Математические модели и методы оценки характеристик стохастических систем, близких к поглощающим тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чегодаев, Александр Вячеславович

• Чегодаев, Александр Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чегодаев, Александр Вячеславович

Введение

1 Основные понятия

1.1 Пространство 1\

1.2 Некоторые свойства дифференциальных уравнений

1.3 Логарифмическая норма оператора

1.4 Конечные системы

1.5 Счетные системы

1.6 Марковские цепи

2 Марковские цеми с поглощением в нуле

2.1 Счетные марковские цепи с поглощением в нуле

2.2 Конечные марковские цепи с поглощением в нуле

3 Близкие к поглощаюшим марковские цепи

3.1 Близкие к поглощаюшим счетные марковские цепи

3.2 Близкие к поглощающим счетные ПРГ

3.3 Близкие к поглощаюшим конечные марковские цепи

3.4 Близкие к поглощающим конечные ПРГ

3.5 Близкие к поглощающим ПРГ с катастрофами

4 Марковские модели

4.1 Простая логистическая модель

4.2 Простое случайное блуждание с поглощением в нуле

4.3 Простое случайное блуждание с поглощением в нуле с разными скачками

4.4 Простое случайное блуждание, близкое к поглощающему

4.5 Простое случайное блуждание, близкое к поглощающему с разными скачками

5 Вычисление предельных характеристик

5.1 Система массового обслуживания, близкая к поглощающей, с катастрофами

5.2 Простое случайное блуждание, близкое к поглощающему

5.3 Простое случайное блуждание, близкое к поглощающему, с разными скачками

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и методы оценки характеристик стохастических систем, близких к поглощающим»

Актуальность темы.

В данной работе методами теории дифференциальных уравнений изучаются в основном вопросы, связанные с получением точных оценок скорости перехода к предельному режиму и устойчивости для марковских цепей с непрерывным временем (стационарных и нестационарных) , а также приложение методов и результатов к изучению некоторых конкретных моделей, связанных в основном с теорией массового обслуживания.

Впервые задачи такого рода возникли из требований телефонного дела, физики тт рациональной организации массового обслуживания (билетные кассы, магазины и прочее) в начале предыдущего столетия. Первые исследования но этой тематике были приведены в работах А.К.Эрланга. Основные его исследования в этой области относятся к 1908-1922 годам. С того времени интерес к проблемам, выдвинутым Эрлапгом, значительно возрос. Оказалось, что подобные задачи возникают в самых разнообразных направлениях исследований: в естествознании, в технике, экономике, транспорте, военном деле, организации производства и многих других. Для решения проблем такого рода примерно в 50-х годах двадцатого века была создана так называемая теория массового обслуживания (англоязычный термин - теория очередей), являющаяся с тех пор активно развивающимся разделом прикладной теории вероятностей (см., например,

5, 9])

Большой прогресс для однородных марковских цепей был достигнут в последние два десятилетия с использованием специальных методик, в том числе каплинга, логарифмических неравенств Соболева, неравенства Пуанкаре и различных их модификаций (см., например, [33, 66]). Активизация исследований в последнее время обусловлена новыми областями приложений, в частности в изучении алгоритмов статистического моделирования марковских цепей, компьютерных сетей, статистической физики.

Постоянно увеличивается интерес к исследованию нестационарных (неоднородных по времени) марковских цепей (см, например, [34, 43, 45, 46, 47, 48]). Такие цепи возникают, в частности, при описашш процессов массового обслуживания. Основная часть исследований посвящспа различным вопросам, связанным с аппроксимацией для таких цепей (см.[35, 57, 56] и цитированную там литературу).

Задачи устойчивочти стохастических моделей изучались в различных постановках многими авторами, среди которых хотелось бы выделить [17, 18].

В числе математиков, заложивших, основы теории и приложений этой области и сформировавших ее современный облик (в части, близкой к тематике настоящего исследования), следует отметить Р.Л.Добрупгана, Б.В.Гнедепко, В.В.Калашникова, И.П.Макарова, А.И.Зейфмаиа, Н.В.Карташова, В.В.Анисимова, Е.Уап Боогп'а, Ш.ШЫ^'а и многих других.

Как известно, получение явных выражений для вероятностей состоянии стохастических моделей возможно лишь в исключительных случаях, поэтому одной из важнейших задач при исследовании таких моделей давно считается исследование поведения модели при £ —оо и, в частности, скорости сходимости к предельному режиму и связанных с этим функционалов.

Динамика таких процессов при некоторых дополнительных условиях описыватся прямой системой Колмогорова. В первоначальных исследованиях предполагалось, что модели описываются стационарными марковскими цепями (это означает, что соответствующая система Колмогорова имеет постоянную матрицу коэффициентов, которые называются интенсивпостями переходов). С содержательной точки зрения такая ситуация соответствует тому, что, например, "интенсивности" поступления и обслуживания требований в систему не зависят от времени. Понятно, что такое предположение достаточно далеко от реальности. В связи с этим, начиная с 70-х годов прошлого века (см. [8]), начались исследования нестационарных моделей, которым соответствуют системы линейных диффернциалных уравнений с переменной матрицей интенсивностей.

Наиболее распространенной из моделей, описывающих реальные системы массового обслуживания, является так называемый процесс рождения и гибели - это частный случай марковского процесса с непрерывным временем и не более чем счетным числом состояний, в котором за малый промежуток времени реальны только изменения текущего состояния не более чем на единицу.

В настоящей работе исследуется класс марковских цепей с непрерывным временем, для которых интенсивность выхода из нулевого состояния в определенном смысле мала. Такие цепи возникают при изучении различных классов задач массового обслуживания. Рассматриваются в основном вопросы, связанные с получением точных оценок скорости перехода к предельному режиму и устойчивости марковских цепей, а также построение различных вероятностных характеристик исследуемых моделей (в частности, математического ожидания числа требований в системе).

