Оценки сумм коэффициентов Фурье функций с заданным модулем гладкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Дьяченко, Дмитрий Михайлович

• Дьяченко, Дмитрий Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дьяченко, Дмитрий Михайлович

1.Введение

2. Двусторонние оценки сумм коэффициентов Фурье в одномерном случае

2.1 Оценки сумм модулей коэффициентов Фурье вр-ой степени функций класса Нш

2.2 Оценки норм в пространстве А\ последовательности коэффициентов Фурье функций класса Нш

3. Двусторонние оценки сумм коэффициентов Фурье в многомерном случае

3.1 Оценки для смешанного модуля непрерывности

3.2 Оценки для частных модулей гладкости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки сумм коэффициентов Фурье функций с заданным модулем гладкости»

Работа посвящена оценкам сумм степеней модулей коэффициентов Фурье функций из классов Нш как в одномерном, так и в многомерном случаях.

Приведем необходимые в дальнейшем определения, а затем сформулируем основные результаты работы.

Начнем с расмотрения функций одного переменного. Через Ь[О, 2тг] обозначим пространство 2тг- периодических измеримых функций /(х) с конечной нормой

2тг

И/Над - / \m\dx. о

Если /(х) е Ь[0, 27г] , то будем обозначать через т(/) = ^ + апсозпх + Ьпвтпх, (1.1) где

71=1

2тг ^ 2тг — ! /(х) сое пхйх Ъп = — J /(ж) эт пхйх, ап о ее ряд Фурье. В дальнейшем, будем полагать ао = 0, так как это не уменьшит общности дальнейших рассмотрений. Обозначим через оо

Ыар= ЛЫр + \ьп\р

71=1 сумму модулей коэффициентов Фурье этой функции в степени р. Пространством А\ будем называть множество функций /(х) € Ь[0, 27г] с введенной выше конечной нормой Ц/ц^.

Пусть заданный модуль непрерывности, то есть ш(6)

- некоторая непрерывная, полуаддитивная, неубывающая на [0,1] функция такая, что о;(0) = 0.

Через С[0,27г] обозначим пространство 27т- периодических непрерывных функций f(x) с конечной нормой

1с[0,2тг] = omaxJ/(a;)|.

Через cj(/, 5) обозначим модуль непрерывности в С[0,2тс] функции /(ж) G С[0, 27г], т.е. а;(/, (5) = sup ||/(ж + ¿) - /(ж)||с[о,2тг]-|i|<5

Через Нш обозначим множество функций f(x) € С[0,27г] таких, что иj(f, 5) < со(6), т.е. rw = {/€C[0,27r]:w(/,i)<w(i)}> где си(6)- заданный модуль непрерывности.

Если ш(6) = М5а, где данные числа а и М таковы, что М > 0 и а € (0,1], то такой класс функций Нш обозначается как L\pM а.

Через Ь2[0,27г] обозначим пространство 27т- периодических измеримых функций f(x) с конечной нормой

Wf\\moM=\IU(x))2dx

2тг \ 2 У

Через а/2)(£, /) - обозначим модуль непрерывности в L2[0, 27г] функции / € L2[0, 27г], т.е. w<2>(5, /) = sup

2тг а через - наилучшее приближение в Ь2[0,2тг] функции £ Ь2[0, 27г] тригонометрическими полиномами порядка п—1, т.е.

E¡?\f)=m£\\f-Tn\\v[0M, n n- 1 где Tn — 9 "f- E eos fca; + a^ sin kx, Ck и d^ - произвольные ¿ fc=i действительные исла.

Теперь приведем определения для функции m переменных.

Будем далее обозначать х = (жх,., xm), п = (щ, .,пт), пх = xini + . + хтпт и Тт = [0,2тг]т.

