Оценки функционалов типа Бора в различных классах аналитических и гармонических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Алхалифах Сераж Абдулразак

• Алхалифах Сераж Абдулразак
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Алхалифах Сераж Абдулразак

Введение

Глава 1. Радиус Бора в различных классах аналитических функций

1.1. Вспомогательные результаты

1.2. Неравенство Бора для квазиподчиненных функций

1.3. Радиус Бора для подчинения нечетных аналитических функций

1.4. Неравенства Бора-Рогозинского для ограниченных аналитических функций

1.5. Другие версии неравенства Бора для ограниченных аналитических функций

1.6. Радиус Бора для специального семейства аналитических функций

Глава 2. Радиус Бора в различных классах гармонических функций

2.1. Вспомогательные результаты

2.2. Улучшенные версии неравенства Бора для гармонических отображений

2.3. Другие версии неравенства Бора для гармонических отображений

2.4. Новая версия неравенства типа Бора для гармонических функций

2.5. Радиус Бора для специального семейства гармонических отображений

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки функционалов типа Бора в различных классах аналитических и гармонических функций»

Актуальность темы исследования.

Объектом исследования в настоящей диссертационной работе являются неравенства типа Бора1 для аналитических функций и гармонических отображений в плоскости комплексного переменного.

Пусть Ю = {г Е С : | < 1} - единичный круг на комплексной плоскости, а Л - пространство аналитических функций в Ю. Очевидно, что каждая функция / Е Л имеет разложение в степенной ряд в начале координат. Возникает вопрос: что можно сказать о сумме модулей членов ряда?

В 1914 году Харальд Бор [31] исследовал этот вопрос и заметил: «В частности, решение того, что называется "проблема абсолютной сходимости" для ряда Дирихле типа ^ апп-а, должно быть основано на изучении соотношений между абсолютным значением степенного ряда от бесконечного числа переменных, с одной стороны, а с другой — суммой абсолютных значений отдельных членов. Именно в ходе этого исследования я пришел к рассмотрению проблемы, касающейся степенных рядов только одной переменной, которую мы обсуждали в прошлом году и которая, кажется, сама по себе представляет некоторый интерес».

Пусть В = {/ Е Л : |/(г)1 < 1 т Ю}. Классический результат Х. Бора [31] в окончательном виде выглядит следующим образом:

Теорема А. Пусть функция /(г) = ^^=0 ^к - аналитична в Ю и |/(х)| < 1 для всех г Е Ю. Тогда

<Ж 1

|а0| + ^^ 1ак|гк < 1 для всех г = < -. (1)

к= 1

Константа 3 не может быть улучшена.

Заметим, что в 1914 г. Х. Бор получил неравенство (1) только для г < 1/6.

1 Харальд Август Бор (1887 - 1951), младший брат известного физика-теоретика Нильса Бора. Долгое время он работал профессором математики в Копенгагенском университете.

Точная версия теоремы для г < 1/3 была независимо доказана М. Риссом, И. Шуром и Ф. Винером [37], и константа 1/3 называется радиусом Бора. Другие доказательства также приведены Сидоном [89], Томичем [90] и Полсеном и др. в [70] и [71, 72].

В последние годы проблема радиуса Бора привлекает внимание многих исследователей в области теории функций одной и нескольких комплексных переменных. Эта проблема имеет отношение к плоским гармоническим отображениям, многочленам, областям с несколькими комплексными переменными, решениям эллиптических уравнений в частных производных и более абстрактным задачам. Проблематика неравенств типа Бора относится к теории экстремальных задач аналитических функций. Большой вклад в ее развитие внесли отечественные математики: Г.М. Голузин, М.В. Келдыш, М.А. Лаврентъев, И.И. Привалов, Ф.Г. Авхадиев, Л.А. Аксентьев, И.А. Александров, А.Ю. Васильев, В.В. Горяйнов, Е.П. Долженко, В.Н. Дубинин, С.Л. Крушкаль, Г.В. Кузьмина, Н.А. Лебедев, Н.Г. Макаров, И.М. Милин, С.Р. Насыров, Д.В. Прохоров, А.Ю. Солынин, В.В. Старков, Н.А. Широков. При изучении неравенства Бора широко рассматриваются два типа пространств. Это пространство подчинений и пространство комплекснозначных ограниченных гармонических отображений. Один из способов обобщения понятия феномена Бора, первоначально определенного для отображений на Ю, состоит в том, чтобы переписать неравенство Бора в эквивалентной форме

то

Е И < 1 -М = 1 -|/(0)|. (2)

к=1

Расстояние до границы — важная геометрическая величина. Обратим внимание, что число 1 — |/(0)| - расстояние от точки /(0) до границы Т единичного круга Ю. С использованием этой формулировки неравенства Бора в терминах расстояния, понятие радиуса Бора можно обобщить на класс функций /, аналитических в Ю, которые принимают значения в данной области

Определение 0.1. [1] Пусть /,д <^В. Функция /(г) называется подчиненной

функции д(г), это обозначается

I(г) ^ д(г),

если существует функция ш(г), голоморфная в Ю и удовлетворяющая условиям: ы(0) = 0, (^)| < 1 для всех ^ Е Ю и

/(х) = д(и(г)) для всех ^ Е Ю.

Пусть $(/) = {д : д -< /} и О С /(Ю). Говорят, что семейство Б(/) удовлетворяет феномену Бора, если существует г/, 0 < Tj < 1, такое, что всякий раз, когда д(г) = Х^ТО=0 Е $(/), имеет место неравенство

то

^ \Ь„\гп = Мд(г) — |6о| < (0), д/(В)) для всех г < ту. (3)

п= 1

Здесь Мд (г) = (Ю) - граница / (Ю) и й(а,А) - расстояние от

элемента а до множества . Заметим, что если /(г) = (а0 — ^)/(1 — а0г) при |а0| < 1 и О = Ю, то (0),50) = 1 — |а0| = 1 — |&0|, так что (3) выполняется при ту = 1/3 согласно теореме А. Мы говорим, что семейство $(/) удовлетворяет классическому феномену Бора, если (3) выполняется для = г < г0 с компенсацией 1 — |/(0)| вместо (0),д/(Ю)). Следовательно, формулировка в терминах расстояния позволяет распространить теорему Бора на различные расстояния при условии, что феномен Бора выполняется. Абу-Муханна в [10] получил следующую теорему:

Теорема 0.2. Если /,д аналитичны в Ю и такие, что / однолистна в Ю и

д Е 5(/), то

то

^ КК < (0),д/(Ю)) для всех г < ту = 3 — 2^2 « 0.17157. (4)

п= 1

Точность rf показывает функция Кебе /(г) = г/(1 — г)2.

