Статистический синтез и анализ алгоритмов обработки импульсных сигналов на фоне помех тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Шуткин, Александр Николаевич

• Шуткин, Александр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шуткин, Александр Николаевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА КВАЗИДЕТЕРМИРОВАННОГО ИМПУЛЬСНОГО СИГНАЛА

1.1. Квазиправдоподобная оценка амплитуды импульса с

неточно известными временными параметрами

1.2. Квазиправдоподобная оценка частоты радиоимпульса

с неточно известными временными параметрами

1.3. Квазиправдоподобная совместная оценка временных параметров импульса с неточно известной

амплитудой

1.4. Статистическая обработка импульсного сигнала на

фоне хаотических импульсных помех

1.5. Квазиправдоподобная оценка длительности импульса

на фоне хаотической импульсной помехи

2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КВАЗИДЕТЕРМИРОВАННЫХ ИМПУЛЬСОВ

2.1. Оценка периода следования импульсов при наличии неинформативных параметров

2.2. Квазиправдоподобная оценка периода следования

импульсов

2.3. Квазиправдоподобная совместная оценка времени

прихода и периода следования импульсов

3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ИМПУЛЬСА ПРИ

____ _ '

НАЛИЧИИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОИ ПОМЕХИ

3.1. Оценка периода следования регулярных импульсов со случайной гауссовской субструктурой

3.2. Квазиправдоподобная оценка периода следования прямоугольных импульсов со случайной гауссовской субструктурой

3.3. Оценка периода следования прямоугольных импульсов с неизвестными параметрами случайной гауссовской субструктуры

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистический синтез и анализ алгоритмов обработки импульсных сигналов на фоне помех»

ВВЕДЕНИЕ

Характерной особенностью современного состояния теории и практики радиофизики является исследования и использование быстро протекающих или резко изменяющихся процессов и явлений. При этом многие зависимости физических величин от времени или другой переменной состояния (фазы, частоты, пространственной координаты и т.п.) имеют импульсный характер. Здесь и далее под импульсом понимается такая зависимость физической величины от переменной состояния, когда время (в терминах переменной состояния) ее перехода из одного состояния в другое мало по сравнению с временем нахождения в одном или каждом из устойчивых состояний. Примеры импульсов в радиофизике многообразны [1-4, 5, 9, 10, 14, 35] и др. В частности, большинство радиосигналов, с которыми оперируют в радиофизике, являются импульсами. Сюда же можно отнести широкий класс процессов релаксационного типа, многие естественные или искусственные источники электромагнитных и других типов излучений, отклики объектов на возмущающие воздействия при их исследовании радиофизическими методами и т.п.

Характерной особенностью современного этапа развития радиофизики является широкое применение статистических методов [2, 5, 6, 13, 18-31] и др. Многие явления, для изучения которых казалось вполне достаточным применение классических методов математической физики, при более глубоком изучении потребовали вероятностного подхода. Статистическая природа многих радиофизических объектов, непредсказуемый, случайный характер шумов и помех, сопутствующий функционированию всех радиофизических систем, привели к тому, что статистические методы проникли буквально во все разделы радиофизики. Статистическая радиофизика представляет собой в настоящее время широкую и быстро развивающуюся область, включающую в себя как чисто физические проблемы, так и разнообразные прикладные задачи. Важную теоретическую и прикладную проблему представляет собой статистическая обработка быстро протекающих и резко изменяющихся процессов и явлений, при которых зависимость тех или иных физических величин от времени носит импульсный характер. Статистическая обработка импульсов при наличии случайных искажений находит широкое применение в системах передачи информации и локации, с использованием электромагнитных, акустических и других типов волн, при радиофизических исследованиях различных сред и объектов, в

теории и технике радиоуправления, телеметрии, навигации, промышленной диагностике и др.

Для статистического синтеза алгоритмов обработки импульсных сигналов при наличии случайных воздействий необходим значительный объем априорной информации о сигнале и помехах. В идеальном случае полной априорной определенности необходимо знание законов распределения вероятностей для всех величин, ситуаций и процессов, относящихся к синтезируемому алгоритму. Однако при решении конкретных задач обработки импульсных сигналов случай полной априорной определенности является скорее исключением, чем правилом. Среди различных видов априорной неопределенности, одной из наиболее универсальных и конструктивных является параметрическая априорная неопределенность [19, 29, 38, 42] и др. При параметрической априорной неопределенности на этапе статистического синтеза алгоритма обработки неизвестно конечное число параметров, не изменяющихся в процессе обработки. Следует также отметить, что в большом числе радиофизических задач непараметрическая априорная неопределенность может быть приближенно сведена к параметрической. К настоящему времени уже известно довольно много способов полного или частичного преодоления параметрической априорной неопределенности при статистическом синтезе алгоритмов обработки импульсных сигналов. К ним можно отнести некоторые варианты метода максимального правдоподобия, минимаксный и адаптивный байесовские подходы, квазиправдоподобные и квазибайесовские методы [19, 29, 38, 42] и др. Однако, значительная часть алгоритмов статистической обработки, синтезированных в условиях параметрической априорной неопределенности, рассчитана на обработку узкополосных радиоимпульсов, т.е. сигналов с обычной гармонической несущей. Под узкополосными здесь понимаются сигналы, относительная полоса которых, т.е. отношение полосы частот к центральной частоте их спектра, много меньше единицы. С этой точки зрения, широкополосные сигналы (радиосигналы с большой базой [38, 42]) также будут узкополосными. Узкополосные (квазигармонические) радиоимпульсы долгое время являлись одним из основных объектов исследования в радиофизике.

В последние годы все больший интерес и применение в радиофизике и ее приложениях находят так называемые сигналы без несущей [1, 2, 14, 53] и др. У этих сигналов относительная полоса частот может быть порядка единицы и более. В частности, для видеоимпульсов она равна двум. При таких значениях относительной полосы частот обычные определения огибающей и фазы теряют ясный физический смысл, что делает нецелесообразным их использование. Поэтому, многочисленные результаты по обработке импульсных радио-

сигналов, существенно использующие их узкополосность, не могут быть применены к сигналам без несущей.

Применение метода максимального правдоподобия для преодоления априорной параметрической неопределенности при статистической обработке импульсных сигналов рассматривалось в ряде работ [20, 29, 38, 42] и др. Однако, синтезированные при этом алгоритмы, за редким исключением, довольно сложны с точки зрения их аппаратурной и программной реализации. Поэтому важный аспект практической реализации обработки импульсных сигналов составляет исследование более простых, по сравнению с оптимальными, квазиправдоподобных алгоритмов. Применение таких алгоритмов обработки импульсных сигналов позволяет решать вопросы снижения технической сложности, стоимости и габаритов радиофизических измерительных систем. При этом анализ качества функционирования квазиправдоподобных алгоритмов, во-первых, позволяет определить проигрыш в их эффективности по сравнению с максимально правдоподобными. Во-вторых, результаты анализа квазиправдоподобных алгоритмов позволяют исследовать устойчивость максимально правдоподобных алгоритмов к отклонению априорной статистической модели, используемой при синтезе, от истинной.

