Оценки вероятностных характеристик некоторых нестационарных систем массового обслуживания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Киселева Ксения Михайловна

• Киселева Ксения Михайловна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Киселева Ксения Михайловна

1.1 Пространство 1\

1.2 Дифференциальные уравнения в пространстве I,

1.3 Логарифмическая норма оператора

1.4 Марковские цепи

1.4.1 Основные понятия

1.4.2 Процессы рождения и гибели с катастрофами

1.4.3 Возмущенные процессы

2 Оценки вероятностных характеристик для некоторых моделей массового обслуживания

2.1 Система массового обслуживания с групповым поступлением и групповым обслуживанием требований

2.1.1 Введение

2.1.2 Слабая эргодичность и скорость сходимости

2.1.3 Примеры

2.2 Процесс рождения и гибели с особенностями

2.2.1 Введение и основные понятия

2.2.2 Оценки эргодичности

2.2.3 Пример

3 Аппроксимация некоторых конечных моделей массового обслуживания

3.1 Система массового обслуживания с групповым поступлением и

групповым обслуживанием требований

3.1.1 Введение и основные понятия

3.1.2 Аппроксимация

3.1.3 Примеры

3.2 Неоднородный процесс рождения и гибели

3.2.1 Введение и основные понятия

3.2.2 Дополнительные сведения и результаты

3.2.3 Аппроксимация

3.2.4 Примеры

3.3 система массового обслуживания

3.3.1 Вспомогательные понятия и основные результаты

3.3.2 Пример

3.3.3 Выводы

4 Нестационарная модель массового обслуживания с повторными вызовами и одним сервером

4.1 Введение

4.2 Вспомогательные понятия

4.3 Оценки эргодичности и устойчивости

4.3.1 Нуль-эргодичность

4.3.2 Экспоненциальная эргодичность

4.3.3 Слабая экспоненциальная эргодичность и устойчивость

4.4 Аппроксимация

4.5 Пример

4.6 Выводы

Заключение

Приложение

Описание программы

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки вероятностных характеристик некоторых нестационарных систем массового обслуживания»

Введение

Актуальность темы. Методы и модели массового обслуживания играют большую роль в исследовании телекоммуникационных систем.

Первые работы по данной тематике были проведены А. К. Эрлангом, см. [47]. Задачи, связанные с обслуживанием больших массивов однородных требований возникают в самых разнообразных направлениях исследований: в технике, экономике, организации производства. Таким образом, была создана так называемая теория массового обслуживания. Теория массового обслуживания является активно развивающимся разделом прикладной теории вероятностей, цель исследований которого оптимальный выбор структуры системы и процесса обслуживания. Данный выбор осуществляется на основе изучения потоков требований, поступающих в систему и выходящих из неё, длительности ожидания и длины очередей. В теории массового обслуживания используются методы теории вероятностей и математической статистики.

Очень важными задачами являются изучение скорости сходимости к предельному режиму и устойчивости для нестационарных систем обслуживания. Первые исследования в этом направлении инициированы Б. В. Гнеденко (см.

И)-

Большой вклад в развитие данной области исследований внесли также следующие российские и зарубежные ученые В.В. Анисимов, Л.Г. Афанасьева, Г.П. Башарин, К.П. Беляев, A.A. Боровков, П.П. Бочаров, Р.Л. Добрушин, А.Н. Дудин, А.И. Зейфман, В.В. Калашников, Н.В. Карташов, В.Ю. Королев, Е.В. Морозов, A.B. Печинкин, В.В. Рыков, О.В. Семенова, В.Г. Ушаков, С.Г. Фосс, Е. Van Doom, M.Neuts, R.L.Tweedie, W.Whitt и другие (см. [1]—[8], [11]-[19], [28]—[50], [52]-[55], [58]—[68], [74]-[77], [79], [80]).

Исследование свойств эргодичности и устойчивости для неоднородных марковских цепей с непрерывным временем, а также приложение этих результатов к моделям массового обслуживания, описываемым процессами рождения и гибели, начато в работах А.И. Зейфмана (см. [14], [81], [83]).

Задачи устойчивости стохастических моделей изучались также В.В. Ани-симовым, А.Ю. Митрофановым, В.В. Калашниковым, Н.В. Карташовым (см. [2, 20, 54, 64]).

Кроме того, значительная часть исследований посвящена вопросам, связанным с аппроксимацией нестационарных марковских цепей (см. [61], [87]).

Интерес к исследованию нестационарных (неоднородных по времени) марковских цепей постоянно увеличивается, в связи с чем является актуальной задача получения оценок скорости сходимости, устойчивости и погрешности аппроксимации для различных классов моделей, а также применение полученных оценок для построения основных предельных характеристик конкретных систем массового обслуживания.

Цель диссертационной работы. Целью работы является изучение некоторых классов нестационарных моделей массового обслуживания, получение оценок вероятностных характеристик: скорости сходимости к предельному режиму, устойчивости и аппроксимации, разработка алгоритмов и программ построения этих характеристик, решение с помощью численных методов задачи Коши на соответствующем отрезке для усеченного процесса.

Основные задачи. Для достижения заявленной цели решены следующие задачи:

- получены условия слабой эргодичности, оценки скорости сходимости для процесса, описывающего число требований в системе массового обслуживания с групповым поступлением и групповым обслуживанием требований;

- проведена аппроксимация процессов, описывающих число требований в некоторых конечных моделях массового обслуживания;

- исследован и использован метод двусторонних усечений для моделей, описываемых неоднородными процессами рождения и гибели и модели М^/М^/Б;

- получены условия нуль-эргодичности, экспоненциальной эргодичности и оцен-

ки устойчивости, а также проведена аппроксимация для процесса, описывающего число требований в модели с повторными вызовами и одним сервером.

Кроме того, для каждой из задач с помощью разработанных алгоритмов и программ с применением численных методов построены предельные характеристики соответствующих процессов.

Положения, выносимые на защиту.

1. Построение предельных характеристик для процесса, описывающего число требований в модели массового обслуживания с групповым поступлением и групповым обслуживанием требований.

2. Построение предельных характеристик для процесса рождения и гибели с особенностями.

3. Применение метода двусторонних усечений для неоднородных процессов рождения и гибели и процесса, описывающего число требований в модели М^/М^/б* с использованием численных методов и оценок скорости сходимости.

4. Получение оценок скорости сходимости, устойчивости и аппроксимации для процесса, описывающего число требований в модели массового обслуживания с повторными вызовами и одним сервером.

Научная новизна.

