Первичный радикал артиновых алгебр Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Мещерина, Елена Владимировна

• Мещерина, Елена Владимировна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Мещерина, Елена Владимировна

Содержание

Список обозначений

Введение

0 Исторический очерк. Основные определения и обозначе-

ния

1 О различных определениях артиновости алгебр Ли

1.1 Основные свойства внутренних идеалов алгебр Ли

1.2 О соотношениях между различными определениями артиновости для алгебр Ли

2 Внутренние идеалы алгебры Ли sln(F)

2.1 Внутренние идеалы алгебры Ли sfoiF)

2.2 Внутренние идеалы алгебры Ли sl^(F)

2.3 Абелевость внутренних идеалов

алгебры Ли sln{F)

2.4 Ассоциативная нильпотентность внутренних идеалов алгебры Ли sln(F)

3 О проблеме A.B. Михалева для алгебр Ли

3.1 Первичный радикал алгебры Ли

3.2 Разрешимость первичного радикала mn-артиновой

и а-артиновой алгебр Ли

Заключение

Литература

83

Список обозначений

[а, Ь] - коммутатор элементов в ассоциативной алгебре или алгебре Ли ДН - ассоциативная алгебра А по отношению к операции коммутирования [х,у\ = ху — ух

А(М) - ассоциированная алгебра представления, порожденная элементами алгебры Ь в алгебре Епс1(М) как ассоциативная алгебра, где М -¿-модуль

Ас1 Ь - присоединенная ассоциативная алгебра для алгебры Ли Ь Пп - алгебра матриц порядка п над алгеброй И

1, хп] - кольцо многочленов над полем Р

Г(х1,х2, -.., хп) - свободная ассоциативная алгебра над полем Р с образующими Х\, Х2, ■ ■ ■, хп

J(D) - радикал Джекобсона ассоциативной алгебры И

Ьр(х\, Х2,хп) - свободная алгебра Ли над полем Р с образующими ■•■■>

и или ь2- коммутант алгебры Ли Ь

Ь^ - элементы производного ряда алгебры Ли Ь

Ьп - элементы нижнего центрального ряда алгебры Ли Ь

Р(-О) - первичный радикал ассоциативной алгебры или алгебры Ли I)

5/п(Р) - специальная линейная алгебра порядка п над полем Р

зрап(у1,

б'РРалгебра Ли - специальная алгебра Ли

и(Ь) ~ универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли Ь

Z(X) - централизатор множества X алгебры Б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Первичный радикал артиновых алгебр Ли»

Введение

Областью исследования диссертационной работы является "теория радикалов алгебр Ли". Теории радикалов алгебр Ли посвящены такие работы как [4], [9], [48], [51], [58], [59] и др.

Цель работы - доказательство разрешимости первичного радикала алгебр Ли, при наложении различных условий артиновости.

Актуальность темы диссертации. Начало создания теории конечномерных алгебр Ли относится к концу XIX века. Оно связано с именами таких математиков как Софус Ли, Ф. Энгель, Э. Картан, В. Киллинг и др. [6, стр. 453].

По аналогии с теорией групп было введено понятие разрешимой и нильпотентной алгебр Ли. В. Киллинг ввел понятие радикала и полупростой алгебры Ли.

В дальнейшем развитие теории конечномерных алгебр Ли привело к классификации конечномерных простых алгебр Ли над полем характеристики нуль, доказательству теоремы Леви-Мальцева и многих других.

Конечномерные алгебры Ли возникли при изучении групп Ли. В настоящее время они имеют хорошо разработанную теорию, которая находит приложение в различных областях математики.

При изучении теории гладких многообразий естественно возникают бесконечномерные алгебры Ли векторных полей.

Бесконечномерные алгебры Ли оказались полезным инструментом при построении примеров групп. Например, Ю. П. Размыслов использовал бесконечномерные алгебры Ли при построении примера группы, удовлетворяющей тождеству хр = 1, где р > 5 - простое, которая не является разрешимой [25]. Бесконечномерные алгебры Ли широко использовались в работах А. И. Кострикина по проблеме Бернсайда [11].

Они находят и другие применения в математике.

Разработка структурной теории алгебр Ли является актуальной темой исследования. В настоящее время в этой области имеются тысячи научных работ.

Для различных алгебраических систем важную роль при построении структурной теории играет понятие радикала.

Радикал это такой класс идеалов, фактор по которым имеет нулевой радикал и хорошо устроен.

В теории ассоциативных колец используются радикалы Джекобсона, первичный, Левицкого и другие.

В общем случае нельзя утверждать, что полупростое в смысле некоторого радикала кольцо хорошо устроено.

Если наложить на полупростое кольцо дополнительно некоторое условие, то оно может стать хорошо устроенным. Такими условиями могут служить конечномерность, артиновость, наличие полиномиального тождества и другие.

Различные радикалы для алгебр Ли исследовались в работах [51], [58], [59] и других.

В теории конечномерных алгебр Ли в качестве радикала используют наибольший разрешимый идеал.

К числу часто используемых радикалов относится также нильпотент-ный радикал конечномерной алгебры Ли.

Нильпотентным радикалом N(1*) для конечномерной алгебры Ли Ь называется пересечение ядер ее неприводимых конечномерных представлений [6].

