Задачи типа Коши с высшими производными для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Хасан Дуния Абдалхамид

• Хасан Дуния Абдалхамид
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Хасан Дуния Абдалхамид

линией

§1.2 Задачи типа коши для гиперболического уравнения

Эйлера-Пуассона-Дарбу с двумя сингулярными линиями

1.2.1 Случай 0 < 2 ц <

1.2.2 Случай ц = 2 т

1.2.3 Случай ц = 2т +

1.2.4 Случай ц = т + а

§1.3 Интегральные представления и формулы обращения для

гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с 61 двумя сингулярными линиями в случаях

1 « 1 ~ 1 1 1 «

0 < р<—;0 < а<—; 0 < р < — , а>—;р>—,0 < а< —

1.3.1 Постановка граничных задач

1.3.2 Формулы обращения в других случаях

ГЛАВА 2. ГРАНЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ

ПОРЯДКОВ С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ

§2.1 Модельное гиперболическое уравнение четвертого

порядка с одной сингулярной линией

§2.2 Модельное гиперболическое уравнение - го порядка с

одной сингулярной линией

§2.3 Граничные задачи типа Коши-Рикье для уравнений

высших порядков

ГЛАВА 3. ЗАДАЧА ТИПА КОШИ С ВЫСШИМИ 101 ПРОИЗВОДНЫМИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ §3.1 Случай, когда корни характеристического уравнения 103 вещественные и разные

§3.2 Случай, когда корни характеристического уравнения

чисто мнимые

§3.3 Случай, когда корни характеристического уравнения

комплексные и разные

ГЛАВА 4. ЗАДАЧА ТИПА КОШИ С ВЫСШИМИ 117 ПРОИЗВОДНЫМИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ С ДВУМЯ СИНГУЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ §4.1 Случай, когда корни характеристического

уравнения вещественные и разные

§4.2 Случай, когда корни характеристического уравнения

чисто мнимые

§4.3 Случай, когда корни характеристического уравнения

комплексные и разные

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи типа Коши с высшими производными для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу»

Введение

Актуальность темы. Одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (Э.П.Д.). Многие задачи из физики, механики, теории упругости, и других разделов математической физики приводят к изучению эллиптических и гиперболических уравнений Э.П.Д. В частности, пространственная осесимметрическая задача теории упругости приводит к рассмотрению частных случаев эллиптического уравнения Э.П.Д. [1]. В связи с этим, изучению эллиптических и гиперболических уравнений Э.П.Д. и его приложениям было посвящено большое количество работ [1-7], [15-17], [21-39].

В работах И.П. Кривенкова [9-11] и R.P. Henrici [17] были получены различные интегральные представления для эллиптических уравнений Э.П.Д.. Работа М.В. Келдыша [6] является важным исследованием в этом направлении. Он впервые доказал, что для вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений условие Дирихле можно задавать в некоторых случаях только на части границы.

В работах И.Л. Кароля [7], R.W. Carole, R.E. Showаlter [8] исследуется гиперболическое уравнение Э.П.Д.

В работах Н. Раджабова [18-38] найдена формула обращения для эллиптического уравнения Э.П.Д. внутри и на границе области, на этой основе были поставлены и исследованы различные задачи типа Дирихле и Неймана. В работах Н. Раджабова получены интегральные представления, многообразия решения, формулы обращения и исследованы задачи типа Рикье для эллиптических уравнений высших порядков, содержащие эллиптические операторы Э.П.Д.

В совместных работах Н. Раджабова, А.Г. Олимова [41]; Н. Раджабова, А.С. Сатторова, Д. Джабирова [26], [29-30], Н. Раджабова [24], [28] построена теория потенциала для эллиптического уравнения Э.П.Д с одной и двумя сингулярными линиями, а также многими сингулярными поверхностями. Кроме того, изучены дифференциальные уравнения второго и четвертого порядка, содержащие оператор Э.П.Д и уравнения Э.П.Д. с одной и с двумя сингулярными линиями. В работах Н. Раджабова, К.С. Болтаева [33-34] получены представления многообразия решений эллиптического и гиперболического уравнения Эйлера-

Пуассона-Дарбу в виде равномерно-сходящихся степенных рядов по сингулярной переменной, выяснена корректная постановка задач типа Коши и решения данных задач найдены в явном виде.

Исследованию дифференциальных уравнений Э.П.Д. эллиптического и гиперболического типа посвящено много работ [5], [12], [18-19], [48-50].

Небольшое количество работ посвящено граничным задачам с производными высших порядков для эллиптических и гиперболических уравнений второго порядка с сингулярными коэффициентами.

В монографии И.Н. Векуа [3] для эллиптического уравнения второго порядка с аналитическим коэффициентами ставится и исследуется задача с высшими производными. Проблеме исследования задачи типа Дирихле и Рикье и задаче с высшими производными для эллиптического уравнения Э.П.Д. посвящены работы Н. Раджабова [34-40].

А для гиперболических уравнений с регулярными и сингулярными коэффициентами задачи типа Коши с высшими производными почти не исследованы.

Одной из основных целей настоящей диссертации является выяснение постановок основных граничных задач типа Коши с высшими производными и их исследование для гиперболического уравнения Э.П.Д. с одной и двумя сингулярными линиями.

Цели задачи исследования:

• Выяснение постановок новых задач для гиперболического уравнения Э.П.Д. с одной сингулярной линией с дифференциальным оператором /)у =

• Нахождение формулы обращения, т.е. нахождение произвольных функций, присутствующих в интегральном представлении через значение неизвестной функции и ее производных.

• Выяснение постановки задач типа Коши для гиперболического уравнения с двумя сингулярными линиями с дифференциальными операторами

_ 1 д _ 1 д х хдх у уду

• Выяснение корректной постановки задач типа Коши и Рикье и их исследование для уравнений высших порядков с дифференциальным оператором Э.П.Д. с одной сингулярной линией.

• Выяснение постановки граничных задач типа Коши с производными высших порядков и дифференциальным оператором для гиперболического уравнения Э.П.Д. с одной сингулярной линией.

• Выяснение постановки задач типа Коши с производными высших порядков и дифференциальными операторами /)х и йу дл я ур а в н е н и я Э.П.Д. гиперболического типа с двумя сингулярными линиями.

Методика исследования:

В работе используются общие методы теории дифференциальных уравнений, а также широко используются методы, разработанные в работах Н.Раджабова. На основе ранее полученных интегральных представлений и их формул обращения, поставленные задачи исследуются сведением их к обыкновенным дифференциальным уравнениям высших порядков.

Научная новизна и практическая значимость:

• Определены постановки задач типа Коши для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с одной сингулярной линией, когда вместо обычной производной задается значение специального сингулярных дифференциального оператора.

• Определены новые постановки задач для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с двумя сингулярными линиями, когда на сингулярных линиях вместо обычных производных задается значение специальных сингулярных дифференциальных операторов.

