Первичный радикал алгебр Ли, удовлетворяющих дополнительным условиям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Поляков, Владимир Михайлович

• Поляков, Владимир Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Поляков, Владимир Михайлович

Список обозначений

Введение

1 Первичный радикал алгебр Ли

1.1 Основные определения и формулировки.

1.2 Первичный радикал кольца многочленов над алгеброй Ли

2 Первичный радикал артиновых алгебр Ли

2.1 Первичный радикал артиновых специальных супералгебр

2.2 О локально нильпотентных артиновых алгебрах Ли

3 Полупервичные слабо разрешимые алгебры Ли

3.1 Пример ненулевой локально нильпотентной полупервичной алгебры Ли.

3.2 Пример первичной слабо разрешимой алгебры Ли.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Первичный радикал алгебр Ли, удовлетворяющих дополнительным условиям»

Областью исследования диссертационной работы является "теория радикалов алгебр Ли". Теории радикалов алгебр Ли посвящены такие работы как [37], [40], [41],[14], [4], [5] и др.

Цель работы - изучение свойств первичного радикала алгебр и супералгебр Ли, на которые наложены дополнительные условия: артино-вость, локальная нильпотентность, слабая разрешимость.

Актуальность темы диссертации. Начало создания теории конечномерных алгебр Ли относится к концу XIX века. Оно связано с именами таких математиков как Софус Ли, Ф. Энгель, Э. Картан, В. Киллинг и др. [10, стр. 453].

По аналогии с теорией групп было введено понятие разрешимой и нильпотентной алгебр Ли. В. Киллинг ввел понятие радикала и полупростой алгебры Ли.

В дальнейшем развитие теории конечномерных алгебр Ли привело к классификации конечномерных простых алгебр Ли над полем характеристики нуль, доказательству теоремы Леви-Мальцева и многих других.

Конечномерные алгебры Ли возникли при изучении групп Ли. В настоящее время они имеют хорошо разработанную теорию, которая находит приложение в различных областях математики.

При изучении теории гладких многообразий естественно возникают бесконечномерные алгебры Ли векторных полей.

Бесконечномерные алгебры Ли оказались полезным инструментом при построении примеров групп. Например, Ю. П. Размыслов использовал бесконечномерные алгебры Ли при построении примера группы, удовлетворяющей тождеству хр = 1, где р > 5 - простое, которая не является разрешимой [27]. Бесконечномерные алгебры Ли широко использовались в работах А. И. Кострикина по проблеме Бернсайда [16].

Они находят и другие применения в математике.

Разработка структурной теории алгебр Ли является актуальной темой исследования. В настоящее время в этой области имеются тысячи научных работ.

Для различных алгебраических систем важную роль при построении структурной теории играет понятие радикала.

Радикал это такой класс идеалов, фактор по которым имеет нулевой радикал и хорошо устроен.

В теории ассоциативных колец используются радикалы Джекобсона, первичный, Левицкого и другие.

В общем случае нельзя утверждать, что полупростое в смысле некоторого радикала кольцо хорошо устроено.

Если наложить на полупростое кольцо дополнительно некоторое условие, то оно может стать хорошо устроенным. Такими условиями могут служить артиновость, наличие полиномиального тождества и другие.

Различные радикалы для алгебр Ли исследовались в работах [37], [40], [41] и других.

В теории конечномерных алгебр Ли в качестве радикала используют наибольший разрешимый идеал.

В бесконечномерных алгебрах Ли сумма всех разрешимых идеалов не всегда является разрешимым идеалом.

Естественным обобщением понятия разрешимого идеала является локально разрешимый идеал.

В.Н. Латышев, А.В. Михалев и С.А. Пихтильков показали, что сумма локально разрешимых идеалов бесконечномерной алгебры Ли может не быть локально разрешимым идеалом [19].

Поэтому исследовать локально разрешимый радикал для класса всех алгебр Ли нельзя.

Единый для всех классов алгебр Ли радикал был построен В.А. Парфеновым [23]. Он предложил рассматривать в качестве радикала наибольший слабо разрешимый идеал алгебры Ли.

Алгебра Ли называется слабо разрешимой, если любое ее конечномерное подпространство удовлетворяет тождеству разрешимости некоторой степени.

B.А.Парфенов показал, что сумма слабо разрешимых идеалов алгебры Ли является слабо разрешимым идеалом. Кроме того, класс всех слабо разрешимых алгебр Ли является радикальным в универсальном классе всех алгебр Ли.

Кроме слабо разрешимого радикала хорошим радикалом для алгебр Ли является первичный радикал.

