Оценки погрешности двумерной кусочно-полиномиальной биркгофовой интерполяции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Латыпова, Наталья Владимировна

• Латыпова, Наталья Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Латыпова, Наталья Владимировна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1

§1. Теоремы существования и единственности

§2. Вспомогательные результаты

ГЛАВА 2. Некоторые частные случаи (п — 7)

§1. Оценки сверху

§2. Оценки снизу

ГЛАВА 3. Общий случай (п = 4/с + 3)

§1. Оценки сверху

§2. Оценки снизу

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ: рисунки

ЛИТЕРАТУРА

99

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки погрешности двумерной кусочно-полиномиальной биркгофовой интерполяции»

Введение

В связи с методом конечных элементов (МКЭ) в последние годы активно изучается зависимость оценок погрешности аппроксимации классов диффференцируемых функций интерполяционными многочленами двух и большего числа переменных от геометрических характеристик триангуляции.

Метод конечных элементов завоевал всеобщее признание как эффективный метод решения самых разнообразных задач математической физики и техники. Такая популярность метода объясняется наглядностью его физической интерпретации и простотой алгоритмической реализации на ЭВМ, облегчающей программирование сложных задач математической физики. Этот метод в своей основе является вариационным, и история его возникновения и развития восходит к основополагающим работам Рит-ца, Крылова Н.М., Галеркина Б.Г. и Бубнова И.Г. В настоящее время МКЭ перестал быть чисто теоретическим и стал эффективным средством решения прикладных задач благодаря идее использования многомерных сплайнов. Успех в развитии теории сплайнов в значительной степени стимулировал разработку математических основ МКЭ. Эти две теории, развивавшиеся в начале параллельно, первая в основном усилиями математиков, вторая — инженеров, в дальнейшем были объединены в создании столь мощного метода.

Идея метода состоит в следующем: сплошная среда, имеющая бесконечное число степеней свободы, заменяется совокупностью простых элементов (конечных элементов ), имеющих конечное число степеней свободы и связанных между собой в узловых точках.

Характерные черты МКЭ: большой диапозон применения, легкость учета реальной геометрии, простота учета температурных и силовых нагрузок, приспособленность к автоматизации на всех этапах расчета. О преимуществах и практическом применении МКЭ можно узнать из [3, 5, 7, 8, 15, 16, 22] .

Этапы МКЭ:

1. Разбиение конструкции на конечные элементы.

2. Описание геометрии КЭ и свойств материала.

3. Выбор базисных функций, определяющих параметры МКЭ.

4. Описание нагрузок, действующих на элементы и в узловых точках.

5. Построение для выделенных КЭ матриц жесткости, определяющих зависимости между реакциями и перемещениями узлов.

6. Формирование разрешающей системы уравнений.

7. Решение полученной системы уравнений, учет полей перемещений и напряжений конструкций.

Подробнее об этом можно найти в [1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 13, 16, 17, 22].

МКЭ впервые был предложен в работе Куранта [46] в 1943 году, но это важное исследование осталось тогда незамеченным. Затем в начале 50-х годов метод вновь независимо был открыт инженерами. Наиболее ранние ссылки, широко встречающиеся в технической литературе, относятся к работам Аргириса [29], Тернера, Клафа, Мартина, Топпа [56]. Название метода было предложено Клафом [45]. Исторический обзор развития метода с инженерной точки зрения дан у Одена [14] и Зенкевича [66].

Только в 60-х годах математиками, в особенности Михлиным С.Г. [10, 11], было показано значение анализа методов Ритца и Галеркина Б.Г. Интересно заметить, что, хотя они не были знакомы с достижениями инженеров, изучавшиеся ими приближенные методы все более походили на МКЭ, как показывают, например, работы Варги [57], Cea [43] (для одномерного случая), Биркгофа, Шульца, Варги [40] (для многомерного случая). Затем происходит массовое появление работ, начиная со статьи Зламала [67], которая обычно рассматривается как первый пример современного строгого математического анализа ошибки "общего" МКЭ.

