Активная идентификация дискретных ARMAX-моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат технических наук Еланцева, Ирина Леонидовна

• Еланцева, Ирина Леонидовна
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Еланцева, Ирина Леонидовна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Цели математического моделирования.

1.2. Постановка задачи идентификации динамических систем.

1.2.1. Методы идентификации.

1.2.2. Идентификация модели в пространстве состояний.

1.2.3. Идентификация ARMAX-модели.

1.2.4. Эквивалентность моделей динамических систем.

1.3. Связь задач идентификации с теорией планирования эксперимента

1.3.1. Активная идентификация.

1.3.2. Постановка задачи планирования управляющих сигналов.

1.4. Выводы.

Глава 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ К ARMAX-МОДЕЛИ.

2.1. Цели преобразования к эквивалентным моделям.

2.2. Преобразование при невырожденной матрице наблюдений.

2.3. Преобразование модели со скалярными входом и выходом.

2.4. Преобразование модели с несколькими выходами.

2.5. Примеры построения эквивалентных моделей.

2.5.1. Пример преобразования модели с невырожденной матрицей наблюдений.

2.5.2. Пример преобразования модели со скалярным входом и выходом.

2.5.3. Пример преобразования модели с несколькими входами и выходами.

2.6. Выводы.

Глава 3. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ARM AX-МО ДЕЛИ.

3.1. Этапы идентификации ARMAX-модели.

3.2. Идентифицируемость ARMAX-модели.

3.3. Оценки максимального правдоподобия.

3.4. Оценки на основе ограниченной информации.

3.5. Сравнительный анализ методов оценивания параметров ARMAX-процессов на модельных примерах.

3.6. Выводы.

Глава 4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ СИГНАЛОВ.

4.1. Вычисление матрицы Фишера для ARMAX-модели.

4.1.1. Вычисление информационной матрицы в случае неизвестной матрицы ковариаций возмущений.

4.1.2. Вычисление информационной матрицы в случае известной матрицы ковариаций возмущений.

4.2. Вычисление градиентов оценок возмущений.

4.3. Свойства информационной матрицы.

4.3.1. Условия невырожденности информационной матрицы одноточечного плана.

4.3.2. Свойства информационной матрицы дискретного плана.

4.3.3. Теорема эквивалентности.

4.4. Алгоритмы планирования.

4.4.1. Прямой подход.

4.4.2. Двойственный подход.

4.5. Сравнительный анализ алгоритмов синтеза D-оптимальных сигналов на модельном примере.

4.6. Примеры активной идентификации динамических систем.

4.6.1. Скалярные модели.

4.6.2. Многомерная модель

4.7. Исследование точности оценивания параметров.

4.8. Выводы.

Глава 5. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ.

5.1. Программа построения эквивалентных моделей TRANS.

5.2. Комплекс программ активной идентификации ARMAX-модели

5.2.1. Программа генерации последовательностей входных и выходных сигналов GENM.

5.2.2. Программы оценивания параметров ARMAX-модели.

5.2.3. Программы синтеза D-оптимальных управляющих сигналов.

5.3. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Активная идентификация дискретных ARMAX-моделей»

Современное состояние и анализ темы. При выборе вида математической модели для описания некоторой динамической системы необходимо руководствоваться не только имеющейся информацией о системе, но и целями моделирования. Возможность преобразования модели одного вида к эквивалентной модели другого вида, позволяет шире использовать существующие алгоритмы и методы идентификации. Необходимость преобразования исходной модели к некоторой эквивалентной модели может возникнуть также в случае невозможности идентифицировать исходную модель по причине большого количества неизвестных параметров. Развитию теории и практики эквивалентного представления динамических систем с помощью моделей разного вида способствовали труды А.Ванечека, Д.Гропа, Л.Льюнга, П.Эйкхоффа. Тем не менее не были полностью разработаны вопросы преобразования многомерных стохастических моделей пространства состояния к многомерным авторегрессионным моделям с управляющим сигналом и скользящим средним.

