Асимптотические свойства стационарных распределений телекоммуникационных сетей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, доктор физико-математических наук Рыбко, Александр Николаевич

• Рыбко, Александр Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Рыбко, Александр Николаевич

Введение б

1 Эргодичность случайных процессов, описывающих работу открытых телекоммуникационных сетей. Жидкостный предел

1.1 Об эргодичности случайных процессов, описывающих функционирование открытых сетей массового обслуживания

1.1.1 Введение.

1.1.2 Формальное описание модели.

1.1.3 Сеть с дисциплиной обслуживания ЕСРЭ.

1.1.4 Предельный детерминированный процесс и его свойства

1.1.5 Доказательство теоремы 1.4.

1.1.6 Сеть со специальной приоритетной дисциплиной обслуживания. Контрпример к гипотезе 1.1.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические свойства стационарных распределений телекоммуникационных сетей»

1.2.2 Некоторые факты и обозначения.56

1.2.3 Жидкостная модель. Основной результат.61

1.2.4 Доказательство теоремы 1.9.66

1.2.5 Обсуждение. Примеры.76

2 Термодинамический предел для телекоммуникационных сетей 85

2.1 Сети Джексона на счетных графах.85

2.1.1 Введение.85

2.1.2 Условие единственности мультипликативной фазы . . 87

2.1.3 Условия единственности инвариантной меры.88

2.2 Асимптотическое поведение симметричной замкнутой сети массового обслуживания в термодинамическом пределе . 92

2.2.1 Введение.92

2.2.2 Пространство и.96

2.2.3 Компактификация и пространства II.104

2.2.4 Свойства некоторой системы уравнений в пространстве 1Т.114

2.2.5 Дифференциальные свойства динамической системы у —х(£, у) .121

2.2.6 Полугруппы и их генераторы.126

2.2.7 Сходимость полугрупп.131

2.3 Пуассоновская гипотеза в информационных сетях.134

2.3.1 Введение.134

2.3.2 Обозначения .145

2.3.3 Некоторые результаты работы [21].151

2.3.4 Основной результат .153

2.3.5 Соотношение самоусреднения .156

2.3.6 Комбинаторика размещения стержней .164

2.3.7 10 (десять) технических результатов .172

2.3.8 Свойства регулярности нелинейного марковского процесса .173

2.3.9 Оценки на ядра усреднения.184

2.3.10 Соотношение самоусреднения: общий случай.189

2.3.11 Самоусреднение =Ф- релаксация: предварительные соображения .195

2.3.12 Самоусреднение ==Ф- релаксация: вероятностное доказательство? .196

2.3.13 Самоусреднение релаксация: случай конечного носителя .200

2.3.14 Самоусреднение ==Ф- релаксация: случай бесконечного носителя .204

2.3.15 Приближение к стационарной точке.205

2.3.16 Притяжение к стационарной точке .208

2.3.17 Самоусреднение релаксация: зашумленный случай .211

2.3.18 Склейка.212

2.3.19 Сходимость средних.214

2.3.20 Окончание доказательства релаксации в зашумленном случае.217

2.3.21 Заключение .220

2.4 Свойство самоусреднения систем массового обслуживания . 221

2.4.1 Введение.221

2.4.2 Основной результат .223

2.4.3 Теорема об усреднении.227

2.4.4 Доказательство теоремы.228

2.4.5 Самоусреднение может не иметь места.237

3 Пуассоновская гипотеза для симметричных сетей с несколькими типами требований и несколькими типами узлов 239

3.1 Спонтанные резонансы и когерентные состояния в сетях с очередями.239

3.1.1 Введение.239

3.1.2 Модель среднего поля и ее предел.245

3.1.3 Сходимость У;^ —> : применение теоремы Троттера-Курца.250

3.1.4 Жидкостные сети .260

3.1.5 Эйлеровский предел нелинейного марковского процесса282

3.1.6 Основной результат.289

3.1.7 Заключение.296

3.2 Справедливость пуассоновской гипотезы. Замкнутые сети при малой нагрузке.297

3.2.1 Введение.297

3.2.2 Основной результат.306

3.2.3 Доказательство.307

Литература 321

Введение

Разработка математических методов, предсказывающих значения стационарных характеристик узлов сети при выбранных допустимых нагрузках, является актуальной темой в современной теории случайных процессов, описывающих поведение телекоммуникационных сетей. Одной из основных проблем является, также, и само нахождение условий существования стабильного режима работы открытых сетей, или, что то же самое, условий эргодичности марковских процессов, описывающих функционирование таких сетей, поскольку при создании и эксплуатации телекоммуникационных сетей необходимо гарантировать их стабильную работу.

Математическая теория, описывающая функционирование телекоммуникационных сетей, является динамично развивающейся областью теории случайных процессов. Она стала развиваться лишь во второй половине 20-го века. Первоначально, развитие теории осуществлялось (когда это было возможно) методами, имеющимися в более старой и развитой области -классической теории массового обслуживания. Так, Р.М.Лойнес, доказав фундаментальную теорему об эргодичности случайного процесса, описывающую поведение общей модели очереди (7|6?|1|оо при нагрузке меньшей единицы [164], немедленно обобщил этот результат на случай простейшей коммуникационной сети - линейной последовательности серверов [165].

Другим направлением исследований первоначально было нахождение и изучение точно решаемых моделей - таких сетей, для которых их инвариантные меры явно выражаются через инвариантные меры отдельных изолированных серверов - узлов, составляющих сеть. Это направление началось с обнаружения сетей Джексона. Инвариантная мера состояния для сетей Джексона является произведением инвариантных мер отдельных изолированных узлов сети. В дальнейшем были найдены различные примеры сетей, для которых инвариантная мера находилась явно и, как правило, строилась в виде меры - произведения инвариантных мер отдельных изолированных узлов сети (product form networks).

Объяснение появления таких примеров сделал Ф.Келли. Он создал теорию квазиобратимых марковских процессов и предъявил достаточные условия, которым должны удовлетворять переходные вероятности марковских процессов, задающих работу сети, для того, чтобы инвариантные меры являлись мерой - произведением инвариантных мер изолированных узлов сети [147-149]. Оказалось, что условия квазиобратимости чрезвычайно жесткие, - при малом изменении параметров (малом изменении распределений интервалов между поступлениями требований, малом изменении распределений времен обслуживания и малом изменении дисциплин обслуживания в узлах сети), свойства квазиобратимости исчезают. Исчезает и надежда на получение явных аналитических выражений для инвариантных мер для сетей общего положения. Тем не менее, и до настоящего времени иногда обнаруживаются новые нетривиальные точно решаемые модели, - примеры таких сетей.

