Интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных урвнений в частных производных, содержащих гиперболическое уравнение вторго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Мохамед Эльсаед Абдель-Аал Абдель-Гхани Гхареб

• Мохамед Эльсаед Абдель-Аал Абдель-Гхани Гхареб
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мохамед Эльсаед Абдель-Аал Абдель-Гхани Гхареб

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

ГЛАВА 1. Исследование переопределенной линейной системы трех уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка с двумя вырождающимися линиями.

§1.1. Случай а <\,Р <1, с2(х,у) = 0.

§1.2.Случай а<\,Р<\, с2(х,у)*0.

§1.3. Случай а = 1,Р = 1, с2(х,у) = 0.

§1.4. Случай сс = \,р=\, с2(х,у)*0.

§1.5. Случай а>\,Р>\, с2(х,у) = 0.

§1.6. Случай а>\,Р>\, с2(х,у)фО.

§1.7. Случай а <1,/? = 1, с2(х,у) = 0.

§1.8. Случай а < \,/3 = \, с2{х,у) Ф 0.48^

§1.9. Случай а = \,Р<\, с2{х,у) = 0.

§1.10. Случай а = 1,/?<1, с2(х,у) ф0.

§1.11. Случай а<\,Р>\, с2(х,у) = 0.

§1.12. Случай а <\,р>\, с2(х,у)ф0.

§1.13. Случай а > < 1, с2(х,у) = 0.

§1.14. Случай а>\,Р < \, с2(х,у)ф0.

§1.15. Случай а >\, Р = \, с2(х,у) = 0.

§1.16. Случай а>\,Р = \, с2(х,у)^0.

§1.17. Случай а = \,р > 1, с2(х,у) = 0.

§1.18. Случай а = \,Р > 1, с2(х,у) Ф 0.

ГЛАВА 2. Исследование переопределенной линейной системы трех уравнений с постоянными коэффициентами, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка с двумя вырождающимися линиями.69 •

§ 2.1. Нахождение решения системы уравнений (2.1), представимого в виде обобщенного степенного ряда ПО переменному X.

§ 2.2. Нахождение решения системы уравнений (2.1), представимого в виде обобщенного степенного ряда по переменному у.

ГЛАВА 3. Исследование переопределенной линейной системы трех уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка с двумя вырождающимися линиями в случае разных параметров.

§ 3.1. Случай а <1,/?<1, у< 1, Л<1, с2(х,у) = 0. г

§ 3.2. Случай а=1,0=1,у = 1,Л = 1, с2(х,у) = 0.

§ 3.3. Случай а>1,Р>1, />1, А>1, с2(х,у) = 0.

§ 3.4. Случай а >1,р = 1, у >1, Л = 1, с2(х,у) = 0.

§ 3.5. Случай а > 1,/? < 1, у > 1, Л < 1, с2(х,у) = 0.

ГЛАВА 4. Исследование переопределенной линейной системы двух уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка с двумя сингулярными и сверхсингулярными линиями.

§4.1. Случай а^у) е СХ(П), а <\,р < \,у < 1 и исходным уравнением является первое уравнение системы.юз

§4.1.1. Случай с2(х,у) = 0.

§4.1.2. Случай с2(х,у) ^ 0.Ю

§4.2. Случай а{(х,у) е СД-О), а < 1,/? < 1,/ < 1 и исходным уравнением является второе уравнение системы.

§4.2.1. Случай с2 (я, у) = 0.!

§4.2.2. Случай с2(х,у) Ф 0.Пб

§4.3. Случай ах(х,у) е СХ{И), а > \,р>\,у > 1 и исходным уравнением является первое уравнение системы.

§4.3.1. Случай с2(х,у) = 0.ц

§4.3.2. Случай с2(х,у) ф 0.

§4.4. Случай ^(х,^) е СХ(В), а > \,р>\,у> 1 и исходным уравнением является второе уравнение системы.

§4.4.1. Случай с2(х,у) = 0.