- Для процесса, описывающего число требований в системе с групповым поступлением и групповым обслуживанием требований, получено условие слабой эргодичности, новые оценки скорости сходимости к предельному режиму и предельному среднему, оценки устойчивости;

- для процессов рождения и гибели с различными интенсивностями катастроф получено условие слабой эргодичности и оценки скорости сходимости;

- для неоднородного процесса рождения и гибели и процесса, описывающего число требований в системе массового обслуживания М^/М^/б1, получены новые оценки равномерной аппроксимации двусторонними усечениями;

- для процесса, описывающего число требований в системе массового обслуживания с повторными вызовами и одним сервером, получены условия эргодичности, оценки устойчивости и аппроксимации.

Личное участие автора заключается в исследовании рассматриваемых моделей, получении новых оценок для них, а также разработке алгоритмов и программ численного построения основных предельных характеристик соответствующих процессов.

Алгоритм, на котором основано построение предельных характеристик процесса, подробнее описан в §2.1.3.

Методы исследования. Для решения вышеописанных задач используется оператор Коши дифференциального уравнения в банаховом пространстве и оценки его нормы. Вопросы, связанные с вычислением требуемых параметров сводятся к изучению бесконечных систем дифференциальных уравнений на множестве стохастических векторов. Основным инструментом исследования и получения соответствующих оценок является метод, базирующийся на двух моментах: оценках, основанных на применении логарифмической нормы линейной операторной функции и специальных преобразованиях редуцированной матрицы интенсивностей марковской цепи.

Достоверность и обоснованность полученных результатов. Достоверность полученных результатов следует из строгих математических доказательств.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы в исследовании конкретных систем линейных дифференциальных уравнений, стохастических моделей в технике, химии, биологии, физике и других отраслях. Описанные подходы могут быть применены в моделировании потоков информации, связанных с высокопроизводительными вычислениями.

Содержание работы.

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, приводится краткий обзор работ по данной тематике, сформулированы результаты, полученные в работе.

В 1 главе приводится вспомогательный математический аппарат, необходимый для дальнейшего исследования. Вводятся определения основных понятий: предельного среднего, пространства /1? логарифмической нормы опера-

тора, а также некоторые понятия и методы, важные для дальнейшего исследования.

В §1 главы 2 рассматривается класс моделей, в которых допускаются групповое поступление и групповое обслуживание требований. Общая модель такого типа введена и исследована ранее (см. подробнее [17], [27], [85]).

В §2 главы 2 рассматривается модель массового обслуживания, описываемая процессом рождения и гибели с катастрофами в случае, когда интенсивности катастроф различные. Здесь продолжены исследования, начатые в работе [93].

Для процесса, описывающего число требований в рассматриваемой системе получено условие слабой эргодичности, оценки скорости сходимости к предельному режиму и предельному среднему.

В §1 главы 3 исследуется модель массового обслуживания с групповым поступлением и групповым обслуживанием требований, частный случай которой рассмотрен в §1 главы 2. Получены оценки равномерной аппроксимации и приведены примеры.

В §2 главы 3 рассмотрены двусторонние усечения и приведены примеры для систем массового обслуживания, число требований в которых описывается неоднородным процессом рождения и гибели. Соответствующие результаты подробно рассмотрены в [71].

В §3 главы 3 рассматривается модель массового обслуживания М^/М^/Б (в случае средней интенсивности траффика).

Для рассматриваемой модели получены оценки равномерной аппроксимации двусторонними усечениями (см. [71]).

В 4 главе исследуется некоторый класс моделей с повторными вызовами, а именно неоднородная модель массового обслуживания с повторными вызовами и одним сервером, введенная и в однородном случае рассмотренная ранее (см. [94]). Для данного процесса получены условия эргодичности, оценки устойчивости, проведена аппроксимация.

В заключении описаны и сформулированы основные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования для некоторых моделей массового обслуживания.

В приложении приведено описание программы, с помощью которой выполняются построения основных характеристик марковского процесса. Апробация результатов. Результаты работы докладывались на:

- семинарах кафедры прикладной математики ВоГУ "Современные методы стохастического моделирования сложных систем"(2014-2017),

- второй молодежной научной конференции "Задачи современной информати-ки"(Москва, 2015),

- 29-й Европейской конференции по моделированию, ЕСМБ (Варна, Болгария, 2015),

- 30-й Европейской конференции по моделированию, ЕСМБ (Регенсбург, Германия, 2016),

- научном межвузовском семинаре "Современные телекоммуникации и математическая теория телетрафика" (РУДН, Москва, 2017),

7-й Всероссийской конференции (с международным участием) "Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем "(в рамках 53-й Всероссийской конференции проблем математики, информатики, физики и химии) (РУДН, Москва, 2017),

- 31-й Европейской конференции по моделированию, ЕСМБ (Будапешт, Венгрия, 2017).

Основные результаты опубликованы в [17, 19, 21, 22, 24, 56, 57], [70]—[73], [95, 96], в том числе работы в журналах, рекомендованных ВАК.

Глшзв

Основные понятия

Глава является вспомогательной. Здесь вводится основной математический аппарат и необходимые для дальнейшего исследования понятия.

1.1 Пространство 1\

Рассмотрим множество всех абсолютно суммируемых последовательностей х = {х1,х2,...}, х, € Я. Другими словами, должно выполняться условие

Е2=1 N <

Нормой называется величина ||х|| = ^|х,|. Множество всех таких последовательностей с введенной нормой называется пространством последовательностей Векторами называются элементы этого пространства. 11 является линейным пространством, полным относительно метрики р(х,у) = ||х — у|| (т.е. банаховым). Векторное (линейное) пространство — математическая структура, которая формируется набором элементов - векторов, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Введённые операции подчинены восьми аксиомам. А скаляром может являться элемент вещественного, комплексного или любого другого поля чисел.

Банахово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. В свою очередь, полное пространство — это метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства. Единичные векторы (орты) пространства 11 будем обозначать через е,,. Итак, е - вектор, у которого ьй

член соответствующей последовательности равен 1, а остальные - нули. Каждый вектор x Е ^представляем в виде x = ^ ¿=1 ai • причем ^¿=1 la«l < Рассмотрим отображение A из 11 в себя. Тогда этот оператор однозначно определяется матрицей (aij)fj =1. Норма оператора вычисляется по формуле:

||A|| = sup ||Ax||/||x|| = sup ||Ax|| = supV^ |a^j|. l|xH<1 ||x| = 1 j i

Рассматриваются только ограниченные операторы, то есть такие, для которых

||A|| = supj ^ |aij| <

Пусть каждому t > 0 ставится в соответствие вектор x Е 11. Тогда задана вектор-функция x(t). Вектор-функция называется непрерывной (в точке to), если при t ^ to

||x(t) - x(to)|| ^ 0.

Дифферепцируемость в точке и понятие интеграла от вектор-функции вводится соответственно через предел отношения и интегральные суммы. Понятие оператор-функции, её непрерывности, дифференцируемое™ и интегрируемости вводятся аналогично.

