Оценки скорости сходимости и построение предельных характеристик для нестационарных марковских моделей массового обслуживания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Крюкова Анастасия Леонидовна

• Крюкова Анастасия Леонидовна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Крюкова Анастасия Леонидовна

1.1 Марковские цепи

1.1.1 Основные понятия

1.1.2 Классы марковских цепей

1.1.3 Возмущенные процессы

1.2 Методы получения оценок сходимости

1.2.1 Метод дифференциальных неравенств

1.2.2 функции Ляпунова

2 Применение метода дифференциальных неравенств

2.1 СМО класса (II), в которой все требования поступают одновременно, а обслуживаются по одному

2.2 СМО класса (III), в которой требования поступают по одному, а обслуживаются одновременно всей группой

2.3 СМО класса (II), в которой требования поступают только парами,

а обслуживаются по одному

2.4 СМО класса (III) со счетным пространством состояний, в которой требования поступают по одному, а обслуживаются только парами

3 Применение функции Ляпунова

3.1 Однородный процесс рождения и гибели

3.2 Стационарная СМО класса (II), где требования поступают группой и обслуживаются по одному

3.3 Нестационарная СМО класса (II), где требования поступают группой и обслуживаются по одному

3.4 СМО класса (II), со специальной дисциплиной поступления и обслуживания требований

Заключение

Приложение

Описание программы

Список литературы

99

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки скорости сходимости и построение предельных характеристик для нестационарных марковских моделей массового обслуживания»

Актуальность темы

Задачи, связанные с обслуживанием больших массивов однородных требований, возникают в самых разнообразных направлениях исследований: технике, экономике, организации производства [46]. Изучением такого рода вопросов занимается теория массового обслуживания. Она является активно развивающимся разделом прикладной теории вероятностей, цель исследований которого заключается в оптимальном выборе структуры системы и процесса обслуживания. В настоящий момент модели массового обслуживания и методы их изучения наиболее востребованы в сфере телекоммуникационных систем.

Сегодня системы массового (СМО) обслуживания используются:

• для прогнозирования показателей производительности больших предприятий;

• для организации эффективной работы обслуживания клиентов в предприятиях малого бизнеса;

• для построения локальных сетей, связывающих компьютеры в офисах средних размеров;

• для проектирования компьютерных архитектур высокого уровня;

• для анализа производительности и планирования задач стохастического разветвления в мультикомпьютерных системах;

• для анализа распределения процессоров в многопрограммных системах параллельной обработки и для моделирования политики обслуживания в распределенных системах.

Изучение таких моделей может быть сведено к системам дифференциальных уравнений с матрицами интенсивностей, которые имеют характерные структуры, рассматриваемые в диссертации. В частности, они применяются для реализации облачной сети радиодоступа, поддерживающей обработку основной полосы частот нескольких распределенных антенн, решения проблемы оптимального планирования поступающего задания в наборе однородных односер-верных очередей, анализа времени ожидания и времени ответа в двух параллельных системах массового обслуживания с непрерывным временем. Такие модели рассмотрены, например, в работах следующих авторов N.J. Dingle, F. Gullemin, P.G. Harrison, L. Huang, W.J. Knottenbelt, A.S. Lebrecht, R. Nelson, V.Q. Rodriguez, A.N. Tantawi, D. Towsley, Q. Xu, Z. Zang, S. Zertal ([50], [59], [70], [72], [86]).

В системах массового обслуживания есть типовые пути (серверы обслуживания), через которые в процессе обработки проходят запросы. Принято говорить, что запросы обслуживаются серверами. Они могут быть разными по назначению, характеристикам, могут сочетаться в разных комбинациях. Запросы могут накапливаться (находиться в очередях) и ожидать обслуживания. Часть из них может быть обслужена серверами, а другим могут отказать в этом.

Количество запросов обычно весьма велико, запросы могут приходить неравномерно, серверы обслуживают разные запросы за разное время. Все это делает такие системы сложными для изучения и управления, и проследить все причинно-следственные связи в них не представляется возможным.

Фундаментальными задачами являются нахождение важнейших вероятностных характеристик для нестационарных систем обслуживания. Первые исследования в этом направлении инициированы Б.В. Гнеденко (см. [9]).

Существенный вклад в развитие данной области знаний внесли также следующие российские и зарубежные ученые В.В. Анисимов, Л.Г. Афанасьева, Г.П. Вашарин, A.A. Боровков, П.П. Бочаров, Ю.В. Гайдамака, Р.Л. Добрушин, А.Н. Дудин, А.И. Зейфман, В.В. Калашников, Н.В. Карташов, В.Ю. Королев, А.Ю. Митрофанов, А.Н. Моисеев, С.П. Моисеева, Е.В. Морозов, A.A. Назаров, A.B. 11 е111111 к 1111. В.В. Рыков, К.Е. Самуйлов, С.Н. Степанов, В.Г. Ушаков, С.Г.

Фосс, К. АугасЬепкоу, Е. Уап Боогп, М. \~euts. 11.Ь. Tweedie, W. Whitt и др. (см. [1],[2], [5] - [8], [И] - [21], [27], [31] - [33], [36] - [41], [45],[47], [48] - [53], [55], [60] - [73], [80], [82] - [84]).

Востребованность исследований нестационарных (неоднородных по времени) марковских цепей постоянно возрастает, в связи с чем является актуальной задача получения оценок скорости сходимости, устойчивости и погрешности аппроксимации для различных классов моделей, а также применение полученных оценок для построения основных предельных характеристик конкретных систем массового обслуживания.

Детальное изучение оценок, связанных с эргодичностью, и устойчивостью, аппроксимацией нестационарных марковских цепей с непрерывным временем, а также приложение этих результатов к моделям массового обслуживания, проведено в работах А.И. Зейфмана и соавторов. Исследование этих задач сводится к изучению прямой системы Колмогорова - это система линейных дифференциальных уравнений специального вида, коэффициенты в которой, в общем случае, являются произвольными функциями времени. Как правило, система подвергается ряду преобразований таким образом, чтобы соответствующая ей матрица стала существенно неотрицательной. В этом случае метод логарифмической нормы позволял получить точную оценку скорости сходимости системы к предельному режиму. Такого рода задачи решались вышеупомянутыми авторами при помощи метода основанного на понятии логарифмической нормы, начиная с 80-х годов XX века (см. [11] - [15], [29], [30], [34], [87] - [90]).

В последние годы они же начали рассматривать такие классы систем обслуживания, для которых преобразования системы не приводили к существенно неотрицательной матрице. В этом случае применение логарифмической нормы не позволяло получить «хорошие» оценки. Поэтому поиск и описание новых методов для получения оценок скорости сходимости решения прямой системы Колмогорова актуален и сейчас (см. [16] - [20], [22] - [25], [54], [74] - [79], [81], [91] - [111])- В настоящей работе с этой целью использованы метод дифференциальных неравенств (отметим, что такой же термин принят в известном методе

Чаплыгина, но в ином смысле), и метод основанный на применении функции Ляпунова.