Исследования первичного радикала были проведены для различных алгебраических систем: ассоциативных алгебр и /-колец [20], [13], [17]; групп, fi-групп и Q—/-групп [32], [22], [29],[11], [12], [21]; неассоциативных алгебр [14]; специальных алгебр Ли [4], [5].

Известно, что первичный радикал произвольной алгебры Ли всегда содержится в наибольшем слабо разрешимом идеале. Включение этих радикалов может быть строгим.

Существует такой класс алгебр Ли, в котором первичный радикал и наибольший слабо разрешимый идеал совпадают.

В 1963 г. В.Н. Латышев ввел новый класс алгебр Ли [18], которые он назвал специальными по аналогии с йордановыми алгебрами.

Скажем, что алгебра Ли L специальная алгебра Ли, если существует ассоциативная Р/-алгебра А такая, что L вложена в АН как алгебра Ли, где АН - алгебра Ли, заданная на А с помощью операции коммутирования [х, у] = ху — ух.

C.А. Пихтильков и К.И.Бейдар показали, что в обобщенно специальных алгебрах Ли первичный радикал является наибольшим локально разрешимым идеалом и совпадает со слабо разрешимым идеалом [4], [5].

В диссертации проведено исследование первичного радикала алгебр и супералгебр Ли с наложенными на них дополнительными условиями.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Показано, что первичный радикал P(L[xi,хп]) кольца многочленов с коэффициентами из алгебры Ли L от п коммутирующих переменных совпадает с P(L)[xi,., хп], где Р(Ь) - первичный радикал алгебры Ли L;

2. Показано, что градуированный первичный радикал артиновой специальной супералгебры Ли - разрешим;

3. Показано, что проблема А.В. Михалева о разрешимости первичного радикала артиновых алгебр Ли решается положительно для локально нильпотентных алгебр Ли. С помощью перенесения полученного результата на группы и ассоциативные алгебры показано, что первичный радикал локально нильпотентной группы с условием минимальности на нормальные подгруппы - разрешим, а локально нильпотентный радикал слабо артиновой ассоциативной алгебры - нильпотентен;

4. Построен простой пример слабо разрешимой первичной алгебры Ли. Этот пример показывает, что наибольший слабо разрешимый идеал алгебры Ли может не совпадать с первичным радикалом.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при решении различных задач в теории алгебр Ли.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на следующих международных алгебраических конференциях: V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Тула. 2003;

International Conference on Radicals dadicated to the memory of Prof. V. Andrunakievich. Chisinau. 2003;

Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры. Москва, 2004.

Список публикаций по теме диссертации из 7 работ (3-х тезисов и 4-х Щ статей) приведен в конце диссертации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Нумерация лемм, предложений и теорем привязана к своему разделу, а нумерация формул сквозная. Полный объем диссертации 52 страницы, библиография включает 47 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Поляков, Владимир Михайлович, 2006 год

1. Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория. М.: Наука, 1979.

2. Бейдар К.И., Пихтильков С.А. О первичном радикале специальных алгебр Ли // Успехи матем. наук. 1994. № 1. С. 233.

3. Бейдар К.И., Пихтильков С.А. Первичный радикал специальных алгебр Ли // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. № 3. С. 643-648.

4. Ф.А.Березин Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. М.: Изд-во МГУ, 1983.

5. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (главы I-III). М.: Мир, 1976.

6. Бахтурин Ю.А. Артиновы специальные алгебры Ли // Алгебра. М.: Изд-во МГУ, 1982. С. 24-26.

7. Билл иг Ю.В. О гомоморфном образе специальной алгебры Ли// Матем. сборник. 1988. Т. 136. N 3. С. 320-323.

8. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (главы I-III). М.: Мир, 1976.

9. Голубчик И.З., Михалёв А.В. Изоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами // Записки научных семинаров J10 МИ АН СССР. 1983. Т. 132. С. 97-109.

10. Голубчик И.З., Михалёв А.В. Элементарная подгруппа унитарной группы над PI-кольцом // Вестник МГУ. 1985. № 1. С. 30-36.

11. Джекобсон Н. Строение колец. М.: Изд-во иностр. литературы, 1961.

12. Жевлаков К.А., Слинько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциатвным. М.: Наука, 1978.

13. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп// М.: Наука, 1996.4.

14. Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда. М.: Наука, 1986.

15. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971. /

16. Латышев В.Н. Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями // Сиб. мат. журнал. 1963. Т 4. № 4, С. 821-829. *

17. Латышев В.Н., Михалев А.В., Пихтильков С.А. О сумме локально разрешимых идеалов алгебр Ли // Вестник МГУ. Сер. 1. матем., мех. 2003. № 3. С. 29-32.