Рассмотрим понятие показательной функции вида etF

etF = I + (tF) + (tF )2/2! + (tF )3/3! + ... = ^

(tF )n

n!

i=0

Ряд в правой части сходится при любом Ь, что следует из сходимости следующего ряда

VI< V

¿-^ 11 п ! 11 <

(tF^ t"|[FT = ||f|

n! n!

i=o i=o

Получаем, что

||е^|| < е^

Таким образом, при любых действительных Ь, в справедливо

Откуда при s = — t вытекает, что оператор etF обратим при любом t.

1.2 Дифференциальные уравнения в пространстве

Рассмотрим дифференциальное уравнение в пространстве последовательностей ¿1

| = А(г)у(г) + / (г) (1.2.1)

и соответствующее однородное уравнение

I = ЖФКО,

где х(£), у(£), /вектор-функции из Я+ в /1? а А(^) - оператор ^ в 11.

Назовем и(г,т) - оператором Коши дифференциальных уравнений, где

/г л г

А(в 1)^1 + ^ А(й1) ! А(в2^в2^1 + • • • ,

причем ряд в правой части сходится равномерно на любом конечном отрезке и

и (г, в) = и (г,т )и (г,в).

Теорема 1. Пусть А(г), /(г) - непрерывны, т > 0 и у* € /1. Тогда существует, единственная у(Ь), определенная на [т, ж), такая, что:

1) у(т) = у*;

2) у (Ь) непрерывна и дифференцируем а при, всех г > т.

Теорема 2. Пусть А(Ь), /(Ь) - непрерывны, т > 0 и х*, у* € /1. Тогда существуют единственные х(г), у(Ь), определенные на [т, ж), такие, что:

х(т) = х*, у(т) = у*,

х(г) = и (Ь,т )х(т), у(г) = и (г, т )у(т) + Г и (г, в)/(в)<!в. (1.2.2)

1.3 Логарифмическая норма оператора

Понятие логарифмической нормы для конечных матриц было введено и, в дальнейшем, изучено Лозинским (см. [25]). А также обобщено на случай оператор-функций в [10]. Рассмотрим само понятие и важные оценки, связанные с ним.

Определение 1. Логарифмической нормой y (A(t)) оператора, А называется число

т l|U (t + h,t)||-||U (t,t)ll Y(A(t)) = lim ^--11 v ' Л|.

Кроме того, справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. При, всех t > 0 существует, y(A(t)); причем,

, ss III + hA(t)| - 1 .1ПП,

y <А«> =¿mo1—■ (L3-3)

Следствие 1.

Y(A(t)) = sup I j + Y^ laji(t)l ) .

j \ )

Теорема 4. Длл любых t, s (t > s > 0) выполняется:

e-ISy(-A(t))dT < ||u(t,s)|| < e1«y(a(t))dT. (1.3.4)

Теорема 5.

Свойство неотрицательности: U(t,s) > 0 при всex t > s > 0 - равносильно тому, что aj (u) > 0 при вс ex i, j таких, что i = j, и любом u > 0.

Рассмотрим случай подпространства в Пусть матрнца D образована элементами последовательности {d^} и d = Inf¿>0 d > 0.

Пусть Iid - пространство последовательпостей z = (po,Pi,P2 ...) таких, что ||z||1D = ||Dz|1 < то.

Теорема 6.

Пусть B : 11 ^ 11 - линейный оператор. Пусть B действует на векторы из /1D? тогда

||B ||ZlD = HDBD-1!/!, (1.3.5)

7 (в )ко = 7 (ВБВ—1)1

1

(1.3.6)

1.4 Марковские цепи

1.4.1 Основные понятия

Рассмотрим систему способную в момент времени г находиться в одном из состояний с номерами 0, 1, ..., N. Множество ЕN = {0,1,... , N} называется пространством состояний стохастической системы Через X (г) обозначим состояние системы в момент времени г и предположим, что если X(г) = г, то при к > 0 X (г + к) = ] с вероятностью

где все о,(к) равномерны по г, то есть вир, 1о,(к)1 = о(к).

Данное условие является жестким. Будем рассматривать только те процессы, которые удовлетворяют этому условию. Данные процессы будем называть марковскими цепями с непрерывным временем и счетным пространством состояний. Функция qij (г) - интенсивность перехода из состояния г в состояние з. Марковская цепь X(г) называется однородной (стационарной), если все qij (г) = ^з и неоднородной (нестационарной) - в противном случае. Будем использовать термины "стационарный"и "нестационарный".

Положим qii(г) = к=г Ягк(г) и назовем матрицу Q(г) = ^(г))жз=0 матрицей интенсивностей для марковской цепи X(г). Введем в рассмотрение переходные вероятности р^(г, в) = Рг(X(г) = з IX(в) = г)7 вероятности состояний р(г) = Рг(X(г) = г) и вектор-столбец вероятностей состояний р(г) = (р0(г),р1(г) ...)т. Положим а^(г) = qji(г) и рассмотрим матрицу А(г) = (а,з(г))ж=0 = Qт(г). Тогда получим

(г)к + оз(к), з = г,

1 — Ек= ^к(г)к + ^^ з =г

(1.4.7)

р(г + к) = р(г) + Акр(г) + о(к),

(1.4.8)

откуда вытекает прямая система Колмогорова в виде дифференциального уравнения:

^ = (1.4.9)

Пусть и(Ь, в) - оператор Коши данного ДУ, тогда Р(в,Ь) = ит(Ь,в) = (р^(в,Ь))0°=0 называется матрицей переходах(Ь). Обозначим через ^ множество всех стохастических векторов х = (х0, х.. .)т Е то есть х > 0 и ||х|| = 1.

Теорема 7.

(г) При каждом в > 0, Ь > в и любом р Е 11 существует, единст,венное р(Ь) такое, что р(в) = р. При, этом р(Ь) = и(Ь,в)р(в); И) если р(в) Е то и р(Ь) Е ^ при Ь > в;

ш^) уравнение 1.4-9 устойчиво, а 11р1 (Ь) — р2(Ь)|| монотонно не возрастает при, любых начальных условиях, р1(Ь), р2(Ь) являются решениями, соответствующими начальным условиям р1 (в), р2(в).

Определение 2. Матрица Н = (^¿^)0° стохастическая, если все ее элементы неотрицательны, а сумма элементов каждого столбца равна, единице.

Определение 3. Для любых в > 0, Ь > в матрица Коши и(Ь,в) является стохастической.