Мажорантный ряд функции /, определенный как Mf (г) = ^ТО0 1ап|^п, принадлежит к очень важному классу рядов, а именно к рядам с неотрицательными членами. Как отметили Али, Барнард и Солынин в [19], есть еще

один класс интересных рядов - класс знакочередующихся рядов. Для f (z) =

Еоо п

п=0 anz' соответствующим знакочередующимся ряд имеет вид

00

А (Г) = £(-1)* к,Г. (5)

п=0

В [19] авторы получили несколько результатов о радиусе Бора, в том числе следующий аналог теоремы А.

Теорема 0.3. Если /(г) = ^^=0 апгп аналитична и ограничена в Ю, то

|Af (г)| < ||/для всех г < г = 1

л/3

Радиус г = —3 является наилучшим.

В [19] также доказана следующая.

Теорема 0.4. Пусть /(х) = ^ь=0 а2к-\%2к-1 - нечетная аналитическая функция в Ю такая, что |/(г)| < 1 в Ю. Тогда М/(г) < 1 для 0 < г < г*, где г* -решение уравнения

5Г4 + 4гз - 2Г2 - 4Г + 1 = 0,

которое является единственным в интервале 1/л/3 < г < 1. Величина г* может быть вычислена в терминах радикалов, как

1 1 А + 32 1 64 А ЛЛЛ 3

П =---1--\--1--\----ь 144*/--= 0.7313

* 5 10 V 3 10 V 3 3 У А + 32

где

А =10 • 23 ((47 - 3-93)3 + (47 + 3—3)^ .

Однако нахождение точного радиуса Бора для нечетной аналитической функции оставалось открытой проблемой, и в 2017 году Каюмов и Поннусами [55] решили ее и доказали следующую теорему

Теорема 0.5. Пусть /(г) = ^ТО=1 а2к—1^2к 1 - нечетная аналитическая функция в Ю и и(^)| < 1 в Ю, тогда

то

У^ 1а2к—11г2к—1 < 1 для всех г < г0, к=1

где г0 ~ 0.789991... максимальный положительный корень уравнения

8г4 + г2 — 6г + 1 = 0, и константа г0 не может быть улучшена.

В 2017 году Каюмов и Поннусами [53] ввели новую величину, Я^ (г) для /, определенную равенством

то

Км = I/(*)1 + Е 1г", ^I =г' (6)

к=М

которую они назвали суммой Бора-Рогозинского. Они также исследовали радиусы Бора-Рогосинского для семейства В и получили следующий результат.

Теорема 0.6. Предположим, что /(х) = ^ТО=0 аканалитична в единичном круге Ю и |/(^)| < 1 в Ю. Тогда

Ц(г)| + ^ |а*|г* < 1 для г < Ям, (7)

к=М

где Я^ - положительный корень уравнения 2(1 + г)г^ — (1 — г)2 = 0. Радиус Ям является наилучшим из возможных. Более того,

то

2

|/(г)|2 + ^ |аА^ < 1 для г < Я'м, (8)

к=М

где - положительный корень уравнения (1 + г)м — (1 — г)2 = 0, и радиус Я'м является наилучшим.

При N =1 величина (6) связана с классической суммой Бора, в которой /(0) заменяется на /(г). Очевидно, что

(*)| =

00

/(г) — £ акгк

к=М

< <(*)

и, следовательно, установление радиуса типа Бора для Я^(х) дает радиус Рого-зинского в случае ограниченных аналитических функций. Следовательно, сумма Бора-Рогозинского связана с характеристикой Рогозинского.

Обобщение неравенства Бора для гармонических отображений в единичном круге Ю было инициировано Абу Муханной в [10].

Теорема 0.7. Пусть /(х) = Н(х)+д(х) = апгПЬп- комплексное гармоническое отображение в Ю. Если (х)| < 1 в Ю, то

ж 2

\ап\ + \оп\)гп '

2ж

п= 1

£(Ы + \Ьп\)гп < — « 0.63662,

и

00

\е^ап + е-щЬп\гп + \Яе е1^ < 1 (9)

п= 1

для г < 1/3 и любого действительного ц,. Равенство в (9) достигается только в пределе на функции Мёбиуса

/(х) = ———, 0 < а < 1, при а ^ 1. 1 - ах

В 2018 году Каюмов, Поннусами и Шакиров [58] исследовали радиус Бора для локально однолистных плоских гармонических отображений. Они получили следующую теорему:

Теорема 0.8. Предположим, что /(х) = к(х) + д(х) = ^п=0 апхп + ^п= 1 Ьпхп является сохраняющим ориентацию К-квазиконформным гармоническим отображением в единичном круге Ю, где \Н(х)\ < 1 в Ю. Тогда

п п К + 1

+ ^\ьп\гп < 1 для г < , (10)

п=0 п= 1

и

п п К + 1

\«0\2 + ^ КК + ^\Ьп\гп < 1 для г < —+-. (11)

п= 1 п=1

Константы 5к+11 и ЗЖ+Т не могут быть улучшены.

Боас и Хавинсон [30] и [29], Айзенберг [16, 17], а также Айзенберг и Тарханов [18] расширили неравенство Бора для голоморфных функций в некоторых конкретных областях (например для полных областей Рейнхардта) в Сп. В 1956 году Риччи [80] начал исследование радиуса Бора с фиксированным нулевым коэффициентом а0, и в 1962 году Бомбьери [32] решил проблему для а0: он доказал, что |а0| > 1. Несколько улучшенных версий классического неравенства Бора были даны Каюмовым и Поннусами в [56] (см. также [55]). В [43] Евдоридис, Поннусами и Расила представили несколько улучшенных версий неравенства Бора для гармонических отображений. В [54] Каюмов и Поннусами также обсуждали радиус Бора для класса аналитических функций д, когда д подчиняется функции из класса нечетных однолистных функций. Недавно Лиу и Поннусами [62] установили теорему Бора для ^-отображений Блоха. Мы отсылаем читателя к недавнему исследованию Абу-Муханна, Али и Поннусами [13] и см. также [45, гл. 8]. Более подробную информацию об обобщениях и расширениях результата Бора можно найти в [11, 12, 70, 71] и в следующих недавних статьях [9, 19, 43, 52, 54, 55, 57, 58, 63, 64]. Более того, Поннусами, Виджаякумар и Виртс в [78] и [79] рассмотрели задачу определения радиуса Бора в улучшенной форме для функций, имеющих нескольких нулей в начале координат. Рассматривая функциональные пространства, мы ссылаемся на [25, 38] и ссылки в нем.

Цели и задачи диссертационной работы.