Теория интерполирования кусочно-полиномиальными функциями, которые локально на треугольнике определяются многочленами, не была систематизирована до конца 60-х годов. К 1968 году помимо кусочно-линейных функций были известны кусочно-полиномиальные функции второй [47] и третьей [48] степени. Это были функции, которые не только интерполировали непрерывные функции, но и сами являлись непрерывными. В 1968 году Белл [39], Босшард [41], Виссе [58], Арги-рис, Фрид, Шарпф [30] и Зламал [67] независимо друг от друга построили кусочно-полиномиальную функцию пятой степени, которая была непрерывно дифференцируемой и интерполировала непрерывно дифференцируемые функции. В [30] представлены также кусочно-полиномиальные функции шестой и седьмой степени. Анализируя

метод доказательства [67], Женишек [62, 69] построил иерархию интерполяционных кусочно-полиномиальных функций на треугольнике. Причем Женишек [64] доказал красивую теорему: чтобы кусочно-полиномиальные функции принадлежали классу Ск на произвольной триангуляции многоугольной области, узловые параметры, для интерполяционных процессов, заданных локально на треугольнике, должны включать все производные порядка меньшего либо равного 2к в вершинах треугольника. Как следствие получается, что наименьшая степень таких многочленов равна 4/г + 1. Отсюда нетрудно видеть, что для кусочно-полиномиальных функций степени 4к + х (х = 1)2,3,4) нельзя построить интерполяционный процесс гладкости С^"1"1.

Первые оценки погрешности аппроксимации на треугольнике принадлежат для кусочно-линейных функций Шварцу [27], Синджу [54], для кусочно-полиномиальных функций второй, третьей и пятой степени — Зламалу [67]. Результаты и методы Зламала были обобщены Женишеком [62] для кусочно-полиномиальных функций девятой и тринадцатой степени. Для кусочно-полиномиальных функций произвольной степени Ак + 1 для некоторых интерполяционных процессов оценки погрешности получили Брэмбл и Зламал [42]. Общую же оценку сверху для произвольной триангуляции, произвольных интерполяционных процессов в И" получили Сьярле и Равьяр [44]. Следует подчеркнуть, что до работы Сьярле и Равьяра ( 1972 год ) изучался только двумерный случай, они же получили оценки погрешности для произвольной размерности.

Как правило, оценки погрешности аппроксимации для производных интерполируемой функции характеризуются двумя параметрами: диаметром разбиения и дополнительной характеристикой, которой в двумерном случае в указанных работах служил синус наименьшего угла триангуляции или его аналог. В некоторых случаях наименьший угол, фигурирующий в оценках Сьярле-Равьяра, можно заменить на средний (или наибольший, что с точностью до констант равносильно).

Эта зависимость оценок погрешности интерполяции от геометрии элемента ( посредством параметров диаметра и дополнительной характеристики ) обобщает условие Зламала [67, 68] и условие "равномерности" Стрэнга [52]. Жаме [49] было показано, что по крайней мере для некоторых конечных элементов условие регулярности [22] можно заменить на менее сильное условие. В специальном случае это же условие одновременно и независимо было найдено Бабушкой и Азизом [31]. По существу,

в случае треугольников оно равносильно тому, что наибольший угол треугольника не стремится к 7г, в то время как раньше предполагали, что наименьший угол не стремится к нулю. Это, кстати, было замечено еще Синджем [54].

При этом выясняется, что различные типы интерполяционных процессов (лагран-жев, эрмитов, биркгофов) по-разному реагируют на характер вырождения триангуляции. Подобные оценки автоматически переносятся на оценки погрешности метода конечных элементов.

В случае лагранжевой интерполяции оценка погрешности зависит от диаметра разбиения и синуса наибольшего угла. Для кусочно-линейных функций в двумерном случае Синдж [54] указал верхнюю, а Зламал [69] нижнюю оценки, зависящие от диаметра разбиения и синуса наибольшего угла. Эти оценки одинаковы с точностью до констант, и в этом смысле неулучшаемы. Фактически, первая нижняя оценка для аппроксимации производных производными кусочно-линейных функций была дана Шварцем ( см., например, [27, с.248]). Результат Синджа-Зламала был обобщен Ю.Н.Субботиным [18, 19, 20] на кусочно-полиномиальные функции произвольной степени и размерности.