Для конечномерных алгебр был введен аналог радикала Джекобсона для ассоциативных алгебр.

Назовем радикалом Джекобсона J(L) алгебры Ли Ь пересечение мак-

симальных идеалов и саму алгебру L, если их нет [56].

Для конечномерной алгебры Ли над полем характеристики нуль нильпотентный радикал совпадает с радикалом Джекобсона [56].

В 1963 г. В.Н. Латышев ввел новый класс алгебр Ли [13], которые он назвал специальными по аналогии с йордановыми алгебрами.

Скажем, что алгебра Ли L специальная алгебра Ли, если существует ассоциативная Pi-алгебра А такая, что L вложена в АН как алгебра Ли, где АН - алгебра Ли, заданная на А с помощью операции коммутирования [х,у] = ху — ух.

С.А. Пихтильков и К.И.Бейдар показали, что в специальных алгебрах Ли первичный радикал является наибольшим локально разрешимым идеалом [3], [4].

С.А. Пихтильков ввел понятие локально нильпотентного радикала специальной алгебры Ли [19].

Локально нильпотентным радикалом N{L) специальной алгебры Ли L над полем F называется пересечение наибольших идеалов локальной нильпотентности всех PI-представлений алгебры Ли L над полем F.

В 1969 году были опубликованы "Лекции о квадратичных йордановых алгебрах" Джекобсона ("Lectures on Quadratic Jordan Algebras") [46], где было впервые введено понятие внутреннего идеала квадратичной йорда-новой алгебры.

Понятие внутреннего идеала для алгебр Ли было введено Джорджией Бенкарт [35].

Скажем, что подпространство В алгебры Ли L является внутренним идеалом, если [В, [В, L]} С В.

Считается, что внутренний идеал алгебры Ли является аналогом одностороннего идеала ассоциативной алгебры. Внутренние идеалы сыграли важную роль в классификации простых конечномерных алгебр Ли

над полями положительной характеристики. В частности было показано, что в любой конечномерной алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем существуют одномерные внутренние идеалы [23] и [24].

Свойства внутренних идеалов исследовались также для бесконечномерных алгебр Ли [33]

Понятие артиновости играет важную роль в теории колец.

Ассоциативное кольцо Л называется право (лево) артиновым, если любая убывающая цепочка его правых (левых) идеалов идеалов - стабилизируется [12], [28].

Известны примеры право, но не лево артиновых колец [12].

Понятие артиновости используется как одно из условий конечности (конечномерности).

Так, например, радикал Джекобсона артинова кольца является ниль-потентным, полу простая артинова алгебра является прямой суммой простых артиновых подалгебр, артинова простая алгебра изоморфна алгебре матриц над телом [28].

Ситуация для алгебр Ли отличается. Любой идеал алгебры Ли является двусторонним.

Артиновость для алгебр Ли через идеалы определяли Ю.А. Бахтурин [2], С.А. Пихтильков [18] и В.М. Поляков [20].

Они рассматривали специальные артиновы алгебры Ли.

Возможно лучшим аналогом одностороннего идеала для алгебр Ли являются подалгебры или внутренние идеалы.

Ф. Лопес, Е. Гарсия, Г. Лозано исследовали понятие внутреннего идеала применительно к артиновости с помощью йордановых пар [43], [44].

Сформулируем определения артиновости в трех смыслах.

Пусть Ь - алгебра Ли.

а) Если убывающая цепочка идеалов стабилизируется, то алгебра на-

зывается i-артиновой;

б) если убывающая цепочка алгебр стабилизируется, то алгебра называется а-артиновой;

в) если убывающая цепочка внутренних идеалов стабилизируется, то алгебра называется гтт-артиновой.

В диссертации проведено исследование свойств внутренних идеалов над полем характеристики нуль, соотношений между различными определениями артиновости и разрешимости первичного радикала артино-вых алгебр Ли.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Проведено исследование свойств собственных внутренних идеалов алгебры Ли sln(F) над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.

Показано, что все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли sln(F) над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль удовлетворяют условию: А, В б Н АВ = 0.

2. Пусть F - алгебраически замкнутое поле, char F = 0, V - бесконечномерное векторное пространство над F.

Обозначим через glfr(V) множество линейных отображений конечного ранга бесконечномерного векторного пространства V над полем F в себя. Пусть slfr(V) = [glfr{V), glfr(V)] - специальная линейная алгебра Ли преобразований ограниченного ранга.

Для специальной линейной slfr(V) алгебры Ли линейных преобразований V ограниченного ранга показано, что все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли slfr(V) удовлетворяют условию: /,^ G Н / од = 0.В частности собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли slfr(V) являются абелевыми;

3. Проведено исследование соотношений различных определений ар-тиновости. Легко проверить, что из mn-артиновости следует г-артиновость и из а-артиновости следует г-артиновость.