• Доказательство аналога неравенства типа Бора для квазиподчиненных аналитических функций и нечетных подчиненных аналитических функций.

• Получение радиуса Бора для аналитических функций с фиксированным нулевым коэффициентом, а также для К-квазиконформных гармонических отображений.

• Обобщение классического неравенства Рогозинского.

• Изучение нескольких улучшенных версий неравенства Бора для ограниченных аналитических функций и для сохраняющих ориентацию ^-квазиконформных гармонических отображений, и нахождение точного радиуса Бора.

• Получение точного радиуса Бора для подкласса аналитических функций с ограничениями на коэффициенты ряда Тейлора, и для сохраняющих ориентацию К-квазиконформных гармонических отображений.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно. Часть результатов получена в нераздельном соавторстве с И.Р. Каюмовым и С. Поннусами при равноправном участии сторон. В теоремах 1.4.2, 1.4.3, 1.4.5, 1.4.7, 1.4.10, 1.4.12, 1.4.13, 2.2.1, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.6, И.Р. Каюмову и С. Поннусами принадлежат постановки задач и метод исследования.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные в данной диссертации результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения экстремальных свойств ограниченных аналитических функций и гармонических функций, изучения различных подклассов аналитических функций и подклассов гармонических функций, а также в образовательном процессе при чтении спецкурсов.

Методы исследования. В диссертации использовались вариационные методы, а также методы геометрической теории функций комплексного переменного.

Кроме того, мы также используем программное обеспечение «Wolfram Mat-hematica» для решения и объяснения неравенств, используемых при доказательстве некоторых теорем и примеров.

Положения, выносимые на защиту:

• Доказан аналог неравенства типа Бора для квазиподчиненных аналитических функций и нечетных подчиненных аналитических функций.

• Получена точная версия неравенства Бора для аналитических функций с фиксированным нулевым коэффициентом, а также для К-квазиконформных гармонических отображений.

• Установлена новая версия неравенства Рогозинского для аналитических функций, определенных на единичном круге Ю.

• Найдены точные радиусы Бора для некоторых версий неравенства Бора для класса ограниченных аналитических функций и для сохраняющих ориентацию К-квазиконформных гармонических отображений.

• Установлено неравенство Бора для подкласса аналитических функций с ограничениями на коэффициенты ряда Тейлора, и для подкласса сохраняющих ориентацию ^-квазиконформных гармонических отображений.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1) XIII Международная летняя школа-конференция «Теория функций, её приложения и смежные вопросы - 2017», 21 - 27 августа 2017 г., г. Казань.

2) II Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы физико-математического образования - 2017», 20 - 22 октября 2017 г., г. Набережные Челны.

3) XVII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2018», 23 - 28 ноября 2018 г., г. Казань.

4) XIV Международная Казанская школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы - 2019», 7-12 сентября 2019 г., г. Казань.

5) Международная научная конференция «Комплексный анализ и его приложения - 2020», 24 - 28 августа 2020 г., г. Казань.

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 7 печатных работах, из них 3 статьи [20-22] опубликованы в рецензируемых журналах, входящих в список ВАК РФ, или приравненных к ним, а также в изданиях, индексируемых в базах данных Web of Science и Scopus, 4 работы опубликованы в сборниках трудов конференций как тезисы докладов [4-7].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личной вклад автора в опубликованные работы. И.Р. Каюмову и С. Поннусами в совместных публикациях принадлежат постановки задач и метод исследования.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 90 страниц. Библиография включает 90 наименований.

Содержание работы

Во введении описана кратко история неравенства Харальда Августа Бора, обоснована актуальность диссертационной темы, поставлены основные цели и задачи диссертации, обоснованы научная новизна и практическая значимость работы, описана методология и сформулированы выносимые на защиту положения, описана структура диссертации.

В первой главе в разделе 1.1 диссертации содержится напоминание о некоторых основных понятиях и результатах, которых будут использованы в тексте диссертации.

В параграфе 1.2 диссертации получен аналог неравенства типа Бора для квазиподчиненных аналитических функций. В 1970 году Робертсон [83] представил и разработал концепцию квазиподчинения, которая сочетает в себе принципы подчинения и мажоризации.

Мы говорим, что f (z) мажорируется функцией g(z) в D, если \f (z)| < \g(z)| для всех z G D.

Определение 0.9. [1] Пусть /,д е 6. Функция /(г) называется квазиподчиненной функции д(х) и обозначается

$(г) ^ д(х),

если для всех ^ е В справедливо равенство

/ (г ) = ф(г )д (ш(г )), (12)

где функции ш и ф голоморфны в области Ю, причем )| < и 1ф(г)| < 1 для всех ^ е Ю.

Нами доказан следующий результат Теорема 1.2.1 Пусть /(г) и д(г) - две аналитические функции в Ю с разложениями Тейлора /(г) = ^ТО=0 хк и д(х) = ^ТО=0 , соответственно. Если /(г) д(г), то

ТО ТО 1

1гк <^21Ьк 1гк для всех | = г < -. (13)

к=0 к=0

Из этой теоремы вытекают два следствия, первое из них было получено Бовмик и Дас [26].

Следствие 1.2.2 [26] Пусть /(г) и д(г) - две аналитические функции в Ю такие, что /(х) = ^ТО=0 ак%к, и д(х) = ^ТО=0 ^к%к. Если /(х) -< д(х) в Ю, то

ТО ТО 1

У^ 1гк < ^ № 1гк для всех г < - (14)

3

к=0 к=0 причем константа 1/3 не может быть улучшена.

Следствие 1.2.3 Пусть /(г) = ^ТО=0 ак¿к, и д(г) = ^ТО=0 ^к- две

аналити-

ческие функции в Ю. Если /(г) мажорируется д(г), то есть |/(г)| < 1д(г)| в Ю, то

ТО ТО 1 У^ 1гк < ^^ 1гк для всех г < ~

3

к=0 к=0

причем константа 1/3 не может быть улучшена.

В следующем разделе 1.3 диссертации произведено сравнение радиуса Бора для нечетных функций / и д с отношением подчиненности с работой Каюмова и Поннусами для класса нечетных функций, где радиус Бора оказался равным 0.789991..., а радиус Бора для нечетных функций / и д, где / -< д, оказался равным —. Нами доказана следующая теорема.

Теорема 1.3.2 Пусть /(г) и д(г) - нечетные аналитические функции в Ю с разложениями Тейлора /(г) = ^а2к-1г2к-1 и д(г) = ^Ь2к-1г2к-1, соответственно. Если /(г) -< д(г), то

<Х <Х Л

^ |а2к-1|г2к-1 < ^ |&2к-1|г2к-1 для 1х| = г < —. (15)

к=1 к=1 V3

Раздел 1.4 диссертации посвящен модифицированной версии классического неравенства Рогозинского. Нами доказана следующая теорема. Теорема 1.4.2 Пусть / Е В и / (х) = Х^о ап^п. Тогда

п , 1 ч 2

Е

/(к) (*)

к!