Определение 4. Марковская цепь X(Ь) называется слабо эргодичной, если ||р*(Ь) — р**(Ь)|| ^ 0 щи Ь ^ о для любых начальных условий р*(в), р**(в) и в>0

Определение 5. Марковскую цепь X(Ь) назовем эргодичной (сильно эргодичной), если существует вектор п Е ^ такой, что ||р(Ь) — п|| = 0 при, любом р(0) = р Е При, этом век тор п называется стационарным распределением марковской цепи X(Ь).

Обозначим через Е(Ь, к) = Е{X(Ь)|Х(в) = к} математическое ожидание процесса (среднее число требований) в момент времени Ь при условии, что в момент в он находится в состоянии к. Кроме того, введем более общее обозначение Ер(Ь) - математическое ожидание процесса в момент времени Ь при начальном

р(0) = р.

Ек (г) = Е {X (г) IX (0) = к}, тогда соответствующее начальное условие системы (1.4.9) - это к-й единичный вектор е^

Определение 6. Пусть X (г) - марковский процесс. Тогда у (г) - предельное среднее процесса X(г), если

существует и не зависит, от к, то Е - двойное среднее для цепи X(г).

Предельное среднее процесса показывает среднее количество требований в мог

мы не оказывает влияние на предельное среднее. Двойное среднее - некоторая средняя характеристика системы на всем промежутке ее существования.

1.4.2 Процессы рождения и гибели с катастрофами

Процесс рождения и гибели (ПРГ) с катастрофами - это частный случай марковской цепи с непрерывным временем.

Рассмотрим популяцию, размер которой X(г). Интенсивности рождения, гибели и катастрофы обозначим соответственно через Хп(г), цп(г) ж £ (г). Также рассмотрим переходные вероятности

Нш (у(г) — Ек (г)) = 0,

к

Определение 7. Если, предел,

(1.4.10)

Рз(г, в) = Рг(X(г) = з IX(в) = г)

вероятности состоянии

р,(г,в) = Рг(X (г) = г)

и вектор-столбец вероятностей состояний

р(Ь) = (ро(Ь),р1(Ь),...)т.

Процесс описывается прямой системой Колмогорова для вероятностей состояний в виде дифференциального уравнения

^ = Л(Ь)р + я(Ь), Ь > 0 (1.4.11)

в пространстве последовательностей ¿1, где д(Ь) = (^(Ь),0,0,...)т, р(Ь) = (р0(Ь),р1(Ь),.. .)т - вектор-столбец вероятностей состояний, аЛ(Ь) - соответствующая транспонированная матрица интенсивностей процесса, в которой интенсивности катастроф не зависят от числа требований в системе.

1.4.3 Возмущенные процессы

Определение 8. Марковская цепь X(Ь) называется устойчивой, если для любого е > 0 найдется 5 > 0 такое, что из условия яир^0 ||Л(Ь) — Л(Ь)|| < 5 следует неравенство ||р(Ь) — р(Ь)|| < е для всех р(0) = р(0) = р Е ^ (буквами с чертой сверху сделаны обозначения для соответствующего возмущенного процесса).

Теорема 8. Если существуют такие константы Ь > 0, с > 17 что

||р1(Ь) — р2(Ь)|| < ce-Ь(t-s), (1.4.12)

то для любых начальных условий р(в), р(в) справедлива оценка

||р(Ь) — р(Ь)|| <

р(в) — р(в)|| + ||Л — Л||(Ь — в), 0 < Ь — в < Ь—11п2 ^ ............< 2 (1.4.13)

|р(в) — р(в)||в(Ь, в) + ||Л — Л||Ь—1(1п 2 + 1 — 2e-Ь(t-s)) Ь — в > Ь—11п 2.

Также

с

Нш вир ||р(Ь) — р(Ь)|| < Ь—1(1п- + 1)||Л — Л||. (1.4.14)

Подробнее см. [23].

ГлВВ8) 2

Оценки вероятностных характеристик для некоторых моделей массового обслуживания

2.1 Система массового обслуживания с групповым поступлением и групповым обслуживанием требований

2.1.1 Введение

Стационарная и нестационарная модели Эрланга для системы с потерями изучались во многих работах, см. [60]-[7б],[12, 15, 78]. В большой степени это связано со сравнительной простотой исследования и удобством применения этой модели. В данном разделе рассматривается класс моделей, в которых допускается групповое поступление и групповое обслуживание требований. Общая модель такого типа была введена в [27] и исследована в [17, 85].

Здесь подробнее изучается более конкретная ситуация: допускается групповое поступление требований, установлен критерий слабой эргодичности, получены оценки скорости сходимости и устойчивости. Исследование опирается на общий подход, разработанный в предыдущих работах для некоторых классов неоднородных марковских систем с групповым поступлением и обслуживанием требований, см. [16, 87, 88].

Рассмотрим систему обслуживания, в которой общее количество требований не превосходит S, максимальный размер группы поступающих требова-

ний равен N < интенсивность поступления группы к < N требований есть Хк (Ь) = ■ Интенсивность обслуживания группы к < S имеющихся в системе требований есть дк (Ь) = ^т^- Пусть X = X (Ь), Ь > 0, - число требований в системе обслуживания, это неоднородная марковская цепь с непрерывным временем и пространством состояний Е = {0,1,... , S}. «Базовые» интенсивности поступления и обслуживания Х(Ь) и д(Ь) предполагаются локально интегрируемыми на [0, то) функциями времени Ь.

Для описания вероятностной динамики процесса запишем прямую систему Колмогорова:

ж = №

(2.1.1)

где

А(Ь) =

( аоо(Ь) (Ь) Д2(Ь) •• ДБ (Ь) \

Х1(Ь) ац(г) Д1(Ь) Д2(Ь) • •• Дб-1(Ь)

Х2(Ь) Х1(Ь) а22(Ь) Д1(Ь) • • • ДБ-2(Ь)

\\в(Ь) Хб-1(Ь) ХБ-2(Ь) ХБ-З(Ь) ••• авБ(Ь)

(2.1.2)

причем агг(Ь) = - ^к=1 Дк(Ь) - ЕБ=1 Хк(Ь), и Хк(Ь) = 0 при к > N.

2.1.2 Слабая эргодичность и скорость сходимости

Теорема 9. Процесс X(Ь), описывающий число требований в рассматриваемой системе, слабо эргодичен при, любом N (1 < N < S) тогда и только тогда, когда вы,полнено условие:

(Х(Ь) + д(Ь)) (И =

(2.1.3)

Отметим прежде всего, что если (2.1.3) не выполнено, то

5

А(Ь)\\ = 2тах\агг(Ь)\ < 2(Х(Ь) + д(Ь)) •У" - < 2(1+1п S) (Х(Ь) + д(Ь)),

к

к=1

и значит, / ||А(£)|| < +о. А тогда, в соответствии с теоремой 3.3 из [13] X(£) о

слабо эргодичным быть не может.