Для изучаемых классов моделей удается получить условия эргодичности, оцепить скорость сходимости к предельному режиму, указать методику приближенного постороепия важных характеристик рассматриваемых цепей и соответствующие оценки для них.

Цель работы.

Получить условия эргодичности, оценки для скорости сходимости к предельному режиму и самого этого режима, а также оценки характеристик для близких к поглощающим марковских цепей с конечным и счетным числом состояний. Указать методику вычисления предельного среднего и предельных вероятностей состояния и рассмотреть ее применение для конкретных классов моделей, в основном из теории массового обслуживания.

Методика исследования.

В работе исследуется прямая система Колмогорова, имеющая вид:

Лс = (0.0.1) где х(£) - вектор-столбец вероятностей состояний описываемого процесса, а А(£) - матрица специального вида.

В основном рассматривается случай счетного пространства состояний, которому соответствует счетная система (0.0.1), отождествляемая с дифференциальным уравнением в пространстве последовательностей ¿1. Для исследования решений этой системы приходится опираться в основном на методы и понятия, разработанные в книге [10]. При этом исследуются решения системы (0.0.1), лежащие в множестве стохастических векторов О, то есть в множестве векторов с неотрицательными координатами и единичной ¿х-нормой.

При этом основные проблемы возникают при получении явных оценок нормы оператора Коши. Основным инструментом исследования является подход, упомянутый в [8], развитый в работах [12]-[16], [52]-[54], [С8]-[74] и базирующийся на двух основных моментах: логарифмической норме линейной операторной функции и специальных преобразованиях редуцированной матрицы интенсивностей марковской цепи.

Для марковских цепей сначала формулируются условия наличия или отсутствия эргодичности. В случае эргодичности получаются оценки для скорости сходимости к предельному режиму и некоторых характеристик. Затем в случае ПРГ рассматривается возможность аппроксимации процессом с меньшим числом состояний (то есть конечными системами вида (0.0.1) меньшей конечной размерности) и получаются оценки такой аппроксимации. Кроме того, разработана методика численного построения предельных вероятностей и математического ожидания.

Содержание работы.

Во введении содержится обоснование актуальности темы, краткий обзор результатов, цель работы, методика исследования, краткое содержание работы.

Диссертация состоит из пяти глав, разбитых на параграфы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чегодаев, Александр Вячеславович

Выход

Основные модули программы находятся в Unit3.pas, nextdif.pas, sum.pas. Только их содержимое приводится.

Unit3.pas unit Unit3;

Коши, координаты, график, средняя, решение дифура, fresultdifurlntegralSimpson, count srednee s interface

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls. Forms, Dialogs, StdCtrls. ExtCtrls, Grids.nextdiÇsumm. ExtDlgs, ComCtrls; const bordx=50; bordy=50; strL=10; strW-5; colorconst=0; by=10: type

TForm3 = class(TForm) Button 1: TButton; Button2: TButton; GroupBoxl: TGroupBox; Image 1 : TImage; Panell: TPanel; sg: TStringGrid; Edit2: TEdit; Edit3 : TEdit: Label2: TLabel; LabeB: TLabel; Button3: TButton; Panel2: TPanel; Labcl4: TLabel; Label5: TLabel; Edit4: TEdit; Edit5 : TEdit; Edit6: TEdit; Labelö: TLabel; Edit7: TEdit; Label7: TLabel; Button5: TButton; Buttonö: TButton; Button7: TButton; Koshi: TStringGrid;

Button8: TButton; spd: TSavePictureDialog; Button9: TButton; opend: TOpenDialog; Label8: TLabel; Edit8: TEdit; Label9: TLabel; Edit9: TEdit; ButtonlO: TButton; Labeil: TLabel; Editl: TEdit; Button 11: TButton: od: TOpenDialog; ButtonD: TButton; Editl2: TEdit; Label 10: TLabel; CheckBoxl: TCheckBox; procedure ButtonlClick(Sender: TObject); procedure Button2Click(Sender: TObject); procedure Button3Click(Sender: TObject); procedure Button7Click(Sender: TObject); procedure Button8Click(Sender: TObject); procedure Button6Click(Sender: TObject): procedure Button5Click(Sender: TObject); procedure Button9Click(Sender: TObject); procedure Button 10Click(Sender: TObject); procedure Buttonl lClick(Sender: TObject); procedure Buttonl3Click(Sender: TObject); procedure FormCreate(Sender: TObject); procedure CheckBoxl Click(Sender: TObjec private { Private declarations } fhinteger; procedure SetR(dat:integer); public firstvector.nilvector:typarr; property CountR: integer read fr write SetR; procedure iresultdifurIntegralSimpson(var temp,srednee:typarr); procedure graphicSho\v(bt:extended;arr:typarr); procedure init;

Procedure show;

Procedure show2; procedure SetCoord(max,min,period,maxy,miny:extended); function countsrednee (var srednee:typarr;n,r:integer):extended; { Public declarations } end; var

Form3: TForm3; implementation uses NewDifur, Unit2, Unit5; {$R *.dfm} procedure TForm3.ButtonlClick(Sender: TObject); begin close; end; procedure TForm3.Button2Click(Sender: TObject); begin forml .close; end; procedure Tform3.SetR(dat:integer); var k: integer; begin fr:=dat; sg.RowCount:=dat+l; for k:= 1 to dat do sg. Cells [0 ,k] :=inttostr(k); Koshi.RowCount:=dat+l; Koshi.ColCount:=dat+l; end;

Procedure TForm3.show; var temp,srednee:typarr; k,kk:integer; tmp:extended; max, min,mx, my ,mx, my: extended; procedure genEi(i:integer;var tmp:typarr); begin tmp:=nilvector; tmp[i]:=l; srednee:=niljvector; end; begin for kk:=l to n size do nilvector[kk] :=0; for k:=l to strtoint(forml .editl .text) do begin genEi(k,temp); {в arr заносится ek, зануляется srednee} fresultdifurlntegral Simpson(temp. srednee); forkk:=l to strtoint(forml.editl.text) do

