Оценка числа сигналов с неизвестными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Харин Александр Владимирович

• Харин Александр Владимирович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Харин Александр Владимирович

Введение

Глава 1. Оценка максимального правдоподобия числа сигналов

с неизвестными параметрами

1.1. Оценка числа детерминированных сигналов

1.2. Оценка числа радиосигналов с неизвестными начальными фазами

1.3. Оценка числа сигналов с неизвестными неэнергетическими параметрами

1.4. Основные результаты и выводы

Глава 2. Модифицированная оценка максимального правдоподобия числа сигналов с неизвестными параметрами

2.1. Границы применимости оценки максимального правдоподобия числа сигналов с неизвестными параметрами

2.2. Оценка числа сигналов с неизвестными амплитудами на основе модификаций алгоритма максимального правдоподобия

2.3. Оценка числа радиосигналов с неизвестными амплитудами и фазами на основе модификаций алгоритма максимального правдоподобия

2.4. Оценка числа сигналов с неизвестными амплитудами и неэнергетическими параметрами на основе модификаций алгоритма максимального правдоподобия

2.5. Основные результаты и выводы

Глава 3. Квазиправдоподобная оценка числа сигналов с неизвестными параметрами

3.1. Квазиправдоподобная оценка числа радиосигналов с неизвестными частотами

3.2. Квазиправдоподобная оценка числа радиосигналов с неизвестными амплитудами и фазами

3.3. Квазиправдоподобная оценка числа радиосигналов с неизвестными амплитудами, фазами и частотами

3.4. Основные результаты и выводы

Заключение

Список сокращений и аббревиатур

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка числа сигналов с неизвестными параметрами»

Введение

Актуальность темы. Решение задачи оценки числа сигналов с неизвестными параметрами является необходимым для многих областей науки и техники. В качестве примеров можно привести статистическую радиофизику и теорию статистической обработки сигналов [44, 97, 103, 110, 124], спектральный анализ [104, 114, 122], радио-, гидро-, акустолокацию и навигацию [45, 85, 93], а также анализ различных геофизических, медицинских и экономических данных [86, 94, 99, 113]. Отдельные исследования в области оценки числа сигналов относятся ещё к двадцатым годам двадцатого века [95], однако, подавляющее большинство работ в этой области появились в течении последних сорока лет и, в основном, после появления основополагающей работы Хиротагу Ака-кике [80], посвященной оценке числа параметров для построения наилучшей регрессионной модели, в которой был предложен критерий Akaike information criteria (AIC). За этот период достигнут значительный прогресс, было предложено множество критериев: Bayesian information criterion (BIG) [119], Minimum description length (MDL) [116] и многие другие. В тоже время, на основе появившихся критериев синтезированы различные алгоритмы оценки сигналов. В качестве примеров можно привести работы: [87, 122, 123, 125]. Помимо алгоритмов, основанных на каких-либо критериях, предлагаются также и эмпирические алгоритмы, например, [93, 104, 110].

В общем случае задача оценки числа сигналов с неизвестными параметрами, наблюдаемых на фоне аддитивного гауссовского шума, формулируется следующим образом. Пусть имеется реализация наблюдаемых данных, которая содержит сумму полезного сигнала и гауссовского белого шума. Далее, предположим, что полезный сигнал представляет собой сумму из нескольких сигналов, каждый из которых может зависеть от некоторых неизвестных параметров. Задача заключается в оценке числа сигналов, из которых формируется полезный сигнал.

Причин возникновения потребности в оценке числа сигналов на практике достаточно много. Так, в качестве примера, в статистической радиофизике, теории статистической обработки сигналов и локации можно выделить три часто встречающиеся задачи, связанные с оценкой числа сигналов:

/ задача многолучевого приёма [44, 71, 102, 124], которая заключается в статистическом анализе суммы нескольких сигналов, порождённых распространением одного исходного сигнала, пришедшего к приёмнику по разным каналам (или по разным лучам). Эту задачу необходимо решать во многих современных системах связи (в качестве примеров можно привести современные системы мобильной связи, а также системы связи КВ диапазона).

/ задача сверхразрешения [93, 120], которая заключается в статистическом анализе суммы нескольких различных сигналов с неизвестными параметрами, которые принял один элемент антенной решётки.

</ задача оценки числа источников сигналов или шумов [45, 83, 118, 123], которая является наиболее общей и состоит в статистическом анализе суммы нескольких сигналов, пришедших из различных источников с неизвестными параметрами.

Решения приведённых выше проблем оценки числа сигналов лежат в области оценки параметров сигналов на фоне помех [38], поэтому искать эти решения целесообразно методами статистической радиофизики.

Из всего вышесказанного можно заключить, что задача оценки числа сигналов является одной из наиболее востребованных в современной теории статистической обработки сигналов и статистической радиофизике. Однако, абсолютное большинство работ в этой области посвящено оценке числа сигналов с дискретным временем, т.е. сигналов, полученных из реализации наблюдаемых данных путём дискретизации их по времени. При этом важно отметить, что

решение задачи синтеза и анализа алгоритмов оценки числа сигналов в непрерывном времени является более общей задачей по двум причинам. Во-первых, в процессе дискретизации сигнала теряется часть информации о нём, так что оптимальный алгоритм для оценки числа дискретных сигналов использует не всю информацию о сигнале. Во - вторых, из оптимального алгоритма оценки числа сигналов в непрерывном времени всегда можно получить алгоритм оценки числа сигналов в дискретном времени, но обратная операция в общем случае затруднительна. Здесь также необходимо отметить, что основные критерии, на которые опираются алгоритмы оценки числа сигналов в существующих работах (AIC, В 1С, MDL и т. д.) не являются оптимальными с точки зрения минимума вероятности ошибки, т.е. вероятности того, что оценка, вырабатываемая данным алгоритмом, не совпадает с истинным числом сигналов. Например, критерий AIC является оптимальным только с точки зрения минимума расстояния Кульбака-Лейблера [39]. Однако, вероятность ошибки является ключевой характеристикой качества функционирования алгоритмов оценки числа сигналов. Наконец, хотя в ряде работ, например, [86, 106, 110, 126] приводятся характеристики различных алгоритмов оценки числа сигналов, однако, на данный момент нет единой и достаточно общепризнанной количественной характеристики качества функционирования таких алгоритмов. Кроме того, на данный момент отсутствуют какие-либо примеры аналитического расчётов количественных характеристик алгоритмов оценки числа сигналов в непрерывном времени, в тех работах, где такие алгоритмы синтезированы [44, 93]. Без введения единых количественных характеристик алгоритмов оценки числа сигналов возникают трудности в сравнении алгоритмов и выборе наиболее эффективного, а аналитические результаты анализа алгоритмов дают возможность оптимизировать их параметры.