• Получены явные формулы обращения интегральных представлений гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с двумя сингулярными линиями.

• Решены задачи типа Коши с высшими производными для гиперболических уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу с одной и двумя сингулярными линиями.

• Решены задачи типа Рикье для гиперболических уравнений высших порядков с гиперболическим оператором Эйлера-Пуассона-Дарбу с одной сингулярной линией.

• Получены новые результаты по граничной задаче с высшими производными для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с одной и двумя сингулярными линиями

• Решены новые задачи для гиперболического уравнения Эйлера- Пуассона-Дарбу с одной сингулярной линией, когда вместо производной задается сингулярный дифференциальный оператор.

• Полученные результаты могут быть использованы для задач, связанных с гиперболическим оператором Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Апробация работы:

Основные результаты диссертационной работы докладывались на городском семинаре «Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных» при кафедре математического анализа и теории функций Таджикского национального университета, руководимым профессором Н. Раджабовым в 2010-2015 годах. Кроме того, результаты работы доложены на Республиканской научной конференции «Теория дифференциальных и интегральных уравнений и их приложения» - 23-24 июня 2011 г.Душанбе,ТНУ, на Международной научной конференции «Современные проблемы теории функций и дифференциальных уравнений», Институт математики им. А. Джураева Академии наук Республики Таджикистан, 17-18 июня 2013 года, на ежегодных Апрельских конференциях профессорско-преподавательского состава ТНУ в 2010-2015 годах.

Публикации:

Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах автора, список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объём диссертации:

Диссертация состоит из введения, 4 глав, списка литературы, состоящего из 52 наименований. Общий объем диссертации - 144 страниц машинописного текста.

Содержание диссертации:

Во введении обосновывается актуальность темы рассматриваемой диссертации, формулируется цель исследования, приводится краткий обзор работ,

связанных с темой диссертации, а также приводятся основные результаты исследования.

Перейдем к изложению краткого содержания первой главы диссертации. Первый параграф главы I диссертации посвящен исследованию задач типа Коши для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с одной сингулярной линией, т.е. рассматривается уравнение вида:

м дх2 ду2 уду, где

Существенное отличие задачи Коши для дифференциальных уравнений гиперболического типа с регулярными коэффициентами от задачи типа Коши для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу заключается в том, что вместо различных степеней производных, задаются различные степени

дифференциального оператора /)у — ■ В настоящем параграфе задачи типа

Коши для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу исследуются сведением их к задачам типа Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Введем в рассмотрение следующие классы функций:

Через Е + обозначим полуплоскость х >0 , т.е. Е + — * 0 < х < °о , — оо < у < °°), Г1 — *У — 0,0 < х < оо).

Через Е _ обозначим область, симметричную Е + относительно оси ох, далее, пусть Е — ( Е +иГ1иЕ вся плоскость.

С2( Е+)- класс непрерывных, за исключением бесконечно удаленной точки, функций в , имеющий непрерывные первые и вторые производные в .

( )- подкласс функций ( ) , удовлетворяющий на условию

I

¿Ди) — 0 ,

а2 а2 ¡1 а 3,

( )

Пт = 0.

у^о ду

( )

М2(Е)- класс функций, принадлежащий соответственно классам С2(Е+)и С2(Е-) , составляющих в Е единую непрерывную функцию вместе с

выражением 1у1

Следовательно, класс М2 ( Е) отличается от Ы2(Е+) тем, что в М2(Е) не требуется выполнения условия (2).

Через С п(Е+) обозначим класс функций и(х,у) Е С(п)(Е+) , имеющий в непрерывные производные -го порядка по переменному .

(пЛ

Через ( )( ) - обозначим класс функций, удовлетворяющий всем условиям класса С п( Е+) и условию (2) .

Ставятся следующие задачи типа Коши:

Задача N2. Требуется найти решение уравнения (1) из класса С 2(Е+/Г±) при и из класса ( ) при по граничным условиям:

(Оуи)у=о=Кх), и( 0, 0)=А 0) =В , хЕГ- = { 0<х<о+,

1 д

где Бу =-—, / (х) — з аданн ая фун кц ия, А, В — з адан н ы е п о ст оя н н ы е .

Задача N. Требуется найти решение уравнения (1) из класса Сп(Е+/Г^ при и из класса ( ) при , по граничным условиям:

(дпи\ (д"^гЛ , ч

Ы у=0+А +• • -+Апи(х,0) = §(х),

У--» /у=о

'д]и\

Я п I = В] - - ) = 1, 2 ^ ■ ■,n,

,дхп)х=о 1

у=О

где Аj Вj- ±, ] = 1,2,..., п —заданные постоянные, g(х)-заданная функция точек Г-.

Задачи Л2. Требуется найти решение уравнения (1) из класса Сп(Е+/Г^ при и из класса ( ) при , по граничным условиям

/дпи\

\ddXv

+ А±

<дп-1

и

у=О

Зх

71 — 1

+

+Д пи(х, 0 ) — §(х) ,

у=о

где ( ) - заданные постоянные, ( ) - заданная функция.

О разрешимости данных задач получены следующие утверждения:

Теорема 1.1. Пусть в условиях задачи Л /(х) £ С2( Г1). Тогда задача N 1имеет единственное решение, которое выражается формулой:

1 1

и(х,у) — / [ е( 1 — е)]?_ Чх + у( 1 — 2 е)]2с* е^ / ( 1

— 5)А([х + у( 1 — 2 е)^)^ + В х + Д,

где ( ) ( ), когда и ( ) , когда .

Теорема 1.2. Пусть в условиях задачи Л2 постоянные Д( 1 < У < п), такие, что корни алгебраического уравнения

Лп + Д 1Яп - 1 + • • • + Д п _ 1 Я + Д п — 0 .

вещественные и разные. В уравнении

<^п(х) + Д 1 <р(п_ 1 )(х) + Д 2<р(п _2)(х) + • • • + Д п<^(х) — §(х), х £ ^

(3)

(4)

функция g(х) £ С(п)( Г^, тогда задача Л2 имеет единственное решение, которое выражается формулой:

( )

71 1

ы

,[АЛ(*+у ( 1 _ 2 С))]

л=о о [ е( 1 —е)]1 ^ 1

•дх

п

1 1 + ) ( 1—)Л+пД0 I [х + у( 1 — 2 0] / е[ж+у( 1 _ 2 ^ _5)Я^Г[х

0 [е( 1 —е)]1 -

л

о

+ у( 1 — 2 е)]5]^5

( )

где

<

>

1

К

я

я?

71— 1

1

я2

яг1

1

Лк

171-1 Ак

Дп =

Чг

Чг

171-1 71

1 ¿1

Я?

я?