В связи с невозможностью использования явных аналитических методов стали развиваться качественные математические методы анализа случайных процессов, описывающих поведение сложных коммуникационных сетей. Это направление было основано в работах Р.Лойнеса, В.А.Малышева, Р.Л.Добрушина, А.А.Боровкова, П.Р.Кумара, В.Анатхарама, А.Столяра, Ф.Келли, Р.Ш.Липцера, Д.Харрисона, Д.Штояна, Р.Ясногородского, Р.Шассбергера, В.Калашникова, А.Мандельбаума, Ф.И.Карпелевича, и в настоящее время продолжает свое развитие в работах М.Брэмсона, Д.Дая, М.В.Меньшикова, С.Г.Фосса, Д.А.Коршунова, Ю.Барышникова, С.Б.Шлос-мана, А.Ю.Веретенникова, А.А.Владимирова, Ш.Мейна, А.А.Пухальского, А.Д.Маниты, Р.Уильямс, Н.О'Конелла, Н.Д.Введенской, Л.Г.Афанасьевой, Е.А.Печерского, А.А.Замятина, Г.Файоля, Ф.Бачелли, Ж.Маресса,

Т.Константопулоса, Ю.М.Сухова и в работах многих других специалистов.

Следует отметить особый инженерный подход и вклад в создание коммуникационных сетей, осуществленный Л.Клейнроком в его книгах [151-153].

Автору особенно близка идея, неоднократно высказанная Р.Л.Добруши-ным, заключающаяся в том, что идеология и многие методы статистической механики, как более старой и развитой области науки, могут продуктивно использоваться при анализе свойств больших телекоммуникационных сетей.

Первым вопросом математической теории открытых сетей со многими классами требований представляется проблема нахождения условий существования и единственности стабильного режима (эргодичности) таких сетей. Долгое время считалось несомненным фактом, лишь требовавшим строгого математического доказательства следующее утверждение, сформулированное Р.Л.Добрушиным, являющееся естественным обобщением теоремы Лойнеса об эргодичности классической системы массового обслуживания, состоящей из единственной очереди к одному серверу. Определим номинальную нагрузку рт на произвольный узел сети, как среднее значение за единицу времени суммарных длин тех требований, которым предстоит обслуживаться в узле т. Гипотеза, дающая условия эргодичности открытых сетей, заключалась в утверждении, что если для каждого узла т сети номинальная нагрузка рт < 1, то случайный процесс, описывающий работу сети, эргодичен и среднее число требований, циркулирующих в сети в растущие моменты времени, не стремится к бесконечности.

В [13] эта гипотеза была опровергнута, - было доказано, что уже для простой сети, состоящей из 2-х узлов, в которой циркулируют 2 класса требований, при некоторой приоритетной дисциплине даже при экспоненциально распределенных независимых временах обслуживания и при пуас-соновских входных потоках требований, утверждение гипотезы неверно.

Чтобы исследовать поведение соответствующего однородного марковского процесса со счетным числом состояний в [13] был построен жидкостный предел, возникающий в Эйлеровском скейлинге. Похожая идея для изучения эргодичности случайных блужданий в положительных октантах ранее использовалась В.А.Малышевым и его учениками [66,122,140,167]. Исследование эргодических свойств случайных блужданий в этих работах основывается на концепции индуцированных эргодических марковских цепей на соответствующих эргодических гранях октанта. Для построения векторного поля дететерминированной динамической системы, возникающей в эйлеровском пределе в этой ситуации, необходимо явно найти стационарные вероятности указанных индуцированных цепей, что не поддается существующим аналитическим методам для размерностей больше, чем два. Удивительным результатом, полученным в [140], является тот факт, что для случайных блужданий в положительных октантах размерности больше трех, область значений параметров, задающих случайные блуждания, для которых соответствующие блуждания являются нулевыми возвратными, является областью полной размерности в пространстве параметров. Это обстоятельство также затрудняет построение и изучение предельной динамической системы для блужданий в октантах больших размерностей.

Однако, в силу имеющихся дополнительных инвариантов, связанных с условием консервативности дисциплин обслуживания в узлах (точнее, того факта, что дисциплина обслуживания требований в фиксированной очереди зависит только от этой очереди и не меняется при изменении других очередей), анализ поведения траекторий жидкостного предела для сетей допускает "явное"описание. Векторное поле "детерминированной"жидкостной динамики явно строится как в конечномерном случае (приоритетные дисциплины), так даже и в бесконечномерном случае (дисциплины FIFO, LIFO, когда состояниями процесса являются наборы очередей в узлах сети, - наборы произвольных слов с буквами из конечного алфавита). Это дает возможность рассматривать произвольно распределенные (а не только экспоненциально распределенные) времена обслуживания требований и общие входные потоки.

Метод жидкостного предела, разработанный в [13], стал важным инструментом исследования условий стабильности различных сетей массового обслуживания. Так, следует отметить замечательные работы Брэмсо-на, [94,95], в которых при помощи анализа поведения жидкостного предела, обнаружены примеры невозвратных сетей с дисциплиной FIFO и номинальной нагрузкой меньшей единицы во всех узлах. Естественно возникают следующие проблемы: 1) доказательство сходимости к жидкостному пределу в Эйлеровском скейлинге для достаточно широкого и общего класса сетей массового обслуживания; 2) доказательство того факта, что если все траектории жидкостного предела, начинающиеся из непустых жидкостных состояний, попадают за конечное время (зависящее от начального состояния) в пустое состояние, то первоначальный случайный процесс, описывающий поведение сети, эргодичен; 3) доказательство свойств отсутствия эргодичности или невозвратности случайного процесса при условии, что все жидкостные траектории, стартующие из малой окрестности некоторого непустого начального состояния, ведут себя достаточно регулярно и при этом растут к бесконечности. Первые два утверждения были доказаны независимо в работах А.Столяра [192] и Д.Дая [104]. Третье утверждение было доказано в [19].

В этой работе мы рассматриваем общую открытую конечную сеть массового обслуживания, состоящую из М узлов, в которой циркулируют требования L классов. Имеется U < L внешних потоков требований, при этом каждый внешний поток содержит требования лишь одного класса. Класс требований однозначно определяет номер узла, в котором оно обслуживается, так что L > М. Требования, поступившие в данный узел, образуют единую очередь в порядке моментов их поступления, а обслуживание происходит в соответствии с дисциплиной обслуживания, принятой в этом узле. Относительно последней предполагается, что она определяется только классами требований и местами, которые они занимают в очереди; внутри классов требования обслуживаются в порядке поступления. После окончания обслуживания в узле требование либо меняет класс и поступает на обслуживание в соответствующий узел, либо покидает сеть обслуживания.

Сопоставив сети ее жидкостную модель, мы покажем, что при выполнении некоторых технических условий верно следующее: если существует такое начальное состояние жидкостной модели, для которого равномерно по всем «жидкостным траекториям» с «близкими» начальными состояниями (заметим, что в общей ситуации траектории жидкостной модели не единственны) «общее количество жидкости» стремится к бесконечности не медленнее, чем линейно, то случайный процесс, описывающий поведение сети обслуживания, иеэргодичен. Этот результат дополняет результаты [104,192] и, по-видимому, охватывает все основные имеющиеся в настоящее время нетривиальные примеры неэргодических сетей обслуживания. Он также представляется существенно более полным, чем результат Мей-на [182], который, рассматривая марковский случай, доказал, что если все «жидкостные траектории», принадлежащие «жидкостному пределу», стремятся к бесконечности, то исходный случайный процесс невозвратен.