Известные результаты по статистическому синтезу и анализу алгоритмов обработки импульсных сигналов [5, 6, 19, 29, 38, 42, 52] и др. в большинстве своем получены в предположении, что аддитивной помехой является гаус-совский белый шум. Гауссовский белый шум представляет собой достаточно хорошую аппроксимацию собственных шумов устройства обработки. В реальных условиях функционирования радиофизических систем достаточно часто

и и и о т-»

импульсныи сигнал искажается аддитивнои внешней помехой. В частности, эта аддитивная помеха может быть обусловлена совместным функционированием большого числа радиофизических систем. Наличие взаимных помех создает проблему электромагнитной совместимости радиосистем. В таких случаях по-меховую обстановку описывают при помощи пуассоновской хаотической импульсной помехи с существенно негауссовским распределением [38, 63]. До настоящего времени проблема статистического синтеза алгоритмов обработки импульсных сигналов при наличии хаотической импульсной помехи исследована явно недостаточно. Практически отсутствуют результаты статистического синтеза алгоритмов обработки импульсных сигналов на фоне хаотической импульсной помехи в условиях параметрической априорной неопределенности.

Искажения импульсных сигналов могут вызывать не только аддитивные воздействия в виде гауссовского белого шума или хаотической импульсной помехи или в виде их суммы, но и так называемые мультипликативные (модулирующие) помехи [3, 11, 16]. В реальных каналах передачи информации

обычно присутствуют мультипликативные (модулирующие) помехи, которые существенно ограничивают эффективность функционирования алгоритмов статистической обработки импульсных сигналов. Воздействия мультипликативных помех можно описать, используя математическую модель импульсных сигналов со случайной субструктурой. Такие сигналы образуются в результате мультипликативной комбинации квазидетерминированного сигнала (модулирующей функции) и случайного процесса, описывающего его случайную субструктуру. В общем случае, мультипликативные помехи представляют собой искажения сигнала, возникающего в процессе генерирования, передачи (распространения) и приема сигналов. Они могут оказывать существенное влияние на характеристики радиофизических измерительных систем, систем радиолокации и гидролокации, связи, телеуправления и телеконтроля. Принципиальное отличие мультипликативных помех от аддитивных состоит в том, что уменьшить влияние аддитивных помех можно увеличивая энергию сигнала. По отношению к мультипликативным помехам такая мера не дает желаемых результатов. Следует отметить, что хотя имеется в литературе значительное число результатов анализа воздействия мультипликативных помех, задача синтеза алгоритмов обработки импульсных сигналов с учетом влияния мультипликативных помех остается в значительной степени нерешенной.

Проблема параметрической априорной неопределенности существенно усугубляется, если необходимо обрабатывать не одиночный импульсный сигнал, а их последовательность. Действительно, если в различных периодах повторения импульсные сигналы содержат разные неизвестные параметры, то с ростом числа импульсов в последовательности растет размерность пространства и параметров. Это приводит к существенному усложнению процедуры синтеза и структуры алгоритмов статистической обработки импульсных сигналов и их последовательностей.

Получаемые в результате статистического синтеза алгоритмов обработки импульсных сигналов и их последовательностей в условиях параметрической априорной неопределенности решающие статистики представляют собой в общем случае негауссовские и нестационарные случайные процессы и поля или некоторые функционалы от них. Это обстоятельство существенно затрудняет решение задачи статистического анализа качества функционирования синтезированных алгоритмов. Действительно, анализу негауссовских случайных процессов посвящено сравнительно небольшое число монографий [22, 33]. Специфика импульсных сигналов и их последовательностей приводит к тому, что для решающих статистик могут нарушаться обычные условия регулярности [29, 42], что не позволяет использовать стандартные методы анализа качества функционирования алгоритмов обработки импульсных сигналов в условиях

параметрической априорной неопределенности. Таким образом, для импульсных сигналов и их последовательностей актуальными являются задачи статистического синтеза и анализа алгоритмов их обработки в условиях параметрической априорной неопределенности.

Новому решению ряда перечисленных актуальных задач посвящена данная диссертация, целью которой является:

- статистический синтез и анализ алгоритмов обработки импульсных сигналов и их последовательностей без обязательного требования относительной узкополосности;

- исследование квазиправдоподобных алгоритмов обработки и анализ устойчивости максимально правдоподобных алгоритмов к отклонению принятой при синтезе модели от истинной;

- статистическая обработка импульсных сигналов при наличии хаотической импульсной помехи;

- статистический синтез и анализ алгоритмов обработки импульсных сигналов и их последовательностей при воздействии мультипликативной помехи.

Структурно диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы.

В первом разделе рассмотрена статистическая обработка квазидетерми-нированного импульсного сигнала, т.е. импульсов известной формы содержащих конечное число неизвестных параметров. Выполнен статистический синтез и анализ квазиправдоподобного алгоритма оценки амплитуды импульсного сигнала, содержащего конечное число произвольных неинформативных параметров, т.е. неизвестных параметров, в оценке которых нет необходимости. Предполагалось, что априорный интервал возможных значений амплитуды ограничен. Найдены общие выражения для смещения (систематической ошибки) и рассеяния (среднего квадрата ошибки) оценки. Показано, что ограничение априорного интервала возможных значений амплитуды играет заметную роль только при малых значениях отношения сигнал-шум для наблюдаемого импульсного сигнала. При больших отношениях сигнал-шум ограничением априорного интервала возможных значений амплитуды можно пренебречь. Общие соотношения конкретизированы для квазиправдоподобной оценки амплитуды прямоугольного импульса с неточно известными временем прихода и длительностью. Найден проигрыш в точности квазиправдоподобной оценки амплитуды по сравнению с точностью оценки максимального правдоподобия в следствие отклонения ожидаемых (прогнозируемых) величин времени прихода и длительности импульса от их истинных значений. Показано, что отклонение

ожидаемых величин времени прихода и длительности импульса от их истинных значений приводит к появлению смещения и увеличению рассеяния квазиправдоподобной оценки амплитуды. Наибольший проигрыш в точности оценки имеет место, если расстройка по времени прихода превышает длительность импульса.

