторном клистроне-генераторе с запаздыванием.

2.1. Модель генератора и основные уравнения.

2.2. Упрощенная модель в виде точечного отображения.

2.3. Результаты численного моделирования.

2.3.1. Динамика системы в центре зоны генерации.

2.3.2. Динамика системы при отстройке от центра зоны генерации.

2.4. Выводы.

Глава 3. Применение методики управления хаосом для улучшения характеристик усилителей и генераторов на основе лампы бегущей волны.

3.1. Основные уравнения нестационарной нелинейной теории ЛБВ.

3.2. Численное моделирование подавления автомодуляции в ЛБВ—генераторе.

3.3. Применение дополнительной обратной связи для подавления пульсаций коэффициента усиления ЛБВ, вызванных отражениями от границ.!.

3.4. Выводы.

Глава 4. Подавление неустойчивостей в кольцевом резонаторе, содержащем среду с кубичной фазовой нелинейностью (система Икеды).

4.1. Модель и основные уравнения.

4.2. Упрощенная модель в виде точечного отображения.1.

4.2.1. Вывод модифицированного отображения Икеды.

4.2.2. Анализ характеристического уравнения.

4.2.3. Приближение низко добротного резонатора.

4.2.4. Результаты численного моделирования.

4.3. Распределенная пространственно-временная модель кольцевого резонатора.

4.3.1. Динамика пространственно-временной модели системы Икеды.

4.3.2. Подавление автомодуляции в случае слабой дисперсии.

4.3.3. Подавление автомодуляции в случае сильной дисперсии.

4.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Подавление автомодуляционных неустойчивостей в распределенных радиофизических системах с запаздыванием при помощи методики управления хаосом»

Актуальность темы диссертации. В последние годы большое внимание исследователей привлекает проблема управления хаосом. Впервые этот термин был введен в работе [1], где был предложен метод стабилизации неустойчивых периодических орбит системы с хаотической динамикой путем малых контролирующих воздействий, что позволяет реализовать устойчивое периодическое поведение в той области параметров, где в отсутствие управления динамика является хаотической. В настоящее время управление хаосом превратилось в активно развивающееся направление нелинейной динамики, и этой проблеме посвящено множество работ, включая монографии и обзоры (см., например, [2-5]). Среди многочисленных методов управления хаосом наибольшую популярность приобрел метод Пирагаса или так называемая автосинхронизация запаздывающей обратной связью [6]. Суть этого метода состоит во введении дополнительной обратной связи (ОС) с временем задержки, примерно равным периоду движения, которое желательно стабилизировать. Основным достоинством метода Пирагаса является его конструктивная простота. Работоспособность этого метода была подтверждена многочисленными экспериментами. В частности, в литературе описывается его применение в лазерах, газоразрядных трубках, при стабилизации турбулентности в течении Тейлора-Куэтта, в электрохимических реакциях, для управления ферромагнитным резонансом, а также в биологических системах, например, для подавления сердечной аритмии (см. обзор [7] и цитированную там литературу). Однако метод Пирагаса не лишен ряда недостатков, основным из которых является низкая эффективность в случае стабилизации движения с достаточно малым периодом. В дальнейшем этот метод изучался и совершенствовался во многих работах (см. обзор [7]).

Следует отметить, что сравнительно мало изучено управление хаосом,в распределенных автоколебательных системах (обзор некоторых исследований можно найти в [8]). В частности, практически не охваченными являются системы с запаздывающей обратной связью (ОС), которые играют важную роль в самых разных областях физики, таких как радиофизика и электроника [9,10], нелинейная оптика [11,12], физика и техника ускорителей [13], физика атмосферы [14,15], а также в моделях биологии [16], медицины [17], экономики, экологии и социальных наук [18]. Хорошо известно, что подобные системы способны демонстрировать сложное, в том числе, хаотическое поведение [9,19,20]. Хотя задача управления хаосом в системах с запаздыванием рассматривалась ранее в нескольких работах [21-23], следует отметить, что эти работы носят в основном математический характер. Они игнорируют специфические особенности сложной динамики систем с запаздыванием, а возможность практического применения предложенных в них методов для управления хаосом в реальных радиофизических системах вызывает вопросы. Кроме того, отметим, что основное внимание в работах [2123] уделялось вопросам стабилизации неустойчивых неподвижных точек. Эта задача важна для ряда приложений, в частности, для обработки информации с помощью нейронных сетей, однако для радиофизики представляет существенно меньший интерес, чем задача о стабилизации высокочастотных периодических колебаний.

В работе [24] была предложена модификация метода Пирагаса для систем с запаздыванием. В этом случае необходимо правильно подбирать точки ввода и вывода сигнала из цепи ОС, поскольку на достаточно высоких частотах запаздывание сигнала при прохождении между этими точками может быть достаточно существенным. Метод был реализован экспериментально для электрооптической системы с полупроводникоI вым лазерным диодом в качестве активного элемента и позволил стабилизировать периодические колебания тока в цепи ОС с частотой порядка 100 МГц.

