Аналитические и численные методы построения предельных характеристик для нестационарных марковских моделей систем обслуживания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Сатин Яков Александрович

• Сатин Яков Александрович
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Сатин Яков Александрович

Введение

1 Общие вопросы исследования марковских процессов

1.1 Марковские цепи

1.2 Слабая эргодичность конечных процессов с периодической матрицей интенсивно стей

1.3 Построение периодического решения конечной марковской цепи с достижимым состоянием

1.4 О точности оценок

1.4.1 Основные нормы и связь между ними

1.4.2 Основные преобразования некоторых классов марковских цепей c конечным числом состояний

1.4.3 Примеры точных оценок

1.4.4 Прочие оценки

1.5 Об усечении процессов

1.6 Устойчивость

1.7 Выводы по главе

2 Исследование предельных характеристик процессов, описываемых с помощью неоднородных процессов рождения и гибели

2.1 Процессы рождения и гибели

2.1.1 Оценки сходимости, устойчивости, аппроксимации процессов рождения и гибели

2.1.2 Оценка скорости сходимости и двустороннее усечение

2.2 Модель М1\М1\Б

2.3 Модели с нетерпеливыми клиентами

2.3.1 М1 \Mt\SN с нетерпеливыми клиентами

2.4 Характеристики требований в системах обслуживания Mt/Mt/S/S + К и Mt/Mt/S/ж

2.5 Выводы по главе

3 Процессы с групповым поступлением и обслуживанием требований

3.1 Модель системы обслуживания типа Мъ/Мъ/Б с катастрофами и

возможностью поступления произвольного количества требований

в случае полного отсутствия требований в системе

3.1.1 Описание модели

3.1.2 Оценка скорости сходимости

3.1.3 Усечение процесса

3.2 Модели Мх(г)/Мх(г)/1 и Мх(г)/Мх(г)/1/Б с групповым

поступлением и обслуживанием требований

3.2.1 Описание моделей Мх(г)/Мх(г)/1 и Мх(г)/Мх(г)/1/Б

3.2.2 Оценки скорости сходимости процесса с конечным числом состояний

3.2.3 Усечение процесса со счетным числом состояний

3.3 Мг/ Мг/1 с политикой пропуска

3.3.1 Оценка скорости сходимости модели Мъ/Мъ/\ с политикой

пропуска

3.4 Выводы по главе

4 Процессы с особенностями организации очереди и обслуживания

4.1 М/М/1 с повторным поступлением необслуженных требований

4.1.1 Описание модели М/М/1 с повторным поступлением необслуженных требований

4.1.2 Нуль эргодичность модели М /М /1 с повторным поступлением необслуженных требований

4.1.3 Сильная эргодичность модели М/М/1 с повторным поступлением необслуженных требований

4.1.4 Усечение модели М/М/1 с повторным поступлением необслуженных требований

4.2 М/М/2 с повторным поступлением необслуженных требований

4.2.1 Описание модели М/М/2 с повторным поступлением необслуженных требований

4.2.2 Нуль эргодичность модели М /М /2 с повторным поступлением необслуженных требований

4.2.3 Сильная эргодичность модели М/М/2 с повторным поступлением необслуженных требований

4.3 Модель Мг/Мг/2 с различной производительностью процессоров

4.3.1 Оценка скорости сходимости

4.4 Выводы по главе

5 Исследование марковских цепей с помощью неравенств

5.1 Первый метод неравенств

5.1.1 Многомерный процесс рождения и гибели

5.1.2 Mt/Mt/1 с двумя различными классами требований

5.2 Второй метод неравенств

5.2.1 Mt/Mt/1 с только попарным обслуживанием требований

5.2.2 Аппроксимация усечениями

5.3 Выводы по главе

6 Численный анализ нестационарных марковских моделей

6.1 Модели, описываемые ПРГ

6.1.1 Двустороннее усечение процессов рождения и гибели

6.1.2 Подбор геометрической прогрессии для процесса Mt\Mt\S, вычисление скорости сходимости, усечение и построение средних

6.1.3 Подбор последовательности, отличной от геометрической прогрессии для процесса Mt\Mt\S, вычисление скорости сходимости и построение средних

6.1.4 Построение характеристик модели Mt\Mt\S с нетерпеливыми клиентами

6.2 Построение характеристик модели системы обслуживания типа Mt/Mt/S с катастрофами и возможностью поступления произвольного количества требований в случае полного отсутствия требований в системе

6.3 Построение характеристик модели M/M /1 с повторным поступлением необслуженных требований

6.4 Построение характеристик модели Mt/Mt/2 с различной производительностью серверов

6.5 Построение характеристик двумерного процесса рождения и гибели

6.6 Построение характеристик модели Mt/Mt/1 с двумя различными классами требований

6.7 Построение характеристик модели М1 /М1 /1 с только попарным обслуживанием требований

6.8 Выводы по главе

Заключение

Список использованной литературы

Приложение А Базовые определения, вспомогательные теоремы и

неравенства

Приложение Б Матрица

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические и численные методы построения предельных характеристик для нестационарных марковских моделей систем обслуживания»

Актуальность темы.

Задачи, связанные с обслуживанием большого объема однородных требований, возникают в самых разнообразных направлениях исследований: технике, экономике, организации производства. Первые исследования по этой тематике, как известно, были проведены датским ученым А.К. Эрлангом в начале двадцатого века. Для решения проблем такого рода в середине 20-го века была создана ветвь прикладной теории вероятностей, известная как теория массового обслуживания (ТМО, англоязычный термин - теория очередей). Основные цели исследований этой науки заключаются в оптимальном выборе структуры системы и организации обслуживания.

В наше время ТМО применяется, в частности, для прогнозирования показателей производительности больших предприятий; для построения локальных сетей, связывающих компьютеры в офисах средних размеров; для проектирования компьютерных архитектур высокого уровня; для анализа производительности и планирования задач стохастического разветвления в мультикомпьютерных системах; для анализа распределения процессоров в многопрограммных системах параллельной обработки и для моделирования политики обслуживания в распределенных системах, для оценки параметров и оптимизации современных сетей связи.

В частности, модели ТМО применяются для реализации облачной сети радиодоступа, поддерживающей обработку основной полосы частот нескольких распределенных антенн, решения проблемы оптимального планирования поступающего задания в наборе однородных односерверных очередей, анализа времени ожидания и времени ответа в двух параллельных системах массового обслуживания с непрерывным временем. Такие модели изучались в работах ряда авторов, в том числе N.J. Dingle, F. Gullemin, P.G. Harrison, L. Huang, W.J. Knottenbelt, A.S. Lebrecht, R. Nelson, V.Q. Rodriguez, A.N. Tantawi, D. Towsley, Q. Xu, Z. Zang, S. Zertal. В системах массового обслуживания такого типа есть узлы, через которые в процессе обработки проходят запросы (требования). Требования могут различаться по назначению и характеристикам. Они могут накапливаться (находиться в очередях) и ожидать обслуживания, или покидать необслуженными очередь и затем повторно поступать. Количество запросов обычно весьма велико. Они могут приходить неравномерно. Различные узлы

могут обслуживать различные типы требований за разное время. Все это делает такие системы сложными для изучения и управления, и проследить все причинно-следственные связи в них не представляется возможным. Помимо этого, в ситуациях, приближенных к реальности, интенсивности поступления и обслуживания требований во многих ситуациях зависят от времени (в частности, являются периодическими), такие ситуации начали изучаться еще в 1930-х годах (начиная с работ А.Н. Колмогорова), а в последние десятилетия исследуются особенно активно.

Такие системы могут быть описаны с помощью нестационарных марковских моделей, которые в свою очередь описываются неоднородными марковскими цепями с непрерывным временем.

Как известно, вероятности состояний неоднородной марковской цепи в явном виде можно найти только в исключительных случаях. Одной из наиболее важных задач при изучении таких моделей является исследование асимптотического поведения при t ^ о вероятностных характеристик системы и, в частности, определение скорости сходимости к предельному режиму. Другой важной задачей является изучение устойчивости вектора распределения вероятностей при изменениях интенсивностей. Третья важная задача состоит в замене модели со счетным числом состояний на аналогичную модель с конечным числом состояний. Решение этих задач позволяет с необходимой точностью найти предельный вектор распределения вероятностей и получить исчерпывающую и достоверную информацию о исходной системе.

Степень изученности проблемы. Термин «теория систем массового обслуживания» принадлежит А. Я. Хинчину. Он изложил основные понятия теории массового обслуживания в своей монографии [56] и является создателем оснований теории массового обслуживания.

Первые исследования по этой тематике были проведены в работах А. К. Эрланга, см. например [89]. В частности, им были рассмотрены M/D/1 и M/D/k модели. Необходимость решения такого рода задач была связана прежде всего с практическими приложениями.

Модель M(t)/M/c была введена А.Н. Колмогоровым [115] в 1931 году. Лишь в 1991 году L. Zhang [224], используя теорию производящих функций, нашел основные вероятностные характеристики для модели M(t)/M(t)/1. Примерно в это время W. Stadje [160] аналогично рассмотрел модель M(t)/M(t)/2. В 1999 году

B.H. Margolius [124], применяя подобный подход, смогла построить основные вероятностные характеристики для модели M(t)/M(t)/c. Данный подход позволял получать численное решение, но имел низкую точность.

Развитие вычислительной техники в начале 21 века позволило расширить число изучаемых моделей и применить для их анализа изложенные в диссертации методы.

В числе математиков, заложивших основы теории и приложений этой области и сформировавших ее современный облик (в части, близкой к тематике настоящего исследования), следует отметить Л. Г. Афанасьеву, В. В. Анисимова, Г П. Башарина, А. А. Боровкова, П. П. Бочарова, В. М. Вишневского, Ю. В. Гайдамаку, Б. В. Гнеденко, Р. Л. Добрушина, А. Н. Дудина, А. И. Зейфмана, В. В. Калашникова, Н. В. Карташова, А. Н. Моисеева, С. П. Моисееву, Е. В. Морозова, А. А. Назарова, А. В. Печинкина, В. В. Рыкова, К. Е. Самуйлова, О. В. Семенову, В. Г. Ушакова, С. Г. Фосса, M. Neuts, R. L. Tweedie, E. Van DoornX W. Whitt и других (см., например,[1-6, 10, 27, 28, 31, 37, 39, 55, 63, 6770, 86-88, 90, 109, 113, 126, 127, 129, 131, 133-136, 141, 143, 165, 167, 173-176]).

Многие авторы сводили вычисление характеристик моделей к цепям с постоянными или кусочно-постоянными интенсивностями (см. [82, 98, 103, 163]), см. также работы [65, 83, 92, 94, 99, 120, 125, 137, 171]. Оценка погрешности при замене общей ситуации цепью с кусочно-постоянными интенсивностями получена в работе [154].

Ряд авторов исследуют характеристики с помощью имитационного моделирования (см., например, [74]). При всех плюсах данного метода (возможность распараллеливания вычислений) этот подход имеет существенный недостаток - большое число имитаций, и как следствие - большие затраты на вычисления. При этом результат может сильно отличаться от правильного даже при большом числе имитаций (вероятность этого мала, но не равна нулю).

Другой численный подход построения характеристик -"униформизация"(см. [62, 64, 73, 170]). С помощью рекурсивного перемножения матриц авторы численно строят решение системы дифференциальных уравнений. Соответственно скорость и точность построения решения не всегда высоки (в формулах используются факториалы, смесь больших и маленьких чисел, что может приводить к значительным погрешностям). Теоретическими аспектами (нуль эргодичность, оценки скорости сходимости, устойчивость) авторы, как

правило, не интересуются. А вопрос самой возможности построения предельного режима и его непосредственного построения остается открытым.