Задача идентификации математической модели динамической системы параметрическими методами при известной структуре модели эквивалентна задаче оценивания неизвестных параметров по последовательности наблюдений за измеряемыми входами и выходами системы. Применение параметрических методов для идентификации модели рассмотрено в работах Л.Льюнга, Р.Л.Кашьяпа, А.Р.Рао, Э.П.Сейджа, Дж. Мелса, Е.З. Демиденко, Д.Гропа, П.Эйкхоффа. Но авторы, работавшие над вопросами идентификации АЯМАХ-моделей, решали задачу оценивания всех параметров модели, не учитывая возможность того, что некоторые параметры модели известны и не 6 требуют оценивания. Возможность сокращения числа оцениваемых параметров для некоторых динамических систем вполне актуальна и позволит значительно уменьшить количество проводимых вычислений.

В настоящее время существует две стратегии идентификации: активная и пассивная. Пассивная идентификация выполняется в режиме нормального функционирования системы. При активной идентификации на вход системы подаются наиболее информативные, специально синтезированные сигналы, в результате чего улучшается точность оценивания параметров и повышается эффективность проводимых исследований. Под информативностью сигнала в качественном смысле понимают возможность идентификации динамической системы на основе данного сигнала. Количественной мерой информативности входного сигнала служит значение некоторого функционала от информационной матрицы вектора неизвестных параметров при построении математической модели динамической системы.

Современный этап развития теории и практики параметрической идентификации характеризуется все более широким распространением идей и методов активной идентификации. Этому посвящены труды

A.Ж.Абденова, Ю.П.Адлера, В.Г.Горского, В.И.Денисова, Г.К.Круга,

B.В.Налимова, А.А.Попова, Ю.А.Сосулина, А.М.Талалая, В.М.Чубича, В.А. Фатуева, Дж.Л.Гудвина, М.Б.Зарропа, Р.К.Мехры, Р.Л.Пейна. Однако не все вопросы, связанные с планированием оптимальных входных сигналов для АИМАХ-моделей, решены. Данная работа позволяет восполнить этот пробел для дискретных стационарных линейных АИМАХ-моделей во временной области.

Цель диссертационного исследования. Целью данной работы является разработка математического и программного обеспечения задачи преобразования модели линейной дискретной стационарной 7 стохастической динамической системы, заданной в терминах пространства состояний, к эквивалентному представлению в виде сопровождающей формы и в виде А1ШАХ-модели, а также разработка математического и программного обеспечения задачи активной идентификации АБШАХ-модели. Для достижения этой цели в диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

1. Разработан алгоритм и программа преобразования линейной дискретной стационарной стохастической модели пространства состояний с произвольными системными матрицами и с несколькими входами и выходами к виду многомерной АЛМАХ-модели с детерминированным управляющим сигналом;

2. Получены формулы вычисления информационной матрицы одноточечного плана для АЕШАХ-модели с детерминированным управляющим сигналом с учетом априорной информации о параметрах модели;

3. Разработаны алгоритмы и программы синтеза Э-оптимальных входных сигналов для АЯМАХ-модели с детерминированным управляющим сигналом с учетом априорной информации о параметрах модели;

4. Разработаны программы оценивания параметров и ковариационных матриц возмущений многомерных АЯМАХ-моделей с детерминированным управляющим сигналом, в которых предусмотрена возможность уменьшения размерности вектора оцениваемых параметров в случае точного задания некоторых параметров; 5. Исследована работа предложенного программного обеспечения задачи активной идентификации на моделях динамических систем.

Методы исследования. Поставленные задачи решаются с помощью методов современной теории параметрической идентификации, теории 8 случайных процессов, математической статистики, вычислительной математики, программирования, теории управления и линейной алгебры.