Пусть (2.1.3) выполняется. Пользуясь стандартным приемом и полагая р0 = 1 — ^получаем

<¿7

Ж

— = В (ф(£)+ f (7),

где f(7) = (Лх,Л2, • • • )

т

(2.1.4)

( ап — Л1 М1 — Л1 М2 — Л1 • • • • • • М£—1 — Л1 \

Л1 — Л2 Й22 — Л2 М1 — Л2 • • • • • • М^—2 — Л2

В (() = Л2 — Лз Л1 — Лз азз — Лз ••• • • • М^—з — Лз

V —1— Л^-2 — Л5 Л2 — Л5 Л1 — Л5 — - / (2

Рассмотрим треугольную матрицу

Л =

0 ¿2 ¿2

¿2

^ 0 0 ••• 0

(2.1.6)

с положительными элементами и соответствующую норму ^Цд = ||В7||1. Тогда получим равенство

ВВ (¿)В—1 =

( ап — Л^

(Л1 — ) |

¿1

(Л2 — )

(М1— М2) £

а22 — Л5—1

(Л1 — 1) ¿3

V (Л^—1 — ) £ (Л^—2 — 1) |

(М5— 1 — ) | ^ 2 — ) (Мя—з — М^)

— Л1 )

(2.1.7)

дающее соответствующее выражение для логарифмической нормы В(7), см. подробное обсуждение в [51, 83, 84]:

7 (В(¿))ш = 7(ВВ(*)В—1) = maxl<г<s (ай(7) — Л^+1—+ Ек^М»—*:(7) — М<(*))Т + С2-1-8)

Е?=1 (Лк(7) — Л^+1—,).

Пусть вначале

г+0

/ = +о. (2.1.9)

./о

Положим все = 1. Тогда справедлива следующая оценка: 7 (В(*))ш < тах I — ^М,(7) + (7) — М,(7))

V к=1 к=1

— тт (кМк(7)) = —М(7). (2.1.10)

1<г<6

_^^ 1 1

Имеем при этом ||В|| = Е■=1 = 11В—11 = 2max1<k<S = 2, а значит,

||р*(7) — р**(7)|| < 2|г*(7) — = 2||В (7*(7) — 7**(7)) В—1|| <

4|7*(7) — 7**(7)||ш < 4е— £"(м)^||7*(в) — 7**(в)||ш <

£"(иМи||2*(5) — 2**(з)|| <

4 "("'Ы"'"Р" (5) — Р......(5)| <

45е— /8"(и)Л||р*(в) — р**(в)|| <

8Se- Л (2.1.Ц)

для любых начальных условий р*(в), р**(в) и любых в, 7, 0 < в < 7. Отсюда вытекает слабая эргодичность X (7).

Пусть теперь

0

1 Л(7) = +о. (2.1.12)

Положим (к = 1- Тогда из (2.1.8) получаем такую оценку логарифмической нормы В(Ь):

7 (В(Ь))1В < - тЪ^® + -Х1 И) < -^■ (2Л-13)

Теперь \\В\\ = ^ = ( < 1 + 1п ^ и \\В-1 \\ = 2тах -1 = 2S.

Значит, получаем слабую эргодичность процесса и следующую оценку:

\\р*(ь) - р**(ь)\\ < 2\\В-1 В (ъ*(г) - ъ**(г)) \\ <

8S (1+1п S) е-1 £ А(т)-Т, (2.1.14)

при любых начальных условиях р*(в) , р**(в) и любых в,Ь, 0 < в < Ь.

Следствие 2. Если (2.1.3) справедливо, то процессX(Ь) слабо эргодичен, имеет предельное среднее ф(Ь) и справедливы оценки, скорости сходимости:

\\р*(ь) - р**(ь)\\ < 8Se-/0(2.1.15)

при, любых начальных условиях,

\Е(г, к) - ф(Ь)\ < 8S2e-/0(2.1.16)

к

ственно:

\\р*(ь) - р**(Ь)\\ < 8S (1 + 1пS) е-1/0А(т}-т, (2.1.17)

\Е(Ь, к) - ф(Ь)\ < 8S2 (1 + 1п S) е-* /0 А(т)-т. (2.1.18)

Используя результаты теоремы 9 и следствия 2, а также общий подход, описанный в работах [16, 87, 88], можно получить соответствующие оценки устойчивости процесса, описывающего число требований в системе. Ограничимся здесь одной из возможных формулировок. Пусть XX = XX(Ь) число требований для «возмущенной» системы обслуживания, соответствующие его характеристики будем обозначать теми же буквами с чертой сверху. Предположим,

что его инфинитезимальная матрица имеет произвольную структуру (то есть интенсивности поступления и обслуживания требований произвольны), и при этом при всех t > 0 выполнено условие малости ||A(t) — A(t)|| < £• Следующее утверждение вытекает из теоремы 1 и оценок (32), (33) из [87].

Следствие 3. Пусть выполнено (2.1.9), и вдобавок, при некоторых положительных M, а и всех 0 < s < t справедливо неравенство

e— f< Me-a(t—s). (2.1.19)

Тогда, при, любых начальных условиях p(0) и p(0) соответственно справедливы неравенства

,, /Ч|| e(1 + ln4SM) limsup ||p(t) — p(t)|| < ---, (2.1.20)

t^TO а

, - , eS (1 + ln4SM) limsup |Ep(t) — Ep(t)| < —(-1. (2.1.21)

г^ж а

Отметим, что условие (2.1.19) заведомо выполнено, если интенсивность

1 о

обслуживания 1—периодична, при этом а = /0 ^(t) dt, a M = emax|i-s|^^s M(u)du_

2.1.3 Примеры

Рассмотрим теперь несколько моделей описываемой системы обслуживания с периодическими инфинитезимальными характеристиками, и для простоты вычислений, чтобы не было необходимости рассматривать усеченные процессы, как это делается обычно (см. [84, 87]), будем полагать 5 = 102.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Киселева Ксения Михайловна, 2018 год

Литература

1. Андреев, Д. Эргодичность и устойчивость нестационарных систем обслуживания / Д. Андреев, М. Елесин, А. Кузнецов, Е. Крылов, А. Зейфман // Теория вероятностей и математическая статистика. - 2003. - т. 68. - с.1-11.

2. Анисимов, В.В. Оценки отклонений переходных характеристик неоднородных марковских процессов / В.В. Анисимов // Укр.матж.ж. - 1988. - 40. -с.699-706.

3. Афанасьева, Л.Г., Булпнская, Е.В. Случайные процессы в теории массвого обслуживания / Л.Г. Афанасьева, Е.В. Булинская. - М.: Изд-во МГУ. - 1980.