Знание таких точных результатов позволяет более эффективно выбирать базисные функции. Например, для кусочно-кубических функций, которые часто используются на практике, Ю.Н.Субботин [19] показал, что для некоторого интерполяционного процесса оценки погрешности зависят от диаметра разбиения и синуса наименьшего угла, и эти оценки неулучшаемы, то есть построен пример функции из заданного класса и найдены положительные константы, не зависящие от триангуляции, для которых справедливы обратные оценки (оценки снизу). В отличие от лагранжевой интерполяции, где к настоящему моменту все выяснено, интерполяционные процессы типа Эрмита и Биркгофа еще мало изучены.

Наиболее трудным является случай биркгофовой интерполяции. Здесь окончательные результаты для кусочно-линейных и кусочно-параболических функций получены Д.О.Филимоненковым [24, 25, 26]. Для кусочно-полиномиальных функций пятой степени оценки, неулучшаемые с точностью до абсолютных констант, которые зависят от диаметра разбиения и среднего, либо среднего и наименьшего углов треугольника, получены Ю.Н.Субботиным [21], для кусочно-полиномиальных функций седьмой степени — Н.В.Латыповой [72]. Результат Ю.Н.Субботина был обобщен

H.В.Байдаковой [38], на некоторые интерполяционные процессы, связанные с кусочно-полиномиальными функциями степени Ак + 1, к £ N5 но неулучшаемость для части полученных оценок не доказана. В данной работе получены оценки погрешности аппроксимации кусочно-полиномиальными функциями степени Ак + 3 на группе интерполяционных процессов. Эти оценки неулучшаемы с точностью до абсолютных констант.

Следует отметить, что данные результаты могут быть использованы в современных разработках МКЭ, так называемых кр-версиях МКЭ, где диаметры разбиения /г сетки и степени р кусочно-полиномиальных функций выбираются таким образом, чтобы наиболее полно учесть локально-гладкостные свойства решения. Эти разработки активно ведутся Бабушкой и его учениками [32, 33, 34, 35, 36, 37, 51, 55, 65]. В этих версиях МКЭ используются высокие степени многочленов, поэтому исследования зависимости оценок погрешности аппроксимации от геометрических характеристик треугольника при возрастании степени многочленов могут быть важны для эффективного применения 1гр-версий МКЭ.

Перейдем теперь к краткому изложению диссертации по главам. Постановка задачи.

Пусть О— многоугольная область вЕ2с границей Г. Пусть Та = {Ад}— триангуляция множества = й и Г, то есть объединение конечного числа треугольников Ал, обладающее следующими свойствами (см. рис.1 Приложения):

I. открытые треугольники не пересекаются,

2. объединение замкнутых треугольников есть Г2,

3. два замкнутых треугольника могут иметь только либо общую вершину, либо общую сторону.

Пусть Pj— узлы триангуляции ( вершины треугольников ), 18— отрезки триангуляции ( стороны треугольников ). Обозначим {п5}— множество нормалей к сторонам треугольников триангуляции Т^. Оно однозначно определено, например, следующим образом. Если первая координата точки Р, меньше первой координаты точки то выберем направление п3 таким образом, чтобы при движении от прямой 13(Р^Рг) в этом направлении иметь точку Д справа. Если первые координаты точек Р{ и Pj совпадают, то сравниваются вторые координаты, то есть если вторая координата точки

Р^ меньше второй координаты точки Д, то аналогично п8 выбрано таким образом, чтобы при движении от прямой 18 в направлении п3 иметь точку Р.\ справа.

Определение. Будем говорить, что интерполяционный процесс имеет гладкость

\

Ст, если кусочно-полиномиальные функции, порожденные данным интерполяционным процессом на произвольной триангуляции Т^, являются т раз непрерывно дифференцируемыми в заданной области О, то есть во всей области П существуют и непрерывны все частные производные по т-й порядок включительно.

В силу локальности рассматриваемых интерполяционных условий можно ограничиться лишь одним треугольником, который, без ограничения общности, в плоскости ху будем располагать следующим образом: наибольшая сторона лежит на оси Ох (либо параллельна ей), а оставшаяся вершина лежит на оси Оу.