Теперь приведём обзор литературы по теме диссертации. Основой математического аппарата диссертации являются: теория вероятностей [11, 21, 23, 31, 43, 49, 66, 67, 79], теория случайных процессов [13, 14, 25, 36, 42, 60, 62, 112]

математическая статистика [10, 12, 16, 32, 35, 39, 51, 107], линейная алгебра и теория матриц [9, 22, 76, 84, 128], математический и функциональный анализ [24, 33, 68 70]. Отдельно необходимо отметить многомерный статистический анализ [27 29, 81, 82, 109], т.к. к этой области принадлежит задача оценки необходимой размерности статистической модели, а эта задача, в свою очередь, равносильна задаче оценки числа сигналов.

В ходе решения задач оценки числа сигналов необходимо правильно построить модели полезного сигнала, канала распространения сигнала и помех в этом канале. Этим вопросам посвящены книги [7, 20, 41, 58, 73].

Как было указано выше, для решения задач оценки числа сигналов необходим аппарат статистической радиофизики и статистической теории обработки сигналов. Подробное изложение этих теорий можно найти в книгах [5, 8, 17 19, 34, 40, 46, 47, 50, 53, 54, 59, 121].

В результате проведённых в диссертации исследований было выяснено, что математический аппарат статистической теории обнаружения сигналов, содержащийся в книгах [3, 17, 56, 61, 63, 74] может быть плодотворно применён для некоторых этапов вычисления характеристик оценок числа сигналов. В этой связи необходимо отметить работу [3], с использованием результатов которой были получены характеристики некоторых алгоритмов оценки числа сигналов, рассмотренных в диссертации.

При решении проблемы оценки числа сигналов с неизвестными параметрами часто необходимо вначале оценить эти параметры. Решению задачи статистической оценки параметров сигналов посвящены книги [26, 38, 48, 52, 55, 56, 64, 65, 77]. Здесь необходимо отметить работу [38], результаты которой использовались в диссертации наиболее активно, а также работу [48], откуда была взята концепция квазиправдоподобных алгоритмов оценки параметров сигналов.

Для подтверждения теоретических результатов анализа алгоритмов необходимо использовать методы статистического моделирования и вычислений на ЭВМ, теоретические основы этих методов и рекомендации по их практическому

применению даны в [2, 4, 15, 30, 72, 75].

Непосредственно проблеме оценки числа сигналов с неизвестными параметрами посвящено большое число работ, в качестве примеров можно перечислить [44, 45, 71, 86 93, 96 98, 100, 101, 103 106, 108, 110, 111, ИЗ 115, 117, 118, 122 127, 129].

В работе [80] был получен критерий, на основании которого в данной диссертации синтезирован алгоритм с линейной штрафной функцией.

Работа [93] является одной из первых, где были рассмотрены трудности, возникающие при оценке числа сигналов методом максимального правдоподобия, кроме того, это одна из первых работ, где была предложена модификация алгоритма максимального правдоподобия для решения задачи оценки числа сигналов в модели с непрерывным временем.

В работе [44] описан модифицированный алгоритм максимального правдоподобия, который был синтезирован и проанализирован в диссертации в рамках решения различных задач оценки числа сигналов.

Основной целью работы является исследование алгоритмов оценки числа сигналов с неизвестными параметрами, выбор наиболее удобной характеристики качества функционирования этих алгоритмов, разработка методов анализа исследуемых алгоритмов и сравнение качества их функционирования на основе предложенной характеристики. Рассмотрим основную цель работы более подробно.

</ Введение новой характеристики качества функционирования алгоритмов оценки числа сигналов. При этом за основу новой характеристики должна приниматься вероятность ошибки алгоритма, т.е. вероятность того, что оценка числа сигналов, выработанная алгоритмом, не совпадает с истинным числом сигналов.

</ Синтез, а также исследование структуры и характеристик алгоритма максимального правдоподобия оценки числа детерминированных сигналов.

Характеристики данного алгоритма могут служить эталоном, с которым могут сравниваться характеристики других алгоритмов.

</ Синтез и анализ алгоритма максимального правдоподобия оценки числа радиосигналов с неизвестными фазами. Задача оценки числа сигналов с неизвестными фазами является одной из самых простых и в тоже время она демонстрирует применение общих подходов статистической теории оценивания к проблеме оценки числа сигналов с неизвестными параметрами.

</ Нахождение характеристик оценки максимального правдоподобия числа сигналов с неизвестными неэнергетическими параметрами. Решение такой общей задачи даёт возможность сравнивать любые алгоритмы оценки числа сигналов с неизвестными неэнергетическими параметрами между собой и проводить комплексный анализ исследуемых систем.

</ Анализ общих проблем, препятствующих непосредственному применению алгоритма максимального правдоподобия к оценке числа сигналов с неизвестными энергетическими параметрами.

</ Синтез и анализ алгоритмов оценки числа сигналов с неизвестными амплитудами. Амплитуда является наиболее часто встречающимся на практике энергетическим параметром. На основе решения данной задачи можно рассмотреть основные трудности, возникающие при применении метода максимального правдоподобия к оценке числа сигналов с неизвестными энергетическими параметрами.

</ Синтез и анализ алгоритмов оценки числа радиосигналов с неизвестными амплитудами и фазами. Данная задача является одной из наиболее распространённых на практике и часто рассматривается в приложениях.

</ Исследование характеристик алгоритмов оценки числа сигналов с неиз-

вестными амплитудами и неэнергетическими параметрами. Изучение таких общих характеристик позволяет проводить анализ качества функционирования широкого круга алгоритмов оценки числа сигналов.