Применительно к обработке радиоимпульса с прямоугольной огибающей выполнен анализ устойчивости характеристик оценки максимального правдоподобия частоты относительно отклонений времени прихода и длительности наблюдаемого сигнала от их ожидаемых значений. Найдена область работоспособности (состоятельности) квазиправдоподобной оценки частоты, а так же проигрыш в точности по сравнению с оценкой максимального правдоподобия.

Для прямоугольного импульса с неизвестными временем прихода и длительностью, наблюдаемого на фоне гауссовского белого шума, рассмотрена совместная квазиправдоподобная оценка его временных параметров. Для синтеза квазиправдоподобной оценки использовался прямоугольный импульс, амплитуда которого в общем случае отличается от неизвестной амплитуды обрабатываемого сигнала. Методом локально-марковской аппроксимации найдены асимптотически (с ростом отношения сигнал-шум) точные выражения для распределения смещений и рассеяний совместных квазиправдоподобных оценок времени прихода и длительности. Найдены потери в точности квазиправдоподобных оценок времени прихода и длительности по сравнению с точностью оценок максимального правдоподобия вследствие отклонения ожидаемой величины амплитуды, использованной при синтезе алгоритма, от ее истинного значения. Получены характеристики раздельных квазиправдоподобных оценок времени прихода и длительности. Найдены потери в точности квазиправдоподобной оценки времени прихода вследствие незнания длительности импульса и потери в точности оценки длительности вследствие незнания времени прихода. Незнание одного из временных параметров приводит к увеличению рассеяния квазиправдоподобной оценки второго параметра не менее чем в два раза.

Рассмотрена обработка импульсного сигнала с несколькими неизвестными параметрами на фоне суммы гауссовского белого шума и хаотической импульсной помехи. В предположении, что амплитуды элементарных импульсов априори неизвестны, выполнен синтез максимального правдоподобного алгоритма обработки импульсного сигнала с неизвестными параметрами. Найдена структура алгоритма и рассмотрены возможности его аппаратурной реализации. Общие соотношения конкретизированы для обработки прямоугольного импульса с неизвестными временем прихода или длительностью. Отмечено,

что структура алгоритма обработки при наличии хаотической импульсной помехи является довольно сложной и допускает лишь многоканальную аппаратурную реализацию.

В виду высокой сложности аппаратурной реализации максимально правдоподобного алгоритма обработки импульсного сигнала с неизвестными параметрами, для прямоугольного импульса с неизвестной длительностью рассмотрен квазиправдоподобный алгоритм обработки сигнала на фоне суммы га-уссовского белого шума и хаотической импульсной помехи. Синтез алгоритма оценки длительности выполнялся в предположении, что хаотическая импульсная помеха обладает гауссовским распределением. Поэтому полученная оценка является лишь квазиправдоподобной. Найдены потери в точности оценки длительности прямоугольного импульса из-за наличия хаотической импульсной помехи.

Во втором разделе рассмотрена оценка периода следования импульсных сигналов с неизвестными параметрами. В предположении, что оценки максимального правдоподобия всех неизвестных параметров последовательности импульсных сигналов обладают высокой апостериорной точностью, найдены характеристики оценки периода следования для последовательности импульсных сигналов, содержащих конечное число произвольных неинформативных параметров. Рассмотрена обработка медленно флуктуирующей («когерентной») и быстро флуктуирующей («некогерентной») последовательностей импульсных сигналов. Найдены общие выражения, описывающие проигрыш в точности оценки периода следования импульсных сигналов из-за наличия неинформативных параметров. Установлено, что проигрыш в точности оценки периода следования из-за наличия неинформативных параметров асимптотически отсутствует, если оценки времени прихода импульса и каждого неинформативного параметра некоррелированы. Однако, и в этом случае наличие неинформативных параметров существенно затрудняет аппаратную реализацию алгоритма оценки периода следования по методу максимального правдоподобия.

Существенно упростить аппаратную реализацию алгоритма оценки периода следования, в частности при наличии неинформативных параметров , можно, используя квазиправдоподобный алгоритм оценки. Выполненный анализ квазиправдоподобной оценки периода следования позволяет найти потери в точности оценки периода следования вследствие различия в форме наблюдаемых и ожидаемых (прогнозируемых) импульсных сигналов, которые использовались для синтеза алгоритма оценки по методу максимального правдоподобия. Сформулированы рекомендации по выбору формы ожидаемого им-

пульсного сигнала, которые позволяют снизить потери в точности квазиправдоподобной оценки по сравнению с оценкой максимального правдоподобия.

Выполнены статистический синтез и анализ совместных квазиправдоподобных оценок времени прихода и периода следования импульсных сигналов на фоне гауссовского белого шума. В предположении высокой апостериорной точности квазиправдоподобных оценок времени прихода и периода следования методом малого параметра найдены асимптотически (с ростом отношения сигнал - шум) точные выражения для смещений, дисперсий и коэффициента корреляции оценок. В общем случае квазиправдоподобные оценки времени прихода и периода следования смещены. Однако, если наблюдаемые импульсные сигналы и ожидаемые, которые использовались для синтеза алгоритма, импульсные сигналы являются четными (нечетными) функциями времени, то квазиправдоподобные оценки оказываются несмещенными. Показано, что проигрыш в точности квазиправдоподобных оценок времени прихода и периода следования обратно пропорционален квадрату коэффициента корреляции между первыми производными наблюдаемого и ожидаемого импульсных сигналов. Рассмотрено влияние априорной информации о форме и параметрах импульсных сигналов на точность квазиправдоподобной оценки времени прихода и периода следования.

Третий раздел диссертации посвящен статистическому синтезу и анализу алгоритмов оценки периода следования импульсных сигналов, искаженных мультипликативной помехой. Воздействие мультипликативных помех описывается с использованием математической модели стохастических сигналов со случайной гауссовскои суоструктурои. Такие сигналы образуются в результате мультипликативной комбинации детерминированного (квазидетерминирован-ного) сигнала (модулирующей функции) и случайного гауссовского процесса, описывающего, случайную субструктуру импульсного сигнала.

Для регулярной (дифференцируемой) модулирующей функции выполнен синтез и анализ оценки максимального правдоподобия периода следования. При этом предполагалось, что как сама квазидетерминированная модулирующая функция, так и статистические характеристики гауссовской субструктуры содержат конечное число произвольных различных неинформативных параметров. В условиях высокой апостериорной точности оценки всех неизвестных параметров, найдены характеристики оценки периода следования. Установлено, что если априори неизвестно время прихода последовательности регулярных случайных импульсов со случайной субструктурой, то точность оценки периода следования асимптотически инвариантна по отношению к наличию неинформативных параметров у гауссовской случайной субструктуры.