Среди автоколебательных систем с запаздыванием особую роль играют приборы вакуумной сверхвысокочастотной (СВЧ) электроники, в частности, генераторы на основе таких широко распространенных приборов, как пролетные клистроны и лампы бегущей волны (ЛБВ). Хотя режимы сложной динамики в подобных системах изучаются уже много лет, вопросы управления хаосом в них практически не рассматривались. Можно упомянуть лишь работу [25] (см. также обзор [26]), где был предложен метод подавления автомодуляции в лампе обратной волны. Метод основан на модуляции тока электронного пучка продетектированным выходным сигналом, поступающим на модулирующий электрод по цепи внешней обратной связи со специально подобранным временем запаздывания. В отличие от метода Пирагаса, время задержки в данном случае определяется не периодом неустойчивого движения, а периодом автомодуляции, который существенно больше. Это облегчает стабилизацию СВЧ колебаний.

В целом вопросы управления хаосом в радиофизических системах с запаздыванием, в особенности — в приборах микроволновой электроники, изучены сравнительно мало. Представляется весьма актуальным предложить методы управления хаосом в подобных системах, что позволило бы решить практически важную задачу подавления различных паразитных неустойчивостей, приводящих к возникновению автомодуляции, т.е. многочастотных или хаотических режимов генерации. За счет этого можно было бы расширить диапазон параметров, в котором генерируются устойчивые режимы одночастотных колебаний, а также повысить выходную мощность и КПД генерации в одночастотном режиме.

Целью диссертационной работы является разработка эффективного способа подавления автомодуляции в радиофизических распределенных автоколебательных системах с запаздывающей ОС на основе методики управления хаосом, позволяющего расширить диапазон устойчивости одночастотных режимов и повысить выходную мощность генерации.

Объект, методы и предмет исследования. Объектом исследования являются радиофизические распределенные системы с запаздывающей обратной связью. Конкретно рассматриваются кольцевая автоколебательная система типа «усилитель-фильтр-линия задержки» с кубичной нелинейностью, модели автогенераторов СВЧ диапазона на основе двухрезонаторного клистрона и ЛБВ, а также кольцевой оптический резонатор, содержащий среду с кубичной фазовой нелинейностью (система Ике-ды). Данные системы исследуются аналитическими и численными методами. Разработаны упрощенные модели в виде точечных отображений, для которых получены аналитические формулы, определяющие границы устойчивости стационарных режимов колебаний. Более сложные модели, описывающиеся дифференциальными уравнениями с запаздыванием или уравнениями в частных производных с граничными условиями, содержащими запаздывание, исследуются путем компьютерного моделирования.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Включение в автоколебательную систему с запаздыванием дополнительной цепи обратной связи (ОС), параметры которой подбираются таким образом, что после прохождения двух ветвей цепи ОС компоненты сигналов на основной частоте имеют одинаковую фазу, а компоненты сигналов на паразитных частотах — противоположную, позволяет подавить режимы автомодуляции, включая хаотические со сплошным спектром, и стабилизировать одночастотные колебания в широком диапазоне управляющих параметров.

2. Применение разработанной методики управления хаосом посредством дополнительной обратной связи является наиболее эффективным в случае, когда параметр у, имеющий смысл произведения времени запаздывания на ширину полосы пропускания системы, достаточно велик (у >3). При этом наибольшее повышение порога автомодуляции наблюдается, когда параметр к, определяющий отношение ам плитуд сигналов в управляющей и основной цепях ОС принимает значения к ~ 0.3-^0.4.

3. В клистроне-генераторе введение дополнительной цепи запаздывающей ОС позволяет в 1.8—2 раза повысить ток пучка, при котором возникает автомодуляция, при неизменной глубине ОС. При этом в центре зоны генерации максимально достижи1 мая выходная мощность увеличивается более чем в 1.5 раза, а КПД снижается в 1.25 раза по сравнению с генератором с одной цепью ОС. При отстройке фазы управляющей ОС примерно па п от значения, соответствующего центру зоны генерации, мощность увеличивается более чем в 3 раза. 4. В генераторе на основе лампы бегущей волны введение дополнительной цепи запаздывающей ОС позволяет повысить ток пучка, при котором возникает автомодуляция, примерно в два раза при неизменной глубине ОС. При стабилизации режима генерации основной собственной моды максимально достижимая выходная мощность увеличивается в 1.88 раза, а КПД снижается в 1.25 раза по сравнению с генератором с одной цепью ОС. При стабилизации режимов генерации собственных мод с более высокими частотами выходная мощность может быть увеличена в 3.8 раза, а КПД —в 1.64 раза.

Научная новизна. В диссертации предложен новый метод подавления неустой-чивостей в распределенных автоколебательных системах с запаздыванием, основанный на введении дополнительной цепи запаздывающей обратной связи. Метод существенно отличается от известных конструктивной простотой и применимостью для широкого класса систем различных диапазонов длин волн, включая микроволновый и оптический. Впервые изучено применение разработанного метода для подавления автомодуляции, включая хаотические режимы со сплошным спектром, в различных радиофизических системах с запаздыванием: генератор с кубичной нелинейностью, генераторы на основе двухрезонаторного пролетного клистрона и лампы бегущей волны, кольцевой оптический резонатор, содерясащий среду с кубичной фазовой нелинейностью. Выяв лены оптимальные параметры, при которых применение метода обеспечивает наибольшее увеличение выходной мощности и, в ряде случаев, КПД в режиме одночастот-ной генерации по сравнению с традиционными конструкциями, содержащими единственную цепь обратной связи.