Доказательство основной теоремы в [19] основано на использовании аппарата теории больших уклонений [52,197,187], что дает возможность получать оценки скорости сходимости в законах больших чисел, использующихся в конструкции жидкостного предела. Этот подход позволяет провести доказательство при довольно общих предположениях относительно процессов поступления, обслуживания и маршрутизации требований; в частности, мы не требуем, чтобы соответствующие случайные величины являлись н. о. р.

Другим предельным переходом, важным для анализа стохастических процессов, моделирующих большие коммуникационные сети, является термодинамический предельный переход, при котором число узлов в сети стремится к бесконечности. По аналогии с идеями статистической механики, естественно ожидать, что многие свойства бесконечной сети, возникающей в термодинамическом пределе, окажутся доступнее для математического анализа, чем аналогичные свойства больших конечных сетей.

В [9] исследуется простейшая бесконечная сеть - сеть Джексона, состоящая из счетного числа узлов. Маршрутизация требований в такой сети осуществляется счетной дважды полустохастической матрицей Р. Для этой сети находятся условия эргодичности, - условия на матрицу Р, при которых у бесконечномерного марковского процесса, описывающего эволюцию сети, имеется единственная инвариантная мера, к которой имеется глобальная сходимость.

Еще в 70-х годах Л.Клейнрок предложил следующую инженерную концепцию - гипотезу для приближенного вычисления стационарных вычислений больших сложных сетей массового обслуживание, названную пуас-соновской гипотезой. Пусть имеется огромная сеть, состоящая из очень большого числа узлов, причем маршруты требований таковы, что на каждый узел поступает большое число малых потоков требований, идущих из различных узлов сети. Пусть также известно, что случайный процесс, моделирующий работу такой сети, стационарен и эргодичен. Для приближенного вычисления инвариантной меры этого процесса предлагается следующий простой метод. Потоки требований, поступающих на каждый фиксированный узел, заменяются на пуассоновские потоки постоянной интенсивности. При этом предполагается, что потоки, поступающие на различные узлы сети, независимы. В этих предположениях возможно явное нахождение инвариантной меры, поскольку функционирование сети распадается на работу независимых систем массового обслуживания, для нахождения стационарных характеристик которых обычно имеются явные аналитические формулы. Ясно, что строгий смысл этой гипотезе можно придать лишь в термодинамическом пределе для последовательностей таких сетей с растущим числом узлов, для которых интенсивности потоков, поступающих из узла А узел В, стремятся к нулю для произвольных пар А и В. А. А.Боровков уточнил и упростил задачу, предложив для начала доказать пуассоновскую гипотезу в простейшем нетривиальном случае: для термодинамического предела замкнутых симметричных сетей на полном графе с фиксированным отношением числа требований к числу узлов и с произвольно одинаково распределенными независимыми в совокупности последовательностями времен обслуживания требований в узлах. Р.Л.Добрушин подчеркивал связь этой проблематики с исследованием свойств термодинамического предела для моделей среднего поля в статистической физике, что оказалось очень важно для доказательства пуассоновской гипотезы. А.Столяр в [72], еще до того как A.A.Боровков сформулировал задачу для симметричной замкнутой сети, сумел ее решить в простейшем нетривиальном случае, - когда времена обслуживания всех требований во всех узлах равны фиксированной константе. Другой простой случай гипотезы Боровкова-Клейнрока, а именно случай одинаково экспоненциально распределенных времен обслуживания всех требований, был решен независимо в [22] и в работе Д.Хмелева и В.И.Оселедца [69].

Общий случай гипотезы Боровкова-Клейнрока был доказан в [31,32]. Он потребовал исследования предельного нелинейного марковского процесса -нелинейной динамической системы в пространстве вероятностных мер на специальном многообразии, и доказательства того факта, что указанная динамическая система имеет глобальный аттрактор - точку в пространстве вероятностных мер, являющуюся произведением стационарных мер систем M\GI\l\oo для отдельных узлов сети. Важным элементом доказательства является специальное свойство самоусреднения [33,35] для систем М(t)\GI\l\oo и M(i)|G|l|oo, доказанное в [33,35] соответственно.

Техника, развитая в [21,31,32,35], позволила изучать термодинамический предел инвариантных мер марковских процессов, описывающих симметричные сети более сложной природы, чем замкнутые сети на полном графе с одним типом требований. Неожиданно оказалось, что пуассонов-ская гипотеза для симметричных замкнутых сетей с несколькими типами узлов и несколькими типами требований, вообще говоря, неверна при достаточно большой нагрузке (отношению числа требований к числу узлов). Доказательство этого факта в [41] основано как на новой конструкции и изучении свойств жидкостного предела для нелинейных марковских процессов, описывающих поведение больших симметричных сетей, так и на изучении термодинамического предельного перехода для симметричных замкнутых сетей общего вида. Оказалось также, что пуассоновская гипотеза для таких сетей справедлива при малой нагрузке [39].

Первая глава диссертации основана на работах [13,19] и посвящена конструкции и исследованию жидкостного предела для открытых сетей с многими классами требований.

Вторая глава основана на работах [9,20-22,31-33,35,38,42] и в основном посвящена доказательству пуассоновской гипотезы для замкнутой симметричной сети на полносвязном графе.

Третья глава основана на работах [39,41] и посвящена анализу ассимп-тотических свойств больших симметричных сетей более общей природы.

Более подробное обсуждение и обзор результатов, связанных с результатами автора, изложенными в этих главах, находится непосредственно в тексте этих глав.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Рыбко, Александр Николаевич

Заключение

В диссертации исследуются ассимптотические свойства случайных процессов, описывающих работу больших телекоммуникационных сетей. Получены следующие основные результаты.

1. Разработан метод нахождения условий эргодичности открытых коммуникационных сетей - метод жидкостного предела.

2. Опровергнута гипотеза о существовании стабильного режима при номинальных нагрузках меньших единицы для открытых коммуникационных сетей.

3. Разработан метод термодинамического предельного перехода для симметричных замкнутых телекоммуникационных сетей. С его помощью доказана пуассоновская гипотеза Клейнрока-Боровкова для открытых симметричных сетей на полных графах.

4. Опровергнута пуассоновская гипотеза Клейнрока для общих симметричных коммуникационных сетей со многими типами требований и многими типами узлов.

5. Доказана пуассоновская гипотеза Клейнрока для симметричных коммуникационных сетей со многими классами требований и многими типами узлов при малых нагрузках.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Рыбко, Александр Николаевич, 2009 год

1. Рыбко А.Н., Пропускная способность сетей связи и эргодичность марковских процессов со счетным числом состояний// Proceedings of the Third Czechoslovak - Soviet - Hungarian Seminar of 1.formation Theory, Liblice. 1980. C. 71-80.

