Приближение функций многочленами на треугольной сетке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Матвеева, Юлия Васильевна

• Матвеева, Юлия Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Матвеева, Юлия Васильевна

Введение.

Глава 1 Сплайны на системе треугольников с общей вершиной.

1.1 Основные понятия и вспомогательные утверждения.

1.2 Оценки отклонения производных по направлениям в т-мерном симплексе.

1.3 Сплайн-интерполяция на треугольной сетке.

Глава 2 Кубическая интерполяция на m-мерных симплексах.

2.1 Сплайн-интерполяция на двумерном симплексе.

2.2 Сплайн-интерполяция на трехмерном симплексе.

2.3 Сплайн-интерполяция в Мт.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближение функций многочленами на треугольной сетке»

Теория интерполирования кусочно-полиномиальными функциями не была систематизирована до конца 60-х годов 20-ого века. Вопросы сходимости локальных интерполяционных и кратных интерполяционных процессов, связанных с аппроксимацией функций на многогранных областях кусочно-полиномиальными функциями, связаны с разбиением области на симплексы. Данные вопросы тесно связаны с методом конечных элементов (МКЭ).

Метод конечных элементов основан на локальной аппроксимации решения кусочно-полиномиальными функциями. Исходная область разбивается на подобласти стандартного вида, в качестве которых выступают треугольники или четырехугольники. Делая подобласть достаточно малой, либо выбирая достаточно высокую степень полиномов, можно добиться того, чтобы аппроксимирующая функция достаточно точно передавала локальное поведение решения. Этот метод может применяться для областей произвольной формы и граничных условий общего вида, причем возможно нерегулярное разбиение области. Таким образом, на расположение элементов при разбиении области не накладываются ограничения, что позволяет применять метод конечных элементов для широкого круга областей без использования глобальной фиксированной системы координат.

Оценки погрешности аппроксимации интерполируемой функции и ее производных характеризуются двумя параметрами - диаметром разбиения (триангуляции) и некоторой характеристикой симплекса. В двумерных случаях, например, в большинстве работ в качестве этой второй характеристики служит синус наименьшего угла разбиения.

Первая оценка аппроксимации производных кусочно-линейными функциями на треугольнике была представлена Шварцем [1]. Здесь роль второй характеристики играет синус наибольшего угла триангуляции. Для полиномов первой степени Зламал [2] в двумерном случае указал оценки сверху и снизу, которые зависят от диаметра разбиения и синуса наибольшего угла триангуляции. Эти оценки являются равномерными по указанным параметрам. Однако еще в 1957 году Синжем [3], а затем в 1976 году Бабушкой и Азизом [4] в двухмерном пространстве на примерах многочленов малых степеней (первой и второй), не всегда с указанием точной зависимости, было отмечено, что "условие наименьшего угла" в некоторых случаях может быть заменено на более слабое ограничение - на наибольший угол. Результаты и методы Зламала [5] были обобщены Женишеком [6] для кусочно-полиномиальных функций девятой и тринадцатой степеней. Для кусочно-полиномиальных функций произвольной степени 4к + 1 для некоторых интерполяционных процессов оценки погрешности получили Брэмбл и Зламал [7]. Общую же оценку сверху для произвольной триангуляции, произвольных интерполяционных процессов в IRn получили Сьярле и Равьяр [8]. В некоторых случаях наименьший угол, фигурирующий в оценках, можно заменить на средний (или наибольший, что с точностью до констант равносильно). Отметим, что до работы Сьярле и Равьяра (1972 год) изучался только двумерный случай, они же получили оценки погрешности для произвольной размерности. Для функций п переменных они установили оценки, в которых константы при аппроксимации г—ых производных зависят от (hj р)г, где h - диаметр симплекса, р -радиус вписанного в него шара. Эта характеристика является двумерным аналогом синуса наименьшего угла триангуляции.