к=о

п (-!\2 1 < ^^ ( для всех ^ I = г < -. (16)

I--П V /

к=о

Далее приводится результат, который является точной версией неравенства Бора для аналитических функций с фиксированным нулевым коэффициентом. Нами доказана следующая

Теорема 1.4.4 Пусть /(х) = ^акгк - аналитическая функция в Ю и II(%)| < 1 для всех г Е Ю. Тогда имеет место следующее точное неравенство:

1 - (1 + |др| - |ао|2)г 1 - |ао|г

+ Е ^ ^ < 1 для всех г < 1/3. (17)

к=1

Пример функции д(х) = (г + а0)/(1 + Щг) показывает, что равенство выполняется для всех а0 Е Ю и г < 1/3 .

Более того, в этом разделе сформулированы следующие теоремы. Теорема 1.4.6 Предположим, что /(г) = ^акгк является аналитиче-

ской функцией в Ю и |/(г)| < 1 для всех г е Ю и 0 < |а0| = а < 1. Тогда

ТО

к

Ц(г)| + £ 1ак\гк < 1 (18)

к=1

для всех а > 2л/3 — 3 « 0.4641016 и | = г < га, где

га =

х/^Т+^Т^2 +1 + а

и радиус га является точным.

Теорема 1.4.9 Пусть / е 6 и /(х) = Х!ТО=0 апгП и т е N. Тогда

ТО

А1 (г) := |/(*т)| + |*т| |/'(^)| + ^ |а*\гк < 1 для всех г < ЯтА, (19)

к=2

где Ят,\ - наибольший положительный корень уравнения <рт(х) = 0,

ут(х) = (1 — х)(х2т + 2хт — 1) + 2х2(1 + хт)2, (20)

и константы Ят,\ не могут быть улучшены.

Теорема 1.4.11 Если / е 6 и т е N, то

у (к)(гт)

ТО

В;(г) := |/(;Г)| + £

,2) := | ти 7|

к=2

г < 1 для всех г < Ят,2, (21)

к!

где Ят,2 - наименьший положительный корень уравнения фт(х) = 0,

фт(х) = 2х2 — (1 — ж2т)(1 — хт — ж), (22)

и константы Ят;2 не могут быть улучшены.

Теорема 1.4.12 Предположим, что / е 6 и /(г) = Х!ТО=0 и т е N. Тогда

ТО

(*):= |/(Щ + ^'(гЩ + ^ к к* < 1 для всех г < Ят^ (23)

к=2

где Ят,3 - наибольший положительный корень уравнения Фт(х) = 0,

Фт(ж) = 3ж — 1 + хт [2х2(хт + 2) + жт(1 — х)] , (24)

1

и константы Ят,3 являются точными.

В разделе 1.5 сформулированы три точных версии неравенства Бора для ограниченных аналитических функций, определенных в Ю, в трех следующих теоремах.

Теорема 1.5.4 Пусть /(х) = ^^=0 акхк аналитична в Ю, и |/( х^ < 1 для всех х Е Ю. Тогда

а(1 _ \п 12)2

В1(г) := к! + , ( - | 0| ),2А + У к^к < 1 для всех г < 1, (25) 1 -а(1 - к|2) 3

где а = 4, причем константы 1/3 и 1/4 не могут быть улучшены. Верно следующее следствие теоремы 1.5.4

Следствие 1.5.5 Пусть /(х) = ^^=0 акхк аналитична в Ю, и |/(х^ < 1 для всех х Е Ю. Тогда

/ Ца 12 \

к + V ( к| + ^^^ ) Гк < 1 для всех г < 3, (26)

*=Л 1 -1 |ак - 3

причем константы 1/3, 1/2 и 1/4 не могут быть улучшены.

и

Теорема 1.5.6 Пусть /( х) = ^ь=0ак2;к - аналитическая функция в Ю |/(^)| < 1 для всех ^ Е Ю. Тогда

К ^ А (а -Ы) --Та(1 -|а0|2) , А , к/! , (07\

В2(г) :=-4—--1_ \ |ак^к < 1 для всех г < 1/3, (27)

а -|а0|

где а = 2 + л/2, и константы 1/3 и 2 + л/2 не могут быть улучшены. Теорема 1.5.7 Пусть /( 2;) = ^с^=0акхк - аналитическая функция в Ю и |/(^)| < 1 для всех х Е Ю. Тогда

аЫ2^ -|<ю|2) + 2-2 - 1 ~

Вз(г):= а|Ц(-Д1 ^ ) + ^2 1 + У \ак^к < 1 для всех г < 1/3, (28) 3( ) 2-2 - 1 + (1 -|«0|2)2 | к| < < '

где а = 1 - —2, а константы 1/3 и 1 - —2 не могут быть улучшены. Далее в разделе 1.6 диссертации введем подкласс В' аналитических функций, определенных в единичном круге Ю следующим образом

то

В' = { / = апхп : / Е В и ^^ < 1 - |а01 для всех п Е М}.

п=0

Нами доказаны следующие результаты. Теорема 1.6.4 Пусть /(г) = ^2ТО=0 ап^п £ В'. Тогда

ТО 1

У^ |ап|гп < 1 для всех г < -, (29)

2

п= о

где | = г, и радиус г = 1/2 является точным■

Следствие 1.6.6 Предположим, что / £ В, и пусть (/,%) = -

частичные суммы /, удовлетворяющие следующему неравенству

)| < 1 для всех N £ N.

Тогда

ТО

V \а,Лгп < 1 для, всех г <

У^ |ап|гп < 1 для всех г < -, (30)

п=0

Следствие 1.6.9 Предположим, что / £ В со следующим разложением Тейлора / (г) = ^ ТО о апгП, где атп = 0 для всех п > 1 и данного т > 1. Тогда

ТО1

У^ |ап|гп < 1 для всех г < -. (31)

2

п=0

Вторая глава диссертации посвящена исследованию нескольких версий неравенства типа Бора для ^-квазиконформных гармонических отображений и получению радиуса Бора для семейства гармонических отображений вида / = К + д, где К £ В'.

В разделе 2.1 диссертации дано напоминание о некоторых основных понятиях и результатах, которые будут использованы в тексте диссертации.