2. Рыбко A.H. Стационарные распределения марковских процессов, описывающих работу коммуникационных сетей// Пробл. передачи информации. 1981. Т. 17, № 1. С. 71-89.

3. Mikhaylov V.A., Rybko A.N., The sufficient conditions for existence of stationary mode in channel switching networks with queues// Abs. of Intern. Coll. On Information Theory, Budapest. 1981. P. 58.

4. Рыбко A.H. Условия существования стационарного режима для двух классов коммуникационных сетей// Пробл. передачи информации. 1982. Т. 18, № 1. С. 94-103.

5. Dobrushin R.L., Rybko A.N., Capacity region of communication networks// Fundamentals of teletraffie theory. Proc. of 3-Int. Sem. On Tele-trafic Theory, Moscow. June 1984. P. 94-100.

6. Рыбко A.H., Михайлов В.А. Область пропускной способности сетей с коммутацией каналов и очередями// Пробл. передачи информации. 1986. Т. 22, № 1. С. 65-84.

7. Kel'bert M.Y., Kontsevich M.L., Rybko A.N., Ergodicity of infinite Jackson networks// Proc. of the 1-st Bernoully Congress, Tashkent. 1986. V. 2. P. 548.

8. Добрушин Р.Л., Кельберт М.Я., Рыбко А.Н.,Сухов Ю.М. Качественные методы теории сетей с очередями//Препринт ИППИ АН СССР. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 1-54.

9. Кельберт М.Я., Концевич М.Л., Рыбко А.Н. Бесконечные сети Джексона/ / Теория вероятностей и ее применения. 1988. Т. 33. С. 379-382.

10. Karpelevich F.I., Rybko A.N., On one new class of Markov processes with interaction modeling adsorbtion// Proc. of the Fifth International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. June 1989. V. 3. P. 277.

11. Bacelli F., Karpelevich F.I., Kel'bert M.Y., Puhalskii A.A., Rybko A.N., Suhov Y.M. A mean field limit for a class of queuing networks// Journal of statistical Physics. 1992. V 6, N. 3/4. P.803-825.

12. Рыбко A.H., Столяр А.Л. Эргодичность случайных процессов, описывающая работу открытых сетей массового обслуживания// Пробл. передачи информации. 1992. Т. 28, № 3. С. 3-26.

13. Rybko A.N., Stolyar A.L., On the Ergodicity of Markov processes corresponding to the open message switching networks// Proc. of Int. Conf. on Applied Probability in Engineering Computer and Communication Sciences, Paris. 1993. P. 142-143.

14. Karpelevich F.I., Malyshev V.A., Rybko A.N. Stochastic evolution of neural networks// Markov processes and related fields. 1995, V. 1, N. 1, P. 141-161.

15. Foss S.G., Rybko A.N. Stability of multiclass Jackson-type networks// Markov processes and related fields. 1996. V. 2, N. 3, P. 461-486.

16. Rybko A.N., The unstable behavior of fluide models and transientness of corresponding stochastic processes modeling open queuing networks// Abs. of 16th European Conference on Operational Research, Brussels. July 1998. P. 87.

17. Пухальский А.А., Рыбко A.H. Неэргодичность сетей массового обслуживания при нестабильности их жидкостных моделей// Пробл. передачи информации. 2000. Т. 36, № 1. С. 26-46.

18. Karpelevich F.I., Rybko A.N. Thermodynamical limit for symmetrical closed queueing networks// On Dobrushin's way. From probability to statistical mechanics, Ed R.Munlos, S.Shlosman, Yu.Suhov. Providence: AMS. 2000. P. 133-155.

19. Карпелевич Ф.И., Рыбко A.H. Асимптотическое поведение симметричной замкнутой сети массового обслуживания в термодинамическом пределе// Пробл. передачи информации. 2000. Т. 36, № 2. С. 69-95.

20. Karpelevich F.I., Rybko A.N. Thermodynamical limit for the mean field model of simple symmetrical closed queueing network// Markov processes and related fields. 2000. V. 6, N. 1, P. 89-105.

21. Khanin K., Khmelev D., Rybko A., Vladimirov A. Steady solutions of fluid dynamics for FIFO networks//Moscow mathematical journal. 2001. V. 1, N. 3, P. 407-419.

22. Rybko A.N., Stolyar A.L., Suhov Yu.M. Stability of global LIFO networks// Memory book of F.I.Karpelevich, Providence: AMS. 2002. Ser. 2, V. 207. P. 177-184.

23. Karpelevich F.I., Malyshev V.A., Petrov A.A., Pirogov S.A., Rybko A.N. Context free evolution of words// Memory book of F.I.Karpelevich, Providence: AMS. 2002. Ser.2, V. 207. P. 91-114.

24. Rybko A., Shlosman S. Poisson hypothesis for large information networks: the study of non-linear Markov processes//Abs. of Intern. Conf. "Kol-mogorov and Contemprorary Mathematics Moscow. June 2003. M:, Изд. ЦПИ, Part 2. P. 956-957.

25. Malyshev V.A., Pirogov S.A., Rybko A.N. Random walks and chemical networks// Moscow mathematical journal. 2004. V. 4, N. 2, P. 441-453.

26. Dinaburg E., Maes C., Pirogov S., Redig F., Rybko A. The Potts model built on sand// Journal of statistical physics. 2004. V. 117, N. 1/2, P. 179-198.

27. Rybko A., Shlosman S. Poisson hypothesis for information networks (A study in non-linear Markov processes) I Domain of Validity// http://arxiv.org/PS-cache/math/arxiv /pdf/0406 /04066.110vl.pdf. 2004. P. 1-77.

28. Rybko A., Shlosman S. Poisson hypothesis for information networks II.Cases of violation and phase transitions// http://arxiv.org/PS-cache/arxiv/math-ph/pdf/0410/0410.053v.lpdf. 2004. P.l-27.

29. Rybko A., Shlosman S. Poisson hypothesis for information networks (a study in non-linear Markov processes). Parti// Moscow mathematical journal. 2005. V. 5, N. 3, P. 679-704.

30. Rybko A., Shlosman S. Poisson hypothesis for information networks (a study in non-linear Markov processes). Partll// Moscow mathematical journal. 2005. V. 5, N. 4, P. 927-959.

31. Рыбко A.H., Шлосман С.Б. Пуассоновская гипотеза: комбинаторный аспект// Пробл. передачи информации. 2005. Т. 41, № 3. С. 51-57.

32. Rybko A., Shlosman S., Vladimirov A. Self-averaging property of queuing systems// http://arxiv.org/PS-cache/arxiv/math/pdf/0510/0510.046v.2pdf. 2005. P. 1-18.

33. Владимиров A.A., Рыбко A.H., Шлосман С.Б. Свойства самоусредне-иия систем массового обслуживания// Пробл. передачи информации. 2006. Т. 42, № 4, С. 91-103.

34. Rybko A.N. Poisson hypothesis for information networks (a study in nonlinear Markov processes// Abs. of IV Intern. Conf. "Limit Theorems in Probability and their Applications Novosibirsk. August, 2006. P. 28.