</ Исследование квазиправдоподобных оценок числа сигналов с частично неизвестными параметрами.

Научная новизна

</ Предложена новая характеристика качества функционирования алгоритмов оценки числа сигналов укороченная вероятность ошибки.

</ Синтезированы два новых максимально правдоподобных алгоритма оценки числа сигналов: алгоритм максимального правдоподобия оценки числа детерминированных сигналов и алгоритм максимального правдоподобия оценки числа сигналов с неизвестными фазами. Впервые исследованы свойства и характеристики этих алгоритмов с использованием понятия укороченной вероятности ошибки.

</ Впервые найдены необходимые условия, при которых возможно оценить число сигналов методом максимального правдоподобия. Для случаев, когда найденные условия не выполняются, предложены два новых алгоритма оценки числа сигналов с неизвестными параметрами на основе модификаций метода максимального правдоподобия: алгоритм с инвариантной случайной штрафной функцией (предложен в [132, 134, 139]) и алгоритм с обратной штрафной функцией (предложен в [132, 134, 139]).

</ Разработана новая методика для нахождения характеристик модифицированных алгоритмов оценки числа сигналов (основные положения новой методики приведены в работах [132, 134]). На основе этой методики впервые проведён анализ четырёх алгоритмов оценки числа сигналов: алгоритма с линейной штрафной функцией (синтезирован на основе критерия А1С),

алгоритма со случайной штрафной функцией (предложен в работе [44]), алгоритма с инвариантной случайной штрафной функцией и алгоритма с обратной штрафной функцией. Анализ четырёх указанных алгоритмов проведён для каждой из двух задач: для задачи оценки числа сигналов с неизвестными амплитудами и для задачи оценки числа сигналов с неизвестными амплитудами и фазами. На основе полученных характеристик этих алгоритмов впервые проведена оптимизация их параметров для минимизации вероятности ошибки.

</ Предложена новая методика анализа алгоритмов оценки числа сигналов с неизвестными неэнергетическими параметрами (основные положения новой методики приведены в работах [136, 139]). На основе новой методики впервые найдены характеристики оценки максимального правдоподобия числа сигналов с неизвестными неэнергетическими параметрами, а также впервые получены характеристики, указанных выше четырёх модифицированных алгоритмов максимального правдоподобия в случае решения задачи оценки числа сигналов с неизвестными амплитудами и неэнергетическим параметрами.

</ Впервые проведён синтез и анализ новых квазиправдоподобных алгоритмов оценки числа радиосигналов, а именно: квазиправдоподобного алгоритма оценки числа радиосигналов с неизвестными частотами, квазиправдоподобного алгоритма оценки числа радиосигналов с неизвестными амплитудами и фазами, а также квазиправдоподобного алгоритма оценки числа радиосигналов с неизвестными амплитудами, фазами и частотами.

Перечисленные выше новые результаты получены для моделей сигналов с непрерывным временем.

Теоретическая и практическая ценность. Предложена новая характеристика алгоритмов оценки числа сигналов укороченная вероятность ошибки.

Данная характеристика позволяет сравнивать между собой качество функционирования различных алгоритмов оценки числа сигналов. Синтезированы максимально правдоподобные алгоритмы оценки числа сигналов с неизвестными параметрами. Установлены необходимые условия, при которых возможна оценка числа сигналов с неизвестными параметрами методом максимального правдоподобия. Рассмотрены четыре модификации алгоритма максимального правдоподобия, позволяющие оценивать число сигналов в случае, когда это невозможно сделать с помощью максимально правдоподобного алгоритма. Разработаны методики анализа максимально правдоподобных алгоритмов и модифицированных алгоритмов с помощью укороченной вероятности ошибки. Получены структура и характеристики квазиправдоподобных алгоритмов оценки числа радиосигналов с неизвестными амплитудами, фазами и частотами. Исследованные в диссертации алгоритмы оценки числа сигналов могут быть использованы для повышения точности радиофизических, спектральных и иных измерений, а так же для повышения помехоустойчивости различных систем связи. В качестве конкретных примеров можно привести задачи многолучевого приёма в статистической теории связи, задачи оценки числа источников сигналов и сверхразрешения в активной и пассивной радио-, гидро-, акустолокации. Предложенные алгоритмы оценки числа сигналов позволяют существенно улучшить качество функционирования систем, реализующих решение этих задач. Характеристики всех рассмотренных в диссертации алгоритмов оценки числа сигналов получены на основе укороченной вероятности ошибки, поэтому полученные в диссертации результаты позволяют сделать обоснованный выбор между различными алгоритмами в зависимости от условий в которых решаются задачи.

Внедрение научных результатов. Полученные результаты были использованы при выполнении грантов

/ Грант №13-01-97504 на тему «Комплексная обработка изображений и сигналов с неизвестными параметрами в новых информационных технологи-

ях». Российский Фонд Фундаментальных Исследований.

/ Грант №2012-1.4-12-000-2026-1444 на тему «Разработка радиолокационных методов дистанционного зондирования и мониторинга морской поверхности и ледовой обстановки для обеспечения безопасности разработки новых энергоэффективных северных морских месторождений углеводородов и их добычи» в рамках реализации федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.

/ Грант №2012-1.4-12-000-1018-6220 на тему: «Разработка методов статистического анализа нестационарных случайных процессов в условиях параметрической априорной неопределенности при скачкообразно-плавном изменении их статистических характеристик» в рамках реализации федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.

/ Грант №2012-1.4-12-000-1025-6950 на тему «Разработка статистических методов обработки и анализа сверхширокополосных сигналов и полей при наличии случайных искажений в условиях комплексной априорной неопределенности» в рамках реализации федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.

</ Грант №15-11-10022 на тему «Статистические методы локализации местоположения и протяженности области определения сигналов и изображений в пространстве их существования». Российский научный фонд.

Также работа над диссертацией была поддержана стипендией Правительства Российской Федерации, приказ №1132 от 13 октября 2015 года. Полученные результаты внедрены в научно-исследовательской и учебной работе на кафедре радиофизики Воронежского Государственного Университета и в научно-исследо-

вательской работе в АО «Концерн «Созвездие» НИЧ №11062, №11073, №13073, №13079.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту.