Приведены примеры, показывающие что из г-артиновости может не следовать а-артиновость и гпп-артиновость;

4. Для а-артиновых и гпп-артиновых алгебр Ли решена проблема A.B. Михалева. То есть показано, что для а-артиновых или mn-артиновых алгебр Ли их первичный радикал - разрешим.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при решении различных задач в теории алгебр Ли.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на следующих международных алгебраических конференциях:

— Третья международная школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", посвященная 75-летию Э.Б. Винберга. Тольятти, Россия, 25-30 июня 2012 г.;

— X Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Волгоград, Россия, 10-16 сентября 2012 г.;

— XI Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Саратов, Россия, 9-14 сентября 2013 г.

Список публикаций по теме диссертации из 7 работ (трех тезисов и четырех статей) приведен в конце диссертации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Нумерация лемм, пред-

ложений и теорем привязана к своему разделу, а нумерация формул сквозная. Полный объем диссертации составляет 91 страницу, библиография включает 67 наименований.

Краткое содержание. В первой главе рассматриваются свойства внутренних идеалов алгебры Ли и различные определения артиновости.

В разделе 1.1 изучаются некоторые свойства внутренних идеалов.

В диссертации поставлен ряд вопросов, ответ на которые не известен автору диссертации.

Естественно поставить следующий вопрос.

Вопрос 1 Пусть В - внутренний идеал алгебры Ли Ь. Является ли В' = [В, В] внутренним идеалом?

Ответ на этот вопрос неизвестен автору диссертации.

Приведен пример 1.1.1 внутреннего идеала конечномерной нильпо-тентной алгебры Ли, который не является алгеброй Ли.

Естественно возникает следующий вопрос.

Вопрос 2 Существует ли внутренний идеал в полупростой алгебре Ли, не являющийся алгеброй Ли?

Приведен пример 1.1.2, показывающий, что взаимный коммутант внутренних идеалов может не быть внутренним идеалом.

Естественно поставить следующий вопрос.

Вопрос 3 Пусть В - внутренний идеал алгебры Ли Ь. Является ли внутренним идеалом?

Следующая лемма дает ответ на этот вопрос для внутреннего идеала, являющегося алгеброй Ли. Аналогичное утверждение для множества Вп доказано в [35].

Лемма 1.1.3 Пусть подалгебра Ли В является внутренним идеалом алгебры JIu L. Тогда В^ - внутренний идеал.

В разделе 1.2 рассматриваются различные определения артиновости для алгебр Ли.

Пусть L - алгебра Ли.

а) Если убывающая цепочка идеалов стабилизируется, то алгебра называется г-артиновой;

б) если убывающая цепочка алгебр стабилизируется, то алгебра называется а-артиновой;

в) если убывающая цепочка внутренних идеалов стабилизируется, то алгебра называется inn-артиновой.

Приведен пример 1.2.1 бесконечномерной ¿rm-артиновой алгебры Ли.

Легко проверить, что из inn-артиновости следует ¿-артиновость и из а-артиновости следует г-артиновость.

Приведен пример 1.2.2, показывающий что из г-артиновости может не следовать а-артиновость.

Приведен пример 1.2.3, показывающий что из г-артиновости не следует inn- артиновость.

В главе 2 рассматриваются внутренние идеалы алгебры Ли sln(F).

В разделе 2.1 изучаются внутренние идеалы алгебры Ли sfaiF).

A.A. Премет доказал существование собственных внутренних идеалов в любой простой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем [23], [24].

В алгебре Ли V3 трехмерных векторов над R по отношению к сложению и векторному произведению нет внутренних идеалов. Поэтому интересен только случай алгебраически замкнутого поля.

Следующая теорема характеризует все внутренние идеалы алгебры

над алгебраически замкнутым полем.

Теорема 2.1.1 Рассмотрим алгебру Ли в^Р) над алгебраически замкнутым полем -Р характеристики не равной 2. Тогда все ее собственные внутренние идеалы одномерны, порождены матрицами вида:

Доказанная теорема позволяет поставить следующий вопрос.

Вопрос 4 Справедливо ли утверждение: в любой простой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем собственный внутренний идеал является нильпотентным?

Этот вопрос был поставлен автором диссертации на Третьей международной школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", посвященной 75-летию Э.Б. Винберга (Тольятти, Россия, 25-30 июня 2012 г.).

В разделе 2.2 рассматриваются внутренние идеалы алгебры Ли sls(F) над полем F нулевой характеристики.

Установлено, что одномерный внутренний идеал алгебры sl3{F), charF = 0, в некотором базисе порождается матрицей А = в21 или в более общем виде е^-, i Ф j.

Доказано, что все двумерные внутренние идеалы

где х2 + yz = 0, х, у, z не равны нулю одновременно.

Н С sk(F),char F = 0

приводятся в некотором базисе к виду

if 0 0 0 \

а 0 (3 a,fieF

{ V 0 0 0 у

и удовлетворяют условию А, В £ Н АВ = 0.

В разделе 2.3 исследуются внутренние идеалы алгебры Ли й/ДР).

Дж. Бенкарт показала [35], что в невырожденной тп-артиновой простой алгебры Ли все собственные внутренние идеалы абелевы.

Такими алгебрами являются алгебры в/^Р) над полем Р характеристики нуль.

В диссертации дано независимое доказательство результата Дж. Бенкарт для специальной линейной алгебры Ли над полем характеристики нуль.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3.1 В алгебре Ли Ь = з/п(Р) над полем Р характеристики нуль все собственные внутренние идеалы абелевы.