Koshi.Cells[k,kk]:=floattostr(temp[kk]); {сохраняется u(kk,k)} используя srednee можно получить \int(bt)A(et) u(kk,k) (s)ds} end; max:=0; for kk:=l to strtoint(forml.editl .text) do begin min:=l; fork:=l to strtoint(forml.edit 1.text) do begin tmp :=strtofloat(Ko shi. Cells [k,kkj); if tmp<min then begin min:=tmp; mx:=k;my:=kk; end; end; if min>max then begin max:=min; mx:=mx; my:=my; end; end; edit8.text:=floattostr(mx)+'' + floattostr(my)+'' + floattostr(max); end;

Procedure TForm3.show2; var temp,srednee:typarr; kk:integer; et,bt,tmp: extended; begin temp:=firstvector; fresultdifur Integral Simpson(temp, sred nc e); bt:=strtofloat(edit4.text); et:= strtofloat(edit5.text); form5.Memol .Lines.Clear: for kk:=l to strtoint(edit9.Text) do begin tmp:=countsrednee(srednee,strtoint(edit9.Text),kk); form5 .Memo 1 .Lines. Add(floattostr(tmp/(et-bt))); end; end; procedure Tform3.fresultdifurIntegralSimpson (var temp,srednee:typarr); \ar b t.et,h:extended; n:integer; begin bt:=strtofloat(edit4.text); et:= strtofloat(cdit5.text); h:= strtofloat(edit6.text); n:=strtoint(forml .editl .text); initKl; resultdifurNOTsrednee(0,bt,h,n,temp); resultdifurIntegralSimpson(bt,et,h,n,temp,srednee); end; procedure Tform3.init: var x,y:integer; begin for x:=l to form2.sg.RowCount-l do for y:=l to form2.sg.RowCount-l do begin arrKo e f[x,y]:=dat .Crcate(form2. sg. Cells [x,y]); end; end; procedure TForm3.SetCoord(max,min,period,maxy.minyrextended); var k,t,TMP,tmp2,tmpp:integer; step: extended; st: string; begin image 1 .Canvas.font.namei-arial'; tmp:=imagel.Canvas.Pen.Color; imagel.Canvas.Pen.Color:=colorconst; t:=10; for k:=0 to t do begin image 1.Canvas.Te\t0ut(0, round(imagel .Height-bordy-k/10*(imagel .Height-2*bordy)), floattostr(miny+k/t*(maxy-minY))); imagel .Canvas.MoveTo(bordx, round(image 1 .Height-bordy-k/10"- (image 1 .Height-2+bordy))); imagel .Canvas.LineTo(imagel .width-bordx, round(imagel.Height-bordy-k/10*(imagel.Height-2*bordy))); end; step:=min; if max>0 then while step<=max do begin imagel. Canvas. Mo veTo(bordx+round(step* (imagel. Width-2*bordx)/(max-min))-round(min*(imagel.Width-2*bordx)/(max-min)),bordy); imagel.Canvas.Lineïo(bordx+round(step*(imagel.Width-2*bordx)/(max-min))-roimd(min*(imagel.Width-2*bordx)/(max-min)), round(imagel .Height-bordy)); imagel. Canvas.TextOut(bordx+round(step*(image 1. Width-2*bordx)/(max-min))-round(min* (image 1. Width-2*bordx)/(max-min))imagel.Canvas.TextWidth(floattostr(step)) div 2, round(image 1 .Height-bordy)+by,floattostr(step)); step:=step+period; end; imagel.Canvas.TextOut((imagel .Width-imagel.Canvas.TextWidth(editl2.text)) div 2, imagel.Height-bordy div 2,editl2.text); imagel .Canvas.MoveTo(bordx.imagel .Ileight-bordy); imagel.Canvas.LineTo(bordx,bordy div 2); for k:= -strW div 2 to strW div 2 do begin imagel.Canvas.MoveTo(bordx,bordy div 2); imagel.Canvas.LineTo(bordx+k,bordy div 2 + strL): end; st:=image 1 .Canvas.lb nt.name; imagel.Canvas.font.name:='Symbor; tmpp:=imagel.Canvas.TextWidth('j')*5 div 4; imagel .Canvas.TextOut(0,bordy div 2,'j'); imagel.Canvas.font.name:=st; if strtoint(edit9.Text)>l then begin tmp2:=imagel .Canvas.font.Size; imagel .Canvas.font.Size:=imagel .Canvas.font.Size-3; imagel.Canvas.TextOut(tinp,bordy div 2 + 3*imagel.Canvas.font.Size div 2 +2,edit 1.Text); tmpp:=tmpp+imagel .Canvas.Text Width(editl .Text); imagel .Canvas.font.Size:=tmp2; end; imagel.Canvas.TextOut(tmpp,bordy div 2,'(t)'); imagel .Canvas.MoveTo(bordx,imagel .Height-bordy); imagel.Canvas.LineTo(imagel.Width- bordx div 2,imagel.Height-bordy); for k:= -strW div 2 to strW div 2 do begin imagel.Canvas.MoveTo(imagel.Width- bordx div 2,imagel.Height-bordy); imagel.Canvas.LineTo(imagel.Width- bordx div 2 - StrL,imagel.Height-bordy - k); end; imagel.Canvas.TextOut(imagel.Width- bordx div 2,imagel.Height-bordy,ft'); imagel. Canvas.Pen.Color:=tmp; end; procedure TForm3.Button3Click(Sender: TObject); var arr:typarr; begin if strtoint(edit9.Text)=l then arrC:=arrCl else arrc:=arrC2; if strtoint(edit9.Te\t)=l then funct:=functl else funct:=funct2; arr:=firstvector; graphicShow(0,arr); end; procedure TForm3 .graphicShow(bt:extended;arr:typarr); var h,endt,res,maxY,minY,begint:extended; n:integer; tttt,pp,pp2: integer; FirstBegt: extended; procedure Setline 1 (x.y,max:extended); begin image 1. Canvas. LineTo(round(bordx+x/max* (image 1 .width-2*bordx)), round(imagel .Height+minY* (image 1 .Height-2*bordy)/(MaxY-minY)-(bordy+y* (image 1 .Height-2*bordy)/(MaxY-minY)))); inc(tttl); end; begin tttt:-0; begint:=strtofloat(edit4.text); endt:=strtofloat(edit5.text); h:=strtofloat(edit6.text); n:=strtoint(forml .editl .text): pp:=strtoint(editl .Text); pp2 :=str toint (edi t9 .Text) ; maxY:=strtofloat(edit2.text); minY:=strtofloat(edit3 .text);

