Неравенства Бора для степенных рядов в круге тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Хасянов Рамис Шавкятович

• Хасянов Рамис Шавкятович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Хасянов Рамис Шавкятович

Введение

Глава 1. Радиус Бора и оператор свёртки Адамара

1.1 Основные определения и обозначения

1.2 Неравенства Бора и оператор Адамара

1.3 Основная теорема

1.4 Следствия

Глава 2. Радиус Бора оператора дифференцирования

2.1 Вспомогательная теорема

2.2 Основной результат

2.3 Следствие

Глава 3. Радиус Бора и подчинённые функции

3.1 Радиус Бора и радиус сходимости свёрточной функции

3.2 Основные теоремы

Глава 4. Радиус Бора пространств Блоха

4.1 Постановка задачи

4.2 Радиус Бора пространств Харди

4.3 Пространства Блоха

4.4 Основные результаты

4.5 Доказательства

4.6 Оценка функции Бора-Бомбьери

Глава 5. Радиус Бора пространств Бергмана

5.1 Неравенства типа Вайсслера

5.2 Неравенства Бора в весовых пространствах Бергмана

Стр.

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неравенства Бора для степенных рядов в круге»

Введение

Представленная работа посвящена изучению весовых неравенств типа Бора для степенных рядов в единичном круге D = { z £ C : I z| < 1}. Классическая теорема Бора является одной из основных теорем об оценках сумм коэффициентов ограниченной аналитической функции в круге. Напомним основные факты об оценках коэффициентов в классе ограниченных функций. Пусть / — аналитическая в круге D функция. Следовательно, мы можем представить её в виде степенного ряда

f М = * £ D пУсть

II/IU := sup |/(z)!

zeD

и

II/1|2 :=sup-/ Ц(ге*е)|2d9.

0^г<1 2П J о

Из классической теоремы Коши следует, что

|ап| < II/IU, п ^ 0.

Более тонкую оценку коэффициентов можно получить, пользуясь известным неравенством Шварца-Пика [55]: пусть Ц/Цто ^ 1, тогда

Подставляя в последнее неравенство z = 0, получим оценку первого коэффициента:

К' ^ 1 -|ас|2.

= /( z) + f(e - z) + ... + /(е ~г)

п

можно получить аналогичное неравенство для остальных коэффициентов:

\ап| ^ 1 -\ао|2, п ^ 1. (1)

Помимо оценок отдельных коэффициентов ограниченных аналитических функций известны также оценки сумм коэффициентов таких функций. Например, из равенства Парсеваля

I/12 = £ w2

п> 0

и неравенства для норм ||/||2 ^ ||/||то следует оценка суммы квадратов коэффициентов степенного ряда в круге:

< и/

п> 0

Тем не менее известно, что аналогичная оценка для сумм коэффициентов без квадратов, то есть для ^п>0 \ап\-> невозможна. Например, ряд п/п ограничен в Ю для почти любого выбора знака плюс пли минус ([65], глава V, Теорема 8.34), однако сумма модулей коэффициентов такой функции равна бесконечности. Будет ли ограничен ряд модулей коэффициентов, если его члены умножить, например, на степенные веса? В 1914 году Харальд Бор (известный датский математик, занимавшийся теорией функций, брат знаменитого физика Нильса Бора), изучая проблему абсолютной сходимости рядов Дирихле, исследовал вопрос об оценке суммы модулей членов степенного ряда: «В частности, решение того, что называется "проблема абсолютной сходимости" для рядов Дирихле типа £пМ апп-а, должно быть основано на изучении соотношений между абсолютным значением степенного ряда от бесконечного числа переменных, с одной стороны, а с другой — суммой абсолютных значений отдельных членов. Именно в ходе этого исследования я пришел к рассмотрению проблемы, касающейся степенных рядов только одной переменной, которую

мы обсуждали в прошлом году и которая, кажется, представляет некоторый самостоятельный интерес».

Теорема А (X. Бор, [22]). Пусть /(г) = £п>0 апхп и ||/^ 1. Тогда

^КГ ^ 1, 0 ^ г ^ 1. (2)

п>0

При этом 1 — неулучшаемая константа.

Сумму £те>0 |&п| г'п часто называют мажорантным рядом или суммой Бора функции /. На самом деле Бор доказал этот факт для г ^ 6. Точную константу | получили в том же году независимо М. Рисс, И. Шур и Н. Винер. На данный момент известно несколько доказательств теоремы Бора, помимо тех, которые получили вышеупомянутые авторы. Например, доказательство, использующее представление функций в виде рядов Фурье, приведено М. Томиком в статье [63]. В работе [53] авторы доказывают неравенство Бора, используя методы линейной алгебры. Так или иначе, все эти доказательства сводятся к проверке неравенства |ап| ^ 1 — |а0|2, либо более слабого неравенства |ап| ^ 2(1 — |а0|). Различные доказательства теоремы Бора можно найти в [32]. Теорема А допускает эквивалентную переформулировку в виде "неравенства Бора":

^ Ккп ^ ||/|и 0 ^ г ^ 1/3. (3)

п>0

Одно из самых простых доказательств теоремы Бора использует неравенство Шварца Пика, из которой, как мы видели, следует (1). Воспользуемся неравенством (1) для оценки мажорантного ряда аналитической функции:

^ К|гИ ^ |оо| + (1 — |«о|2)- "

1 — Т

п>0

Если г ^ 1/3, то последнее выражение не больше, чем 1 — (1—^ < 1. Неравенство Шварца-Пика обращается в равенство только на конформных автоморфизмах круга

z — а

ш = ——, о ^ н< 1.