</ Новая характеристика качества функционирования алгоритмов оценки числа сигналов укороченная вероятность ошибки. Обоснование данной характеристики в различных задачах с помощью аналитических расчётов и статистического моделирования.

</ Структура и характеристики новых алгоритмов максимального правдоподобия: алгоритма оценки числа детерминированных сигналов, алгоритма оценки числа сигналов с неизвестными фазами и алгоритма оценки числа сигналов с неизвестными неэнергетическими параметрами.

</ Обоснование необходимых условий возможности применения алгоритмов максимального правдоподобия к задаче оценки числа сигналов с неизвестными параметрами.

</ Новые модифицированные алгоритмы максимального правдоподобия для оценки числа сигналов с неизвестными энергетическими параметрами: алгоритм с инвариантной случайной штрафной функцией и алгоритм с обратной штрафной функцией.

</ Структура и характеристики алгоритмов с линейной, случайной, инвариантной случайной и обратной штрафными функциями для решения задач оценки числа сигналов с неизвестными амплитудами, с неизвестными амплитудами и фазами, а также с неизвестными амплитудами и неэнергетическими параметрами.

</ Оптимизация параметров всех синтезированных модифицированных алгоритмов оценки числа сигналов, выполненная с целью минимизации вероятности ошибки оценки числа сигналов.

</ Методика получения характеристик модифицированного алгоритма оценки числа произвольно коррелированных сигналов из характеристик этого же модифицированного алгоритма, но синтезированного для оценки числа ортогональных сигналов. Методика получения асимптотических характеристик максимально правдоподобных и модифицированных алгоритмов оценки числа сигналов с неизвестными неэнергетическими параметрами.

</ Структура и характеристики квазиправдоподобных алгоритмов оценки числа сигналов с частично неизвестными параметрами.

Достоверность результатов. Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается корректным использованием математического аппарата статистической радиофизики и теории статистической обработки сигналов (в том числе, теории вероятностей, математической статистики, линейной алгебры и математического анализа), а также удовлетворительным согласованием полученных аналитических результатов с результатами статистического моделирования на ЭВМ.

Апробация работы. Основные положения диссертации были представлены в виде докладов и обсуждались на XVIII, XIX, XX, XXI и XXII Международных научно-технических конференциях «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016 год. Доклад на XX МНТК «Радиолокация, навигация, связь» был признан лучшим в своей секции.

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [130 140]. Из них работы [132], [134], [136], [139], [140] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертаций, а остальные в сборниках трудов конференций. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат решения задач, поставленных научным руководителем, в том числе: конкретизация условий задач, разработка общей структуры решения поставленных задач, формулировка и доказательство утверждений, необходимых для получения аналитических результатов, подготовка и pea-

дизация статистического моделирования, анализ и интерпретация результатов исследований.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы из 140 названий и 41 рисунка.

Содержание работы. Во введении обсуждаются постановка задачи, современные направления исследований в рамках задачи, актуальность темы и характеристики работы.

В первой главе решаются задачи оценки числа сигналов методом максимального правдоподобия. Вводится характеристика качества функционирования алгоритмов оценки числа сигналов укороченная вероятность ошибки. Для решения поставленных задач синтезированы три максимально правдоподобных алгоритма. Выполнен расчёт новой характеристики для каждого из трёх предложенных алгоритмов с помощью аналитических методов. Полученные результаты подтверждены статистическим моделированием. Показано, что укороченная вероятность ошибки даёт адекватное приближение к полной вероятности ошибки. Сделаны выводы об эффективности полученных алгоритмов.

Вторая глава начинается с формулировки необходимых условий для возможности оценки числа сигналов с неизвестными параметрами. Делается вывод о том, что для оценки числа сигналов с неизвестными энергетическими параметрами необходимо модифицировать метод максимального правдоподобия. Далее предлагаются к рассмотрению четыре модифицированных алгоритма максимального правдоподобия оценки числа сигналов: алгоритм с линейной штрафной функцией, алгоритм со случайной штрафной функцией, алгоритм с инвариантной случайной штрафной функцией и алгоритм с обратной штрафной функцией. С помощью каждого из этих алгоритмов решаются следующие задачи оценки числа сигналов: задача оценки числа сигналов с неизвестными амплитудами, задача оценки числа сигналов с неизвестными амплитудами и фазами, а также задача оценка числа сигналов с неизвестными амплитудами и неэнергетическими параметрами. Для каждой из поставленных задач проводит-

ся синтез четырёх предложенных модифицированных алгоритмов и вычисление их характеристик, а именно, укороченных вероятностей ошибки этих алгоритмов. При этом сформулированы и доказаны утверждения, позволяющие получить аналитические выражения для укороченных вероятностей ошибки модифицированных алгоритмов. С помощью аналитических формул для укороченных вероятностей ошибки проводится оптимизация параметров предложенных алгоритмов. Полученные результаты подтверждаются статистическим моделированием и подвергаются анализу.

Третья глава посвящена квазиправдоподобным оценкам числа сигналов с частично неизвестными параметрами. В данной главе определяются структура и характеристики квазиправдоподобных алгоритмов оценки числа радиосигналов, а именно: квазиправдоподобного алгоритма оценки числа радиосигналов с неизвестными частотами, квазиправдоподобного алгоритма оценки числа радиосигналов с неизвестными амплитудами и фазами, а также квазиправдоподобного алгоритма оценки числа радиосигналов с неизвестными амплитудами, фазами и частотами. Для каждого из алгоритмов проведены исследования их характеристик и сравнение этих характеристик с характеристиками алгоритмов максимального правдоподобия и характеристиками модифицированных алгоритмов оценки числа сигналов.

В заключении приведены основные результаты и выводы по диссертации и подведён общий итог исследований.

Глава 1

Оценка максимального правдоподобия числа сигналов с неизвестными параметрами

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Харин Александр Владимирович, 2016 год

Список литературы

1. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям / М. Абрамовиц, И. Стиган и др.; Под ред. М. Абрамовица. М.: Наука, 1979. 832 с.