Еще один метод построения вероятностных характеристик моделей состоит в решении линейных систем дифференциальных уравнений по известным численным схемам: Рунге-Кутта, Адамса и т.д. Этот подход отличается высокой скоростью вычисления характеристик, и, что очень важно, высокой точностью вычисления. Поэтому он часто выбирается в качестве эталонного в численных экспериментах. Например, в статье [102] он сравнивается с другими методами по скорости и погрешности в вычислении характеристик. Возможность такого подхода для построения предельных характеристик была представлена на 24 международном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей в Юрмале (Латвия, 2004 год) [119].

В диссертации основным инструментом при построении предельных характеристик является оценка скорости сходимости к предельному режиму и устойчивости для нестационарных систем обслуживания. Первые исследования в этом направлении инициированы Б. В. Гнеденко [8]. Исследование свойств эргодичности и устойчивости для неоднородных марковских цепей с непрерывным временем, а также приложение этих результатов к моделям массового обслуживания можно найти в работах

[11, 29-31, 79, 97, 104-106, 118, 128, 130, 157, 178, 180, 181, 184, 197].

К настоящему времени существует большое число работ, посвященных усечениям марковских процессов [158, 161, 166](см. обзор в [169]). Это связано с тем, что процессы с конечным числом состояний гораздо лучше изучены. Можно найти работы, посвященные усечениям, начиная с 1950-х годов. В одной из этих статей (см. [117]) есть близкий к варианту диссертации подход - замена прямой системы Колмогорова со счетным числом состояний похожей системой с конечным числом состояний. Стоит отметить, что в этой статье нарушалось условие равенства нулю сумм по строкам матрицы интенсивностей, и решение получалось хорошим лишь на начальном отрезке. Начиная с 1988 года, можно найти работы для нестационарных процессов, в которых не нарушается условие равенства нулю (см. [179]), однако оценка полезна только на начальном отрезке.

Отметим, что в диссертации для описания одних и тех же ситуаций употребляются равноправно оба термина: марковская цепь и марковский процесс.

Существует большое число моделей, описываемых процессами рождения и гибели (ПРГ). Например, модели с нетерпеливыми клиентами. Нетерпеливость клиентов учитывалась уменьшением интенсивности поступления требования [132, 140, 142, 172] или увеличением интенсивности обслуживания [108, 177]. Помимо моделей, описываемых ПРГ, существует большое число работ, посвященных другим моделям. Например, системы с групповым поступлением и обслуживанием требований (см. [71, 75-78, 84, 85, 93, 107, 138, 139, 189, 225]). В этих моделях требования поступают и/или обслуживаются по одному или группами.

Можно выделить следующую особенность марковских цепей со счётным числом состояний. Среди них есть, так называемые, нуль эргодичные процессы. Вероятности всех состояний этих процессов стремятся к нулю. Исследования нуль эргодичности можно найти, например, в работе [12].

В диссертации для исследования прямой системы Колмогорова используются методы и понятия, разработанные в книге Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [9]. При этом основным инструментом являются перенормировки [97, 178, 182, 183] и логарифмическая норма оператора, понятие которой введено в статье С.М. Лозинского[35], а обобщение на случай операторов в банаховом пространстве было проведено в книге [9].

Вышеизложенное определяет актуальность создания теоретических основ для исследования нестационарных марковских моделей, которые в свою очередь описываются неоднородными марковскими цепями с непрерывным временем, и тем самым определяет цель диссертационной работы.

Целью данной работы является разработка математических методов исследования и построения предельных характеристик нестационарных систем массового обслуживания.

Задачи исследования:

1. разработать оригинальные нестационарные математические модели систем массового обслуживания с групповым поступлением и обслуживанием требований;

2. разработать новые и модифицировать существующие алгоритмы и методы построения оценок скорости сходимости к предельному режиму;

3. разработать новые алгоритмы и методы построения оценок двусторонних усечений (аппроксимаций) процессов со счетным или большим конечным

числом состояний процессами с меньшим числом состояний;

4. исследовать нестационарные системы обслуживания, описываемые многомерными процессами рождения и гибели; получить оценки для проекций этих процессов, включая оценки скорости сходимости в случаях слабой эргодичности и нуль эргодичности;

5. получить условия и оценки скорости сходимости в нуль эргодическом случае для нестационарных моделей, описываемых процессами со счетным числом состояний;

6. разработать комплекс проблемно-ориентированных программ и алгоритмов для численного анализа систем массового обслуживания, описываемых неоднородными марковскими процессами, а также для вычисления их основных вероятностных характеристик.

Научная новизна и значимость диссертационной работы.

1. Предложены оригинальные математические модели теории массового обслуживания, позволяющие изучать реальные системы, в которых возможно одновременное поступление и обслуживание произвольного количества требований.

2. Для нестационарных математических моделей модифицированы методы, позволяющие оценивать скорость сходимости к предельному режиму с помощью исключения одного из уравнений прямой системы Колмогорова.

3. Для нестационарных математических моделей впервые разработаны и использованы три новых метода исследования прямой системы Колмогорова: метод «С-матрицы» и две модификации метода логарифмической нормы.

4. Для изучаемых систем массового обслуживания с помощью разработанных методов и модификаций впервые подобраны «весовые» последовательности, позволяющие строить оценки скорости сходимости.

5. Для неоднородных марковских процессов со счётным или большим конечным числом состояний, описывающих нестационарные марковские модели обслуживания, впервые разработаны алгоритмы и методы, позволяющие получать равномерные по времени оценки аппроксимации процессами с меньшим числом состояний. В диссертации данный подход явно продемонстрирован при изучении моделей, описываемых процессами рождения и гибели, моделей с групповым поступлением и обслуживанием требований, моделей с повторным поступлением необслуженных требований,

а также ряда других нестационарных систем обслуживания.

6. Предложено использовать понятие модифицированной логарифмической нормы для изучения многомерных процессов путем сведения их к одномерным процессам рождения и гибели. Впервые получены новые условия нуль эргодичности, слабой эргодичности, оценки скорости сходимости к предельному режиму для нелинейных процессов рождения и гибели, являющихся проекциями многомерных процессов. Показано применение этой методики к изучению систем массового обслуживания.

7. Для новых классов систем массового обслуживания с использованием разработанных методов и модификаций впервые получены условия нуль эргодичности. Эти условия позволяют на практике подбирать параметры систем массового обслуживания так, чтобы избегать ситуаций, при которых число необслуженных требований будет неограниченно расти.

8. С использованием разработанного комплекса проблемно- ориентированных программ и алгоритмов найдены численные значения и построены графики основных вероятностных характеристик рассматриваемых марковских моделей.

Методы исследования. Для проведения диссертационного исследования использовался аппарат следующих дисциплин: математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, теория случайных процессов, теория массового обслуживания, дифференциальные уравнения и численные методы.

В диссертации исследуются решения прямой системы Колмогорова, лежащие во множестве стохастических векторов О, то есть во множестве векторов с неотрицательными координатами и единичной 1\-нормой. Для получения оценок основным инструментом является логарифмическая норма оператора и её модификации. Используя эти нормы и перенормировки, доказывается существование предельных характеристик и получаются оценки скорости сходимости к этим характеристикам. Затем, используя эти оценки скорости сходимости, рассматривается возможность аппроксимации процессами с меньшим числом состояний, а также получаются оценки такой аппроксимации. После чего, решая численными методами систему Колмогорова с конечным числом уравнений, приближенно строятся искомые предельные характеристики.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Разработанные методы, их модификации и алгоритмы позволяют выполнять

анализ широкого класса систем массового обслуживания, которые описываются неоднородными марковскими цепями с непрерывным временем.

В диссертационной работе сделан вклад в теоретические основы методов исследования систем массового обслуживания, описываемых процессами рождения и гибели, процессами с групповым поступлением и обслуживанием требований, процессами с попарным обслуживанием требований, процессами с повторным поступлением необслуженных требований.

С целью широкого применения полученных результатов в научно-исследовательских, проектных организациях и в телекоммуникационных компаниях, на основании теоретических исследований разработаны алгоритмы и программные средства для расчета важнейших для планирования сетей показателей качества обслуживания и показателей качества восприятия пользователей. На отдельные модули программных средств получены свидетельства о государственной регистрации.

Полученные в диссертационном исследовании формулы, в том числе оценки скорости сходимости и аппроксимаций, могут быть использованы при анализе функционирования реальных потоков и телекоммуникационных систем.

Приведенные алгоритмы построения вероятностных характеристик исследуемых математических моделей позволяют оценить параметры систем и, как следствие, дают возможность обоснованного выбора значения параметров сетей, обслуживающих серверов и рабочих станций. Разработанный комплекс программ позволяет строить предельные характеристики этих исследуемых моделей.

Часть результатов диссертационной работы получена при выполнении ряда крупных научно-исследовательских проектов, где автор диссертационной работы являлся руководителем или исполнителем, в том числе, при исследованиях по грантам РФФИ и РНФ.

Положения, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Математические модели нестационарных систем обслуживания с групповым поступлением и обслуживанием требований.

2. Теорема о скорости сходимости для процессов рождения и гибели.

3. Построение специальных весовых последовательностей для оценки скорости сходимости нестационарной системы обслуживания с несколькими серверами.

4. Теорема о скорости сходимости для нестационарной системы обслуживания с

одним сервером и с только попарным обслуживанием требований.

5. Теорема о скорости сходимости к предельному режиму для нестационарной системы обслуживания с несколькими серверами, катастрофами и возможностью дополнительного поступления требований.

6. Теоремы об усечениях для процессов рождения и гибели, а также для системы с только попарным обслуживанием требований.

7. Теорема об усечении для марковской модели системы с повторным поступлением необслуженных требований.

8. Теорема об усечении для нестационарной системы обслуживания с несколькими серверами, катастрофами и возможностью дополнительного поступления требований.

9. Теоремы о слабой и нуль эргодичности нестационарной модели с двумя различными классами требований.

10. Теорема о нуль эргодичности нестационарной модели с повторным поступлением необслуженных требований.

11. Комплекс проблемно-ориентированных программ и алгоритмов для численного анализа нестационарных марковских моделей.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждается математически корректными формулировками, выводами и доказательствами теорем, представленными в диссертационной работе, согласованностью результатов, полученных для разных моделей, и большим количеством компьютерных экспериментов.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Автор лично участвовал в получении всех результатов, представленных в диссертационной работе, а именно в разработке и применении методов исследования марковских моделей различной конфигурации, выводе всех формул, доказательстве всех полученных в диссертации теорем, разработке представленного комплекса проблемно-ориентированных программ и написании соответствующих алгоритмов, выполнении численного анализа полученных результатов. Направления исследований диссертационной работы и постановки задач обсуждались с научным консультантом доктором физико-математических наук, профессором А.И. Зейфманом, что отражено в совместных публикациях с автором диссертационной работы.

Связь работы с крупными научными проектами. Значительная часть

результатов, изложенных в работе, получена в рамках выполнения проектов:

1. РФФИ 15-01-01698 «Исследование аппроксимации марковских цепей и

построение предельных режимов» (2015-2017, руководитель Я. А. Сатин).

2. РНФ № 19-11-00020 «Количественные методы исследования марковских

цепей и моделей, и их приложения» (2019-2021, руководитель А.И.Зейфман).