В разделе 2.4 доказывается ассоциативная нильпотентность внутренних идеалов алгебры Ли 5^П(Р).

В разделе 2.1 показано, что для алгебры Ли (Р) над алгебраически замкнутым полем Р характеристики не равной 2 все ее собственные внут-

Для любого натурального п в алгебре Ли з1п(Р) существуют одномерные внутренние идеалы вида Н = {ае^\о> € Р},г ф 3 [35]. Пусть

А,В еН, тогда АВ С {¡Зе^ • е^\/3 е Р} = 0.

В [61] показано, что все двумерные внутренние идеалы Н С 5/3 (Р),

ренние идеалы одномерны, порождены матрицами вида:

х2 + уг = 0, х, у, г - не равны нулю одновременно.

Для такого внутреннего идеала Н выполнено условие

А, В е Н АВ = 0.

char F — 0 приводятся в некотором базисе к виду

f / 0 0 0 ^

Н =

eF \ .

а О ¡3

у о о о у

и удовлетворяют условию А, В £ Н => АВ — 0.

Рассмотренные утверждения дают основание поставить следующий вопрос.

Вопрос 5[61] Верно ли, что все собственные внутренние идеалы Н алгебры Jlu sln(F) для поля F характеристики нуль удовлетворяют условию А,В е Н АВ = 0?

Частичный ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема 2.4.1 Пусть F - алгебраически замкнутое поле, char F = 0. Все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли sln(F) удовлетворяют условию: А, В £ Н АВ = 0.

Обобщим полученный результат на один класс бесконечномерных алгебр Ли.

Обозначим через glfr(V) множество линейных отображений конечного ранга бесконечномерного векторного пространства V над полем F в себя. Пусть slfr(V) = [glfr(V): glfr(V)}.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.4.2 Пусть F - алгебраически замкнутое поле, char F = 0, V - бесконечномерное векторное пространство над F. Все собственные внутренние идеалы Н алгебры Ли sl/r(V) удовлетворяют условию: f,g&H=>fog = 0.

В главе 3 дается частичное решение проблемы A.B. Михалева для алгебр Ли.

В разделе 3.1 излагаются элементы теории первичного радикала алгебр Ли в соответствии с [1], [21].

В разделе 3.2 исследуется первичный радикал артиновых алгебр Ли.

В 2001 году A.B. Михалев на семинаре механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова "Кольца и модули"поставил проблему: существует ли артинова алгебра Ли, первичный радикал которой не является разрешимым?

В 1963 г. В.Н. Латышев ввел понятие специальной алгебры Ли [13].

Алгебра Ли L называется специальной алгеброй или SPI-алгеброй, если существует ассоциативная Р/-алгебра А такая, что L вложена в АН как алгебра Ли, где АН - алгебра Ли, заданная на Ас помощью операции коммутирования [х,у] = ху — ух.

С.А. Пихтильков доказал, что первичный радикал специальной г-артиновой алгебры Ли является разрешимым [18].

Известно, что первичный радикал произвольной алгебры Ли является слабо разрешимым, может не быть разрешимым и даже локально разрешимым [1].

В разделе 1.2 мы показали, что свойства а-артиновости и mn-артино-вости сильнее, чем свойство г-артиновости.

Следующая теорема дает решение ослабленной проблемы A.B. Михалева.

Теорема 3.2.1 Пусть L - а-артинова или inn-артинова алгебра Ли. Тогда первичный радикал Р{Ь) алгебры Ли L - разрешим.

О Исторический очерк. Основные определения и обозначения

Теория групп и алгебр Ли была основана в 70-е годы XIX в. норвежским математиком Софусом Ли (1842 - 1899), но свое современное название она получила лишь в 1934 году от немецкого математика Германа Вейля (1885-1955). До того момента как Вейль ввел новое название эту теорию называли "инфинитезимальные преобразования рассматриваемой группы", или "инфинитезимальная группа".

Первое современное изложение теории групп Ли было дано в 1938 Львом Семеновичем Понтрягиным (1908-1988) [22].

К построению теории групп Ли привела идея Софуса Ли создать для дифференциальных уравнений теорию, аналогичную теории Галуа.

Рассматривая специальные методы интегрирования дифференциальных уравнений различного типа, Ли заметил, что все эти методы на самом деле являются частными случаями общего метода интегрирования, основанного на инвариантности дифференциального уравнения относительно некоторой непрерывной группы преобразований.

Изучая работы Плюккера (1801-1868) по геометрии, Ли замечает, что прямолинейным комплексам, которые и рассматривал Плюккер, должны соответствовать дифференциальные уравнения, которым в свою очередь соответствуют интегральные поверхности и кривые, лежащие на этих поверхностях. Такие кривые Ли позже назвал кривыми соответствующих комплексов. Преобразования дифференциальных уравнений комплексов друг в друга приводили к соответствию между самими комплексами.

Первая работа, в которой он использовал эти идеи, была представлена в 1869 году. Называлась она "Ueber die Reciprocitatsverhaltnisse der

Reyschen Complexe" [52].