4. Башарин, Г.П., Харкевич, А.Д., Шнепс, М.А. Массовое обслуживание в телефонии / Г.П. Башарин, А.Д. Харкевич, М.А. Шнепс, - Наука. - 1968.

5. Башарин, Г.П., Самуйлов, К.Е., Яркина, Н.В., Гудкова, H.A. Новый этап развития математической теории телетрафика/ Г.П. Башарин, К.Е. Самуйлов, Н.В. Яркина, И.А. Гудкова // Автоматика и телемеханика. - 2009. - N12. -16-28.

6. Беляев, К.П., Тучкова, Н.П. Предельные распределения для характеристик при усвоении данных наблюдений в стационарном режиме /К. П. Беляев, Н. П. Тучкова // Информ. и её примем. - 2015. - 9:2, 50-55.

7. Боровков, A.A. Эргодичность и устойчивость случайных процессов / A.A. Боровков. - М.: Эдиториал УРСС. - 1999.

8. Бочаров, П.П., Печинкин, A.B. Теория массового обслуживания / П.П. Бочаров, A.B. Печинкин. - М.: Изд-во Рос. ун-та дружбы народов. - 1995.

9. Гнеденко, Б. В., Макаров, И. П. Свойства решений задачи с потерями в случае периодических интенсивностей / Б.В. Гнеденко, И.П. Макаров // Дифференциальные уравнения. - 1971. - №9. - с. 1696-1698.

10. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве /Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. М.: Наука. - 1970.

11. Зейфман, А. И. О погрешности усечения системы рождения и гибели // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1988. - 28, №12, 1906-1907.

12. Зейфман, А. И. Некоторые свойства системы с потерями в случае переменных интенсивностей // Автоматика и телемеханика. - 1989. - №1, с. 107-113.

13. Зейфман, А.И. Стохастические модели. Процессы рождения и гибели / А.И. Зейфман. - Вологда:. Издательство "Русь". - 1994.

14. Зейфман, А. И., Бенинг, В. Е., Соколов И. А. Марковские цепи и модели с непрерывным временем. М.: Элекс-КМ. - 2008.

15. Зейфман, А.И. О нестационарной модели Эрланга // Автоматика и телемеханика. - 2009. - №12,- с.71-80.

16. Зейфман, А.И., Королев, В.Ю., Коротышева, A.B., Шоргин, С.Я. Общие оценки устойчивости для нестационарных марковских цепей с непрерывным временем. Информатика и ее применения. - 2014. - 8, вып. 1, 106-117.

17. Зейфман, А.И., Коротышева, A.B., Киселева, K.M., Королев, В.Ю., Шоргин, С.Я. Об оценках скорости сходимости и устойчивости для некоторых моделей массового обслуживания.// Информатика и ее применения. - 2014. - 8, вып. 3, 19-27.

18. Зейфман, А.И., Сатин, Я.А., Коротышева, A.B., Королев, В.Ю., Сатин, Я.А. Оценки погрешности аппроксимаций неоднородных марковских цепей с непрерывным временем // Теория вероятностей и ее применения. - 2016. -61, вып., 563-569.

19. Зейфман, А., Коротышева, А., Сатин, Я., Киселева, К., Разумчик, Р., Королев, В., Шоргин, С. Оценки погрешности аппроксимации для марковских

систем обслуживания, описываемых процессами рождения и гибели с дополнительными переходами.// Системы и средства информатики. - 2017. - 27.

20. Калашников, В.В. Качественный анализ сложных систем методом пробных функций / В.В. Калашников. - М.: Наука. - 1978.

21. Киселева, K.M. Об оценках эргодичности и устойчивости для нестационарной модели массового обслуживания с повторными вызовами и одним сервером // Статистические методы оценивания и проверки гипотез, Пермь. -

2016. - вып. 27. - с. 64-68.

22. Киселева, К. М. Исследование некоторых нестационарных моделей массового обслуживания, описываемых неоднородными марковскими цепями с непрерывным временем. Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем: материалы Всероссийской конференции с международным участием, Москва. —

2017. - с. 33-34.

23. Коротышева, A.B. Оценки устойчивости для нестационарных марковских моделей в системах массового обслуживания: дисс. ... канд.ф.-м. наук / A.B. Коротышева. - Вологда. - 2013. - 146 с.

24. Коротышева, A.B., Киселева, K.M., Сатин, Я.А. Эргодичность и устойчивость системы обслуживания с одним сервером. - 2015. - Задачи современной информатики. Труды Второй молодежной научной конференции. - с. 297-302.

25. Лозинский, С.М. Оценка погрешности численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / С.М. Лозинский // Изв. ВУ-Зов. Матем. - 1958. - №5. - с.52-90.

26. Сатин, Я.А. Исследование некоторых средних характеристик стохастических моделей: дисс. ... канд.ф.-м. наук / Я.А. Сатин. - Вологда. - 2007. - 129 с.

27. Сатин, Я. А., Зейфман, А. И., Коротышева, А. В., Шоргин, С. Я. Об одном классе марковских систем обслуживания. Информатика и ее применения. -2011 - 5, вып. 4, 6-12.

28. Семенова, О.В., Дудин, А.Н. Система массового обслуживания M|M|N с управляемым режимом обслуживания и катастрофическими сбоями // Автоматика и вычислительная техника. - 2007. - №6. С. 72-80.

29. Степанов, С.И., Цитович, И.И. Некоторые аспекты исследования систем с повторными вызовами качественными методами // Сб. «Методы теории телетрафика в децентрализованных системах управления. М.: Наука. - 1986.

- С.68-90.

30. Степанов, С.Н., Цитович, И.И. Качественные методы исследования систем с повторными вызовами // Проблемы передачи информации. Т.23. №2. - 1987.

- С.92-112.

31. Ушаков, В.Г., Ушаков, Н.Г. О длине очереди в системе обслуживания с эр-ланговским входящим потоком // Вестник Московского университета. Т.40, №3. - 2016. - С. 118-122.

32. Чегодаев, А.В. Математические модели и методы оценки характеристик стохастических систем, близких к поглощающим: лисе. ... канд.ф.-м. наук / А.В. Чегодаев. - Вологда. - 2009. - 127 с.

33. Штойян, Д. Качественные свойства и оценки стохастических моделей / Д. Штойян. - М.: Мир. - 1979.

34. Artalejo, J.R. Stationary analysis of the characteristics of the M/M/2 queue with constant repeated attempts. Opsearch. - 1996. - 33, 83-95.

35. Artalejo, J.R., Gomez-Corral, A.,Neuts, M.F. Analysis of multiserver queues with constant retrial rate. - 2001. - European Journal of Operational Research, 135, 569-581.