1 — az

Вычислив мажорантные ряды семейства функций fa, а ^ 1, можно показать, что константа 1/3 является неулучшаемой. Заметим, что с исторической точки зрения приведённое доказательство не совсем корректно, поскольку теорема Бора была доказана в 1914 году, а неравенство Шварца-Пика только в 1916 году [55].

Вопросы, связанные с теоремой Бора, можно отнести к проблемам геометрической теории функций. Весомый вклад в развитие этой теории внёс ленинградский математик Г.М. Голузин. Одной из наиболее важных книг по геометрической теории функций является его монография "Геометрическая теория функций комплексного переменного" [3]. Некоторые теоремы Голузина, полученные им в рамках этой теории, будут активно использоваться в данной диссертации. Исследования в геометрической теории функций были продолжены учениками Г.М. Голузина H.A. Лебедевым и И.М. Мил иным. Некоторые результаты Лебедева и Милина [6] были использованы Л. де Бранжем при доказательстве гипотезы Бибер-баха [27].

Активное изучение различных модификаций и обобщений неравенства Бора началось в середине 1990-х годов, с тех пор как П. Диксон, используя неравенство Бора, решил давнюю проблему о характериза-ции банаховых алгебр [32]. А именно он доказал, что существуют неоператорные банаховы алгебры, которые удовлетворяют неунитально-му неравенству Неймана (известно, что любая операторная банахова алгебра удовлетворяет неравенству Неймана [51]). Говорят, что банахова

алгебра X удовлетворяет неравенству Неймана (неунитальному неравенству Неймана), если для любых полиномов р(х) (для любых полиномов, таких что р(0) = 0) выполнено

||р(х)\\ ^ \\р( г)\\ж, х £ X, ||х|| ^ 1.

В качестве контрпримера автор теоремы приводит банахову алгебру ^(М) с модифицированной нормой

|||х||| = г-1|х|/1(М), где 0 <г ^ 1/3,

и доказывает, что она не является операторной, то есть не изоморфна никакой замкнутой по норме алгебре операторов в гильбертовом пространстве. Далее, пользуясь неравенством Бора, П. Диксон показывает, что такая банахова алгебра удовлетворяет неунитальному неравенству Неймана: пусть х £ (/1(М), |||-|||) и |||х||| ^ 1, тогда

|||р(х)||| = г—1\р(х)\ < г-1 К1\|хп|| 1ап1 гп—1 < ||р( г)\\ж.

Часть исследований в области неравенств типа Бора ведётся для функций одной переменной, другая направлена на обобщения этой теоремы для случая многих переменных, а также на более абстрактные версии теоремы Бора (см., например, [8], [18], [19], [28]—[31], [53]). В. Паульсен и Д. Сингх в работе [54] получили вариант неравенства Бора для банаховых алгебр. В работе [31] авторы связывают абстрактные задачи о вычислении радиуса Бора с локальной теорией банаховых пространств. В 2018 году Б. Бховмик и Н. Дас применили неравенство Бора для выяснения вопроса о сравнении мажорантных рядов подчинённых функций (см. [9] и [15]).

В 60-х годах прошлого столетия Э. Бомбьери и Д. Риччи исле-довали два наиболее естественных вопроса, касающиеся классического

неравенства Бора. Первый можно сформулировать следующим образом. Как изменится константа 1/3, если рассматривать функции с фиксированным начальным коэффициентом. Следующая теорема частично отвечает на этот вопрос:

Теорема В (Э. Бомбьери, Д. Риччи, [20], [58]). Пусть /(г) = £п>0 апгп, г е Ш>, ||/||то < 1 и |а0| = а е [0,1). Тогда

а + ^ ^ ^ 1,

*"П |

п>1

если

1

г <-, а > 1/2,

1 + 2а' '

и _

/1 — а _ .

г —, а < 1/2.

Более шого, ,исЛ0 павшее ш в0,и0ЖтХ.

1 + 2а

В диссертации получены различные весовые варианты теоремы В. Оригинальное доказательство последней теоремы довольно техничное. Оно использует формулу Иенсена. Его можно найти в оригинальной статье [20] или в книге [37]. Более простое доказательство приведено И.Р. Каюмовым и С. Поннусами в работе [44].

Второй естественный вопрос, касающийся неравенства Бора, состоит в следующем. Какая функция, зависящая от г, возникнет вместо единицы в неравенстве ( ), если взять г > 1/3? Пользуясь теоремой , для некоторых значений г Бомбьери получил ответ на этот вопрос. Пусть

/ N Х!п>0 КК

т(г) := вир

/:||/|и=0 У/

Очевидно, что т(г) = 1, 0 ^ г ^ 1/3.

оо

Теорема С (Э. Бомбьери, [20]).

, , 3 — л/8(1 — г2) , , г

т(г) =-^--, 1/3 < г <

Вопрос о значении величины т(г) при г > 1/у/2 остаётся открытым. Эта проблема напрямую связана с вопросом о точной константе в

а < 1 /2.

ства Коши-Буняковского немедленно следует оценка т(г) ^

л/1 — г2

£| а.| г» < (е! а.| ^(е"*)1/2 = * < .....

п>0 п>0 п>0 ^ ^ ^ ^

В 2004 году Э. Бомбьери и Ж. Бургейн доказали [21] две следующие глубокие теоремы, связанные с неравенством выше:

Теорема Б (Э. Бомбьери, Ж. Бургейн, [21]). Для всех г £ (0; 1), кроме

г = 1/42

т(г) < 1 , т(1/^2) = /2. 1 — 2

Теорема Е (Э. Бомбьери, Ж. Бургейн, [21]). Для любого е > 0 найдётся С(е) > 07 такое что при г ^ 1 верна нижняя оценка

1 ( 1 \ е+3/2

т(г) ^ 71—72 — С(еЧ1оёТ—г) .