Целью диссертационной работы является получение явных, по возможности точных, оценок скорости сходимости и устойчивости, построение на их основе предельных характеристик систем массового обслуживания марковского типа, для которых применение традиционного метода, связанного с логарифмической нормой, не является источником содержательных результатов. Поэтому используются методы, основанные на дифференциальных неравенствах и функциях Ляпунова. Основные задачи

Для достижения заявленной цели решены следующие задачи:

1. Описать метод исследования скорости сходимости решений системы дифференциальных уравнений - метод дифференциальных неравенств, и применить для изучения систем массового обслуживания марковского типа

• с конечным пространством состояний, в которых все требования поступают одновременно и обслуживаются по одному,

• с конечным пространством состояний, в которой требования поступают по одному и обслуживаются одновременно всей группой,

• с конечным пространством состояний, в которой требования поступают только парами и обслуживаются по одному,

• со счетным пространством состояний, в которой требования поступают по одному, а обслуживаются только парами.

2. Описать метод исследования скорости сходимости решений системы дифференциальных уравнений, основанный на использовании функции Ляпунова, и применить для изучения систем массового обслуживания марковского типа

• однородного процесса рождения и гибели,

• с конечным пространством состояний, в которой требования поступают группой и обслуживаются по одному,

• с конечным пространством состояний, в которой в начальный момент требования поступают группами, затем только по одному и обслуживаются по одному.

3. Получить оценки скорости сходимости и устойчивости для перечисленных выше систем массового обслуживания;

4. Для каждой из изученных систем массового обслуживания построить предельные характеристики соответствующих процессов.

Положения, выносимые на защиту

1. Применение метода дифференциальных неравенств для изучения систем массового обслуживания марковского типа и получения оценок скорости сходимости и устойчивости.

2. Применение метода, основанного на использовании функции Ляпунова, для изучения систем массового обслуживания марковского типа и получения оценок скорости сходимости и устойчивости.

3. Построение предельных характеристик для каждой из изученных систем массового обслуживания.

Научная новизна

1. Получены оценки скорости сходимости, устойчивости и на основе этих оценок построены основные предельные характеристики для систем массового обслуживания марковского типа:

• с конечным пространством состояний, в которых все требования поступают одновременно и обслуживаются по одному;

• с конечным пространством состояний, в которых требования поступают по одному и обслуживаются одновременно всей группой;

• с конечным пространством состояний, в которых требования поступают только парами и обслуживаются по одному;

• со счетным пространством состояний, в которых требования поступают по одному, а обслуживаются только парами;

• с конечным пространством состояний, в которых требования поступают группой и обслуживаются по одному.

2. Для систем массового обслуживания марковского типа, с конечным пространством состояний, в которых в начальный момент требования поступают группами, затем только по одному и обслуживаются по одному, получены оценки скорости сходимости на основе этих оценок построены основные предельные характеристики.

В работе методы дифференциальных неравенств и функций Ляпунова применяются для исследования определенных типов моделей, построена схема для применения этих методов к другим моделям (п. 2 паспорта специальности 05.13.18).

В каждой из исследованных моделей, обоснован способ получения оценок, на основании которых посредством разработанной программы вычислены предельные характеристики (п. 3 паспорта специальности 05.13.18).

Оценки скорости сходимости, методы построения предельных характеристик, которые относятся к современным технологиям вычислительного эксперимента, применены к изучению новых типов СМО, являющихся адекватными моделями реальных информационно-телекоммуникационных систем (п. 5 паспорта специальности 05.13.18).

Таким образом, диссертационное исследование выполнено в соответствии с паспортом специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» и включает оригинальные результаты в области методов исследования моделей массового обслуживания, которые можно использовать в изучении и моделировании информационных процессов и требований пользователей к их показателям эффективности.

Личное участие автора заключается в исследовании рассматриваемых моделей: получении оценок скорости сходимости, устойчивости, разработке алгоритмов и комплекса программ численного решения задачи Коши и построения основных предельных характеристик соответствующих процессов. Разработанные алгоритмы могут быть реализованы в системах компьютерной алгебры.

Методы исследования

Для решения поставленных задач изучается прямая система Колмогорова, а именно, рассматриваются её специальные преобразования и оценивается норма матрицы Коши. Основными инструментами исследования и получения соответствующих оценок являются методы, основанные на дифференциальных неравенствах и функции Ляпунова. В основе разработанного комплекса программ для численного построения предельных характеристик использован метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Достоверность и обоснованность полученных результатов

Достоверность полученных результатов следует из строгих математических доказательств.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая значимость полученных результатов состоит в том, что применены метод, основанный на функции Ляпунова, и метод дифференциальных неравенств к ряду новых моделей. Эти методы могут быть полезны для изучения подобных ситуаций, получения результатов в исследовании конкретных систем массового обслуживания. Практическая значимость - описанные подходы могут быть полезны в моделировании потоков информации, связанных с высокопроизводительными вычислениями, создании стохастических моделей телекоммуникационных систем, популяционных моделей в биологии и других отраслях.

Содержание работы

Во введении сформулированы: обоснование актуальности темы диссертации, краткий обзор работ по данной тематике, результаты, полученные в работе.

В первой главе введены основные определения, классификация марковских цепей, сформулированы базовые утверждения для изучения возмущенных процессов, описаны методы, применяемые для дальнейшего исследования.

Во второй главе рассмотрены четыре новые модели с использованием метода дифференциальных неравенств, получены оценки скорости сходимости, устойчивости и на основе этих оценок построены основные предельные характеристики. Для изучения каждой модели использован следующий алгоритм действий:

а) получение верхних оценок скорости сходимости, то есть нахождение момента времени £* такого, что начиная с него вероятностные характеристики процесса X(р) с заданной погрешностью не зависят от начальных условий;

б) получение оценок устойчивости для возмущенного процесса с близкими нн-финитезимальными характеристиками;

в) в случае большой размерности исходного процесса (или счетного числа состояний) аппроксимации с помощью процессов меньшей размерности;

Далее в каждом из примеров для построения предельных характеристик рассматривается соответствующая модель с 1-периодическими по времени интен-сивностями:

• на основании полученных в первом пункте оценок определяем отрезок [0,** + 1];

• решаем прямую систему Колмогорова с простейшим начальным условием X(0) = 0 для исходной (в случае необходимости, для усеченной) системы на отрезке [0,£* + 1];

• на отрезке [£*,£* + 1] получаем с требуемой погрешностью все основные предельные характеристики как самого процессах(£), так и близких ему «возмущенных» процессов.

Заметим, что исследование каждой из этих моделей соответствует всем трем указанным разделам паспорта специальности.

В параграфе 2.1 изучен марковский процесс X(£), описывающий число требований в системе с конечным пространством состояний, которые поступают все одновременно и обслуживаются по одному.

В параграфе 2.2 изучен марковский процесс X(£), описывающий число требований в системе с конечным пространством состояний, которые поступают по одному и обслуживаются одновременно всей группой.

В параграфе 2.3 изучен марковский процесс X(£), описывающий число требований в системе с конечным пространством состояний, которые поступают только парами и обслуживаются по одному.

