Плоские нестационарные задачи МГД-теории смазки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Кадченко, Сергей Иванович

• Кадченко, Сергей Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кадченко, Сергей Иванович

ВВЕДЕНИЕ. 4-9.

ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ . . . .10-16.

ГЛАВА П. ПОСТАНОВКА ПЛОСКИХ ЗАДАЧ МГД-ТЕОРШ СМАЗКИ. 17-31.

§ 2.1. Постановка задач. 17-26.

§ 2.2. Метод решения .26-31.

ГЛАВА Ш. ПЛОСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ МГД-ЗАДАЧА ОБ УСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ МЕВДУ ВАЛОМ И ПОДШИПНИКОМ В РАДИАЛЬНОМ МАГНИТНОМ И ОСЕВОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЯХ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ЧИСЛЕ АЛЬ-ФВЕНА. 32-56.

§ 3.1« Общее решение системы уравнений (2.2.5) в области5 занимаемой смазкой . 34-47.

§ 3.2. Общее решение системы уравнений (3.1.2) в области, занимаемой валом . . ♦ . 47-53.

§ 3.3. Нахождение частных решений поставленной задачи . 53-56.

ГЛАВА 1У. ПЛОСКАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗА

ДАЧА О ДВИЖЕНИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ВАЛОМ И ПОДШИПНИКОМ В РАДИАЛЬНОМ ЭЛЕКТ -РИЧЕСКОМ И ОСЕВОМ МАГНИТНОМ ПОЛЯХ . 57-84.

§ 4.1. Общее решение системы уравнений магнитной гидродинамики (2.2.5 ) в области, занимаемой смазочной жидкостью • .*.*. 59-68,

§ 4.2. Общее решение системы уравнений (2.2.5 ) в области, занимаемой валом ,.•.•«• 6В-75.

§ 4.3. Общее решение системы уравнений электродинамики в области, занимаемой окружающей средой. 75-8Г.

§ 4,4. Нахождение частных решений поставленной задачи . 81-84.

ГЛАВА У. КВАЗИПРОСТРАНСТВЕННАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ СМАЗКИ В МГД-ПОДШИПНИКЕ.85-115,

§ 5.1. Общее решение системы уравнений (2.2.5) в смазочном слое.85-102,

§ 5.2. Общее решение системы уравнений (2.2.5) в области, занимаемой валом .I02-III

§ 5.3. Нахождение частных решений задачи .Ill

ГЛАВА У1. ПОДСЧЕТ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ СМАЗОЧНОЙ ЖИДКОСТИ НА ВАЛ . . .'.II6-I

ГЛАВА УП. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗГОНА УНИПОЛЯРНОГО

НАКОПИТЕЛЯ ЭНЕРГИИ .I3I-I

§ 7.1. Разгон якоря УН в лвигательном режиме. . . . 133-142,

§ 7.2. Разгон якоря УН, когда маховик является ротором асинхронного двигателя .143

ГЛАВА УШ. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ .148

§ 8.1. Примеры расчета подъемной силы, действующей на вал МГД-подшипника, исследование работы которого проводилось в третьей главе 148

§ 8.2. Примеры численного расчета процесса разгона

УН.158

ВЫВОДЫ.171

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Плоские нестационарные задачи МГД-теории смазки»

Актуальность темы. В установках, предназначенных для ра -боты при высоких температурах, применение обычных смазочных масел представляет значительные технические трудности, так как необходимо дополнительно создавать систему локального охлаждения. Кроме того, современный уровень развития техники всё чаще предъявляет к смазке такие требования, как радиационная стой -кость, низкое давление насыщенных паров, совместимость с ос -новным рабочим телом и др. Низким давлением насыщенных паров и высокой радиационной стойкостью отличаются жидкометаллические смазки. Поэтому в последнее время большое внимание стали уде -лять созданию опор с жидкометаллической смазкой, имеющей высокую теплопроводность в сотни раз превышающую теплопроводность обычных смазочных масел [31]. Эксперименты с упорным подшипником скольжения, проведенные Кэмбеллом [28], показали, что при одинаковых условиях работы (температура смазок была различной) износ опорных поверхностей при смазке минеральным маслом был в 120 раз выше, чем при смазке натрием. Кэмбелл это объясни тем, что при малой теплопроводности смазки возможны местные пере -гревы деталей опоры. Отсюда возникают прихватр в месте контакта и повревдение поверхностей опоры. В случае использования жидкометаллических смазок снимается проблема создания надежных малогабаритных уплотнительных узлов [5j.