Из теоремы следует, что т(г) ^ то при г ^ 1. Упомянем и о другом интересном направлении исследований неравенств типа Бора для функций одной переменной. В 2018 году И.Р. Каю-мов и С. Поннусами получили [43] уточнение теоремы Бора. Так как в неравенстве Бора при любом 0 ^ г ^ 1/3 равенство достигается только на функциях, тождественно равных константе, то это означает, что к мажорантному ряду в неравенстве Бора можно добавить какое-то дополнительное слагаемое:

Теорема Е (И.Р. Каюмов, С. Поннусами, [43]). Пусть /(г) = £п>0 апгп аналитическая функция в В ||/||то ^ 1. Обозначим через площадь образа круга, | < г} под действием функции / с учётом кратности. Тогда

16 ^

^Ыг" + -- ^ 1, 0 ^ г ^ 1/3. (4)

Числа 1/3 и 16/9 являются наилучшими из возможных.

Отметим, что в последней теореме так же, как и в классическом случае, равенство достигается только на константах. Следующая теорема говорит о том, что в левую часть неравенства (4) можно добавить ещё одно слагаемое таким образом, чтобы появилась экстремаль, отличная от константы:

Теорема в (А.Р. Исмагилов, 14.Р. Каюмов, С. Поннусами [39]). Пусть /М = Еп>с апгп, г е В и ||/||то ^ 1 Тогда

В-к + т(i) +*(i)2<1 0<г<1

п>0 4 7 4 7

4 (486 — 261а — 324а2 + 2а3 + 30а4 + 3а5) А = --81(1 + «)3(3 — 5+-~ = 18'609й ■■■"■

и а « 0.567284 - единственный положительный корень уравнения "ф(£) = 0 на интервале (0,1),

= —405 + 473£ + 402£2 + 38£3 + 3£4 + ¿5.

Равенство достигается, на функции

/ (*) = 0 — г

1 — ах

Другие результаты, полученные в этом направлении, см., например, в [36] и [56].

В 1997 году X. Боас и Д. Хавинсон положили начало исследованию многомерного радиуса Бора на полидиске. Пусть Юп = Ю х Ю х ... х Ю

— полидиск. Обозначим через Кп наибольшее число г, такое что если |/(г^ < 1, г £ Юп, то

У^ |cаzа| ^ 1, для всех ^ : <т,

а

где /( г) = ^аса%а — голоморфная в Юп функция, а = (а1, а2,..., ап)

— вектор из пеотрицальпых целых чисел и ||;г||то = max{||^2|,..., |хп\]. X. Боас и Д. Хавинсон показали [19], что если п ^ 2, то

1 /log п

^ Кп ^ 2' 6

, /logn

' V п

3л/п V п

В работе [30] доказана следующая формула:

Кп = bn\j-

logn

Ln ип

п

где 1/л/2 + о(1) < 6П < 2, а в 2014 году было найдено точное асимптотическое поведение последовательности Кп :

Теорема Н (Ф. Баярт, Д. Пеллегрино, Ж. Сеоане-Сепульведа [13]).

lim — п - = 1. v (logn)/n

Другие результаты в этом направлении см. в [8], [18], [28]-[31].

Целью данной работы является введение понятия радиуса Бора и связанных с ним понятий в разных контекстах, формулирование и доказательство в этих терминах качественных результатов, связанных с

неравенствами типа Бора, а также количественных результатов, улучшающих или дополняющих известные. Прежде всего работа посвящена изучению весовых вариантов классического неравенства Бора, а также явлению Бора в пространствах Блоха и Бергмана.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Результаты первых четырёх глав получены автором самостоятельно. В главе 4 научному руководителю принадлежит постановка основной задачи. Результаты главы 5 опубликованы в совместной статье [68]. В диссертацию включены только результаты, полученные автором в нераздельном соавторстве с А.Д. Барановым, И.Р. Каюмовым и Д.М. Хам-матовой.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты работы, а также введённые в диссертации понятия могут быть использованы для дальнейшего исследования неравенств типа Бора. Общий характер некоторых результатов позволяет, используя простые методы, получить целый ряд следствий из них. Возможны обобщения полученных результатов для более абстрактных случаев, например, в функциональном анализе. Систематичность исследования позволяет использовать материалы диссертации для чтения специальных курсов.

Методы исследования. В работе используются как стандартные методы комплексного анализа, так и методы, полученные относительно недавно в работах о неравенствах Бора И.Р. Каюмовым, С. Поннусами, Э. Бомбьери, Ж. Бургейном, Б. Бховмиком и Н. Дасом. Новым является использование теоремы Э. Райха о мажорации подчинённых функций, а также теоремы Я. Сокола о сохранении подчинения выпуклой оболочке выпуклых функций. Для компьютерных вычислений использовались программы Maple и Wolfram Mathematica.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Введено понятия радиуса Бора и функции Бора-Бомбьерп пары операторов. В терминах свёрточной функции получена общая формула для вычисления функции Бора-Бомбьери для оператора свёртки Адамара с фиксированным начальным коэффициентом при некоторых ограничениях на этот коэффициент. Доказанная формула применена к вопросам о радиусе Бора операторов интегрирования и дифференцирования.

2. При существенно меньших ограничениях на начальный коэффициент доказаны оценки функции Бора-Бомбьери для оператора Адамара. На примере оператора дифференцирования показано, что в ряде случаев полученный метод вычисления нижней оценки радиуса Бора оператора Адамара с фиксированным начальным коэффициентом эффективнее известного.

3. Используя понятие радиуса Бора пары операторов, обобщена теорема Б. Бховмика и Н. Даса об оценке мажорантных рядов подчинённых функций.