В параграфе 2.4 изучен марковский процесс X(£), описывающий число требований в системе со счетным пространством состояний, которые поступают по одному, а обслуживаются только парами.

В третьей главе рассмотрены модели, для анализа которых использован метод, основанный на применении функции Ляпунова. Для двух моделей теоретически обоснована возможность применения этого метода для получения точных оценок скорости сходимости. Изучено несколько конкретных нестационарных моделей, для которых получены оценки скорости сходимости, устойчивости и на основе этих оценок построены основные предельные характеристики. Заметим, что исследование каждой из этих моделей соответствует всем трем указанным разделам паспорта специальности.

В параграфе 3.1 обоснована возможность применения метода, базирующегося на применении функции Ляпунова, для однородного процесса рождения и гибели.

В параграфе 3.2 доказана возможность получения точной оценки, а помощью функции Ляпунова, для системы с конечным пространством состояний, в которой требования поступают группой и обслуживаются по одному.

В параграфе 3.3 исследована аналогичная нестационарная система обслуживания с конечным пространством состояний. И рассматривается несколько конкретных моделей.

В параграфе 3.4 рассмотрена модель с конечным пространством состояний, в которой требования поступают группой, если в системе нет требований (очередь пуста), в противном случае могут поступать только по одному, обслуживаются по одному.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования для ряда новых моделей массового обслуживания.

В приложении содержится краткое описание программы, которая выполняет построения основных характеристик марковского процесса.

Апробация результатов

Результаты работы докладывались на:

• семинарах кафедры прикладной математики ВоГУ «Современные методы стохастического моделирования сложных систем» (2018-2020),

• 9-ой Международной конференции по прикладной теории вероятностей, ШАР (Будапешт, Венгрия, 2018),

• 10-ом Международном конгрессе по ультрасовременным системам телекоммуникации и контроля и конференции 1С11МТ(Москва, Россия, 2018),

• 18-я Международная конференция по численному анализу и прикладной математике, 1СХАА.М (Родос, Греция, 2018),

• 17-ой Международной конференции по теории компьютерных систем, ЕигоСАБТ (Лас-Пальмас-де-Гран-Канария, Испания, 2019),

• Международной конференции по дифференциальным уравнениями их приложениям, ЮББЕА (Лиссабон, Португалия, 2019),

• 16-ой Европейской конференции по компьютерной инженерии, ЕРЕ\¥ (Милан, Италия, 2019).

Основные результаты опубликованы в [56, 57, 79, 81], [103]—[111], в том числе работы в журналах, рекомендованных ВАК. Программа вычисления предельных характеристик [28] имеет свидетельство о государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ за номером 2019666755 от 13 декабря 2019 года.

Глава 1 Основные понятия

Данная глава имеет вспомогательный характер, так как основным её назначением является введение базовых определений и фактов необходимых для дальнейшего изложения результатов исследования.

1.1 Марковские цепи

1.1.1 Основные понятия

Рассмотрим систему способную в момент времени £ находиться в одном из состояний с номерами 0,1,..., Ж. Множество Е^ = {0,1,... , N} называется пространством состояний стохастической системы Через X (Ъ) обозначим состояние системы в момент времени £ и предположим, что если X(£) = г, то при К > 0 X (Ъ + К) = ] с вероятностью

С0К + °гз (Ь), 3 = Ь 1 - Ягк+ ог(Ь) 2 = г,

где все о^(К) равномерны по г, то есть вир^ 10^1)1 = о(Ь).

Данное условие является жестким. Будем рассматривать только те процессы, которые удовлетворяют этому условию. Данные процессы будем называть марковскими цепями с непрерывным временем и счетным пространством состояний. Функция qij (£) - интенсивность перехода из состояния % в состояние Марковская цепь X(£) называется однородной (стационарной), если все (Ъ) = ^ и неоднородной (нестационарной) - в противном случае. Будем использовать термины "стационарный"и "нестационарный".

Положим (¡ц^Ъ) = к=г Ягк(^ и назовем матрицу = ((¡^

матрицей интенсивностей для марковской цепи X Введем в рассмотрение переходные вероятности р^= Рг(Х(^ = ]\Х(й) = 1) вероятности состояний Рг(Ь) = Рг(Х(^ = ъ) и вектор-столбец вероятностей состояний р(£) = (р0^),р\(Ь),.. )т. Положим а^(^ = qji(t) и рассмотрим матрицу

А(Ъ) = (а^ (Ъ)=0 = (Ъ). Тогда получим

р(* + Ь) = р(г) + АЬр(Ь) + о(Ь), (1.1.2)

откуда вытекает прямая система Колмогорова в виде дифференциального уравнения:

| = А(г)р. (1.1.3)

Пусть и- оператор Коши данного дифференциального уравнения, тогда Р(в^) = ит= (р^(в^))^=0 называется матрицей переходах(Ъ). Обозначим через О множество всех стохастических векторов х = (х0, х\,.. .)т € О, то есть х > 0 и ||х|| = 1.

Теорема 1.

(г) При каждом в > 0, Ь > в и любом р € 1\ существует, единст,венное р(Ъ) такое, что р(й) = р. При этом р(£) = и(Ь, й)р(й); (И) если р(й) € О, то и р(^ € О щи Ь > в;

(т) уравнение (1.1.3) устойчиво, а Цр1^) — р2(^)|| монотонно не возрастает при любых начальных условиях, гдер1(Ъ), р2(£) являются решениями, соответствующими начальным условиям р1 (в), р2(з).

Определение 1. Матрица Н = (Ь^стохастическая, если все ее элементы неотрицательны, а сумма элементов каждого столбца равна единице.

> 0, > и( , )

Определение 2. Марковская цепь X(^ называется слабо эргодичной, если 1|р*(0 — р**(0И ^ 0 щи Ь ^ ж для любых начальных условий р*(<§), р**(«) и 0

Определение 3. Марковскую цепь X(t) назовем эргодичной (сильно эргодич-ной), если существует, вектор п £ Q такой, что \\p(t) — = 0 при,

любом p(0) = p £ Q. При, этом век тор п называется стационарным распределением марковской цепи X(t).

Определение 4. Параметром сходимости назовем число X* равное sup (А|pij(t) — Wj = О (e—Xt)) при t —> ж для всex i,j.

Замечание 1. Пусть X(t) - (сильно) эргодичная, марковская цепь. Число ft, определяемое равенством

называется спектральной лакуной или параметром сходимости цепи, X(t) (соответствующие англоязычные термины «spectral дар» или, «decay parameter» ).

Обозначим через Е(t,k) = Е{X(t)lX(s) = к} математическое ожидание процесса (среднее число требований) в момент времени t при условии, что в момент s он находится в состоянии к. Кроме того, введем более общее обозначение Ep(t) - математическое ожидание процесса в момент времени/; при начальном распределении вероятностей состояний p(0) = p. Кроме того, если положим Ек(t) = Е {X(t) IX(0) = к}, тогда соответствующее начальное условие системы (1.1.3) - это к-ж единичный вектор e^

Определение 5. Пусть X(t) - марковский процесс. Тогда y(t) - предельное среднее процесса X(t), если

существует и не зависит, от к, то E - двойное среднее для цепи X(t).

max {ReXIX £ а (А) ,Х = 0} = —ft,

lim (^(t) — Ек(t)) = 0,

для любого к.