35. Rybko A., Shlosman S., Vladimirov A. Spontaneous resonances and the coherent states of the queuing networks// http://arxiv.org/PS-cache/arxiv/math/pdf/0708/0708.3073v2.pdf 2007. P. 1-53.

36. Rybko A., Shlosman S. Poisson hypothesis for information networks. 2. Cases of violations and phase transitions// Moscow mathematical journal.2008. V.8, N.l, P.159-180.

37. Rybko A., Shlosman S., Vladimirov A. Absence of breakdown of the Poisson hypothesis. I Closed networks at low load // http://arxiv.org/PS-cache/arxiv/math/pdf/0811/0811.3577 v.lpdf. 2008. P. 1-18.

38. Rybko A.,Shlosman S.,Vladimirov A. Spontaneous resonances and the coherent states of the queuing networks//Abs. of Symphosium on Perspectives in Modeling and Performance of Computer Systems "Model35IN-RIA, Paris-Rocquencourt. April 2008. P. 13.

39. Rybko A., Shlosman S., Vladimirov A. Spontaneous resonances and the coherent states of the queueing networks// Journal of statistical physics.2009. V. 134, N. 1, P. 67-104.

40. Рыбко A.H. Пуассоновская гипотеза для больших симметричных коммуникационных сетей// Глобус, общематематический семинар. Вып.4.

41. Под ред. М.А.Цфасмана и В.В.Прасолова. М,: МЦ НМО. 2009. С. 105126.

42. Rybko A., Shlosman S., Vladimirov A. Spontaneous resonances and the coherent states of the queuing networks// Proc. of Dobrushin International Conference, Moscow. July 2009. ИППИ PAH, C. 149-156.

43. Афанасьева JI.Г., Хмелев Д.В., Большие транспортные сети с конечномерным пространством состояний// Теория вероятностей и ее применения. 1999 Т. 44, № 1, С. 157-158.

44. Башарин Г.П., Толмачев A.JL Теория сетей массового обслуживания и ее приложения к анализу информационно-вычислительных сетей// В сб.: Итоги науки и техники (сер. теория вероятн., матем. статист., теор. киберн.). М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 21. С. 3-119.

45. Биллингели П. Сходимость вероятностных мер.// М.: Наука, 1979. 352 с.

46. Боровков A.A. Асимптотические методы в теории массового обслужи-вания//М.: Физматгиз, 1980, 381 С.

47. Боровков A.A., Могульский A.A., Саханенко А.И., Предельные теоремы для случайниых процессов// М.: ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Фундаментальные проблемы математики, 1995, Т. 82, 200 С.

48. Боровков A.A., Фосс С.Г. Оценки для эксцесса случайного блуждания через произвольную границу и их применения// Теория вероятностей и ее применения, 1999, Т. 44, № 2, С. 1-24.

49. Боровков К. А. Распространение хаоса в сетях обслуживания// Теория вероятностей и ее применения. 1997. Т. 42,№ 3. С. 449-460.

50. Введенская Н. Д., Добрушин Р. Л., Карпелевич Ф. И. Система обслуживания с выбором наименьшей из двух очередей асимптотический подход// Пробл. передачи информации. 1996. Т. 32,№ 1. С. 20-34.

51. Венцель А. Д., Фрейдлин М. И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений.// М.: Наука, 1979. 424с.

52. Добрушин P.JT. Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова// Теория вероятностей и ее применения, I, II. 1956, Т. 1, С. 72-89, Т. 1, С. 365-425.

53. Добрушин P.JL, Сухов Ю.М., Асимптотическое поведение звездообразной сети коммутации сообщений с большим числом радиальных лучей// Пробл. передачи информации. 1976, Т. 12, С. 49-65.

54. Добрушин Р.Л., Печерский Е.А. Большие уклонения для случайных процессов с независимыми приращениями на бесконечном интервале// Пробл. передачи информации. 1998. Т. 34, № 4, С. 76-108.

55. Замятин A.A., Малышев В.А., Манита А.Д. Явление гомеостаза в сетях химических реакций// Теория вероятностей и ее применения. 2006, Т. 51, С. 793-802.

56. Калашников В.В. Качественный анализ поведения сложных систем методом пробных функций// М.: Наука. 1978, 247 с.

57. Кемени Дж., Снелл Дж., Кнепп А. Счетные цепи Маркова.// М.: Наука, 1987. 414 с.

58. Климов Г. П., Ляху А. К., Матвеев В. Ф. Математические модели систем с разделением времени.// Кишинев: Штиинца, 1983. 109 с.

59. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.// М.: Наука, 1968. 496 с.

60. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин C.B., Эргодическая теория.// М.: Наука, 1980. 382 с.

61. Коршунов Д.А., Предельные теоремы для общих цепей Маркова// Сиб. матем. журнал. 2001, Т. 42, № 2, С. 354-371.

62. Лиггет Т. Марковские процессы с локальным взаимодействием.// М.: Мир, 1989. 550 с.

63. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов.// М.: Наука, 1986. 512 с.

64. Малышев В.А. Случайные блуждания. Уравнения Винера-Хопфа в четверти плоскости. Автоморфизмы Галуа// М.: Изд. МГУ, 1970, 201 с.

65. Малышев В. А., Меньшиков М. В. Эргодичность, непрерывность и аналитичность счетных цепей Маркова// Тр. Московского математического общества. М.: Изд-во МГУ, 1979, Т. 39, С. 3-48.

66. Малышев В.А., Пирогов С.А. Обратимость и необратимость в стохастической химической кинетике// Успехи матем. наук. 2008, Т. 63, № 1, С. 3-36.

67. Малышев В.А., Минлос P.A. Гиббсовские случайные поля// М.: Наука. 1985, 288 с.

68. Оселедец В.И., Хмелев Д.В., Глобальная устойчивость бесконечных систем нелинейных дифференциальных уравнений и неоднородные счетные цепи Маркова// Пробл. передачи информации. 2000, Т. 36, № 1, С. 60-76

69. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин// М.: Наука. 1972. 415 с.

70. Скороход А. В. Предельные теоремы для случайных процессов// Теория вероятностей и ее применения. 1956. Т. 1, № 2. С. 261-292.

71. Столяр А. Л. Асимптотика стационарного распределения для одной замкнутой системы обслуживания// Пробл. передачи информации. 1989. Т. 25,№ 4. С. 80-92.

72. Флеминг У., Ришар Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими процессами.// М.: Мир, 1978.

73. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Т. 2// М.: Мир, 1984, 752 с.

74. Фосс С.Г., Денисов Д.Е. Об условиях невозвратности для цепей Маркова// Сиб. Матем. журнал. 2001, Т. 46, № 4, С. 640-657.

75. Фосс С.Г., Чернова Н.И., Об оптимальности дисциплины FCFS в многоканальных системах и сетях обслуживания// Сиб. матем. журнал. 2001, Т. 42, № 2, С. 434-450.