Пусть А—невырожденный треугольник в ВА Через щ (г = 1,2,3) будем обозначать вершины треугольника Л, через щ (г = 1,2,3)— единичную нормаль к стороне треугольника [а^а^х] (г = 1,2,3; а4 = ах); через а, (3,9— углы Д при вершинах а3, а2, «1 соответственно, 0 < а < (3 < в < ж. На каждой стороне [а^а^] выделим точки 3 = 1,..., к, такие , что при каждом фиксированном 3 эти точки делят

сторону, на которой они лежат, на 3 + 1 равные части: Ь^'^ = сц + — щ).

Пусть Ог)/(х,у) = г)^ 4- т/2-1 — производная по направлению г/ = (?7(1), ?7(2)), (7+ (т/2))2 = 1 и пусть при М > О

цгт+1 м = I . в1т> тЦх,у) непрерывны в Д (0 < I < т + 1)

и для любых (х, у) е Д и любых Г)1, ..., 7]т+1 {О^^Лх, у)\ < М }.

Через Р4^+з(ж,у) = будем обозначать многочлен, степень которого

по совокупности переменных не превосходит 4к + 3, удовлетворяющий следующим интерполяционным условиям:

д^*д1гт*)-Р*+гЫ} = 0 (1)

(О < 5 < 2к + 1,0 < т < з, 1 < г < 3),

0{А1(ЬР]))-Р4к+5(ЬРЛ)} = 0 (2)

(1 < 2 < к, 1 < г < з, 1 < г < 3).

Два данных типа условий обеспечивают гладкость Ск интерполяционного процесса. Третий тип условий, обеспечивающий его единственность, будет варьироваться.

В силу локальности интерполяционных процессов можно ограничиться лишь одним треугольником.

В первом параграфе главы 1 рассматриваются различные типы таких условий и доказываются теоремы существования и единственности для соответствующих интерполяционных процессов. А также то, что эти процессы имеют гладкость Cfc. Второй параграф посвящен вспомогательным утверждениям, которые позже применяются в главе 3. Обозначим:

Н— длину наибольшей стороны, у(ср) = max{l,ctg<^};

е(х,у) = f(x,y) - Р4к+3(х, у)] eid(x,y) = ■

Глава 2 посвящена оценкам погрешности аппроксимации производных интерполируемой функции класса WSM интерполяционными многочленами седьмой степени для двух интерполяционных процессов, описываемых условиями (1),(2),(3) и (1),(2),(4):

^[/(#Д))-^(^1Д))] = 0(1<г<3), (3)

г

d^flfiai) ~ Рг(аг)} = 0 (1<г<3). (4)

Доказывается следующая теорема.

Теорема 2.1 Существуют абсолютные положительные константы Cij такие, что при k = 1 для интерполяционных процессов,

а) описываемых условиями (1), (2), (3),

б) описываемых условиями (1), (2), (4),

для любого невырожденного треугольника Л, любой функции f 6Е W8M и для любого {х-> у) € Д имеют место следующие оценки:

m,m(%i У) |

Са-т>тМН8-*чт{(3) (0 < т < 1, т < з < 7),

С3^тМН^1{!5)1т-1{а) (2 < т < 4, т < з < 7), ^ С,_т,тМЯ8-57т"3(/?)73(а) (5 < т < 7, т < 5 < 7).

На всем классе оценки с точностью до абсолютных констант неулучшаемы.

Замечание 1. Неулучшаемость понимается в том смысле, что существует функция /* € ]¥4ММ и существуют абсолютные положительные константы к), не зависящие от триангуляции, такие, что для любого невырожденного треугольника

справедливы обратные оценки (оценки снизу). Другими словами, построен пример функции, на которой достигаются полученные оценки.

Замечание 2. Отличие полученных оценок от оценок Сьярле-Равьяра хорошо видно на примере прямоугольного треугольника. Если наименьший угол а стремится к нулю, то средний угол (3 будет стремится к |, а значит, полученные оценки для первой производной являются абсолютными, а для производных со второго по четвертый порядок чуть лучше, чем у Сьярле-Равьяра, а для производных старшего порядка — значительно лучше.