§4.4.2. Случай с2(х,у) Ф 0.

§4.5. Случай щ (х, у) е СХ(И), а <\,/3 >\,у < \ и исходным уравнением является первое уравнение системы.134 •

§4.5.1. Случай с2(х,у) = 0.

§4.5.2. Случай с2{х,у) Ф 0.

§4.6. Случай а{(х,у) е СХ(В), а <\,р >\,у < \ и исходным уравнением является второе уравнение системы.

§4.6.1. Случай с2(х,у) = 0.

§4.6.2. Случай с2(х,у) Ф 0.

§4.7. Случай а{(х,у) е СХ(П), а > \,/3> 1,у < 1 и исходным уравнением является первое уравнение системы.

§4.7.1. Случай с2 (х, у) = 0.

§4.7.2. Случай с2(х,у) ф 0.

§4.8. Случай ах{рс,у) е СХ(В), а > 1,/? > \,у < 1 и исходным уравнением является второе уравнение системы.

§4.8.1. Случай с2(х,у) = 0.

§4.8.2. Случай с2(х,у) ф 0.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных урвнений в частных производных, содержащих гиперболическое уравнение вторго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями»

Дифференциальные уравнения с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами и интегральные уравнения с сингулярными и сверхсингулярными ядрами являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных и имеют много важных приложений. К рассмотрению таких уравнений приводят многие задачи прикладного характера? из физики, гидродинамики, теории-упругости и других разделов математической^ физики. В связи с этим, изучению таких уравнений посвящены много работ. Существенные результаты в этом направлении получены в монографиях и научных работах И.Н.Векуа, [3], А.В.Бицадзе [1]-[2], М.М.Смирнова [62]-[63], МХ.Салохиддинова [61], Л.Г.Михайлова [10]-[15], 3:Д.Усманова [65], Н.Р. Раджабова [27]-[58], Ф.Д.Гахова [6], К:Е.ОПЬег1 [7], К^.СаггоИ и К.81юлуаКег ; [64], H.Begehr [4]; А.Д:Джураева [8]-[9] и их учеников.

Другим важным направлением в теории уравнений с частными' производными.является, изучение переопределенных систем дифференциальных уравнений с частными производными с регулярными и сингулярными коэффициентами. Исследованию переопределенных систем дифференциальных уравнений с регулярными и сингулярными коэффициентами посвящены работы Л:Г.Михайлова [10]-[15], А.Д.Джураева [8]-[9], H.Begehr [4], Н.Р. Раджабова [27]-[58], Э.Р.Рузметова-[59]-[60] и их учеников.

Изучение переопределенньгх систем начали^ с систем с регулярными коэффициентами, а после стали изучать переопределенные системы с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами.

Монография Л.Г.Михайлова [10] посвящена изучению переопределенных систем с регулярными коэффициентами. В работе Л.Г.Михайлова [14] им было найдено представление многообразия решений для переопределенных систем с одной сингулярной точкой дх ду где «-целое положительное число.

В монгорафии Н.Раджабова [36] исследуются линейные переопределенные системы двух уравнений с сингулярной точкой и сингулярными линиями вида: ди а(х>У) А(х,у) дх х" ха ди Ь(х,у) /2(х,у) ду ур у» ' а также система ди [ ха(х,у) fx{x,y) дх га га ' ди yb(x,y) f2(x,y) ду гр гр ' где а = const. > О, Р = const. > 0 , г2 =х2 +у2, а(х,у), b(x,y), fj{x,y), (j = 1,2)заданные функции в прямоугольнике D = {(х,^):0<д;<<5'1,0<>'<52}. В зависимости от параметров а,р {а <\,/3<\\ а = \,/3 = 1; а>\,р>\ и другие возможные случаи), а также знаков а(0,0), ¿(0,0), получены интегральные представления многообразия решений через произвольные постоянные. Кроме того, изучаются сингулярные и сверхсингулярные линейные переопределенные системы двух уравнений,; содержащие гиперболическое уравнение второго порядка с сингулярными или сверхсингулярными линиями, а также с сингулярной или сверхсингулярной точкой. В монографии также исследуются некоторые многомерные линейные системы первого порядка с сингулярной или сверхсингулярной точкой и сверхсингулярными областями.