76. Afanassieva L.G., Delcoigne F., Fayolle G. On polling Systems where servers wait for customers// Markov Processes and Related Fields. 1997, V. 3, N. 4, P. 527-546.

77. Anantharam V. The stability region of the finite-user, slotted ALOHA system// IEEE Trans. Inf. Theory. 1991, V. 37, P. 535-540.

78. Anantharam V. On the rod placement theorem of Rybko and Shlosman// Queueing Systems. 2006, V. 52, N. 3, P. 185-188.

79. Andjel E. D. Invariant measures for the zero range process// Ann. Probab. 1982. V. 10, N. 3. P. 525-547.

80. Baccelli F., Foss S.G., Ergodicity of Jackson-type queueing networks I. Queueing Systems. 1994, V. 17, P. 5-72.

81. Baccelli F., Bonnard T. Window flow control in FIFO networks with cross traffic// Queueing Systems. 1999, V. 32, P. 195-231.

82. Baccelli F., Borovkov A., Mairesse J. Asymptotic results on infinite tandem queueing networks// Probability Theory and Related Fields, 2000, V. 118, N. 3, P. 406-426.

83. Baccelli F., Foss S. Moments and tails in monotone-separate stochastic networks// The Annals of Applied Probability, 2004, V. 14, P. 612-650.

84. Baryshnikov Yu.M. Supporting-point processes and some of their applications// Probab. Theory Related Fields. 2000, V. 117, N. 2, P. 163-182.

85. Baryshnikov Yu.M. GUEs and queues// Probab. Theory Related Fields. 2001, V. 119, N. 2, P. 256-274.

86. Baryshnikov Yu.M., Ghrist R. On target enumeration in sensor networks via integration with respect to Euler characteristics// SIAM J. Appl. Math. 2009, V. 70, N. 3, P. 925-844.

87. Benjamini I., Haggstrom O., Peres Yu., Steif J., Which properties of a random sequence are dynamically sensitive?// Ann. Probab. 2003, V. 31, N. 1, P. 1-34.

88. Blank M. Variational principles in the analisis of traffic flows (why it is worth to go against the flow)// Markov Processes and Related Fields. 2000, V. 6, N. 3, P. 287-304.

89. Borovkov A.A. Stochastic processes in queueing theory.// New York: Springer-Verlag, 1976, 280 p.

90. Borovkov A.A. An asymptotic exit problem for multidimensional Markov chains// Markov Processes and Related Fields. 1997, V. 3, N. 4, P. 547564.

91. Borovkov A.A., Ergodicity and stability of stochastic processes// N.Y.: Wiley and Sons, 1998, 580 P.

92. Borovkov A.A., Korshunov D.A., Schassberger R. Ergodicity of a polling network with an infinite number of stations// Queueing Systems, 1999, V. 1-3, P. 169-193.

93. Bramson M. Instability of FIFO queueing networks// Ann. Appl. Probability. 1994. V. 4. P. 414-431.

94. Bramson M. Instability of FIFO Queueing networks with quick service times// Ann. Appl. Probability. 1994. V. 4. P. 693-718.

95. Bramson M. Convergence to equilibria for fluid models of FIFO queueing netwirks// Queueing Systems. 1996, V. 22, P. 5-45.

96. Bramson M. State space collapse with application to heavy traffic limits for multiclass queueing networks// Queueing Systems. 1998, V. 30, P. 89-148.

97. Bramson M. A stable queueing network with unstable fluid model// Ann. Appl. Probability. 1999, V. 9, P. 818-849.

98. Bramson M., Dai J.G. Heavy traffic limits for some queueing networks// Ann. Appl Probability. 2001, V. 11, P. 49-90.

99. Bramson M. Stability of queueing networks// N.Y.: Springer. 2008, VIII. V. 1950, 190 p.

100. Chen H., Mandelbaum A. Discrete flow networks: bottlneck analisis and fluid approximations// Math. Oper. Res. 1991, V. 16, P. 408-446.

101. Chen H. Fluid approximations and stability of multyclass queueing networks: work-conservativing disciplines// Ann. Appl. Probability. 1995, V. 5, P. 637-655.

102. Chen H., Ye H. Existence condition for the diffusion approximations of multiclass priority queueing networks// Queueing Systems. 2001, V. 38, P. 435-470.

103. Dai J.G. On Positive Harris recurrence of multiclass queueing networks: a unified approach via fluid models// Ann. Appl. Probability. 1995. V. 5. P. 49-77.

104. Dai J.G., Meyn S.P. Stability and convergence of moments for multiclass queueing networks via fluid limit models// IEEE Trans.Automat. Control. 1995, V. 40, P. 1889-1904.

105. Dai J.G. A fluid limit model criterion for instability of multiclass queueing networks// Ann. Appl. Probability. 1996, V. 6, P. 751-757.

106. Dai J.G., Weiss G. Stability and instability of fluid models for re-entrant lines// Math. Oper. Res. 1996, V. 21, R 115-134.

107. Dai J.G., Hassenbein J.J., Vande Vate J.H. Stability of a three-station fluid network// Queueing Systems. 1999, V. 33, R 293-325.

108. Dai J.G., Vande Vate J.H. The stability of two-station multitype fluid networks// Operations Research. 2000, V. 48, P. 721-744.

109. Dai J.G., Hassenbein J.J., Vande Vate J.H. Stability and instability of a two-station queueing network// Ann. Appl. Probability. 2004, V. 14, P. 326-377.

110. Delcoigne F., Fayolle G. Thermodynamical limit and propagation of chaos in polling systems// Markov Processes and Related Fields. 1999. V. 5, N 1. P. 89-124.

111. Dembo A., Vershik A., Zeitouni O. Large deviations for integer partitions// Markov Processes and Related Fields. 2000, V. 6, N. 2, P. 147-179.

112. Deuschel J. D., Stroock D. W. Large deviations.// New York: Academic Press, 2001. 283 p.

113. Duffield N.G., O'Connell N. Large deviations and overflow probabilities for the general single-server queue, with applications// Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1995, V. 118, N. 2, P. 363-374.

114. Dumas V. A multiclass network with non-linear, non-convex, nonmonotonic stability conditions// Queueing Systems. 1997, V. 25, P. 1-43.

115. Dumas V. Essential fases and stability conditions of multiclass networks with priorities// Markov Processes and Related Fields, 2001, V. 7, N. 4, P. 541-559.

116. Dupius P., Ellis R. S., Weiss A. Large deviations for Markov processes with discontinuous statistics. I: general upper bounds// AT&T-BL Technical Memorandum, Work Project N. 311404-3199. File Case 20878. 1989.

117. Ether S. N., Kurtz T. G. Markov processes:characterization and convergence.// N. Y.: J. Wiley and Sons,1989. 534 p.

118. Fayolle G., Ignatyuk I.A., Malyshev V.A., Mensliikov M.V. Random walks in two dimentional complexes// Queueing Systems. 1991, V. 9, P. 269-300.