Так в случае лагранжевой интерполяции на плоскости оценка погрешности зависит от диаметра разбиения и синуса наиболынго угла триангуляции. При этом оценки ухудшаются, когда два угла стремятся к нулю. Здесь все выяснено благодаря работам Зламала (Zlamal М.), Жаме (Jamet Р.) [9], Субботина [10]. Позднее для случая лагранжевой интерполяции многочленами произвольной степени на п—симплексе Ю.Н. Субботиным [11, 12] были получены оценки, в ряде случаев неулучшаемые или неулучшаемые с точностью до постоянного множителя, который не зависит от функции и геометрических характеристик треугольника. Указанные оценки, в частности для случая М2, накладывают ограничения лишь на наибольший угол треугольника. Кроме того, им получены неулучшаемые оценки приближения функций и их производных некоторыми интерполяционными многочленами Эрмита и Биркгофа малых степеней на треугольниках и п—симплексах, позволяющие ослабить "условие наименьшего угла" или устанавливающие, что данное условие является существенным. Этому же направлению посвящены работы Н.В. Байдаковой [13] и Н.В. Латыповой [14], в которых найдены интерполяционные условия типа Биркгофа для построения многочленов степеней 4m + 1 и 4т + 3 на треугольнике, дающие возможность ослабить требования к триангуляци (но не избавляющие полностью от присутствия синуса наименьшего угла в знаменателе в оценках погрешности для производных). Также Н.В. Латыповой [15] рассмотрен ряд таких условий для кубических многочленов. Вопрос о возможности построения интерполяционного многочлена произвольной степени, обеспечивающего достаточно высокую гладкость результирующей кусочно-полиномиальной функции (при интерполяции Эр-мита и Биркгофа), а также позволяющего ослабить "условия наименьшего угла" или его аналога, остается открытым.

Заметим, что во всех перечисленных выше работах оценки аппроксимации были даны в терминах частных производных. В диссертации мы будем решать задачу интерполяции кубическими сплайнами в терминах производных по направлениям. Будем искать такие интерполяционные условия для построения кубического сплайна, чтобы оценки отклонения сплайна и функции, которую он интерполирует, и их производных по направлениям ребер симплекса были свободны от "условия синуса наименьшего угла" или вообще от каких-либо углов многогранника в Кп. Зная результаты отклонения в терминах производных по направлениям, можно указать результат отклонения в терминах частных производных.

Первая глава диссертации посвящена вопросам аппроксимации кубическими сплайнами на системе треугольников с общей вершиной.

В первом параграфе даны основные определения и вспомогательные утверждения. В качестве вспомогательной задачи рассмотрена задача построения Эрмитова сплайна на m-мерном симплексе.

Пусть Т = (Д)^1 - т—мерный симплекс, А{— его вершины, e^j = i,j = 1,т + 1, г ф j — единичные векторы, коллинеарные

A{Aj\ ребрам симплекса. В параграфе 1.1 построен кубический сплайн Q, интерполирующий функцию / и ее производные в узлах т-мерного симплекса по направлениям ребер этого симплекса:

ЯЛ) = дИ0, г = 1, 2,., ш + 1, (1) адло.эдщ , = 1,2i.,m+1,Mj. (2)

Данный многочлен имеет вид ш+1 q w = Е +3 Е г=1 г^у i<j<m+l ^

6 аШо.о Х1Х2Х3 4- 6 ацою.о Х1Х2Х4 + . + 6 а0.0ш xm-ixmxm+1.

Для полного определения многочлена Q надо указать, чему равны оставшиеся коэффициенты щ. Это можно сделать двумя способами:

1) сразу выписать, чему равны эти коэффициенты,

2) указать дополнительные интерполяционные условия, которые однозначно определяют оставшиеся коэффициенты.

В качестве вспомогательных вопросов рассмотрены вопросы оценок отклонения производных функции / и многочлена Q по направлениям ребер симплекса. Эти результаты указаны в параграфе 1.2. Причем задание коэффициентов происходит первым способом. Теорема 1.2.1 Если /(х) имеет непрерывные производные второго порядка по направлениям в т—мерном симплексе Т, то для интерполяционного многочлена Q(x), удовлетворяющего условиям (1), (2), коэффициенты ao.io.io.io.o которого определены равенствами k п j f(Ak) + f(An) + f(Aj) йо.10.ю.10.о —-, к п j 3 справедливы неравенства d(Q ~ /)(х) deid

3 1 d

Q(x)-/(x)| <CM2d. где M-2 = sup д2№) где sup берется no всем £ G T и всевозмоэю

Уе!0е2 ным единичным векторам ei,e2.