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на

- семинарах кафедры прикладной математики Вологодского государственного университета,

- заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном университете,

- международных семинарах по проблемам устойчивости стохастических моделей (International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models), 2004, 2005, 2006, 2021 годы,

- объединенных научных семинарах Средневолжского математического общества,

- международном конгрессе по ультрасовременным телекоммуникациям и системам управления (International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems), 2010, 2016, 2018 годы,

- европейской конференции по разработке моделей и моделированию (European Conference on Modelling and Simulation), 2013-2017 годы,

- Белорусском семинаре по теории массового обслуживания (Belarusian Workshop on Queueing Theory), 2013, 2017 годы,

- международной конференции по численному анализу и прикладной математике ( International conference of numerical analysis and applied mathematics, ICNAAM), 2016, 2017, 2019, 2021 годы,

- международной конференции по теории автоматизированных систем (International Conference on Computer Aided Systems Theory Eurocast), 2017, 2019 годы,

- международной конференции по дифференциальным и разностным уравнениям и их приложениям (International Conference on Differential & Difference Equations and Applications), 2019,

- международной конференции по методологиям и инструментам оценки эффективности (International Conference on Performance Evaluation

Methodologies and Tools), 2008, 2009 годы,

- международной конференции по математическому моделированию и вычислениям в биологических науках (Mathemathical Modeling and Computational Topics in Biosciences BIOCOMP), 2012,

- международном семинаре по прикладным задачам теории вероятностей и математической статистики (International Workshop on Applied Problems in Theory of Probabilities and Mathematical Statistics), 2012, 2017 годы,

- международной конференции по аналитическим и вычислительным методам в теории вероятностей и ее приложениях (Analytical and Computational Methods in Probability Theory and its Applications), 2017.

Благодарности. Автор выражает благодарность коллегам-математикам за полезную критику и конструктивные замечания, и особую признательность -научному консультанту доктору физико-математических наук профессору Зейфману А.И. за помощь на всех этапах работы и ценные рекомендации.диссертации.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 73 работы, в том числе 46 статей в журналах, входящих в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (из них 27 статей в зарубежных научных журналах, входящих в Web of Science и / или Scopus; 3 статьи в российских научных журналах, переводные версии которых входят в Web of Science; 5 статей в российском научном журнале, входящем в Scopus; 2 статьи в российских научных журналах, входящих в Russian Science Citation Index), 21 статья в сборниках материалов конференций, представленных в изданиях, входящих в Web of Science и / или Scopus; получено 6 свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура диссертации. Материалы диссертационного исследования изложены на 217 страницах. Работа состоит из введения, шести глав, заключения, приложений и списка использованной литературы из 225 наименований. Текст иллюстрирован 58 рисунками.

В главе 1 приведены основные определения. Показано, что наличие достижимого состояния достаточно для существования предельного среднего для марковской цепи с периодическими интенсивностями и конечным числом

состояний. Приведены способы построения периодического режима. Описаны простейшие классы рассматриваемых моделей, а также основные нормы и преобразования, используемые в диссертации.

В главе 2 изучены модели, сводящиеся к процессам рождения и гибели. Получены достаточные условия слабой эргодичности и оценки скорости сходимости к предельному режиму. Приведены достаточные условия существования предельного среднего и оценки скорости сходимости к нему. Рассмотрено двустороннее аппроксимирование процессов рождения и гибели со счетным числом состояний процессом рождения и гибели с конечным числом состояний. Результаты применены для анализа характеристик моделей нестационарных систем обслуживания с одним сервером.

В главе 3 изучены модели с групповым поступлением и обслуживанием требований. Получены достаточные условия слабой эргодичности и оценки скорости сходимости к предельному режиму. Приведены достаточные условия существования предельного среднего и оценки скорости сходимости к нему. Рассмотрено аппроксимирование процессов со счетным числом состояний процессами с конечным числом состояний.

В главе 4 изучены модели с особенностями организации очереди и обслуживания. В частности, для стационарной модели системы обслуживания с одним сервером с повторным поступлением необслуженных требований получены условия нуль и слабой эргодичности, оценки для скорости сходимости к предельному режиму и оценки усечения. Для аналогичной модели с двумя серверами, а также для нестационарной модели с различной производительностью процессоров получены оценки скорости сходимости к предельному режиму.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Сатин Яков Александрович, 2025 год

Список использованной литературы

1. Афанасьева, Л. Г. Системы обслуживания GI |G|to и их приложения к анализу транспортных моделей / Л. Г. Афанасьева, И. В. Руденко // Теория вероятностей и ее применения. - 2012. - Т. 57, № 3. - С. 427-452. -D01:10.4213/tvp4460.

2. Башарин, Г. П. Новый этап развития математической теории телетрафика / Г. П. Башарин, К. Е. Самуйлов, Н. В. Яркина, И. А. Гудкова // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 12. - С. 16-28.

3. Башарин, Г. П. Модели для анализа качества обслуживания в сетях связи следующего поколения / Г. П. Башарин, Ю. В. Гайдамака, К. Е. Самуйлов, Н. В. Яркина-М.: РУДН, 2008. - 137 с.

4. Боровков, А. А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов / А. А. Боровков. - Москва : Эдиториал УРСС ; Новосибирск : Изд-во Ин-та математики, 1999. - 440 с. - ISBN 5-8360-0015-8.

5. Бочаров П. П. Анализ многолинейной марковской системы массового обслуживания с неограниченным накопителем и отрицательными заявками / П. П. Бочаров, Ч. Д'апиче, Р. Мандзо, А. В. Печинкин // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 1. - С. 93-104.

6. Бочаров, П. П. Теория массового обслуживания : [Учеб. для вузов по направлению "Прикладная математика и информатика"и специальностям "Математиками "Прикладная математика"] / П. П. Бочаров, А. В. Печинкин. -Москва : Изд-во Рос. ун-та дружбы народов, 1995. - 528,[1] с.

7. Гнеденко Б. В. Введение в теорию массового обслуживания : учебное пособие / Б. В. Гнеденко. И. Н. Коваленко. - 5-е изд., испр. - М. : Наука, 2010. - 400 с.

8. Гнеденко, Б. В. Свойства решений задачи с потерями в случае периодических интенсивностей / Б. В. Гнеденко, И. П. Макаров // Дифференциальные уравнения. - 1971. - Т. 7, № 9. - С. 1696-1698.

9. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. - М.: Наука, 1970. - 534 с.

10. Добрушин, Р. Л. Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова II. / Р. Л. Добрушин // Теория вероятностей и ее применения. - 1956. -Т.1,№4.-С. 365-425.

11. Зейфман, А. И. Некоторые свойства системы с потерями в случае переменных интенсивностей / А. И. Зейфман // Автоматика и телемеханика. - 1989. - № 1. -С. 107-113.

12. Зейфман, А. И. Стохастические модели. Процессы рождения и гибели: учебное пособие по спецкурсу для пед. ин-тов / А. И. Зейфман. - Вологда: Русь, 1994.-70 с.

13. Зейфман, А. И. Об оценках средних характеристик некоторых процессов рождения и гибели / А. И. Зейфман, Я. А. Сатин // Статистические методы оценивания и проверки гипотез : Межвузовский сборник научных трудов.

- Пермь : Пермский государственный национальный исследовательский университет, 2006. - Вып. 19. - С. 179-187.

14. Зейфман, А. И. Средние характеристики марковских систем обслуживания / А. И. Зейфман, Я. А. Сатин // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 9. - С. 122-133.

15. Зейфман, А. И. О предельных характеристиках системы обслуживания

с катастрофами / А. И. Зейфман, Я. А. Сатин, А. В. Коротышева, Н. А. Терешина // Информатика и ее применения. - 2009. - Т. 3, № 3. - С. 16-22.

16. Зейфман, А. И. О нестационарных системах обслуживания с катастрофами / А. И. Зейфман, Я. А. Сатин, А. В. Чегодаев // Информатика и ее применения.

- 2009. - Т. 3, № 1. - С. 47-54.

17. Зейфман, А. И. Об устойчивости нестационарных систем обслуживания с катастрофами / А. И. Зейфман, А. В. Коротышева, Я. А. Сатин, С. Я. Шоргин // Информатика и ее применения. - 2010. - Т. 4, № 3. - С. 9-15.

18. Зейфман, А. И. Оценки в нуль-эргодическом случае для некоторых систем обслуживания / А. И. Зейфман, А. В. Коротышева, Я. А. Сатин, С. Я. Шоргин // Информатика и ее применения. - 2012. - Т. 6, № 4. - С. 27-33.

19. Зейфман, А. И. Оценки погрешности аппроксимаций неоднородных марковских цепей с непрерывным временем / А. И. Зейфман, А. В. Коротышева, В. Ю. Королев, Я. А. Сатин // Теория вероятностей и ее применения.-2016.-Т. 61, №3.-С. 563-569. ^01:10.4213/^5073.

20. Зейфман, А. И. Оценки для неоднородных марковских систем обслуживания с особенностями в нуле [Текст] : [монография] / А. И. Зейфман, В. Ю. Королев, А. В. Коротышева, Я. А. Сатин ; Федеральный исследовательский центр "Информатика и управление"Российской академии наук, Институт проблем информатики РАН. - Москва : ФИЦ ИУ РАН, 2016. - 54 с.

21. Зейфман, А. И. О классе систем обслуживания, описываемых неоднородными процессами рождения и гибели с дополнительными переходами / А. И. Зейфман, Я. А. Сатин, А. В. Коротышева [и др.] // Доклады Академии наук. -2016. - Т. 470, № 2. - С. 129-132. - D0I:10.7868/S0869565216210088.

22. Зейфман, А. И. Оценки погрешности аппроксимации для марковских систем обслуживания, описываемых процессами рождения и гибели с дополнительными переходами / А. И. Зейфман, А. В. Коротышева, Я. А. Сатин [и др.] // Системы и средства информатики. - 2017. - Т. 27, № 3. - С. 37-51. -D0I:10.14357/08696527170304.

23. Зейфман, А. И. Об оценках скорости сходимости для некоторых моделей массового обслуживания с неполно заданными интенсивностями / А. И. Зейфман, Я. А. Сатин, К. М. Киселева // Информатика и ее применения. - 2019. -Т. 13, №3.-С. 14-19.^01:10.14357/19922264190303.

24. Зейфман, А. И. Об одной нестационарной модели обслуживания с катастрофами и тяжелыми хвостами / А. И. Зейфман, Я. А. Сатин, И. А. Ковалев // Информатика и ее применения. - 2021. - Т. 15, № 2. - С. 20-25. -D0I:10.14357/19922264210203.

25. Зейфман, А. И. О предельных характеристиках для систем обслуживания с исчезающими возмущениями / А. И. Зейфман, В. Ю. Королев, Р. В. Разумчик [и др.] // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. - 2022. - Т. 506, № 1. - С. 83-88. -D0I:10.31857/S2686954322050186.

26. Ивченко Г. И. Теория массового обслуживания : учебное пособие / Г. И. Ивченко, В. А. Каштанов, И. Н. Коваленко. - М. : Высшая школа, 1982. - 256 с.

27. Калашников, В. В. Анализ устойчивости в задачах массового обслуживания методом пробных функций / В. В. Калашников // Теория вероятностей и ее применения. - 1977. - Т. 22, № 1. - С. 89-105.

28. Калашников, В. В. Исследование устойчивости систем массового обслуживания / В. В. Калашников, Г. Ш. Цициашвили // Записки научных семинаров ЛОМИ. - 1979. - Т. 87. - С. 41-61. - DOI:https:// doi.org/10.1007/BF01085922.

29. Карташов Н.В. Сильно устойчивые цепи Маркова / Карташов Н.В. // Проблемы устойчивости стохастических моделей: Труды семинара. - М.: ВНИИСИ, 1981. - С. 54-59.

30. Карташов Н.В. Критерии равномерной эргодичности и сильной устойчивости для цепей Маркова с общим фазовым пространством / Н.В. Карташов // Теория вероятн. и мат. статист. - 1984. - № 30. - С. 65-81.

