Переопределенные линейные системы двух и трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Иззатуллоев Дости

• Иззатуллоев Дости
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иззатуллоев Дости

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ.

§1.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение рассматриваемой системы.

§ 1.2. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение рассматриваемой системы.

ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЙ СИСТЕМЫ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ.

§2.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к переопределенной системе двух уравнений в области ^ ].

§ 2.2. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение системы (1.48).

§2.3. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение системы (1.48).

§ 2.4. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к переопределеннойсистемедвухуравненийвобласти^21.•

§2.5. Случай, когда основным уравнением является третье уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к переопределенной системе двух уравнений в области ^31.

ГЛАВА 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ДВУХ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, С ОДНОЙ СВЕРХСИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ.

§3.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение рассматриваемой системы

§3.2. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение

ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНОЙ СИСТЕМЫ, ТРЕХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, С ОДНОЙ СВЕРХСИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ

§4.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к переопределенной системе двух уравнений в области ^ц.

§4.2. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к переопределенной системы двух уравнений в области

§ 4.3. Случай, когда основным уравнением является третье уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к переопределенной системе двух уравнений в области ^31. рассматриваемой системы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Переопределенные линейные системы двух и трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точками»

Теория переопределенных систем уравнений в частных производных с регулярными коэффициентами связана с именами Якоби, и др. Одним из первых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые в настоящее время достаточно хорошо изучены, является система в полных дифференциалах.

Простейшей переопределенной системой дифференциальных уравнений в частных производных можно считать систему

Ux=P(x,y), Uy=Q(x,y), где условие Py = Qx является необходимым и достаточным для разрешимости этой системы. При его выполнении dU = Р(х, y)dx + Q(x, y)dy является полным дифференциалом, и функция U(x,y) восстанавливается интегрированием. Аналогично обстоит дело с полным дифференциалом в трехмерном и n-мерном случаях.

Академиком АН РТ Л.Г. Михайловым положено начало изучения некоторых систем в полных дифференциалах с сингулярными точками первого порядка [1], [2], [26].

Монография Н.Раджабова, академика АН РТ [13] посвящена получению многообразия решений, исследованию краевых задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго —порядка и некоторых линейных переопределенных систем первого и второго порядка и с одной и с двумя сверхсингулярными линиями и сверхсингулярными точками. Методы нахождение решений в данной монографии, разработанные для гиперболических уравнений и гиперболических систем с сингулярными коэффициентами, распространяются и для гиперболических уравнений и систем со сверхсингулярными коэффициентами.

В 1994 году профессором Э. Рузметовым была опубликована монография "Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных". В данной работе получены интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулярными линиями, плоскостями и точкой.

Некоторые классы переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами изучены в работах Л.Г. Михайлова, М.В. Коровина, Н. Раджабова, Э. Рузметова, Р. Пирова, Б. Шарипова, Ф.М. Шамсуддинова и других авторах.

В основном большинство имеющиеся работы посвящены переопределенным системам уравнений в частных производных первого порядка с регулярными коэффициентами, а также сингулярными линиями на плоскости.

Некоторые работы посвящены переопределенным системам уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой на плоскости.

Что касается многомерных переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярными и сверхсингулярными областями, а также с сингулярной точкой, кроме отдельных случаев мало изучены. В связи с^ ^зтим являетсяактуальнойпроблема получения многообразия решений и исследование задачи с начальными данными для переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой в двумерном и многомерном случаях.

Настоящая диссертационная работа посвящена данной проблеме. В работе изучается переопределенная система двух и трех линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в сингулярном и сверхсингулярном случае, когда коэффициенты уравнений в рассматриваемых системах в сингулярной точке необращается в нуль.

Во введении дан краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обоснован актуальность темы и изложены основные результаты диссертации.