36. Avrachenkov, K., Yechiali, U. Retrial networks with finite buffers and their application to Internet data traffic. Probability in the Engineering and Informational Sciences. - 2008. - 22. - P. 519-536.

37. Avrachenkov, K., Yechiali, U. On tandem blocking queues with a common retrial queue. Computers and Operations Research. - 2010. - 37(7). - P. 1174-1180.

38. Avrachenkov, K., Morozov, E.V. Stability analysis ofGI/G/c/K retrial queue with constant retrial rate. - 2014. - Math. Meth. Oper. Res., 79, 273-291.

39. Avrachenkov, K., Nekrasova, E., Morozov, E., Steyaert, B. Stability analysis and simulation of N-class retrial system with constant retrial rates and Poisson inputs. - 2014. - Asia-Pacific Journal of Operational Research, 31, No.2.

40. Chen, A.Y., Renshaw, E. The M/M/l queue with mass exodus and mass arrives when empty. - 1997. - J. Appl. Prob. 34, pp. 192-207.

41. Chen, A.Y., Renshaw, E. Markov bulk-arriving queues with state-dependent control at idle time. Adv. Appl. Prob. 36. - 2004. - P. 49-524.

42. Chen, A.Y., Pollet, P., Li, J., Zhang, H. Markovian bulk-arrival and bulk-service queues with state-dependent control. Queueing Systems, 64. - 2010, P.267-304.

43. Ching, Wai-K., Ng, Michael, K. Markov chains: models, algorithms and applications / Wai-Ki Ching, K. Michael. - International Series in Operations Research & Management Science 83. - 2006. - New York, NY: Springer.

44. Choi, B.D., Shin, Y.W., Ahn, W.C. Retrial queues with collision arising from unslotted CSMA/CD protocol. - 1992. - Queueing Systems, 11, 335-356.

45. Choi, B.D., Park, K.K., Pearce, C.E.M. An M/M/l retrial queue with control policy and general retrial times. - 1993. - Queueing Systems, 14, 275-292.

46. Choi, B.D., Rhee K.H., Park, K.K. The M/G/l retrial queue with retrial rate control policy. - 1993. - Probability in the Engineering and Informational Sciences, 7, 29-46.

47. Erlang, А. К. L0sning af nogle Problemer fra Sandsynlighedsregningen af Betydning for de automatiske Telefoncentraler. Elektroteknikeren. - 1917. - 13, 5-13.

48. Fayolle, G. A simple telephone exchange with delayed feedback. In Boxma, O.J., Cohen J.W., and Tijms, H.C. (eds.), Teletraffic Analysis and Computer Perform,ance Evaluation. - 1986. - 7, 245-253.

49. Foss, S.G., Kalashnikov, V.V. Regeneration and renovation in queues / S.G. Foss, V.V. Kalashnikov // Queueing Systems. - 1991. - 8(1). - p. 211-223.

50. Fricker, C., Robert, P., Tibi, D.: On the rate of convergence of Erlang's model. J. Appl. Probab. - 1999. - 36, 1167-1184.

51. Granovsky, В., Zeifman, A. Nonstationary queues: estimation of the rate of convergence. Queueing Syst. - 2004. - 46, 363-388.

52. Halfin, S., Whitt, W. Heavy-traffic limits for queues with many exponential servers / S. Halfin,W. Whitt // Oper. Res.. - 1981. - 29. - p. 567-588.

53. Islam, M.A. A Birth-Death Process Approach to Constructing Multistate Life Tables / M.A. Islam // Bull. Malaysian Math. Sc. Soc. (Second Series). - 2003. - 26. - p. 101-108.

54. Kartashov, N.V. Strong stable Markov chains / Kartashov N. V. - Kiev: Utrecht, VSP, TBiMC. - 1996.

55. Kijima, M.: On the largest negative eigenvalue of the infinitesimal generator associated with M/M/n/n queues. Oper. Res. Let. - 1990. - 9, 59-64.

56. Kiseleva, K., Satin, Ya., Zeifman, I., Korolev, V. On truncations for a retrial queueing model.// Journal of Mathematical Sciences. - 2017. - Proceedings of the International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, (в печати)

57. Kiseleva, К., Satin, Ya., Korotysheva, A., Zeifman A., Korolev, V., Shorgin, S. On the Null Ergodicity Bounds for a Retrial Queueing Model. - 2017. - AIP Conference Proceedings, 1863, 090007; doi: 10.1063/1.4992272.

58. Klimenok, V., Dudin, A. Multi-dimensional asymptotically quasi-Toeplitz Markov chains and their application in queueing theory / Valentina Klimenok, Alexander Dudin // Queueing Systems. - 2006. - 54. - p. 245-259.

59. Lillo, R.E. A G/M/l queue with exponential retrial. - 1996. - TOP, 4, 99-120.

60. Massey, W. A., Whitt, W.: On analysis of the modified offered-load approximation for the nonstationary Erlang loss model. Ann. Appl. Probab. -1994. - 4, 1145-1160.

61. Mandelbaum A., Massey W. Strong approximations for time-dependent queues// Math. Oper. Res. - 1995. - Xo.20. p. 33-64.

62. Margolius, B.H. The matrices R and G of matrix analytic methods and the time-inhomogeneous periodic Quasi-Birth-and-Death process / // Queueing Systems.

- 2008. - 60(1-2). - p. 131-151.

63. Meyn, Sean, P., Robert, L. Tweedie. Computable bounds for geometric convergence rates of Markov chains / Meyn, Sean P., Robert L. // The Annals of Applied Probability. - 1994. - p. 981-1011.

64. Mitrophanov, A. Stability and exponential convergence of continuous-time Markov chains// J. Appl. Probab. - 40. - 2003. - P. 970-979.

65. Morozov, E. The stability of a non-homogeneous queueing system with regenerative input / Evsei Morozov // Journal of Mathematical Sciences 83.3.

- 1997. - p. 407-421.

66. Morozov, E. A multiserver retrial queue: regenerative stability analysis / Evsey Morozov // Queueing Systems 56.3-4. - 2007. - p. 157-168.

67. Parthasarathy, P. R., Krishna Kumar, B. Density-dependent birth and death processes with state-dependent immigration. - 1991. - Mathematical and Computer Modelling 15, p. 11-16.

68. Rykov, V. On Markov Reliability Model of a System, Operating in Markov Random Environment. XXXI ISSPSM Conference, April. - 2013. - PFUR. Moscow, (jointly with Tran Ahn Ngia).

69. Satin, Ya., Zeifman, A., Korotysheva, A. On the rate of convergence and truncations for a class of Markoviang queueing systems. // Theory. Prob. Appl.

- 2013. - 57, 529-539.