SetCoord(endt.begint,strtofloat(edit7.text),maxY,minY); FirstBegt:=begint; resultdifurNotSrednee(bt,begint,h,n,arr); res :=countsrednee(arr,pp2 ,pp) ; image 1 .Canvas.MoveTo(round(bordx), round(image 1 .Height+minY* (image 1 .Height-2*bordy)/(MaxY-minY)-(bordy+res* (image 1 .Height-2 *bordy)/(MaxY -minY)))) ; while begint<endt do begin resultdiiurNotSrednee(begint,begint+h.h,n,arr); res:=countsrednee(arr,pp2,pp); {OpncaHHc Setline(x,y,max)} Setlinel(begint-FirstBegt,res,endt-FirstBegt); // image 1.Re fresh; begint:=begint+h; end; end; procedure TForm3.Button7Click(Sender: TObject); begin

Koshi.Visible:=not Koshi.Visible; image 1 .Visible:=not image 1. Visible; end; procedure TForm3.Button8Click(Sender: TObject); begin if strtoint(edit9.Text)=l then arrC:=arrCl else arrc:=arrC2; if strtoint(edit9.Text)=l then funct:=functl else funct:=funct2; show end; procedure TForm3.Button6Click(Sender: TObject); begin if spd.Execute then image 1. Picture. SaveToFile(spd.FileName); end; procedure TForm3.Button5Click(Sender: TObject); begin imagel.Canvas.brush.Color:=imagel.Picture.bitmap.TransparentColor; imagel. Canvas. FillRect(imagel.ClientRect); end; procedure TForm3.Button9Click(Sender: TObject); var k,kk: integer: i:textfile; begin if opend.Execute then begin

AssignFile(i, opend.FileName); rewrite (i); for k:= 1 to Koshi.colcount do begin for kk:= 1 to Koshi.colcount do write(i,Koshi.Cclls[k,kk]:25); writeln(i); end; closefile(i); end end; procedure TForm3.Button 10Click(Sender: TObject); begin form5.ShowModal; end; function TForm3.countsrednee (var srednee:typarr;n,r:integcr):extended; var tmp,tmp2:extended;mt,k,kl ,k2,k3,count,kk:integer; begin count:=strtoint(forml .Editl .Text); tmp:=0; case n of 1: for k:=l to count do tmp: =tmp+srednee [k] * (k-1);

2: case r of 1: for k:=0 to round(sqrt(count))-l do begin tmp2:=0; forkk:=0 to round(sqrt(count))-l do tmp2 :=tmp2isrednee[kk+k*round(sqrt(count))+l]; tmp :=tmp+tmp2 * k; end; for k:=0 to round(sqrt(count))-l do begin tmp2:=0; for kk:=0 to round(sqrt(count))-1 do tmp2:=tmp2+srednee[k+kk*round(sqrt(count))+l]: tmp:=tmp+tmp2 * к; end; end; 3: begin

• mt:=count; for kl:=l to count do if (kl *kl *kl=count) then mt:=kl; case r of 1: 1,10,19.20 -дно for kl:=0 to mt-1 do begin tmp2:=0; for k2:=0 to mt-1 do for k3:=0 to mt-1 do tmp2 :=tmp2+srednee[k2+k 1 * mt+k3 * mt*mt+1J; tmp:=tmp+tmp2*k 1; end;

2: 1,2,3,4 -дно for kl:=0 to mt-1 do begin tmp2:=0; for k2:=0 to mt-1 do for k3:=0 to mt-1 do tmp2 :=tmp2+srednee [k2+k3 *mt+kl *mt*mt+l ]; tmp:=tmp+tmp2*kl; end;

3: 1,4,7,10,13 -дно for kl:=0 to mt-1 do begin tmp2:=0; for k2:=:0 to mt-1 do for k3:=0 to mt-1 do tmp2 :=tmp2+srednee[kl +k2* mt+k3 *mt*mt+1 ]; tmp:=tmp+tmp2*kl; end; end; end; end; countsrednee :=tmp; end; procedure TForm3.Button 11 Click(Sender: TObject); begin if strtoint(edit9.Text)=l then arrC:=arrCl else arrc:=arrC2; if strtoint(edit9. Text)= 1 then funct:=functl else funct:=funct2; show2; end; procedure TForm3.Buttonl3Click(Sender: TObject); var temp,srednee:typarr; k,kk,n: integer; et,bt,h:extended: . procedure genEi(i:integer;var tmp:typarr); begin tmp :=nilvector; tmp[ij:=l; end; begin for kk:=l to n size do nilvector[kk] :=0; temp:=firstvector; initKl; if strtoint(edit9.Text)=l then arrC:=arrCl else arrc:=arrC2; if strtoint(edit9.Text)=l then funct:=functl else iunct:=fiinct2; bt:= strtoflo at(edi t4 .text); et:= strtofloat(edit5 .text); n:=strtoint(forml .editl .text); h :=strtofloat(edit6 .text); resultdifurNOTsrednee(0,bt,h,n,temp); resultdifurIntegralSimpson(bt,et,h,n,temp.srednee); for k:=l to strtoint(forml.editl.text) do begin if et>bt then sg.Cells[l,k]:=floattostr(srednee[k]/(et-bt)) else sg.Cells[l ,1c]—'error'; sg.Cells[2,k]:=iloattostr(temp[k]); end; end; procedure TFonn3.FormCreate(Sender: TObject); begin sg.Cells[2,0]:=,PeineHHe flH^ypa'; if checkboxl .Checked then funct:=functl else funct:=funct2; if checkboxl.Checked then arrC:=arrCl else arrC:=aiTC2; end; procedure TForm3.CheckBoxlClick(Sender: TObject); begin if (Sender as tcheckbox).Checked then funct:=functl else funct:=funct2; if (Sender as tcheckbox).Checked then arrC:=arrCl else arrC:=arrC2; end; end. nextdif.pas

Рассматривается система dp/dt=A(t)p(t). Вектор р содержится в массивах типа typarr.