71 — 1

1 1 ...1 1

Я].Я2 ... Ял_1Ял+1 ■ Я?Я2 ■■■ Яfc_1Яfc+1

171-21П-2

/Ц л2

1 я2 ... 1 Яп

я! ... я2

яг1 ... 171-1 ... яп

^(х), х > 0

10, х < 0'

171-2 171 /с—1 /с

/с+1

Яп

171-2 171

Теорема 1.3. Пусть в уравнении (4) п = 2 т постоянные ЛД 1 <У < п), такие, что корни характеристического уравнения (3) , , Я2,. ■ -Дп -чисто мнимые Д(х) ^ 0 , х £ Г\ , функция g(х) £ С(п)( Г1 ). Тогда задача всегда разрешима, её общее решение содержит 2т произвольных постоянных и выражается формулой:

71

2 ' 2/ } = 1 .О

с;со я[х + у( 1 — 2 + стт[х + у( 1 — 2 ¿)]Ьу

dt

+

В

т ± 2/

[¿(1 —¿)] ^

(—1)^+2тД? [(х + у(1 — Д[(х + у(1 —20>]

+

¿л / , .2 ' 27

(—1)У+ЗшДо+ш[(х+у(1 — 2^)5]

С05 [х + у(1 — 2£)]Ьу

Д[(х + у(1 — 20>]

Я1п[х + у(1

— 2е)]Ь,-

бХ

/

[х + у(1 —2 ¿)Ы(х + у(1 —20)*]

[¿(1 — ¿Г

где Д(х) =

01 Фт Ф± Фт

01 ■ Ф'т Фг ■ Фт

01' ■ ■■ Фт Фг ■ ■■ Фт

Ф\

(п- 1)

Ф(п - 1 )

Ф1

( )

( ) т'т

Д0(х) =

01 Фт Ф± Ф]-1 Ф]+1 ■■ Фт

01 ■ Фт Фг - Ф)-1 Ф]+1 ■■ Фт

Ф" ■ ■■ Фт Ф" - Ф'/-1 ■■ ■ Фт

Ф1

( )

Ф(П-2) ^п-2)

*<пт2) ■■■ </4П-2)

( )

Фк = с О 5 ,!/;к = 5 т( к = 1 ,2 ,■ . .,т), с 1(х) = ^ <

Теорема 1.4. Пусть в уравнении (4) п = 2 т, коэффициенты ЛД 1 < у < п) такие, что характеристическое уравнение (3) имеет т комплексных и разных корней Лк = ак + ¿Ьк, Лк = ак — ¿Ьк( к = 1 , 2 , ■ . . ,т), Л 0(х) ^ 0,и функция с Дх) £ С(п)(Г1 ), тогда задача И2 всегда разрешима, общее решение содержит 2т произвольных постоянных и даётся формулой:

( )

В

(а ^ . 2 ' 2/

т ±

и

7=1 О

«;-[*+у( 1 - 2 0]СО5[х + у( 1 — 2 + ст + 1 - 2 ¿п[х + у( 1 — 2

[ £( 1 — О]1 -

дх

т 1

1 ^ГГ( — 1 У+2тЛ,0[(х + у( 1 — 2 0)5] г ,

+- > I I----—-—-1 - 2 0]( 1 -5)С05[х + У( 1

+ Л о[(х + у( 1 — 2 0)5] е сО5[х + У(1

)]

( ) [( ( )) ]

+

I

[( ( )) ] [х + у( 1 — 2 р]ё 1 [х + у ( 1 — 2 0)5]

[ £( 1 — О]1 ^

еа;[х+у( 1 - 2 0]( 1 - 5)5 ¿п[х + у( 1 — 2 0]Ь,-

С?5,

где

Ло(х) =

"Я^у'

Л.1

-а1х

Л.1

Хт

о~атх л/*

е Ат

О)!

-а1х

л. л/'

/17П

-а^х

шт

О).

( ) Л1

ДО(х) =

-а ! 1„(п-2 ) Л1

Хт

- а Х (п - 1 )

р ишА -у 4 у

е лт

О) 1

-а^х

(X)

( )

О)

'7 + 1

^ атХ атХ Хт

е- "т^" - 2 ) е-

-а^х

а);

х „

7-1

4-1* с,"

7-1

т

атх/1(п 1 )

е шт

шт

7>1

7+1

е-атЖо1п-2)

^ = хс о 5 Ь^-х , о к = тЬ^-х ( к = 1 , 2 ,. . .,т).

Через обозначим прямоугольник = *—а < х < а, — Ь < у < Ь+ также

Г1 = *у = 0,— а < х < а+,Г2 = *х = 0, — Ь < у < Ь+,/ = ^/(^ и Г2 ),

во втором параграфе первой главы в области рассматривается уравнение Э.П.Д с двумя сингулярными линиями вида:

_д2и д2и 2 рди 2 цди РД дх2 ду2 х дх у ду ' где

( )

В [8] доказано, что любое решение уравнения (5) из класса С2( // ) при 2 р > 1 , и из класса ( ) при представимо в виде:

1 1

1 Г dt Г

и(х,у) = всРрвЫ)/ [¿( 1 — О]1 -р]

<р[х( 1 — 2 0 + у( 1 — 2 т)]

йт

[ ( )]

о о

= п р , ,( ), ( 6 )

где <р(Х) - произвольная дважды дифференцируемая функция X = х( 1 — 2 t ) +

+у( 1 — 2 т).

В дальнейшем через Е+ обозначим область Е+ = *(х,у);— оо < х < оо , — оо < у < ооа через ^ и Г2 вещественную и мнимую оси

= {у — 0 , — оо < х < оо +, Г2 = {х = 0 , — оо < у < оо +, Г = ГГ и Г2 , уравнение (5) рассмотрим в области £+\ Г.

Для уравнения (5) ставится следующая задача типа Коши:

Задача N Требуется найти решение уравнения (5) из класса С2( £+\ Г2 ) при 2 р > 1 ,2 ц > 1, из класса Л/2(£+\ Г2 ) при 2 р < 1 ,2 ц < 1, по граничным условиям:

(£>хи)х=о — С 2(у) ,м(0 ,0 ) — 0 ) — /, — оо < у < оо 1 д

где /)х — -—, с2(у)- заданная функция точек Г2,/ — заданная постоянная.

Заметим, что задача Л/3 решается поэтапно: сначала находится решение задачи в случае , затем рассматривается случай

ц — 2 т, 0 < 2 р < 1 , ц — 2 т + 1 , 0 < 2 р<1 и ц — т + а , где т — [ц ] -целая часть q, а а — { ц+- дробная часть q.

Ниже приводим некоторые результаты параграфа 1.2.