2. Айфифи, А. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ /

A. Айфифи, С. Эйзен. М.: Мир, 1982. 488 с.

3. Акимов, П. С. Теория обнаружения сигналов / П. С. Акимов, П. А. Бакут,

B. А. и др. Богданович. М.: Радио и связь, 1984. 440 с.

4. Ал газиков, Э. К. Анализ и компьютерное моделирование информационных процессов и систем / Э. К. Алгазинов, А. А. Сирота. М.: Диалог-МИФИ, 2009. 416 с.

5. Амиаитов, 14. Н. Избранные вопросы статистической теории связи / 14. Н. Амиаитов. М.: Советское радио, 1971. 416 с.

6. Ахманов, С. А. Введение в статистическую радиофизику и оптику /

C. А. Ахманов, Ю. Е. Дьяков, А. С. Чиркин. М.: Радио и связь, 1981. 640 с.

7. Бакут, П. А. Вопросы статистической теории радиолокации / П. А. Бакут, 14. А. Большаков, Б. М. Герасимов и др.; Под ред. Г. П. Тартаковского. М.: Советское радио, 1964. Т. 1,2. 1504 с.

8. Балакришнан, А. Статистическая теория связи и ее приложения / А. Ба-лакришнан. М.: Мир, 1957. 260 с.

9. Беллман, Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М.: Наука, 1969. 368 с.

10. Боровков, А. А. Математическая статистика. Оценка параметров, проверка гипотез / А. А. Боровков. М.: Наука, 1984. 472 с.

11. Боровков, А. А. Теория вероятностей / А. А. Боровков. М.: Наука, 1986. 432 с.

12. Боровков, А. А. Математическая статистика / А. А. Боровков. СПб.: Лань, 2010. 704 с.

13. Будиыский, А. В. Случайные процессы. Примеры, задачи и упражнения / А. В. Булинский. М.: МФТИ, 2010. 216 с.

14. Булинский, А. В. Теория случайных процессов / А. В. Булинский,

A. Н. Ширяев. М.: Физматгиз, 2003. 408 с.

15. Быков, В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике /

B. В. Быков. М.: Советское радио, 1971. 328 с.

16. Ван дер Варден, Б. Л. Математическая статистика / Б. Л. Ван дер Вар-ден. М.: Издательство иностранной литературы, 1960. 427 с.

17. Ван Трис, Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Теория обнаружения, оценок и линейной модуляции / Г. Ван Трис. М.: Советское радио, 1972. Т. 1. 742 с.

18. Ван Трис, Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Теория нелинейной модуляции / Г. Ван Трис. М.: Советское радио, 1975. Т. 2. 246 с.

19. Ван Трис, Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Обработка сигналов в радио- и гидролокации и прием случайных гауссовых сигналов на фоне помех / Г. Ван Трис. М.: Советское радио, 1977. Т. 3. 664 с.

20. Волков, Л. 14. Системы цифровой радиосвязи / Л. 14. Волков, М. С. Неми-ровский, Ю. С. Шинаков. М.: Эко-Трендз, 2002. 305 с.

21. Вудворд, Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с применениями в радиолокации / Ф. М. Вудворд. М.: Советское радио, 1955. 128 с.

22. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. М.: Наука, 1988. 552 с.

23. Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит, 1988. 448 с.

24. Гранштейн, 14. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / 14. С. Гранштейн, 14. М. Рыжик. М.: Наука, 1963. 1100 с.

25. Дуб, Д. Л. Вероятностные процессы / Дж. Л. Дуб. М.: Наука, 1979. 528 с.

26. Ибрагимов, 14. А. Асимптотическая теория оценивания / 14. А. Ибрагимов,

P. 3. Хасьминский. M.: Наука, 1979. 528 с.

27. Кеыдадд, М. Теория распределений / М. Кендадд, А. Стыоарт. М.: Наука, 1966. 588 с.

28. Кендадд, М. Статистические выводы и связи / М. Кендадд, А. Стыоарт. М.: Наука, 1973. 466 с.

29. Кендадд, М. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Кендадд, А. Стыоарт. М.: Наука, 1976. 375 с.

30. Кирьянов, Д. В. Mathcad 15/ Prime 1.0 / Д. В. Кирьянов. СПб.: БХВ-Петербург, 2012. 432 с.

31. Козлов, М. В. Элементы теории вероятностей в примерах и задачах / М. В. Козлов. М.: Издательство МГУ, 1990. 345 с.

32. Козлов, М. В. Введение в математическую статистику / М. В. Козлов, А. В. Прохоров. М.: Издательство МГУ, 1987. 264 с.

33. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Издательство МГУ, 2006. 572 с.

34. Котельников, В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости / В. А. Котельников. М.: Радио и связь, 1998. 152 с.

35. Крамер, Г. Математические методы статистики / Г. Крамер. М.: Мир, 1975. 648 с.

36. Крамер, Г. Стационарные случайные процессы / Г. Крамер, М. Лидбет-тер. М.: Мир, 1969. 400 с.

37. Краснов, М. Л. Интегральные уравнения: введение в теорию / М. Л. Краснов. М.: Наука, 1975. 304 с.

38. Куликов, Е. 14. Оценка параметров сигналов на фоне помех / Е. 14. Куликов, А. П. Трифонов. М.: Советское радио, 1978. 296 с.

39. Кульбак, С. Теория информации и статистика / С. Кульбак. М.: Наука, 1967. 408 с.

40. Левин, Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники /

Б. Р. Левин. М: Радио и связь, 1989. 656 с.

41. Левин, Б. Р. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления / Б. Р. Левин, В. Шварц. М.: Радио и связь, 1985. 312 с.

42. Лидбеттер, М. Экстремумы случайных последовательностей и процессов / М. Лидбеттер. М.: Мир, 1989. 392 с.

43. Лоэв, М. Теория вероятностей / М. Лоэв. М.: Иностранная литература, 1962. 721 с.

44. Манелис, В. Б. Алгоритмы слежения и демодуляции сигнала мобильной связи в условиях неразрешаемой многолучевости / В. Б. Манелис // Радиотехника. 2007. № 4. С. 16 21.