В разделе 2.2 получены две версии неравенства Бора для ^-квазиконформных гармонических отображений, первая из них является обобщенной версией теоремы 1.4.4, а вторая является обобщенной версией теоремы 1.4.6, и доказаны следующие теоремы

Теорема 2.2.1 Предположим, что /(х) = К(х)+ д(г) = Х!ТОТО0апгП + 1

- сохраняющее ориентацию К-квазиконформное гармоническое отображение в Ю, где \К(г)\ < 1 в Р. Тогда выполняется следующее точное неравенство:

1 - г(\ «О \ + ( к + 1)(1 - | «ОI 2)) + £ \ ^\ г„ + £ Ыг„ < 1 для г < 1. (32)

1 -Г \ «О \ 11 3'

1 1 п=1 п=1

Функция

+ «О + «О

+ А: 0

1 + «0Х 1 + «0Х

при А ^ 1 демонстрирует, что неравенство (32) является точным для всех «0 Е Ю и всех г < 3.

Теорема 2.2.3 Пусть /(г) = И(г) + д(г) = ^°^=0«пхп + ^^=1 Ьп%п - сохраняющее ориентацию К-квазиконформное гармоническое отображение в Ю, где \К(г)\ < 1 в Ю, и 0 < « = \«0\ < 1. Тогда выполняется следующее точное неравенство:

00 00

\ ад \ + у \ «п \ гп + у \ Ьп \ гп < 1, (33)

п 1 п 1

для всех « > ак и \х\ = г < га,к, где

_ л/к2 + 12 к + 12 - (2 к + 3) _ Вак- (к + 2)(1 + «)

ак = ¡к+1 и Га,к = 2«2(к + 1) + 2«к ,

где Вак = — «2(к2 + 8к + 8) + 2«(к2 + 6к + 4) + (к + 2)2. Радиус Гак является точным.

Далее в разделе 2.3 введен и найден радиус Бора еще для двух улучшенных версий неравенства Бора для гармонических отображений. Имеет место

Теорема 2.3.1 Предположим, что ¡(г) = Н(х)+д(х) = + 1 Ьп%п

является гармоническим отображением Ю таким, что \д'(х)\ < к\Ы(х)\ для некоторых к Е [0,1] и К Е В и т Е N. Тогда

<х <х

в](г) := \Н(хт)\ + У \«п\гп + ^ \Ьп\гп < 1 для всех г < ЯктЛ, (34)

п 1 п 1

где Вкт1 - наибольший положительный корень уравнения Ат(г) = 0,

Ат(х) = 2х(1 + к)(1 + хт) - (1 - х)(1 - хт), (35)

и константы В^ 1 не могут быть улучшены.

Теорема 2.3.3 Предположим, что /(х) = И(х)+ д(х) = ^п=0 апхп+ ^п=1. является гармоническим отображением Ю таким, что \д'(х)| < к\Н'(х)\ для некоторых к Е [0,1] и К Е В и т Е N. Тогда

пп

Е/(х) := \фт)\ + \ Л \К(хт)\ + ^ КК + ^ \Ь„\гп < 1 для всех г < Якт2,

п=2 п=1

(36)

где Вкт2 - наибольший положительный корень уравнения Лт(г) = 0, где Лт(г) определяется в следующем уравнении

Ат(х) = (1 - х)(х2т + 2хт - 1) + 2х(х + к)(1 + хт)2,

и константы В^ 2 не могут быть улучшены.

В разделе 2.4 сформулирована новая точная версия неравенства типа Бора для сохраняющих ориентацию ^-квазиконформных гармонических отображений. Нами доказана следующая теорема.

Теорема 2.4.3 Предположим, что /(х) = К(х)+ д(х) = ^ П=0 апгп + П=1 Ьп%п - сохраняющее ориентацию К-квазиконформное гармоническое отображение в Ю, где \к(х)\ < 1 в Ю. Тогда

п п К + 1

Ок(К\) + ^ К\гп + ^ \Ьп\гп < 1 для г < , (37)

п=1 п=1

где

X - ж(1 - х) X - 2М ^ Л 4К

Ск(х) = --^-^ - —— (1 - х2), X =

Л + (1 - х) 2А л К + 1

Константа не может быть улучшена. Из этой теоремы получено следующее следствие. Следствие 2.4.4 Предположим, что

пп

/ (х) = К(х) + ~дЩ = ^ апХп + ^ ЬпХп

п=0 п=1

является гармоническим отображением Ю таким, что \д'(х)\ < к\Н'(х)\ для

некоторых к Е [0,1] и К Е В. Тогда

4 -\«о\(1 -\ао\) ^ , ,2л , , « , ^______

— — I —

(1 - \ао\2) + ^\а.п\гп + \Ьп\гп < 1 для всех г < -,

4 + (1 -\ао\) ^ ^ п - "5'

п=1 п=1

где константа 1/5 является точной.

Далее в разделе 2.5 диссертации установлено неравенство типа Бора для сохраняющих ориентацию ^-квазиконформных гармонических отображений вида / = К + д, где К Е В', и показана его точность. Нами доказана следующая теорема.

Теорема 2.5.2 Предположим, что /(х) = К(х)+ д(х) = ^^=о апхп + ^гг=1 Ьпхп - сохраняющее ориентацию К-квазиконформное гармоническое отображение в Ю, где К Е В'. Тогда

п К + 1

^КК + ^\Ъп\гп < 1 для всех г < з^1!, (38)

п=о п=1

где г = \ ^ \, а константа ЗкКс+л не может быть улучшена.

В заключении приведены следующие основные результаты работы:

• Найден радиус типа Бора для квазиподчиненного семейства функций, и для подчиненных нечетных аналитических функций.

• Получена точная версия неравенства Бора для аналитических функций с фиксированным нулевым коэффициентом, а также для К-квазиконформ-ных гармонических отображений.

• Установлена новая версия неравенства Рогозинского для аналитических функций, определенных на единичном круге Ю.

• Определены значения радиуса типа Бора для некоторых версий неравенства Бора для класса ограниченных аналитических функций и для сохраняющих ориентацию ^-квазиконформных гармонических отображений.

• Получен радиус типа Бора для подкласса аналитических функций с ограничениями на коэффициенты ряда Тейлора, и для подкласса сохраняющих ориентацию К-квазиконформных гармонических отображений.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Каюмову Ильгизу Рифатовичу за постановку проблемы, постоянную поддержку и за внимание к работе и за участие в обсуждении полученных результатов и помощь при оформлении диссертации. Автор выражает огромную благодарность профессорам кафедры математического анализа Аксентьеву Леониду Александровичу, Насырову Семену Рафа-иловичу и другим профессорам за отличные, очень познавательные лекции, которые помогли автору в его исследованиях. Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры за помощь в процессе обучения в К(П)ФУ. Автор выражает огромную благодарность профессору математического факультета, Индийского Технологического Института Мадраса Поннусами Саминатхану за плодотворное сотрудничество и наставническое, доброжелательное отношение.