Теорема 1.2.2 Пусть /(х) имеет непрерывные производные третьего порядка по направлениям. Если интерполяционный многочлен удовлетворяет условиям (1), (2) и коэффициенты ao.io.io.io.o опреk 7i р делены равенствами f(Ak) + ДА,) + f(Ap) 1 do.10.10.10.О = k п р

24

V дек,г де п,к

АкАр1 И„Л| (тм+

V dekil дег то справедливы неравенства де р,п эт(д-/)(х)

НЖк1 см3 dm+1

AiAj\l\AiAk\ m—l т = 0,2, 0 < / < m, где М3 = sup э3/(0

0еГ9е^0е3 > £ ^ ^ ■> еь е2> ез - единичные векторы.

Прокомментируем этот результат. Если зафиксируем вершину Аг-и будем оценивать отклонения производных по направлениям е^, то длина ребра А{Ак стоит в знаменателе, и если она значительно меньше диаметра d симплекса, то отклонение производных велико. Однако, если вершина А{ выбрана так, что = d, то существует по край s вершин Aki:Ak2,.,Aks, для которых \Ak.Ak \ > f. ней мере т 2

Т.е. из теоремы 1.2.2 следует, что можно так выбрать вершину А{ и s = т 2 векторов e^j, выходящих из нее, что оценки производных по этим направлениям зависят только от диаметра.

На самом деле, это последнее утверждение можно усилить, и в главе 2 будет доказано, что коэффициенты можно выбрать так, что при подходящем выборе вершины А{, оценки отклонения производных до третьего порядка включительно по всем направлениям e^j, (j l,m + l, j ф г) будут зависеть только от диаметра. Результаты теоремы 1.2.1 используются в следующем параграфе при оценке аппроксимации сплайнами на системе треугольников с общей вершиной. Пусть на плоскости дана треугольная сетка Т, которая состоит из п треугольников с общей вершиной Aq и вершины Аг, Дч-ь г = 1,п — 1, и А\,Ап попарно соединены между собой. Обозначим через Tk - треугольник Tk = (Aq, Ah, Ah+i),k = 1, n (при к = n считаем Ak+i — A\). n

Таким образом, получаем треугольную сетку Т = |J Tj.

3=1

Пусть, как и прежде, е^- (0 < г, j < п, г ф j) - единичные вектора, коллинеарные ребрам AiAj. Функция / определена на Т. Будем строить функцию Q (сплайн) с действительными коэффициентами степени три по совокупности переменных, интерполирующую функцию / на каждом треугольнике Tk, т.е. Q(x) совпадает на каждом треугольнике Tk с многочленом Qk третьей степени: f(Ai) = Q(Ai), (1') df(Aj) dQ(Aj) де- де- ■ ' 1 ' i,j Eh = {(0, к), (к, к + 1), {к + 1,0)}, к = 1, n, п + 1 := 1.

Такой многочлен определен неоднозначно, и, кроме того, функция Q, совпадающая с Qh на каждом Tk, не принадлежит классу С1 на объп единении (J Т^. Изменяя параметры, можно получить интерполируюк=1 щую функцию класса С1 на U Tj. В этой связи возникает вопрос о выборе интерполяционных условий на границах каждого треугольника Tk. В качестве дополнительных интерполяционных условий выберем следующие: dQk k,k+ 1д-(жо, 0, Xjfe+l) = (3)

Ceo,/c+i dQk , n \ dQk+1 , nv д-(ж0,0, хк+\) - с*к,к+2n-Xk+ъ U). oeo,k oe^k+2

Рассмотрим случай четного и нечетного числа треугольников в сетке Т отдельно.

Теорема 1.3.1. Пусть f Е С2(Т). Если треугольная сетка Т = тг

U Tfc состоит из нечетного числа треугольников Tj с общей вер-к=1 шиной, то существует и притом единственный сплайн Q степени три, интерполирующий функцию f с условиями (!'), (2'), (3). При этом справедливы неравенства d(Q ~ /)(х) d2 - sup eie2 d2f deide2

9eo ,j c(WAw+nMdi2+Md){i+Ms))' где x € Tk = (AQAkAk+1),k = j или k = j - 1, Md = max

Ms = шах , - угол меэюду векторами AqAi, AqAi+i.