4. Введено понятие радиуса Бора пары банаховых пространств. Немного улучшена нижняя оценка для радиуса Бора из пространства Блоха в пространство ограниченных функций, полученная И.Р. Каюмовым, С. Поннусами и Н.З. Шакировым. Показано, что для любого весового пространства Блоха радиус Бора не меньше, чем 1 /л/2. Доказан критерий точности неравенства Бора весового пространства Блоха с Я = 1/\[2. С использованием этого критерия найдены веса, при которых неравенство является точным.

5. Получены условия на веса, при которых радиус Бора из пространства Бергмана А2(ш) в пространство А2п(ш) равен 1/л/п. Показано, что все классические веса удовлетворяют этим условиям.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. "Комплексный анализ и смежные проблемы", 30 июня - 4 июля 2022 г., г. Казань, Россия.

2. "Теория функций, теория операторов и квантовая теория информации", 18-22 октября 2022 г., г. Уфа, Россия.

3. "Вероятностные методы в анализе", 21-25 октября, 2022 г., г. Сочи, Россия.

4. "Вторая конференция математических центров России", 7-11 ноября 2022 г., г. Москва, Россия.

5. "Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения", 14-18 марта 2023 г., с. Якты-Куль, Россия.

6. "Санкт-Петербургская летняя конференция по математическому анализу", 1-6 июля 2023г., г. Санкт-Петербург, Россия.

7. "Третья конференция математических центров России", 10-15 октября 2023 г., г. Майкоп, Россия.

8. "Дни анализа в Сириусе", 16-20 октября 2023 г., г. Сочи, Россия.

9. "International Conference on Operator Theory", 18-20 декабря 2023 г., г. Сус, Тунис.

10. "Современные проблемы теории функций и их приложения", 28-31 января 2024 г., г. Саратов, Россия.

Также по теме диссертации был сделан доклад на Санкт-Петербургском семинаре по теории функций и теории операторов под руководством академика C.B. Кислякова.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 6 печатных работах, из них 3 статьи [66]—[68], опубликованные в журналах, входящих в список ВАК или приравненных к ним и индексируемых в базах данных Web of Science и Scopus, 3 работы [69]—[TI] опубликованы в сборниках тезисов конференций.

Содержание диссертации

В первой главе мы изучаем весовые варианты классического неравенства Бора. Для этого мы определяем два новых объекта, частные случаи которых уже рассматривались в работах других авторов: радиус Бора пары операторов и функцию Бора-Бомбьери пары операторов. Пусть f(z) = n>0 anzn, z E D — аналитическая функция в круге. Тогда функционал

Mrf = ^ |anlrn, г > 0,

п>0

называется мажорантным рядом функции f.

Пусть D — открытый круг с центром в нуле или интервал с центром в нуле. Обозначим через 4(D) множество всех степенных рядов вида f(z) = Yhn>0 апzn, которые сходятся в D,

4m(D) := {f E 4(D) : /(0) = /(0) = ... = f(m-1)(0) = 0}, т E N,

4o(D) := 4( D). Определение. Пусть t,s 1,s2 > 0, т > 0 и

Ti : 4m(tD) ^ 4(D), Т2 : 4m(-si,si) ^ 4(-s2,s2) — линейные операторы. Максимальное число R E [0,е); для которого \\TifНе* ^ 1 \T2Mrf| ^ 1, 0 ^r^R,

будем называть радиусом, Бора пары операторов Т\ и Т2 и обозначать Ят1^т2 . Если Т = Т2 = Т, то просто пишем Ят-

Определение. Функцию

{ \ \T2MJ|

mTl^T2 И := sup

f--\\Tif\U=0 Ри

будем называть функцией Бора-Бомбьери операторовТ1 и Т2. Если операторы, Т\ и Т2 совпадают и равны Т, то пишем тт(г).

Определение. Рассмотрим функции вида f{z) = ^n>TOanZn. Зафиксируем модуль начального коэффициента a := \aTO\. Максимальное число г такое, что для всех функций, вида f{z) = ^n>TOanZn, \aTO\ = a, выполняется условие ( )7 будем называть радиусом Бора, пары операторов Т и Т2 с начальным коэффициентом a и обозначать через Ят1^т2 {a). Аналогично определим, функцию Бора Бомбьери пары, операторов с начальным, коэффициентом:

{ ) \Т2МГ/\

тТ^Т2 {Г,a) := suP ,, ,, ,

где супремум берётся по всем, функциям f{z) = ^n>TOanZn, таким что ||Т1 f ||то = 0 и \aTO\ = a.

В диссертации приводятся несколько примеров вычисленных ранее значений определённых выше величин для конкретных операторов. Нас прежде всего будут интересовать операторы типа свёртки Адамара, которые определяются следующим образом. Пусть /(z) = ^п>0 anzn и h{ z) = Yhп>0 спzn. Оператор

Ahf {z) = {h * f){z) := £

) := cndnz

n>0

называется оператором свёртки Адамара. Функцию Н будем называть свёрточной функцией. Пусть т ^ 0,1 Е Ъ, т + I ^ 0 и Зт,1 — оператор сдвига в пространстве %ТО(_0), а именно

(г) :_ г1/(г), ¡Е%т(В).

Пусть Н( х) _ ^спхп и /(х) _ ^апхп. Будем рассматривать операторы вида

К'! := (Н * л = £

У С-п^п^ 1

п>т

дто--дт,0 _ ^ г п п

п^т

:= д(1 _ ^ ^ спапгп.