Масивы передаютя в процедуру как параметры - переменные для ускорения вычислений. Тип dat описывается в модуле summ. Позволяет ускорить вычисления. Используются формулы "Классического" метода Рунге Кутты.

Перед использованием продедур данного модуля, необходимо быть уверенным, что funct присвоено funct 1 или funct2. } unit nextdif; interface uses summ,Math; const nsize=l 500; type typarr=array [l.nsize] of extended; var kl.tmpkl:array[l.nsize,-1.4] of extended; // содержит коэффициенты. arrKoef:array[l .nsize,l ,.nsize] of dat; // содержит A(t); тип dat описывается в модуле summ; arrKoef^cont:array[l.nsize,l.nsize] of extended; funct: function (k,n,koef:integer;t:extended;var arr:array of extended;c:integer):extended; arrCprocedure (t:extended; n:integer); procedure resultdifurNOTsrednee(begt,maxt,h:extended;n:word; var arr:array of extended); procedure resultdifurIntegralSimpson(begt,maxt,h:extended;n:word; var arr:array of extended;var srednee:array of extended); function functl(k,n,koef:integer;t:extended;var arr:array of extended;c:integer):cxtended; function funct2(k,n,koef:integer;t:extended;var arr:array of extended;c:integer):extended; procedure arrCl(t:extended; n:integer); procedure arrC2 (t:extended; n:integer); procedure initKl; implementation procedure initKl; var y:integer; begin for y:=l to nsize do kl[y,-0]:=0; end; function functl(k,n,koef:integer;t:extended;var arr:array of extended;c:integer):extended; var temp2,temp:extended; kk:integer; { учитываются только элементы стоящие на главной диагонали и на двух рядом с гоящих диагоналях } begin temp2:=0; for kk:= max(l,k-l) to min(k+l,n) do temp2:=temp2+airKoefcont[k,kk]; // <сумма элементов в столбце> temp:=-temp2 * (arr [k-1 ]+k 1 [k,koef] /с); for kk:= max(l,k-l) to min(k+l,n) do temp :=temp+arrKoefcont[kk,k] *(arr[kk-1 ]+k 1 [kk,koef]/c); functl:=temp; end; function funct2(k,n,koef:integer;t:extended;var arr:array of extended;c:integer):extended; var temp2,temp:extended; kkrinteger; begin temp2:=0; for kk:= 1 to 11 do temp2:=temp2+arrKoefcont[k.kk]; // <сумма элементов в столбце> temp:=-temp2*(arr[k-1 ]+kl [k,koef]/c); for kk:= 1 to n do temp:=temp+arrKoefcont[kk,k]*(arr[kk-l]+kl[kk,koef]/c); funct2:=temp; end; procedure arrC 1 (t:extended;n: integer); var x: integer; begin for x:=l to n-1 do begin arrKoefcont[x,x+1 ] := arrKoef[x,x+1 ] .result(t); arrKoefcont[x+1 ,x] := arrKoef[x+1 ,x].result(t); end end; procedure arrC2(t: extended;n:integer); var x,y: integer; begin for x:=l to n do for y:=l to n do arrKoefcont[x,y] := arrKoef[x,y] .result(t); end; procedure next(n:word;t,h:extended;var arnarray of extended; var arr2:array of extended);

Нахождение p(t+h) (результат заносится в arr2) используя p(t) (из arr) методом Рунге-Кутта 4 порядка h - шаг. n- число уравнений в системе

Перед использованием необходимо обнулить kl[r,0J (если отличны от 0), где г изменяется от 1 до п. Можно для этого использовагь initKl. Использование указагелей на типизированные массивы может привести к однократному вызову аггС (вместо трех, что есть сейчас), что ускорит вычисления (используя особенности работы с шагом) var k:word; begin arrC(t,n); for k:=l to n do kl [k, 1 ] :=h* funct(k.n,0,t,arr, 1); arrC(t+h*0.5,n); for k:=l to n do kl[k,2]:=h*iunct(k,n,l,t+h*0.5,arr,2); arrC(t+h*0.5,n); for k:=l to n do k 1 [k, 3 ] :=h* funct(k,n,2 ,t+h* 0.5 ,arr,2); arrC(t+h,n): for k:=l to n do k 1 [k,4] :=h*funct(k,n,3 .t+h,arr, 1); for k:=l to n do arr2[k-l]:=arr[k-l]+(kl[k,l]+2*(kl[k,2J+kl[k,3])+kl[k,4])/6; end; procedure resultdifurNOTsrednee(begt,maxt,h:extended;n:word; var arr:array of extended);

Начальные значения находятся в arr (p(begt)).

Приводит к изменению содержимого агг (содержит p(maxt)). h - шаг. п- число уравнений в сис теме } var t:extended; begin t:=begj; if begt<maxt then while h>0 do begin next(n,t,h,arr.arr); t:=t+h; if t>=maxt then h:= maxt - t; end; end; procedure resultdifurIntegralSimpson(begt,maxt,h:extended;n:word; var arr:array of extended;var srednee:array of extended);

Нахождение интеграла.

Начальные данные находятся в arr (p(begt)). Для установки в агг нужных данных можно воспользоватся процедурой result difurNOTsrednec.