Теорема 1.3.2 Пусть f E C2(T). Если треугольная сетка T — п

J Тк состоит из четного числа треугольников Tk с оби>,ей верши-к=1 ной Aq, то добавляя дополнительную вершину в Т как середину ребра А\Ап, которую обозначим через Ап+\, получим нечетное число треугольников. Тогда существует и притом единственный сплайн Q, интерполирующий функцию f с условиями (!'), (2:), (3), и в каждом треугольнике Тк = {А^АкА+\) справедливо неравенство где de0ji

М2 -- sup д2т) дегдв2 Ми = max 7———, i<i,j<n \A0Aj\

M5 = max ), 6i - угол между векторами A0a], ЛоД+ь

Глава 2 посвящена кубической сплайи-интерполяции на га—мерных симплексах. Отдельно рассмотрены случаи т = 2 и т = 3.

Пусть т = 2. А. Женишек [16] в 1995 году при рассмотрении вопросов приближения функций на треугольниках многочленами третьей степени в качестве дополнительного условия выбрал = 0 и получил оценку приближения частных производных первого порядка через диаметр треугольника и синус второго по величине угла в треугольнике:

ОХг 15 \ с / snip здесь f3 - средний по величине угол в треугольнике, а, с - наименьшая и наибольшая стороны треугольника, соответственно. Позднее Ю.Н. Субботин [17] построил интерполяционный кубический полином Q(x) для функции / со следующими условиями: значения этого полинома и его первых частных производных в вершинах треугольника совпадают со значениями функции / и производных функции в тех же точках, соответственно; а также производные fjf и совпадают в точке, являющейся серединой наименьшей стороны (треугольник расположен так, что его наибольшая сторона расположена на оси Ох). Ю.Н. Субботиным были получены оценки погрешности аппроксимации производных функции до третьего порядка включительно, зависящие от синуса наибольшего угла 7 и диаметра треугольника d:

Т^л 7 S) < fmax{2, -Л-})"1 , 0 < щ + п2 < 3. дутдхп* \ L sin7 / ' ~

В настоящей работе мы будем рассматривать аналогичную задачу, в которой будем получать оценки отклонения производных по направлениям сторон треугольника Т — ^2,^3).

Пусть

2 ' deh3

Теорема 2.1.5 Пусть функция /(х) определена на треугольнике Т и имеет на нем непрерывные частные производные до четвертого порядка включительно, d - диаметр Т,

Э4/(х)

М4 = sup max max e1,e2le3,e4 x€T де^ дег22 дег33 de\4 и пусть интерполяционный полином Q(x) удовлетворяет условиям (1), (2) и (4). Тогда справедливы неравенства dn(Q - /) CM4d4n, 0<n<3,0<k<n,

ЯРк Яр™-*1 1,2^ 1,3 за исключением случаев п = 3, к = 1, тогда справедлива оценка: dz{Q - f) deii20e?j3 и п — 2, к = 0, б этом случае d\Q - /) СМ4 d2 де1з d3

I^Aal' где С - абсолютная постоянная. Можно считать, что С = 3.

Из теоремы 2.1.5 следует результат Ю.Н. Субботина, причем интерполяционные условия можно выбрать так, что полученные оценки в теореме 2.1.5 будут зависеть только от диаметра треугольника.

Заметим, что неравенства, полученные в теореме 2.1.5, являются точными по порядку в следующем смысле.

Пусть Т— треугольник с вершинами Ai(—а, 0), ^(0, Ь), 0), d = а+Ь, причем а < Q - сплайн третьей степени для функции f{x,y) = |?/|4, удовлетворяющий интерполяционным условиям (1), (2) и -'^^ =

• Тогда для производных по направлениям сторон треугольника справедливы двусторонние оценки: dn(Q - /) sup

8 хет — MAd*-n, 1 < n < 3,0 < fc < n, del2de^ за исключением случаев n = 3, к = 1, тогда справедлива оценка: л/2 d2 ^

Т АТ7о ~

2 <w2 ^er и п == 2, & = 0, в этом случае

-—М4—7= < sup 24 ал/2-.J э2(д - /)