45. Метод оценки числа источников излучения в задаче амплитудной моноимпульсной пеленгации / А. А. Логинов, О.А. Морозов, Ю. М. Семенова,

B. Р. Фидельман // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2013. Т. 56, № 7.

C. 513 520.

46. Мидлтон, Д. Введение в статистическую теорию связи / Д. Мидлтон. М.: Советское радио, 1961. Т. 1. 781 с.

47. Мидлтон, Д. Введение в статистическую теорию связи / Д. Мидлтон. М.: Советское радио, 1962. Т. 2. 832 с.

48. Мудров, В. 14. Методы обработки измерений. Квазиправдоподобные оценки / В. 14. Мудров, В. Л. Кушко. М.: Радио и связь, 1983. 304 с.

49. Неве, Ж. Теория вероятностей и случайных процессов / Ж. Неве. М.: Мир, 1969. 312 с.

50. Перов, А. 14. Статистическая теория радиотехнических систем / А. 14. Пе-ров. М.: Радиотехника, 2003. 400 с.

51. Питербарг, В. Теория информации и статистика / В. 14. Питербарг. М.: Издательство МГУ, 1988. 176 с.

52. Репин, В. Г. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем / В. Г. Репин, Г. П. Тартаковский. М.: Советское радио, 1977. 432 с.

53. Рытов, С. М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы / С. М. Рытов. М.: Наука, 1976. Т. 1. 496 с.

54. Рытов, С. М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 2. Случайные поля / С. М. Рытов. М.: Наука, 1978. Т. 2. 464 с.

55. Сакрисон, Д. Лекции об аналоговой связи / Д. Сакрисон. М.: Наука, 1974. 168 с.

56. Сосулин, Ю. Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов / Ю. Г. Сосулин. М.: Радио и связь, 1978. 320 с.

57. Сосулин, Ю. Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации: Учебное пособие для вузов / Ю. Г. Сосулин. М.: Радио и связь, 1992. 304 с.

58. Стратонович, Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике / Р. Л. Стратонович. М.:: Советское радио, 1961. 558 с.

59. Тихонов, В. 14. Статистическая радиотехника / В. 14. Тихонов. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.

60. Тихонов, В. 14. Выбросы траекторий случайных процессов / В. 14. Тихонов, В. 14. Хименко. М.: Наука, 1987. 304 с.

61. Тихонов, В. 14. Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами / В. 14. Тихонов, Б. 14. Шахтарин, В. В. Сизых. М.: Горячая линия-Те леком, 2009. 400 с.

62. Тихонов, В. 14. Случайные процессы. Примеры и задачи. Т. 5. Оценка сигналов, их параметров и спектров. Основы теории информации / В. 14. Тихонов, Б. 14. Шахтарин, В. В. Сизых. М.: Горячая линия-Телеком, 2009. 400 с.

63. Трифонов, А. П. Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами (под редакцией А. П. Трифонова) / А. П. Трифонов, Е. П. Нечаев, В. 14. Парфёнов. Воронеж: Воронежский государственный университет, 1991. 246 с.

64. Трифонов, А. П. Совместное различение сигналов и оценка их параметров

на фоне помех / А. П. Трифонов, Ю. С. Шинаков. М.: Радио и связь, 1986. 264 с.

65. Фадькович, С. Е. Оценка параметров сигнала / С. Е. Фадькович. М.: Советское радио, 1970. 336 с.

66. Феддер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / В. Фед-лер. М.: Мир, 1967. Т. 1. 498 с.

67. Феддер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / В. Феддер. М.: Мир, 1967. Т. 2. 752 с.

68. Фихтенгодьц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 томах / Г. М. Фихтенгодьц. М.: Наука, 1966. Т. 1. 608 с.

69. Фихтенгодьц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 томах / Г. М. Фихтенгодьц. М.: Наука, 1969. Т. 2. 800 с.

70. Фихтенгодьц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 томах / Г. М. Фихтенгодьц. М.: Наука, 1969. Т. 3. 656 с.

71. Фдаксман, А. Г. Адаптивная обработка сигналов в антенных решетках с учетом ранга матрицы импульсной характеристики многолучевого канала / А. Г. Фдаксман // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2002. Т. 45, № 12. С. 1064 1076.

72. Форсайт, Д. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. М.: Мир, 1980. 280 с.

73. Харкевич, А. А. Борьба с помехами / А. А. Харкевич. М.: Наука, 1965. 275 с.

74. Хедстром, К. Статистическая теория обнаружения сигналов / К. Хед-стром. М.: Издательство иностранной литературы, 1963. 432 с.

75. Хемминг, Р. В. Численные методы / Р. В. Хемминг. М.: Радио и связь, 1972. 400 с.

76. Хори, Р. Матричный анализ / Р. Хори, Ч. Джонсон. М.: Мир, 1989. 655 с.

77. Шинаков, Ю. С. О построении оценок параметров сигнала при наличии

неинформативных параметров / Ю. С. Шинаков // Радиотехника и электроника. 1974. Т. 19, № 3. С. 542 549.

78. Ширман, Я. Д. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех / Я. Д. Ширман, В. Н. Манжос. М.: Радио и связь, 1981. 416 с.

79. Ширяев, А. Н. Вероятность / А. Н. Ширяев. М.: Наука, 1989. 580 с.

80. Akaike, H. A new look at the statistical model identification / H. Akaike // IEEE Trans. Autom. Contr. — 1974.— Vol. 19, no. 6. —P. 716-723.

81. Anderson, T. W. Asymptotic theory for principal component analysis / T. W. Anderson // Ann. Math. Statist. — 1963.— Vol. 34, no. 1. —P. 122148.

82. Anderson, T. W. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis / T. W. Anderson. — 3 edition. — New York: John Wiley and Sons, Inc., 2003. —752 p.

83. Arkind, N. Parametric joint detection-estimation of the number of sources in array processing / N. Arkind, B. Nadler // Sensor Array and Multichannel Signal Processing Workshop (SAM), 2010 IEEE. —2010. —P. 269-272.

84. Axler, S. Linear Algebra Done Right / S. Axler. — 2 edition. — New York: Springer, 1997. — 268 p.

85. Bai, M. R. Acoustic Array Systems: Theory, Implementation, and Application / M. R. Bai, J.-G. Ih, J. Benesty. —New York: Wiley, 2013. —536 p.