Основной целью настоящей диссертации является получение многообразия решений и изучение свойств полученных решений переопределенных линейных систем двух и трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой. Настоящая работа посвящена исследованию ранее неизученных двухмерных переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в прямоугольнике.

Кроме того, исследована ранее неизученная переопределенная система трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой в параллелепипеде, задача исследования которой сводится к исследованию переопределенных систем двух дифференциальных уравнений с сингулярной и сверхсингулярной точкой.

Методика исследования.

В диссертации применены современные методы, исследований разработанные для изучения переопределенных систем дифференциальных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, а также метод интегральных представлений для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертации исследуется ранее не изученные переопределенные системы двух и трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой. Все результаты, полученные в работе, являются новыми. Они могут быть использованы, при решении конкретных задач в механике и физике.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на городских семинарах, руководимых профессором

Н. Раджабовым "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных" при кафедре математического анализа и теории функций Таджикского Национального университета. Кроме того, работа была доложена на Международном Российско-Болгарский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик-Хабез, 2010.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 публикациях автора, список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, библиографического списка и изложена на 108 страницах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иззатуллоев Дости, 2012 год

1. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Душанбе, Дониш, 1986г. - 116с.

2. Михайлов Л.Г. Об одном свойстве сингулярных дифференциальных уравнений. //ДАН России, 1991г, т. 321, №4. С. 681-686.

3. Михайлов Л.Г. К теории полных дифференциалов с сингулярными точками. //ДАН России, 1992г, т. 322, №4. С. 646-650.

4. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Душанбе, изд. ТГУ, 4.1, 1980г. 126с., ч. 2, 1981. - 170с., ч.З. 1982г. - 170с.

5. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Душанбе, изд. ТГУ, ч. 4, 1985г. 148 с.

6. Раджабов Н. Линейные гиперболические системы второго порядка со сверхсингулярной точкой. //Дифференциальные уравнения и оптимальные управления: Тез. докладов Всесоюзной конференции. Ашхабад, 1990г., 4-6 октябрь. С. 109-110.

7. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи длянекоторых гиперболических уравнений с одной и двумя сингулярнымилиниями. //Док. АьТсССРЛ985г7тГ2^МГ^Г534-539:--------------

8. Раджабов Н. Об одном методе представления многообразия решений общего линейного гиперболического уравнения второго порядка с регулярными с сингулярными коэффициентами на плоскости. //Изв. АН Тадж. ССР, отд. физ.-мат., хим.геол.наук, 1984г., №4. С. 8-14.

9. Раджабов Н. О дифференциальных уравнениях со сверхсингулярными коэффициентами. //Тез. докладов всесоюзн. конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений. 28-30 сент., ч. 3, Душанбе, 1987г. С. 70-71.

10. Раджабов Н. Об одном классе линейных гиперболических уравнений второго порядка со сверхсингулярной точкой. //Докл. АН Тадж. ССР, 1988г., т. 31, № 20. С. 830-834.

11. Раджабов Н. К теории одного класса линейных гиперболических уравнений с двумя сверхсингулярными линиями. //Док. АН Тадж. ССР, 1989г., т. 32, № 9. С. 573-577.

12. Раджабов Н. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. (Учебное пособие по спецкурсу), Душанбе, 1992г. 236с.

13. Rajabov N. Linear hyperbolic equations with two super singular lines. //Integral equations and boundary value problems. (Beijing, China 2-7 September, 1990). World scientific. Singapore, New Jersey London - Hong Kong. - p. 170-175.

14. Rajabov N. Many-Dimensional linear hyperbolic equations with super singular coefficients. //International Conference on Applied Mathematics, Tehran, Iran, June 18-20, 1991. p. 56-58.

15. Rajabov N. An Introduction to the theory of partial differential equations with super-singular coefficients. Tehran University publishers, Tehran, 1997. 230p.

16. Rajabov N. Introduction to ordinary differential equations with supersingular coefficients. Dushanbe, 1988. 160p.

17. Рузметов Э. Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных. Душанбе, 1994г. 241с.