В главе 3 рассматриваются четыре интерполяционных процесса, третий тип условий для которых имеет вид:

;[/(аО-Р4*+з(Ог)] = 0 (5г)

(к + 1 < т < 2к + 1, к + 1 < 5 < ЗА; + 2 - т),

^^[/(аг)-Р«+з(аг)] = 0 (6г)

(к + I < т < 2к, к + I < в < Зк + I — т),

1+1)) - = о (1 < г < к + 1). (7г)

г+1

где Тг и <7{— единичные векторы, направленные от щ соответственно к и

сц_1 (04 = ах,ао = аз).

В первом параграфе рассматриваются оценки сверху.

Теорема 3.1 Существуют абсолютные положительные константы Су(&), зависящие только от к, такие, что для интерполяционного процесса (1), (2), (61), (71), любой функции / 6 ТУ4Й+4М и любого невырожденного треугольника А, любого (х,у) € А, имеют место следующие оценки:

(О < т < 2к + 1,т < в < Ак + 3),

v _ _ _ _ л

С,_т,тМЯ«+4-у ^ (а)7™-2*-1 ((3) (2к + 2 < т < Ак + 3,тп < 5 < 4/с + 3).

На всем классе \У4к+4"М оценки с точностью до абсолютных констант неулучшае-мы.

Замечание 3. Существуют абсолютные положительные константы Су такие, что для интерполяционного процесса (1), (2), (61), (7х) при к = 0, для любой / е И^М и

\ев-т,т(х,у)\ < <

любого невырожденного Л имеют место следующие оценки:

' С8_т>тМЯ4-5чт((3) (0 < т < 1, т < з < 3), \е8^т,п{х,у)\< С8_2,2МЯ4-87(/?)7(а) (т = 2, т < з < 3), (9)

Со^МНуЦр^а) (т = 3,з = 3).

Далее сформулированы и доказаны теоремы 3.2 и 3.3, которые утверждают, что существуют абсолютные положительные константы такие, что для интерпо-

ляционных процессов (1), (2), (5г) и (1), (2), (бг)' соответственно, для любой функции / Е \У4к+4М и любого невырожденного треугольника Д справедливы оценки (8), которые также являются неулучшаемыми на всем классе Ш4к+4М.

Интерполяционный процесс, описываемый условиями (1) ,(2) и (5з) был предложен Женишеком [62], им же были получены оценки, зависящие от диаметра разбиения и наименьшего угла, и по существу совпадающие с точностью до абсолютных констант с оценками Сьярле-Равьяра. Как видно из следующей теоремы, для некоторых старших производных оценки можно улучшить.

Теорема 3.4Существуют абсолютные положительные константы зави-

сящие только от к, такие, что для интерполяционного процесса (1), (2), (5з), любой функции / € Ж4/с+4М и любого невырожденного треугольника Д, любого (х,у) £ Д, имеют место следующие оценки:

m,m{p^i У) | ^ *

Cs-m^mM H4k+A~sJm (а)

(О < т < 3k + 2,m < s < Ак + 3), , ч

^ - - > - - h

Cs_m,mM#4fc+4-* 73fc+2 (а)чт-3к~2((3)

(Зк + 3 < т < Ак + 3,m < s < Ак + 3).

На всем классе WAk+4M оценки с точностью до абсолютных констант неулучшае-мы.

Надо отметить, что полученные оценки хотя и выражаются через производные по хну, они остаются справедливыми по любому направлению дифференцирования в силу формулы

де{х,у) де(х,у) D^{x, у) = cos^i——--Ь cos —^—,

где cos V\, cos vi— направляющие косинусы направления

Первая часть оценок во всех четырех теоремах аналогична оценкам Сьярле-Равьяра, но ,к сожалению, методика доказательства такова, что вид окончательных

оценок заранее неизвестен. Правда, природа рассмотренных интерполяционных процессов такова, что полученные оценки улучшить на всем классе ИГ4к+4М по параметру а не возможно. Этому вопросу посвящен следующий параграф. Построен пример функции

Г(Х'У) = (ЙТ4)!(1 " 6)21+2(1 + а)2'+2+

показывающий, что с точностью до абсолютных констант, зависящих только от к, для соответствующих интерполяционных процессов оценки (8),(9),(10) неулучшаемы.