Вторую работу на эту тему Софуе Ли написал совместно с Феликсом Клейном (1849-1925), учеником Плюккера, в 1870 году. Она носила название "Sur une certaine famille de courbes et surfaces" ("О некоторых семействах кривых и поверхностей") [50].

В 1870 году вышла работа Жордана (1838-1922) по теории групп подстановок "Trait е des substitutions et des equations algebriques" [47].

Это была первая работа того времени, в которой наиболее полно была изложена теория конечных дискретных групп и их приложений к алгебраическим уравнениям.

Она включала еще и результаты Лагранжа (1736-1813) и Абеля (18021829), полученные в этом направлении. Также в работе было дано и первое полное изложение теории Галуа (1811-1832). Для этого Жордану пришлось ввести и обосновать ряд новых понятий. Но у Жордана еще не было того определения группы, которое мы знаем сейчас.

Современное определение понятия "группа" ввел Вальтер фон Дюк в 1882 г.

В сочинении Жордана есть уже явное выделение нормальных подгрупп, понятие простой группы, фактор-группы, изложение доказанной им в 1869 г. теоремы Жордана, первой части известной теоремы Жордана-Гёльдера, исследование кратно-транзитивных групп.

В этом сочинении впервые появляется понятие гомоморфизма. Так же в данной работе Жордан впервые рассматривает матричные группы с элементами из конечного поля, то есть дискретные группы.

Работа Жордана стала на некоторый период времени учебником как по теории групп, так и по теории Галуа.

Эта работа оказала большое влияние на взгляды Софуса Ли. Понятия, введенные Жорданом, Ли позже распространил на группы преоб-

разований.

В 1872 г. Феликс Клейн (1849-1925) опубликовал "Эрлангенскую программу", согласно которой всякая геометрия определяется некоторым набором взаимно однозначных преобразований некоторого множества, этот набор должен быть группой, с каждой группой преобразований связывается некоторая геометрия, и суть всякой геометрии состоит в изучении инвариантов ее группы преобразований.

Основное содержание геометрии составляют теоремы о соотношениях между инвариантными свойствами. Расширяя или сужая группу преобразований, можно перейти от одного типа геометрии к другому. Евклидова геометрия - наука об инвариантах метрической группы; проективная геометрия - наука об инвариантах проективной группы.

Классификация групп преобразований дает классификацию геометрий; теория алгебр и дифференциальных инвариантов каждой группы дает аналитическую структуру геометрии.

Далее Клейн стал заниматься идеей применения теории групп к геометрической теории функций комплексного переменного.

В 1874 году Ли вводит определения "инфинитезимального оператора группы", "инварианта группы", "разрешимой группы", представил перечисление всех групп на прямой и на плоскости.

С. Ли рассматривал инфинитезимальные контактные преобразования и показал что контактные преобразования плоскости образуют группу, зависящую от 10 параметров, изоморфную группе проективных преобразований четырехмерного пространства, переводящих в себя гиперповерхность второго порядка.

К середине 1875 года теория непрерывных групп оформилась как самостоятельная дисциплина.

В конце 70-х годов Ли доказывает три теоремы, которые теперь на-

зывают "Теоремы Ли". Они устанавливают связь между группами Ли и алгебрами Ли. Алгебры Ли определяются как алгебры инфинитезималь-ных операторов групп Ли.

В 80-е годы С. Ли задумался о создании теории бесконечных групп преобразований. Он распространил на бесконечные группы понятия "транзитивность", "примитивность", "импримитивность" и "подобие". Он рассматривает классификацию бесконечных групп в работе "Untersuchungen über unendlichen kontinuirliche Gruppen" ("Исследование непрерывных бесконечных групп") [53].

Все результаты, полученные Ли, были опубликованы в трехтомной монографии "Теория групп преобразований", которая была опубликована в 1888-1893 гг. совместно с Фридрихом Энгелем (1861-1941) [54].

Энгель в свою очередь тоже внес большой вклад в развитие алгебр Ли. Важное значение имеет теорема, которую теперь называют теоремой Энгеля. Он рассматривал нильпотентную алгебру Ли с нильпотент-ным присоединенным представлением и сделал вывод, что существует базис, в котором матрицы всех операторов присоединенного представления треугольны и имеют нулевую диагональ. Он доказал, что такая алгебра разрешима. Так же Энгель был одним из первых, кто рассматривал экспоненциальное отображение.

В 1884 г. Вильгельм Киллинг (1847-1923) опубликовал статью "Расширение понятия пространства", в которой он, независимо от Софуса Ли, пришел к понятиям группы Ли и алгебры Ли и поставил задачу классификации простых групп Ли.

Киллинг в своих работах отметил, что во всякой алгебре Ли имеется наибольший разрешимый идеал (теперь его называют радикалом) и что фактор алгебры Ли по ее радикалу имеет нулевой радикал.

Он ввел понятие полупростых алгебр Ли, как алгебр Ли с нулевым

радикалом. Киллинг доказал, что полупростые алгебры Ли являются произведениями простых алгебр Ли над полями нулевой характеристики.

Киллинг высказал утверждение, что производная алгебра (этот термин используется до сих пор наряду с термином коммутант) всякой алгебры Ли есть сумма своего нильпотентного радикала, и некоторой полу простой алгебры.