Через L(Tm) обозначим пространство 27г- периодических по каждой переменной измеримых функций f(x) = f(xi,.,xm) с конечной нормой ll/IUcr») = / !/(s)|cte. грт

Если /(ж) € L(Tm), то ее ряд Фурье будем обозначать через = £ спе^, nez где

Для того, чтобы сделать формулировки утверждений в многомерном случае более простыми, будем рассматривать класс тех f(x) £ L(Tm), у которых ряд Фурье имеет вид

00 00 V Г pinx — V V г Pinx nen п!=1 nm=l

Функцию a;(¿) = a;(¿i,., £т) будем называть смешанным модулем непрерывности, если ш{€) - неотрицательная, непрерывная, неубывающая по каждой переменной на [0,1]т функция что для любого j = 1 ,.,т и любых фиксированных i,tj-i,tj+i,., tm, где U e [0,1] имеем cj(ti,., tj-1,0, tj+1,tm) = 0 и для любых положительных tj и t'j, (tj + t'j) < 1 имеем и(¿i,., ¿ji, tj Л-t'j, tj+i,., tm) = tj-i,tj, tj+i,., tm) + cj(£i, ., tj-i,t'j, tj+1, .,tm).

Через C(Tm) обозначим пространство 27г- периодических по каждой переменной непрерывных функций /(аг) с конечной нормой f\\c{T™) = max |/(ж)|. Будем обозначать через

Д(/,®-«/2,и) = £ (-i)il+-+Zm/(®i - ^ + ta, - — + /mwTO) lj 6(0,1} z z

- смешанную симметрическую разность первого порядка функции /(ж), через <*>(/, .,tm) = sup ||Л(/,а;-u/2,u)||c(r™)

- смешанный модуль непрерывности в С(Тт) функции /(a;) £ С(Тт).

Через Нш(Тт) обозначим множество функций f(x) € С(Тт) таких, что tu(f,t) < u){t), т.е. {/ € C[0,27r]m : uj(f,S) < w(<5)}, где a;(i) — заданный смешанный модуль непрерывности.

Через Ь2(Тт) обозначим пространство 2тт- периодических по каждой переменной измеримых функций /(х) с конечной нормой

11/1 \щт~)=(/(Пх))2<1х)\ через эир ||Д(/,ж - и/2,и)\\Ь2(тт) з<т смешанный модуль непрерывности функции /(ж) € Ь2(Тт) в метрике Ь2(Тт).

Через Еп(/)12(Тт) п = (щ, .,пт), щ 6 N обозначим наилучшее приближение "углом11 функции /(х) Е Ь2(Тт) в метрике Ь2{ТШ). Как показано в работе [5]

00 оо

Т-) = (2ТГ)- Е . £ Ы2к\—711 к-щ—Пщ

При г = 1, 2.ГП и любом г € N обозначим через г

Х\ £) = Е {~1)Г~кС^{хь ., Хг„ЪХг + Ы, Х1+Ъ Жт), а;—о

Смешанным модулем гладкости порядка г € ./V в С(Тт) функции /(ж) £ С(Тт) назовем величину

Ь ¿то) = ти эир ||Лг(/;а; - —-;г/)||с(гт) = = Эйр II Аг(/; X] и)\\с(Тт) и3\<1з,1<]<т

Пусть, кроме того, частным модулем гладкости по г-той переменной порядка г в С(Тт) функции f(x) G С(Тт) назовем величину г sup II ХХ-1)7-- C^f(xi,.,xi^i,xi + kt,xi+1,.,xm)\\c{T^)-И <<5 к=о

Функцию ur{t) одного переменного t будем называть модулем гладкости порядка г, если cur(t)~ неотрицательная, непрерывная, неубывающая на [0,1] функция такая, что wr(0) = О и шг(М) < (A + l)ru;r(i) (Л > 0).

Теперь если задан одномерный модуль гладкости ur{t) порядка г, то пусть

H^(Tm) = {f:ur(f]t)<ur{t)}, где шr(/;i) = .maxmw?\f;t).

Подробней о различных модулях гладкости и о приближении функций можно прочитать в работе [7].

Напомним, что в многомерном случае мы рассматриваем класс тех функций, у которых отличны от нуля только коэффициенты сп с 711, ■■••,Tim > 0.

Теперь приведем условия, которым будут удовлетворять модуль непрерывности смешанный модуль непрерывности и(6) и модуль гладкости порядка г ujr{ô).