Практическая значимость. В диссертации рассматриваются автоколебательные системы с запаздыванием, которые находят широкое практическое применение, в частности, для генерации электромагнитных колебаний различных диапазонов длин волн. Развитие разного рода неустойчивостей в таких системах приводит к возникновению автомодуляции, что ограничивает мощность генерации. Предложенный в диссертации метод подавления автомодуляции позволяет улучшить ряд важных для практики характеристик: значительно (в 2-3 раза) увеличить диапазон управляющих параметров, в котором реализуются устойчивые режимы одночастотной генерации, существенно повысить выходную мощность и, в ряде случаев, КПД генерации. Интерес для ряда приложений представляет обнаруженная возможность переключения между режимами генерации различных собственных мод при варьировании фазы управляющей ОС. Также показана возможность использования дополнительной внешней ОС для подавления пульсаций частотной зависимости коэффициента усиления ЛБВ—усилителя, возникающих за счет отражений.

Результаты диссертации использовались в Саратовском госуниверситете при выполнении НИР, поддержанных грантами РФФИ (№№ 05-02-16931, 06-02-16773, 0902-00707) и аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (№ 2.1.1/1738).

Результаты диссертации также используются в учебном процессе на Факультете нелинейных процессов СГУ при чтении лекционного курса «Современные проблемы физики открытых нелинейных систем».

Личный вклад соискателя. Все основные результаты, включенные в диссертацию, получены лично соискателем. Соискателем написаны все программы компьютерного моделирования, проведены численные эксперименты, выполнен теоретический анализ упрощенных моделей. Обсуждение и интерпретация результатов осуществлялись совместно с научным руководителем.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием широко апробированных и хорошо зарекомендовавших себя методов численного моделирования, соответствием результатов теоретического анализа и численного моделирования, совпадением результатов, полученных с помощью различных численных методов, воспроизведением в качестве тестовых расчетов достоверных общепризнанных результатов, известных из литературы.

Апробация и публикации. Результаты диссертации неоднократно докладывались на ежегодных школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (2006-2008), I-IV конференциях молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006-2009), 13-й Международной школе-конференции «Foundations & Advances in Nonlinear Science» (Минск, Беларусь, 2006), Международных школах для студентов и молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике Saratov Fall Meeting (Саратов, 2006-2008), XIII и XIV Зимних школах-семинарах по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 2006, 2009), VII Международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2007), Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Саратов, 2008), Международной школе-семинаре «Статистическая физика и J информационные технологии» Б1аПпГо-2009 (Саратов, 2009). Результаты также обсуждались на объединенных научных семинарах кафедры нелинейной физики и кафедры электроники, колебаний и волн СГУ и на научном семинаре Саратовского филиала ИРЭ РАН. По материалам диссертации опубликовано 18 работ [105-122], включая 5 статей в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук, 4 статьи в других изданиях, 9 тезисов докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения, двух приложений и списка литературы. Работа содержит 141 страницу текста, включая 48 рисунков и графиков, 2 таблицы и список литературы из 122 наименований.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Хаврошин, Олег Сергеевич

4.4. Выводы

В данной главе исследовано применение предложенного в гл. 1 метода управления хаосом для подавления неустойчивостей в одной из наиболее известных моделей нелинейной динамики — системы Икеды. Показано, что в случае, когда дисперсия пренебрежимо мала, динамику системы можно приближенно описать при помощи четырехмерного точечного отображения, являющегося обобщением известного отображения Икеды. Проведен теоретический анализ устойчивости неподвижных точек этого отображения, позволивший аналитически построить линии возникновения различных бифуркаций (удвоения периода, Неймарка-Сакера, касательной бифуркации) на плоскостях управляющих параметров. Представлены результаты численного моделирования, хорошо согласующиеся с теорией. Показано, что при определенных значениях па

Подавление неустойчивостей в системе Икеды раметров удается значительно расширить область устойчивости одночастотных колебаний.

В случае, когда пренебрегать эффектами дисперсии нельзя, необходимо обратиться к исследованию пространственно-временной распределенной модели, описываемой НУШ (4.1) с запаздывающим граничным условием (4.5). Результаты показывают, что при достаточно слабой дисперсии хорошо работает приближенное описание на основе точечного отображения. Более сложный характер носит динамика системы в случае сильной дисперсии, когда нестационарное поведение в основном обусловлено не неустойчивостью Икеды, а модуляционной неустойчивостью. Тем не менее, и в этом случае соответствующий подбор времени задержки в управляющей цепи обратной связи позволяет стабилизировать режим одночастотных колебаний в достаточно широкой области параметров. В частности, удается подавить не только многочастотные режимы периодической и квазипериодической автомодуляции, но и хаотические колебания со сплошным спектром.