Чуть позже Эли Картан (1869-1951) высказал более общее утверждение, что всякая алгебра Ли есть сумма своего радикала и некоторой полу простой подалгебры.

Единственным доказанным утверждением на эту тему в то время была теорема Энгеля, согласно которой во всякой неразрешимой алгебре Ли существует простая подалгебра Ли размерности 3.

Первое опубликованное доказательство утверждения Картана для комплексных алгебр Ли было представлено в 1905 году французским математиком Э. Леви; другое доказательство (справедливое также в вещественном случае) было дано английским математиком Алфредом Уайт-хедом (1861-1947) в 1936 г.

В 1942 г. Анатолий Иванович Мальцев (1909-1967) дополнил этот результат теоремой единственности. Теперь эта теорема носит название "теорема Леви-Мальцева", а указанная выше сумма называется разложением Леви.

В 1889— 1890 г. Киллинг ввел билинейную форму специального вида (форма Киллинга) на конечномерной алгебре Ли.

В 1894 Киллинг совместно с Эли Картаном находят все комплексные простые группы Ли. Классификацию вещественных простых групп Ли, Картан смог провести только в 1914 г.

Картан дал строгое доказательство того, что подгруппа нулевого ран-

га полупростой группы Ли, коммутативна. Ввел понятие подгруппы, которую сейчас называют подгруппой Картана полупростой группы Ли -множество всех элементов группы, перестановочных с элементом общего вида («регулярным элементом») группы. Соответствующую этой подгруппе подалгебру алгебры Ли называют подалгеброй Картана алгебры Ли.

После того как Картан в своей диссертации решил проблему структуры конечномерных групп Ли, он поставил задачу определения структуры бесконечномерных обобщений групп Ли. Картан называл эти обобщения "бесконечными непрерывными группами". В настоящее время бесконечномерные обобщения групп Ли, рассматривавшиеся Картаном, называются псевдогруппами Ли.

В 1895 г. французский математик Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912) заложил основы комбинаторной топологии. Он ввел понятие накрывающего пространства, которое оказалось необходимым для теории групп Ли в целом.

В 1905 г. Пуанкаре ввел группу, которую теперь называют группой Пуанкаре. Это неабелева, некомпактная группа Ли. Она играет важную роль в релятивистской физике, являясь группой её глобальной симметрии.

В 1913 г. в работе "Проективные группы, не оставляющие инвариантным никакого плоского многообразия" Картан построил теорию линейных представлений комплексных простых групп Ли.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мещерина, Елена Владимировна, 2014 год

Список литературы

[1] Балаба И.Н. Первичный радикал градуированных Г2-групп / И.Н. Балаба, A.B. Михалев, С.А. Пихтильков // Фундаментальная и прикладная математика.- 2006.- Т. 12,- № 2.- С. 159-174.

[2] Бахтурин, Ю.А. Артиновы специальные алгебры Ли / Ю.А. Бахту-рин // Алгебра.- М.: Изд-во МГУ, 1982,- С. 24-26.

[3] Бейдар К.И., Пихтильков С.А. О первичном радикале специальных алгебр Ли // Успехи матем. наук.- 1994.- № 1,- С. 233.

[4] Бейдар, К.И. Первичный радикал специальных алгебр Ли / К.И. Бейдар, С.А. Пихтильков // Фундаментальная и прикладная математика,- 2000.- Т. 6.- № 3.- С. 643-648.

[5] Бейдар, К.И. Алгебры Ли с условием максимальности на абелевы подалгебры / К.И. Бейдар, М.В. Зайцев, С.А. Пихтильков // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., мех,- 2002,- № 5,- С. 27-32.

[6] Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли (главы I-III).- М.: Мир, 1976.496 с.

[7] Джекобсон Н. Строение колец.- М.: Изд-во иностр. литературы, 1961.- 392 с.

[8] Джекобсон, Н. Алгебры Ли,- М.:Мир, 1964.- 355 с.

[9] Жевлаков, К.А. Кольца, близкие к ассоциативным / К.А. Жевла-ков, A.M. Слинько, И.П. Шестаков, А.И. Ширшов.- М.: Наука, 1978.432 с.

[10] Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления".- Т. 18. Алгебра-2.- М.: ВИНИТИ, 1988.- 248 с.

[11] Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда. М.: Наука, 1986.- 232 с.

[12] Ламбек, И. Кольца и модули,- М.: Мир, 1971.- 279 с.

[13] Латышев, В.Н. Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями / В.Н. Латышев// Сиб. мат. журнал,- 1963,- Т 4,- № 4,- С. 821-829.

[14] Латышев В.Н., Михалев A.B., Пихтильков С.А. О сумме локально разрешимых идеалов алгебр Ли // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., мех,- 2003,- № 3,- С. 29-32.

[15] Ленг С. Алгебра.- М.: Наука, 1968,- 564 с.

[16] Ольшанский А.Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1980,- Т. 44,- №2,- С. 309-321.

[17] Парфенов В.А. О слабо разрешимом радикале алгебр Ли / В.А. Парфенов // Сиб. мат. журнал,- 1971,- Т. 12,- № 1.- С. 171-176.

[18] Пихтильков, С.А. Артиновые специальные алгебры Ли / С.А. Пихтильков //В мв. сб. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп.- Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2001.- С. 189-194.