Определение 1.Будем говорить, что функция u(t) удовлетворяет условиям В и В', если, соответственно, существуют константы С и С', не зависящие от 8 Е (0,1], такие, что оо си (к) И /7Г\ -Ап1<Сш(6) и ¿ЕЦ- <С'ы((5). п=Щ+1 П

Очевидно, что справедлив такой результат Утверждение 0. Функция удовлетворяет условиям В и В', в том и только в том случае, если существуют некоторые константы ^ и не зависящие от Н Е (0,1], для которых выполнены соответственно неравенства ос ш {тт2~к+1) < Рш{К) при 0 < Н < 1 к=[ 1оё2 ±]+1 и

N2 1 к ^ си (тт2-к+1) 2к < Р'ш{Ь) при 0 < Н < к=1 2

Определение 2. Пусть число <7 > 2, тогда будем говорить, что удовлетворяет условию {Вч ), если существует константа В\, не зависящая от Н £ (0,1), такая, что

К к] г9 £ и ("7Г2А;) 29/г < Вхш{К). к—\

Определение 3. Пусть {ап}п^г т — ш-кратная числовая последовательность, к б Zm и 1 < э <т. Тогда обозначим

А ¿(а*) = а* - 0>к1,.,к]-1,к3+1,к]+1.,кТп) и

Д(а*) = Лх (Д2. (Дт(а*))).

Скажем, что неотрицательная непрерывная, неубывающая по каждой переменной на [0,1]т функция о;(£х, ■■•) ¿т) монотонна в смысле Харди, если для любого вектора п — (ni, .,nm) 6

Z"1 имеем

L2)

Если последовательность

7г 7г удовлетворяет условию (1.2), то говорят, что она монотонна в смысле Харди.

В многомерном случае аналогом определения 1 является нижеследующее

Определение 4. Скажем, что функция uj{t\, .,£m), монотонная в смысле Харди, обладает свойством (С), если У В С {1,., т} существует константа С в, не зависящая от ¿>i,., öm £ [0,1], такая, что

П*, / / "¡Ьу-'Чаксмь,■■■,**.)■ ПЮА1П1 зев JÍB J

Будем еще пользоваться следующим обозначением

В = B(w) = sup Св-в

Более подробно об этих условиях написано в статьях П.Л.Ульянова (см. [8]), Н.К. Бари и С.Б. Стечкина(см. [2]) и других авторов.

В 1914 году H.H. Лузин и А.Данжуа доказали (см. [1], стр. 173) следующую теорему:

Теорема А.Если тригонометрический ряд оо ап cos rix + bn sin nx

71=1 сходится абсолютно на множестве Е, т(Е) > 0, то оо

Е Ы + \ьп\ < оо. п= 1

В 1914 году С.Н.Бернштейн установил (см.[1], стр. 608) для функций из класса 1лрм а следующее свойство:

Теорема Б .Если функция ¡{х) удовлетворяет условию Липшица порядка а, где а > то ее ряд Фурье сходится абсолютно.

Понятно, что сумма модулей коэффициентов Фурье функции из 1лрм а при а > | конечна. Встал вопрос об оценке величины оо

Е Ы + \ъп\. п—1

В 1951 году С.Б.Стечкиным был установлен следующий результат ([6], стр. 230):

Теорема В.Пусть f 6 Ь2[0,2-к\ и (1.1) - ее ряд Фурье. Зададим возрастающую последовательность номеров {щ}. Тогда

ОО 00 1 / 1 \

Е + < с Е-тг^(2) • к= 1 к=1 ук \пк )

После этих результатов естественно встает вопрос об оценках снизу и сверху величины

00

11/|ЦР = Е Ыр + \ьп\р. п= 1

Введем следующее обозначение :

А)'

22-«9(3- ?)-!(! -Я)1-", 1<?<15

В диссертации (§2.1) доказана

Теорема 1. Пусть р 6 (0,2)и u(t) - модуль непрерывности, удовлетворяющий условиям В и В' из определения 1. Тогда справедливы неравенства

00 /сЛ^\р 00 00 fw(z)\p

BiY, Иг < sup + Hf- , к=1 \ Vk J feHu n=i k= l \ Vk J = (^(|с'+с+6)Г = (!)•

В §2.2, для наиболее интересного случая р = 1, уточнены постоянные в доказанных неравенствах, а именно доказана

Теорема 2. Пусть w(t) - модуль непрерывности, удовлетворяющий условиям В и В'из утверждения 0. Тогда справедливы неравенства

00 ш (т) 00 ш fr)

Ki Е —т^ < sup ||/lk -)f, где i^i = (2+y/2)(2F+F')' ^2 = "if •

В качестве следствия теоремы 2 приведены оценки для класса LipM су, в которых выяснена их зависимость от М и а.