Поиск данных осуществляется методом Симпсона. Значение интеграла (от begt до maxt) помещаются в srednee.

Приводит к изменению содержимого агг (содержит p(maxt)). h - шаг. п- число уравнений в системе

Замечание: maxt-begt должно делится на 2 (т.е. между maxt и begt должно быть четное число шагов, причем последний шаг должен заканчиватся на maxt) } var k:word;tt: extended; chet:boolean; begin chet:=false; for k:=0 to n-1 do srednee|k]:=arr[k]; tt:=begt; while (tt< maxt-h)or chet do begin next(n,tt,h,arr,arr); tt:=tt+h; if chet then for k:=0 to n-1 do srednee[k]:=srednee[k]+2*arr[k] else for k:=0 to n-1 do srednee[k]:=srednee[k]+4*arr[k]; chet:=not chet; end; for k:=0 to n-1 do srednee[k]:=(srednee[k]-arr[k])*h/3; end; begin end. sum.pas

Быстрое вычисление часто используемых выражений. unit summ; interface type dat=class private l,r:dat; /nakxhar; chislo:extended; public constructor create(st:string); destructor destroy; function result(t : extend ed) : extended ; end; implementation destructor dat.destroy; begin l.Free; r.Free; inherited; end; function dat.result(t:extended):extendcd; begin case znak of result:=l.result(t)+r.result(t); '-':result:=l.result(t)-r.result(t); '*':result:=l.result(t)*r.result(t); 7':result:=l.result(t)/r.result(t); s':result:=sin(i.result(t)); 'c':result:=cos(l.result(t)); 'e':result:=exp(l.result(t)); 'q':result:=sqrt(l.result(t)); ' ':result:=chislo; 't': result :=t; end; end; constructor dat.create(st: string); function coun(st: string) :boolean; var count,k: integer; begin count:=0; if st[l]o'(' then begin coun:=false; exit; end else begin fork:=l to length(st)-l do begin if st[k]='(' then inc(count); if st[k]-)'then dec(count); if count=0 then begin coun:=false; exit; end; end; end; coun:=true; end; var k:word; code:integer; counter:word; begin while pos(',',st)>0 do st[pos(',',st)J:='.'; counter:=0; while coun(st) do st:=copy(st,2,length(st)-2); for k:=length(st) downto 1 do begin if st[k]-)' then ine(counter); if st[k]-(' then dec(eounter); if ((st[k]='+') or (st[k]='-')) and (counter=0) then begin l:=dat.create(copy(st, 1 ,k-1)): r:=dat.create(eopy(st,k+l,length(st))); znak:=st[k]; exit; end; end; for k:=length(st) downto 1 do begin if st[k]=')' then inc(counter); if st[k]='(' then dec(counter); if ((stCk]^*') or (st[k]='/')) and (counter=0) then begin l:=dat.create(copy(st, 1 ,k-1)); r:=dal.ereate(copy(st,k+l,length(st))); znak:=st[k]; exit; end; end; if st-t' then znak:='t' else if eopy(st,l,3)='sin' then begin znak:-s';

1 :=dat. create(copy(st,4,length(st))); end else if copy(st,l,3)='cos' then begin znak:-c';

1 :=dat.create(copy(st,4,length(st))); end else if copy(st,l,3)-exp' then begin znak:-e';

1:=dat. create(copy (st,4,length(st))); end else if copy(st,l,2)-pi' then begin znak:chislo:=3.1415926535897932384626433832795; end else if copy(st, 1,4)- sqrt' then begin znak:='q';

1 :=dat. create(copy(st,5 ,length(st))); end else begin znak:- '; val(st,chislo,code); end; end; begin end.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чегодаев, Александр Вячеславович, 2009 год

1. Анисимов В.В. Оценки отклонения переходных характеристик неоднородных марковских процессов. Укр.мат.ж.1988.40. 699706

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.:Наука, 1976.

3. Березин И.С., Жидков FI.Tl. Методы вычислений. Том II. Москва. 1960.

4. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.М. Наука, 1991.

5. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории массовых процессов и их приложения. М.: Наука, 19G9.

6. Воскресенский Е.В. Асимптотическое равновесие, периодические решения и прямой меод Ляпунова // Дифференциальные уравнения, 1999. - N6. - С.729-732.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576с.

8. Гнеденко Б.В., Макаров И.П. (1971). Свойства решений задачи с потерями в случае периодических интенсивностей. Дифференциальные уравнения. 7, 9, 1696-1698.

9. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М : Наука, 1966

10. Далецкий Ю.Л, Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Москва.: Наука., 1970.

11. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Издательство Московского Университета. 1998 480с.

12. Зейфман А.И. (1989). Некоторые свойства системы с потерями в случае переменных интенсивностей. Автоматика и телемеханика, 1, 107-113.

13. Зейфман А.И Стохастические модели. Процессы рождения и гибели В тогда.: Издательство "Русь", 1994.

14. Зейфман А И., Сатин Я.А. О некоторых средних характеристиках крнечных марковских цепей с непрерывным временем // Стат мет. оцен. и проверки гипотез Пермь, ПГУ, 2005, 168-175.

15. Зейфман А.И., Сатин Я. А Средние характеристики марковских систем обслуживания /1 Автоматика и телемеханика, 2007.№9. С 122-133.

16. Зейфман А.И., Бенинг В. Е., Соколов И. А. Марков- скис цепи и модели с непрерывным временем. —М.: ЭЛЕКС-КМ, 2008 168 с.

17. Калашников В.В. Качественный анализ сложных систем методом пробных функций. -М.:Наука, 1978.

18. Карташов Н.В Сильно устойчивые цепи Маркова. В сб. Проблемы устойчивости стохаст. моделей. М.: ВНИИСИ 1981, 54-59.

19. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФЛМ. 1963.

20. Ланкастер П Теория матриц. М.: Мир, 1978.