Научная новизна. Разработано алгоритмическое и программное обеспечение задачи преобразования модели линейной дискретной стационарной стохастической динамической системы, заданной в терминах пространства состояний, к эквивалентному представлению в виде АКМАХ-модели. Разработано и исследовано программно-математическое обеспечение задачи активной идентификации АЯМАХ-модели с учетом априорной информации о параметрах модели на основе синтеза Б-оптимальных планов входных сигналов.

Цель исследования. Распространить концепцию планирования эксперимента и активной идентификации на АЯМАХ-модели с детерминированными входными сигналами. Развить теорию и методологию этого вопроса.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованной литературы из 87 наименований и приложения. Общий объем диссертации 170 страниц машинописного текста, работа иллюстрирована 27 рисунками и 12 таблицами.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Еланцева, Ирина Леонидовна

5.3. Выводы

В данной главе описано программное обеспечение для решения задачи построения эквивалентных моделей и задачи активной идентификации ARMAX-модели. Комплекс программ организован по модульному принципу, связь между программами осуществляется через файлы. Такая организация программного комплекса открывает возможности для дальнейшего его расширения за счет добавления новых программ. Кроме того, обеспечивается автономная работа каждой программы для решения отдельных задач.

I Синтез О-оптимального

Идентификация методом ] | плана управляющих

УМП с использованием ] | сигналов двойственным метода Ньютона- | | алгоритмом

Рафсона (иМР) | | (ОУОКТУ)

Идентификация методом офаниченной информации (ARMA)

Синтез О-оптимального управляющего сигнала (СЖЕРОПЧТ)

Идентификация при исходной управляющей последовательности

Синтез оптимальной управляющей последовательности

Рис. 5.1. Схема программного комплекса решения задачи активной идентификации АЯМАХ-модели (начало схемы)

Идентификация при оптимальной управляющей последовательности

Рис. 5.2. Схема программного комплекса решения задачи активной идентификации А11МАХ-модели (окончание схемы)

158

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Эффективность применения математических методов планирования эксперимента для решения задачи идентификации статических и динамических систем не вызывает сомнения. Вопрос о возможности использования специально синтезированных управляющих сигналов для повышения точности оценок вектора неизвестных параметров ARMAX-модели до сих пор не исследовался. В соответствии с поставленными задачами в данной диссертационной работе были получены следующие результаты:

1. Разработан алгоритм и программа преобразования линейной дискретной стационарной стохастической модели пространства состояний с произвольными системными матрицами к модели с матрицами в сопровождающей форме в случае скалярных и векторных входных и выходных сигналов;

2. Разработан алгоритм и программа преобразования линейной дискретной стационарной стохастической модели пространства состояний с матрицами в сопровождающей форме к многомерной ARMAX-модели;

3. Получены формулы вычисления информационной матрицы одноточечного плана для ARMAX-модели для случаев известной и оцениваемой матриц ковариаций возмущений, получены условия невырожденности информационной матрицы;

4. Разработаны алгоритмы и программы синтеза D-оптимальных входных сигналов для ARMAX-модели, проведен их сравнительный анализ на модельных примерах;

5. Разработаны программы оценивания параметров и ковариационных матриц возмущений ARMAX-моделей методом условного максимального правдоподобия и методом на основе ограниченной информации. В работе

159 программ предусмотрена возможность уменьшения размерности вектора оцениваемых параметров при условии точного задания некоторых параметров. Проведен сравнительный анализ работоспособности этих методов и программ на примерах двух динамических систем;

6. Исследована эффективность разработанного программно-математического обеспечения задачи активной идентификации с использованием синтезированных Б-оптимальных планов управляющих сигналов на примерах скалярных и многомерной динамических систем. Исследовано влияние уровня помех на качество получаемых оценок параметров.

Результаты исследований позволяют рекомендовать применение активной стратегии для идентификации АИМАХ-моделей с детерминированным управляющим сигналом.

160

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Еланцева, Ирина Леонидовна, 1999 год

1. Абденов А.Ж. , Попов A.A. Планирование D-оптимальных входных воздействий при идентификации линейных систем. Новосибирск, 1981. - Новосиб. электротехн. ин-т. - Деп. в ВИНИТИ №771.82 - 12с.