22

Глава 1

Радиус Бора в различных классах аналитических функций

1.1. Вспомогательные результаты

Пусть

Ю := [гЕ С : \г\ < 1},Ю := [г Е С : \ 2\ < 1}, Т := [г Е С : \г\ = 1}.

Определение 1.1.1. Комплексная функция / : О ^ С называется взаимно однозначной или однолистной в области О, если в этой области она инъективна, т. е. если г1 = х2, то /(г1) = /(х2) для всех точек х1, х2 Е О.

Функция / локально однолистна в точке г0 Е О, если она однолистна в окрестности точки О.

Пусть Л обозначает линейное пространство аналитических функций в области Ю, наделенное топологией локально равномерной сходимости. Определим класс В := [/ Е Л : \/( х)\ < 1 в Ю}.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алхалифах Сераж Абдулразак, 2021 год

Список литературы

1. Авхадиев, Ф. Г. Введение в геометрическую теорию функций / Ф. Г. Ав-хадиев. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 2012. —127 с.

2. Авхадиев, Ф. Г. Точные оценки в теории функций / Ф. Г. Авхадиев. — Казань: Казанский федеральный университет, 2013.— 40 с.

3. Айзенберг, Л. А. О радиус Бора для двух классов голоморфных функций / Л. А. Айзенберг, А. Видрас // Сибирский математический журнал. — 2004. —Т. 45, № 4. —С. 734-746.

4. Алхалифах, С. А. О неравенстве Бора с фиксированным нулевым коэффициентом / С. А. Алхалифах, И. Р. Каюмов, С. Поннусами // XIII Международная Казанская летняя школа-конференция «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» / Под ред. С. Р. Насырова. — Т. 54. — Казань: Издательство Казанского математического общества, Изд-во Академии наук РТ, 2017. —С. 40-41.

5. Алхалифах, С. А. О неравенстве Бора с фиксированным нулевым коэффициентом / С. А. Алхалифах, А. В. Каюмова, С. Поннусами //II Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы физико-математического образования» / Под ред. И. А. Шакирова, В. Б. Тулвин-скего. — Набережные Челны: НГПУ, 2017.— С. 6-7.

6. Алхалифах, С. А. О неравенстве Бора для подчиненных и квазиподчиненных функций / С. А. Алхалифах, И. Р. Каюмов, С. Поннусами // XVII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения-2018» / Под ред. С. Р. Насырова.— Т. 56.— Казань: Издательство Казанского математического общества, Изд-во Академии наук РТ, 2018.— С. 19-21.

7. Алхалифах, С. А. Об усиленном неравенстве Бора / С. А. Алхалифах, И. Р. Каюмов, С. Поннусами // XIV Международная Казанская школа-конференция «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» / Под ред. С. Р. Насырова. — Т. 57. — Казань: Издательство Казанского матема-

тического общества, Изд-во Академии наук РТ, 2019. —С. 24-25.

8. Голузин, Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г. М. Голузин. — Москва: Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1966.— 628 с.

9. Исмагилов, А. А. Неравенства Бора в некоторых классах аналитических функций / А. А. Исмагилов, А. В. Каюмова, И. Р. Каюмов, С. Поннусами // Итоги науки и тех., совр. мат. и ее прил. — 2018. —Т. 153. —С. 69-83.

10. Abu-Muhanna, Y. Bohr phenomenon in subordination and bounded harmonic classes / Y. Abu-Muhanna // Complex Var. Elliptic Equ. — 2010.— Vol. 55, no. 11. —P. 1071-1078.

11. Abu-Muhanna, Y. Bohr's phenomenon for analytic functions into the exterior of a compact convex body / Y. Abu-Muhanna, R. M. Ali // J. Math. Anal. Appl.-2011.-Vol. 379, no. 2.-P. 512-517.

12. Abu-Muhanna, Y. Bohr radius for subordinating families of analytic functions and bounded harmonic mappings / Y. Abu-Muhanna, R. M. Ali, Z. C. Ng, S. F. Hasni // J. Math. Anal. Appl.-2014.-Vol. 420, no. 1.-P. 124-136.

13. Abu-Muhanna, Y. On the Bohr inequality / Y. Abu-Muhanna, R. M. Ali, S. Ponnusamy / Ed. by N.K. Govil et al. — In "Progress in approximation theory and applicable complex analysis" Springer optimization and its applications, 2016.-Vol. 117.-P. 265-295.

14. Ahlfors, L. V. Complex analysis / L. V. Ahlfors.— New York: McGraw-Hill, 1953.-347 p.

15. Ahlfors, L. V. Lectures on quasiconformal mappings / L. V. Ahlfors. — second edition. —201 Charles street, providence, rhode island 02904-2294, USA.: American Mathematical Society, 2000. — 178 p.

16. Aizenberg, L. Multidimensional analogues of Bohr's theorem on power series / L. Aizenberg // Proc. Amer. Math. Soc. — 2000. — Vol. 128, no. 4. — P. 11471155.

17. Aizenberg, L. Generalization of results about the Bohr radius for power se-

ries / L. Aizenberg // Stud. Math. -2007.-Vol. 180.-P. 161-168.

18. Aizenberg, L. A Bohr phenomenon for elliptic equations / L. Aizenberg, N. Tarkhanov // Proc. Amer. Math. Soc. -2001.-Vol. 82, no. 3.-P. 385401.

19. Ali, R. M. A note on the Bohr's phenomenon for power series / R. M. Ali, R. W. Barnard, A. Yu. Solynin // J. Math. Anal. Appl. -2017. —Vol. 449, no. 1.-P. 154-167.

20. Alkhaleefah, S. A. Bohr phenomenon for special family of analytic functions and harmonic mappings / S. A. Alkhaleefah // Problemy Analiza - Issues of Analysis. — 2020. — Vol. 9, no. 3. —P. 3-13. — https://doi.org/10.15393/ j3.art.2020.7990.

21. Alkhaleefah, S. A. On the Bohr inequality with a fixed zero coefficient / S. A. Alkhaleefah, I. R. Kayumov, S. Ponnusamy // Proc. Amer. Math. Soc. - 2019. - Vol. 147, no. 12. - P. 5263-5274. - https://doi.org/10. 1090/proc/14634.

22. Alkhaleefah, S. A. Bohr-Rogosinski inequalities for bounded analytic functions / S. A. Alkhaleefah, I. R. Kayumov, S. Ponnusamy // Lobachevskii Journal of Mathematics. -2020.- Vol. 41, no. 11. —P. 2110-2119.- https: //doi.org/10.1134/S1995080220110049.