Теорема 1.5. Пусть в уравнении (5) 0 < 2 ц < 1 ,0 < 2 р < 1 и в условиях задачи Л/3 , с 2(у) - чётная функция и с 2(у) £ С'( Г2). Тогда задача Л/3 имеет единственное решение, которое выражается формулой:

1 аt Г [х( 1 — 2 0 + у( 1 — 2 т)]2йт

и(х,у) Б(р,р) Б(ц ,ц)/[, 1- О]1 -р/

[ ( )]

о о

1

* / 52 ^ 2 [х( 1 — 2 0 + у( 1 — 2 т)]/^)^ + /, о

где

1

т

Теорема 1.6. Пусть в уравнении (5) ц — 2 т, т - целое положительное число, в условиях задачи 2(у)- чётная функция и с 2(у) £ С(2 т+1 )( Г2 ). Тогда задача Л/3 имеет единственное решение, которое дается формулой (6), где <^(у) определяется по формуле:

у

( )

<Ку) — р2 т _ 1}! д(2 т, 2 т) ■ / (Я5)(2т - Г)[Ы4т - 2 ■ 5§ 2(5)]^ + /.

о

Теорема 1.7. Пусть в уравнении (5) ц = 2 т + 1 , т- целое положительное и в условиях задачи 2(у)- чётная функция и g 2(у) £ С(2 т+2 )(Г2).Тогда задача Л/3 имеет единственное решение, которое выражается формулой (6), где <^(у) определяется по формуле:

С Л 2 2 т+Ч 2 р + 1 )Д(2 т + 1 ,2 т + 1 ) ^т)Г, |4ТП г у, , , ,

=-^^--/ ())(2 т)[|5|4т ■ Sg 2($)]£*5 + /■

о

Теорема 1.8. Пусть в уравнении (5) ц = т + а где т = [ц ], а = * ц} дробная часть q и в условиях задачи Л/3 g 2(у)- чётная функция и принадлежит классу С(т+2 )( Г2). Тогда задача Л/3 имеет единственное решение, которое выражается формулой

у

А

^(у) = 2"/ +

где

у

^ 2 т+2 а( 2 р + 1 )Я(т + а, т + а)

с

( )[ ( ) ( )]

£ 1(у) - известная четная функция, которая выражается через g 2(у) и ее производные т - го порядка.

Третий параграф данной главы посвящен обращению ранее известного интегрального представления решений гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с двумя сингулярными линиями через произвольные функции, в случае 0 < 2 р < 1 ,0 < 2 ц < 1. Заметим, что раньше были получены формулы обращения для интегрального представления решения уравнения Э.П.Д с двумя сингулярными линиями через решение волнового уравнения [14]. В данном параграфе соответствующие произвольные функции <ру(х), ( 1 < у < 4 ) находятся через решение уравнения Э.П.Д. и его производные в явном виде.

Через И^Д/) ) обозначен класс решений гиперболического уравнения Э.П.Д, зависящий от четырех произвольных функций одного переменного и имеющий внутри ) непрерывные производные второго порядка.

Исходя из общего представления многообразия решений уравнения (5) из класса ( ) при , которое легко можно получить,

используя принцип соответствия [9], [10] в виде:

и(х,у) = п р, Др ^ + 5 ign х^1 - 2р п 1 ( 2) + 5 ign у ^11 - 2 1 Пр, 1 - Д ( З) +

+5 ign х 5 igп у^1 - 2р ■ ^^ - 2 1 П 1 -р, 1 -ч((4), (7)

где ( )( ) - произвольные функции одной переменной, обладающие

свойством ( ) ( ).

Например, при 0<2 р < 1 ,0<2 д < 1 произвольные функции (Дх + у), ( 2(х +

) ( ) ( ) находятся из следующих формул: _^

( 1(х + у) = ( П р, ,) и(х,у) + С 2 ,

где

_^

( П р, ,) и(х,у) =

Л2

2 ЗхЗу

ху

1 62 р( 0 Гт2 ^(х 0 ,ут)(т

Г в'рйв Г ] ( 1 — 02)р/

+

2 ау2

ху

62 р( 6 Гт2 ^(х 6 ,ут)((т

Г в'рйв Г ] ( 1 — 02)р/

( )

М2 =

( )

2 2 р - 2 1 - ^(р ,р )Д( д,д ) Я(р,1 —р )Я(д ,1 — дУ

^1(х,у) = 1 [м(х,у) + и(—х,у) + и(х, — у) + и(—х, — у)]. ( 2 (х + у) = ( п 1 - р, 1)- Мх,у) + С4,

( П 1 - р , 1) 1 м(х,у) =

2 ду2

А* д2

2 дхду

( )

Г 6 1 6 Гт2 1т;2(х6 ,ут) (т

ху|х| 15 х / ( 1 — 62)1 -р / 0

9 -1 Г в(1в [

ху|х|2 р - 15 х/ ( 1 — 62) 1 - р/ ( 1—т 2)1

+

т 2 1т; 2 (х 6 ,ут)(( т

Л, =

2 2 1 - 2р + 1Д( 1 — р, 1 — р)5(д, д)

Я( 1 —р ,р)5(д ,1 —д ) ,

у) = 4 [и(х, у) - - х, у) + п(х, -у) - п(- х, -у)],

<Р з(х +у) = ( п р, ! _ ,) 1 и(х,у) + с6,

( п р, 1 _ ,) 1^(х,у) =

л4 а2

2 ЗхЗу

_ , Г в^йв [

ХуЬГЧ ^ ¿СП у J ( х - ^2)р ]

1 6 2 0 Гт V з(х 0 ,ут)й т

л4 а2 Тз^

_ , Г Г

ху1 у124 ¿СП у ] (1-6>2)р ]

( 1-02)Р 7 ( 1-т2 ) 1 _ Ч о о

1 6 2 6 Гт V з(х 6 ,ут)й т

+

( )

л, =

22р _2 Ч+15(р,р)5( 1 - д, 1 - д)

( ) ( ) 1

Vз(х, у) = т [м(х, у) + м(- х, у) - п(х, -у) - п(- х, -у)],

<Р4(х + у) = ( п 1 _ р , 1 _ ч) 1и(х,у) + Сб,

( п 1 _ р , 1_ ч)_ Мху) Л5 з2

2 ЗхЗу

9-19-1 Г в(1в Г

хук|2 р ^у|2 Ч 15I СП х 5 ¿СП у ^ 1 _р J

т р4(х 6 ,ут)й т

( )

+

2 Зу2

9-19-1 Г Г

ху^Г р Чу|2 Ч ^ I СП х 5 I СП у ^ ^_6>2 у _р J

т р4(х 6 ,ут)й т

( )

Л, =

2 3 _ 2р _ 2 Ч£( 1 - р, 1 - р )Я( 1 - д, 1 - д)

Я( 1-р ,р Ж 1 - д ,д ) ,

(х, у) = - [м(х,у) - п( - х,у) - п(х, - у) + п( - х, - у)], Су (/ = 2 , 4, 6, 8) -произвольные постоянные.

Пункт 1.3.2 посвящен постановке граничных задач на основе полученных интегральных представлений и их формул обращения для гиперболческого уравнения Э.П.Д с двумя сингулярными линиями.

Ставятся и исследуются следующие граничные задачи:

Задача ^ Требуется найти решение уравнения (5) при 0 < 2 р < 1 , 0 < 2 ц < 1 из класса ( ) по граничным условиям:

и(х, 0 ) = /у(х), (|у|у+2 ^уи)у=о = /2(х),

1 д

где

°у = 1-у-1Гу , К*)

и ( ) - заданные функции точек .