В частности, примерами таких операторов могут служить тождественные операторы гзаданные в пространстве %ТО(Ю) (записи Ща^т и Ят^а

котором определён оператор Т), операторы дифференцирования, определённые в % ТО(Ю):

6ТОПг) Ж'ТОМ _ т! • 5то,-то( (1 _ г,то+1 * /(*))1 ^ :_ д11

а также оператор взятия первообразной

1о§(1 _ х)

'о

Рассмотрим класс 1С выпуклых однолистных аналитических функций (определение см. в разделе ), таких что /(0) _ 0 и /'(0) _ 1. Мы используем обозначение со 1С для замыкания выпуклой оболочки множества 1С. Основная теорема первой главы такова:

Теорема . Пусть Нг( г) = ^> 0, М г) = ^п>т (1пхп, ^

0. Предположим, что существует последовательность Ьп, такая что Ъ2п = ¿п+т, п ^ 1 и функция к2(г) = ^Ъпгп принадлежит, классу со К. Если

а п^то+1 Сп+1

и а = |ато| > г, то

(г,а) = т,то+1Сто<^тоа + (1/а - а)а-тог1 ((Н * ^2)(аг) - ст4то(аг)то).

В доказательстве этой теоремы мы использовали методы И.Р. Каю-мова и С. Поппусами (см, например, [42]). В частности, использована теорема Голузина о мажорации подчинённых функций [4]. Также для доказательства теоремы мы применяем теорему Я. Сокола [62], которая обобщает теорему С. Рушевея и Я. Станкиевича о свёртке и подчинении выпуклым функциям [61].

Далее мы применяем доказанную теорему к вычислению радиуса Бора различных операторов:

Теорема . Пусть т ^ 1. Если

( 2а2 \ то+г 1 + а

1--^ ^-0 <а< 1,

V т + 2/ 1 + 2а'

то _

ИгЛ^™/то!(а) = Гто(а) := а(1 - т+/1++2а).

/(то) (0)

Другим,и, словами, если / € %т и

= а,

т!

Мг/(то) <т!||/||то, г ^ гто(а),

то( а)

Пусть W — функция Ламберта, то есть функция обратная к функции д(п) = п ет.

Теорема . Пусть а е (0.892643..., 1]. Тогда

в^«,(а) = г(а) := 1 (^¿-Т1"(^^

то есть если / е %1 и |/'(0)| = а, то

Мг/ ^ ||/'||то, г < г(а),

( а)

Вторая глава является прямым продолжением первой главы. В ней изучается вопрос о том, как изменится величина (г,а), ес-

ли — > ш£п>т+1 ——. Здесь мы используем обобщение теоремы Райха о а " сп+1

мажорации подчинённых функций [57] и получаем следующие оценки на функцию Бора Бомбьери:

Теорема . Пусть в> 2, к(х) = ^2п>тспхп, сп > 0,п > т + 1, а > г г/а < Сп+т (г/а)п < Ст+* (г/а), 1 < п < 8.

Если

т£ <-< 1п£ Сп

п>в+т-1 Сп+1 а п>в+т Сп+1

(1/а - а)а-тг 1(к(аг) - ст(аг)т) < тг(г,а) - гт+1 ста

<

(^ Г-У ^1/2(1 /а - а)а-тг 1(Ыаг) - Ст(аг)т). \Ст+ЛаУ /

Эту теорему мы применяем к оператору дифференцирования: Теорема . Пусть а е [0,0.429782...]. Тогда

аз ^ , ч 1 л I 1 + а \ — (а) < -(1 -у/—),

[ 5] +1 / 5 х[,]-1х1/2, 1 \ _ а

2 1в + 1У ) 1(1 - а2-+Т)2 )_1+а'

8 + 1-

Используя последнюю теорему, мы показываем, что в ряде случае наш метод вычисления нижней оценки для Ща^д (а) эффективнее известного из статьи [5] метода.

В третьей главе понятие радиуса Бора пары операторов применяется для обобщения теоремы Б. Бховмика и Н. Даса о сравнении мажорантных рядов подчинённых функций. Говорят, что аналитическая функция / подчинена аналитической функции д и пишут / -< д, если существует аналитическая функция ш( г) такая, что |ш( г)| < 1, г е Р, ш(0) _ 0 и

¡(г)_д(ш(г)), ге Р.

Сначала мы доказываем несложное утверждение о том, что если КС(К) — радиус сходимости ряда то

Далее, используя этот факт, мы получили следующие две теоремы: Теорема . Пусть т ^ 0, ¡(г) _ ^п>тапхп, д(х) _ ^п^тЬпхп и

'П

функция Н(г) _^2п^тспгп удовлетворяет условию |сп| ^ |сп+1|, п ^ т. Пусть Т _ Ат,-т. Если Т/ -< Тд в Р, то

Мг/ (Тд), ^л.

Теорема . В условиях предыдущей теоремы, если |Т/( г)\ ^ \Тд( г)\, ^ е Ю, то

Мг/ (Тд), г^Вт^¿.

Число г = Вт^а в последнем неравенстве наилучшее из возможных.

Четвёртая глава посвящена проблеме вычисления радиуса Бора пары банаховых пространств:

Определение. Пусть Х,У — банаховы пространства аналитических функций в круге Ю = {\г\ < 1}. Пусть /( г) = ^п>0апгп. Максимальное

в,

Ш1х ^ 1=^ II Е Iап1(Вг)п

п|

п>о

< 1,

у

будем называть радиусом Бора, из Х в У и обозначать Вх^у- Если Х и У совпадают, то пишем Вх.

Говорят, что аналитическая в Ю функция /( г) = Х^п>0ап^п принадлежит весовому пространству Блоха В(ш) с весом ш(г) > 0, если

Н/Цш) := |а0| +йирш(\х\)\$ '(х)\ < то.

хеЮ

Для стандартного веса ш(г) = 1 - г2 просто пишем В.

Оценки радиуса Бора Вв^н~ были получены в работе [45]: 0.624162... > Вв^н~ > 0.55356... Мы покажем, что нижняя оценка может быть слегка улучшена: Вв^н~ > 0.563777. Далее рассматривается проблема о вычислении радиуса Бора из весового пространства Блоха в себя:

Теорема . Пусть В(ш) — весовое пространство Блоха с весом ш(г) > 0. Тогда,

Вв(ш) > 1/^2.