Пл. ^ < — MA 6 ал/2 -M4— - 3 ал/2

Н.В. Байдакова [18] рассматривала задачу аппроксимации на треугольнике, аналогичную задаче Ю.Н. Субботина [17]: строился кубический полином, удовлетворяющий следующим интерполяционным условиям. Значения этого полинома и его первых частных производных в вершинах треугольника совпадают со значениями функции / и производных функции в тех же точках, соответственно; а также смешанные производные полинома и функции второго порядка в вершине треугольника по направлениям наибольшей и наименьшей сторон, исходящим из этой вершины, совпадают (треугольник расположен так, что его наибольшая сторона расположена на оси Ох). Получены оценки погрешности частных производных функции и полинома до третьего порядка включительно, зависящие от диаметра d и синуса среднего по величине угла /3 треугольника, который можно заменить на синус наибольшего угла 7: dni+ri2(Q - f) дутдх71* CM4ci4-(ni+n2)

ГЦ sinfi 0 < щ + п2 < 3.

Мы рассмотрим аналогичную задачу со следующими условиями. Пусть d2(Q-f)

Ai) = 0.

5)

М4 = sup max max ei,e2le3,e4 xST CMAd4~n: 0 < к < n < 3, deh2deh3

Будем оценивать отклонения производных функции / и полинома Q по направлениям сторон треугольника.

Теорема 2.1.7 Пусть функция /(х) определена на треугольнике Т и имеет на нам непрерывные частные производные до четвертого порядка включительно, d - диаметр Т,

94/(х) де£де^

Тогда существует единственный интерполяционный полином Q(x);-удовлетворяющий условиям (1), (2), (5), и справедливы неравенства dn(Q ~ /) где С - абсолютная постоянная. Можно считать, что С = 2.

Из теоремы 2.1.7 следует результат Н.В. Байдаковой, причем полученные в теореме 2.1.7 оценки зависят только от диаметра треугольника.

Заметим, что неравенства, полученные в теореме 2.1.7, являются точными по порядку в следующем смысле.

Пусть 0 < Xq < 1, Т- треугольник с вершинами Ai(0, Ъ), ЛгО^о» 0), А3(0,а);& < 0,d = а+ |Ь|,0 < а < |6|, Q - сплайн третьей степени для функции f{x,у) = \у\4, удовлетворяющий интерполяционным условиям (1), (2) и gg^ = (i,j,k = 1Д г ф j ф к). Тогда для производных по направлениям сторон треугольника справедливы двусторонние оценки:

1 96

M4d4~n sup xGT dn(Q ~ f)

2M4d4~n (0 < n,l < 3).

Параграф 2.2 посвящен вопросам сплайн-интерполяции на трехмерном симлексе. Пусть т — 3.

А. Женишек [19, 20, 21] обобщил отмеченный ранее результат на случай трехмерного пространства и получил оценки отклонения частных производных первого порядка, зависящие от диаметра и синусов средних по величине плоских и двугранных углов, а именно: d(Q - Я dxi

CMAd3 г = 1,2, sin и sin а где <х, и) - "средние" плоские и двугранные углы тетраэдра, соответственно.

В данной работе мы рассмотрим задачу аппроксимации функции / кубическим полином Q с условиями (1), (2) и дополнительными условиями ад = 0,^(^ = 0,

9e4,i <9е4)2

0.

6)

Эе4,з ч~ de4i2

В условиях (6) считаем ребра АгА4 и А2А4 тетраэдра Т = (А1А2АзА4) длинными, т.е. их длина не менее половины диаметра Т. Теорема 2.2.2 Пусть функция /(х) имеет на Т непрерывные частные производные четвертого порядка geige2de3de4> е* = " произвольные направления в тетраэдре Т,

04/(х)

М4 = sup max max еье2,е3,е4 хеГ де\'дег22де^де\4 d - диаметр Т и пусть многочлен Q(x) удовлетворяет условиям (1), (2), (6). Тогда справедливы неравенства dn(Q - /) де\лде12де1 n—i—k CMAdA~n,0 < n < 3, 0 < i,k < п (г + k <п).