Задача N. Требуется найти решение уравнения (5)- функцию и(х ,у) при

, из класса ( ), по граничным условиям:

и(0,у) = gl(у), (|х|у+2р))хи)х=о = g 2 (у),

1 д

где )х = у. —, g у(у) и g 2(у) - з ад а н н ы е ф ун к ц и и т о ч е к Г2.

Задача N8. Требуется найти решение уравнения (5) из класса И4"( ) при

, по следующим условиям: ( ) ( )

где ( ) ( ) - заданные функции точек .

Задача N9. Требуется найти решение уравнения (5) из класса И4<?(£+) при 0 <

, по следующим условиям

<0 ,у) =/2(у), Ит (|х|2"^} = /з(у),

где ( ) и ( )- заданные функции точек .

Основным результатом данного параграфа являются следующие утверждения:

Теорема 1.9. Пусть в условиях задачи N5 функции /у(х ) /2(х ) имеют

непрерывные производные третьего порядка. Тогда задача N имеет единственное решение, которое выражается формулой (7), где функции ( ) ( ) ( ) ( ) выражаются через граничные функции формулами:

2 1 а ут 2 р[/у(хт)+/у(-тх)]£гт

*1(х) =Уахх]-(Г-Г^--

О

1

[ ( ) ( )] * 2(х)= =т' ах1 х 1 5 " х ' ^ х / —( 1 - т у ) у -р—,

0

за Гт2 5 [/2 (хт) + /2 ( тх)] йт

,рз(х)=уахх]-0-^5)5-,

о

1

^ 2 4 а - у , Гт[/2(хт) -/2(-тх)]£т *4(х) = — ■ — |х|2 5 ух5 ^П х I —

( ) О

_ 2 25- уБ(р,р) _2 1 - 25Я( 1-р,1-р) _ 2 25- уБ(р,р)

— "777 ^ л-)А-2 — пТл л ' Аз ~

( ) ( ) ( ) ( )

_ 2 1 - 25£( 1 -р,1 -р) 2 4= ( 1-2 ц )Я( 1-р ,р ).

Замечание 1.3.1. О разрешимости задачи Л/7 получено утверждение, подобное теореме 1.9.

Теорема 1.10: Пусть в задаче Л/8 /(х) £ С3( ^ ), /Дх) £ С3( ^ ). Тогда задача N имеет единственное решение, которое даётся формулой (7), где

функции ( ) ( ) определяются из формул:

[ ( ) ( )]

* 1(х)=У^х] [ ( =( П 5) [/(х)+/( -х)]

О

1

[ ( ) ( )] *2(х) = Т'а1|х|2 "" 1х5^ х/ —( 1-т2 ) 1 -5—

О

= ( П 1 - р)- 1 [/(х) /( - х)],

п 3 [ Г2р[/1(хт) + А( - хт)]Лт 1

< 3(Х) = У^Х]-( 1-т1 )р-= ( п р) [А(х)+А( - х)],

о

1

Л 4 а, . Г т^Дх^ -/1( - хт)]йт

Ад С

<4(х) = -у ■ — |х|2р _ 1Х5 ¿СП х I

( )

= ( п 1 _р)_1 [/1 (х) /1 ( - х)],

_2 2 р " Жр ,р ) _2 1 " 2 рБ( 1-р ,1-р ) _ 2 2 р " Жр ,р ) — ~ТГ? 1 — ч , А3 —

( ) ( ) ( ) ( )

_ 2 1 " 2рБ( 1 -р,1 -р) Л 4" ( 1-2 д)Я( 1-р ,р )■

В пункте 1.3.3 приводятся формулы обращения в других случаях.

Через ) обозначим класс функций п(х,у), имеющих непрерывные

производные второго порядка, и зависящих от двух произвольных функций одного переменного.

Используя принцип соответствия и результаты [8], [10], можно убедиться, что любое решение уравнения (5) из класса И^Д/) ) при 0 < 2 р < 1 , 2 д > 1 , представимо в виде:

п(х,у) = П р, ч(ф ^ + 5щп х!х11 " 2 рП 1 _р,,(ф2), (8)

соответственно при в виде

п(х,у) = Пм(^1 ) + 5 ¿сп у|у^ _2 ^Пр, 1 _ ), (9)

где ( ) ( ) ( ) ( ) произвольные дважды дифференцируемые функции.

Справедливо следующее утверждение:

Теорема 1.11. Пусть в интегральном представлении (8)0 <2р<1 , д - целое положительное число. Тогда оно обратимо, т.е. если функция п(х ,у) - решение уравнения (5), имеет непрерывные производные ( д + 1 ) - го порядка по у и производные третьего порядка по х, тогда соответствующие произвольные функции < Дх + у) и < 2(х + у) находятся по формулам:

* 1(х + у) = ( П 5, ")

В± д2

2 дудх

л.

(/у)" - 1 у х|у|2 " - 2/

в2 Р^Дх в ,ут)£й в

[ 1 — 62]5

+

В± д2

1

(/у)" - 1 у х |у |2 " - 2/

2 ду2

_^

* 2 (х + у) = ( П 1 - 5 , ")

в2 Р^Дх в ,ут)£ в [ 1 — в2]5

+ с5>

( ) ( )

В2 д2

2 дудх

, х"- 1 25-2 I 12" -2 ■ Г в^2(х в ,ут)£в

()у) у ^Г5 2 ■ Ь|2 " 25^П х / р

"р

+

2 ау2

(йуГ V |х|2 5- 1 ■ |у|2 О"2 5 ^ х/^^'^У

О

+ С6,

где /у = - ■ —, = , (х,у) =

=

у Э у' 1 (" - 1 ) ! В(5 , 1 - 5 )

2 " - 25 - 15( ц, ц)В( 1 - р, 1 - р)

, V 2 (х, у) =

( ) ( )

( ц 1 ) !Я( 1-р,р) ' 2

с5, с6- произвольные постоянные, через решение уравнения (5).

Теорема 1.12: Пусть в интегральном представлении (9) 0 < 2 ц < 1 ,р -целое положительное число. Тогда интегральное представление (9) обратимо, т.е. если функция и(х,у)- решение уравнения (5), имеет непрерывные производные (р + 2 )-го порядка по х и производные третьего порядка по у тогда соответствующие произвольные функции ф 1(х+у) и ф 2(х+у) находятся через функцию и(х, у) и её производные по формулам:

Ф 1 (х + у) =

В3 д2

2 дудх

1

()х)5 - 1 ух|х|25 -2/

т 2 51;3 (х в ,ут)£т [ 1 — т2 ]5

+

<

>

<

<

>

<

<

Въ д2

+

2 ду<

1

()х)р _ 1 ух|х|2р _ 2 |

т2 р17 3 (х 6 ,ут)й т [ 1 — т2 ]р

+ с6,

Ф 2(х + у) =

В4 д2

2 дудх

1

(£>х)р _ 1 ух | у |2 Ч _ 15 ¿сп у |

т 174(х 6 ,ут)йт [ 1 - т 2]1 _ Ч

+

ВА д2

2 ду2

л.