Зададимся естественным вопросом: является ли при фиксированном весе неравенство Бора с Л _ 1/л/2 точным? Используя методы Э. Бомбьери и Ж. Бургейна [21], мы получили критерий точности таких неравенств.

Теорема 4.3. Неравенство

II £ ^ШИ <"/"вд

п>0

является точным,, то есть обращается, в равенство для, некоторой ненулевой функции / е В(ш), тогда и только тогда, когда существует ' такой что для, всех г е [0,1) выполняется неравен-

число Г0 е ство

л/2'

1

ш(г) / г л/2г0 + т

^ Ш1П 2--•

ы(го) \ Го' у/2г + То'

Экстремальные функции с точностью до умножения на константу имеют следующий вид:

Г г/го - ег<Ф/^ ¿X + С, ф е [0,2п), се Р,С е С. Л 1 -е-фг/(^2го) , ф [ , ), ,

Используя последнюю теорему, мы приводим примеры весов, для которых соответствующее неравенство Бора для пространств Блоха является точным.

В пятой главе изучается вопрос о радиусе Бора весовых пространств Бергмана Ар(п).

Определение. Пусть п — неотрицательная функция на полуинтервале [0,1). Говорят, что функция/, аналитическая в единичном кругеШ, принадлежит, весовому пространству Бергмана Ар(п), если

1/

\ Парм :_ I 1 /I№)РЧИ) ¿А(г) | < гс,

где А — мера Лебега на плоскости. Веса

пр(г) = 2(р - 1)(1 - г2)*-2,

где р > 1, называют классическими весами.

Рассматриваемые нами вопросы связаны с неравенством Вайссле-ра [64]:

и и и и 1Р

11 Л 11Нч ^ 11 / 11 Нр для всех / е Нр ^^ г -,

где 0 < р < д < то, Нр и Н — пространств а Харди в круге Ю, и /г = /(гх), 0 < г < 1. В частном случае при р = 2 последнее неравенство допускает следующую интерпретацию:

Вн 2^н з = у2-, 2 <д< то.

Неравенства типа Вайсслера для пространств Бергмана АР изучались многими авторами. В частности, Ф. Баярт, О. Бревиг, А. Хайми, X. Ор-тега-Серда и К.-М. Перфект [12] доказали вариант этого неравенства, из которого следует, что если 2 < д < той р = п+г для некотор ого п е М, то

ВА1^А01 =

В главе 5 мы изучаем аналоги последнего утверждения для пространств Бергмана с произвольными радиальными весами. Пусть

1

= / р'"+ч"<р№, т >0 о

Теорема . Пусть п — вес, удовлетворяющий условию

^2т . т ^2(т+1) . л >--г--, т > 1.

^2(т-1) т + 1 ^2т

Тогда для всех п <Е N ИМССМ Ва2(ш)^А2п(ш) —

п

Теорема 5.2 применима ко всем классическим весам, при этом неравенство для моментов Нт обращается в тождество.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 91 страницу.

Список литературы содержит 71 наименование.

Глава 1. Радиус Бора и оператор свёртки Адамара 1.1 Основные определения и обозначения

Введём понятие радиуса Бора пары операторов, в терминах которого могут быть сформулированы многие известные результаты, связанные с модификациями классического неравенства Бора. Напомним сначала определение мажорантного ряда аналитической функции:

Определение 1.1. Пусть /(г) = ^2п^0ап2п, ^ Е Р. Функционал

Мг/ := £ Ккп

п>0

.

Пусть И — открытый круг с центром в нуле или интервал с центром в нуле. Обозначим через 'Н(И) множество степенных рядов вида /(г) = ап%п, которые сходятся в И,

Пт(И) := {/ Е П(И) : Д0) = /(0) = ... = /(т-1)(0) = 0}, т Е М,

ЗДИ) := И).

Определение 1.2. Пусть I, в 1,й 2 > 0, т ^ 0 и

Т1 : Нт(Щ ^ Н(В), Т2 : Нт(-«1,«1) ^ Ч(-з2,з2)

— линейные операторы,. Максимальное число Я Е [0,то)7 для которого

\\T1f^ 1=^|Т2МГ/1 ^ 1, 0 ^г^Я, (1.1)

будем называть радиусом, Бора пары операторов Т\ и Т2 и обозначать Ят1^т2 .Если Т1 _ Т2 _ Т, то просто пишем ЯТ.

В первую очередь нас будут интересовать задачи о вычислении радиуса Бора пары операторов, в которых оператор Т2 коммутирует с функционалом Мг, то есть Т2МГ/ _ МгТ2/ для всех степенных рядов / в круге. Однако, интересны также и задачи, в которых это равенство не выполняется. Такие проблемы уже рассматривались, например, в работе [10]. О них мы пишем в разделе 1.2.

Как и в случае с классическим неравенством Бора условие (1.1) эквивалентно неравенству

Обозначим через г¿т тождественный оператор, заданный в пространстве %т(Ю). Записи Я,ьи Ят^^ означают, что г<1 — тождествен-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хасянов Рамис Шавкятович, 2024 год

Список литературы

[1] Авхадиев Ф. Г., Каюмов И. Р. Оценки в классе Блоха и их обобщения // Докл. РАН - 1996. - Т.349, №5 - 0.583 585.

[2] Авхадиев Ф. Г. Введение в геометрическую теорию функций. — Казань: КФУ, 2012.

[3] Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. - Москва: Наука, 1966.

[4] Голузин Г. М. О мажорации подчинённых функций // Матем. сб. — 1951 - Т.29, №71 - С.209-224.