86. Bai, X. Estimation of number of independent brain electric sources from the scalp eegs / X. Bai, B. He // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. — 2006.—Vol. 53, no. 10. —P. 1883-1892.

87. Bansal, N. K. Bayes estimation of number of signals / N. K. Bansal, M. Bhandary // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. — 1991. —Vol. 43, no. 2. —P. 227-243.

88. Chao-Ming, C. Detection and estimation of doa's of signals via bayesian predictive densities / Cho Chao-Ming, P. M. Djuric // Signal Processing,

IEEE Transactions on. — 1994.— Vol. 42, no. 11. —P. 3051-3060.

89. Detection of the number of signals using a multiple hypothesis test / Chung Pei-Jung, J. F. Bohme, C. F. Mecklenbrauker, A. O. Hero // Sensor Array and Multichannel Signal Processing Workshop Proceedings, 2004. -2004. — July. — P. 221-224.

90. Detection of the number of signals using the benjamini-hochberg procedure / Chung Pei-Jung, J. F. Bohme, C. F. Mecklenbrauker, A. O. Hero // Signal Processing, IEEE Transactions on. — 2007. — Vol. 55, no. 6. — P. 2497-2508.

91. Diversi, R. Estimating the number of signals in the presence of nonuniform noise / R. Diversi, R. Guidorzi, U. Soverini // Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP), 2014 IEEE International Conference on. — 2014.— May. —P. 2967-2971.

92. Djuric, P. M. A model selection rule for sinusoids in white gaussian noise / P. M. Djuric // Signal Processing, IEEE Transactions on. — 1996. — Vol. 44, no. 7. —P. 1744-1751.

93. El-Behery, I. N. Maximum likelihood estimation of the number, directions and strengths of point radio sources from variable baseline interferometer data / I. N. El-Behery, R. H. Macphie // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. — 1978.— Vol. 26, no. 2. —P. 294-301.

94. Financial Econometrics: From Basics to Advanced Modeling Techniques / S. T. Rachev, S. Mittnik, F. J. Fabozzi et al. — Edmonton, Alberta, Canada: The University of Alberta Press, 1981. — 492 p.

95. Fisher, R. A. Tests of significance in harmonic analysis / R. A. Fisher // Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences.— 1929. —Vol. 125, no. 796. —P. 54-59.

96. Friedlander, B. An efficient parametric technique for doppler-delay estimation / B. Friedlander // Signal Processing, IEEE Transactions on. — 2012. — Vol. 60, no. 8. —P. 3953-3963.

97. Friedlander, B. On the number of signals whose directions can be estimated

by an array / B. Friedlander, A. J. Weiss // Signal Processing, IEEE Transactions on. —1991. —Vol. 39, no. 7. —P. 1686-1689.

98. Jewell, N. P. Maximum likelihood estimation of ordered multinomial parameters / N. P. Jewell, J. D. Kalbfleisch // Biostatistics. — 2012. — Vol. 5, no. 2. —P. 291-306.

99. Kanasewich, E. R. Time Sequence Analysis in Geophysics / E. R. Kanasewich. — Edmonton, Alberta, Canada: The University of Alberta Press, 1981. —492 p.

100. Kavalieris, L. Determining the number of terms in a trigonometric regression / L. Kavalieris, E. J. Hannan // Journal of Time Series Analysis. -1994. —Vol. 15, no. 6. —P. 613-625.

101. Konev, V. General model selection estimation of a periodic regression with a gaussian noise / V. Konev, S. Pergamenchtchikov // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. —2008. —Vol. 62, no. 6. —P. 1083-1111.

102. Kostic, Z. Estimation of the parameters of a multipath channel using set-theoretic deconvolution / Z. Kostic, M. I. Sezan, E. L. Titlebaum // IEEE Transactions on Communications. — 1992. — Vol. 40, no. 6. — P. 1006-1011.

103. Kritchman, S. Non-parametric detection of the number of signals: Hypothesis testing and random matrix theory / S. Kritchman, B. Nadler // Signal Processing, IEEE Transactions on. — 2009. — Vol. 57, no. 10. — P. 39303941.

104. Kundu, D. Estimating the number of sinusoids in additive white noise / D. Kundu // Signal Processing. — 1997.— Vol. 56, no. 1. —P. 103 - 110.

105. Kundu, D. Estimating the number of signals in the presence of white noise / D. Kundu // Journal of Statistical Planning and Inference. — 2000. — Vol. 90, no. 1. —P. 57-68.

106. Kundu, D. Estimating the number of signals of the damped exponential models / D. Kundu, A. Mitra // Computational Statistics and Data Analysis. — 2001. —Vol. 36, no. 2. —P. 245-256.

107. Lehmann, E. L. Testing Statistical Hypotheses / E. L. Lehmann, J. P. Romano.— New York: Springer, 2005. — 786 p.

108. Mariani, A. Model order selection based on information theoretic criteria: Design of the penalty / A. Mariani, A. Giorgetti, M. Chiani // Signal Processing, IEEE Transactions on. — 2015.— Vol. 63, no. 11. —P. 2779-2789.

109. Model Selection and Multimodel Inference A Practical Information-Theoretic Approach / Ed. by K. P. Burnham, D. R. Anderson. — New York: Springer, 2002. —488 p.

110. Nadler, B. Model selection for sinusoids in noise: Statistical analysis and a new penalty term / B. Nadler, A. Kontorovich // Signal Processing, IEEE Transactions on. — 2011.— Vol. 59, no. 4. —P. 1333-1345.

111. Pei-Jung, C. Deterministic ml estimation for unknown numbers of signals / Chung Pei-Jung, C. F. Mecklenbrauker // Signal Processing Conference, 2008 16th European. — 2008. — Aug. — P. 1-5.

112. Pickands, J. Upcrossing probabilities for stationary gaussian process / J. Pickands // Trans. Amer. Math. Soc. — 1969. — Vol. 145. — P. 5173.