21. Лозинский С.М Оценка погрешности численности интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения. Изв. ВУЗов. Матем., 1958, N 5, 52-90

22. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Наука, 1974. 331с

23. Тараскин В.Ф. Периодический режим процессов рождения, гибели и иммиграции и их приложении в здравоохранении. В кн.: Теория массового обслуживания. Тр. III Всесоюз. школы совещания. М.: МГУ, 1976, т.2 , с. 105-112.

24. Терехин М.Т., Ретюнских Н.В. Периодические решения нелинейных неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2001 . Т. 37, N 4. С. 566-569

25. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. Москва.: Мир. 1990.

26. Anderson, W.J. (1991). Continuous-time Markov Chains. Springer, New York.

27. J.R. Aitalejo and M. J Lopez-Herrero, Analysis of the busy period for the M/M/c queue: an algorithmic approach, J. Appl. Probab. 38 (2001) 209-222.

28. Brockwell, P.J. (1986). The extinction time of a general birth and death process with catastrophes J. Appl. Probab. 23, 851-858.

29. Cairns, B. and Pollett, P. (2003). Persistence times for a general birth, death and catastrophe process. Preprint.

30. P. Coolcn-Schrijncr and E.van Doom, On the convergence to sta-tionarity of birth-death processes, J.Appl. Probab. 38 (2001) 696706.

31. Doom Ё., van. Stochastic monotonicity and queueing applications of birth-death processes. Lect. Not. Statist., v.4. p.1-118

32. Bartlelt M. Stochastic population models in ecology and epidemol-ogy. L.: Metheun and Co. Ltd., 1960.

33. Chen M.F. Eigenvalues, inequalities, and ergodic theory. N.Y.: Springer, 2005.

34. Ching Wai-Ki, Ng M. K. Markov chains: Models, algorithms and applications.— New York: Springer, 2006.

35. Di Crescenzo A., Nobile A.G. Diffusion approximation to a queueing system with time dependent arrival and service rates // Queueing Syst.,1995 No.19, p.41-72 .

36. Di Crescenzo A., Giorno V., Nobile A.G., Ricciardi L.M. (2003) On the M/M/l queue with catastrophes and its continuous approximation. Queueing Syst. 43, No.4, p.329-347 .

37. Di Crescenzo A., Giorno V., Nobilc A.G., Ricciardi L.M. (2008) A note on birth-death processes with catastrophes. Statistics and Probability Letters.

38. Dietz K. Epidemics and rumours: A survey. -J. Roy. Statist. Soc., ser. A, 1967.

39. Dietz K., Downtoun F. Carrier-borne epidemics with immigration. I. Immigration of both susceptibles and cairies. J. Appl. Prob., 1968, v. 5, N 1, p. 31-42.

40. V. Giorno and A.Nobile, On some time-nonhomogeneous diffusion approximations to queueing systems, Adv. Appl. Probab. 19 (1987) 974-994.

41. Jacka, S.D. and Roberts, G.O. (1995). Weak convergence of conditioned processes on a countable state space. J. Appl. Probab. 32, 902-916.

42. Kendall D. Determenistic and stochastic epidemics in closed populations. Proc. of 3th Berkely symp. on Math. Statist, and Prob., 1956, v. 4, p. 149-165.

43. Di Crescenzo A. and Nobile A.G. Diffusion approximation to a queueing system with time dependent arrival and service rates // QUESTA. 1995. V. 19. P. 41-62.

44. Goel N., Richter-Dvn N. Stochastic models in biology. N. Y.: Acad. Press, 1974

45. B.Gnedenko and A.Soloviev, On the conditions of the existence of final probabilities for a Markov process. Math. Operationsforsh. Stat., (1973)379-390.

46. B.L.Granovsky B.L. and A.I.Zeifman, Nonstationary Maxkovian queues, J. Math. Sci. 99 (2000) 1415-1438.

47. Granovskv, B and Zeifman, A. (2004). Nonstationary Queues: Estimation of the Rate of Convergence. Queueing Systems 46, pp. 363-388.

48. Griffeath D. Uniform coupling of nonhomogeneous Markov chains. J.Appl.Piob., 1975, 12, 753-763

49. Johnson J., Isaacson D. Conditions for strong ergodicity using intensity matrices. J.Appl.Prob., 1988, 25, 34-42

50. Karlin, S. and McGregor, J.L. (1957). The classification of birth and death processes. Trans. Amer. Math. Soc. 86, 366-400.

51. Krishna Kumar В., Anvudamambi D. (2000) Transient solution of an M/M/l queue with catastrophes. Comput. Math. Appl. 40, No. 10-11, 1233-1240.

52. S.Lcoiato. E.Orsingher, Ya.Satin, G.Shilova, A. Zeifman (2004). On some limits for nonhomogeneous birth and death processes. Trans. 24 Seminar of Stability Problems for Stochastic Models, Jurmala, Latvia, 52-53

53. S.Leorato, E.Orsingher, Ya.Satin, G.Shilova, A. Zeifman On some characteristics for nonhomogeneous birth and death processes // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу. Ростов-на-Дону, 2004, 283 284.

54. S.Leorato, E.Orsingher, Ya.Satin, G.Shilova, A. Zeifman. Some universal limits for nonhomogeneous birth and death processes. // Queueiug System, 2006, 139-151.

55. Margolius, B. (1999). Some path analysis of the Mt/Mt/c queue, Queueing Systems. 31, 59-93.

56. Mandelbaum A. and Massey W. Strong approximations for time-dependent queues // Math. Oper. Res. 1995. V. 20. P. 33-64.

57. Massey W.A. and Whitt W. On analysis of the modified offered-load approximation for the nonstationary Erlang loss model // Ann. Appl. Probab. 1994. V.4. P. 1145-1160.

58. I. Nasell On the quasi-stationary distribution of the stochastic logistic epidemic. Math. Biosci., 156, 21-40, 1999.

59. Pakes, A.G. (1987). Limit theorems for the population size of a birth and death process allowing catastrophes. J. Math. Biol. 25, 307-325.