31. Карташов, Н. В. Неравенства в теоремах эргодичности и устойчивости цепей Маркова с общим фазовым пространством. I. / Н. В. Карташов // Теория вероятностей и ее применения. - 1985. - Т. 30, № 2. - С. 230-240.

32. Ковалев, И. А. Об одном подходе к оцениванию скорости сходимости нестационарных марковских моделей систем обслуживания / И. А. Ковалев, Я. А. Сатин, А. В. Синицина, А. И. Зейфман // Информатика и ее применения. - 2022. - Т. 16, № 3. - С. 75-82. - DOI:10.14357/19922264220310.

33. Ковалев, И. А. Оценки скорости сходимости и устойчивости для одного класса нестационарных марковских моделей систем с нетерпеливыми клиентами / И. А. Ковалев, Я. А. Сатин, А. И. Зейфман // Системы и средства информатики. -2022. - Т. 32, №4. - С. 21-31. ^01:10.14357/08696527220403.

34. Коротышева, А. В. Эргодичность и устойчивость системы обслуживания с одним сервером / А. В. Коротышева, К. М. Киселева, Я. А. Сатин // Задачи современной информатики : Труды Второй молодежной научной

конференции, Москва, 29-30 октября 2015 года. - Москва: Федеральный исследовательский центр "Информатика и управление"Российской академии наук, 2015.-С. 297-302.

35. Лозинский, С.М. Оценка погрешности численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения / С.М. Лозинский // Изв. ВУЗов. Матем. - 1958. - № 5. - С. 52-90.

36. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений : Учебник для мех.-тех. фак. ун-тов / Н.М. Матвеев. - 3-е изд., испр. и доп. - Москва : Высш. школа, 1967. - 564 с.

37. Мистрюков, А. В. Достаточные условия эргодичности приоритетных систем массового обслуживания / А. В. Мистрюков, В. Г. Ушаков // Информатика и ее применения. -2018. - Т. 12, №2. - С. 24-28. ^01:10.14357/19922264180204.

38. Разумчик, Р. В. Анализ энергоэффективности вычислительного комплекса, моделируемого с помощью системы обслуживания с пороговым управлением и интенсивностями, зависящими от времени / Р. В. Разумчик, А. И. Зейфман, А. В. Коротышева, Я. А. Сатин // Системы и средства информатики. - 2015. -Т. 25, №4. - С. 19-30. ^01:10.14357/08696527150402.

39. Рыков, В. В. Обобщенные процессы рождения и гибели и их применение к моделям старения / В. В. Рыков // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 3. -С. 103-120.

40. Сатин, Я. А. О некоторых средних характеристиках конечных марковских цепей с непрерывным временем / Я. А. Сатин, А. И. Зейфман // Статистические методы оценивания и проверки гипотез : Межвузовский сборник научных трудов. - Пермь : Пермский государственный национальный исследовательский университет, 2005. - Вып. 18. - С. 168-175.

41. Сатин, Я. А. Исследование некоторых средних характеристик стохастических моделей : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 05.13.18 / Сатин Яков Александрович. - Вологда, 2007. - 130 с

42. Сатин, Я. А. Исследование некоторых средних характеристик стохастических моделей : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук : 05.13.18 / Сатин Яков Александрович. - Саранск, 2007. - 20 с.

43. Сатин, Я. А. Об одном классе марковских систем обслуживания / Я. А. Сатин, А. И. Зейфман, А. В. Коротышева, С. Я. Шоргин // Информатика и ее применения. - 2011. - Т. 5, № 4. - С. 18-24.

44. Сатин, Я. А. О скорости сходимости и усечениях для одного класса марковских систем обслуживания / Я. А. Сатин, А. И. Зейфман, А. В. Коротышева // Теория вероятностей и ее применения. - 2012. - Т. 57, № 3. - С. 611-621. - D0I:10.4213/tvp4469.

45. Сатин, Я. А. О подходах к построению предельных режимов для некоторых моделей массового обслуживания / Я. А. Сатин, А. И. Зейфман, Г. Н. Шилова // Информатика и ее применения. - 2020. - Т. 14, № 2. - С. 3-9. -D0I:10.14357/19922264200201.

46. Сатин, Я. А. Об аппроксимации с помощью усечений для одной нестационарной модели массового обслуживания / Я. А. Сатин // Системы и средства информатики. - 2021. - Т. 31, № 1. - С. 28-36. -D0I:10.14357/08696527210103.

47. Сатин, Я. А. Исследование модели типа Mt/Mt/1 с двумя различными классами требований / Я. А. Сатин // Системы и средства информатики. - 2021. - Т. 31, № 1. -С. 17-27. -D0I:10.14357/08696527210102.

48. Сатин, Я. А. О монотонности некоторых классов марковских цепей / Я. А. Сатин, А. Л. Крюкова, В. С. Ошушкова, А. И. Зейфман // Информатика и ее применения. -2022. - Т. 16, №2. - С. 27-34. -D0I:10.14357/19922264220204.

49. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018662924 Российская Федерация. Программа для построения предельных характеристик марковских цепей с непрерывным временем (Delphi) : № 2018619664 : заявл. 11.09.2018 : опубл. 17.10.2018 / Я. А. Сатин, А. И. Зейфман, К. М. Киселева ; заявитель федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Вологодский государственный университет».

50. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018662507 Российская Федерация. Программа для построения предельных характеристик марковских цепей с непрерывным временем (Visual С++) : № 2018619678 : заявл. 11.09.2018 : опубл. 09.10.2018 / Я. А. Сатин, А. И. Зейфман, К. М. Киселева ; заявитель федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Вологодский государственный университет».

51. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018662506 Российская Федерация. Программа для построения предельных средних характеристик марковских цепей с непрерывным временем (Octave), описывающих схемы для беспроводной сети в рамках LSA-полосы как системы массового обслуживания с конечной пропускной способностью и ненадежными серверами : № 2018619680 : заявл. 11.09.2018 : опубл.

09.10.2018 / Я. А. Сатин, А. И. Зейфман, К. М. Киселева ; заявитель федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Вологодский государственный университет».

52. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018662505 Российская Федерация. Программа для построения предельных средних характеристик двумерного процесса рождения и гибели (ПРГ) (Octave) : № 2018619685 : заявл. 11.09.2018 : опубл. 09.10.2018 / Я. А. Сатин, А. И. Зейфман, К. М. Киселева ; заявитель федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Вологодский государственный университет».

53. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019666755 Российская Федерация. Программа для решения задачи Коши для системы однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Рунге-Кутта 4-го порядка : № 2019665776 : заявл. 04.12.2019 : опубл.

13.12.2019 / В. С. Ошушкова, Я. А. Сатин, А. Л. Крюкова, А. И. Зейфман ; заявитель Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Вологодский государственный университет».

54. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020615415 Российская Федерация. Программа для решения задачи Коши для системы однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Адамса-Мултона 4-го порядка : № 2020614560 : заявл. 21.05.2020 : опубл. 22.05.2020 / И. А. Ковалев, Я. А. Сатин, А. И. Зейфман ; заявитель Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Вологодский государственный университет".

55. Фосс, С. Г. Эргодичность сетей обслуживания / С. Г. Фосс // Сибирский математический журнал. - 1991. - Т. 32, № 4. - С. 184-203.

56. Хинчин А. Я. Математические методы теории массового обслуживания / А. Я. Хинчин. - М. : Изд-во Академии наук СССР, 1955. - 120 с.

57. Adan, I. On first-come, first-served queues with two classes of impatient customers /1. Adan, B. Hathaway, V. G. Kulkarni // Queueing Systems. - 2019. - Vol. 91, №. 1.-P. 113-142.-D0I:10.1007/s11134-018-9592-z.

58. Ajmone Marsan, M. Performance analysis of cellular mobile communication networks supporting multimedia services / M. Ajmone Marsan, S. Marano, C. Mastroianni, M. Meo // Mobile Networks and Applications. - 2000. - Vol. 5, №3. -P. 167-177.

59. Alfa, A. S. Two classes of time- inhomogeneous Markov chains: Analysis of the periodic case / A. S. Alfa, B. H. Margolius // Annals of Operations Research. -2008 - Vol.160. - P. 121-137. - D0I:10.1007/s10479-007-0300-3.

60. Ammar, S. I. Time-dependent analysis for a two-processor heterogeneous system with time-varying arrival and service rates / S. I. Ammar, Y. F. Alharbi // Applied Mathematical Modelling. - 2018. - Vol. 54. - P. 743-751.

61. Ammar, S. I. On limiting characteristics for a non-stationary two-processor heterogeneous system with catastrophes, server failures and repairs / S. I. Ammar, A. Zeifman, Y. Satin [et al.] // Journal of Industrial and Management Optimization. -2021.-Vol. 17, №. 3.-P. 1057-1068.-D0L10.3934/jimo.2020011.

62. Andreychenko, A. Approximate adaptive uniformization of continuous-time Markov chains / A. Andreychenko, W. Sandmann, V. Wolf // Applied Mathematical Modelling. -2018. - Vol. 61. - P. 561-576. -DOI:10.1016/j.apm.2018.05.009.

63. Anisimov, V. V. Estimates for the deviations of the transition characteristics of nonhomogeneous markov processes / V. V. Anisimov // Ukrainian Mathematical Journal. - 1989. - Vol. 40, № 6. - P. 588-592. - D01:10.1007/BF01057174.

64. Arns, M. On the Numerical Analysis of Inhomogeneous Continuous-Time Markov Chains / M. Arns, P. Buchholz, A. Panchenko // INFORMS Journal on Computing. - 2009. - Vol. 22, № 3. - P. 416-432. - D01:10.1287/ijoc.1090.0357.

65. Artalejo, J. R. Analysis of the busy period for the M / M / c queue: An algorithmic approach / J. R. Artalejo, M. J. Lopez-Herrero // Journal of Applied Probability. -2001. - Vol. 38, № 1. - P. 209-222. -D0I:10.1239/jap/996986654.

66. Aksin Z. The modern call center: A multi-disciplinary perspective on operations management research / Z. Aksin, M. Armony, V. Mehrotra // Production and Operations Management. - 2007. - Vol. 16, № 6. - P. 665-688. - DOI 10.1111/j.1937-5956.2007.tb00288.x.

67. Avrachenkov, K. Stability analysis of GI/GI/c/K retrial queue with constant retrial rate / K. Avrachenkov, E. Morozov // Mathematical Methods of Operations Research. - 2014. - Vol. 79, № 3. - P. 273-291. - DOI:10.1007/s00186-014-0463-z.

68. Baccelli, F. On the saturation rule for the stability of queues / F. Baccelli, S. Foss // Journal of Applied Probability. - 1995. - Vol. 32, № 2. - P. 494-507.-DOI:10.2307/3215303.

69. Barabanova, E. A. Methods of Analysis of Information-Measuring System Performance under Fault Conditions / E. A. Barabanova, V. M. Vishnevsky, K. A. Vytovtov, O. V. Semenova // Journal of Communications Technology and Electronics. - 2023. - Vol. 68, № 3. - P. S368-S376. -DOI:10.1134/s1064226923150032.

70. Basharin, G. P. Mathematical theory of teletraffic and its application to the analysis of multiservice communication of next generation networks / G. P. Basharin, Y. V.

Gaidamaka, K. E. Samouylov // Automatic Control and Computer Sciences. - 2013. - Vol. 47, № 2. - P. 62-69. - D01:10.3103/S0146411613020028.

71. Brockwell, P. J. The extinction time of a general birth and death process with catastrophes / P. J. Brockwell // Journal of Applied Probability. - 1986 - Vol. 23, №4. - P. 851-858. -D0I:10.2307/3214459.

72. Brown, L. Statistical analysis of a telephone call center / L. Brown, N. Gans, A. Mandelbaum [et al.] // Journal of the American Statistical Association. - 2005. -Vol. 100, № 469. - P. 36-50. - D0I:10.1198/016214504000001808.