[19] Пихтильков, С. А. О локально нильпотентном радикале специальных алгебр Ли / С. А. Пихтильков // Фундаментальная и прикладная математика.- 2002,- Т. 8.- Вып. 3,- С. 769-782.

[20] Пихтильков, С.А. О локально нильпотентных артиновых алгебрах Ли / С.А. Пихтильков, В.М. Поляков// Чебышевский сборник.-2005,- Т. 6,- Вып. 1.- С. 163-169.

[21] Пихтильков С.А. Структурная теория специальных алгебр Ли/ С.А. Пихтильков,- Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2005.- С. 45-48.

[22] Понтрягин Л.С. Непрерывные группы - М.: Госуд. объед. науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1938. - 315 с.

[23] Премет, А. А. Алгебры Ли без сильного вырождения / A.A. Премет // Математический сборник. 1986. Т. 129 (171). № 1, С. 140-153.

[24] Премет, А. А. Внутренние идеалы в модулярных алгебрах Ли / A.A. Премет // Весщ АН БССР. Сер. ф!з.-мат. навук. 1986. № 5. С. 11-15.

[25] Размыслов Ю. П. Об энгелевых алгебрах Ли / Ю.П. Размыслов // Алгебра и логика.- 1971.- Т. 10,- №10.- С. 33-44.

[26] Размыслов Ю.П. О радикале Джекобсона в PI-алгебрах /Ю.П. Размыслов // Алгебра и логика.- 1974,- Т. 13.- N 3.- С. 337-360.

[27] Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представления.- М.: Наука, 1989,- 432 с.

[28] Херстейн, И. Некоммутативные кольца.- М.: Мир, 1972.- 191 с.

[29] Ширшов, А.И. Подалгебры свободных лиевых алгебр / А. И. Ширшов // Матем. сб.- 1953.- Т. 33(75) № 2.- , С. 441-452.

[30] Amayo R., Stewart I. Infinite dimensional Lie algebras. Ley den: Noordhoof, 1974.

[31] Bahturin Yuri On Lie subalgebras of associative P/-algebras // J. Algebra.- 1980,- V. 67.- N 2.- P. 257-271.

[32] Bahturin Yu.A., Baranov A.A., Zalesski A.E. Simple Lie subalgebras of Locally finite assiciative algebras // J. of Algebra.- 2004.- V. 281,- P. 225-246.

[33] Baranov A.A., Rowley J. Inner ideal of simple locally finite algebras // Arxiv Math.- 2013.- 1208.1972,- V. 2. P. 1-23.

[34] Benkart G. The Lie inner ideal structure of associative rings // J. Algebra.- 1976.- V. 43,- P. 561-584.

[35] Benkart G. On inner ideals and ad-nilpotent elements of Lie algebras // Transaction of the American Mathematical Society.- 1977.- V. 232.-P. 61-81.

[36] Benkart G., Fernandez Lopez A. The inner ideal structure of associative rings revisited // Communications in Algebra.- 2009.- V. 37,- 3833-3850.

[37] Benkart G., Fernandez Lopez A. The inner ideal structure of associative rings revisited // Communications in Algebra.- 2009.- V. 37.- 3833-3850.

[38] Draper C., Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. The inner ideals of the simple finite dimensional Lie algebras // J. Lie Theory. -2012,- V. 22,- N 4,- 907-929.

[39] Faulkner J.R. On the geometry of inner ideals //J. Algebra.- 1973.-V. 26.- P. 1-9.

[40] Fernandez Lopez A. Lie inner ideals are nearly Jordan inner ideals // Proc. Amer Math. Soc. (toappear)

[41] Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. Inner ideals of Unitary simple Lie algebras //J. Lie Theory.- 2006,- V. 16,- P. 97-114.

[42] Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M., Neher E. A construction of gradings of Lie algebras // IMRN Int. Math. Res. Not.-V 16,- 2007.- V. 16.- Art. ID rnm051.- P. 34,- MR 2353091 (2008j: 17057).

[43] Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. An artinian theory for Lie algebras // Journal of Algebra.- 2008.- V.- 319.- N 3.- P. 938-951.

[44] Fernandez Lopez A., Garcia E., Gomez Lozano M. Inner ideal structure of nearly artinian Lie algebras // Proc. Amer. Math. Soc.- 2009.-V. 137.- P. 1-9.

[45] Jacobson N. Structure theory for a class of Jordan algebras // Proc. Nat. Acad. Sci.U.S.A.- 1966.- V. 55,- P. 243-251.

[46] Jacobson N. Structure theory of quadratic Jordan algebras // Lecture Notes.- Tata Institute.- Bombay, 1970,- 128 pp.

[47] Jordan C. Trait e des substitutions et des equations algebriques.- Paris, 1870.- 667 pp.

[48] Kamiya N. On the Jacobson radicals of infinite-dimensional Lie algebras // Hiroshima Math. J.- 1979,- V. 9,- P. 37-40.

[49] Katz J. Isomorphisms of the lattice of inner ideals of certain quadratic Jordan algebras // Trans. Amer. Math. Soc.- 1973.- V. 185,- P. 309-329.