Определение 6. Если, предел,

(1.1.4)

Предельное среднее процесса показывает среднее количество требований в момент времени (при достаточно больших £). При этом начальное состояние системы не оказывает влияние на предельное среднее. Двойное среднее - некоторая средняя характеристика системы на всем промежутке ее существования.

Пусть X (£) - конечная марковская цепь с матрицей интенсивностей (^(Ъ). Обозначим А(Ъ) = 0>т(Ь) транспонированную матрицу интенсивностей. Таким образом, она имеет вид

где агг ВД = акг •

Перечислим важнейшие частные классы марковских цепей, следуя [108]: (I) неоднородный процесс рождения-гибели;

в этом случае аг ¿(Ъ) = 0 для любо го £ > 0 есл и |г — ] | > 1; здес ь а,, г+1^) = цг+1(Ь) и аг+1г= \-iit) - интенсивности рождения и гибели соответственно;

1.1.2 Классы марковских цепей

( аоо{г) ао^) ао2(Ь) ••• аом(г) ^ аю(Ь) ап(Ь) ап^) ••• аш (г) А{Ь) = (12о(Ъ) (121(Ъ) 0,22^) ••• а,2м

(1.1.5)

\амо(1) ат&) ам2&) ••• амм(Ь) )

А (I)

( — Ао (г) Ц (г) о

Ао (г) — (А1 (г) + ц (г)) Ц (г) о А1 а)

А1 ( )

о

Ам-1 (г) —цм (г) у

о

(1.1.6)

о

о

(II) неоднородные цепи, в которых интенсивность рождения группы из к элементов не зависит от размера популяции этот момент;

при этом ац (Ь) = 0 для любо го Ь> 0 если г < ] — 1 и = ^) для

к > 1 - интенсивность рождения группы из к элементов, и = -

интенсивность гибели одного элемента при условии, что их в популяции % + 1;

а (t) =

( aoo(t) ai(t) a2{t)

ßi(t) 0 0 aii(t) ß2(t) 0

ai(t) a22(t) ß3(t)

^N-l(t) ÜN-2(t) ÜN-3(t) a,N-4(t)

У aN (t) aN-i(t) aN-2(t) aN—3(t)

0 0 0

ÜN-i,N-i(t) ßN-i(t)

ai(t) aNN (t)

(1.1.7)

(III) наоборот, неоднородные цепи, в которых интенсивность гибели группы из к элементов не зависит от размера популяции этот момент;

при этом a,ij (t) = 0 для любо го t > 0 если i > j + 1 и (t) = bk (t) для к > 1 - интенсивность гибели группы из к элементов, и (li+i^t) = \ (t) ............. интенсивность рождения одного элемента при условии, что их в популяции

i +1;

А (t) =

\

aoo(t) bi(t) b2(t) bs(t) • • bN -i(t) bN (t)

\i(t) an(t) bi(t) b2(t) • • bN-2(t) bN-i(t)

0 rn a22 (t) bi(t) • • bN-3(t) bN—2 (t)

0 0 0 0 • • ÜN-iN-i(t) bi(t)

0 0 0 0 • • АN-i(t) ÜNN (t)

(1.1.8)

(ГУ) неоднородные цепи, в которых интенсивность переходов не зависит от размера популяции этот момент, то есть интенсивность рождения группы из к частиц = а интенсивность гибели группы из к элементов

аг,г+к= ьк(г) для к > 1.

А (г) =

аоо(г) Ьг(1) Ь2(1) Ьз(1) • • Ьм -г({) Ьм (V

аг ап(г) Ьг(1) Ъ2(Ъ) • Ьм -г(г)

аг(£) а22^) Ьг(1) • • Ьм-з&) Ьм-2&)

гм-г^) аИ-2^) аИ аИ-4(^ • • аМ-1,М-1(^ 1( )

а и (^ аИ-1(^ аИ-2(Ъ) аи-з(Ъ) • • аг(г) аММ

(1.1.9)

В терминах теории массового обслуживания марковская цепьХ (1) пред-

нами рассмотренных моделей, интенсивности рождения можем отождествить с интенсивностями поступления требований, интенсивности гибели - с интенсив-ностями обслуживания требований.

Рассмотрим теперь основные преобразования системы 1. Исключение нулевого состояния

Используя свойство р (1) £ положим

тогда получаем систему

Р0 (г) = 1 - ^ Рг (г)

{>1

| = В (4) ъ + Г М ,

(1.1.10)

где

В (1) =

ап (0 - аю (г) а,12 (0 - аю (0 а,21 (0 - а20 (^ а22 (^ - а20 (^

аш (¿) - аю (¿)

а2N (0 - а20 (^

у аN 1 - аN0 (^N2 (Ъ) - аN0 • • • аNN (Ъ) - аN0 у

,

т т

ъ = (р 1,..., PN) , f (1) = (а10 (Ъ),..., аN0 (ь))

(1.1.12)

Теперь можно исследовать более удобную «редуцированную» систему (1.1.10).

2. Треугольное преобразование

Рассмотрим следующее вспомогательное преобразование. Положим

1 при ] > г

t ij _

{

0 при j < г,

и

Т _ (Ui)Z=i.

(1.1.13)

То есть Т верхняя треугольная матрица вида

( 1 1 1 ••• 1 \ 0 11 ••• 1 Т = 0 0 1 1

Тогда

^ 0 0 0 ••• 1 )

Т—i_

( 1 —10

0 1 —1

0 0 1

0 0 0

. . 0 0

. . 0 0

. . 0 0

. . 1 1

(1.1.14)

(1.1.15)

у 0 0 0 ... 0 1 /

Использование треугольной матрицы позволяет в некоторых случаях привести матрицу к существенно-неотрицательному виду.

Применим теперь это преобразование к выделенным ранее классам конечных неоднородных цепей Маркова. Будем рассматривать матрицу В=

т• в(t) Т—i_((t));

N

Ь3=1

Для первого класса она имеет вид:

В * (I) =

( - (Хо&) + »1®) Ц.г(1) 0

\г(г) - (\ф)+»2(*)) »2со

V

0 0

Лм-г(г) - (Хм-1(г)+»м (г))/

(1.1.16)

Для второго класса мы получим

В *(1) =

( ап(г) - ам(г) »1(г) 0

а1(Ь) - ам(г) а22&) - ам-1(Ь) »2(^

\ ам-1(Ь) -ам(Ь) ••• •••

0 0

а^) - а2(Ь) амм(Ь) - а^) )

(1.1.17)

следовательно, внедиагональные элементы > 0, тел и ак+1^) < ак (^ для любых к^.