В заключение отметим, что рассматривавшаяся в данной главе математическая модель кольцевого резонатора носит достаточно общий характер и может быть применена для описания широкого класса систем, содержащих среду с кубичной фазовой нелинейностью и цепь ОС. Например, в радиодиапазоне подобные системы можно конст руировать на основе нелинейных ¿С-цепочек, в микроволновом диапазоне — на основе ферромагнитных пленок, и т.д.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертационной работе идея управления хаосом используется для подавления паразитных неустойчивостей в радиофизических распределенных автоколебательных системах с запаздыванием. Предложен способ подавления автомодуляции, основанный на введении дополнительной цепи обратной связи (ОС), параметры которой подбираются таким образом, что после прохождения двух ветвей цепи ОС компоненты сигналов на основной частоте имеют одинаковую фазу, а компоненты сигналов на паразитных частотах — противоположную, подавляя таким образом друг друга. Сопоставление с известными из литературы методами управления хаосом в системах с запаздыванием показывает, что предложенный метод является оригинальным и имеет ряд существенных преимуществ. Он отличается конструктивной простотой и может использоваться, вообще говоря, для широкого класса автогенераторов с запаздыванием различных диапазонов длин волн. Метод устойчив к расстройке управляющих параметров: изменение фазы и задержки в управляющей цепи ОС в пределах нескольких процентов от оптимальных значений приводит к снижению порога автомодуляции не более чем на 10%.

Применение метода продемонстрировано на примере широкого круга систем с запаздыванием, в которых автомодуляция возникает по различным механизмам. Рассмотрены кольцевая автоколебательная система типа «усилитель-фильтр-линия задержки» с кубичной нелинейностью, модели автогенераторов СВЧ диапазона на основе 1 двухрезонаторного клистрона и ЛБВ, а также кольцевой оптический резонатор, содержащий среду с кубичной фазовой нелинейностью (система Икеды). Показана возможность подавления автомодуляции, в том числе, хаотической, включая режимы гиперхаоса, которые возникают вблизи границ зон генерации. При этом значительно расширяется диапазон параметров, в котором устойчивы одночастотные режимы колебаний, I и увеличивается мощность одночастотной генерации.

Развиты упрощенные модели рассматриваемых систем в виде четырехмерных точечных отображений, для которых найдены аналитические выражения, определяющие границы устойчивости одночастотного режима на плоскостях управляющих параметров. Обнаружено, что максимальное увеличение порога автомодуляции достигается при к = 1/3, где к — параметр, определяющий отношение амплитуд сигналов в управляющей и основной ветвях цепи ОС.

Показано, что наибольшее увеличение мощности генерации обеспечивается в случае, когда число мод, попадающих в полосу пропускания системы достаточно велико, т.е. у »1, где параметр у имеет смысл произведения времени задержки на ширину полосы пропускания. В частности, для кольцевого автогенератора с кубичной нелинейностью диапазон параметров, в котором стационарный режим является устойчивым, расширяется примерно в 2.5 раза, а максимальная мощность колебаний увеличивается примерно на 40%. Для клистрона-генератора в центре зоны генерации ток пучка, при котором возникает автомодуляция, увеличивается в 1.8—2 раза при неизменной глубине ОС. При этом мощность генерации увеличивается в 1.5 раза, а КПД уменьшается в 1.25 раза. При отстройке фазы управляющей ОС примерно на я от значения, соответствующего центру зоны генерации, удается увеличить мощность более чем в 3 раза.

Для ЛБВ-генератора применение развитого метода позволяет повысить ток пучка, при котором возникает автомодуляция, примерно в два раза. Когда стабилизируются колебания на основной собственной моде, выходная мощность увеличивается в 1.88 раза, а КПД снижается и составляет примерно 0.81 от максимального значения, которое в отсутствие управления достигается вблизи порога автомодуляции. Если же стабилизировать одночастотные колебания на собственных модах с более высоким частотами, удается повысить выходную мощность в 3.8 раза, а КПД — в 1.64 раза. Также показана возможность использования дополнительной внешней ОС для подавления пульсаций частотной зависимости коэффициента усиления ЛБВ-усилителя, возникающих за счет отражений. ,

Следует, однако, заметить, что исследование подавления автомодуляции в генераторах на основе ЛБВ и клистронов проведено для случая, когда модуляция по скорости полагается малой, а также не учитываются силы пространственного заряда. Таким образом, приведенные выше количественные характеристики относятся к случаю, когда КПД генерации достаточно мал.