113. Posada, D. Model selection and model averaging in phylogenetics: Advantages of akaike information criterion and bayesian approaches over likelihood ratio tests / D. Posada, T. R. Buckley // Systematic biology. — 2004. — Vol. 53, no. 5. —P. 793-808.

114. Quinn, B. G. Estimating the number of terms in a sinusoidal regression / B. G. Quinn // Journal of Time Series Analysis. — 1989. — Vol. 10, no. 1. -P. 71-76.

115. Reddy, V. Svd-based information theoretic criteria for detection of the number of damped/undamped sinusoids and their performance analysis / V. Reddy, L. S. Biradar // Signal Processing, IEEE Transactions on.— 1993. —Vol. 41, no. 9. —P. 2872-2881.

116. Rissanen, J. Modeling by shortest data description / J. Rissanen // Auto-

matica. —1978. —Vol. 14, no. 5. —P. 465-471.

117. Roy, R. Esprit-estimation of signal parameters via rotational invariance techniques / R. Roy, T. Kailath // Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE Transactions on. — 1989.— Vol. 37, no. 7. —P. 984-995.

118. Schmidt, R. Multiple emitter location and signal parameter estimation / R. Schmidt // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1986. -Vol. 34, no. 3. —P. 276-280.

119. Schwarz, G. Estimating the dimension of a model / G. Schwarz // Annals of Statistics. —1978. —Vol. 6, no. 2. —P. 461-464.

120. Van Der Veen, A. J. Algebraic methods for deterministic blind beamform-ing / A. J. Van Der Veen // Proceedings of the IEEE. —1998. — Vol. 86, no. 10. —P. 1987-2008.

121. Vaseghi, S. V. Advanced Digital Signal Processing and Noise Reduction / S. V. Vaseghi. —New York: Wiley, 2005. —295 p.

122. Wang, X. An aic type estimator for the number of cosinusoids / X. Wang // Journal of Time Series Analysis. — 1993.— Vol. 14, no. 4. —P. 433-440.

123. Wax, M. Detection of signals by information theoretic criteria / M. Wax, T. Kailath // Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE Transactions on. —1985. —Vol. 33, no. 2. —P. 387-392.

124. Wax, M. Joint estimation of time delays and directions of arrival of multiple reflections of a known signal / M. Wax, A. Leshem // Signal Processing, IEEE Transactions on. — 1997.— Vol. 45, no. 10. —P. 2477-2484.

125. Wax, M. Detection of the number of coherent signals by the mdl principle / M. Wax, I. Ziskind // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. —1989. —Vol. 37, no. 8. —P. 1190-1196.

126. Wu, Y. Randomized penalty in detection of the number of signals / Yue-hua Wu, Kwok-Wai Tam // Signal Processing, IEEE Transactions on. — 1994. —Vol. 42, no. 10. —P. 2692-2696.

127. Yin, Y. On some nonparametric methods for detection of the number of

signals / Y. Yin, P. Krishnaiah // Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE Transactions on. — 1987.— Vol. 35, no. 11. —P. 1533-1538.

128. Zhang, F. The Schur Complement and Its Applications / F. Zhang. — New York: Springer, 2005. — 295 p.

129. Zhao, L. C. On detection of the number of signals when the noise covariance matrix is arbitrary / L. C. Zhao, P. R. Krishnaiah, Z. D. Bai // Journal of Multivariate Analysis. — 1986.— Vol. 20, no. 1. —P. 26-49.

130. Трифонов, А. П. Алгоритмы оценки числа ортогональных сигналов с неизвестными амплитудами / А. П. Трифонов, А. В. Харин // Сборник докладов XVIII Международной научно-технической конференции "Радиолокация, навигация, связь". Т. 1. Воронеж, 2012. С. 319 330.

131. Трифонов, А. П. Алгоритмы оценки числа сигналов с неизвестными амплитудами / А. П. Трифонов, А. В. Харин // Сборник докладов XIX Международной научно-технической конференции "Радиолокация, навигация, связь". Т. 1. Воронеж, 2013. С. 35 46.

132. Трифонов, А. П. Оценка числа сигналов с неизвестными амплитудами / А. П. Трифонов, А. В. Харин // Нелинейный мир. 2013. Т. 11, № 12. С. 853 866.

133. Трифонов, А. П. Характеристики оценок числа радиосигналов с неизвестными амплитудами и фазами / А. П. Трифонов, А. В. Харин // Сборник докладов XX Международной научно-технической конференции "Радиолокация, навигация, связь". Т. 1. Воронеж, 2014. С. 39 50.

134. Трифонов, А. П. Оценка числа радиосигналов с неизвестными амплитудами и фазами / А. П. Трифонов, А. В. Харин // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2015. Т. 58, № 1. С. 62 76.

135. Трифонов, А. П. Характеристики квазиправдоподбных оценок числа сигналов / А. П. Трифонов, А. В. А. В. Харин // Сборник докладов XXI Международной научно-технической конференции "Радиолокация, навигация, связь". Т. 1. Воронеж, 2015. С. 1 11.

136. Трифонов, А. П. Оценка числа ортогональных сигналов с неизвестными неэнергетическими параметрами / А. П. Трифонов, А. В. Харин // Известия ВУЗов. Радиоэлектроника. 2015. Т. 58, № 8. С. 33 41.

137. Determining the number of radio signals with unknown phases / A. P. Tri-fonov, A. V. Kharin , O. V. Chernoyarov, K. S. Kalashnikov // International Journal on Communications Antenna and Propagation. — 2015.-Vol. 5, no. 6. —P. 367-374.

138. Трифонов, А. П. Характеристики квазиправдоподбных оценок числа сигналов / А. П. Трифонов, А. В. Харин // Сборник докладов XXII Международной научно-технической конференции "Радиолокация, навигация, связь". Т. 1. Воронеж, 2016. С. 90 99.

139. Трифонов, А. П. Оценка числа ортогональных сигналов с неизвестными параметрами / А. П. Трифонов, А. В. Харин, О. В. Чернояров // Радиотехника и электроника. 2016. Т. 61, № 9.

140. Трифонов, А. П. Квазиправдоподобная оценка числа радиосигналов с неизвестными амплитудами и фазами / А. П. Трифонов, А. В. Харин // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2016. Т. 59.