73. Burak M. Multi-step uniformization with steady-state detection in nonstationary m/m/s queuing systems [Electronic resource] / M. Burak // arXiv:1410.0804. -2014. - URL: https:// arxiv.org/abs/1410.0804 (access date: 03.05.2024).

74. Bylina, J. A Markovian model of a call center with time varying arrival rate and skill based routing / J. Bylina, B. Bylina, A. Zola,T. Skaraczynski // Computer Networks. Springer Science Business Media. - 2009. - P. 26-33. - D0I:10.1007/978-3-642-02671-3_4.

75. Cairns, B. Extinction times for a general birth, death and catastrophe process / B. Cairns, P. K. Pollett // Journal of Applied Probability. - 2004. - Vol. 41, № 4. - P. 1211-1218.

76. Chen, A. Y. The M/M/1 queue with mass exodus and mass arrives when empty / A. Y. Chen, E. Renshaw // Journal of Applied Probability. - 1997. - Vol. 34, № 1. - P. 192-207. -D0I:10.2307/3215186.

77. Chen, A. Markov bulk-arriving queues with state-dependent control at idle time / A. Chen, E. Renshaw // Advances in Applied Probability. - 2004. - Vol. 36, № 2. -P. 499-524.

78. Chen, A. Markovian bulk-arrival and bulk-service queues with state-dependent control / A. Chen, P. Pollett, J. Li, H. Zhang // Queueing Systems. - 2010. - Vol. 64, № 3. - P. 267-304. - D0I:10.1007/s11134-009-9162-5.

79. Coolen-Schrijner, P. On the convergence to stationarity of birth-death processes / P. Coolen-Schrijner, E. A. Van Doorn // Journal of Applied Probability. - 2001. - Vol. 38, №3.-P. 696.

80. Defraeye, M. Setting staffing levels in an emergency department: opportunities and limitations of stationary queueing models / M. Defraeye and I. Van Nieuwenhuyse // Review of Business and Economic. - 2011. - Vol. 56, № 1. - P. 73-100.

81. Deng, Q. The MJO in a coarse-resolution GCM with a stochastic multicloud parameterization / Q. Deng, B. Khouider, A. J. Majda // Journal of the Atmospheric Sciences.-2015.-Vol. 72, № 1.-P. 55-74. -D0I:10.1175/JAS-D-14-0120.1.

82. Deslauriers A. Markov chain models of a telephone call center with call blending. / A. Deslauriers, P. L'Ecuyer, J. Pichitlamken [et al.] // Computers & Operations Research.-2007.-Vol. 34,№6.-P. 1616-1645.-D0I:10.1016/j.cor.2005.06.019.

83. Di Crescenzo, A. Diffusion approximation to a queueing system with time-dependent arrival and service rates / A. Di Crescenzo, A.G. Nobile // Queueing Systems. - 1995. - Vol. 19. -P. 41-62. -D0I:10.1007/BF01148939.

84. Di Crescenzo, A. On the M/M/1 queue with catastrophes and its continuous approximation / A. Di Crescenzo, V. Giorno, A.G. Nobile, L.M. Ricciardi // Queueing Systems. - 2003. - Vol. 43. - P. 329-347. -D0I:10.1023/A:1023261830362.

85. Di Crescenzo, A. A Time-Non-Homogeneous Double-Ended Queue with Failures and Repairs and Its Continuous Approximation. / A. Di Crescenzo, V. Giorno, B. Krishna Kumar, A. G. Nobile // Mathematics. - 2018. - Vol. 6, № 5. - Article number 81. - 23p. - D0I:10.3390/math6050081.

86. Dudin, A. N. Queueing system with passive servers / A. N. Dudin, V. I. Klimenok // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. - 1996. - Vol. 9, № 2. -P. 185-204. -D0I:10.1155/S1048953396000184.

87. Dudin, A. N. Analysis of queueing model with processor sharing discipline and customers impatience / A. N. Dudin, S. A. Dudin, O. S. Dudina, K. E. Samouylov // Operations Research Perpsectives. - 2018. - Vol. 5. - P. 245-255.

- D0I:10.1016/j.orp.2018.08.003.

88. Dudin, A. N. The theory of queuing systems with correlated flows / A. N. Dudin, V. I. Klimenok, V. M. Vishnevsky. - Cham : Springer International Publishing, 2019.

- 410 p. - ISBN 978-3-030-32072-0. - D0I:10.1007/978-3-030-32072-0.

89. Erlang A. K. The theory of probabilities and telephone conversations / A. K. Erlang // Nyt Tidsskrift for Mathematik. - 1911. - Vol. 20. - P. 33-39.

90. Fendick, K. Heavy traffic limits for queues with non-stationary path-dependent arrival processes / K. Fendick, W. Whitt // Queueing Systems. - 2022. - Vol. 101, № 1.-P. 113-135. -D0I:10.1007/s11134-021-09728-5.

91. Gans, N. Telephone Call Centers: Tutorial, Review, and Research Prospects / N. Gans, G. Koole, A. Mandelbaum // Manufacturing & Service Operations Management. - 2003. - Vol. 5, № 2. - P. 79-141. -D0I:10.1287/msom.5.2.79.16071.

92. Giorno, V. On some time-non-homogeneous diffusion approximations to queueing systems / V. Giorno, A. G. Nobile, L. M. Ricciardi // Advances in Applied Probability. - 1987. - Vol. 19, №4. - P. 974-994. -DOI:10.2307/1427111.

93. Giorno, V. On some time non-homogeneous queueing systems with catastrophes / V. Giorno, A. G. Nobile, S. Spina// Applied Mathematics and Computation. - 2014. -Vol. 245. - P. 220-234. - D0I:10.1016/j.amc.2014.07.076.

94. Gnedenko, B. On the conditions of the existence of final probabilities for a Markov process / B. Gnedenko, A. Soloviev // Math. Oper. Stat. - 1973. - Vol. 4. - P. 379390.

95. Goswami, B. B. Improving synoptic and intraseasonal variability in CFSv2 via stochastic representation of organized convection / B. B. Goswami, B. Khouider, R. Phani, P. Mukhopadhyay, A. Majda // Geophysical Research Letters. - 2017.-Vol. 44, №2.-P. 1104-1113.-DOI:10.1002/2016GL071542.

96. Goswami, B. B. The Stochastic Multi-cloud Model (SMCM) Convective Parameterizationin the CFSv2: Scopes and Opportunities / B. B. Goswami, B. Khouider, R. Phani, P. Mukhopadhyay, A. J. Majda - Current Trends in the Representation of Physical Processes in Weather and Climate Models. Springer Atmospheric Sciences. Springer, Singapore, 2019. - P. 157-181. -DOI:10.1007/978-981-13-3396-5 8.

97. Granovsky, B. L. Nonstationary queues: Estimation of the rate of convergence / B. L. Granovsky, A. Zeifman // Queueing Systems. - 2004. - Vol. 46, № 3-4. - P. 363-388.-DOI:10.1023/b:ques.0000027991.19758.b4.

98. Green, L. V. Coping with time-varying demand when setting staffing requirements for a service system / L. V. Green, P. J. Kolesar, W. Whitt // Production & Operations Management.-2007.-Vol. 16, № 1.-P. 13-39. - DOI:10.1111/j.1937-5956.2007.tb00164.x.

99. Griffeath, D. Uniform coupling of nonhomogeneous Markov chains / D. Griffeath // Journal of Applied Probability. - 1975. - Vol. 12, № 4. - P. 753-762. -DOI:10.2307/3212726.

100. Harrison, P. G. Turning back time in Markovian process algebra / P. G. Harrison // Theoretical Computer Science. - 2003. - Vol. 290, № 3. - P. 1947-1986. -DOI:10.1016/S0304-3975(02)00375-4.

101. Harrison, P. G. Product-forms in multi-way synchronizations. / P. G. Harrison, A. Marin // The Computer Journal. - 2014. - Vol. 57, № 11. - P. 1693-1710. -DOI:10.1093/comjnl/bxt103.

102. Ingolfsson, A. A survey and experimental comparison of service-levelapproximation methods for nonstationary M(t)/M/s(t) queueing systems with exhaustive discipline / A. Ingolfsson, E. Akhmetshina, S. Budge, Y. Li, X. Wu // INFORMS Journal on Computing. - 2007. - Vol. 19, № 2. - P. 201-214. -DOI:10.1287/ijoc.1050.0157.

103. Ingolfsson, A. Combining integer programming and the randomization method to schedule employees / A. Ingolfsson, F. Campello, X. Wu, E. Cabral // European Journal of Operational Research. - 2010. - Vol. 202, № 1. - P. 153-163. -DOI:10.1016/j.ejor.2009.04.026.

104. Jacka, S.D. Weak convergence of conditioned processes on a countable state space / S.D. Jacka, G.O. Roberts // Journal of Applied Probability. - 1995. - Vol. 32, № 4. - P. 902-916. -DOI:10.2307/3215203.

105. Johnson, J. Conditions for strong ergodicity using intensity matrices / J. Johnson, D. Isaacson // Journal of Applied Probability. - 1988. - Vol. 25, № 1. - P. 34-42. -D0I:10.2307/3214231.

106. Jonckheere, M. Stability of multi-dimensional birth-and-death processes with state-dependent 0-homogeneous jumps / M. Jonckheere, S. Shneer // Advances in Applied Probability. - 2014. - Vol. 46, № 1. - P. 59-75.

107. Junping, L. The Decay Parameter and Invariant Measures for Markovian Bulk-Arrival Queues with Control at Idle Time / L. Junping, C. Anyue // Methodology and Computing in Applied Probability. - 2013. - Vol. 15. - P. 467-484. -D0I:10.1007/s11009-011-9252-9.

108. Kanavetas, O. The "Sensitive" Markovian queueing system and its application for a call center problem / O. Kanavetas, B. Balciog Lu // Annals of Operations Research. -2022. - Vol. 317, №2. - P. 651-664. -DOI:10.1007/s10479-018-2802-6.

109. Kartashov, N. V. Strong stable Markov chains / N. V. Kartashov // Strong Stable Markov Chains, 2019. - P. 1-138. - DOI:10.1515/9783110917765.

110. Kelly, F. P. (2011). Reversibility and stochastic networks / F. P. Kelly // Journal of the American Statistical Association. - 1981. - Vol. 76, № 374. - P. 492-493. -DOI:10.2307/2287860.

111. Kiseleva, K. On the null ergodicity bounds for a retrial queueing model / K. Kiseleva, Y. Satin, A. Korotysheva [et al.] // AIP Conference Proceedings. Rhodes, Greece, September 19-25, 2016. - Rhodes, 2017. - P. 090007. -DOI:10.1063/1.4992272.

112. Kiseleva, K. M. On Truncations for a Retrial Queueing Model / K. M. Kiseleva, Y. A. Satin, A. I. Zeifman // Journal of Mathematical Sciences. - 2018. - Vol. 234, №6.-P. 786-792.-DOI:10.1007/s10958-018-4045-0.

113. Klimenok, V. I. Retrial BMAP/PH/N Queueing System with a Threshold-Dependent Inter-Retrial Time Distribution / V. I. Klimenok, A. N. Dudin, V. M. Vishnevsky, O. V. Semenova // Mathematics. - 2022. - Vol. 10, № 2. -DOI:10.3390/math10020269.

114. Kochetkova, I. Convergence bounds for limited processor sharing queue with impatience for analyzing non-stationary file transfer in wireless network / I. Kochetkova, E. Makeeva, A. Chursin [et al.] // Mathematics. - 2022. - Vol. 10, № 1. -D01:10.3390/math10010030.