Установлено, что применение метода позволяет стабилизировать режимы стационарной генерации на различных собственных модах. При этом, изменяя фазу управляющей цепи ОС при неизменных остальных параметрах, можно осуществлять переключения между различными модами, т.е. реализовать управляемую мультиста-бильность. I

Показана возможность подавления различных неустойчивостей в кольцевом резонаторе, содержащем среду с кубичной фазовой нелинейностью. При слабой дисперсии, когда автомодуляция обусловлена неустойчивостью Икеды, в зависимости от фазы обратной связи возможны два типа зависимости порога автомодуляции от параметра к. В одном случае максимальная амплитуда входного сигнала, при которой возникает неустойчивость, определяется точкой пересечения линий бифуркаций удвоения периода и

Неймарка-Сакера при к = 1/3 . В другом случае, когда эти линии не пересекаются, границей устойчивости одночастотного режима служит линия складки, и в области к ~ 0.3 -г 0.4 можно получить одночастотные колебания в широком диапазоне изменения интенсивности внешнего сигнала. В целом, в зависимости от параметров, развитый метод позволяет увеличить амплитуду входного сигнала, при которой возникает автомодуляция, в 1.5-2 раза.

В случае сильной дисперсии, когда динамика системы определяется модуляционной неустойчивостью, на стадии автомодуляции происходит возбуждение нескольких собственных мод резонатора. В этом случае необходимо подбирать параметры управляющей цепи ОС таким образом, чтобы условия подавления приближенно выполнялись для различных паразитных мод. При этом также удается повысить пороговое значение амплитуды входного сигнала примерно в два раза.

В заключение, выражаю благодарность Никите Михайловичу Рыскину за научное руководство, наставления и неоценимую помощь при работе над диссертацией. Также хочу особо поблагодарить Артема Александровича Балякина за поддержку, сотрудничество и научное руководство в студенческие годы. Александра Петровича Кузнецова и Сергея Петровича Кузнецова хочу поблагодарить за плодотворные обсуждения результатов и полезные советы.

Конечно-разностная схема численного моделирования ЛБВ-генератора с запаздыванием

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хаврошин, Олег Сергеевич, 2009 год

1. OttE., GrebogiC., YorkeJ.A. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol.64, No. 11. P. 1196-1199.

2. Kapitaniak T. Controlling chaos: Theoretical and practical methods in non-linear dynamics. London: Academic Press, 1996. 196 p.

3. Фрадков A.Jl. Кибернетическая физика: принципы и примеры. СПб: Наука, 2003. 208 с.

4. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Управление хаосом: методы и приложения. 4.1. Методы // Автоматика и телемеханика. 2003. № 5. С. 3-45.

5. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Управление хаосом: методы и приложения. 4.2. Приложения // Автоматика и телемеханика. 2004. № 4. С. 3-34.

6. Pyragas К. Continuous control of chaos by self-controlling feedback // Phys. Lett. A. 1992. Vol. 170. P. 421-428.

7. Just W., Benner H., Schoell E. Control of chaos by time-delayed feedback: A survey of theoretical and experimental aspects // In: B. Kramer (Ed.), Advances in Solid State Physics. Vol. 43, Springer, Berlin, 2003. P. 589-603.

8. Трубецков Д.И., Храмов A.E. Лекции по сверхвысокочастотпой электронике для физиков. Т. 2. М.: Наука. Физматлит, 2004, 648 с.

9. Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т.25, № 12. С. 1410-1428.i

10. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. 278 с.

11. Ikeda К., Daido Н., Akimoto О. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity // Phys. Rev. Lett. 1980. Vol. 45, No. 9. P. 709-712.

12. Розанов H.H. Оптическая бистабильность и гистерезис в распределенных нелиIнейных системах. М.: Наука, 1997. 336 с.

13. Ажиппо В.А., Айзацкий Н.И. Автоколебательный режим в линейных резонансных ускорителях // ЖТФ. 1987. Т.57, № 4. С. 797-800.

14. Мохов И.И., Елисеев А.В., Хворостьянов Д.В. Эволюция характеристик межгодовой климатической изменчивости, связанной с явлениями Эль-Ниньо/Ла-Нинья // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2000. Т. 36, № 6. С. 741-751.

15. Ghil М., Zaliapin I., Thompson S. A delay differential model of ENSO variability: parametric instability and the distribution of extremes // Nonlin. Processes Geophys. 2008. Vol. 15. P. 417-433.

16. Гласс JL, Мэки М. От часов к хаосу: Ритмы жизни. М.: Мир, 1991. 248 с.

17. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М.: Наука, 1985. 239 с.

18. Трубецков Д.И., Мчедлова Е.С., Красичков JI.B. Введение в теорию самоорганизации открытых систем. М.: Физматлит, 2002. 200 с.

19. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.424 с.

20. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. 496 с.

21. Bunner M.J. The control of high-dimensional chaos in time-delay systems to an arbitrary goal dynamics // Chaos. 1999. Vol. 9, No. 1. P. 233-237.

22. Guan X., Chen C., Peng H., Fan Z. Time-delayed feedback control of time-delayed chaotic systems // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2003. Vol. 13, No. 1. P. 193-205.

23. Guan X., Feng G., Chen C., Chen G. A full delayed feedback controller design method for time-delay chaotic systems // Physica D. 2007. Vol. 227. P. 36-42.

24. Blakely J.N., Illing L., Gauthier D.J. Controlling fast chaos in delay dynamical systems // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 92, No. 19. 193901(4).

25. Долов A.M., Кузнецов С.П. Применение методики контроля хаоса для устранения автомодуляции в лампе обратной волны // ЖТФ. 2003. Т.73. № 8. С. 139-142.