[5] Голузин Г. М. Оценка производной для функций, регулярных и ограниченных в круге // Матем. сб. — 1945 — Т. 16, №58 — С.295—306.

[6] Лебедев Н. А., Милин И. М. О коэффициентах некоторых классов аналитических функций // Матем. сб. — 1951 — Т.28, №70 — С. 359 400.

[7] Ahlfors L., Grunsky Н. Uber die Bloch'sche Konstante // Math. Z. — 1937 - V.42 - P.671 673.

[8] Aizenberg L. Multidimensional analogues of Bohr's theorem on power series // Proc. Amer. Math. Soc. - 2000 - V.128 - P. 1147 1155.

[9] Alkhaleefah S., Kayumov I., Ponnusamy S., On the Bohr inequality with a fixed zero coefficient // Proc. Amer. Math. Soc. — 2019 — V.147, No. 12 _ p.5263 -5274.

[10] Ali R., Barnard R., Solynin A. A note on Bohr's phenomenon for power series // J. Math. Anal. Appl. - 2017 - V.449, No.l - P. 154 167.

[11] Allu V., Halder H. On Bloch norm and Bohr phenomenon for harmonic Bloch functions on simply connected domains // arxiv: 2108.05899v2. — 2022.

[12] Bayart F., Brevig O., Haimi A., Ortega-Cerdà J., Perfekt K.-M. Contractive inequalities for Bergman spaces and multiplicative Hankel forms // Trans. Amer. Math. Soc. - 2019 - V.371, No.l - P.G81 707.

[13] Bayart F., Pellegrino D., Seoane-Sepülveda J. The Bohr radius of the n-dimensional polydisk is equivalent to \/log n/n // Adv. Math. — 2014 _ v.274 - P.726-746.

[14] Beneteau C., Dahlner A., Khavinson D. Remarks on the Bohr phenomenon // Comput. Methods Funct. Theory — 2004 — V.4, No.l — p.1-19.

[15] Bhowmik B., Das N. Bohr phenomenon for subordinating families of certain univalent functions // J. Math. Anal. Appl. — 2018 — V.462, No.2 - P.1087-1098.

[16] Bhowmik B., Das N. On some aspects of the Bohr inequality // Rocky Mount. J. Math. - 2021 - V.51, No.l - P.87 96.

[17] Bloch A. Les théorèmes de M. Valiron sur les fonctions entières, et la théorie de l'uniformisation // Annales de la Facult'e des Sciences de l'Université de Toulouse - 1925 - V.17 - P.l-22.

[18] Boas H., Majorant series, several complex variables //J. Korean Math. Soc. _ 2000 - V.37 - P.321-337.

[19] Boas H., Khavinson D., Bohr's power series theorem in several variables // Proc. Amer. Math. Soc. - 1997 - V.125 - P.2975 2979.

[20] Bombieri E., Sopra un teorema di H. Bohr e G. Ricci sulle funzioni maggioranti delle serie di potenze // Boll. Un. Mat. Ital. — 1962 — V.17, Xo..'] - P.276 282.

21] Bombieri E., Bourgain J. A remark on Bohr's inequality // Int. Math. Res. Not. - 2004 - V.80 - P.4307 4330.

22] Bohr H. A theorem concerning power series // Proc. Lond. Math. Soc. _ 1914 _ Y.13 - P. 1—5.

23] Bonk M. Extremalprobleme bei Bloch-Funktionen // PhD Thesis — 1988 — TUBraunschweig.

24] Burbea J. Sharp inequalities for holomorphic functions // Illinois J. Math. - 1987 - V.31, No.2, P.248 264.

25] Carleman T. Zur Theorie der Minimalflächen // Math. Z. — 1921 — V.9

_ IM 54 160.

26] Chen H., Gauthier P. On Bloch's constant // J. d'Analyse Math. — 1996 _ y.69 _ p.275—291.

27] de Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture // Acta math. — 1985 _ y. 154 - P. 137 152.

28] Defant A., Frerick L. A logarithmic lower bound for multi-dimensional Bohr radii // Isr. J. Math. - 2006 - V.152 - P. 17 28.

29] Defant A., Frerick L. The Bohr radius of the unit ball oil™ // J. Reine Angew. Math. - 2011 - V.660 - P.131 147.

30] Defant A., Frerick L., Ortega-Cerdà, J., Ounaïes M., Seip K. The Bohnenblust-Hille inequality for homogeneous polynomials is hypercontractive // Ann. Math. - 2011 - V.174, No.l - P.485 497.

[31] Defant A., Garcia D., Maestre M. Bohr's power series theorem and local Banach space theory //J. Reine Angew. Math. — 2003 — V.557 — P.173-197.

[32] Dixon P. Banach algebras satisfying the non-unital von Neumann inequality // Bull. Lond. Math. Soc. - 2005 - V.27, No.4 - P.359 302.

[33] Eenigenburg P. On the relative growth of area for subordinate functions // Rocky Mount. J. Math. - 1989 - V.19 No.2 - P.415 422.

[34] Eenigenburg P. Waniurski J. An area inequality for quasi-subordinate analytic functions // Annal. Polon. Math. - 1977 - V.34 - P.25 33.

[35] Egerväry E. Uber gewisse Extremumprobleme der Funktionentheorie // Math. Ann. - 1928 - V.99 - 542-561.

[36] Evdoridis S., Ponnusamy S., Rasila A. Improved Bohr's inequality for locally univalent harmonic mappings // Indag. Math — 2019 — V.30 — P.201-213.

[37] Garcia S., Mashreghi J., Ross W. Finite Blaschke products and their connections. — 2018. — Springer: Cham.

[38] Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman Spaces. Graduate Texts in Mathematics. — 2000. — New York: Springer-Verlag.