(£>х)р _ 1 ух|у|2р _ 15 ¿сп у |

т 174(х 6 ,ут)Й т

"[Г-+

где

13 _ 2 2 Ч+р _ Ж д,дЖр ,р ) , Л _ц(х ,у) + ц(х,- у)

" х ■ ах^3 " (р-1 ) !В( д, 1 - д) , Рз(ху) " 2 ,

2 Ч _ 2 р+Ж 1 - д, 1 - д)В(р ,р ) м(х,у)-и(х,-у) Б4 =-(р-1) ! В( 1 - д, д )-^(х,у) =-2-,

-произвольные постоянные.

Теорема 1.13. Пусть в интегральном представлении (8) 0 < 2 р < 1 , д = т + а, где т = [д ] - целая часть д , а = * д+ - дробная часть д . Тогда интегральное представление (8) обратимо. Соответствующие функции < Дх+у) ,<2(х+у) находятся с точностью до произвольных постоянных через решения уравнения (5) и выражаются формулами:

в 5 а2 „ „ г )/^т2("1+и)£* 1 г

< 1(х+^=У■а;ах|у|2т|х|2рхуI Ъ-т2]« I

^т2^+о)с* 1 Г 62^(х 6 ,ут)й 6

[ ]

+

в 5 а2 0 0 г /)"'^т2( "+о ^ 1 г

+ У^|у|2"|х|2рху] ^ -т2 ]о I

02(т+о)с*1 Г62рт;1(х6,ут)й6

[ ]

+ С8,

ф 2(х +у) = "ГТ

в* а2

5 ¿СП х|х|р 1|у|2 "ху

2 ауах

))Шт2(ш+оО^т Г 6 Р 2(х 6,ут)Й6 [ 1 — т2]о 1 [ 1 - 62]1 _р

+

<

<

>

<

В6 а2 , , ГО!Цт2(т-а^йт } ву2(хв,уг)йв

+ х1х,Р-''У' ХУ I Ц - Т2 ] а I -^2гХЩЪТ+С>.

о о

где

^ 2 2р+ш+2 а - [В(р,р)В(т + а,т + а)

5 а(а + 1) ... (а + т — 1 )В(р, 1 — р)В(а, 1 — а)

_ 2т+2а-2р+1В( 1 — р,1 — р) В (т + а,т + а)

6 а(а + 1) ...(а + т — 1 )В( 1 — р, р)В(а, 1 — а)

С8, С9- произвольные постоянные.

Теорема 1.14. Пусть в интегральном представлении (9) 0 < 2ц <1, р = к + (, где к = [р] - целая часть р,( = *р + - дробная часть р . Тогда интегральное

представление (9) обратимо. Соответствующие функции гр'(х+у) и гр2(х + у) находятся через решения уравнения (5) с точностью до произвольных постоянных и выражаются формулами:

В7 а2 0 ^ [0*в62(к+V) й6 }т2су3(х6 ,ут)йт

г1(х+у)=т-аагх-1у12я,х,2кху1 р—-2Г I [IхтУ +

о о

+ В7. а2 .М2„,х,2к.ху1 РЬ-2(к+Юй6 1 т2"У3(хв,ут)с1т

+Т ау2 |у| ,х| ху1 [1 — 62-V I [1 — Т2]Я + С1°'

О О

В8 а2 }рквв2(к+V)й6 [ТУ4(х6,ут)йт

г 2(х + у)=Т- дуах5 *П у,у|" - 1,х|2 кху I [ 1 —-2]Р I [ 1 — т2 ]1 - с +

о о

В8 а2 1 Ркквт2(к+V) й6 [ту^х6,ут)йт

+ Т'ду25 *П у,у,С- 1,х'2кху I [ 1 —-2^ I [ 1—т 2]1 - С +С11,

о о

где

_ 2 2 С+к+2* -1 В(ц , ц)В( к + (,к + () В7~ ((( + 1) .■ ■ (( + к — 1 )В(ц, 1 — ц)В(( , 1 — ()

_ 2 2 к+2 Р- 2 q+LB( 1 - q, 1 - q)B(k + к + /) В8 = Р(Р + 1 ) . . . (/ + к - 1 )В( 1 - q, q)В(/, 1 - / )'

о , 1" произвольные постоянные.

Вторая глава посвящена выяснению постановки корректных краевых задач типа

1 5

Рикье и Коши с дифференциальным оператором Dy = . В области Е + рассмотрим гиперболическое уравнение четвертого порядка вида:

(LM)2u = 0 , ( 1 0 )

где

_ а2 а2 ¡1 а

^ ах2 ау2 уау' Л = constant.

Параграф 2.1 посвящен исследованию задач типа Кощи для гиперболического уравнения четвертого порядка (10) в области Е+.

Через С4(Е+) обозначим класс функций, имеющих в Е+производные четвертого порядка, причем ( ) ( ) и ( )

Задача N10. Требуется найти решение уравнения (10) из класса С4(Е+) при д > 3 по граничным условиям:

и(х, 0 ) = /7(х), ( Ьд(м))у=0 = /800, X е Г 1

где /7(х), /8(х)- заданные функции точек Г -l = {3/ = 0, 0 < х < оо+

Задача Nn. Требуется найти решение уравнения (10) из класса С4(Е+), при д > 3 по граничным условиям:

( ) ( ) (Dyu)y=о = А о(х)

где

1 а

Dy =~~q~> /9(х), /1 о(х) - з ада н н ы е фун кц и и то ч е к в е щ е с тв е н н о й о с и Г l.

24

В дальнейшем через Е+) обозначим класс функций и(х,у) £ С(п)( Е+) , для которого £>Пи £ с(Е + и Гх).

Задача Требуется найти решение уравнения (10) из класса Е+) , по граничным условиям

( ) ( ) (&0Н=о=Л 2(х)

где /)у = А 1.(х), А 2(х) - заданные функции точек вещественной оси Г -,_.

Теорема 2.1. Пусть в задаче Ы10 функции /7(х) и /8(х) для всеххеГ 1 имеют непрерывные производные четвёртого порядка. Тогда задача Ы10 имеет единственное решение, которое даётся формулой:

и(х,у) = пм[/8(х)] + _ 2[Л(х) -/8(х)],

где /7(х) = {/' « /Д0,

Теорема 2.2. Пусть в условиях задачи Л1 /}(х) £ С(4)(Г" ), у = 9 , 1 0. Тогда задача имеет единственное решение, которое дается формулой:

и(х,у) = пд <р 0 + пм _ 2 (2), где *(х) = {* « ^

а значения функций ( ) и ( ) определяются из равенств Р "(х) = 1 [(д + 1 )/9(х) - 71 [/1 о ]],|

Р 2(х)=1[71[/1 о]-(Д-1 )/9(х)]|

где

л,

Ш 0] = I (х о( Ой t .