[50] Klein F., Lie S. Sur une certaine famille de courbes et surfaces // C. R. Acad. Sci.- 1870.- V. 70 P. 1222-1226 et 1275-1279.

[51] Kubo F. Infinite-dimensional Lie algebras with null Jacobson radical // Bull. Kyushu Inst. Technol. Math. Nat. Sei.- 1991.- V. 38. P. 23-30.

[52] Lie S. Ueber die Reciprocitatsverhaltnisse der Reyschen Complexe // Nachrichten der Kg. Gesellschaft der Wissenschzften zu Gottingen. Math. Ann.- V. 2.- P. 53-66.

[53] Lie S. Ueber unendliche continuirliche Gruppen // Christ. Forth.- 1895.-V. 12.- P. 1-56.

[54] Lie S., Engel und F. Theorie der Transformationsgruppen.- 3 vol.-Leipzig (Teubner).- 1888-1893.

[55] McCrimmon K. Inner ideals in quadratic Jordan algebras // Trans. Amer. Math.Soc.- 1971.- V. 159,- P. 445-468.

[56] Marshall E. I. The Frattini subalgebras of a Lie algebra //J. London Math. Soc.- 1967.- V. 42,- P. 416-422.

[57] Pikhtilkov S.A. Locally Nilpotent Ideals of Special Lie Algebras // Comm. in Algebra.- 2001,- V. 29,- N 10,- P. 3781-3786.

[58] Togo S. Radicals of infinite-dimensional Lie algebras // Hiroshima Math. J.- 1972,- V. 2,- P.- 179-203.

[59] Togo S., Kavamoto N. Ascendantly coalescent classes and radicals of Lie algebras // Hiroshima Math. J.- 1972.- V. 2,- P. 253-261.

[60] Topping D. Jordan algebras of self-adjoint operators // Mem. Am. Math. Soc.- 1965.- V. 53,- P. 1-48.

Работы автора по теме диссертации

[61] Мещерина, Е.В. О собственных внутренних идеалах простых алгебр Ли / Е.В. Мещерина, С.А. Пихтильков, O.A. Пихтилькова // Ученые записки Орловского государственного университета.- 2012.-№ 6,- Часть 2,- С. 156-162.

[62] Мещерина Е.В. О свойствах внутренних идеалов алгебр Ли /Е.В. Мещерина, С.А. Пихтильков, O.A. Пихтилькова // Тезисы третьей международной школы-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", посвященная 75-летию Э.Б. Винбер-га (Тольятти, Россия, 25-30 июня 2012 г.): тезисы докладов. Тольятти: Изд-во ТГУ, 2012,- С. 32-34.

[63] Мещерина Е.В., Пихтильков С.А., Пихтилькова O.A. Об одной проблеме для внутренних идеалов алгебры Ли / Е.В. Мещерина, С.А. Пихтильков, O.A. Пихтилькова // Тезисы X международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Волгоград, Россия, 10-16 сентября 2012 г.): тезисы докладов. Волгоград: Изд-во ВГСПУ "Перемена", 2012,- С. 46-47.

[64] Мещерина Е.В., Пихтильков С.А., Пихтилькова O.A. О собственных внутренних идеалах простых алгебр Ли / Е.В. Мещерина, С.А. Пихтильков, O.A. Пихтилькова // Тезисы XI международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Саратов, Россия, 9-14 сентября 2013 г.): тезисы докладов. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2013.- С. 61-62.

[65] Мещерина E.B. О некоторых свойствах внутренних идеалов алгебры Ли / Е.В. Мещерина, С.А. Пихтильков // Вестник ОГУ.- 2013.- № 9 (158).- С. 110-114.

[66] Мещерина, Е.В. О проблеме A.B. Михалева для алгебр Ли / Е.В. Мещерина, С.А. Пихтильков, O.A. Пихтилькова // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика,- 2013.- Вып. 4,- Ч. 2. С. 84-89.

[67] Мещерина, Е.В. О различных определениях артиновости для алгебр Ли / Е.В. Мещерина // Чебышевский сборник,- 2013.- Т. 14.-Вып. 3 (47).- С. 86-91.

Предметный указатель

Алгебра Ли

г-артинова 8, 11, 45 а-артинова 8, 11, 45 тп-артинова 8, 11, 45 локально разрешимая 74 разрешимая 74 первичная 74 слабо разрешимая 74 специальная линейная 40, 54 специальная линейная преобразований ограниченного ранга 8, 14, 71

специальная 6, 77 Ассоциативное кольцо

артиново 7, 44 Внутреннее дифференцирование алгебры Ли 39

Идеал

алгебры Ли внутренний алгебры Ли 6, 37 первичный 74

собственный внутренний алгебры Ли 51

характеристический алгебры Ли 42

Коммутант алгебры Ли 42 Матричные единицы 39 Нижний центральный ряд алгебры Ли 42 Поставленные вопросы 36, 38, 40,42, 53, 68

Присоединенное отбражение алгебры Ли 38 Производный ряд алгебры Ли 42 Радикал алгебры Ли

верхний слабо разрешимый 75 Джекобсона 5 локально нильпотентный 6 нижний слабо разрешимый 76 нильпотентный 5 первичный 74 Теорема Ли 70

Централизатор множества алгебры Ли 45