Для третьего класса мы имеем

в*(г) =

(- (Ло(1)+ Ъ1(Ъ)) Ъ1(1) - Ь2(1) Ь2(1) - Ъз(-Ъ)

Л1(1) -{Л1(1) + т. ьг(1)) Ъф) - Ъз(г)

ьм-1(1) - ьм (г) \

Ьм-2^) - Ьм(г)

г< 2

\

0 ••• ••• Лм-1(1) -(Лм-1(1) +£ Ьг(1))

(1.1.18)

следовательно, внедиагональные элементы Ь* ¿(Ь) > 0, если Ьк+]_^) < (Ъ) для к,

Наконец, для четвертого класса

в*(г) =

( ап(г) -ам(г) ь^) - Ъ2&) Ыг) - Ъз(г) а1&) - ам (г) а22 (^ - ам-1 (г) ^ (г) - Ьз (1)

\ ам-1 (г) - ам (г)

Ьм-1$) - Ьм \ Ьм-2® - Ьм

••• ••• а1(г) -а2&) амм (^ - а^) )

(1.1.19)

следовательно, внедиагональные элементы Ь*(Ь) > 0, если ак+]_^) < ак(^ и Ьк+1(Ь) < Ьк(^ для любых к^.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Крюкова Анастасия Леонидовна, 2021 год

Литература

1. Анисимов, B.B. Оценки отклонений переходных характеристик неоднородных марковских процессов / В.В. Анисимов // Укр.матж.ж. - 1988. - 40. -с. 699 - 706.

2. Афанасьева, Л.Г. Случайные процессы в теории массового обслуживания / Л.Г. Афанасьева, Е.В. Булинская. - М.: Изд-во МГУ, 1980. - 110 с.

3. Барбашин, Е. А. Введение в теорию устойчивости. - М.: Наука, 1967. - 223 с.

4. Барбашин, Е. А. Функции Ляпунова. - М.: Наука, 1970. - 240 с.

5. Башарин, Г.П. Массовое обслуживание в телефонии / Г.П. Башарин, А.Д. Харкевич, М.А. Шнепс. - М.: Наука, 1968. - 247 с.

6. Башарин, Г.П., Самуйлов, К.Е., Яркина, Н.В., Гудкова, H.A. Новый этап развития математической теории телетрафика/ Г.П. Башарин, К.Е. Самуйлов, Н.В. Яркина, И.А. Гудкова // Автоматика и телемеханика. - 2009. - N12. -16 - 28.

7. Боровков, A.A. Эргодичность и устойчивость случайных процессов / A.A. Боровков. - Москва Новосибирск: Эдиториал УРСС, 1999. - 440 с.

8. Бочаров, П.П., Печинкин, A.B. Теория массового обслуживания / П.П. Бочаров, A.B. Печинкин. - М.: Изд-во РУДН, 1995. - 529 с.

9. Гнеденко, Б. В., Макаров, И. П. Свойства решений задачи с потерями в случае периодических интенсивностей / Б.В. Гнеденко, И.П. Макаров // Дифференциальные уравнения. - 1971. - №9. - с. 1696 - 1698.

10. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. - М.: Наука, 1970. -534 с.

11. Зейфман, А.И. О погрешности усечения системы рождения и гибели // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1988. - 28, №12, 1906-1907.

12. Зейфман, А.И. Некоторые свойства системы с потерями в случае переменных интенсивностей // Автоматика и телемеханика. - 1989. - №1, с. 107-113.

13. Зейфман, А.И. Стохастические модели. Процессы рождения и гибели / А.И. Зейфман. - Вологда: Русь, 1994. - 70 с.

14. Зейфман, А.И. Марковские цепи и модели с непрерывным временем / А.И. Зейфман, В.Е. Бенинг, И.А. Соколов . - М.: Элекс-КМ, 2008. - 167 с.

15. Зейфман, А.И. О нестационарной модели Эрланга // Автоматика и телемеханика. - 2009. Л" 12. С. 71-80.

16. Зейфман, А.И., Королев, В.Ю., Коротышева, A.B., Шоргин, С.Я. Общие оценки устойчивости для нестационарных марковских цепей с непрерывным временем. Информатика и ее применения. - 2014. - 8, вып. 1, 106 - 117.

17. Зейфман, А.И., Коротышева, A.B., Киселева, K.M., Королев, В.Ю., Шоргин, С.Я. Об оценках скорости сходимости и устойчивости для некоторых моделей массового обслуживания.// Информатика и ее применения. - 2014. - 8, вып. 3, С. 19 - 27.

18. Оценки для неоднородных марковских систем обслуживания с особенностями в нуле / А.И. Зейфман, В.Ю. Королев, A.B. Коротышева, Я.А. Сатин. -М.: ФИЦ НУ РАН, 2016. - 56 с.

19. Зейфман, А.И., Сатин, Я.А., Коротышева, A.B., Королев, В.Ю., Сатин, Я.А. Оценки погрешности аппроксимаций неоднородных марковских цепей с непрерывным временем // Теория вероятностей и ее применения. - 2016. -61, вып., 563-569.

20. Зейфман, А., Коротышева, А., Сатин, Я., Киселева, К., Разумчик, Р., Королев, В., Шоргин, С. Оценки погрешности аппроксимации для марковских систем обслуживания, описываемых процессами рождения и гибели с дополнительными переходами.// Системы и средства информатики. - 2017. - 27.

21. Калашников, В.В. Качественный анализ сложных систем методом пробных функций / В.В. Калашников. - М.: Наука, 1978. - 248 с.

22. Киселева, K.M. Об оценках эргодичности и устойчивости для нестационарной модели массового обслуживания с повторными вызовами и одним сервером // Статистические методы оценивания и проверки гипотез, Пермь. -

2016. - вып. 27. - с. 64-68.

23. Киселева, К. М. Исследование некоторых нестационарных моделей массового обслуживания, описываемых неоднородными марковскими цепями с непрерывным временем. Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем: материалы Всероссийской конференции с международным участием, Москва. —

2017. - с. 33-34.

24. Коротышева, A.B. Оценки устойчивости для нестационарных марковских моделей в системах массового обслуживания: дисс. ... канд.ф.-м. наук / A.B. Коротышева. - Вологда, 2013. - 146 с.

25. Коротышева, A.B., Киселева, K.M., Сатин, Я.А. Эргодичность и устойчивость системы обслуживания с одним сервером. - 2015. - Задачи современной информатики. Труды Второй молодежной научной конференции. - С. 297302.

26. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. - М.: Высшая школа, 1967. - 565 с.

27. Назаров, A.A. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания / A.A. Назаров, С.П. Моисеева. - Томск: НТЛ, 2006. - 112 с.

28. Ошушкова B.C., Сатин Я.А., Крюкова А.Л., Зейфман А.И., Программа для решения задачи Коши для системы однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Рунге-Кутта 4-го порядка // Свидетельство №2019666755 (РФ; Программа). - 2019 год.

29. Сатин, Я.А. Исследование некоторых средних характеристик стохастических моделей: дисс. ... канд.ф.-м. наук / Я.А. Сатин. - Вологда, 2007. - 129 с.