26. Кузнецов С.П. Нелинейная динамика лампы обратной волны: автомодуляция, мультистабильность, контроль // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. Т. 14, №4. С. 3-35.

27. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 287 с.

28. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2005. 292 с.

29. Солнцев В.А., Андреевская Т.М. Условия амплитудной автомодуляции в автогенераторе с запаздыванием // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, № 3. С. 561568.

30. Андреевская Т.М., Солнцев В.А. Численное исследование автомодуляции в автогенераторе с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 1989. Т. 32, № 1.С. 34-40.

31. Кац В.А., Кузнецов С.П. Переход к многомодовому хаосу в простой модели генератора с запаздыванием // Письма в ЖТФ. 1987. Т. 13, № 12. С. 727-733.

32. Рыскин Н.М., Шигаев A.M. Сложная динамика простой модели распределенной автоколебательной системы с запаздыванием // ЖТФ. 2002. Т. 72, № 7. С. 1-8.

33. Шигаев A.M. Сложная динамика распределенных автоколебательных систем с запаздыванием (модель автогенератора с кубичной нелинейностью, модели клистронов-генераторов с внешней обратной связью). Дисс. . к.ф.-м.н. СГУ, Саратов, 2005. 135 с.

34. Antonsen Т.М., Levush В. Mode competition and suppression in free electron laser oscillators // Phys. Fluids B. 1989. Vol. 1, No. 5. P. 1097-1108.

35. Блиох Ю.П., Любарский М;Г., Подобинский В.О., Файнберг Я.Б. Исследование механизмов стохастизации секционированных пучковых СВЧ-генераторов // Физика плазмы. 1994. Т. 20, № 7-8. С. 718-728.

36. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. 296 с.

37. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

38. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 199Q. 312 с.

39. Кац В.А. Возникновение хаоса и его эволюция в распределенном автогенераторе с запаздыванием (эксперимент) // Изв. вузов. Радиофизика. 1985. Т. 28, № 2. С. 161-176.

40. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Особенности расчета спектров показателей Ляпунова в распределенных автоколебательных системах с запаздывающей обратной свяIзью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15, № 6. С. 3-21.

41. Socolar J.E.S., Sukow D.W., Gauthier D.J. Stabilizing unstable periodic orbits in fast dynamical systems // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50, No. 4. P. 3245-3348.

42. Ahlborn A., Parlitz U. Stabilizing unstable steady states using multiple delay feedback control // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93, No 26. 264101(4).

43. Ahlborn A., Parlitz U. Controlling dynamical systems using multiple delay feedback control // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72, No 1. 016206(12).

44. Hoevel P., Schoell E. Control of unstable steady states by time-delayed feedback methods // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72, No. 4. 046203(7).

45. Гинзбург H.C., Кузнецов С.П., Федосеева Т.Н. Теория переходных процессов в релятивистской ЛОВ // Изв. вузов. Радиофизика. 1978. Т.21, № 7. С. 1037-1052.

46. Трубецков Д.И., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М., Храмов А.Е. Сложная динамика распределенных нелинейных систем сверхвысокочастотной электроники // В кн.:

47. Нелинейные волны 2004. Под ред. A.B. Гапонова-Грехова и В.И. Некоркина. Ниж. Новгород: ИПФ РАН, 2005. С. 287-326.

48. Дмитриев Б.С., Жарков Ю.Д., Рыекин Н.М., Шигаев A.M. Теоретическое и экспериментальное исследование хаотических колебаний клистронного автогенератораjс запаздыванием // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46, № 5. С. 604-610.

49. Дмитриев Б.С., Жарков Ю.Д., Кижаева К.К., Клокотов Д.В., Рыскин Н.М., Шигаев A.M. Сложная динамика многорезонаторных клистронных автогенераторов с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10, №5. С. 37-49.

50. Дмитриев Б.С., Жарков Ю.Д., Клокотов Д.В., Рыскин Н.М. ЭксперимЬнтальное исследование сложной динамики в многорезонаторном клистронном автогенераторе с запаздывающей обратной связью // ЖТФ. 2003. Т. 73, № 7. С. 105-110.

51. Shigaev A.M., Dmitriev B.S., Zharkov Y.D., Ryskin N.M. Chaotic dynamics of delayed feedback klystron oscillator and its control by external signal // IEEE Trans. Electron Devices. 2005. Vol. 52, No. 5. P. 790-797.

52. Рыскин H.M., Шигаев A.M. Сложная динамика двухрезонаторного клистрона-генератора с запаздывающей обратной связью // ЖТФ. 2006. Т. 76, № 1. С. 72-81.

53. Дмитриев Б.С., Жарков Ю.Д., Скороходов В.Н., Бирюков A.A. Генерация хаотических радиоимпульсов с помощью клистронного автогенератора с запаздыванием // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. Т. 14, № 4. С. 36-42.

54. Дмитриев Б.С., Жарков Ю.Д., Скороходов В.Н., Геншафт A.M. Синхронизация двух связанных клистронных автогенераторов с запаздыванием // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16, № 2. С. 131-141.