Выполнен статистический синтез и анализ квазиправдоподобного алгоритма оценки периода следования прямоугольных импульсов, искаженных мультипликативной помехой. В процессе синтеза, вместо априори неизвестных статистических характеристик случайной гауссовской структуры использовались статистические характеристики некоторой ожидаемой (прогнозируемой) мультипликативной помехи. В общем случае, математическое ожидание и форма спектральной плотности ожидаемой мультипликативной помехи могут отличаться от их истинных значений. Рассмотрены последовательности прямоугольных импульсов для которых статистические характеристики гауссовской субструктуры одинаковы во всех периодах повторения и последовательности, для которых статистические характеристики гауссовской случайной субструктуры различны в разных периодах повторения. Методом локально марковской аппроксимации найдены дисперсии оценок периода следования при различном объеме априорной информации о статистических характеристиках гауссовской случайной субструктуры.

Выполнен статистический синтез и анализ алгоритмов оценки максимального правдоподобия периода следования импульсов с неизвестными, одинаковыми во всех периодах повторения математическими ожиданиями гауссовской случайной субструктуры; с неизвестными, различными в разных периодах повторения математическими ожиданиями; с неизвестными, одинаковыми во всех периодах повторения математическими ожиданиями и спектральными плотностями гауссовской случайной субструктуры; с неизвестными, различными в разных периодах повторения математическими ожиданиями и спектральными плотностями. При синтезе, в соответствии с методами максимального правдоподобия, априори неизвестные значения параметров гауссовской случайной субструктуры импульсов заменялись'на их оценки максимального правдоподобия. Методом локально-марковской аппроксимации найдены характеристики оценок максимального правдоподобия периода следования. Установлено, что точность оценок максимального правдоподобия периода следования прямоугольных импульсов асимптотически инвариантна к наличию неизвестных математических ожиданий и спектральных плотностей гауссовской случайной субструктуры импульсов.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертации и следующие из них выводы.

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на 4-х Международных и 4-х Всероссийских научных конференциях, а также опубликованы в работах [68-79].

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ИМПУЛЬСНОГО СИГНАЛА

1.1. Квазиправдоподобная оценка амплитуды импульса с неточно известными временными параметрами.

Задача оценки амплитуды является классической и рассматривалась в ряде монографий [19, 20, 38] и др. При этом в недостаточной степени учитывалось наличие у импульсного сигнала неинформативных параметров [42], т.е. неизвестных параметров, в оценке которых нет необходимости. Кроме того, как правило, предполагалось, что неизвестная амплитуда а определена на всей оси, т.е. ае(-оо; +оо). В действительности, в силу обычно имеющих место пиковых ограничений при генерации импульса, его амплитуда может принимать значения лишь из некоторого ограниченного априорного интервала ее возможных значений.

Найдем структуру и характеристики оценки амплитуды ао его квазиде-терминированного импульсного сигнала

^,а0,Т0) = а081^,Т0), (1.1.1)

где э^До)— импульсный сигнал с единичной амплитудой, содержащий в общем случае р неизвестных неинформативных параметров

Т = ||11..Лр||. (1.1.2)

Полагаем, что обработке доступна реализация

х(1) = з(1,а0,Т0) + п(1),1 е[0;Т], (1.1.3)

где п(1:) — реализация гауссовского белого шума (ГБШ) с односторонней спектральной плотностью N0 [37]. Истинные значения неинформативных параметров 1о известны неточно, поэтому для синтеза оценки по методу максимального правдоподобия [19, 20, 38] используем импульсный сигнал вида

^аД^аз^Д*), (1.1.4)

Здесь I* — ожидаемые (предполагаемые, прогнозируемые) значения неинформативных параметров, причем в общем случае 1V ^.

Для сигнала (1.1.4), наблюдаемого на фоне гауссовского белого шума (ГШIT) логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП) определяется выражением [19].

" = (1.1.5)

о о

Здесь

т

Е,(Г)= Jsf(t,r)dt (1.1.6)

о

— энергия сигнала (1.1.4) с единичной амплитудой. Поскольку в реализацию наблюдаемых данных (1.1.3) входит сигнал (1.1.1) при l^l*, выражения

(1.1.5.) не являются логарифмом ФОП для сигнала (1.1.1). Поэтому оценку ^определяемую по положению наибольшего максимума функционала (1.1.5)

будем в отличие от оценки максимального правдоподобия (ОМП) [19] называть квазиподобной оценкой (КПО) [24]. Как следует из приведенного определения, КПО совпадает с ОМП при 1 = Iq .

В отличие от [19, 20, 38] и др. положим, что неизвестная амплитуда ао принимает значения из ограниченного интервала

ae[Amin; Атах]. (1.1.7)

Найдем КПО aq амплитуды ао сигнала (1.1.1) с учетом ограничения

(1.1.7). Для этого введем в рассмотрение вспомогательную оценку ат, которую определим соотношением

am =argsupL (а),-оо<а<оо (1.1.8)

Величину ат можно найти из уравнения, аналогичного уравнению правдоподобия [19]

[dL*(a)/dal =0. (1.1.9)

L Jam

Дифференцируя (1.1.5) и решая получаемое линейное уравнение (1.1.9), находим

т

am = Jx(t)s1(t,r)dt/E1(r), (1.1.10)

о

Учитывая (1.1.7) для КПО амплитуды можем записать

-^■шах'^ш "> Ащах

aq =< am,Amin <am < Amax (1.1.11)

Amin'am < Amin

Подставляя в (1.1.10) реализацию наблюдаемых данных (1.1.3) получаем, что ат является гауссовской случайной величиной, первые два момента которой равны

< ат >= а0Як,< (ат- < ат >)2 >= к2Д2 (1.1.12)

Здесь обозначено

т

Я= |81(1,Т0)81аГ)£11/Л/Е1(Т0)Е1(Г) (1.1.13)

о

— коэффициент корреляции принятого и прогнозируемого сигнала,

к2=ЕД)/Е ,(Г) (1.1.14)

— отношение энергии принятого и прогнозируемого сигналов, а

г^ЕД)/^ (1.1.15)

— отношение сигнал/шум (ОСШ) для принятого сигнала с единичной амплитудой.

Учитывая гауссовский характер случайной величины (1.1.10), а также используя выражения (1.1.11) и (1.1.12) находим смещение (систематическую ошибку) и рассеяние (средний квадрат ошибки) КПО амплитуды.