Как мы видим в этом случае оценки зависят только от диаметра. Причем из теоремы 2.2.2 можно получить оценки отклонения частных производных и многочлена до третьего порядка включительно, зависящие от диаметра четырехгранника, синуса наибольшего угла в основании и синуса наибольшего угла между ребром и его проекцией на основание.

Параграф 2.3 посвящен вопросу сплайн-интерполяции в Rm. Будем строить интерполяционный кубический многочлен Q, удовлетворяющий условиям (1), (2) на m-мерном симплексе Т — (AiA2.Am+i). Дополнительные интерполяционные условия зададим следующим образом. Зафиксируем одну из вершин в m-мерном симплексе. Пусть это вершина А\. Запишем в вершине А\ интерполяционные условия как равенство производных1 многочлена Q и функции / второго порядка по направлениям ei^eij, i,j = 2,m + l (i < j). Затем сделаем то же самое с вершиной Ач в (т — 1)-мерном симплексе A2Az.Am+\, с вершиной A3 в (ш — 2)-мерпом симплексе АзА^.Ат+\ и т.д. Последнее интерполяционное условие будет задано в вершине Ат-\ на двумерном симплексе Am-iAmAm+i. Все эти интерполяционные условия можно записать в виде: d2JQ~f\A,i) = 0, 1 < i < к < п < т + 1. (7)

В качестве шага индукции доказана следующая теорема. Теорема 2.2.3 Пусть т — Ъ. Существует единственный полином Q, интерполирующей функцию f, удовлетворяющий условиям (1), (2) и dei)2de1)3 d2(Q ~ /)

9eii2dei)4 16

Аг) = 0, и справедливы оценки d2(Q - Я de1)3dei;4 d2(Q - f) де2!зде2А d3(Q - /)

Ш = О,

А2) = О

93(Q - /) d3(Q - /)

-M4d, i,fe = 2,4, j^fc,

55 dz

-12 4'lA^I-Hi^r deij2dei)3dei)4

Для производных второго порядка имеют место следующие оценки a2(Q - /) deb

1 О

M4d2, г = 2,4, 6

92(Q - /)

Т§М4 d4 J 12lv^\A1Al\-\AlA deM<9ei;j

Для производных первого порядка оценки следующие эд - Я т^гг, г > 2, d4

24

ЩМ^3, i = 2.

При произвольном т > 3 справедлива следующая теорема. Теорема 2.3.1 Существует единственный кубический полином Q, интерполирующий функцию f, удовлетворяющий условиям (1), (2), (7), и справедливы оценки д\я - л del CMAd, d3(Q - f) dei,ide2lk CM4d, i, k = 2, m + 1, г ^ fc, d3(Q ~ Л deudehndehp CMA d? l<j<n<p<mJrl.

AiAn\ ■ \AiApf

Для производных второго порядка имеют место следующие оценки d2(Q - f)

4* d2(Q - /) deudei j C{m)M4d, i = 2,m + l,

C(m)M4]AiA^AiAjV j>i = m, C(m)MA1 < г < m < j.

Для производных первого порядка оценки следующие d{Q - л dei

С(т)М4щц, i = m,m-\- 1, C(m)M4d3, г < т.

Здесь С - абсолютные константы, С(т) - константы, зависящие от размерности симплекса.

Следствие. Всегда существуют т направлений ei,e2, .,em, совпадающих с направлениями ребер симплекса, выходящих из одной вершины, и соответствующий интерполяционный кубический многочлен Q такой, что dn(Q - Л CM4d4~T\ 0 < п < 3, О <j,k<n(J + k<n).

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [24]-[32]. Они докладывались и обсуждались на семинаре по теории функций действительного переменного (руководитель профессор С.Ф. Лукомский), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005, 2007), на Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2006, 2008), на международной конференции, посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 2007), на апрельских конференциях сотрудников механико-математического факультета СГУ "Актуальные проблемы математики и механики" (Саратов, 2005, 2006, 2007, 2008).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Сергею Федоровичу Лукомскому.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Матвеева, Юлия Васильевна, 2008 год

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1969. Т. 3.

2. Zlamal М., Zenisek A. Mathematical aspectof the finite element method // Technical, physical and mathematical principles of the finite element method (V. Kolar et al. eds.) Praha: Acad. VED. 1971. P. 15-39.