60. L.Saloff-Coste, 1996, Lectures on finite Markov chains, Lecture Notes in Math.,1665, 301-413.

61. Sirl D., Zhangy H., Polletl P., "Computable Bounds for the Decay Parameter of a Birth-Death Process," J. Appl. Probab., 44, 476-491 (2007). Zeifman

62. Ya.Satin, G.Shilova. A.Zeifman On some characteristics for finite nonhomogeneous birth and death processes//Trans. 25 Seminar of Stability Problems for Stoch. Models, Salerno. Italy, 2005, 250-257

63. Scott, M., Isaacson D. Proportional intensities and strong ergodicity for Markov processes. J.Appl.Prob., 1983, 20, 185-190

64. Toyoizumi H., Kobayashi Y., Kaiwa K., Sliitozawa J. Stochastic Features of Computer Viruses: Towards Theoretical Analysis and Simulation (695)

65. Van Doom, E.A., Zeifman, A. (2005) Extinction probability in a birth-death process with killing. J. Appl. Probab. 42, 185-198.

66. Van Doom, E.A. Conditions for exponential ergodicity and bounds for the decay parameter of a birth-death process // Adv. Appl. Prob. 1985. 17. 514-530.

67. Yang G., Chiang G. On interrival times in simple stochastic epidemic models. J. Appl. Prob., v. 19, N 4, p. 835-841.

68. Zeifman A.I. Stability for contionuous-time nonhomogeneous Markov chains // Lect. Notes Math. 1985. V. 1155. P. 401-414.

69. Zeifman A.I. Truncation Error in a Birth and Death System, U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1988, 28, 6, 210-211.

70. Zeifman A.I. On the estimation of probabilities for birth and death processes // J. Appl. Probab. 1995. V. 32. P. 623-634.

71. Zeifman A.I. Upper and lower bounds on the rate of convergence for nonhomogeneous birth and death processes // Stoch. Proc. Appl. 1995. V. 59. P. 157-173.

72. Zeifman A.I. (1998). Stability of birth and death processes. J. Math. Sci., 1998, v.91, N3, 3023 3031.

73. Zeifman A.I On the weak ergodicity of nonhomogeneous continuous time markov chains.

74. Zeifman A., Satin Ya., Shilova G. Bounds of the mean for some nonhomogeneous birth and death processes // Trans, of 26 Seminar of Stability Pioblems for Stochastic Models, Sovata-Bai, Romania, 2006, 91-92.

75. Зейфман А.И, Чегодаев А.В., Шилова Г.Н. Оценки скорости сходимости к предельному режиму для некоторых нестационарных линейных систем. Международная конференция им. И.Г.Петровского. М., МГУ, Тезисы докладов, 2007, 347-348.

76. Шилова Г.Н.,Зейфман А.И., Чегодаев А.В. О точных оценках скорости сходимости для конечных марковских цепей с поглощением в нуле. Уфимская международная математическая конференция. Тезисы докладов, т. 3. Уфа, 2007.35-36.

77. Зейфман А.И., Чегодаев А.В. Оценки скорости сходимости для счетных марковских цепей с поглощениям в нуле. Стат. методы оценивания и проверки гипотез. Пермь, ПГУ, 2008, 196-207.

78. Зейфман А.И., Чегодаев А.В. Оценки скорости сходимости для некоторых счетных линейных систем. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология". М., МГУ, Тезисы докладов, 2008, 128-129.

79. Зейфман А.И., Чегодаев А.В., Шоргин B.C. Некоторые оценки для близких к поглощающим марковских моделей. Информатика и ее применения, 2008, 2, №2, 35-40.

80. Зейфман А.И., Чегодаев А.В., Шилова Г.Н. Некоторые оценки для почти поглощающих процессов рождения и гибели. XVIмеждународная конференция "Математика. Экономика. Образование". Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 2008, 130.

81. Чегодаев А.В. Оценки скорости сходимости для однородны х марковских цепей с поглощением в нуле. Материалы ежегодных смотров-сессий аспирантов и молодых ученых по отраслям наук. Естественные и физико-математичемкие науки,Вологда. 2007, 148-151.

82. Зейфман А.И., Сатин Я.А., Чегодаев А.В. О нестационарных системах обслуживания с катастрофами. Информатика и ее применения, 2009, 3, №1, 47-54.

83. Zeifman A., Chegodaev A. The bounds on the rate of convergence for absorbing continuous-time Markov chains. Finite state space. Trans, of Int. Seminar of Stability Problems for Stochastic Models, Nahariya, Israel, 2007, 201-207.

84. Zeifman A., Chegodaev A., Shilova G. Almost absorbing continuous-time Markov chains on finite state space. Trans, of Int. Conference "Modelling of business, industrial and transport systems", Riga, 2008, 213-217.

85. Zeifman A., Chegodaev A. On the bounds of solutions for some linear systems. International Conference "Geometry in Odessa 2008", Abstracts, Odessa, 2008, 204-205.

86. Zeifman A., Chegodaev A. Some bounds for almost absorbing Markov chains. XIII International Summer Conference on Probability and Statistics, Abstracts, Sozopol, Bulgaria, 2008, 38.

87. Zeifman A., Satin Ya., Chegodaev A., Shilova G. Some bounds for the system of differential equations for M(t)/M(t)/N queue with catastrophes. International Conference "Geometry in Astrakhan 2008 Abstracts, Astrakhan, 2008, 84-86.

88. A. Zeifman, Ya. Satin, A. Chegodaev, V. Bening, V. Shorgin. Some Bounds for M(t)/M(t)/S Queue with Catastrophes. The 3rd International Workshop on Tools for solving Structured Markov Chains, Athens, Greece, 2008.

89. Zeifman A., Satin Ya., Chegodaev A. Some bounds for almost absorbing birth and death piocesses with catastrophes Pliska Studia Mathematica Bulgarica, 19(2009), 293-306.