Ь(ач|а0,Т0,Г)=<ач -а0 >=а0(Кк-1) + (Атах -а0Кк){1-"ФМА^к"1 -а0К)]} + (Ат1п -а0Кк){1-Ф[21(а011- 1

- А^к"1)]} + к{ехр[-2? (а0Я-А^1)2/2]--ехр[-2? (а0Я-А^к"1)2/^, -Ш, У(ач|а0,1оД')=<(а, "ч} >=[к2/г\ + а?(Кк-1)2]х х {Ф[2, (а0Я - Ат1пк-1)] + Ф[2, (Атахк-1 - а0Я)] -1} +

+ (Ат5п -а0)2{1-Ф[21(а0К-АтЬк-1)]} + (Атах - 1л

- а0 )2 {1 - Ф[2, (А^кЛоЯ)]} + к{ [а0 (ЗИк - 2)-

- Ат1п ] ехр[-2? (а0Я - А^к'1 )2 ¡2] - [а0 (ЗЯк - 2) -

- Атах]ехр[-212 (а0Я-Атахкч)2/2]}/21 ^

С помощью выражений (1.1.16), (1.1.17) можно так же найти дисперсию

КПО

^(ач а0Д0Д*) = У(ач а0Д0Д*)-Ь2(ач а0Д0Д*). (1.1.18)

В (1.1.16), (1.1.17) обозначено

1 хг ( 12>1

Ф(х) = ^= |ехр (1.1.19)

л/2ти_1 V 2 у

— интеграл вероятности [19, 38].

Заметим, что полагая в (1.1.16)...(1.1.18) К=к=1 получаем характеристики ОМП амплитуды.

Рассмотрим некоторые частные случаи выражений (1.1.16)...(1.1.18.), представляющие практический интерес. Если принимаемый сигнал (1.1.1.), является очень слабым, то полагая в (1.1.16), (1.1.17) г]-»0 , получаем

Ь(ача0,Т0,Г) = (Атах-Ат1п)/2-а0, (1.1.20)

У(ач|а0Д0,Г) = [(Ат!п-а0)2+(АП1ах-а0)2]/2. (1.1.21)

Если же энергия принимаемого сигнала велика, так что то

(1.1.16), (1.1.17) принимают вид

. Ь(а |а0,Т0,Т*) = а0(Кк-1), У(аа0,!0,Г) =

1 , (1.1.22) = к+ (Кк-1)2, ач|а0,10,Г) = к2/ъ] .

Положим, что возможные значения амплитуды ограничены только сверху. Полагая в (1.1.16), (1.1.17) Ат!п-> -оо находим Ь( ач |а0, Т0, Г) = а0 (Як -1) + (Атах - а0Кк){1 -

- Ф[2, (Атахкч - а0Я)]} - к ехр[-2? (а011 - А^к"1 )2 ¡2]/ъх ^

(1.1.23)

У(ач|а0,10,Г) = к2/2? +г20(Ш-1)2 +[(Атах -а0)2 -

- к2 ¡ъ\ - а02 (Ик -1)2 {1 - Ф[21 (Атахк-1 - а0Я)]} - (1.1.24)

- к[а0 (ЗИк - 2) - Атах ] ехр[-2? (а0Я - А^к"1 )2 /2]/г,

Если же возможные значения амплитуды ограничены только снизу, то полагая Атах-^оо из (1.1.16), (1.1.17) имеем

Ь(ач |а0,Т0,Г ) = а0(Ик -1) + (Ат1п - а011к){1 - Ф^ (а0Я -

- Ат1пк_1 )3} + кехр[-г?(а0Я- А^к"1 )2 /2]/ 2,

(1.1.25)

У(ая|а0,Т0,Г) = к2/г? +а;(Кк-1)2 +[(Ат1п -а0)2 -

- k2/z2 - а2 (Лк -1)2 ] {1 - Ф[21 (а0Я - А^к"1)]} + - (1.1.26)

+ к[а0(311к - 2) - Ат1п] ехр[-г? (а0Я - А^к"1 )2 ¡2]/2, Ы Наконец, если неизвестная амплитуда определена на всей оси, т.е. в (1.1.16)...(1.1.18), Атт-> -оо, Атах—> +оо, то для характеристик КПО можем записать.

Ь(ач а0Д0,Г) = а0(Кк-1),

У( ач |а0 До, Г ) = е/ъ] + а20 (Як -1)2, (1.1.27)

^(ач|а0 Д0.Д*) = к2/г2 .

Отметим, что (1.1.27) совпадают с выражениями (1.1.22) полученными при условии г!—>оо. Следовательно, при больших ОСШ для принятого сигнала (1.1.1) ограничением априорного интервала возможных значений амплитуды можно пренебречь. Однако, в отличие от (1.1.22) формулы (1.1.27) справедливы при любых Ъ\, в том числе и при малых ОСШ, когда Полагая в (1.1.27) г1->0, получаем, что рассеяние и дисперсия КПО амплитуды, определенной на всей оси, неограниченно возрастают. В то же время, если возможные значения амплитуды ограничены, то при Zl-:>0) рассеяние КПО (1.1.17) стремиться к конечной величине (1.1.21). Следовательно, влияние ограничения априорного интервала возможных значений амплитуды является существенным лишь при не слишком больших значениях ОСШ.

Найденные выражения для характеристик КПО (1.1.16)...(1.1.18) позволяют определить условия, когда возможно пренебрежение ограничением априорного интервала возможных значений амплитуды. В дальнейшем полагаем, что эти условия выполняются и КПО амплитуды обладает характеристиками (1.1.27). Полагая в (1.1.27) 11=к=1, получаем, как частный случай, характеристики ОМП а амплитуды [19,20, 38].

Ь(а|а0Д0) = 0,У(а|а0 До) =Б(а|а0 Д0) = 1= а Цъ\ (1.1.28)

Здесь

■ , (1.1.29)

— ОСШ для принятого сигнала (1.1.1).

Рассмотрим далее, как влияет отклонение прогнозируемых значений 10*

неинформативных параметров от их истинных значений 10 на точность КПО амплитуды. С этой целью конкретизируем форму полезного сигнала и физический смысл неинформативных параметров, положив в (1.1.1)

^,а0Д0) = а01[(г-^0)/т0]. ' (1.1.30)

Здесь

1,|х| <1/2,

1(х) =

(1.1.31) О, х > 1/2,

а 1 = |А,,т|| — вектор, объединяющий временные параметры сигнала (1.1.30) —

время прихода А, и длительность т. Соответственно для синтеза КПО используется так же импульс прямоугольной формы

8(1,а,Г) = а01ф-^)/т*], (1.1.32)

где X* и т* — ожидаемые (прогнозируемые) значения временных параметров импульсного сигнала. Используя (1.1.30) и (1.1.32) из (1.1.13) и (1.1.14) находим, что

Я = С(5х,5т)Д/1Г57, к = 1Д/1 + 57, (1.1.33)

где

С(8Х,8,) = шах[1 + шт(5х +5Т|2;0)-тах(5х -5Т|2;0)] =

тт(1,1 + 8Т/2), |8х|<|8Т|/2, = <1-5т/2-|5,|,|5т|/2<|5х|<1 + |5т|/2, 0,|5х|>1 + 5т/2

8Х =(А*-А0)/т0, 8т=(т*-т0)Д0 (1.1.35)

Величины (1.1.35) определяют относительное отклонение (расстройку) ожидаемых (прогнозируемых) значений параметров сигнала (1.1.4), (1.1.32), используемого при синтезе КПО, от истинных значений параметров принимаемого сигнала (1.1.1.), (1.1.30).