70. Satin, Ya., Zeifman, A., Korotysheva, A., Kiseleva, K., Korolev, V. On Truncations For A Class Of Finite Markovian Queuing Models. - 2015. -Proceedings 29th European Conference on Modeling and Simulation, ECMS, Varna, Bulgaria. - p. 626-630.

71. Satin, Ya., Korotysheva, A., Kiseleva, K., Shilova, G., Fokicheva, E., Zeifman, A., Korolev, V. Two-sided truncations of inhomogeneous birth-death processes.

- 2016. - Proceedings 30th European Conference on Modeling and Simulation, ECMS, Regensburg, Germany, p. 663-668.

72. Satin, Ya., Zeifman, A., Korotysheva, A., Kiseleva, K. Two-Sided Truncations for a Class of Continuous-Time Markov Chains. - 2017. - Springer International Publishing AG 2017 A. Dudin et al. (Eds.): ITMM 2017, CCIS 800. doi: 10.1007/978-3-319-68069-9 25, pp. 312-323.

73. Satin, Ya., Korotysheva, A., Shilova, G., Sipin, A., Fokicheva, E., Kiseleva, K., Zeifman, A., Korolev, V., Shorgin, S. Two-sided truncations for the Mt|Mt|S queueing model. - 2017. - Proceedings 31st European Conference on Modeling and Simulation, ECMS, Budapest, Hungary, p. 635-641.

74. Semenova, O., Dudin, A.N., Karolik, A.V., Maslakova, O.V. Investigation of a BMAP/SM/1 Retrial System with Markovian Arrival Input of Disasters and Non-instantaneous Recovery of the Server // "Computer Data Analysis and Modeling" (Proceedings of the 6th International Conference). - Minsk. - 2001. - V.l. P. 128

_ 131.

75. Stepanov, S.N. Markov Models with Retrials: The Calculation of Stationary Perfomance Measures Based on the Concept of Truncation // Mathematical and Computer Modelling. - 1999. - 30. - P. 207-228.

76. Van Doom, E. A., Zeifman, A. I.: On the speed of convergence to stationarity of the Erlang loss system. - 2009. - Queueing Syst. 63, 241-252.

77. E. A. Van Doom, A. I. Zeifman, T. L. Panfilova. Bounds and asymptotics for the rate of convergence of birth-death processes // Th. Prob. Appl. - 2010. 54. 97-113.

78. Voit, M.: A note of the rate of convergence to equilibrium for Erlang's model in the subcritical case. J. Appl. Probab. - 2000. - 37, 918-923.

79. Wong, E.W.M., Andrew, L.L.H., Cui, T., Moran, B., Zalesky, A., Tucker, R.S., Zukerman, M. Towards a bufferless optical internet. - 2009. - Journal of Lightwave Technology, 27, 2817-2833.

80. Yao, S., Xue, F., Mukherjee, B., Yoo, S.J.B., Dixit, S. Electrical ingress buffering and traffic aggregation for optical packet switching and their effect on TCPlevel performance in optical mesh networks. - 2002. - IEEE Communications Magazine, 40(9), 66-72.

81. Zeifman, A. I. Stability for contionuous-time nonhomogeneous Markov chains. Lect. Notes Math. - 1985. - 1155, 401-414.

82. Zeifman, A. I. Some estimates of the rate of convergence for birth and death processes. - 1991. - Journal of Applied Probability, 28, 268-277.

83. Zeifman, A. I. Upper and lower bounds on the rate of convergence for nonhomogeneous birth and death processes. - 1995. - Stoch. Proc. Appl. 59, 157-173.

84. Zeifman, A., Leorato, S., Orsingher, E., Satin, Ya., Shilova, G. Some universal limits for nonhomogeneous birth and death processes. Queueing systems. - 2006. - 52, 139-151.

85. Zeifman, A., A. Korotysheva, Ya. Satin, G. Shilova, T. Panfilova, 2013. On a queueing model with group services, Lecture Notes in Communications in Computer and Information Science. - 2013. - 356, 198-205.

86. Zeifman, A., Satin, Ya., Panfilova, T. Limiting characteristics for finite birth-death-catastrophe processes // Mathematical biosciences. - 2013. - 245. - P.96-102.

87. A. I. Zeifman, A. Korotysheva, Ya. Satin, V. Korolev, V. Bening. Perturbation bounds and truncations for a class of Markovian queues, Queueing Systems. -2014. - vol. 76, p. 205-221.

88. Zeifman A., Korolev V. On perturbation bounds for continuous-time Markov chains// Statistics k Probability Letters. - V. 88. - 2014. - P. 66-72.

89. Zeifman A., Satin, Ya., Shilova, G., Korolev, V., Bening, V., Shorgin, S. On truncations for SZK model // Proceedings 28th European Conference on Modeling and Simulation, ECMS 2014, Brescia, Italy. - 2014. - 577-582.

90. Zeifman, A. I., Korolev, V. Y. Two-sided bounds on the rate of convergence for continuous-time finite inhomogeneous Markov chains // Statistics & Probability Letters - 103. - 2015. - P. 30-36.

91. Zeifman, A., Korotysheva, A., Shilova, G., Korolev, V., Bening, V. On perturbation bounds for a queueing model with group services // - 2015. - AIP Conference Proceedings. - 1648. - P. 250012-1-250012-3.

92. Zeifman, A., Satin, Ya., Korolev, V., Shorgin, S. On truncations for weakly ergodic inhomogeneous birth and death processes// International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. - 24. - 2014. - P. 503-518.

93. Zeifman, A., Korotysheva, A., Satin, Ya., Korolev, V., Shorgin, S., Razumchik, R. Ergodicity and perturbation bounds for inhomogeneous birth and death processes with additional transitions from and to origin// International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. - 25. - 2015. - P. 787-802.

94. Zeifman A., Satin Ya., Morozov E., Nekrasova R., Gorhsenin A. On the ergodicity bounds for a constant retrial rate queueing model // Proceedings of the 8th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops, IEEE Piscataway, NJ, USA, 323-326. - 2016, see https://arxiv.org/pdf/1506.01468.pdf.

95. Zeifman A., Satin Ya., Korotysheva, A., Shilova, G., Kiseleva, K., Korolev, V., Bening, V., Shorgin, S. Ergodicity bounds for birth-death processes with particularities. - 2016. - AIP Conference Proceedings. - 1738.

96. Zeifman, A., Korolev, V., Korotysheva, A., Satin, Ya., Kiseleva, K., Shorgin, S. Bounds for Markovian queues with possible catastrophes. - 2017. - Proceedings 31st European Conference on Modeling and Simulation, ECMS, Budapest, Hungary, p.628-634.

97. Zhang, L., Li, J. The M/M/c queue with mass exodus and mass arrivals when empty // J. Appl. Probab. - 2015. - 52, N4. - P. 990-1002.