Однако подшипники на жидкометаллической смазке обладают низкой подъемной силой из-за низкой вязкости жидких металлов. Устранить этот недостаток можно за счет электромагнитного воздействия на проводящий смазочный слой. Поэтому использование жидкометаллических смазок является наиболее перспективным в магнитогидродинамических (МГД) опорах.

Для эффективной работы МГД-опоры необходимо создавать сильные магнитные поля, обеспечивающие в зазоре На >10 (в МГД-опорах индукционного типа) или подводить к смазочному слою большие токи (в МГД-опорах кондукционного типа). В связи с этим значительно усложняется конструкция МГД-опор по сравнению с обычными подшипниками. Увеличиваются их размеры и вес. Это црепятствует широкому применению МГД-опор в практике» Наиболее перспективные в области применения МГД-опор - электрические машины и установки, для работы которых необходимы магнитные и электрические цепи, способные обеспечить и работу МГД-подшипни-ков. К ним относятся униполярные машины (УМ), где совмещение опорного узла с металлическим токосъемным устройством обеспечивает большие выгоды [ 5J.

В последнее время УМ переживают периоды подъема. Это объ -ясняется, прежде всего, развитием новых областей техники и на -учных исследований - атомной энергетики, ускорителей элементарных частиц, физики плазмы. Униполярные генераторы (УГ) нашли применение в качестве источников питания электромагнитных кон-дукционных насосов, которые перекачивают жидкий металл в системах теплоотвода атомных реакторов [4], [56J, для питания электромагнитов ускорителей при создании магнитных полей [63], [б].

При проектировании униполярных машин всегда возникает необходимость расчета жидкометаллического токосъемного устройства таким образом, чтобы при всех возможных режимах работы УМ жид -кий слой не вытекал из кольцевого канала. Теоретическое иссле -дование процесса движения жидкого металла в токосъемном устройстве представляет собой сложную математическую задачу. Поэтому для расчета жодкометаллического контакта (ЖМК) используют либо

- 6 эмпирические формулы [5], либо результаты, полученные в пред -положении, что течение стационарное плоскопараллельное [25], [26], [47], [il], [12J, В связи с расширением области применения УМ в технике возникает необходимость исследования нестационарного движения £МК в электромагнитном поле.

Решение ряда научных проблем (проблема управляемого тер -моядерного синтеза и др.) связано с использованием импульсных источников питания, параметры которых согласованы с параметрами нагрузки. Довольно перспективны в этом отношении униполяр -ные накопители (УН). Академик АН Латвийской ССР И.М.Кирко и В.Р.Терровере предложили создать УН с жидкометаллическими то -косъемниками, совмещенными с МГД-опорами [ij. Принципиальная схема его изображена на рис.7Л. Этот УН позволит накапливать

8 9 и преобразовывать энергию порядка - 10 Дж при пиковой

9 с 7 г 1 мощности 10 Вт и токах разряда 10 - 10 A [IJ. Для создания такого УН необходимо, прежде всего, произвести теоретический расчет нестационарных МГД-опор скольжения конечной длины и найти распределение электромагнитного поля в них.

Кроме того, решения плоских нестационарных задач МГД-тео-рии смазки можно в дальнейшем использовать при исследовании устойчивости движений вала в МГД-подшилниках скольжения.

Научная новизна. При выполнении диссертационной работы: - поставлены и решены три задачи об исследовании движения вязкой электропроводной жидкости в МГД-подшипниках смазки. В основу решения задач взяты модифицированные уравнения Сток-са, уравнения Максвелла и закона Ома. Данные уравнения записываются в цилиндрической системе координат, частные решения которых находятся с использованием реальных условий для электромагнитного поля. При решении задач учитываются индуцированные электромагнитные поля;

- определены главные моменты сил трения, действующие на вал со стороны жидкого металла и подъемные силы МГД-подшипни-ков смазки;

- сделан теоретический расчет МГД-опор УН с жидкометалли-ческими токосъемниками; - исследован процесс разгона импульсного УН для двух случаев: I) разгон якоря в двигательном режиме; 2) разгон якоря УН, когда маховик является ротором асинхронного двигателя;

- на основе анализа численных расчетов выявлены ряд закономерностей. Показано, что подъемные силы, действующие на валы МГД-подшипников УН,могут обеспечить жидкое трение в смазочных узлах.