Подставляя (1.1.33) в (1.1.27) получаем характеристики КПО амплитуды прямоугольного импульсного сигнала (1.1.30) с неточно известными временными параметрами А, и т.

Ь(ач|а0,5„5т) = а0[С(5„5т)/(1 + 5т)-1], (1.1.36)

Б(ач|а0,5х,5т) = а2/2о2(1 + 5т), . (1.1.37)

У(ач|а0,8„8т) = а2/22(1 + 5т) + Ь2(ач|а0,5^5т). (1.1.38)

Рассмотрим влияние расстроек. (1.1.35) на характеристики КПО амплитуды (1.1.36)...(1.1.38). Положим вначале, что время прихода импульса (1.1.30) априори точно известно, так что отличие КПО от ОМП обусловлено только расстройкой по длительности импульса. При априори известном времени прихода надо (1.1.32) положить А,*=А,0, а в (1.1.36)...(1.1.38) 8^=0. Тогда характеристики КПО перепишется как

Ь(ач |а0,8т) = -а0 тах(0,8Т )/(1 + 8Т), (1.1.39)

В(ач|а0,8т) = а?/22(1 + 8т), (1.1.40)

У(ач|а0,5т) = -^

1 + 0

_1_ тах2(0,5т) 1+Зх

(1.1.41)

Согласно (1.1.39) при 5Т<0 КПО амплитуды условно несмещенная, однако выбор значений 5Т<0 приводит к увеличению дисперсии КПО (1.1.40). Если же 5т>0, то с ростом 5Т возрастает модуль смещения (1.1.39), но убывает дисперсия КПО (1.1.40). Поэтому следует ожидать, что в общем случае зависимость рассеяния КПО (1.1.41.) от 5Т при 5г>0 может быть немонотонной. Значит, существует некоторое значение расстройки по длительности 5ХПнП, которое обеспечивает минимальную величину рассеяния. Действительно, из условия экстремума

[аУ(ач|а0,5т)/абт]§^п=0, (1.1.42)

находим, что

5,т;„=1/(222-1). (1.1.43)

Так как рассматриваются только значения 5^0, то предполагается, что

г0 > 1/л/2 (1.1.44)

Подставляя (1.1.43) в (1.1.41) получаем минимальное значение рассеяния КПО амплитуды

V,™ ( ад |а0,5 т) = а2 (1 - 1/4г2 )Д2 . (1.1.45)

Соответствующие значения смещения и дисперсии находим, подставляя (1.1.43) в (1.1.39) и (1.1.40)

Ьт!„(ач|а0,5т) = -1/222, (1.1.46)

Ошш(ач|а0Л) = а2(2г2 - . (1.1.47)

Полагая, что. точность оценки описывается ее рассеянием, найдем проигрыш в точности КПО, обусловленный наличием расстройки по длительности по сравнению с точностью ОМП. Сопоставляя (1.1.28) и( 1.1.41) можем записать

У(ач|а0,5т) 1

эзт =

У(а|а0,т0) 1 + 5,

1 | г2тах2(0,5т) 1 + 5.

(1.1.48)

Очевидно, минимальное значение отношения (1.1.48) достигается когда 5т=8ттш (1.1.43).

Подставляя (1.1.43.) в (1.1.48) находим

эетт!п = 1-1/4220. (1.1.49)

Величина asTmin <1, так что при выполнении (1.1.43) рассеяние КПО (1.1.45) будет меньше рассеяния ОМП (1.1.28). Однако, этот выигрыш в точности КПО достигается за счет появления смещения (1.1.46) у КПО. Кроме того, реализация этого выигрыша вряд ли возможна, поскольку величина ST mjn (1.1.43) зависит от априори неизвестного значения оцениваемой амплитуды. На рис. 1.1.1 приведены зависимости sex(bx) (1.1.48) для значений z0=l, 2, 3, 4.

cöq

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Шуткин, Александр Николаевич

Основные результаты диссертационной работы и следующие из них выводы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Найдены структура и характеристики оценки амплитуды импульсного сигнала с учетом ограничения априорного интервала возможных значений амплитуды. Определены потери в точности квазиправдоподобных оценок амплитуды и частоты импульсного сигнала в следствие отклонения истинных значений времени прихода и длительности наблюдаемого сигнала от задаваемых априори, при синтезе алгоритма оценки.

2. Методом локально-марковской аппроксимации получены асимптотические выражения для характеристик совместных квазиправдоподобных оценок времени прихода и длительности прямоугольного импульса. Исследованы потери в точности совместных квазиправдоподобных оценок в следствие отклонения истинного значения амплитуды импульса от задаваемого априори при синтезе алгоритма оценки. Показано, что незнание времени прихода при оценки длительности и соответственно, незнания длительности при оценки времени прихода приводит к увеличению рассеяния квазиправдоподобной оценки не менее в чем в два раза.

3. Выполнен статистический синтез максимально правдоподобного алгоритма обработки импульсного сигнала с неизвестными параметрами на фоне суммы гауссовского белого шума и пуассоновской хаотической импульсной помехи. Предложена аппаратурная реализация алгоритма для импульсного сигнала с неизвестным временем прихода или длительностью. В общем случае для реализации алгоритма обработки необходимо использование устройства, многоканального по неизвестным параметрам импульсного сигнала.

4. Рассмотрено воздействие хаотической импульсной помехи на характеристики максимально правдоподобного алгоритма оценки длительности прямоугольного импульса, синтезированного в предположении о наличии помехи в виде гауссовского белого шума. Показано, что воздействие хаотической импульсной помехи может привести к существенному увеличению рассеяния оценки длительности.

5. Выполнен статический синтез и анализ квазиправдоподобного алгоритма оценки длительности импульса на фоне суммы гауссовского белого шума и хаотической импульсной помехи. При синтезе алгоритма хаотическая импульсная помеха аппроксимировалась гауссовской помехой с теми математическим ожиданиям и корреляционной функцией. Полеченный квазиправдоподобный алгоритм обладает существенно более простой структурой чем максимально правдоподобный и позволяет частично компенсировать потери в точности оценки вследствие воздействия хаотической импульсной помехи.