30. Сатин, Я. А., Зейфман, А. И., Коротышева, А. В., Шоргин, С. Я. Об одном классе марковских систем обслуживания. Информатика и ее применения. -2011 - 5, вып. 4, С. 6 - 12.

31. Степанов, С.Н., Цитович, И.И. Некоторые аспекты исследования систем с повторными вызовами качественными методами // Сб. «Методы теории телетрафика в децентрализованных системах управления. М.: Наука, 1986.

- С. 68-90.

32. Степанов, С.Н., Цитович, И.И. Качественные методы исследования систем с повторными вызовами // Проблемы передачи информации. Т.23. №2. - 1987.

- С. 92-112.

33. Ушаков, В.Г., Ушаков, Н.Г. О длине очереди в системе обслуживания с эр-ланговским входящим потоком // Вестник Московского университета. Т.40, №3. - 2016. - С. 118-122.

34. Чегодаев, A.B. Математические модели и методы оценки характеристик стохастических систем, близких к поглощающим: дисс. ... канд.ф.-м. наук / A.B. Чегодаев. - Вологда, 2009. - 127 с.

35. Штойян, Д. Качественные свойства и оценки стохастических моделей / Д. Штойян. - М.: Мир, 1979. - 268 с.

36. Artalejo, J.R., Gómez-Corral, A., Neuts, M.F. Analysis of multiserver queues with constant retrial rate. - 2001. - European Journal of Operational Research, 135, P. 569 - 581.

37. Avrachenkov, K., Yechiali, U. Retrial networks with finite buffers and their application to Internet data traffic. Probability in the Engineering and Informational Sciences. - 2008. - 22. - P. 519 - 536.

38. Avrachenkov, K., Yechiali, U. On tandem blocking queues with a common retrial queue. Computers and Operations Research. - 2010. - 37(7). - P. 1174-1180.

39. Avrachenkov, K., Morozov, E.V. Stability analysis of GI/G/c/K retrial queue with constant retrial rate. - 2014. - Math. Meth. Oper. Res., 79, P. 273 - 291.

40. Avrachenkov, K., Nekrasova, E., Morozov, E., Steyaert, B. Stability analysis and simulation of ^-class retrial system with constant retrial rates and Poisson inputs. - 2014. - Asia-Pacific Journal of Operational Research, 31, No.2.

41. Basharin, G. P., Gaidamaka, Y. V., Samouylov, K. E. (2013). Mathematical theory of teletraffic and its application to the analysis of multiservice communication of next generation networks. Automatic Control and Computer Sciences, 47(2), P. 62 - 69.

42. Chen, A.Y., Renshaw, E. The M/M/l queue with mass exodus and mass arrives when empty. - 1997. - J. Appl Prob. 34, P. 192 - 207.

43. Chen, A.Y., Renshaw, E. Markov bulk-arriving queues with state-dependent control at idle time. Adv. Appl. Prob. 36. - 2004. - P. 49-524.

44. Chen, A.Y., Pollet, P., Li, J., Zhang, H. Markovian bulk-arrival and bulk-service queues with state-dependent control. Queueing Systems, 64. - 2010, P. 267 - 304.

45. Danilyuk, E., Moiseeva, S., Nazarov, A. (2019, June). Asymptotic Analysis of Retrial Queueing System M/GI/1 with Collisions and Impatient Calls. In International Conference on Information Technologies and Mathematical Modelling (pp. 230-242). Springer, Cham.

46. Erlang, A. K. L0sning af nogle Problemer fra Sandsynlighedsregningen af

Betydning for de automatiske Telefoncentraler. Elektroteknikeren. - 1917. - 13, P_ 5 _ 13_

47. Foss, S.G., Kalashnikov, V.V. Regeneration and renovation in queues / S.G. Foss, V.V. Kalashnikov // Queueing Systems. - 1991. - 8(1). - P. 211 - 223.

48. Granovsky, B., Zeifman, A. Nonstationary queues: estimation of the rate of convergence. Queueing Syst. - 2004. - 46, P. 363 - 388.

49. Halfin, S., Whitt, W. Heavy-traffic limits for queues with many exponential servers / S. Halfin,W. Whitt // Oper. Res.. - 1981. - 29. - P. 567 - 588.

50. L. Huang and Q. Xu, "On Modeling the Lifetime Reliability of Homogeneous Manycore Systems,"2008 14th IEEE Pacific Rim International Symposium on Dependable Computing, Taipei, 2008, pp. 87-94, doi: 10.1109/PRDC.2008.23.

51. Islam, M.A. A Birth-Death Process Approach to Constructing Multistate Life Tables / M.A. Islam // Bull. Malaysian Math. Sc. Soc. (Second Series). - 2003. - 26. - P. 101 - 108.

52. Kartashov, N.V. Strong stable Markov chains / Kartashov N.V. - Kiev: Utrecht, VSP, TBiMC, 1996.

53. Kijima, M.: On the largest negative eigenvalue of the infinitesimal generator associated with M/M/n/n queues. Oper. Res. Let. - 1990. - 9, P. 59 - 64.

54. Kiseleva, K., Satin, Ya., Korotysheva, A., Zeifman A., Korolev, V., Shorgin, S. On the Null Ergodicity Bounds for a Retrial Queueing Model. - 2017. - AIP Conference Proceedings, 1863, 090007; doi: 10.1063/1.4992272.

55. Klimenok, V., Dudin, A. Multi-dimensional asymptotically quasi-Toeplitz Markov chains and their application in queueing theory / Valentina Klimenok, Alexander Dudin // Queueing Systems. - 2006. - 54. - P. 245 - 259.

56. Kryukova A., Oshushkova V., Zeifman A., Satin Y., Application of Method of Differential Inequalities to Bounding the Rate of Convergence for a Class of Markov Chains. In: Pinelas S., Graef J.R., Hilger S., Kloeden P., Schinas C. (eds) Differential and Difference Equations with Applications. ICDDEA 2019. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, vol 333. Springer, Cham. DOI: 10.1007/978-3-030-56323-3_8.

57. Kryukova, A., Oshushkova, V., Zeifman, A., Razumchik R., Method For Bounding The Rate Of Convergence For One Class Of Finite-Capacity Markovian Time-Dependent Queues With Batch Arrivals When Empty // Proceedings 34th European Conference on Modeling and Simulation, ECMS 2020, Communications of the ECMS , Volume 34, Issue 1, June 2020, United Kingdom, P. 403 - 406, http : //www.scs — europe.net/dlib/2020/2020 — 0403.htm

58. Kryukova, A., On the rate of convergence for a class of Markovian queues with group services. - 2020. - Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science, 2020, V. 28, № 3, P. 205 - 215, DOI: 10.22363/26584670-2020-28-3-205-215.

59. Lebrecht, A.S., Dingle, N.J., Harrison, P.G., Knottenbelt, W.J., Zertal, S., Using bulk arrivals to model I/O request response time distributions in zoned disks and RAID systems // In Proceedings of the Fourth International ICST Conference on Performance Evaluation Methodologies and Tools (VALUETOOLS '09). ICST (Institute for Computer Sciences, Social-Informatics and Telecommunications Engineering), Brussels, BEL, Article 23, 1-10. DOLhttps://doi.org/10.4108/ICST.VALUETOOLS2009.7787

60. Massey, W. A., Whitt, W.: On analysis of the modified offered-load approximation for the nonstationary Erlang loss model. Ann. Appl. Probab. -

1994. _ 4? p. H45 _ nee.