23. Avkhadiev, F. G. Schwarz-Pick type inequalities / F. G. Avkhadiev, K. J. Wirths. — Basel-Boston-Berlin: Birkhauser Verlag, 2009. —166 p.

24. Bazilevich, I. E. The problem of coefficients of univalent functions / I. E. Bazilevich // Math. J. of the Aviation Institute. (Moscow). — 1945. — P. 29-47.

25. Beneteau, C. Remarks on the Bohr phenomenon / C. Beneteau, A. Dahlner, D. Khavinson // Comput. Methods Funct. Theory. — 2004. —Vol. 4, no. 1.— P. 1-19.

26. Bhowmik, B. Bohr phenomenon for subordinating families of certain univalent functions / B. Bhowmik, N. Das // J. Math. Anal. Appl. — 2018. —Vol.

462, no. 2.-P. 1087-1098.

27. Bierberbach, L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln / L. Bierberbach // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys-Math. Kl. — 1916. — P. 940-955.

28. Bierberbach, L. Aufstellung und Beweis des Drehungssatzes für schlichte konforme Abblidungen / L. Bierberbach // Math. Zeit. — 1919. — Vol. 4. — P. 295-305.

29. Boas, H. P. Majorant series / H. P. Boas // Korean Math. Soc. 2000.— Vol. 37, no. 2.-P. 321-337.

30. Boas, H. P. Bohr's power series theorem in several variables / H. P. Boas, D. Khavinson // Proc. Amer. Math. Soc. — 1997. — Vol. 125, no. 10.— P. 2975-2979.

31. Bohr, H. A theorem concerning power series / H. Bohr // Proc. London Math. Soc. -1914.-Vol. 13, no. 2.-P. 1-5.

32. Bombieri, E. Sopra un teorema di H. Bohr e G. Ricci sulle funzioni maggio-ranti delle serie di potenze / E. Bombieri // Boll. Un. Mat. Ital. — 1962. — Vol. 17, no. 3. —P. 276-282.

33. Bombieri, E. A remark on Bohr's inequality / E. Bombieri, J. Bourgain// Int. Math. Res. Not. -2004.-Vol. 80.-P. 4307-4330.

34. Clunie, J. G. Harmonic univalent functions / J. G. Clunie, T. Sheil-Small // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A.I. -1984.-Vol. 9.-P. 3-25.

35. Cowen, C. C. Composition operators on spaces of analytic functions / C. C. Cowen, B. D. MacClur — Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, Boca Raton, FL, 1995. —400 p.

36. De Branges, L. A proof of the Bieberbach conjecture / L. De Branges // Acta Math.-1985.-Vol. 154.-P. 137-152.

37. Dixon, P. G. Banach algebras satisfying the non-unital von Neumann inequality / P. G. Dixon // Bull. Lond. Math. Soc. -1995.-Vol. 27, no. 4.— P. 359-362.

38. Djakov, P. A remark on Bohr's theorems and its generalizations / P.B. Djakov, M. S. Ramanujan // J. Analysts. - 2000. -Vol. 8.-P. 65-77.

39. Dorff, M. Explorations in complex analysis / M. Dorff, et. al.— Washington: The Mathematical Association of America, 2012. — 392 p.

40. Duren, P. Theory of Hp spaces / P. Duren. — New York and London: Pure and Applied Mathematics, Academic Press, 1970.— Vol. 38.— 277 p.

41. Duren, P. Univalent functions / P. Duren. — Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 259, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo: SpringerVerlag, 1983.-395 p.

42. Duren, P. Harmonic mappings in the plane / P. Duren. — Cambridge: Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge Univ. Press, 2004. — Vol. 156. — 156 p.

43. Evdoridis, S. Improved Bohr's inequality for locally univalent harmonic mappings / S. Evdoridis, S. Ponnusamy, A. Rasila // Indag. Math.. (N.S.).-2019.-Vol. 30.-P. 201-213.

44. Garabedian, P. A proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient / P. Garabedian, M. Schiffer // J. Rational Mech. Anal. - 1955. — Vol. 4.-P. 427-465.

45. Garcia, S. R. Finite Blaschke products and their connections / S. R. Garcia, J. Mashreghi, W. T. Ross. — Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland: Springer International Publishing AG, part of Springer Nature, 2018. --340 p.

46. Goodman, A. W. An invitation to the study of univalent and multivalent functions / A. W. Goodman // Internat. J. Math. - Math. Sci. - 1979. — Vol. 2, no. 2.-P. 163-186.

47. Graham, I. Geometric function theory in one and higher dimensions / I. Graham, G. Kohr. — New York: Marchel Dekker, 2003. — 537 p.

48. Greiner, P. Boundary properties of planar harmonic mappings: Ph. D. thesis / University of Michigan. — 1995.

49. Hengartner, W. Harmonic mappings with given dilatation / W. Hengartner,

G. Schober // J. London Math. Soc. -1986.-Vol. 33, no. 3.-P. 473-483.

50. Hengartner, W. On the boundary behavior of orientation-preserving harmonic mappings / W. Hengartner, G. Schober // Complex Variables Theory Appl. -1986.-Vol. 5, no. 2-4.-P. 197-208.

51. Hengartner, W. Univalent harmonic functions / W. Hengartner, G. Schober // Trans. Amer. Math. Soc. - 1987. - Vol. 299, no. 1. -P. 1-31.

52. Ismagilov, A. Sharp Bohr type inequality / A. Ismagilov, S. Ponnusamy, I. Kayumov // J. Math. Anal, and Appl. — 2020. — Vol. 489. — 10 p. — https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2020.124147.

53. Kayumov, I. R. Bohr-Rogosinski radius for analytic functions / I. R. Kayumov, S. Ponnusamy. — 2017. — 10 p. — Preprint, available online. https: //arxiv.org/pdf/1708.05585.pdf.

54. Kayumov, I. R. Bohr inequality for odd analytic functions / I. R. Kayumov, S. Ponnusamy // Comput. Methods Funct. Theory. — 2017. — Vol. 17.— P. 679-688.

55. Kayumov, I. R. Bohr's inequalities for the analytic functions with lacunary series and harmonic functions / I. R. Kayumov, S. Ponnusamy // J. Math. Anal, and Appl.-2018.-Vol. 465.-P. 857-871.

56. Kayumov, I. R. Improved version of Bohr's inequality / I. R. Kayumov, S. Ponnusamy // Comptes Rendus Mathematique. — 2018. — Vol. 356, no. 3. — P. 272-277.

57. Kayumov, I. R. On a powered Bohr inequality / I. R. Kayumov, S. Ponnusamy // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. — 2019. — Vol. 44. — P. 301-310.