6. Получена придельная точность оценки периода следования импульсных сигналов медленно и быстро флуктуирующих последовательностей, содержащих конечное число произвольных неинформативных параметров. Найден проигрыш в точности оценки периода следования вследствие наличия неинформативных параметров. Показано, что в условиях высокой апостериорной точности, характеристики оценки периода следования медленно флуктуирующей последовательности не зависят от наличия произвольного конечного числа любых неинформативных параметров, если известное время прихода последовательности отсчитывается от ее середины.

7. Найдены структура и характеристики квазиправдоподобной оценки периода следования импульсных сигналов, а также совместных квазиправдоподобных оценок времени прихода и периода следования. Найдены потери в точности оценок вследствие отклонения принятой при синтезе модели импульсного сигнала от истинной. Показано, что проигрыш в точности оценки обратно пропорционален квадрату коэффициента корреляции между производными функций, описывающих принятую при синтезе модель импульсного сигнала и истинную его форму.

8. Выполнен статистический синтез и анализ оценки максимального правдоподобия периода следования регулярных импульсов при воздействии гауссовской мультипликативной помехи. Найдены потери в точности оценки вследствие наличия конечного числа произвольных неинформативных параметров самого импульсного сигнала и мультипликативной помехи. Установлено, что при априори неизвестном времени прихода, наличие у мультипликативной помехи конечного числа произвольных неинформативных параметров асимптотически не влияет на точность оценки периода следования.

9. Выполнен статистический синтез и анализ максимально правдоподобного и квазиправдоподобного алгоритмов оценки периода следования прямоугольных импульсов, искаженных мультипликативной помехой. Методом локально-марковской аппроксимации найдены характеристики оценок. Исследованы потери в точности квазиправдоподобной оценки периода следования вследствие отклонения принятых при синтезе величин параметров мультипликативной помехи от их истинных значений. Показано, что точность оценки максимального правдоподобия периода следования прямоугольных импульсов асимптотически инвариантна относительно незнания математических ожиданий и спектральных плотностей мультипликативной помехи.

10. Дисперсия оценки периода следования регулярных импульсных сигналов, искаженных мультипликативной помехой, обратно пропорциональна третьей степени числа импульсов в последовательности. Дисперсия оценки периода следования разрывных импульсов в тех же условиях обратно пропорциональна четвертой степени числа импульсов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шуткин, Александр Николаевич, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Астанин Л.Ю., Костылев A.A. Основы сверхширокополосных радиолокационных измерений. - М.: Радио и связь, 1989.

2. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин A.C. Введение в статистическую радиофизику и оптику. - М.: Наука, 1981.

3. Васильев К.К. Прием сигналов при мультипликативных помехах. -Саратов, СГУ, 1983.

4. Волков A.A. Потенциальная точность оценивания периода следования видеоимпульсов//Радиотехника, 1990, №1, с.52-53.

5. Ван-Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т.З. - М.: Сов. радио, 1977.

6. Вопросы статистической теории радиолокации. Т.1 / Под. ред. Г.П. Тартаковского, - М.: Сов. радио, 1963.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц - М.: Наука, 1968.

8. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. - М.: Наука, 1978.

9. Глебович Г.В., Ковалев Н.П. Широкополосные линии передачи импульсных сигналов. - М.: Сов. радио, 1973.

10. Грязнов М.И., Гуревич М.Л., Рябинин Ю.А. Измерение параметров импульсов. - М.: Радио и связь, 1991.

11. Евтютов А.И., Митько В.Б. Инженерные расчеты в гидроакустике. -Л.: Судостроение, 1988.

12. Зюко А.Г., Коробов Ю.Ф. Теория передачи сигналов. - М.: Связь,

1972.

13. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. - М.: Наука, 1979.

14. Исследование объектов с помощью пикосекундных импульсов / под. ред. Г.В. Глебовича - М.: Радио и связь, 1984.

15. Кендалл И., Стьюарт А. Теория распределений. - М.: Наука, 1966.

16. Кремер И.Я., Владимиров В.И., Карпухин В.И. Модулирующие помехи и прием радиосигналов. - М.: Сов. радио, 1972.

17. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1970.

18. Куликов Е.И. Вопросы оценок параметров сигналов при наличии помех. - М.: Сов. радио, 1969.

19. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. - М.: Сов. радио, 1978.

20. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. -М.: радио и связь, 1989.

21. Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. - М.: Радио и связь, 1985.

22. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовких процессов и их преобразований. - М.: Сов. радио, 1978.

23. Марченко Б.Г. Метод статистических интегральных представлений и его приложения в радиотехнике. - Киев, Наукова думка, 1973.

24. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений: Квазипра-воподобные оценки. - М.: Радио и связь, 1983.

25. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем / Под. ред. М. Бассвиль, А. Банвениста. - М.: Мир, 1989.

26. Обнаружение сигналов / Под. ред. A.A. Колосова. - М.: радио и связь, 1989.

27. Омельченко В.А. Основы спектральной теории распознавания сигналов. - Харьков, Вища шк., 1983.

28. Панько С.П. Сверхширокополосная радиолокация // Заруб. Радиоэлектроника, 1991, №1, с. 106-114.

29. Репин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. - М.: Сов. радио, 1977.

30. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Т.1. - М.: наука, 1976

31. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. - М.: Сов. радио, 1978.

32. Справочник по специальным функциям / Под. ред. М. Абрамовича, И Стиган. - М.: Наука. 1979.

33. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. - М.: Сов. радио, 1978.

34. Теоретические основы радиолокации / Под. ред. В.Е. Дулевича. - М.: Сов. радио, 1978.

35. Теория обнаружения сигналов / Под. ред. П.А. Бакута. - М.: Радио и связь, 1984.

36. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: Сов. радио, 1977.

37. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - М.: Сов. радио, 1966; М.: Радио и связь, 1982.

38. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. - М.: Радио и связь,

1983.

39. Трифонов А.П., Бутейко В.К. Совместная оценка двух параметров разрывного сигнала на фоне белого шума // Радиотехника и электроника, 1989, Т.34, №11,с.2323-2329.

40. Трифонов А.П., Бутейко В.К. Характеристики совместных оценок параметров сигнала при частичном нарушении условий регулярности // Радиотехника и электроника, 1991, Т.36, №2, с.319-327.

41. Трифонов А.П., Нечаев Е.П., Парфенов В.И. Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами. - Воронеж, ВГУ, 1991.

42. Трифонов А.П., Шинаков Ю.С. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех. - М.: Радио и связь, 1986.

43. Трифонов А.П. Прием сигналов с неизвестной длительностью на фоне белого шума // Радиотехника и электроника, 1971, Т.22, №1, с.90-98.