61. Mandelbaum A., Massey W. Strong approximations for time-dependent queues// Math. Oper. Res. - 1995. - Xo.20. P. 33 - 64.

62. Margolius, B.H. The matrices R and G of matrix analytic methods and the time-inhomogeneous periodic Quasi-Birth-and-Death process // Queueing Systems. -2008. - 60(1-2). - P. 131 - 151.

63. Meyn, Sean, P., Robert, L. Tweedie. Computable bounds for geometric convergence rates of Markov chains / Meyn, Sean P., Robert L. // The Annals of Applied Probability. - 1994. - P. 981 - 1011.

64. Mitrophanov, A. Stability and exponential convergence of continuous-time Markov chains// J. Appl. Probab. - 40. - 2003. - P. 970-979.

65. Moiseev, A., Nazarov, A., Paul, S. (2020). Asymptotic Diffusion Analysis of Multi-Server Retrial Queue with Hyper-Exponential Service. Mathematics, 8(4), 531.

66. Morozov, E. The stability of a non-homogeneous queueing system with regenerative input / Evsei Morozov // Journal of Mathematical Sciences 83.3. - 1997. - P. 407 - 421.

67. Morozov, E. A multiserver retrial queue: regenerative stability analysis / Evsey Morozov // Queueing Systems 56.3-4. - 2007. - P. 157 - 168.

68. Naumov, V. A., Gaidamaka, Y. V., Samouylov, K. E. (2019). On Truncation of the Matrix-Geometric Stationary Distributions. Mathematics, 7(9), 798.

69. Naumov, V. A., Gaidamaka, Y. V., Samouylov, K. E. (2019). On Two Interacting Markovian Queueing Systems. Mathematics, 7(9), 799.

70. R. Nelson, D. Towsley and A. N. Tantawi, "Performance analysis of parallel processing systems,"in IEEE Transactions on Software Engineering, vol. 14, no. 4, pp. 532-540, April 1988, doi: 10.1109/32.4676.

71. Parthasarathy, P. R., Krishna Kumar, B. Density-dependent birth and death processes with state-dependent immigration. - 1991. - Mathematical and Computer Modelling 15, P. 11 - 16.

72. V. Quintuna Rodriguez and F. Guillemin, "Cloud-RAN Modeling Based on Parallel Processing,"in IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 36, no. 3, pp. 457-468, March 2018, doi: 10.1109/JSAC.2018.2815378.

73. Rykov, V. On Markov Reliability Model of a System, Operating in Markov Random Environment. XXXI ISSPSM Conference, April. - 2013. - PFUR. Moscow, (jointly with Tran Ahn Ngia).

74. Satin, Ya., Zeifman, A., Korotysheva, A. On the rate of convergence and truncations for a class of Markoviang queueing systems. // Theory. Prob. Appl.

- 2013. - 57, P. 529 - 539.

75. Satin, Ya., Zeifman, A., Korotysheva, A., Kiseleva, K., Korolev, V. On Truncations For A Class Of Finite Markovian Queuing Models. - 2015. -Proceedings 29th European Conference on Modeling and Simulation, ECMS, Varna, Bulgaria. - P. 626 - 630.

76. Satin, Ya., Korotysheva, A., Kiseleva, K., Shilova, G., Fokicheva, E., Zeifman, A., Korolev, V. Two-sided truncations of inhomogeneous birth-death processes.

- 2016. - Proceedings 30-th European Conference on Modeling and Simulation, ECMS, Regensburg, Germany, P. 663-668.

77. Satin, Ya., Zeifman, A., Korotysheva, A., Kiseleva, K. Two-Sided Truncations for a Class of Continuous-Time Markov Chains. - 2017. - Springer International Publishing AG 2017 A. Dudin et al. (Eds.): ITMM 2017, CCIS 800. doi: 10.1007/978-3-319-68069-9 25, P. 312 - 323.

78. Satin, Ya., Korotysheva, A., Shilova, G., Sipin, A., Fokicheva, E., Kiseleva, K., Zeifman, A., Korolev, V., Shorgin, S. Two-sided truncations for the MtlMtlS queueing model. - 2017. - Proceedings 31-st European Conference on Modeling and Simulation, ECMS, Budapest, Hungary, P. 635 - 641.

79. Satin, Ya., Zeifman, A., Kryukova, A., On the Rate of Convergence and Limiting Characteristics for a Nonstationary Queueing Model // Mathematics. — 2019.

- V.7. P. 678.

80. Semenova, O., Dudin, A.N., Karolik, A.V., Maslakova, O.V. Investigation of a BMAP/SM/1 Retrial System with Markovian Arrival Input of Disasters and Non-instantaneous Recovery of the Server// "Computer Data Analysis and Modeling" (Proceedings of the 6th International Conference). - Minsk. - 2001. - V.l. P. 128

_ 131.

81. Sinitcina A., Satin, Ya., Zeifman, A., Shilova, G., Sipin, A., Kiseleva, K., Panfilova T., Kryukova, A., Gudkova, I., Fokiceva, E. On the Bounds for a Two-

Dimensional Birth-Death Process with Catastrophes// Mathematics . — 2018. - V.6(5). P. 80. DOI: 10.3390/math6050080

82. Stepanov, S.N. Markov Models with Retrials: The Calculation of Stationary Perfomance Measures Based on the Concept of Truncation // Mathematical and Computer Modelling. - 1999. - 30. - P. 207 - 228.

83. Van Doom, E. A., Zeifman, A. I.: On the speed of convergence to stationarity of the Erlang loss system. - 2009. - Queueing Syst. 63, P. 241 - 252.

84. E. A. Van Doom, A. I. Zeifman, T. L. Panfilova. Bounds and asymptotics for the rate of convergence of birth-death processes // Th. Prob. Appl. - 2010. 54. P. 97 - 113.

85. Voit, M.: A note of the rate of convergence to equilibrium for Erlang's model in the subcritical case. //J. Appl. Probab. - 2000. - 37, P. 918 - 923.

86. Zhang, Z. Analytical Results for Waiting Time and System Size Distributions in Two Parallel Queueing Systems // SIAM J. Appl. Math.- 1990. - 50(4), P. 1176-1193.

87. Zeifman, A. I. Stability for contionuous-time nonhomogeneous Markov chains. Lect. Notes Math. - 1985. - 1155, P. 401 - 414.

88. Zeifman, A. I. Some estimates of the rate of convergence for birth and death processes. - 1991. - Journal of Applied Probability, 28, P. 268 - 277.

89. Zeifman, A. I. Upper and lower bounds on the rate of convergence for nonhomogeneous birth and death processes. - 1995. - Stoch. Proc. Appl. 59, P. 157 - 173.