В монографии Э.Рузметова [59] получены интегральные представления многообразия решений некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулярной точкой, с сингулярными линиями и плоскостями.

Кроме того, некоторые классы переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярными и сверхсингулярными 2 коэффициентами изучены в работах Л.Г.Михайлова, Н.Р.Раджабова, Э. Рузметова, а также их учеников, Р.Пирова, Б.Шарипова, Ф.Шамсудинова, Б. Шоимкулова, Н.Мирзоева и других. Эти работы в основном посвящены переопределенным системам первого порядка с сингулярными коэффициентами и системам, приводящим к системам первого порядка с сингулярными коэффициентами.

Однако переопределенные системы, содержащие уравнения второго порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, мало изучены.

Основной целью настоящей диссертации является изучение переопределенных линейных систем трех уравнений со слабосингулярными, сингулярными и~ сверхсингулярными линиями, содержащих гиперболическое уравнение второго порядка со спабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями, которые исследуются впервые.

Особо важным является изучение переопределенных линейных систем с перемеными- коэффициентами, этот случай исследован полностью. Принтом важную роль играет связь между коэффициентами уравнений системы. Сначала изучается случай, когда коэффициенты связаны между собой определенным способом. В этом случае решение найдено в явном виде. После изучается случай, когда коэффициенты не связаны между собой и тогда решение находится через резольвенту двумерного интегрального уравнения-Вольтерра со слабыми особыми линиями.

Подробно исследуется случай, когда коэффициенты системы уравнений являются постоянными, с сингулярными линиями; найдено решение-системы, представимое в виде обобщенного степенного ряда.

В'1 работе также исследуется система трех линейных уравнений со слабосингулярными, сингулярными» и сверхсингулярными линиями, содержащая гиперболическое уравнение второго порядка, зависящая от разных параметров -степенного характера.

Также в работе изучается переопределенная система двух линейных уравнений со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями.

Цели и задачи исследования:

- Нахождение и изучение решения переопределенной системы трех линейных уравнений с переменными коэффициентами со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными, линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка.

- Нахождение и изучение решения вырождающейся переопределенной1 системы трех линейных уравнений с постоянными коэффициентами, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка, предсгавимое в виде обобщенного степенного ряда по одному из переменных.

- Нахождение и изучение решения переопределенной системы трех линейных, уравнений с переменными коэффициентами со слабосингулярными , сингулярными и сверхсингулярными линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка, зависящее от разных параметров степенного характера.

- Нахождение и изучение решения переопределенной системы двух линейных уравнений с переменными, коэффициентами со слабосингулярными и сверхсингулярными, линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка.

Методика исследования. Используется метод интегральных представлений многообразия решений для гиперболического уравнения второго порядка с сингулярными коэффициентами и представление многообразия решений для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярными коэффициентами.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертации исследуется переопределенная система трех линейных уравнений, содержащая гиперболическое уравнение второго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями, не изученная ранее. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач гидродинамики, газовой динамики, теории упругости и других разделов механики и физики.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на городских семинарах, руководимых профессором Н. Раджабовым «Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных» при кафедре Математического анализа и теории функций, 2008-2011г. ТНУ. Кроме того, работа была доложена на Международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения» смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Хабез, 25-30 • июня 2010г., на научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава и студентов; посвященных «18-ой годовщине независимости Республики Таджикистан» и «Году памяти Имама- Аъзама», ТНУ, апрель 2009г, апрель 2010г., Душанбе.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8-ми публикациях автора, список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, библиографического списка (66 наименований), изложена на 167 страницах.