58. Kayumov, I. R. Bohr radius for locally univalent harmonic mappings / I. R. Kayumov, S. Ponnusamy, N. Shakirov // Math. Nachr. — 2018.— Vol. 291.-P. 1757-1768.

59. Landau, E. Darstellung und Begräundung einiger neuerer Ergebnisse der

Funktionentheorie / E. Landau, D. Gaier. — Berlin, Heidelberg: SpringerVerlag, 1986.-201 p.

60. Landau, L. Abschatzung der Koeffizientensumme einer Potenzreihe / L. Landau // Arch. Math. Physik. — 1913. -Vol. 21. P. 250-255.

61. Littlewood, J. E. On inequalities in the theory of functions / J. E. Little-wood // Proc. London Math. Soc. -1925.-Vol. 23, no. 2.-P. 481-519.

62. Liu, G. On harmonic -bloch and -bloch-type mappings / G. Liu, S. Pon-nusamy // Results in Mathematics. — 2018. — Vol. 73, no. 90. — 17 p. — https://doi.org/10.1007/s00025-018-0853-2.

63. Liu, Z. H. Bohr radius for subordination and K-quasiconformal harmonic mappings / Z. H. Liu, S. Ponnusamy // Bull. Malays. Math. Sci. Soc. — 2019.-Vol. 42.-P. 2151-2168.

64. Liu, Y. M. S. Bohr-type inequalities of analytic functions / Y. M. S. Liu, J. F. Xu // Journal of Inequalities and Applications. — 2018. —Vol. 345.— 13 p.

65. Löwner, K. Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I. / K. Lowner // Math. Ann. -1923. —Vol. 176. — P. 61-94.

66. MacGregor, T. H. Majorization by univalent functions / T. H. MacGregor // Duke Math. J. -1967.-Vol. 34. P. 95-102.

67. Makarov, N. G. A note on the integral means of the derivative in conformal mapping / N. G. Makarov // Proc. Amer. Math. Soc. — 1986.— Vol. 96.— P. 233-236.

68. Nehari, Z. Conformal mapping / Z. Nehari. — New York: McGraw-Hill, 1952.-414 p.

69. Nitsche, J. C. C. On harmonic mappings / J. C. C. Nitsche // Proc. Amer. Math. Soc. -1958.-Vol. 9.-P. 268-271.

70. Paulsen, V. I. On Bohr's inequality / V. I. Paulsen, G. Popescu, D. Singh // Proc. London Math. Soc. -2002.-Vol. 85.-P. 493-512.

71. Paulsen, V. I. Bohr's inequality for uniform algebras / V. I. Paulsen,

D. Singh // Proc. Amer. Math. Soc.-2004.-Vol. 132, no. 12.-P. 35773579.

72. Paulsen, V. I. Extensions of Bohr's inequality / V. I. Paulsen, D. Singh // Bull. London Math. Soc. -2006.-Vol. 38, no. 6.-P. 991-999.

73. Pommerenke, C. Univalent functions / Ch. Pommerenke. — Gottingen: Van-denhoeck and Ruprecht, 1975. —374 p.

74. Pommerenke, C. Boundary behaviour of conformal maps / Ch. Pommerenke. — Berlin: Springer-Verlag, 1992. — 306 p.

75. Ponnusamy, S. Planar harmonic and quasiregular mappings / S. Ponnusamy, A. Rasila // RMS Lecture notes series: topics in modern function theory / Ed. by S. Ruscheweyh, S. Ponnusamy. — India: Ramanujan Mathematical Society, 2013.-Vol. 19.-P. 267-333.

76. Ponnusamy, S. Classification of univalent harmonic mappings on the unit disk with half-integer coefficients / S. Ponnusamy, J. Qiao // J. Aust. Math. Soc. -2015.-Vol. 98.-P. 257-280.

77. Ponnusamy, S. Characterization of univalent harmonic mappings with integer or half-integer coefficients / S. Ponnusamy, J. Qiao // Analysis. — 2017. — Vol. 37, no. 1.-P. 23-38.

78. Ponnusamy, S. New inequalities for the coefficients of unimodular bounded functions / S. Ponnusamy, R. Vijayakumar, K.-J. Wirths // Results in Mathematics. — 2020. — Vol. 75, no. 107. — 11 p. — https://doi.org/10.1007/ s00025-020-01240-1.

79. Ponnusamy, S. Bohr type inequalities for functions with a multiple zero at the origin / S. Ponnusamy, K.-J. Wirths // Comput. Methods Funct. Theory.— 2020. — 12 p. — https://doi.org/10.1007/s40315-020-00330-z.

80. Ricci, G. Complementi a un teorema di H. Bohr riguardante le serie di potenze / G. Ricci // Rev. Un.Mat. Argentina. — 1955/1956. — Vol. 17.— P. 185-195.

81. Robertson, M. S. A remark on the odd schlicht functions / M. S. Robertson //

Bull. Amer. Math. Soc. -1936.-Vol. 42.-P. 366-370.

82. Robertson, M. S. On the theory of univalent functions / M. S. Robertson // Annals of Mathematics.--1936.--Vol. 37, no. 2.-P. 374-408.

83. Robertson, M. S. Quasi-subordination and coefficient conjectures / M. S. Robertson // Bull. Amer. Math.Soc. -1970.-Vol. 76.-P. 1-9.

84. Rogosinski, W. Uber Bildschranken bei Potenzreihen und ihren Abschnitten / W. Rogosinski // Math. Z. -1923.-Vol. 17, no. 1.-P. 260-276.

85. Rogosinski, W. On the coefficients of subordinate functions / W. Rogosinski // Proc. London Math. Soc. -1943.-Vol. 48, no. 2.-P. 48-82.

86. Ruscheweyh, S. Two remarks on bounded analytic functions / St. Ruscheweyh // Serdica, Bulg. math. publ. — 1985. — Vol. 11. — P. 200-202.

87. Schober, G. Planar harmonic mappings / G. Schober // Lecture Notes in Mathematics: Univalent Functions - Selected Topics / Ed. by A. Dold, B. Eckmann. — New York: Springer-Verlag, 1975. — Vol. 478. — 207 p.

88. Schur, I. Uber die Abschnitte einer im Einheitskreise beschrankten Potenzreihe / I. Schur, G. Szego // Sitz.-Ber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin Phys.-Math. Kl. — 1925. — P. 545-560.

89. Sidon, S. Uber einen Satz von Herrn Bohr / S. Sidon // Math. Z. — 1927. — Vol. 26, no. 1.-P. 731-732.

90. Tomic, M. Sur un theoréme de H. Bohr / M. Tomic // Math. Scand. — 1962.-Vol. 11. — P. 103-106.