115. Kolmogoroff, A. Sur le problème d'attente / A. Kolmogoroff // Математический сборник.-1931.-Т. 38.-С. 101-106.

116. Kryukova, A. Application of Method of Differential Inequalities to Bounding the Rate of Convergence for a Class of Markov Chains / A. Kryukova, V. Oshushkova, Y. Satin, A. Zeifman // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics : 4th. Lisbon, Portugal, July 01-05, 2019. - Lisbon, 2020. - P. 95-103. -D0I:10.1007/978-3-030-56323-3_8.

117. Ledermann, W. Spectral theory for the differential equations of simple birth and death processes / W. Ledermann, G. E. H. Reuter // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. - 1954. - Vol. 246, № 914. - P. 321-369. -D0I:10.1098/rsta.1954.0001.

118. Lee, C. On moment stability properties for a class of state-dependent stochastic networks / C. Lee // Journal of the Korean Statistical Society. - 2011. - Vol. 40, № 3. - P. 325-336. - D0I:10.1016/j.jkss.2010.12.003.

119. Leorato, S. On some limits for nonhomogeneous birth and death processes / S.Leorato, E.Orsingher, Ya.Satin, G.Shilova, A. Zeifman // Trans. 24 Seminar of Stability Problems for Stochastic Models, Jurmala. - Latvia, 2004. - P. 52-53.

120. Mandelbaum, A. Strong approximations for time-dependent queues / A. Mandelbaum, W. Massey // Mathematics of Operations Research. - 1995. - Vol. 20, № 1.-P. 33-64.

121. Marin, A. LB-networks: a model for dynamic load balancing in queueing networks / A. Marin, S. Balsamo, J. M. Fourneau // Performance Evaluation. - 2017. - Vol. 115.-P. 38-53.-D0I:10.1016/j.peva.2017.06.004.

122. Marin A., A queueing model that works only on biggest jobs / A. Marin, S. Rossi // Lecture notes in computer science ser. Springer. - 2020. - Vol. 12039. - P. 118-132.

123. Markova, E. Queuing system with unreliable servers and inhomogeneous intensities for analyzing the impact of non-stationarity toperformance measures of wireless network under licensed shared access / E. Markova, I. Kochetkova, Y. Satin [et al.] // Mathematics. - 2020. - Vol. 8, № 5. - P. 800. -DOI:10.3390/MATH8050800.

124. Margolius, B. H. A sample path analysis of the Mt/Mt/c queue / B. H. Margolius // Queueing Systems. - 1999. - Vol. 31, № 1-2. - P. 59-93.

125. Massey, W.A. An analysis of the modified offered-load approximation for the nonstationary Erlang loss model / W.A. Massey, W. Whitt // The Annals of Applied Probability. - 1994. - Vol. 4, № 4. - P. 1145-1160.

126. Massey, W. A. Uniform acceleration expansions for Markov chains with time-varying rates / W. A. Massey, W. Whitt // The Annals of Applied Probability. -1998.-Vol. 8, №4.-P. 1130-1155.

127. Meyn, S. P. Stability of Markovian processes II: Continuous-time processes and sampled chains / S. P. Meyn, R. L. Tweedie // Advances in Applied Probability. -1993. - Vol. 25, № 3. - P. 487-517. - DOI:10.2307/1427521.

128. Meyn, S. P. Stability of Markovian processes III: Foster-Lyapunov criteria for continuous time processes / S. P. Meyn , R. L. Tweedie // Advances in Applied Probability. - 1993. - Vol. 25, № 3. - P. 518-548. -DOI:10.2307/1427522.

129. Meyn, S. Markov chains and stochastic stability, second edition / S. Meyn, R. L. Tweedie // Markov Chains and Stochastic Stability, Second Edition, 2009. - P. 1-504.-DOI:10.1017/CBO9780511626630.

130. Mitrophanov, A. Yu. Stability and exponential convergence of continuous-time Markov chains / A. Yu. Mitrophanov // Journal of Applied Probability. - 2003. -Vol. 40, № 4. - P. 970-979. - DOI:10.1239/jap/1067436094.

131. Miyazawa, M. Stability of a cascade system with two stations and its extension for multiple stations / M. Miyazawa, E. V. Morozov // Queueing Systems. - 2023. -Vol. 104, № 3-4. - P. 155-174. - DOI:10.1007/s11134-023-09883-x.

132. Natvig, B. On the transient state probabilities for a queueing model where potential customers are discouraged by queue length. / B. Natvig // Journal of Applied Probability. - 1974. - Vol. 11, №2. - P. 345-354. -D01:10.2307/3212755.

133. Naumov, V. Matrix and analytical methods for performance analysis of telecommunication systems / V. Naumov, Y. Gaidamaka, N. Yarkina, K. Samouylov - Springer Nature, 2022. - 308 p.

134. Nazarov, A. Mathematical model of call center in the form of multi-server queueing system / A. Nazarov, A. Moiseev, S. Moiseeva // Mathematics. - 2021. -Vol. 9, № 22. - D0I:10.3390/math9222877.

135. Neuts, M. F. Matrix-analytic methods in queuing theory / M. F. Neuts // European Journal of Operational Research. - 1984. - Vol. 15, № 1. - P. 2-12. -D0I:10.1016/0377-2217(84)90034-1.

136. Neuts M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models: an algorithmic approach / M.F. Neuts - Courier Corporation, 1994. - 332 p.

137. Newell, G. F. Queues with Time-Dependent Arrival Rates: III. A Mild Rush Hour / G. F. Newell // Journal of Applied Probability. - 1968. - Vol. 5, № 3.- P. 591-606. -D0I:10.2307/3211924.

138. Pakes, A. G. Limit theorems for the population size of a birth and death process allowing catastrophes / A. G. Pakes // Journal of Mathematical Biology. - 1987. -Vol. 25, № 3. - P. 307-325. - D0I:10.1007/BF00276439.

139. Parthasarathy, P. R. Density-dependent birth and death processes with state-dependent immigration / P. R. Parthasarathy, B. Krishna Kumar // Mathematical and Computer Modelling. - 1991. - Vol. 15, № 1. - P. 11-16. -D0I:10.1016/0895-7177(91)90012-V.

140. Parthasarathy, P. R. Transient analysis of a queue where potential customers are discouraged by queue length / P. R. Parthasarathy, N. Selvaraju // Mathematical Problems in Engineering. - 2001. - Vol. 7. - P. 433-454. -D0I:10.1155/S1024123X01001727.

141. Polin, E. P. Heterogeneous queueing system with Markov renewal arrivals and service times dependent on states of arrival process / E. P. Polin, S. P. Moiseeva, A.

N. Moiseev // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. -2023.-Vol. 31, №2.-P. 105-119. -DOI:10.22363/2658-4670-2023-31-2-105-119.

142. Reynolds, J.E. The stationary solution of a multiserver queueing model with discouragement. / J.E. Reynolds // Operations Research. - 1968. - Vol. 16, № 1. -P. 64-71.

143. Samouylov, K. Analysis of Multi-Server Queueing System with Flexible Priorities / K. Samouylov, O. Dudina, A. Dudin // Mathematics. - 2023. - Vol. 11, № 4. - P. 1040. -D01:10.3390/math11041040.

144. Satin, Y. A. On the rate of convergence and truncations for a class of Markovian queueing systems / Y. A. Satin, A. V. Korotysheva, A. I. Zeifman // Theory of Probability and its Applications. - 2013. - Vol. 57, № 3. - P. 529-539. -D0I:10.1137/S0040585X97986151.

145. Satin, Y. A. On certain average characteristics of finite continuous-time Markov chains / Y. A. Satin, A. I. Zeifman // Journal of Mathematical Sciences. - 2015. -Vol. 205, № 1. -P. 100-104. -D0I:10.1007/s10958-015-2234-7.

146. Satin, Y. On truncations for a class of finite Markovian queuing models / Y. Satin, A. Zeifman, A. Korotysheva [et al.] // 29th European Conference on Modelling and Simulation (ECMS 2015) : Proceedings. Albena (Varna), Bulgaria, May 2629, 2015. - Albena (Varna), Bulgaria: Curran Associates, Inc, 2015. - P. 626-630. -DOI:10.7148/2015-0626.

147. Satin, Y. Two-sided truncations of inhomogeneous birth-death processes / Y. Satin, A. Korotysheva, K. Kiseleva [et al.] // Proceedings - 30th European Conference on Modelling and Simulation ECMS 2016. Regensburg, Germany. May 31-June 3, 2016. - Regensburg, 2016. - P. 663-668. -DOI:10.7148/2016-0663.

148. Satin, Y. A. On the Estimates of Average Characteristics of Some Birth and Death Processes / Y. A. Satin, A. I. Zeifman // Journal of Mathematical Sciences. - 2017. -Vol. 220, №6.-P. 734-741.-DOI:10.1007/s10958-016-3217-z.

149. Satin, Y. Two-sided truncations for a class of continuous-time markov chains / Y. Satin, A. Zeifman, A. Korotysheva, K. Kiseleva // Communications in Computer

and Information Science. - 2017. - Vol. 800. - P. 312-323. -D0I:10.1007/978-3-319-68069-9_25.

150. Satin, Y. Two-sided truncations for the Mt|Mt|S queueing model / Y. Satin, A. Korotysheva, G. Shilova [et al.] // 31st European Conference on Modelling and Simulation ECMS 2017 : Proceedings. Budapest, Hungary, May 23-26, 2017. -Budapest, 2017. - P. 635-641. - D0I:10.7148/2017-0635.

151. Satin, Y. Upper bounds on the rate of convergence for constant retrial rate queueing model with two servers / Y. Satin, A. Zeifman, K. Kiseleva [et al.] // Statistical Papers. -2018. - Vol. 59, №4. - P. 1271-1282. -D0I:10.1007/s00362-018-1014-0.

152. Satin, Ya. On the Rate of Convergence and Limiting Characteristics for a Nonstationary Queueing Model / Ya. Satin, A. Zeifman, A. Kryukova // Mathematics. - 2019. - Vol. 7, № 8. - P. 678. - D0I:10.3390/math7080678.

153. Satin, Y. On probability characteristics for a class of queueing models with impatient customers / Y. Satin, A. Sipin, A. Zeifman [et al.] // Mathematics. - 2020. - Vol. 8, № 4. - P. 594. - D0I:10.3390/math8040594.

154. Satin, Ya. Numerical Computation of Distributions in Finite-State Inhomogeneous Continuous Time Markov Chains, Based on Ergodicity Bounds and Piecewise Constant Approximation / Ya. Satin, R. Razumchik, I. Usov, A. Zeifman // Mathematics. -2023. - Vol. 11, №20. - P. 4265. -D0I:10.3390/math11204265.

155. Satin, Y. A. Upper bound on the rate of convergence and truncation bound for non-homogeneous birth and death processes on Z / Y. A. Satin, I. A. Kovalev, R. V. Razumchik, A. I. Zeifman // Applied Mathematics and Computation. - 2022. -Vol. 423. - P. 127009. -D0I:10.1016/j.amc.2022.127009.

156. Schwarz, J. A. Performance analysis of time-dependent queueing systems: Survey and classification / J. A. Schwarz, G. Selinka, R. Stolletz // Omega. - 2016. - Vol. 63.-P. 170-189.-D0I:10.1016/j.omega.2015.10.013.

157. Scott, M. Proportional intensities and strong ergodicity for Markov processes / M. Scott, D. L. Isaacson // Journal of Applied Probability. - 1983. - Vol. 20, № 1. - P. 185-190. -D0I:10.2307/3213734.