18. Михалёв А.В., Шаталова М.А. Первичный радикал решеточно-упорядоченных колец // Сборник работ по алгебре. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. С. 178-184.

19. Михалёв А.В., Шаталова М.А. Первичный радикал решеточно-упорядоченных групп // Вестник МГУ. 1990. № 2. С. 84-86.

20. Михалёв А.В., Шаталова М.А. Первичный радикал fi-групп и Ш-групп // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 4. С. 1405-1413.

21. Парфенов В.А. О слабо разрешимом радикале алгебр Ли // Сиб. мат. журнал. 1971. Т. 12. № 1. С. 171-176.

22. Пихтильков С.А. О специальных алгебрах Ли // Успехи матем. наук. 1981. Т. 36. № 6. С. 225-226.

23. Пихтильков С.А. Артиновые специальные алгебры Ли // Вwмв. сб. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2001. С. 189-194.

24. Пихтильков С.А. Структурная теория специальных алгебр Ли. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2005.

25. Размыслов Ю. П. Об энгелевых алгебрах Ли // Алгебра и логика. 1971. Т. 10. №10. С. 33-44.

26. Размыслов Ю.П. О радикале Джекобсона в PI-алгебрах // Алгебраи логика. 1974. Т. 13. № 3. С. 337-360.

27. Щукин К.И. Д/*-разрешимый радикал групп // Мат. сборник. 1960. Т. 52. № 4. С. 1024-1031.

28. Amayo R., Stewart I. Infinite dimensional Lie algebras. Leyden: Noordhoof, 1974.

29. Amitsur S.A. Radicals of polynomials rings // Canad. J. of Math. 1956. V. 8. P. 355-361.

30. Buys A., Gerber G. K. The prime radical for ^-groups // Commun. Algebra. 1982. V. 10. P. 1089-1099.

31. Bahturin Yuri On Lie subalgebras of associiative PI-algebras // J. Algebra. 1980. V. 67. No 2. P. 257-271.

32. Bahturin Y., Giambruno A. Riley D. Group-graded algebras with polynomial identity // Isr. J. Math. 1998. V. 104. P. 145-155.

33. Y.Bahturin, S.Montgomery PI-еnvelopes of Lie syperalgebras// Proc. of the American Math. Soc. 1999. V. 127. N 10. P. 2829-2939.

34. Bergen J., Cohen M. Action of Commutative Hopf Algebras // Bull, of Lond. Math. Soc. 1986. V. 18, P. 159-164.

35. Kubo F. Infinite-dimensional Lie algebras with null Jacobson radical // Bull. Kyushu Inst. Technol. Math. Nat. Sci. 1991. V. 38. P. 23-30.

36. Nastasesku C., Van Oystayen F. Graded ring theory// Amsterdam. North-Holland, 1982.

37. Pikhtilkov S.A. Locally Nilpotent Ideals of Special Lie Algebras // Comm. in Algebra. 2001. V. 29. N 10. P. 3781-3786.

38. Togo S. Radicals of infinite-dimensional Lie algebras // Hiroshima Math. J. 1972. V. 2, P. 179-203.

39. Togo S., Kavamoto N. Ascendantly coalescent classes and radicals of Lie algebras // Hiroshima Math. J. 1972. V. 2. P. 253-261.

40. Zhu, Bin Graded primitive rings and Kaplansky's theorem// Beijing Shifan Daxue Xuebao. 1988. V. 34. N 1. P. 1-5.Работы автора по теме диссертации

41. Пихтильков С.А., Поляков В.М. Об одном примере алгебры Ли // Тезисы докладов V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Тула, 19-24 мая 2003 г. С. 179-180.

42. Pikhtilkov S., Polyakov V. On a prime radical of algebras and superalgebras Lie //Abstracts of Internetional conference on radicals dadicated to the memory of Prof. V. Andrunakievich. August 2003. Chisinau, Moldova. P. 33.

43. Pikhtilkov S., Polyakov V. Artinal special Lie superalgebras // Bull. Academie de stinte a republicii Moldova. Matematica. 2004. V. 44. N 1. P. 116-119.

44. Пихтильков C.A., Поляков В.М. Об одном примере алгебры Ли'// Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры. Москва, 2004. С. 105-106.

45. Пихтильков С.А., Поляков В.М. Об аналоге теоремы Амицура-Маккоя для алгебр Ли // Вестник ТГПУ им. Л.Н. Толстого, №2, 2005, С. 125-126.

46. Пихтильков С.А., Поляков В.М. О локально нильпотентных арти-новых алгебрах Ли // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6. Вып. 1. С. 163-169.

47. Поляков В.М. Пример первичной слабо разрешимой алгебры Ли // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6. Вып. 1. С. 170-173.