119. Fayolle G., Malyshev V.A., Mensliikov M.V. Random walks in quarter plane with zero drift. I: ergodicity and nullrecurrence// Annales d'Institut Henry Poincare, 1992, V. 28, N. 2, P. 179-194.

120. Fayolle G., Iasnogorodski R., Malyshev V.A. Random walks in quarter plane// N.Y.: Springer, 1999. 158 p.

121. Fayolle G., Malyshev V.A., Menshikov M.V. Topics in constructive theory of Markov chains. Part 1.// Cambridge: Cambridge University Press, 1995. 169 p.

122. Foss S., Tweedy R.L. Perfect simulation and backward coupling// Stochastic Models, 1998, V. 14, N. 1-2, P. 187-204.

123. Foss S., Chernova N. On stability of partially acessible multi-station queue with state-dependent routing// Queueing Systems, 1998, V. 29, N.l, P. 55-73.

124. Foss S., Last G. Stability of polling systems with general service policies and with stage depending routing// Probability in the Engineering and Inf. Sciences, 1998, V. 12, N. 1, P. 49-68

125. Foss S., Kovalevskii A., Stability criterion via fluid limits and its application to a polling model// Queueing Systems, 1999, V. 32, N. 1-3, P. 131-168

126. Foss S., Konstantopoulos T. Extended renovation theoty and limit theorems for stochastic ordered graphs// Markov Processes and Related Fields, 2003, V. 9, N. 3, P. 413-468.

127. Gajrat A.S., Iasnogorodski R., Malyshev V.A. Null recurrent string// Markov Processes and Related Fields. 1996, V. 2, N. 3, P. 427-460.

128. Gamarnik D., Hasenbein J.J. Instability in stochastic and fluid queueing networks// Ann. Appl. Probability. 2005, V. 15, P. 1652-1690.

129. Ganesh A., O'Connell N., Wishik D. Big queues// B.: Springer-Verlag. Lecture Notes in Mathematics, 2004, V. 1838. 260 p.

130. Gibbens R.G., Kelly F.P. Dynamic routing in fully connected networks// IMA J. Math. Cont. Inf. 1990, V. 7, P. 77-111.

131. Goodman J.B., Massey W.A. The non-ergodic Jackson networks// J. Appl. Probab. 1984. V. 21, N. 4. P. 860-869.

132. Graham C., Meleard S. A large deviation principle for a large star-shaped loss network with lines of capacity one// Markov Processes and Related Fields. 1997, V. 3, N. 4, P. 475-492.

133. Harrison J.M., Reiman M.I. Reflected Brownian motion on an ortant// Ann. Probability. 1981, V. 9, P. 302-308.

134. Harrison J.M. Brownian models of queueing networks with heterogeneous customer populations// N.Y.: Springer. Stochastic Differential Systems, Stochastic Control Theory and their Applications. IMA Math. Appl. 1988, V. 10, P. 147-186.

135. Harrison J.M. Balanced fluid models of multyclass queueing networks: a heavy traffic conjecture// N.Y.: Springer. Stochastic Networks. IMA Math. Appl. 1995, V. 71, P. 1-20.

136. Harrisom J.M., Williams R.J. A multiclass closed queueing network with unconventional heavy traffic behavior// Ann. Appl. Probability. 1996, V. 6, P. 1-47.

137. Hassenbein J.J. Necessary conditions for global stability of multiclass queueing networks// Oper. Res. Lett. 1997, V. 21, P. 87-94.

138. Hutson V.C.L., Pym J. S. Applications of functional analysis and Operators theory.// London: Academic Press, 1980. 426 p.

139. Ignatyuk I.A., Malyshev V.A., Classification of random walks in Z\.// Selecta Mathematica, 1993, V. 12, N. 2, P. 129-194.

140. Jackson R.R.P. Queueing systems with phase-type service// Operat. Res. Quart. 1954, V. 5, P. 109-120.

141. Jackson R.R.P. Jobshop-like queueing systems// Mgmt. Sci. 1963, V. 10, P. 131-142.

142. Jackson J.R. Networks of waiting lines// Operat. Res. 1959. V. 5, N 5. P. 518-521.

143. Kantor M. Lower bound for the probability of the overload in certain queueing networks// J. Appl. Probab. 1984. V. 22, N. 2. P. 429-436.

144. Kaspi H., Mandelbaum A. On Harris recurrence in continuous time// Math. Oper. Res. 1994, V. 19, P. 211-222.

145. Kaspi H., Mandelbaum A. Regenerative closed queueing networks// Stoch. Stoch. Rep. 1992, V. 39, N. 4, P. 239-258.

146. Kelly F.P. Networks of queues with customers of different types// J. Appl. Probability. 1975, V. 12, P. 542-554.

147. Kelly F.P. Networks of queues// Adv. Appl. Probability. 1976, V. 8, N.2, P. 416-432.

148. Kelly F. P. Reversibility and stochastic networks.// N. Y.: Wiley Sons, 1979. 222 p.

149. Khas'minskii R.Z. Stochastic stability of differential equations// Ned.: Si-jthoff Nordhoff. 1980. 344 p.

150. Kleinrock L. Communication Nets, Stochastic Message Flow and Delay// N. Y.: McGraw-Hill Book Company, 1964. 209 p.

151. Kleinrock L. Queueing Systems, V.l Theory// N. Y.: Wiley Sons, 1975, 432 p.

152. Kleinrock L. Queueing Systems, V. 2 Computer Applications// N. Y.: Wiley Sons, 1975, 549 p.

153. Kolokoltsov V.N. Kinetic equations for the pure jump models of k-nary interacting particle systems// Markov Processes and Related Fields. 2006, N. 1, P. 95-138.

154. Kumar P.R., Seidman T. Dynamic instabilities and stabilization methods in distributed real-time scheduling of manufacturing systems// IEEE Trans. Automat. Control. 1990. V. 35, N 3. P. 289-290.

155. Kumar P.R. Re-entrant lines// Queueing Systems. 1993, V. 13, P. 87-110.

156. Kumar S., Kumar P.R. Performance bounds for queueing networks and scheduling policies// IEEE Trans. Autom. Control. August 1994, V. AC-39, P. 1600-1611.

157. Kumar S., Kumar P.R. Closed queueing networks in heavy traffic: fluid limits and efficiency// N.Y.: Springer-Verlag. Lecture Notes in Statistics. Stochasic networks: stability and rare events. Ed. P.Glasserman, K.Sigman, D.Yao. 1996, V. 117, P. 41-64.

158. Kumar S., Kumar P.R. Fluctuation smoothing policies are stable for stochastic reentrant lines// Discrete Event Din. Syst. Theory Appl. 1996, V. 6, N. 4, P. 361-370.

159. Kurkova I., Malyshev V.A. Martin boundary and elliptic curves// Markov Processes and Related Fields, 1998, V. 4, N. 2, P. 203-272.

160. LeBoudec J.Y., Thiran P. Network calculus a theory of deterministic queuing systems.// Lecture Notes in Computer Science, N. 2050, Springer, 2001. 300 p.