55. Шевчик В.Н. Основы электроники сверхвысоких частот. М.: Сов. радио, 1959. 308 с.I

56. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по СВЧ электронике для физиков. В 2 т. Т. 1. М.: Физматлит, 2003. 496 с.

57. Гайдук В.И., Палатов К.И., Петров Д.М. Физические основы электроники СВЧ. М.: Сов. радио. 1971. 600 с.

58. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. М.: Сов. радио, 1973. 400 с.

59. Электронные приборы сверхвысоких частот. Под ред. В.Н. Шевчика и М.А. Григорьева. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1980. 416 с.

60. Атабеков Г.И. Основы теории цепей. М.: Энергия. 1969. 424 с.

61. Рыскин Н.М., Титов В.Н. О сценарии перехода к хаосу в однопараметрической модели лампы обратной волны // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т. 6,№ 1. С. 75-92.

62. Дмитриева Т.В., Рыскин Н.М., Титов В.Н., Шигаев A.M. Сложная динамика простых моделей распределенных электронно-волновых систем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 6. С. 66-82.

63. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

64. Кислов В.Я., Залогин H.H., Мясин Е.А. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24, №6. С. 1118-1130.

65. Кислов В.Я., Мясин Е.А., Залогин H.H. О нелинейной стохастизации автоколебаний в электронно-волновом генераторе с задержанной обратной связью // Радиотехника и электроника. 1980. Т. 25, № 10. С. 2160-2168.

66. Кислов В.Я. Теоретический анализ шумоподобных колебаний в электронно-волновых системах и автогенераторах с запаздыванием и сильной нелинейностью // Радиотехника и электроника. 1980. Т. 25, № 8. С. 1683-1690.

67. Анисимова Ю.В., Дмитриев A.C., Залогин H.H., Калинин В.И., Кислов В.Я., Панас А.И. Об одном механизме перехода к хаосу в системе электронный пучок —1электромагнитная волна // Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 37, № 8. С. 387-389.

68. Анисимова Ю.В., Воронцов Г.М., Залогин H.H., Кислов В.Я., Мясин Е.А. Шумо-трон // Радиотехника. 2000. № 2. С. 19-25.

69. Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Две лекции по нестационарной теории взаимодействия электронных пучков с электромагнитными волнами // Лекции по электронике СВЧ (3-я зимняя школа-семинар инженеров). Кн. 5. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974. С. 88-142.

70. Электроника ламп с обратной волной / Под ред. В.Н. Шевчика и Д.И. Трубецкова. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. 195 с.

71. Вайнштейн Л.А. Переходные процессы при возбуждении волноводов // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т.6, № 1. С. 21-24.

72. Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. М.: Сов. радио, 1970. 584 с.

73. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Нелинейные нестационарные уравнения взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем вблизи границы зоны Бриллюэна// Изв. вузов. Радиофизика. 1984. Т. 27, № 12. С. 1575-1583.

74. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рожнев А.Г., Блохина Е.В., Булгакова JI.B. Волновая теория ЛБВ вблизи границы полосы пропускания // Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т. 47, № 5-6. С. 399-418.

75. Абубакиров Э.Б., Денисенко А.Н., Савельев А.В., Солуянов Е.И., Ястребов В.В.

76. Релятивистская резонансная лампа бегущей волны с перестраиваемой частотойjгенерации // Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26, № 4. С. 14-18.

77. Ginzburg N.S., Petelin M.I. Multifrequency generation in free electron lasers with quasi-optical resonators // Int. J. Electron. 1985. Vol. 59. P. 291-314.

78. Гинзбург H.C., Сергеев A.C. Динамика ЛСЭ генераторов с резонаторами произвольной добротности //ЖТФ. 1991. Т.61, № 6. С. 133-140.

79. Гинзбург Н.С., Петелин М.И. Конкуренция и кооперация мод в лазерах на свободных электронах // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2, № 6. С. 3-26.

80. Рыскин Н.М. Исследование нелинейной динамики ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т. 47, № 2. С. 129-142.

81. Ryskin N.M., Titov V.N., Han S.T., So J.K., Jang K.H., Kang Y.B., Park G.S. Nonsta-tionary behavior in a delayed feedback traveling wave tube folded waveguide oscillator //Phys. Plasmas. 2004. Vol. 11, No. 3. P. 1194-1202.

82. Роу Дж. Теория нелинейных явлений в приборах СВЧ. М.: Сов. радио, 1969. 616 с.

83. Кац A.M., Ильина Е.М., Манькин И.А. Нелинейные явления в СВЧ приборах О-типа с длительным взаимодействием. М.: Сов. радио, 1975. 296 с.

84. Nusinovich G.S., Sinitsyn O.V., Antonsen Т.М. Mode switching in a gyrotron with azi-muthally corrugated resonator// Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98, No. 20. 205101.

85. Wallander S.O. Reflexions and gain ripple in TWTs // IEEE Trans. Electron Devices. 1972. Vol. 19, No. 5. P. 655-660.

86. Antonsen T.M., Safier P., Chernin D.P., Levush B. Stability of traveling-wave amplifiiers with reflections // IEEE Trans. Plasma Sci. 2002. Vol. 30, No. 3. P. 1089-1107.