Практическая ценность работы заключается в том, что в ней сделан расчет двух МГД-опор скольжения с различной конфигура -цией внешнего электромагнитного поля. Исследован процесс работы МГД-опор в импульсном УН, создать который предложили академик АН Латвийской ССР И.М.Кирко и В.Р.Терровере. Анализ полученного решения позволяет расчитать геометрические размеры МГД-опор в УН таким образом, чтобы в них осуществлялось жидкое трение между опорными поверхностями. Изучен процесс разгона УН в двух режимах. Численные расчеты позволяют сделать вывод, что второй способ разгона якоря УН предпочтительнее первого, так как только он позволяет накопить маховиком УН расчетную кинетическую о энергию 5 10 Дк.

Полученные в работе результаты можно использовать для расчета движения жидкометаллического контакта в униполярных машинах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах по прикладной магнитной гидродинамике в s институте механики сплошных сред при УНЦ АН СССР г.Перми, в МОПИ им.Н.К.Крупской, в институте механики при МГУ, в ЛПИ имени М.И.Калинина, на восьмом совещании по МГД в г.Риге, в Ро -стовском-на-Дону пединституте.

Содержание работы. В первой главе дан обзор научной литературы по МГД-опорам. Сделан ряд обобщающих выводов.

Во второй главе осуществлена постановка плоских нестационарных задач о движении вязкой электропроводной несжимаемой жидкости мезвду эксцентрично расположенными круговыми цилиндрами конечной длины в электромагнитном поле. Рассмотрены методы решения этих задач.

В третьей главе решена плоская линейная МГД-задача об установившемся движении вязкой несжимаемой электропроводной жидкости между валом и подшипником в радиальном магнитном и осе -вом электрическом полях при произвольном числе Альфвена.

В четвертой главе решена плоская нестационарная осесиммет-ричная задача о движении электроцроводной жидкости между валом и подшипником конечной длины в радиальном электрическом и осевом магнитном полях.

В пятой главе решена квазипространственная нестационарная задача о движении вязкой несжимаемой электропроводной жидкости между эксцентрично расположенными дуговыми цилиндрами конеч -ной длины в радиальном электрическом и осевом магнитном полях.

В шестой главе диссертации найдены главный вектор реакции жидкости и главный момент L сопротивления жидкости вращению вала, действующих на вал в МГД-подшипниках смазки, математическая модель которых описана в третьей и пятой главах.

В седьмой главе исследован процесс разгона якоря УН в двух случаях: I) разгон якоря в двигательном режиме; 2) разгон якоря УН, когда его маховик является ротором асинхронного двига -теля.

В восьмой главе рассмотрены численные примеры. На основании их сделан ряд выводов, которые необходимо использовать при проект1фовании МГД-подшипников смазки и УН, цринципиальные схемы которых были рассмотрены в работе.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Кадченко, Сергей Иванович

выводы

1. В работе рассматривается постановка плоских неста -ционарных задач о движении вязкой электропроводной несжимаемой жидкости в МГД-подшипниках смазки конечной длины. Приводятся аналитические решения трех задач об исследовании дви -жения жидкого металла в зазоре между цилиндрами в электромагнитном поле. В основу решения задач нами взяты модификациро-ванные уравнения Навье-Стокса, уравнения Максвелла и закона Ома. Данные уравнения записываются в цилиндрической системе координат, частные решения которых находятся с использованием реальных граничных условий для электромагнитного поля. Задачи решались с учетом индукционных электромагнитных полей.

2. При решении задач не накладывалось никаких ограничений на радиальный зазор между цилиндрами. Поэтому полученные решения применимы не только в задачах МГД-теории смазки ци -линдрических подшипников скольжения, где зазоры малы по сравнению с радиусом вала, но и во всех случаях медленного течения электропроводной вязкой жидкости между эксцентрично расположенными цилицдрами в электромагнитном поле.