[39] Ismagilov A., Kayumov I., Ponnusamy S. Sharp Bohr type inequality // J. Math. Anal. Appl. - 2020 - V.489, No.l - P. 124 147.

[40] Kayumov I., Khammatova D., Ponnusamy S. On the Bohr inequality for the Cesaro operator // C. R. Math. Acad. Sei. Paris — 2020 — V.358, No.5 - P.615 620.

[41] Kayumov I., Khammatova D., Ponnusamy S. The Bohr inequality for the generalized Cesaro averaging operators // Medit. J. Math. — 2022 — V.19.

[42] Kayumov I., Ponnusamy S. Bohr's inequalities for the analytic functions with lacunary series and harmonic functions. // J. Math. Anal. Appl. — 2018 - V.465, No.2 - P.857 871.

[43] Kayumov I., Ponnusamy S. Improved version of Bohr's inequality // C. R. Acad. Sei. Paris - 2018 - V.356 - P.272 277.

[44] Kayumov I., Ponnusamy S. On a powered Bohr inequality // Ann. Acad. Sei. Fenn. Math. - 2019 - V.44 - P.301 310.

[45] Kayumov I., Ponnusamy S., Shakirov N. Bohr radius for locally univalent harmonic mappings // Math. Nachr. — 2018 — V.291 — P.1757—1768.

[46] Kulikov A. Functionals with extrema at reproducing kernels // Geom. Funct. Anal. - 2022 - V.32 - P.938 949.

[47] Kulikov A., Nicola F., Ortega-Cerdä J., Tilli P. A monotonicity theorem for subharmonic functions on manifolds // arxiv:2212.14008.

[48] Landau E. Uber die Bloch'sche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten // Math. Z. - 1929 - V.30 - P.608 634.

[49] Llinares A. On a conjecture about contractive inequalities for weighted Bergman spaces // arxiv:2112.09962.

[50] Melentijevic P. Hypercontractive inequalities for weighted Bergman spaces // Bull. London Math. Soc. - 2023 - V.55, No.6 - P.2611 2616.

[51] Neumann J. Eine spectral Theorie für allgemeine Operatoren eines unitären Raumes // Math. Nachr. - 1951 - V.4 - P.258 281.

[52] Pavlovic M. New proofs of the isoperimetrie inequality and some generalizations //J. Math. Anal. Appl. - 1984 - V.98 - P.25 30.

[53] Paulsen V., Popescu G., Singh D. On Bohr's inequality // Proc. London Math. Soc. - 2002 - V.85, No.3 - P.493 512.

[54] Paulsen V., Singh D. Bohr's inequality for uniform algebras // Proc. Amer. Math. Soc. - 2004 - V.132, Xo.12 - P.3577 3579.

[55] Pick G. Uber eine Eigenschaft der konformen Abbildung kreisförmiger Bereiche // Math. Ann. - 1916 - V.77 - P.l 6.

[56] Ponnusamy S., Vijayakumar R., Wirths K.-J. Improved Bohr's phenomenon in quasi-subordination classes // J. Math. Anal. Appl. — 2021 - V.506, No.l - P.l25 645.

[57] Reich E. An inequality for subordinate analytic functions // Pacific J. Math. - 1954 - V.4, No.2 - P.259 274.

[58] Ricci G. Complementi a un teorema di H. Bohr riguardante le serie di potenze. // Rev. Un. Mat. Argentina - 1955/1956 - V.17 - P. 185 195.

[59] Robertson M. Quasi-subordination and coefficient conjectures // Bull. Amer. Math. Soc. - 1970 - V.76, No.l - 1-9.

[60] Ruscheweyh S. Convolutions in geometric function theory. — 1982 — Montréal: Presses de l'Université de Montréal.

[61] Ruscheweyh S., Stankiewicz J. Subordination under convex univalent functions // Bull. Polish Acad. Sei. Math. - 1985 - V.33 - P.499 502.

[62] Sokol J. Convolution and subordination in the convex hull of convex mappings // Appl. Math. Lett. - 2006 - V.19, No.4 - P.303 306.

[63] Tomic M. Sur un theoreme de H. Bohr // Math. Scand. — 1962 — V.ll _ p.103—106.

[64] Weissler F. Logarithmic Sobolev inequalities and hypercontractive estimates on the circle //J. Funct. Anal. — 1980 — V.37, No.2 — P.218 234.

[65] Zygmund A. Trigonometric series. — 1977 — Cambridge: Cambridge University Press.

Публикации автора по теме диссертации:

Публикации в журналах из списков ВАК, WoS и Scopus:

[66] Khasyanov R. The Bohr radius and the Hadamard convolution operator // J. Math. Anal. Appl. - 2024 - V.531, No.l. - Article 127782.

[67] Khasyanov R. The Bohr radius of the weighted Bloch spaces // Lobachevskii J. Math. - 2023 - V.44, No.7 - P.2757 2764.

[68] Baranov A., Kayumov I., Khammatova, D., Khasyanov R. Weissler and Bernoulli type inequalities in Bergman spaces // Arch. Math. — 2023 — V.121 - P.155-169.

Тезисы конференций:

[69] Хасянов Р.Ш. Радиус Бора и оператор свёртки Адамара // Материалы 22-й международной Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения" / под ред. А.П. Хромова _ гр 22 — Саратов: издание Саратовского университета, 2024 — С.287-290.

[70] Хасянов Р.Ш. Оценки мажорантных рядов аналитических функций // материалы международной конференции "Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения" / под ред. Р.Н. Га-рифуллина — Уфа: Аэтерна, 2023 — С.123—124.

[71] Хасянов Р.Ш. Явление Бора в пространствах аналитических функций в круге // материалы международной конференции "Комплексный анализ и смежные проблемы" — Т.63 — Казань: КФУ, 2022 - С.31—32.