158. Seneta, E. Non-negative Matrices and Markov Chains / E. Seneta. - Springer Science & Business Media, 2006. - 281 p.

159. Sinitcina, A. On the bounds for a two-dimensional birth-death process with catastrophes / A. Sinitcina, Y. Satin, G. Shilova [et al.] // Mathematics. - 2018. - Vol. 6, № 5. - P. 80. - D0I:10.3390/math6050080.

160. Stadje, W. A note on the simple queue with variable intensities and two servers / W. Stadje // Operations Research Letters. - 1990. - Vol. 9, № 1. - P. 45-49. -D0I:10.1016/0167-6377(90)90039-8.

161. Stepanov, S. N. Markov models with retrials: The calculation of stationary performance measures based on the concept of truncation / S. N. Stepanov // Mathematical and Computer Modelling. - 1999. - Vol. 30, № 3-4. - P. 207-228. -D0I:10.1016/S0895-7177(99)00143-0.

162. Stevens-Navarro, E. Connection admission control for multiservice integrated cellular/WLAN system / E. Stevens-Navarro, A. H. Mohsenian-Rad, V. W. Wong // IEEE Transactions on Vehicular Technology. - 2008. - Vol. 57, № 6. - P. 37893800. - D0I:10.1109/TVT.2008.920475.

163. Stolletz, R. Approximation of the non-stationary M(t)/M(t)/c(t)-queue using stationary queueing models: The stationary backlog-carryover approach / R. Stolletz // European Journal of Operational Research. - 2008. - Vol. 190, № 2. - P. 478-493. -D0I:10.1016/j.ejor.2007.06.036.

164. Thompson, G. M. Accounting for the multi-period impact of service when determining employee requirements for labor scheduling / G. M. Thompson // Journal of Operations Management. - 1993. - Vol. 11, № 3. - P. 269-287. -D0I:10.1016/0272-6963(93)90004-9.

165. Tweedie, R. L. Sufficient conditions for ergodicity and recurrence of Markov chains on a general state space / R. L. Tweedie // Stochastic Processes and their Applications. - 1975. - Vol. 3, № 4. - P. 385-403. - DOI:10.1016/0304-4149(75)90033-2.

166. Tweedie, R.L.: Truncation approximations of invariant measures for Markov chains / R. L. Tweedie // Journal of Applied Probability. - 1998. - Vol. 35, № 3. -P. 517-536.

167. Ushakov, V. G. On queue length in a queueing system with Erlang incoming flow / V. G. Ushakov, N. G. Ushakov // Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. - 2016. - Vol. 40, № 3. - P. 118-122. -D0I:10.3103/S0278641916030079.

168. Usov, I. Ergodicity Bounds and Limiting Characteristics for a Modified Prendiville Model /1. Usov, Ya. Satin, A. Zeifman, V. Korolev // Mathematics. - 2022. - Vol. 10, №23. - P. 4401. -D0I:10.3390/math10234401.

169. Van Dijk, N. M. Truncation of Markov Chains with Applications to Queueing / van Dijk, N. M. // Operations Research. - 1991. - Vol. 39, № 6. - P. 1018-1026.

170. Van Dijk, N.M. Uniformization: Basics, extensions and applications / N.M. van Dijk, S.P.J. van Brummelen, R.J. Boucherie // Performance Evaluation. - 2018. -Vol. 118.-P. 8-32. - DOI:10.1016/j.peva.2017.09.008.

171. Van Doorn, E.A. Stochastic Monotonicity and Queueing Applications of BirthDeath Processes / E. A. van Doorn. - 1981. - 118 p. - DOI:10.1007/978-1-4612-5883-4. - (Lecture Notes in Statistics. - Vol.4.).

172. Van Doorn, E. A. The transient state probabilities for a queueing model where potential customers are discouraged by queue length / E. A. Van Doorn // Journal of Applied Probability. - 1981. - Vol. 18, №2. - P. 499-506. -DOI:10.2307/3213296.

173. Van Doorn, E. A. Conditions for exponential ergodicity and bounds for the decay parameter of a birth-death process / E. A. Van Doorn // Advances in Applied Probability. - 1985. - Vol. 17, № 3. - P. 514-530. -DOI:10.2307/1427118.

174. Van Doorn, E. A. On the speed of convergence to stationarity of the Erlang loss system / E. A. Van Doorn, A. I. Zeifman // Queueing Systems. - 2009. - Vol. 63, № 1. -P. 241-252. -DOI:10.1007/s11134-009-9134-9.

175. Van Doorn, E. A. Bounds and asymptotics for the rate of convergence of birth-death processes / E. A. Van Doorn, A. I. Zeifman, T. L. Panfilova // Theory

of Probability and its Applications. - 2010. - Vol. 54, № 1. - P. 97-113. -DOI:10.1137/S0040585X97984097.

176. Vishnevsky, V. M. Performance analysis of the BMAP/G/1 queue with gated servicing and adaptive vacations / V. M. Vishnevsky, O. V. Semenova, A. N. Dudin, V. I. Klimenok // Performance Evaluation. - 2011. - Vol. 68, № 5. - P. 446-462. -DOI:10.1016/j.peva.2011.02.003.

177. Whitt, W. Engineering solution of a basic call-center model / W. Whitt // Management Science. - 2005. - Vol. 51, № 2. - P. 221-235. -DOI:10.1287/mnsc.1040.0302.

178. Zeifman, A. I. Stability for contionuous-time nonhomogeneous Markov chains / A. I. Zeifman // Lecture Notes in Mathematics. - 1985. - Vol. 1155. - P. 401-414.

179. Zeifman, A. I. Truncation error in a birth and death system / A. I. Zeifman // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1988. - Vol. 28, № 6. -P. 210-211.

180. Zeifman, A. I. Quasi-ergodicity for nonhomogeneous continuous-time Markov chains / A. I. Zeifman // Journal of Applied Probability. - 1989. - Vol. 26, № 4. -P. 643-648.

181. Zeifman, A. I. On strong ergodicity for nonhomogeneous continuous-time Markov chains / A. I. Zeifman, D. Isaacson // Stochastic Processes and their Applications. - 1994. - Vol. 50, № 2. - P. 263-273.

182. Zeifman, A. I. On the estimation of probabilities for birth and death processes / A. I. Zeifman // Journal of Applied Probability. - 1995. - Vol. 32, № 3. - P. 623-634.

183. Zeifman, A. I. Upper and lower bounds on the rate of convergence for nonhomogeneous birth and death processes / A. I. Zeifman // Stochastic Processes and their Applications. - 1995. - Vol. 59, № 1. - P. 157-173.

184. Zeifman, A. I. Stability of birth-and-death processes / A. I. Zeifman // Journal of Mathematical Sciences. - 1998. - Vol. 91, № 3. - P. 3023-3031. -DOI:10.1007/BF02432876.

185. Zeifman, A. Some universal limits for nonhomogeneous birth and death processes / A. Zeifman, Ya. Satin, G. Shilova [et al.] // Queueing Systems. - 2006. - Vol. 52, №2.-P. 139-151. -D0I:10.1007/s11134-006-4353-9.

186. Zeifman, A.I. Mean characteristics of Markov queueing systems / A. I. Zeifman, Ya. A. Satin // Automation and Remote Control. - 2007. - Vol. 68. - P. 1583-1593. - D0I:10.1134/S0005117907090135

187. Zeifman, A. Some bounds for almost absorbing birth and death processes with catastrophes / A.Zeifman, A. Chegodaev, Ya. Satin // Pliska Studia Mathemathica Bulgarica. - 2009. - Vol. 19. - P. 293-306.

188. Zeifman, A. On stability for Mt/Mt/N/N queue / A. Zeifman, A. Korotysheva, Y. Satin //2010 International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops, ICUMT 2010. Moscow, Russia, October 18-20, 2010.-Moscow, 2010.-P. 1102-1105.-DOI:10.1109/ICUMT.2010.5676515.

189. Zeifman, A. Perturbation bounds for Mt/Mt/N queue with catastrophes / A. Zeifman, A. Korotysheva // Stochastic Models. - 2012. - Vol. 28, № 1. - P. 49-62.-DOI:10.1080/15326349.2011.614900.

190. Zeifman, A. On a queueing model with group services / A. Zeifman, A. Korotysheva, Y. Satin [et al.] // Communications in Computer and Information Science. -2013. - Vol. 356. - P. 198-205. -DOI:10.1007/978-3-642-35980-4_22.

191. Zeifman, A. On Mt/Mt/S type queue with group services / A. Zeifman, Y. Satin, G. Shilova [et al.] // Proceedings - 27th European Conference on Modelling and Simulation, ECMS 2013. Aalesund, Norway, May 27-30, 2013. - Alesund, 2013. -P. 604-609. -DOI:10.7148/2013-0604.

192. Zeifman, A. Limiting characteristics for finite birth-death-catastrophe processes / A. Zeifman, Y. Satin, T. Panfilova // Mathematical Biosciences. - 2013. - Vol. 245, № 1.-P. 96-102.-DOI:10.1016/j.mbs.2013.02.009.

193. Zeifman, A. On truncations for SZK model / A. Zeifman, Y. Satin, G. Shilova [et al.] // Proceedings - 28th European Conference on Modelling and Simulation, ECMS 2014. Brescia, Italy, May 27-30, 2014. - Brescia, 2014. - P. 577-582. -DOI:10.7148/2014-0577.

194. Zeifman, A. Perturbation bounds and truncations for a class of Markovian queues / A. Zeifman, Y. Satin, A. Korotysheva [et al.] // Queueing Systems. - 2014. - Vol. 76, №2.-P. 205-221. -D01:10.1007/s11134-013-9388-0.

195. Zeifman, A. On truncations for weakly ergodic inhomogeneous birth and death processes / A. Zeifman, Y. Satin, V. Korolev, S. Shorgin // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. - 2014. - Vol. 24, № 3. - P. 503-518. - D0I:10.2478/amcs-2014-0037.

196. Zeifman, A. Ergodicity and perturbation bounds for inhomogeneous birth and death processes with additional transitions from and to the origin / A. Zeifman, A. Korotysheva, Y. Satin [et al.] // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. - 2015. - Vol. 25, № 4. - P. 787-802. - D0I:10.1515/amcs-2015-0056.

197. Zeifman, A. I. Two-sided bounds on the rate of convergence for continuous-time finite inhomogeneous Markov chains / A. I. Zeifman, V. Y. Korolev // Statistics & Probability Letters. - 2015. - Vol. 103. - P. 30-36. -D0I:10.1016/j.spl.2015.04.013.

198. Zeifman, A. I. Estimation of Probabilities for Multidimensional Birth-Death Processes / A. I. Zeifman, A. S. Sipin, A. V. Korotysheva, Y. A. Satin [et al.] // Journal of Mathematical Sciences. - 2016. - Vol. 218, № 2. - P. 238-244. -D0I:10.1007/s10958-016-3025-5.

199. Zeifman, A. On the ergodicity bounds for a constant retrial rate queueing model / A. Zeifman, Y. Satin, A. Gorshenin [et al.] // 8th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). Lisbon, Portugal, October 18-20, 2016. - Lisbon, Portugal: Institute of Electrical and Electronics Engineers, 2016. - P. 269-272. -D0I:10.1109/ICUMT.2016.7765369.

200. Zeifman, A. I. Ergodicity bounds for birth-death processes with particularities / A. I. Zeifman, Y. Satin, A. Korotysheva [et al.] // AIP Conference Proceedings. Rhodes, Greece, September 23-29, 2015. - Rhodes, 2016. - P. 220006. -D0I:10.1063/1.4952005.

201. Zeifman, A. Uniform in time bounds for "no-wait"probability in queues of Mt/Mt/S type / A. Zeifman, A. Korotysheva, Y. Satin [et al.] // Proceedings - 30th European Conference on Modelling and Simulation, ECMS 2016. Regensburg, Germany, May 31-June 3, 2016. - Regensburg, 2016. - P. 676-684. -D01:10.7148/2016-0676.