Результаты диссертации докладывались на совместном семинаре Отдела теории приближения функций и Отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН ( под рук. проф. Ю.Н.Субботина и проф. Н.И.Черных ), на кафедре математического анализа и теории функций УрГУ, на Международной конференции по теории функций памяти С.Б.Стечкина ( Миасс, 1996 г.), на 27-й, 28-й и 30-й Молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" ( Екатеринбург, 1996, 1997 и 1999 гг. ). Основные результаты опубликованы автором в работах [ТО]—[75].

Автор выражает глубокую благодарность и искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Юрию Николаевичу Субботину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Латыпова, Наталья Владимировна

Заключение

Как видно из доказательств, метод получения оценок был такой. Учитывая часть условий интерполяции, получают оценки для некоторой части производных от функции погрешности аппроксимации в определенной точке, затем, используя следующую небольшую часть условий интерполяции и уже найденные оценки, находят оценки погрешности для новой группы производных и так далее. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Коши, подучают оценки производных погрешности в произвольной точке.

При этом общая схема разбиения, на подсистемы и вид окончательных оценок заранее неизвестны. Поэтому приходится действовать в какой-то мере методом "проб и ошибок", а получив результат, доказывать его окончательность.

Разные дополнительные условия по-разному влияют на оценки погрешности. Вероятно, ухудшение происходит из-за того, что какие-то условия задаются в вершине треугольника (это, например, потверждает замечание 1 к теореме 3.1, а также результаты главы 2). Но также можно заметить, что влияние оказывает и то, в какой именно вершине заданы эти условия (из сравнений результатов теорем 3.2-3.4). Все это требует дальнейших исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Латыпова, Наталья Владимировна, 1999 год

Библиография

[1] Андреев В.В., Руховец Л.А. Проекционные Методы (МКЭ) // сер."Математика и кибернетика". 11 (1986).— М.: Знание. 32 с.

[2] Березин И.С. Жидков Н.П. Методы вычислений.— М.: Физматгиз, 1962. Т.1. 464 с.

[3 [4 [5 [б

[7

[8

[10

[И

Галагер Р. Метод конечных элементов. Основы.— М.: Мир, 1984. 95 с.

Деклу Ж. Метод конечных элементов.— М.: Мир, 1976. 95 с.

Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.— М.:Мир, 1975. 541 с.

Зенкевич 0., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. — М.: Мир, 1986. 318 с.

Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности.— Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 206 с.

Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.— М.: Наука, 1981. 416 с.

Митчелл Э., Уайт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. — М.: Мир, 1981. 216 с.

Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.— М.: Гостех-издат, 1957. 476 с.

Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. — М.: Наука, 1966. 432 с.

[12] Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. — М.: Наука, 1980. 254 с.

[13] Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. — М.: Мир, 1977. 383 с.

[14] Оден Д.Т. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. — М.: Мир, 1976. 464 с.

[15] Розин JI.A. Стержневые системы как системы конечных элементов. — JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976., 232 с.

[16] Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979. 392с.

[17] Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977. 349с.

[18] Субботин Ю.Н. Многомерная кратная полиномиальная интерполяция // Методы аппроксимации и интерполяции. Новосибирск,1981. С.148-152.

[19] Субботин Ю.Н. Погрешность в многомерной кусочно-полиномиальной аппроксимации // Тр. мат. института им. Стеклова. Т. 180 (1987). С. 208-209.

[20] Субботин Ю.Н. Зависимость оценок многомерной кусочно-полиномиальной аппроксимации от геометрических характеристик триангуляции // Тр. МИАН СССР (1989). Т.189. С. 117-137.

[21] Субботин Ю.Н. Зависимость оценок аппроксимации интерполяционными полиномами пятой степени от геометрических характеристик треугольника // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1992. Т.2.С.110-119.

[22] Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980.512 с.

[23] Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. — М.: Наука, 1977. 288 с.

[24] Филимоненков Д.О. Погрешность кусочно-полиномиальных интерполяционных процессов в пространствах Соболева // Тез. докл. конференции молодых математиков. Свердловск. 1987. С. 68.

[25] Филимоненков Д.О. Об условии существования интерполяционного полинома второй степени в R™ // Проблемы теорет. и прикл. математики (Информ. материалы) / АН СССР УрО ИММ. Свердловск. 1989. С. 47.