90. Zeifman, A., Leorato, S., Orsingher, E., Satin, Ya., Shilova, G. Some universal limits for nonhomogeneous birth and death processes. Queueing systems. - 2006. -52, P. 139- 151.

91. Zeifman, A., A. Korotysheva, Ya. Satin, G. Shilova, T. Panfilova, 2013. On a queueing model with group services, Lecture Notes in Communications in Computer and Information Science. - 2013. - 356, P. 198 - 205.

92. Zeifman, A., Satin, Ya., Panfilova, T. Limiting characteristics for finite birth-death-catastrophe processes // Mathematical biosciences. - 2013. - 245. - P. 96 _ 102.

93. A. I. Zeifman, A. Korotysheva, Ya. Satin, V. Korolev, V. Bening. Perturbation bounds and truncations for a class of Markovian queues, Queueing Systems. -2014. - vol. 76, P. 205 - 221.

94. Zeifman A., Korolev V. On perturbation bounds for continuous-time Markov chains// Statistics k Probability Letters. - V. 88. - 2014. - P. 66 - 72.

95. Zeifman A., Satin, Ya., Shilova, G., Korolev, V., Bening, V., Shorgin, S. On truncations for SZK model // Proceedings 28th European Conference on Modeling and Simulation, ECMS 2014, Brescia, Italy. - 2014. - P. 577 - 582.

96. Zeifman, A. I., Korolev, V. Y. Two-sided bounds on the rate of convergence for continuous-time finite inhomogeneous Markov chains // Statistics & Probability Letters - 103. - 2015. - P. 30 - 36.

97. Zeifman, A., Korotysheva, A., Shilova, G., Korolev, V., Bening, V. On perturbation bounds for a queueing model with group services // - 2015. - AIP Conference Proceedings. - 1648. - P. 250012-1-250012-3.

98. Zeifman, A., Satin, Ya., Korolev, V., Shorgin, S. On truncations for weakly ergodic inhomogeneous birth and death processes// International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. - 24. - 2014. - P. 503- 518.

99. Zeifman, A., Korotysheva, A., Satin, Ya., Korolev, V., Shorgin, S., Razumchik, R. Ergodicity and perturbation bounds for inhomogeneous birth and death processes with additional transitions from and to origin // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. - 25. - 2015. - P. 787 - 802.

100. Zeifman A., Satin Ya., Morozov E., Nekrasova R., Gorhsenin A. On the ergodicity bounds for a constant retrial rate queueing model // Proceedings of the 8-th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control

Systems and Workshops, IEEE Piscataway, NJ, USA, P. 323 - 326. - 2016, see https: / / arxiv.org/pdf/1506.01468.pdf.

101. Zeifman A., Satin Ya., Korotysheva, A., Shilova, G., Kiseleva, K., Korolev, V., Bening, V., Shorgin, S. Ergodicity bounds for birth-death processes with particularities. - 2016. - AIP Conference Proceedings. - 1738.

102. Zeifman, A., Korolev, V., Korotysheva, A., Satin, Ya., Kiseleva, K., Shorgin, S. Bounds for Markovian queues with possible catastrophes. - 2017. - Proceedings 31st European Conference on Modeling and Simulation, ECMS, Budapest, Hungary, P. 628 - 634.

103. Zeifman, A., Shilova, G., Kryukova, A., Kiseleva, K., On the Methods of Bounding the Rate of Convergence for Inhomogeneous Continuous-time Markov Chains. - 2018. - Abstracts of the 9-th International Workshop on Applied Probability 18-21 June 2018, Budapest, Hungary, P. 169 - 170.

104. Zeifman, A., Kiseleva, K., Satin, Ya., Kryukova, A., Korolev, V., On a Method of Bounding the Rate of Convergence for Finite Markovian Queues. - 2018. - 10-th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops IEEE Conference Publications, DOI: 10.1109/ICUMT.2018.8631216

105. Zeifman, A., Kiseleva, K., Panfilova, T., Kryukova, A., Satin, Ya., Shilova, G., Sipin, A., On Nonstationary MX/Mn/1 Queue with Catastrophes and State-Dependent Control at Idle Time. - 2019. - 17th International Conference on Computer Aided Systems Theory. February 2019. EXTENDED ABSTRACTS, Las Palmas de Gran Canaria, Spain, P. 44 - 45, http: / / eurocast2019.fulp.ulpgc.es / sites / default / files/Eurocast_2019_Extended _Abstract_Book_15_02_2019.pdf

106. Zeifman, A., Satin, Ya., Kiseleva, K., Kryukova, A., Applications of differential inequalities to bounding the rate of convergence for continuous-time Markov chains. // - 2019. - AIP Conference Proceedings. - 2116. - P. 090009 (2019), DOI: https://doi.org/10.1063/L5114074.

107. Zeifman, A., Satin, Ya., Kiseleva, K., Korolev, V., Panfilova, T., On limiting characteristics for a non-stationary two-processor heterogeneous system. //2019. - Applied Mathematics and Computation, vol. 351, P. 48 — 65, DOI: https://doi.Org/10.1016/j.amc.2019.01.032

108. Zeifman, A., Satin, Ya., Kryukova, A., Razumchik, R., Kiseleva, K., Shilova, G., On the Three Methods for Bounding the Rate of Convergence for some Continuous-time Markov Chains.- 2020. - Int. J. Appl. Math. Comput. Sci., 2020, V. 30, № 2, P. 251 - 266, DOI: 10.34768/amcs-2020-0020.

109. Zeifman, A., Satin, Ya., Kiseleva, K., Panfilova, T., Kryukova, A., Shilova, G., Sipin, A., Fokicheva, E., Bounds on the Rate of Convergence for Nonstationary Mx/Mn/1 Queue with Catastrophes and State-Dependent Control at Idle Time. // In: Moreno-Diaz R., Pichler F., Quesada-Arencibia A. (eds) Computer Aided Systems Theory - EUROCAST 2019. - EUROCAST 2019. Lecture Notes in Computer Science, vol 12013. Springer, 2020, P. 143 - 149, DOI: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-45093-9_18

110. Zeifman, A., Satin, Ya., Razumchik, R., Kryukova, A., Shilova, G., Bounding the Rate of Convergence for One Class of Finite Capacity Time Varying Markov Queues.// In: Gribaudo M., Iacono M., Phung-Duc T., Razumchik R. (eds) Computer Performance Engineering. EPEW 2019. Lecture Notes in Computer Science, vol 12039. Springer, 2020, P. 148 - 159, DOI: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-44411-2_10

111. Zeifman A., Satin Y., Kryukova A., Shilova G., Kiseleva K. (2020) Convergence Rate Estimates for Some Models of Queuing Theory, and Their Applications. In: Pinelas S., Graef J.R., Hilger S., Kloeden P., Schinas C. (eds) Differential and Difference Equations with Applications. ICDDEA 2019. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, vol 333. Springer, Cham. DOI: 10.1007/978-3-030-56323-3_4.

112. Zhang, L., Li, J. The M/M/c queue with mass exodus and mass arrivals when empty // J. Appl. Probab. - 2015. - 52, N4. - P. 990-1002.