2. Абденов А.Ж., Денисов В.И., Чубич В.М. Введение в оценивание и планирование экспериментов для стохастических динамических систем: Учебное пособие. Новосибирск, 1993.- 45 с.

3. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976.- 279с.

4. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.- 756 с.

5. Анисимов A.C. Идентификация объектов управления: Учеб. пособие -Новосибирск: Изд-во НЭТИ, 1985. 80 с.

6. Анисимов A.C., Чикильдин Г.П. Алгоритмы преобразования линейных математических моделей: Учеб. пособие Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1996. - 100 с.

7. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. Пер. с англ./ Под ред. Ю.И.Топчеева. М.: Машиностроение, - 1968.- 764 с.

8. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. Современный подход с использованием ЭВМ. М.: Мир, 1982. - 488 с.

9. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. М.: Статистика, 1979. -349с.

10. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974.- 408с.

11. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач: Учебное пособие. М.: Наука, 1981. - 400 с.

12. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. -М.: Наука, 1979.-447 с.

13. Верулава Ю.Ш., Поляк Б.Т. Выбор порядка регрессионной модели // Автоматика и телемеханика. 1988. - №11. - С. 113-129.

14. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 320 с.

15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 512 с.

16. Горский В.Г., Адлер Ю.П. Планирование промышленных экспериментов (модели статики). М.: Металлургия, 1974. - 264с.

17. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай А.М. Планирование промышленных экспериментов (модели динамики). М.: Металлургия, 1978. - 112с.

18. Гроп Д. Методы идентификации систем: Пер. С англ./ Под ред. Е.И.Кринецкого. -М.: Мир,-1979.- 302 с.

19. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981. - 302 с.

20. Денисов В.И. Математическое обеспечение системы ЭВМ -экспериментатор. М.: Наука, 1977. - 251 с.

21. Денисов В.И., Еланцева И.Л., Чубич В.М. Сравнение алгоритмов162планирования D-оптимальных входных сигналов для стохастических линейных дискретных систем // Сб. Научных трудов НГТУ. -Новосибирск, 1997. № 3(8). - С.31-40.

22. Денисов В.И., Попов A.A. Пакет программ оптимального планирования эксперимента. М.: Финансы и статистика, 1986.- 156с.

23. Денисов В.И., Чубич В.М. Алгоритмы синтеза планов эксперимента для стохастических динамических систем: Учебное пособие. -Новосибирск: НГТУ, 1996. 36 с.

24. Денисов М.С. Оптимальные функции потерь для идентификации параметров авторегрессии модели сейсмической записи // Нефт. и газ. пром-сть.- 1992.- №10.- С. 17-24.

25. Джонстон Дж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980. -450с.

26. Димитренко A.A., Конев В.В. О гарантированном оценивании параметров авторегрессии при неизвестной дисперсии помех //Автоматика и телемеханика. 1994.- №2.- С. 87-99.

27. Дюк В. Обработка данных на ПК в примерах. СПб.: Петербург, 1992. - 240 с.

28. Евдокимов В.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента при ускоренной идентификации динамических систем // Элементы и системы оптимальной идентификации и управления технологическими процессами / Тул. гос. техн. ун-т,- Тула, 1993.- С.5-10.163

29. Еланцева И.Л. Планирование управляющих сигналов для ARMAX-модели // Сб. Научных трудов НГТУ. Новосибирск, 1999. - № 3 (16). -С. 16-24.

30. Еланцева И.Л. Оценивание параметров и состояний дискретных линейных динамических систем.//Труды третьей Международной Научно-техн. конф. "Актуальные проблемы электронного приборостроения" АПЭП-96. Новосибирск, 1996. - Т.6, 4.1. -С. 34-36 .

31. Енюков И.С. Методы, алгоритмы, программы многомерного статистического анализа: Пакет 1111С А. М.: Финансы и статистика, 1986. -232с.