[26] Филимоненков Д.О. О линейной аппроксимации на плоскости, не зависящей от вырождения триангуляции //Ж. выч. мат-ки и мат. физики. Т.35, 9 (1995). С. 1439-1445.

[27] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.З. — М.: Наука, 1966. 632 с.

[28] Apel Т. Anisotropic interpolation error estimates and applications //(Preprint) TU Chemnitz-Zwickau, D-09107 Chemnitz, Germany.

[29] Argyris J.H. Energy theorems and structural analysis. Part 1: General theory, Aircraft engineering. London, 1954-1955.

[30] Argyris J.H., Fried I., Scharpf D.W. The Tuba Family of Plate Elements for the Matrix Displacement Method // The Aeronautical J.of the R. Aer. Soc. Vol.72 (1968). P.618-623.

[31] Babuska I., Aziz I.K. On the angle condition in the finite element method // Numer. Anal. Vol.13 (1976). P.214-226.

[32] Babuska I., Suri M. The h-p-version of the finite element method with quasiuniform meshes // Mathematical modelling and Numerical Analysis. Vol. 21, n.2 (1987). P. 199-238.

[33] Babuska I. Recent progress in the p- and h-p-versions of the finite element method // Reprint Maryland, College Park Campus. Institute for physical science and technology. Jule 1987 (Tech. Note BN-1067).

[34] Babuska I. Information based numerical practice // Reprint Maryland, College Park Campus. Institute for physical science and technology. February 1987 (Tech. Note BN-1059).

[35] Babuska I., Suri M. The treatment of nonhomogeneous Dirichlet boundary conditions by the p-version of the finite element method // Reprint Maryland,

College Park Campus. Institute for physical science and technology. April 1987 (Tech. Note BN-1063).

[36] Babuska I., Scapolla T. Computational aspects of the h, p and h-p-versions of the finite element method // Advances in computer methods for partial differential equations.— 6 Publ. IMACS-1987. P.233-240.

[37] Babuska I. The p and h-p-versions of the finite element method. The state of the art // Reprint Maryland, College Park Campus. Institute for physical science and technology. September 1986. (Tech. Note BN-1156).

[38] Baidakova N. On some interpolation process by polynomials of degree at most 4m+l on the triangle. ( в печати )

[39] Bell К. Refined Triangular Plate Bending Finite Element // Int. J. Numer. Meth. Eng. Vol.1 (1969). P. 101-122. .

[40] Birkhoff G., Schultz M.N., Varga R.S. Piecewise Hermite interpolation in one and two variables with applications to partial differential equations // Numer. Math. Vol. 11 (1968) P. 232-256.

[41] Bosshard W. Ein neues vollverträgliches endliches Element für Plattenbiegurg // Abhandlungen der Internationalen Vereinigung für Brückenbau und Hochbau. Zürich. 1968.

[42] Bramble J.H., Zlamal M. Triangular elements in the finite element method // Math. Comput. Vol. 24 (1970) P.809-820.

[43] Cea J. Approximation variatiorinelle des problemes aux limites // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). Vol. 14 (1964). P. 345-444.

[44] Ciariet P.G., Raviart P.A. General Lagrange and Hermite interpolation in Rn with applications to finite element methods // Arch. Rat. Mech. and Anal. Vol.46. N.3 (1972). S.177-199.

[45] Clough R.W. The finite element method in plane stress analysis // Proceedings of the Second ASCE Conference on Electronic Computation. Pittsburg. Pennsylvania. 1960.

[46] Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations // Bull. Amer. Math. Soc. Vol. 49 (1943). P. 1-23.

[47] Fraeijs De Veubeke B. Displacement and equilibrium models in the finite element method // Stress analysis (ed. Zienkiewicz O.C. and Holister G.S.) London, 1965.

[48] Holand J., Bergan P.G. Higher-Order Finite Element for Plane Stress // Proceedings ASCE, EM2 (1968). P. 698-702.

[49] Jamet P. Estimations d'erreur pour des éléments finis droits presque dégénérés // Rev. Française Automat. Informat. Recherche Opérationnelle, Sér. Rouge Anal. Numér. Vol. 13, N. 3 (1976). P. 43-61.