202. Zeifman, A. I. On a class of Markovian queuing systems described by inhomogeneous birth-and-death processes with additional transitions / A. I. Zeifman, Y. A. Satin, A. V. Korotysheva [et al.] // Doklady Mathematics. - 2016. -Vol. 94, № 2. - P. 502-505.-D0I:10.1134/S1064562416040177.

203. Zeifman, A. Bounds for markovian queues with possible catastrophes / A. Zeifman, A. Korotysheva, Y. Satin [et al.] // 31st European Conference on Modelling and Simulation ECMS 2017. Budapest, Hungary, May 23-26, 2017. -Budapest, 2017. - P. 628-634. -D0I:10.7148/2017-0628.

204. Zeifman, A. I. Truncation bounds for approximations of inhomogeneous continuous-time Markov chains / A. I. Zeifman, A. V. Korotysheva, Y. A. Satin, V. Y. Korolev // Theory of Probability and its Applications. - 2017. - Vol. 61, № 3. -P. 513-520. -D0I:10.1137/S0040585X97T988320.

205. Zeifman, A. Ergodicity and truncation bounds for inhomogeneous birth and death processes with additional transitions from and to origin / A. Zeifman, A. Korotysheva, Y. Satin [et al.] // Stochastic Models. - 2017. - Vol. 33, № 4. - P. 598-616.-D0I:10.1080/15326349.2017.1362654.

206. Zeifman, A. On Ergodic Properties of Projections for Multidimensional Birth-Death Processes / A. Zeifman, Ya. Satin, G. Shilova, S. Shorgin // Прикладные проблемы в теории вероятностей и математической статистике в области телекоммуникаций = Applied Problems in Theory of Probabilities and Mathematical Statistics into Telecommunications : Труды XI Международного семинара, Италия, 09-13 октября 2017 года / Под редакцией Д. Аранити, К.Е. Самуйлова, С.Я. Шоргина. - Италия: Российский университет дружбы народов (РУДН), 2017. - P. 19.

207. Zeifman, A. On Sharp Bounds on the Rate of Convergence for Finite Continuous-Time Markovian Queueing Models / A. Zeifman, A. Sipin, G. Shilova [et al.] //

Lecture Notes in Computer Science. - 2018. - Vol. 10672 LNCS. - P. 20-28. -DOI:10.1007/978-3-319-74727-9_3.

208. Zeifman, A. On a Method of Bounding the Rate of Convergence for Finite Markovian Queues / A. Zeifman, K. Kiseleva, Y. Satin [et al.] // International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops. Moscow, Russia, November 05-09, 2018. - Moscow: IEEE Computer Society, 2018.-P. 8631216.-D0I:10.1109/ICUMT.2018.8631216.

209. Zeifman, A. Bounds on the rate of convergence for one class of inhomogeneous Markovian queueing models with possible batch arrivals and services / A. Zeifman, Y. Satin, K. Kiseleva [et al.] // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. - 2018. - Vol. 28, № 1. - P. 141-154. - D0I:10.2478/amcs-2018-0011.

210. Zeifman, A. I. Lower bounds for the rate of convergence for continuous-time inhomogeneous Markov chains with a finite state space / A. I. Zeifman, Y. A. Satin, V. Y. Korolev, K. M. Kiseleva// Statistics & Probability Letters. - 2018. - Vol. 137. -P. 84-90.-D0I:10.1016/j.spl.2018.01.001.

211. Zeifman, A. Applications of differential inequalities to bounding the rate of convergence for continuous-time Markov chains / A. Zeifman, Y. Satin, K. Kiseleva, A. Kryukova // AIP Conference Proceedings : International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics (ICNAAM). Rhodes, Greece, September 13-18,2018. - Rhodes, Greece: AIP Publishing, 2019. - Vol. 2116. - P. 090009.-D0I:10.1063/1.5114074.

212. Zeifman, A. I. On the Rate of Convergence for a Characteristic of Multidimensional Birth-Death Process / A. I. Zeifman, Ya. A. Satin, K. M. Kiseleva, V. Korolev // Mathematics. - 2019. - Vol. 7, № 5. - P. 477. -D0I:10.3390/math7050477.

213. Zeifman, A. On limiting characteristics for a non-stationary two-processor heterogeneous system / A. Zeifman, Y. Satin, K. Kiseleva [et al.] // Applied Mathematics and Computation. - 2019. - Vol. 351. - P. 48-65. -D0I:10.1016/j.amc.2019.01.032.

214. Zeifman, A. Bounds on the Rate of Convergence for Nonstationary MX/Mn/1 Queue with Catastrophes and State-Dependent Control at Idle Time / A. Zeifman, Y. Satin, K. Kiseleva [et al.] // Lecture Notes in Computer Science. - 2020. - Vol. 12013 LNCS. - P. 143-149. -DOI:10.1007/978-3-030-45093-9_18.

215. Zeifman, A. Bounding the Rate of Convergence for One Class of Finite Capacity Time Varying Markov Queues / A. Zeifman, Y. Satin, A. Kryukova [et al.] // Lecture Notes in Computer Science. - 2020. - Vol. 12039 LNCS. - P. 148-159.

- DOI:10.1007/978-3-030-44411-2_10.

216. Zeifman, A. Convergence Rate Estimates for Some Models of Queuing Theory, and Their Applications / A. Zeifman, Y. Satin, A. Kryukova [et al.] // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics : 4th. Lisbon, Portugal, July 01-05,2019. -Lisbon, 2020. -P. 41-51. -DOI:10.1007/978-3-030-56323-3_4.

217. Zeifman, A. Two approaches to the construction of perturbation bounds for continuous-time Markov chains / A. Zeifman, Y. Satin, V. Korolev // Mathematics.

- 2020. - Vol. 8, № 2. - P. 253. - DOI:10.3390/math8020253.

218. Zeifman, A. I. On obtaining sharp bounds of the rate of convergence for a class of continuous-time Markov chains / A. I. Zeifman, Y. A. Satin, K. M. Kiseleva // Statistics & Probability Letters. - 2020. - Vol. 161. - P. 108730. -DOI:10.1016/j.spl.2020.108730.

219. Zeifman, A. On Three Methods for Bounding the Rate of Convergence for Some Continuous-Time Markov Chains / A. Zeifman, Y. Satin, A. Kryukova [et al.] // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. - 2020. -Vol. 30, № 2. - P. 251-266. - DOI:10.34768/amcs-2020-0020.

220. Zeifman, A. Facilitating numerical solutions of inhomogeneous continuous time markov chains using ergodicity bounds obtained with logarithmic norm method / A. Zeifman, R. Razumchik, V. Korolev [et al.] // Mathematics. - 2021. - Vol. 9, № 1. -P. 1-20. -DOI:10.3390/math9010042.

221. Zeifman, A. I. Ergodicity bounds for the Markovian queue with time-varying transition intensities, batch arrivals and one queue skipping policy / A. I. Zeifman, R. V. Razumchik, Y. A. Satin, I. A. Kovalev // Applied Mathematics and Computation. -2021.-Vol. 395.-P. 125846. -DOI:10.1016/j.amc.2020.125846.

222. Zeifman, A. Ergodicity and perturbation bounds for Mt/ Mt/1 queue with balking, catastrophes, server failures and repairs / A. Zeifman, I. Kovalev, Y. Satin, S. I. Ammar // RAIRO. Recherche Operationnelle. - 2021. - Vol. 55, № 4. - P. 22232240. -D0I:10.1051/ro/2021101.

223. Zeifman, A. Bounds on the rate of convergence for Mxt/MXt/1 queueing models / A. Zeifman, Y. Satin, A. Sipin // Mathematics. - 2021. - Vol. 9, № 15. -DOI:10.3390/math9151752.

224. Zhang, J. The transient solution of time-dependent M/M/1 queues / J. Zhang, E. J. Coyle // IEEE Transactions on Information Theory. - 1991. - Vol. 37, № 6. - P. 1690-1696. - DOI:10.1109/18.104335.

225. Zhang, L. The M/M/c queue with mass exodus and mass arrivals when empty / L. Zhang, J. Li // Journal of Applied Probability. - 2015. - Vol. 52, № 4. - P. 990-1002. -DOI:10.1239/jap/1450802748.

Приложение A

(справочное)

Базовые определения, вспомогательные теоремы и неравенства

A1 Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве

Пусть Ф - банахово пространство. Рассмотрим дифференциальное уравнение в нём

| = A(t)y(t) + f(t) (A.1)

и соответствующее ему однородное

dx

- = A(t)x(t). (A.2)

Назовем U (t, т) - оператором Коши дифференциальных уравнений, где

t t s

и (t, т ) = I + J A(s)ds + J A(s) j A(si)dsi ds + ... (A.3)

T T T

Далее везде считаем что sup || A(t) || ограничен неким конечным числом.

t>0

Утверждение 12. Пусть A(t), f(t) -локально интегрируемы, т > 0 и y* Е Ф. Тогда существует, причём единственная y(t), определённая на [т, ж) и такая, что:

1). у(т) = y*;

2). y(t) непрерывна при всех t > т и дифференцируема почти при всех t > т

3). (A.1) выполняется почти при всех t > т

Утверждение 13. Пусть A(t), f(t) -локально интегрируемы, т > 0 и x*, y* Е Ф. Тогда существуют единственные x(t) и y(t), определённые на [т, ж) и такие, что:

1)^(т )= x*, у(т )= y*,

2).x(t) = U (^т )x(т),

3).y(t) = U(t^)у(т) + } U(t,s)f(s)ds

T

Доказательство этих утверждений приводится в [9] .

A2 Логарифмическая норма и сопутствующие неравенства

Рассмотрим систему

£ = Ait). (А.4) Тогда по теореме 13 получаем:

x(t) = U{t, 0)x(0) (А.5) Определение 8. Число (оно всегда существует)

Y At)) = Ш ^^ (А.6)

называется логарифмической нормой матрицы A(t).

Важно отметить, что логарифмическая норма задаваемая матрицей A(t) = aij(t) в пространстве l\, вычисляется по формуле

Y(A(t)) = sup I a3J(t) + Y, \aijШ ) (A.7)

j \ i=j J

При этом для оператора Коши U (t,s) соответствующего дифференциального уравнения справедливо неравенство

\\U (t,s)\\< expQ^ Y (A(t)) dr^J , t > s > 0 (A.8) И получаем неравенство

\\x(t)\\ < \\x(0)\\ expf i y (A(t )) dA (A.9)

о

Приложение Б

(справочное)

Матрица D(A - C)D-1

о о

о о

о о

-s¿

о о

-s¿

-s¿

о;

-s¿

-s¿

-s¿

о; -S¿

-S¿

О о

о о

о о

-s¿

о о

-s¿

-s¿

Ы С<I ч

О

О ^

CN ч.

ООО ^

о о о

о Ц о о

^ о о о

ООО ^

о о

О ^ о о

^ ООО

ООО

о о

о о

ООО

о о о о о о о

о о о о о о

о о о о о о о

О О О О ООО

ООО о о о о

о о о о о о о

о о о о о о

о о о о о о о

о о о о о о

о о о о

^н СМ

О о ^ ^ ■-sa -¿а

^н СМ

^ ^ о о

^н СМ со со

■-sa -¿а

^н СМ оо оо

■-sa -¿а

о о

о о о о

о о о о

и I

С<1 "

и —

5Г

^н СМ

О О ^ ^

^н СМ

о о

■-sa -¿а

оооооооо

оооооооо

^н СМ

1—I 1—I

■-sa -¿а

о о о о

оооооооо

Рисунок Б.1 - Матрица D(A - C)D-1