18. Пиров Р. О некоторых линейных системах трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя неизвестными функциями. //Докл. АН Тадж. ССР, 1982г., т.25, №1. -С. 10-14.

19. Раджабов Н., Мирзоев Н. К теории одного класса линейных переопределенных систем дифференциальных уравнений первого порядка с внутренней особой линией и особой точкой. //Вестник Национального Университета, серия математика, Душанбе, 2004г. -С. 84-101.

20. Михайлов Л. Г. ДАН России, 1997г., т. 354, №1.

21. Михайлов Л. Г. ДАН России, 2002г., т. 384, №6.

22. Михайлов Л. Г. ДАН России, 2004г., т. 398, №2.

23. Шарипов Б. Формула представления решений одного класса ^системы----уравнений в полных дифференциалах. //ДГПУ, вып. 1, 1991г.-С.188-193.

24. Шамсуддинов Ф. Об одной переопределенной системе второго порядка со сверхсингулярной точкой. //Материалы международной-научной конференции. Казань, Изд-во Казанского математического общества. 2004г.-С. 109-110.

25. Иззатуллоев Д., Шамсуддинов Ф. Краевые задачи для одного эллиптического уравнения второго порядка с сингулярными коэффициентами. //Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами". Душанбе, 1996. С. 96.

26. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы первого порядка с сингулярными коэффициентами. //"Вестник педагогического университета", №5, ч. 2. Душанбе.-199-9г.^С. 7,

27. Иззатуллоев Д., Шамсуддинов Ф. Об одной переопределенной системе уравнений первого порядка со сверхсингулярными точками. //Материалы республиканской молодёжной научной конференцииЧ,авонон ва ч,ах,они дониш", Душанбе. 2000. С. 60-61.

28. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы уравнения первого порядка с сингулярной точкой. //"Ирфон". Сб. науч. ст. преподавателей. Курган-Тюбе. 2000. -Вып. 1.-С. 60-65.

29. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы первого порядка со сверхсингулярной точкой. //Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям. Душанбе, 2003. -С. 80.

30. Раджабов Н., Иззатуллоев Д. Представление многообразия решений для одной переопределенной системы первого порядка с однойсграничной сингулярной точкой. //Известия АН РТ. Серия естественных наук Душанбе, 2009. № 4(137). - С. 18-26.

31. Иззатуллоев Д. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы первого порядка с сингулярной точкой. //Вестник Таджикского национального университета". Серия естественных наук Душанбе, 2011. №3 (67). - С. 6-10.

32. Иззатуллоев Д. Об одной переопределенной системы уравненийпервого порядка с сингулярной точкой //Материалы республиканской научной конференции "Теория дифференциальных и интегральных уравнений и их приложения". Душанбе, ТГНУ, 23-24 июня 2011. С.

33. Шамсуддинов Ф. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы второго порядка с особенностью. //Материалы "Тринадцатой международной конференции имени академика М. Кравчука". Киев. 2010. С. 443.

34. Шамсуддинов Ф. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы с сингулярной точкой. //Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Душанбе. 2000г. С. 115.

35. Шамсуддинов Ф. Об одной переопределенной системы со сверх сингулярными коэффициентами. //Материалы международной конференции по математическому моделирование и вычислительному эксперименту. Душанбе. 2002г. С. 53-55.

36. Шамсуддинов Ф . Об однойНереопределенной системы второго порядка со сверхсингулярной точкой. //"Материалы международной конференции имени академика М. Кравчука". Киев. 2004. С. 280-281.

37. Шамсуддинов Ф. Об одном гиперболическом уравнении второго порядка со сверх сингулярными коэффициентами. //Доклады АН Украины. 2004. №4. С. 7-12.

38. Шамсуддинов Ф. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы с сингулярными коэффициентами. //Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского". Т-25. Казань. 2004. С. 283-284.40.43.