Следствие 2.2 Пусть даны числа М > 0 и а 6 1) • Тогда справедливы неравенства

М М

Аг—г< sup ll/IU, <

2а - 1 fehipM а 2а - 1 где Di — 2a(3-2a-2-'*)(2+V2) И ^ ~ ■

Во второй главе рассмотрены аналогичные задачи в многомерном случае.

В §2.1 для смешанного модуля непрерывности доказана

Теорема 3. Пусть р £ (0,2), функция u(t)~ смешанный модуль непрерывности - обладает свойством (С)определения 4 и монотонна в смысле Харди. Тогда справедливы неравенства оо 00 fu(JL JL.)\P а, е . Е 7 nJ) < оо оо sup Е . £ \ск\р < feH<" (1^)^=1 кт=1 л2 Е . Е ' . ос оо /U(JL JL.Y

•• / Ш V 711 ' ' 71™ > щ=1 Tim—1 \ л/п1---пт J где Аг = (40^)^, А2 = щ^е? и в = ВИ = SUPв СВ

Если же гладкость функции измеряется в терминах частных модулей гладкости, то в многомерном случае придется использовать модули гладкости достаточно большого порядка. Оказалось, что удобно описывать гладкость с помощью величины wr(f,t). В параграфе 3.2 установлен такой результат

Теорема 4. Пусть р€ (0, 2), г > т и wr{t) - модуль гладкости порядка г, удовлетворяющий условиям (Вт) из определения 2 и (В) из утверждения 0. Тогда справедливы неравенства

Ai{p,m,r) ™ 7Т m!mp/2 Bl + F h Лк}

ОО 00 sup Е . Е Ыр < /€Я'-Г(Г™)А!1=1 кт=1

А2(Р)т,г)^"Лт)Ркт-1-тр/2,

ОО п г " > b ■ к=1 К где А\{р, т, г) и Л2(р, га, г) - некоторые константы, зависящие только от р, т и г.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10], [И], [12],[13] и [14].

Автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям академику РАН, профессору

П. Л. Ульянову и профессору М.К. Потапову за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дьяченко, Дмитрий Михайлович, 2008 год

1. Н.К. Бари. Тригонометрические ряды, Москва, Физмат-гиз, 1961.

2. Н.К.Бари, С.Б. Стечкин. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций, ТММО, т.5(1956), 485-522.

3. М.И. Дьяченко, П.Л. Ульянов. Мера и интеграл, Москва, Факториал (1998).

4. Н.П.Корнейчук. Экстремальные задачи теории приближения, Москва, Наука (1976).п.М.К.Потапов. О приближении "углом Труды конференции по конструктивной теории функций, Венгрия, Будапешт, 1972 г., с.371-399.

5. С.Б.Стечкии.Об абсолютной сходимости ортогональных рядов, Матем. сборник, 29 (71), 225 (1951).

6. А.Ф. Тиман. Теория приближения функций действительного переменного, Москва, Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

7. П.Л. Ульянов. О модулях непрерывности и коэффициентах Фурье, Вестн. МГУ, Сер.I, 1995, 1.

8. Г.Харди, Дэю.Литтльвуд, Г.Полиа. Неравенства, ИЛ, 1948.

9. Д.М.Дьяченко О точных константах в абсолютно сходящихся рядах Фурье функций из класса Lipa;, Вестн. МГУ, Сер.1, 2004,4, с. 17-21.

10. Д. М.Дьяченко О свойствах коэффициентов Фурье для функций класса Нш, Вестн. МГУ, Сер.1, 2005,4, с. 18-25.

11. Д.М.Дьяченко О некоторых константах а абсолютно сходящихся рядах Фурье из Нш, Известия высших учебныхзаведений, 7(542),2007, с. 42-50.

12. Д.М.Дьяченко О некоторых неравенствах для сумм модулей коэффициентов Фурье функций из Нш(Тт), Современные проблемы теории функций и их приложения, Саратов, изд-во Сарат. ун-та, 2008, с.70.

13. Д. МДьяченко О двусторонних оценках сумм модулей коэффициентов фурье функций из Нш(Тт), Вестн. МГУ, Сер.1, 2008,3.