[50] Nicolaidis R.A. On the class of finite elements generated by Lagrange interpolation // Numer. Anal. Vol.9 (1972). S.435-445.

[51] Rank E., Babuska I. An expert system for the optimal mesh design in the hp-version of the finite element method // Presented at the First World Congress on Computational Mexanics, Austin, Texas. September 1986.

[52] Strang G. Approximation in the finite element method // Numer. Math. Vol. 19 (1972). P.81-98.

[53] Suri M. The p-version of the finite element method for elliptic problems // Advances in computer methods for partial differential equations. 6 Publ. IMACS-1987. P.85-91.

[54] Synge J.L. The hypercircle in mathematical physics. Cambridge University Press. 1957.

[55] Szabo A. On the errors of idealization and discretization in finite element analysis // Advances in computer methods for partial differential equations. 6 Publ. IMACS-1987. P. 70-74.

[56] Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and diflection analysis of complex structures // J. Aero. Sci. Vol.23 (1956). P.805-823.

[57] Varga R.S. Hermite interpolation-type Ritz methods for the two-point boundary value problems // Numerical Solution of Partial Differential Equations (ed. Bramble J.H.). New York. 1966. P.365-373.

[58] Visser M. The Finite Element Method in Deformation and Heat Conduction Problems. Delft. 1968.

[59] Waldron S. The error in linear interpolation at the vertices of a simplex // Techn. Report. February 1996.

[60] Waldron S. Open Problems: Which is the best error formula for linear interpolation on a triangle ? // Techn. Report. 1996.

[61] Waldron S. A multivariate form of Hardy's inequality and Lp~error bounds for multivariate Lagrange interpolation schemes // SIAM Math. Anal. Vol.1, n.l (1993).

[62] Zenisek A. Interpolation polynomials on the triangle // Numer. Math. Vol.15 (1970). P.283-296.

[63] Zenisek A. Polynomial Approximation on Tetrahedrons in the Finite Elemerit Method // J. of Approximation Theory. Vol. 7, n.4 (1973). P. 334-351.

[64] Zenisek A. A general theorem on triangular finite C(m)-elements // Rev. Française Automat. Informat. Recherche Opérationnelle Sér. Rouge Anal. Numér. R-2 (1974). P. 119-127.

[65] Zhang Y., Tewarson R.P. Qasi-Newton Algorithms with Updates from the Preconvex Part of Brouden's Family // IMA J. of Numer. Analysis. Vol.8 (1988). P.487-509.

[66] Zienkiewicz O.C. Finite Elements. The backgrouad story // The Mathematics of Finite Elements and Applications (ed. Whiteman J.R.). London. 1973. P.l-35.

[67] Zlâmal M. On the finite element method // Numer. Math. Vol.12 (1968). S.394-402.

[68] Zlâmal M. A finite element procedure of the second order accuracy // Numer. Math. Vol.16 (1970). P.394-402.

[69] Zlâmal M., Zenisek A. Mathematical aspects of the finite element method // Technical, physical and mathematical principles of the finite element method. Praga. 1971. P. 15-39. • '

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

[70] Панова Н.В. Зависимость оценок аппроксимации многочленами седьмой степени от геометрических характеристик треугольника // Молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики". Тезисы докладов конференции 28. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1997. С. 32-33.

[71] Панова Н.В. Экстремальная функциональная интерполяция в среднем на классе функций с ограниченной первой производной // Молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики". Тезисы докладов конференции 27. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1996. С. 16-17.

[72] Латыпова Н.В. Зависимость оценок аппроксимации многочленами седьмой степени от геометрических характеристик треугольника. Екатеринбург. 1997 - 29 е.- Рукопись депонирована в ВИНИТИ 14.07.97, 2377-В97,

[73] Латыпова Н.В. Оценки погрешности аппроксимации многочленами степени 4& + 3 на треугольнике // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1999. (в печати)

[74] Латыпова Н.В. О погрешности аппроксимации многочленами степени 4/с + З на треугольнике // Молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики". Тезисы докладов конференции 30. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1999. (в печати)

[75] Латыпова Н.В. Погрешность аппроксимации многочленами степени Ак + 3 на треугольнике // Тезисы школы-конференции им. С.Б.Стечкина. 1998. (в печати)