Теорема 2.3. Пусть в условиях задачи Л 2 ^(х) Е С1(^ ) , ] = 11, 12 .

Тогда задача Л2 имеет единственное решение, которое выражается формулой ( ) ( ) ( )

где функции ( ) и ( ) определяются из формул:

Р[(х) = [(И + 2п + 1 )Л [(х) — Т[[Г[2]],

Р 2 (х) = [Ш 2] —(И— 1) А 1(х)]

х > 0 0 х < 0 ,

Л 1(х) = [0А1(х)

л 2(х) = $ ' ^ хх*°

X

Т[(А 2) = (2п _1}! ^х — 02п-1 Д 2 (г)й I, А = (И + 3 )(И + 1).. . .(И+ 2 п + 1).

о

В параграфе 2.2 исследуются модельное гиперболическое уравнение т - го порядка с одной сингулярной линией вида:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хасан Дуния Абдалхамид, 2017 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров, А.Я. Соловьев Ю.И Пространственные задачи теории упругости [Текст] / А.Я. Александров.-Москва: Издательство «Наука», 1978.-643 с.

2. Бицадзе, А.В. Уравнения смешанного типа [Текст] / А.В. Бицадзе. - М.: Изд-во АН СССР, 1959.-164 с.

3. Векуа, И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений [Текст] / И.Н. Векуа.-М., Л.:ГИТТЛ, 1948.- 296 с.

4. Джаяани, Г.В. Задача Рикье для одного вырождающегося уравнения [Текст] / Г.В. Джаяани // ВСБ. «Комплексный анализ и его приложения» (посвящено семидесятилетию академика И.Н.Векуа).- Москва: Издательство «Наука».- 1978 .-C.87-216.

5. Gilbert, R.P. Function Theoretic Methods in partial Differential Equation [Текст] / R.P. Gilbert.- New York; London: Academic Press .-1969.- 311 p.

6. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области [Текст] / М.В. Келдыш // Доклады Академии наук СССР.-1951.- Т.77.- №2.-C.181-183.

7. Кароль, И.Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптического - гиперболического типа [Текст] / И.Л. Кароль // Мат. сборник.-1956.-Т.38(80).- №3. -C.261-282.

8. Carole, R.W. Singular and Degenerate Cushy problems [Текст]/ R. W. Carole, R.E. Showаlter.-Academic press. NewYork, San - Francisco, London.- 1976.- 333 p.

9. Кривенков, Ю.П. О некотором представлении решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу через аналитические функции [Текст] / Ю.П. Кривенков // Доклады Академии наук СССР.- 1957.- Т.116-№3.-C.351-354.

10. Кривенков, Ю.П. Представление решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу через аналитические функции [Текст] / Ю.П. Кривенков // Доклады Академии наук СССР.- 1957 .-Т.116.- №4.- С. 545-548.

11. Кривенков, Ю.П. Представления решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу при отрицательном коэффициенте [Текст] / Ю.П. Кривенков // Доклады Академии наук СССР.- 1958.- Т. 123.- №2.- С.239-242.

12. Маричев, О.И. Интегральное представление решений обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца и формула его обращения [Текст] / О.И. Маричев // Дифференциальные уравнения.-1978.-Т.Х1У.-№10.-Т.193.-С.1824-1831.

13. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / Н.М. Матвеев.- Москва: Высшая школа, 1963.-545 с.

14. Олимов, А.Г. Интегральное представление и задача типа Коши для одного модельного гиперболического уравнения второго порядка с двумя сингулярными гиперплоскостями [Текст] / А.Г. Олимов // Известия АН Тадж. ССР. Отделение физ.-мат., хим.и геол. наук.-1984.-№4 (94).-С.72-75.

15. Олимов, А.Г. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых гиперболических уравнений второго и высшего порядка с двумя сингулярными линиями или поверхностями [Текст] / А.Г. Олимов // Дисс. канд. физ-мат. наук -Душанбе, 1988.-147 с.

16. Положий, Г.Н. Обобщение теории аналитических функций комплексного переменного [Текст] / Г.Н. Положий.- Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1965. - 442 с.

17. P.Henrici, Zur Funktionentheorie der Wellengleichung,.Comm. 1953.-Helv.-27.-No3,4.-C.235-239.

18. Раджабов, Н. О некоторых интегральных уравнениях, связанных с уравнениями в частных производных осесимметрической теории поля [Текст] / Н. Раджабов // Исследование по краевым задачам теории функций и дифференциальных уравнений.- Душанбе: Изд-во АН Тадж. ССР.- 1964.-C.83-98.

19. Раджабов, Н. Некоторые краевые задачи для уравнения осесимметрической теории поля [Текст] / Н. Раджабов // Исследование по краевым задачам теории функций и дифференциальных уравнений.-Душанбе: Изд-во АН Тадж. ССР.-1965.- C.79-127.

20. Раджабов, Н. Некоторые краевые задачи с высшими производными для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу [Текст] / Н. Раджабов // Доклады Академии наук Тадж. ССР.- 1965.- Т.УШ.-№8.-С.3-8.

21. Раджабов, Н. Аналог формулы Пуассона для некоторых уравнений второго порядка с сингулярной линией [Текст] / Н. Раджабов, Л.Г. Михайлов // Доклады Академии наук Тадж. ССР.-1972.-Т.15.-№1.-С.6-9.

22. Раджабов, Н. Аналог формулы Пуассона для одного класса дифференциальных уравнений эллиптического типа высшего порядка с сингулярной линией, в случае полупространства [Текст] / Н. Раджабов // Доклады Академии наук Тадж. ССР.-1973.-Т.15.-№1.-С.6-9.

23. Раджабов, Н. Построение потенциалов и исследование внутренних и внешних граничных задач типа Дирихле и Неймана для уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу на плоскости [Текст] / Н. Раджабов // Доклады Академии наук Тадж. ССР.-1973.-Т.17.-№8.-С.7-10.

24. Раджабов, Н. Построение потенциалов и исследование внутренних и внешних граничных задач типа Дирихле и Неймана для некоторых сингулярных уравнений эллиптического типа в многомерном случае [Текст] / Н. Раджабов // Доклады Академии наук СССР.-1976.-Т.228.-№°4.-С.801-804.

25. Раджабов, Н. Аналоги формулы Пуассона для одного класса уравнений второго порядка с двумя и тремя сингулярными плоскостями [Текст] / Н. Раджабов // Межвузовский сб. Дифференциальные и интегральные уравнения.-Душанбе: Изд-во ТГУ.- вып.1.-1977.- С.23-34.

26. Раджабов, Н. Построение потенциалов для одного уравнения эллиптического типа второго порядка с двумя сингулярными линиями [Текст] / Н. Раджабов, А.С. Сатторов, Д.К. Джабиров // Доклады Академии наук Тадж. ССР. -1977.-Т.ХХ.-№11.- С.7-10.