87. Levush В., Antonsen T.M., Bromborsky A., Lou W.R., Carmel Y. Theory of relativistic backward wave oscillator with end reflections // IEEE Trans. Plasma Sci. 1992. Vol. 20, No. 3. P. 263-280.138t

88. Рыскин Н.М., Титов В.Н. Автомодуляционные и хаотические режимы генерации в релятивистской лампе обратной волны с отражениями // Изв. вузов. Радиофизика. 2001. Т. 44, № 10. С. 860-874.

89. Ikeda K. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system // Opt. Comm. 1979. Vol. 30, No. 2. P. 257-261.

90. Ikeda K., Akimoto O. Instability leading to periodic and chaotic self-pulsations in a bistable optical cavity // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 48, No. 9. P. 617-620.

91. Nakatsuka H., Asaka S., Itoh H., Ikeda K., Matsuoka M. Observation of bifurcation tochaos in all-optical bistable system // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 50, No. 2. P. 109-112.}

92. Измайлов И.В., Лячин A.B., Пойзнер Б.Н. Детерминированный хаос в моделях нелинейного кольцевого интерферометра. Томск: Изд-во Том. ун-та. 2007. 256 с.

93. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж,, Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М: Мир, 1988. 694 с.

94. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. М.: Наука, Физматлит, 2000. 272 с.

95. Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных йолн. М.: Физматлит, 2003. 400 с.

96. Кузнецов А.П., Тюрюкина Л.В. Динамические системы разных классов как модели нелинейного осциллятора с импульсным воздействием // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т.8. № 2. С. 31-42.

97. Valee R., Delisle С., Chrostowski J. Noise versus chaos in acousto-optic bistability // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 30. No. 1. P. 336-344.

98. Кузнецов А.П., Савин A.B., Савин Д.В. Отображение Икеды: от диссипативного к консервативному случаю // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. Т. 14, №2. С. 94-106.

99. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Смена характера модуляционной неустойчивости вблизи критической частоты // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30, № 5. С. 6-13.

100. Balyakin A.A., Ryskin N.M. Modulation instability in a nonlinear dispersive medium near cut-off frequency // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2004. Vol. 7, No. l.P. 34-42.

101. Калиткин H.H. Численные методы M.: Наука. 1978. 508 с.

102. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х т. М.: Мир, 1990. Т.1. 384 с.

103. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989. 616 с.

104. Емельянов В.В., Рыскин Н.М. Хаврошин О.С. Подавление автомодуляции в автогенераторе с запаздыванием при помощи методики управления хаосом // Радиотехника и электроника. 2009. Т. 54, № 6. С. 719-725.

105. Ryskin N.M., Khavroshin O.S. Suppressing self-modulation instability in a delayed feedback traveling wave tube oscillator using controlling chaos technique // IEEE Trans. Electron Devices. 2008. Vol. 55, No. 2. P. 662-667.

106. Балякин А.А. Рыскин Н.М. Хаврошин О.С. Нелинейная динамика модуляционнойнеустойчивости в распределенных резонаторах под внешним гармоническим воз)действием // Изв. вузов. Радиофизика. 2007. Т. 50, № 9. С. 800-820.

107. Рыскин Н.М. Хаврошин О.С. Управление хаосом в системе Икеды. Упрощенная модель в виде точечного отображения // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т. 17, № 2. С. 66-86.

108. Рыскин Н.М. Хаврошин О.С. Управление хаосом в системе Икеды. Пространственно-временная модель // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т. 17, №2. С. 87-98.

109. Хаврошин О.С. Управление хаосом в системе Икеды // «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2006» Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2007. С. 24-27.

110. Емельянов В.В., Хаврошин О.С. Подавление автомодуляции в автогенераторе с запаздыванием при помощи методики управления хаосом // «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2007» Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2007. С. 150-153.

111. Зимней школы-семинара по СВЧ электронике и радиофизике. 31 января 5 февраля 2006 г. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж». С. 94-95.

112. Балякин A.A., Хаврошин О.С. Управление хаосом в кольцевом нелинейном резонаторе // Материалы I Конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофо-тоника и нелинейная физика». 28-30 сентября 2006 г. Саратов: Саратовский филиал ИРЭ РАН. С. 64-65.

113. Ryskin N.M., Khavroshin O.S. Using controlling chaos technique to suppress self-modulation in a delayed feedback traveling wave tube oscillator // Abstracts of IEEE Pulsed Power and Plasma Science Conference. Albuquerque, NM, June 17-22, 2007. P. 592.

114. Ryskin N.M., Khavroshin O.S. Time-delayed control of chaos in the Ikeda system // The 3rd Int. IEEE Scientific Conf. on Physics and Control (PhysCon 2007). September 3-7, 2007. Universitatsverlag Potsdam, 2007. P. 326.

115. Рыскин Н.М., Хаврошин О.С. Стабилизация одночастотных колебаний в двухрезонаторном клистроне-генераторе при помощи метода управления хаосом // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика: Тез. докл.