32. Закс Ш. Теория статистических выводов: Пер. с англ./ Под ред. Ю.К. Беляева. М.: Наука, 1975. - 776 с.

33. Зедгинидзе И.Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем. М.: Наука, 1976. - 390 с.

34. Иванов В.А., Чемоданов Б.К., Медведев B.C. Математические основы теории автоматического регулирования / Под ред. Б.К.Чемоданова. -М.: Высшая школа, 1971. 808 с.

35. Интегрированная система для исследования многофакторных объектов с использованием линейных моделей с качественными факторами / Отчет по НИР, НГТУ, Полетаева И.А., Еланцева И.Л., Тимофеев B.C., Фадденков A.B. №ГР 01.970000 786. - Новосибирск. - 58 с.

36. Каминскас В.А. Идентификация динамических систем по дискретным наблюдениям. Вильнюс: Мослас, 1982. - 4.1. - 245 с.

37. Калашников В.В., Немчинов Б.В., Симонов В.М. Нить Ариадны в лабиринте моделирования. М.: Наука, 1993.- 189с.

38. Карманов В.Г. Математическое программирование.- 2-е изд., перераб. -М.: Наука, 1980.-256 с.

39. Каширин Б.Л. Построение оптимальной модели по результатам наблюдений функций многих переменных // Прикладной многомерный статистический анализ. М.: Наука, 1978. - С. 368-374.

40. Кашьяп Р.Л., Pao А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. Пер. с англ. М., Наука. -1983.-384 с.

41. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления: Пер с англ. М.: Мир, 1977. - 467 с.

42. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. Пер. с англ./ Под ред. Ю.К. Беляева. М.: Мир, 1978. - 560 с.

43. Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977. -208 с.

44. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ./ Под ред. Я.З.Цыпкина.- М.: Наука, -1991.-432 с.

45. Математическая теория планирования эксперимента / Под ред. С.М.Ермакова . М.: Наука, 1983. - 391 с.

46. Медич Дж. Статистически оптимальные линейный оценки и управление. М.: Энергия, 1973. - 363 с.

47. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971. - 208 с.

48. Налимов В.В., Голикова Т.И. Логические основания планирования эксперимента. М.: Металлургия, 1976. - 128 с.165

49. Нургес Ю. С. Сравнительный анализ канонических форм многомерных систем // Известия ЭССР. Физика и математика. 1980. -Т.23, №3, С.272-281.

50. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления : Пер. с англ./ Под ред. Н.С. Райбмана. М.: Мир, 1973. - 320 с.

51. Острем К.Ю. Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ: Пер. с англ./ Под ред. С.П. Чеботарева. М.: Мир, 1987. - 480 с.

52. Оценивание параметров и планирование экспериментов для стохастических динамических систем / Отчет по НИР, НГТУ, Денисов В.И., Еланцева И.Л., Чубич В.М.- Новосибирск. 1999. - 43с.

53. Перельман И.И. Методология выбора структуры модели для идентификации объектов управления // Автоматика и телемеханика. -1983. №11. - С.5-29.

54. Планирование и организация эксперимента в научных исследованиях / Под ред. Г.К.Круга. М.: Советское радио, 1974. - 318 с.

55. Полетаева И.Л., Чубич В.М. Планирование D-оптимальных сигналов для стохастических линейных дискретных систем. Тез. докл. Российской научно-технической конференции "Информатика и проблемы телекоммуникаций". - Новосибирск, 1994. - С. 135-136.

56. Pao С.Р. Линейные статистические методы и их применение. М.: Наука, 1968. - 548 с.

57. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления/Пер. с англ. Под. ред. Н.С.Райбмана М.: Наука, 1974.- 248 с.

58. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами /Пер. с англ. Под. ред. Б.Р. Левина М.: Радио и связь, 1982.- 392 с.

59. Справочник по теории автоматического управления / Александров А.Г. и др. М.:Наука, 1987. - 710 с.

60. Страуструпп Б. Язык программирования С++. М.: 1991. - 348 с.166

61. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. -Наука, 1980. 518 с.