3. В работе, впервые, произведен теоретический расчет МГД-опоры униполярного импульсного накопителя энергии с жид-кометаллическим токосъемником [l] . Исследован процесс разгона якоря УН в двух режимах: I) в двигательном режиме; 2) в режиме, когда маховик УН является ротором асинхронного двигателя. Численные расчеты (см. § 8.2) позволяют сделать вывод, что второй способ разгона якоря УН предпочтительнее первого, так как только он позволяет накопить маховиком УН расчетную кинетическую энергию

Впервые показано, что подъемная сила, действующая на вал в МГД-подшипниках УН при /?0 = 0,5 м и = 0,001 м обеспечивает жидкое трение в смазочных узлах УН»

4. Результаты, полученные в третьей и шестой главах диссертации, могут быть с успехом применены для расчета стационарного течения жидкого металла, находящегося в радиальном, магнитном и осевом электрическом полях, в жидкометаллическом контакте УМ.

5. Для расчета нестационарного течения жидкого металла, находящегося в осевом магнитном и радиальном электрическом полях, в контактном устройстве УМ с коаксимальными цилиндрическими электродами, можно использовать результаты, полученные в пятой и шестой главах данной работы.

6. Из приведенных нами решений задач можно получить решения задач о плоском течении электропроводной жидкости в зазоре между покоящимися цилиндрами в электромагнитном поле, если положить, что угловая скорость вращения вала равна нулю.

В этом случае подъемная сила, действующая на вал, отлична от нуля (6.12; 6.18). В МГД-подшипнике эта сила может привести к всплытию вала в подшипнике до начала его движения,что уменьшает пусковой момент трения.

7. Анализ формул (6.12) позволяет сделать вывод, что подъемная сила, действующая на вал МГД-подшипника смазки^работу которого мы исследовали в третьей главе диссертации,будет возрастать только в случае если радиальное магнитное поле является полем стока. Если же оно является полем источника, то несущая способность вала уменьшается.

Численные расчеты, приведенные в работе, указывают на ряд закономерностей, которые мы отметили в восьмой главе диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кадченко, Сергей Иванович, 1984 год

1. А.С. 983926 СССР. Униполярная импульсная машина/ Институт мех. сплош. сред. Авт.изобрет. Кирко И.Н.,Терровере В.Р.

2. Аль-Насан И.М., Терехов Л.П. Радиальная МГД-опора с пла -вающей втулкой. Магнитная гидродинамика, 1973, № I,с.129-134.

3. Аль-Насан И.М. Устойчивость движения вала в МГД-подшипни-ке с втулкой. Магнитная гидродинамика, 1974, № 3,c.II9-124.

4. Андреев П.А., Канаев А.А., Федорович Е.Д. Жидкометалличе-ские теплоносители ядерных реакторов. М.:Судпромгиз,1959.

5. Бертинов А.И., Метлин В.Б. Магнитогидродинамические опоры. Магнитная гидродинамика, 1969, № 2, с,3-18.

6. Бертинов А.И., Алиевский Б,Л., Троицкий Б.Л. Униполярные электрические машины с жидкометаллическим токосъемником, М., 1966. - 256 с.

7. Брановер Г,Г., Цинобер А.Б. Магнитная гидродинамика не -сжимаемых сред. М.: Наука, 1970. - 379 с.

8. Бургвиц А,Г,, Лысов А.Н, К вопросу о работе магнитогид -родинамического подшипника. Труды/ ЦКТИ, Котлотурбо -строение, 1964, с.44.

9. Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегро-дифферен -циальных уравнений. Фр., 1957.

10. Ватажин А.Б., Любимов Г.А., Регигер С,А. Магнитогидродинамические течения в каналах. М.:Наука,1970. - 672 с.

11. Генкин А.Л., Диевский В.А., Коськин Ю.П. К расчету жидко-металлического контакта униполярных машин. Магнитная гидродинамика, 1977, № 2, с.127-129.

12. Генкин А.Л., Диевский В.А,, Коськин Ю.П. МГД-течение в жидкометаллическом контакте при наличии двух составляющих магнитного поля. Магнитная гидродинамика, 1977,2, с.130-133.