44. Трифонов А.П., Беспалова М.Б. Потенциальная точность оценки периода следования видеоимпульсов с неизвестным временем прихода // Радиотехника, 1991, №1, с.65-67.

45. Трифонов А.П., Беспалова М.Б. Эффективность совместной оценки временного положения и периода следования импульсов при наличии неинформативных параметров // Радиотехника и электроника, 1992, Т.37, №6, с.1014-1023.

46. Трифонов А.П., Беспалова М.Б. Эффективность совместных оценок времени прихода и периода следования импульсов с неизвестными амплитудами // Известия ВУЗов - Радиоэлектроника, 1993, Т.36, №3, с.13-19.

47. Трифонов А.П., Беспалова М.Б. Эффективность оценки периода следования прямоугольных импульсов // Радиотехника, 1992, №10-11, с.51-55.

48. Трифонов А.П., Беспалова М.Б. Эффективность оценки периода следования прямоугольных импульсов при наличии модулирующих помех // Радиотехника, 1998, №1, с.58-63.

49. Трифонов А.П., Беспалова М.Б. Оценка периода следования слабых случайных импульсов // Известия ВУЗов - Радиоэлектроника, 1997, Т.40, №9, с. 12-20.

50. Трифонов А.П.., Захаров A.B. прием сигнала с неизвестной задержкой при наличии модулирующей помехи // Извести ВУЗов - Радиоэлектроника, 1986, Т.29, №4, с.36-41.

51. Фалькович С.Е. Оценка параметров сигнала. - М.: Сов. радио, 1979.

52. Фалькович С.Е., Хомяков Э.Н. Статистическая теория измерительных радиосистем. - М.: Радио и связь. 1981.

53. Хармут Х.Ф. Несинусоидальные волны в радиолокации и радиосвязи. - М.: Радио и связь, 1985.

54. Шинаков Ю.С. О построении оценок параметров сигнала при наличии неинформативных параметров // Радиотехника и электроника, 1974, Т. 19, №3, с.542-540.

55. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. - М.: Радио и связь, 1981.

56. Ширяев А.Н. Вероятность. - М. Наука, 1980.

57. Ярлыков М.С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике. - М.: Сов. радио, 1980.

58. Baum С.Е. Transient electromagnetic fields, N-Y, Springer, 1976.

59. Harmuth H.F. Synthetic aperture radar based on nozsinusoidal functions IEEE Trans. Electromagn. Compat., 1979, Vol.21, p.p. 122-131.

60.. Harmuth H.F. Fundamental limits for radiosignals with large bandwidth // IEEE Trans. Electromagn. Compat., 1981, Vol.23, p.p.37-43.

61. Nasser J.M. Resolution function of nonsinusoidal radiosignals // IEEE Trans. Electromagn. Compat., 1990, Vol.32, №2, p.p. 153-160.

62. Malek G. M. Principles of highresolution radar based on nonsinusoidal waves // IEEE Trans. Electromagn. Compat., 1989, Vol.31, №4, pp.359-375.

63. ParzenE. Stohastic processes, Holden-day, 1962.

64. Rowe H.E. Extremely low frequency communications to submarines // IEEE Trans. Electromagn. Compat., 1974, pp.371-385.

65. Snyder D. Random Point process N.-Y., Wiley, 1975.

66. Wichen D.W., Churchill G.A. A comparison of range estimators // Tech-nometris, 1978, Vol.20, №3, pp.301-311.

67. Young Y.D. Radar imaging from ramp response signatures // IEEE Trans. Electromagn. Compat., 1976, Vol.AP-24,№3 , p.p.276-282.

68. Нечаев Е.П, Шуткин А.Н. Оптимальный прием сигнала неизвестной формы на фоне шумов / Всероссийская конференция «Повышение помехоустойчивости систем технических средств охраны», Тезисы докладов, Воронеж, «Радио и связь», 1995, с.5-6.

69. Хромых В.Г., Шуткин А.Н. Обнаружение сигнала с неизвестными параметрами на фоне хаотических импульсных помех / Всероссийская конференция «Повышение помехоустойчивости систем технических средств охраны», Тезисы докладов, Воронеж, «Радио и связь», 1995, с.25-26.

70. Ветров C.B., Шуткин А.Н. Статистическая обработка сигналов на фоне хаотических импульсных помех / Международная НТК «Проблемы радиоэлектроники (к 100-летию радио)», Тезисы докладов, Магистр (Приложение к газете «Энергетик»), №2125, Москва, 1995, с.41-42.

71. Ветров C.B., Шуткин А.Н. Характеристики квазиправдоподобной оценки длительности сигнала на фоне белого шума / Всероссийская конференция «Информационные технологии и системы», Тезисы докладов, Воронеж, «Радио и связь», 1995, с. 14.

72. Vetrov S.V., Nechaev Е.Р., Shutkin A.N. An algorithm of joint detection and Measurement of an Objects Range by Its Optical Image // Pattern recognition and image analysis; Advances in Mathematical Theory Applications, Interperiodica publishing, Vol. №6, №1,1996, p.p.l 15-116.

73. Ветров C.B., Шуткин А.Н. Квазиправдоподобная совместная оценка параметров импульсного сигнала / Сборник научных трудов ВВШ МВД России, Воронеж, 1995, с.41-46.

74. Ветров C.B., Шуткин А.Н. Обнаружение сигнала в хаотических импульсных помехах / Научно-практическая конференция ВВШ МВД России, Тезисы докладов, Воронеж, 1995, с.25.

75. Ветров C.B., Шуткин А.Н. Статистический синтез алгоритмов обработки сигналов при наличии импульсной помехи / Научно-практическая конференция ВВШ МВД России, Тезисы докладов, ч.И, Воронеж, 1996, с. 105.

76. Ветров C.B., Шуткин А.Н. Прием сигналов с неизвестными параметрами на фоне хаотических импульсных помех // Радиотехника, 1996, №11, с.47-49.

77. Беспалова М.Б., Шуткин А.Н. Оценка периода следования прямоугольных импульсов с неизвестными параметрами гауссовской случайной субструктуры / Материалы IV Международной НТК «Радиолокация, навигация и связь», Т.1, Воронеж, 1998, с.277-287.

78. Шуткин А.Н. Квазиправдоподобная оценка частоты радиоимпульса с неточно известными временными параметрами / Материалы IV Международной НТК «Радиолокация, навигация и связь», Т.1, Воронеж, 1998, с.288-294.

79. Беспалова М.Б., Шуткин А.Н. Анализ структурной и параметрической скрытности импульсной несущей / Материалы Всероссийской НТК «Информационная безопасность автоматизированных систем», Воронеж, 1998, с. 541-552.