161. Lindvall T. Weak convergence of probability measures and random functions in the function space D0, oo) // J. of Appl. Probability. 1973. V. 10. P. 109-121.

162. Liptser R., Spokoiny V., Veretennikov A.Yu. Freidlin-Wentzell type large deviations for smooth processes// Markov Processes and Related Fields. 2002, V. 8, N. 4, P. 611-636.

163. Loynes R.M. The stability of a queue with nonindependent interarrival and service times// Proc. Camb. Phil. Soc. 1962, V. 58, P. 497-520.

164. Loynes R.M., On the waiting time distribution for queues in series// J. Roy. Stat. Soe., 1965, V. 27, P. 491-496.

165. Lu S.H., Kumar P.R. Distributed scheduling based on due dates and buffer priorities// IEEE Trans. Automat. Control. 1991, V. 36, P. 1406-1416.

166. Malyshev V.A. Networks and Dynamical Systems// Adv. Appl. Probability. 1993. V. 25. P. 140-175.

167. Malyshev V.A., Spieksma F. Intrinsic convergence rates of countable Markov chains// Markov Processes and Related Fields. 1995, V. 1, N. 2, P. 203-266.

168. Malyshev V., Turova T. Gibbs measures on attractors in biological neural networks// Markov Processes and Related Fields. 1997, V. 3, N. 4, P. 443464.

169. Malyshev V.A. Fixed points for stochastic open" chemical systems// Markov Processes and Related Fields. 2005, V. 11, N. 2, P. 337-354.

170. Mandelbaum A, Stolyar A.L. Scheduling flexible servers with convex delay costs: heavy traffic optimality// Oper. Res. 2004, V. 52, N. 6, P. 836-855.

171. Manita A., Shcherbakov V. Asymptotic analisis of a particle system with mean-fiels interaction// Markov Processes and Related Fields. 2005, V. 11, N. 3, P. 489-518.

172. Massey B. Open Networks of Queues// Adv. Appl. Probability. 1984. V. 16, N.l. P. 176-201.

173. McKean H.P., Jr. A class of Markov processes associated with nonlinear parabolic equations.// Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 56, 1966, 1907-1911.

174. McKean H.P., Jr. An exponential formula for solving Boltzmann's equation for a Maxwellian gas.// J. Combinatorial Theory, 2, 1967, 358-382.

175. Meyn S.P., Tweedie R.L. Generalized resolvents and Harris recurrence of Markov processes// Contemporary Mathematics. 1993, V. 149, P.227-250.

176. Mein S.P., Tweedie R.L. Stability of Markov processes II: continuous-time processes and sample chains// Adv. Appl. Probability. 1993, V. 25, P. 487517.

177. Meyn S.P., Tweedie R.L. Stability of Markov processes III: Foster-Lyapunov criteria for continuous-time processes// Adv. Appl. Probability. 1993, V. 25, P. 518-548.

178. Meyn S.P., Tweedie R.L. Markov chains and stochastic stability// N.Y.: Springer. 1993. 568 p.

179. Meyn S.P., Tweedie R.L. State dependent criteria for convergence of Markoc chains// Ann. Appl. Probability. 1994, V. 4, P. 149-168.

180. Meyn S.P., Down D. Stability of generalized Jackson networks// Ann. Appl. Probability. 1994, V. 4, P. 124-148.

181. Meyn S.P. Transience of multiclass queueing networks and their fluid models// Ann. Appl. Probability. 1995. V. 5. P. 946-957.

182. Milstein G.N., Veretennikov A.Yu. On deterministic and stochastic sliding modes via small diffusion approximation// Markov Processes and Related Fields. 2000, V. 6, N. 3, P. 371-396.

183. Moustafa M.D. Input-output Markov processes// Proc. Konjukijke Netherlands Aqad. Netenschappen. 1957, V. 60, P. 112-118.

184. Perkins J.R., Kumar P.R. Stable, distributed, real-time scheduling of flexible manufacturing / assembly / disassembly systems// IEEE Trans. Automatic Control. 1989, V. 34, N. 2, P. 139-147.

185. O'Connell N. Prom laws of large numbers to large deviation principles// Markov Processes and Related Fields. 1997, V. 3, N. 4, P. 589-596.

186. Puhalskii A. On functional principle of large deviations//New Trends in Probability and Statistics. Utrecht: VSPMoks'las, 1991. V. 1. P. 198-218.

187. Puhalskii A. Large deviation analysis of the single server queue// Queue-ing Systems. 1995. V. 21. P. 5-66; erratum: 1996. V. 23. P. 33

188. Puhalskii A., Whitt W. Functional large deviation principles for firstpassage-time processes// Ann. Appl. Probability. 1997. V. 7, N 2. P. 362381.

189. Reiman M.I., Williams R.J. A boundary property of semimartingale reflecting Brownian motions// Probab. Theory Related Fields. 1988, V. 77, P. 87-97.

190. Seidman T.I. "First come, first served"can be unstable// IEEE Trans. Automat. Control. 1994, V. 39, P. 2166-2170.

191. Stolyar A. On the stability of multiclass queueing networks: a relaxed sufficient condition via limiting fluid processes// Markov Proc. Rel. Fields. 1995. V. 1, N. 4. P. 491-512.

192. Stolyar A.L., Ramakrishnan K.K. The stability of a flow merge point with non-interleaving cut-through scheduling disciplines// Proceedings of IFO-COM 1999.

193. Stolyar A.L. Maxweight scheduling in a generalized switch: state space collapse and workload minimization in heavy traffic// Adv. Appl. Probability. 2004, V. 14, N. 2, P. 1-53.

194. Stoyan D., Daley D. Comparison methods for queues and other stochastic models.// Chichester New York: Wiley, 1983. 217 p.

195. Taylor L.M., Williams R.J. Existence and uniqueness of semimartingale reflecting Brownian motions in an ortant// Probab. Theory Related Fields. 1993, V. 96, P. 283-317.

196. Varadhan S. H. S. Large deviations and applications.// Philadelphia: SIAM, 1984. 75 p.

197. Varakin A.B., Veretennikov A.Yu. On parameter estimation for "poli-nomial ergodic"Markov chains with polinomial growth loss functions// Markov Processes and Related Fields. 2002, V. 8, N. 1, P. 127-144.

198. Whitt W. Large fluctuations in a deterministic multiclass network of queues// Managm. Sci. 1993, V. 39, P. 1020-1028.

199. Whitt W. Stochastic-process limits: an introduction to stochastic process limits and their application to queues// N.Y.: Springer. 2002. 529 p.

200. Williams R.J. An invariant principle for semimartingale reflecting Brownian motion in ortant// Queueing Systems. 1998, V. 30, P. 5-25

201. Williams R.J. Diffusion approximation for open multiclass queueing networks: sufficient conditions involving state space collapse// Queueing Systems. 1998, V. 30, P. 27-88.

202. Yambartsev A.A., Zamyatin A.A. Dynamics of two interacting queues// Markov Processes and Related Fields. 2001, V. 7, N. 2, P. 301-324.