13. Кадченко С,И, Плоская линейная задача об установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости в магнитогидроди -намическом подшипнике смазки. В кн.: Движение прово -дящих сред в сильных магнитных полях. - Свердловск,1980, с.49-60.

14. Кадченко С.И. Плоская линейная задача об установившемся движении смазки между валом и подшипником. В кн#: Математика и некоторые её приложения в теоретическом и прикладном естествознании. - Ростов-на-Дону, I972,c,II7-124.

15. Кадченко С.И. Магнитогидродинамическая задача о движении электропроводной жидкости между валом и подшипником. В кн.: Математика, некоторые её приложения и методика преподавания. Ростов-на-Дону, 1973, с.92-94.

16. Казма. Магшиогидродинамический радиальный подшипник.-Техническая механика, 1963, J& 3, с.120-125.

17. Казма. Магнитогидродинамические сдавливаемые пленки.-Теоретические основы инженерных расчетов, 1964, № 3, с. 32-35.

18. Казма. Плоские индукционные опоры*-Технические основы инженерных расчетов, 1965, № 3, с.282-284.

19. Казма. Магнитогидродинамический радиальный подшипник конечной длины.- Теоретические основы инженерных расчетов, 1964, № 3, с.36-40.

20. Коган Г.М. 0 суммировании некоторых рядов Фурье-Бесселя.- Труды Ростовск.ин-та с.-х. машиностроения, 1972, с.32-40.

21. Коган Г.М. Плоская нелинейная задача о быстром неустановившемся движении смазки между шипом и подлинником.-Ученые записки Кабардино-Балкарского госун-та, 1963, 19, с.159-165.

22. Кузнецов С.Е. Вращение цилиндра в проводящей жидкости в осевом магнитном поле.- Магнитная гидродинамика, 1973, № 2, с.12-18.

23. Кузнецов В.А. Краевые задачи, решение которых является суммами обобщенных рядов Фурье-Бесселя,-В кн. Вычислительная математика и математическая физика.- М.: МШИ им.В.И.Ленина ,1984,2,с.61-68.

24. Кэыбелл. Применение жидкого натрия в качестве смазки.- Машиностроение за рубежом, 1958, № 8, с.62-71,

25. Лойценский Л.Г. Механика жидкости и газа. М,: Наука, 1973, - 847 с.

26. Мак-Кракен Д., Дорн У, Численные методы и программирование на фортране. М.: Мир, 1977, - 584 с.

27. Метлин В.Б. Магнитные и магнитогидродинамические опоры,- М.: Энергия, 1968. 190 с.

28. Метлин В.Б. Радиальный МГД~подшипник кондукционного типа. Магнитная гидродинамика, 1967, № I, с,127-134,

29. Никитин А,К, 0 неустановившемся движении вязкой жидко -сти в подшипнике, Известия вузов. Сер.математика,1959, № 3, с.186-199,

30. Саттон Д., Шерман А. Основы технической магнитной газодинамики. М,: Мир, 1968, - 492 с.

31. Саэки Хиромаса. МГД-опора скольжения. Кикай сикэноё сё-хо. 1965, 19, № 4, Р 125-30.

32. Снайдер. Магнитогидродинамический упорный подшипник скольжения. Техническая механика, 1962, № I,с.228-235.

33. Снайдер. Технические основы инженерных расчетов, 1964, № 3, с.26.

34. Снайдер. Магнитогидродинамический радиальный подшипник конечной длины, Тр.Амер. об-ва инженеров-механиков, 1964, № 3, с.36.

35. Снеддон И. Преобразование Фурье. М»: Ин,лит-ра, 1955.- 667 с.

36. Тарапов И.Е. Задача смазки в магнитной гидродинамике.- Вопросы магнитной гидродинамики и динамики плазмы, 1962, с.147-154.

37. Трантер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике.-М.,1956.-204с.

38. Тарапов И.Е. К теории магнитогидродинамической смазки. -Магнитная гидродинамика,1969, № 3, с.101-108.

39. Тарапов И.Е. Задача о смазке цилиндрического подшипника проводящей жидкостью.- Магнитная гидродинамика, 1969, J& 2, с.127-136.

40. Тарапов И.Е.,Терехов Л.П. К устойчивости движения вала в радиальном магнитогидродинамическом подшипнике.-Магнитная гидродинамика,1970, Je 4, с.132-138.