27. Раджабов, Н. Потенциалы и аналог формулы Пуассона для одного уравнения второго порядка с п сингулярной гиперплоскостью [Текст] / Н. Раджабов // Доклады Академии наук СССР.-1977.-Т. 233.-№4.-С.555-558.

28. Раджабов, Н. Интегральные представления для некоторых классов дифференциальных уравнений эллиптического типа сингулярными гиперплоскостями через решение уравнений с регулярными коэффициентами [Текст] / Н. Раджабов // Доклады Академии наук СССР.- 1977.-Т.- 233.-№5.-С.796-799.

29. Раджабов, Н. Аналог формулы Пуассона для одного уравнения второго порядка эллиптического типа с двумя сингулярными линиями [Текст] / Н. Раджабов, А.С. Сатторов, Д.К. Джабиров // Доклады Академии наук Тадж. ССР.-1977.-Т.20.-№12.-С.3-7.

30. Раджабов, Н. Фундаментальные решение и интегральные представления для одного уравнения эллиптического типа с двумя сингулярными линиями [Текст] / Н. Раджабов, А.С. Сатторов, Д.К. Джабиров // Доклады Академии наук Тадж. ССР.-1977.-Т.20.-№9.-С. 13-17.

31. Раджабов, Н. Элементарные решения и интегральные представления для одного класса дифференциальных уравнений с п сингулярной гиперплоскостью [Текст] / Н. Раджабов // Дифференциальные уравнения.-1978.- Т.Х1У.-№10.-С.1832-1843.

32. Раджабов, Н. Теорема единственности и аналог формулы Пуассона в первом октанте для уравнения типа Гельмгольца с п-сингулярной гиперплоскостью [Текст] / Н. Раджабов // Доклады Академии наук Тадж. ССР.- 1978.-Т.238.-№4.-С.804-807.

33. Раджабов, Н. Представления многообразия решений и исследование краевых задач типа Коши-Дирихле для общего уравнения эллиптического типа с сингулярной линией [Текст] / Н. Раджабов, К.С. Болтаев //Дифференциальные и интегральные уравнения.- Изд-во ТГУ.-Вып. 3, 1980.-С.15-22.

34. Раджабов, Н. Решение граничных задач для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в случае полосы [Текст] / Н. Раджабов, К.С. Болтаев //В межвуз. Сб. «Дифференциальные и интегральные уравнения».- Душанбе: Изд-во ТГУ.-Вып. 3, 1980.-С.106-119.

35. Раджабов, Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями: Монография [Текст] / Н. Раджабов / Душанбе: Изд-во ТГУ.-Ч. 1.-1980.-147 с.

36. Раджабов, Н Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с или сингулярными поверхностями: Монография [Текст] / Н. Раджабов / Душанбе: Изд-во ТГУ.- Ч. 2.-1981.-170 с.

37. Раджабов, Н. Интегральные представления и граничными задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями (Теория потенциалов): Монография [Текст] / Н. Раджабов / Душанбе: Изд-во ТГУ.- Ч.3.- 1982.-170 с.

38. Раджабов, Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями (Введение в теорию немодельных гиперболических уравнений второго порядка с сингулярными линиями): Монография [Текст] / Н. Раджабов / Душанбе: Изд-во ТГУ.- Ч.4.-1985.-157 с.

39. Раджабов, Н. О представления многообразия решений для линейного гиперболического уравнения второго порядка с одной сингулярной линией [Текст] / Н. Раджабов // Доклады Академии наук СССР.-1986.-Т.29.-№ 7.-С.390-393.

40. Раджабов, Н. Интегральные представления для гиперболического уравнения второго порядка с одной сингулярной линией [Текст] / Н. Раджабов // Нелокальные задачи для уравнений в частных производных и их приложения к моделированию и автоматизации проектирования сложных систем.- Нальчик, 1986.-С.162.

41. Раджабов, Н. Интегральные представления и граничные задачи для одного класса линейных немодельных систем дифференциальных уравнений гиперболического типа второго порядка с двумя сингулярными линиями [Текст]/

Н. Раджабов, А.Г. Олимов, Душанбе.-1986.-32с.-Деп. в ТаджикНИИНТИ, 13.09.86.- №64(357) Та-Д86.

42. Раджабов, Н. Модельное гиперболическое уравнение четвертого порядка с одной сингулярной точкой [Текст] / Н. Раджабов, Д.А. Хасан // Вестник Таджикского национального университета.-2011.- № 5(69).-С.9-11.

43. Раджабов, Н. Об одной задаче типа коши для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с двумя сингулярными линиями [Текст] / Н. Раджабов, Д.А. Хасан // Материалы республиканской научной конференции Таджикского национального университета "Теория дифференциальных и интегральных уравнений и их приложения", посвященной 20-й годовщине Независимости Республики Таджикистан. (Душанбе, 23-24 июня 2011г.).- Душанбе, 2011.-С. 8993.

44. Раджабов, Н. Об одной граничной задаче для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с двумя сингулярными линиями [Текст] / Н. Раджабов, Д.А. Хасан // Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук.-2012.-№4 (149).- С.28-36.

45. Раджабов, Н. Задача типа Коши для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с двумя сингулярными линиями [Текст] / Н. Раджабов, Д.А. Хасан // Вестник Таджикского национального университета.-2012.-№1/2 (81).-С.21-26.

46. Раджабов, Н. Задача типа Коши с высшими производными для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с одной сингулярной линией [Текст] / Н. Раджабов, Д.А. Хасан //Доклады Академии наук Республики Таджикистан.-2013.-№9(56).-С.675-679.

47. Раджабов, Н. К теории модельного гиперболического уравнения четвертого порядка с одной сингулярной точкой [Текст] / Н. Раджабов, Д.А. Хасан // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы теории функций и дифференциальных уравнений", посвященной 85-летию академика АН Республики Таджикистан Михайлова Леонида Григорьевича ( Душанбе, 17-18 июня 2013г.).-Душанбе, 2013.-С.113-114.

48. Смирнов, М.М. Модельное уравнение смешанного типа четвертого порядка [Текст] / М.М. Смирнов.-М.: Изд-во ЛГУ, 1972.-123 с.

49. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения [Текст] / М.М. Смирнов.-М: Наука, 1966.-292 с.

50. Смирнов, М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения [Текст]/ М.М. Смирнов.-Минск: Изд-во Высшая школа, 1977.-160 с.

51. Усманов, З.Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой [Текст] / З.Д. Усманов //Математический институт с ВЦ АН РТ.-Душанбе, 1993.244 с.

52. Хасан, Д.А. Формулы обращения для гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с двумя сингулярными линиями в разных случаях [Текст] / Д.А. Хасан // Вестник Таджикского национального университета.-2015.-№1/3(164).-С.32-35.