62. Современные методы идентификации систем /Под ред. Эйкхоффа П./Пер. с англ. М.: Мир, 1983. - 398 с.

63. Трой Д. Программирование на языке Си для персонального компьютера IBM PC: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1991. - 432 с.

64. Уилкс С. Математическая статистика / Пер. с англ. М.: Наука, 1967. -632с.

65. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента (планирование регрессионных экспериментов). М.: Наука, 1971. - 312 с.

66. Хикс Ч. Основные принципы планирования эксперимента. М.: Мир, 1980. - 406 с.

67. Цыпкин ЯЗ. Информационная теория идентификации. М.: Физматлит, 1995. - 336 с.

68. Чубич В.М. Планирование D-оптимальных входных сигналов для стохастических линейных дискретных систем: Дисс. на соиск. учен, степ. канд. техн. наук (05.13.16) / Новосиб. гос. техн. ун-т. -Новосибирск, 1995. 98 с.

69. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.-683с.

70. Akaike Н., Ishiguro М. DALL Davidon's algorithm for log likelihood maximization - a FORTRAN subroutine for statistical model builders. -Tokyo, 1989.-29 c.

71. Chen Han-Fu, Zhang Ji-Fend. Stochastic adaptive control for ARMAX-system with unknown orders, time-delay and coefficients // 11th IF AC World Congr. "Autom. Contr. Serv. Mancing", Tallin, Aug. 13-17, 1990: Prepr. Vol.3 Tallin, 1990. - C.262-268.

72. Custafsson F., Hjalmarsson H. Twenty-one ML estimation for model167selection.//Automatica. 1995.- 31,M10. - C.1377-1392

73. Duong Hoal Nghia, Landau loan Dore. An IV based criterion for model order selection // Automatica. 1996. - 32,N6.- C.909-914.

74. Goodwin G.C. Experiment design for system identification. Oxford, 1987.

75. Goodwin G.C. , Payne R.L. Dynamic system identification: Experiment design and data analisis. New York, 1977.

76. Hochwald Bertrand, Nehorai Arye. Concentrated Cramer-Rao bound expressions // IEEE Trans. Inf. Theory. 1994.- 40,N2 - C. 363-371.

77. Mehra R.K. Optimal input signals for parameter estimation in dynamic systems survey and new results // IEEE Trans. Automat. Control, 1974.-Vol. 19,16.- C.753-568.

78. Pillai S. Unnikrishna, Shim Theodore I., Youla Dante C. A new technique for ARMA- system identification and rational approximation // IEEE Trans. Signal Process. 1993. - 41,M3. - C.1281-1304.

79. Rao N. Sudarshan, Moharir P.S. Estimation of the order of an autoregressive model // Sadhana. 1995. - 20,N5. - C. 749-758.

80. Tsakalis Kostas S. Performance limitation of adaptive parameter estimatio: and system identification algorithms in the absence of excitation./ Automatica. 1996.- 32,N4. - C.549-560.

81. Uosaki Katsuji, Hatanaka Toshiharu. Optimal input design for model discrimination frequency domain approach //11th IF AC World Congr. "Autom. Contr. Serv. Mancing", Tallin, Aug. 13-17, 1990: Prepr. Vol.3 -Tallin, 1990.-C.251-256.

82. Xiao Chaung-Bai, Zhang Xian-Da. A new method for AR order determination of an ARMA process // IEEE Trans. Signal Process. 1996. -44,N11,- C.2900-2903.

83. Zarrop M.B. Optimal experimental design for dynamic system identification. New York, 1979.1. ЗАО "ИНТЕРФЕЙС630092, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20 Тел. [phone] I 1, факс [phone] ИНН 5404104847

84. Исх. №991 125/1 от 25 ноября 1999 г. Акт о внедрении результатов НИР.

85. Декан ФПМИ НГТУ, д.т.н., профессоргмл^си а^и/'ут,- , , , , .1. В . И