41. Терехов Л.П. О применении метода интегральных соотношений в магнитной гидродинамике,- Магнитная гидродинамика, 1982, 1Ы, с.13-17.

42. Терехов Л.П. Устойчивость движения вала в радиальном подшипнике с намагничивающейся смазкой.-Магнитная гидродинамика, 1980, J6 I, с. 136-138.

43. Хожаинов А.И.,Кузнецов А.И. Вращение цилиндра в проводящей жидкости в радиальном магнитном поле.-Магнитная гидродинамика,1976, № 3, с.13-18.

44. Харитонов В.В. Переходные процессы в ударных униполярных генераторах,- М.: Атомиэдат,1980.

45. Хыоз,Элко. Магнитогидродинамический подшипник с неполным углом охвата.- Ракетная техника, 1962, № 5, с.151.

46. Шварц И.А. Исследование основных характеристик магни-тогидродинамического подшипника.-Изв.АН СССР. Механика жидкости и газа, 1966, .£ 4, с.189-191,

47. Шварц И.А. МГД-смазочный слой.-Сб. :Физика. Докл.на ХХП научн.конф.ЛИСИ, 1964, с.40-43.

48. Шварц И.А. МГД теория смазки цилиндрического подшипника. - Изв.АН СССР. Механика жидкости и газа, 1966, № I, с.9-15.

49. Шварц И.А, 0 магнитогазодинамическом смазочном слое между эксцентрическими цилиндрами, Магнитная гидродинамика, 1981, № 2, с.134-136.

50. Шукла. Теоретические основы инженерных расчетов, 1965, № I, с.170.

51. Шукла. Теоретические основы инженерных расчетов, 1965, № 4, с.1.

52. Зрвин А.Ф. Насосы для ядерных энергетических установок.- Атомная техника за рубежом, 1958, № I.57* Agarwal J.P. Magnetohydrodynamic effect in lubrication.- Buletinul Institului Politechnic Din Jasi, 1964, 10, N1/2, p. 67-72.

53. Dudzinsky S.J., Young F.J., Hughes W.F. Trans. ASME, 1968, F90, N 1, p. 139.

54. Elco R.A., Hugher W.F. Wear, 1962, 5, N 3, p.198.

55. Elco R.A., Hugher W.F. MHD pressarization of liquid metal bearings. - Wear, 1962, 5, N 3, p. 198-212.

56. Fucks W., Uhlenbusch J. MHD-theory of lubrication.-Physics of Fluids, 1962, 5, N 4, p.498-499.

57. Fucks W. Uhlenbusch J. Nydromagnetische Lagertheorie.•a- ZAMM, 1963, 43, N 12, p.553-560.

58. Gigot E.N. Applying unipolar generators. Chalmers Electrical Review, 1962, V, 27, N 2.

59. Haghes W.F., Elco R.A. MHD lubrication flow betweenparallel rotating disks. Fluid Mechanics, 1962, 13, N 1, p.21-32.

60. Kuzma D.C., Maki E.R., Donnelly R.J. Fluid Mech., 1964, 19, N 3, p.395.

61. Mac-magan G. On the Raots of the Bessel and certain related Functions. In.:Annals of mathematics, 1961, 9, N 23, p. 1894-1895.

62. Malik M., Singh D.V. Analysis of finite magnetohydro-dynamic journal bearings. Wear, 1980, 64, N 2,p.273-280.

63. Osterle J.F., Young F.J. On the load capacity of the hydromagnetically lubricated slider bearing. Wear, 1962, 5, N 3, p.227-234.

64. Ramanich G. MHD-step slider bearing with variable viscosity. Appl. Sci.Research, 1966, В 12, Np. 424-434.

65. Scheelenz. Schmierstoffe und Schmierungstechn, 1966, 11, p. 46.

66. Shukla J.B. Sci. Lubr., 1964, 16, H 6, p. 32.

67. Shukla J.B., Prakash J. Japanese J.-Apple. Phys., 1966, 5, N 4, p. 322.

68. Shukla J.B. Wear, 1964, 7, N 5, p.460.

69. Prakash J. Trans. ASME, 1967, F 89, N 3, p.323.