3. Synge J.L. The hypercircle in mathematical physics // Cambridge University Press. 1957.

4. Babuska I., Aziz A.K. On the engle condition in the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. 1976. V. 13. №2. P. 214-226.

5. Zlamal M. On the finite elements method // Numer. Math. 1968. Vol. 12. S. 394-402.

6. Zenisek A. Interpolation polynomials on the triangle // Numer. Math. 1970. Vol. 15. S. 283-296.

7. Bramble J.H., Zlamal M. Triangular elements in the finite element method // Math. Сотр. 1970. V. 24. P.809-820.

8. Ciarlet P.G., Raviart P.A. General Lagrange and Hermite interpolation in Rn with applications to finite element methods //Arch. Rat. Mech. and Anal. 1972. V. 46. № 3. P. 177-199.

9. Jamet P. Estimations d'erour pour des e'le'ment finis droits presque // Rev. Francaise Automat. Informat. Recherche Operationalle. Ser. RougeAnal. Numer. 1976. V. 10. P. 43-61.

10. Субботин Ю.Н. Зависимость оценок аппроксимации интерполя-циоными полиномами пятой степени от геометрических характеристик треугольника. Труды института математики и механики УрО РАН. 1992. Т. 2. С. 110-119.

11. Субботин Ю.Н. Многомерная кусочно полиномиальная интерполяция // Методы аппроксимации и иптреполяции (под ред. А.Ю. Кузнецова). Новосибирск: ВЦН, 1981. С. 148-153.

12. Субботин Ю.Н. Зависимость оценок многомерной кусочно полиномиальной аппроксимации от геометрических характеристик триангуляции // Труды МИАН СССР. 1989. Т. 189. С. 117-137.

13. Baidakova N.V. On some interpolation process by polynomials of degree 4m+l on the triangle. Russ. J. Numer.Anal. Math. Modelling. 1999. V. 14. № 2. P. 87-107.

14. Latypova N.V. Error estimates for approximation by polynomials of degree 4m -f-1 on the triangle // Proceeding of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1. 2002. P. 190-213.

15. Латыпова Н.В. Погрешность кусочно-кубической интерполяции на треугольнике // Вестн. Удмрт. ун-та. Сер. Математика. 2003. С. 310.

16. Zenisek A. Maximum-angle condition and triangular finite elements of hermite type // Math. Сотр. 1995. V. 64. №211 P. 929-941.

17. Субботин Ю.Н. Новый кубический элемент в МКЭ // Труды Института математики и механики. Теория функций: Сб. науч. трудов. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. V.11. №2. Р. 120-130.

18. Байдакова Н.В. Об одном способе эрмитовой интерполяции многочленами третьей степени на треугольнике // Труды Института математики и механики. Теория функций: Сб. науч. трудов. Екатеринбург: УрО РАН. 2005. V. 11. №2. Р. 47-52.

19. Zenisek A. Polynomial approximation on the Tetrahedrons in the Finite Elements Method // Journal of Approximation Theory. 1973. V. 7. P. 334-351.

20. Zenisek A., Zlamalova J. The finite element method with Semiregular Hermite cubic tetrahedral elements // Algorithm 2000: 15-th. Conf. of Scientic Computing. Vysoke Tatry-Podbanske, Slovakia 2000. P. 420-429.

21. Zenisek A., Hoderova-Zlamalova J. Semiregular hermite tetrahedral finite elements // Applications of Mathematics. 2001. № 4. P. 295-315.

22. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М., Физмат-гиз, 1962. Т. 1. С. 464.

23. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. С. 512.

24. Куприянова Ю.В. Об оценке производной Эрмитова сплайна на n-мерном симплексе // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 136-137.

25. Куприянова Ю.В. Лукомский С.Ф. Об оптимальном выборе интерполяционного сплайна на треугольной сетке // Известия Саратовского университета. Серия Математика. Механика. Информатика, 2005. Т.5. Вып.1. С. 26-34.

26. Куприянова Ю.В. Об оценке производной по направлению Эрмитова сплайна на треугольнике // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов, 2006. Вып.8. С. 59-61.

27. Куприянова Ю.В. Об оценке производной Эрмитова сплайна на трехмерном симплексе // Современные проблемы теории функций и