Оценивание и управление в дискретных стохастических системах со случайными скачкообразными параметрами в условиях неполной информации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Ким Константин Станиславович

• Ким Константин Станиславович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Ким Константин Станиславович

Введение

1 Фильтрация и экстраполяция в дискретных системах с неизвестным входом, неизвестными параметрами и мультипликативными возмущениями с использованием процедур сглаживания

1.1 Постановка задачи главы

1.2 Фильтрация в дискретных линейных системах с неизвестными параметрами, неизвестным входом и мультипликативными возмущениями

1.2.1 Определение оценок фильтрации вектора состояния (нестационарный случай)

1.2.2 Определение оценок фильтрации вектора состояния (стационарный случай)

1.2.3 Определение оценок неизвестного входа в задаче фильтрации

1.2.4 Определение оценок неизвестного входа в канале наблюдений

1.3 Экстраполяция в дискретных линейных системах с неизвестными параметрами, неизвестным входом и мультипликативными возмущениями

1.3.1 Определение оценок экстраполяции вектора состояния (нестационарный случай)

1.3.2 Определение оценок экстраполяции вектора состояния (стационарный случай)

1.3.3. Определение оценок неизвестного входа в задаче экстраполяции

1.4 Результаты численных расчетов главы

1.5 Выводы по главе

2 Фильтрация и экстраполяция для объектов со случайными скачкообразными параметрами при неизвестном входе

2.1 Постановка задачи главы

2.2 Фильтрация в дискретных системах со случайными скачкообразными параметрами и неизвестным входом

2.2.1 Решение задачи фильтрации вектора состояния (нестационарный случай)

2.2.2 Решение задачи фильтрации вектора состояния (стационарный случай)

2.2.3 Определение оценок неизвестного входа в задаче фильтрации для систем со скачкообразными параметрами

2.3 Экстраполяция в дискретных системах со случайными скачкообразными параметрами и неизвестным входом

2.3.1 Решение задачи экстраполяции вектора состояния (нестационарный случай)

2.3.2 Решение задачи экстраполяции вектора состояния (стационарный случай)

2.3.3 Определение оценок неизвестного входа в задаче экстраполяции для систем со скачкообразными параметрами

2.4 Оценивание в системах с мультипликативными возмущениями и скачкообразными параметрами

2.4.1 Модель объекта, постановки задач оценивания

2.4.2 Задача фильтрации

2.4.3 Задача экстраполяции

2.5 Результаты численных расчетов главы

2.6 Выводы по главе

3 Идентификация и робастное оценивание для объектов с неизвестным входом и со случайными скачкообразными параметрами

3.1 Постановка задачи главы

3.2 Идентификация скачкообразного параметра в задачах оценивания состояния дискретной системы с неизвестным входом

3.3 Робастная фильтрация

3.3.1 Синтез нестационарного фильтра

3.3.2 Синтез стационарного фильтра

3.3.3 Робастная фильтрация для объекта с мультипликативными возмущениями. Сведение двухточечной задачи к задаче Коши

3.4 Робастная экстраполяция

3.4.1 Синтез нестационарного экстраполятора

3.4.2 Синтез стационарного экстраполятора

3.4.3 Робастная экстраполяция для объекта с мультипликативными возмущениями. Сведение двухточечной краевой задачи к задаче Коши

3.5 Результаты численных расчетов главы

3.6 Выводы по главе

4 Применение алгоритмов оценивания вектора неизвестного входа в задачах управления системами со случайными скачкообразными параметрами в модели возмущений

4.1 Постановка задачи главы

4.2 Синтез локально-оптимального управления для объекта с запаздыванием в условиях неполной информации

4.3 Управление запасами при неполной информации о спросе

4.4 Выводы по главе

Заключение

Список условных обозначений

Список литературы

Приложение А Акт о внедрении результатов кандидатской диссертации в учебный процесс НИ ТГУ

Введение

Актуальность темы исследования. Диссертационная работа посвящена проблеме синтеза систем обработки информации повышенной точности и их применению в системах управления для дискретных объектов, модели которых описываются стохастическими разностными уравнениями со случайными скачкообразными параметрами (которые представляются как цепи Маркова), с неизвестными входами и случайными аддитивными и мультипликативными возмущениями.

Задачи построения оценок и управлений для систем со случайными скачкообразными параметрами и с неизвестными возмущениями актуальны для различных реальных объектов. В качестве примеров таких объектов можно рассмотреть:

- Энергетические системы E. Sales-Setien [126], L. Li [115], V.A.Ugrinovskii [140] (скачкообразный процесс для моделирования случайных изменений нагрузки, отключений генераторов и отказов линии электропередачи ).

- Системы управления летательными аппаратами H. Zhang [152], W.S. Gray [99] (примером применения является ситуация, когда бортовые электронные устройства случайным образом выходят из строя из-за внешних помех: молнии, тепловые шумы и радиопомехи).

- Системы связи Y. Zhu [156], J. Wang [142], O.L.V. Costa [84] (для того, чтобы избежать потери данных, необходимо использовать контролеры, которые учитывают скачкообразно изменяющиеся характеристики сети).

- Задачи обнаружения неисправностей H. Wang [143], X. Yao [149], G. Gagliardi [94] (Данная задача возникает в различных технических системах).

- Экономические системы W.P. Blair [85], O.L.V. Costa [83], L.E.O. Svensson [137], В.В. Домбровский [10, 92] (один из вариантов использования -сведение экономической системы к модели, зависящей от трех состояний: «средний уровень», «подъем» и «спад», при этом переходы из состояний описываются цепью Маркова).

Задача обработки информации является одной из важнейших в теории оптимальных стохастических систем. Эта задача используется для синтеза систем управления при косвенных измерениях вектора состояния. Основы теории обработки информации были сформулированы А.Н. Колмогоровым [24] и Н. Винером (N. Wiener) [144]. Дальнейшее развитие методов обработки информации выполнено в работах следующих авторов: R.E. Kalman [104], В.С. Пугачев, И.Н. Синицин [51], G.A. Hewer [100], P.J. McLane [121], N.C. Mohanty [123], Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев [29], A. Bensoussan [72].

Задачи построения оценок в стохастических системах со скачкообразными параметрами рассмотрены в работах W.P. Blair [75], E. K. Boukas [76], E.F. Costa [81], O.L.V. Costa [82, 84, 85], D.O. Cajueiro [77], A. M. De Oliveira [89], G. Gagliardi [94], H. Geng [95], M.J.F. Gomes [98], W. Liu [118], F. Li [114], Y. Li [116], X. Li [117], M. Mariton [120], S. Mahmoud [119], P. Shi [127], E. Sales-Setien [126], L.E.O. Svensson [137], P. Shi [128], J. Wang [142], H. Wang [143], X. Yao [150], Y. Yang [149], Y. Zhu [156], M. Zhong [154], Q. Zhong [155], L.D.P. Carvalho [78], Н.Н. Красовский, Э.А. Лидский [27], БМ. Mиллер [122], Г.И. Белявский [2], В.А. Васильев, Т.В. Догадова [91], В.И. Смагин, С.С. Ломакина [32, 60] и др., а близкие к этому направлению получены результаты в работах В.В. Конева, С.Э. Воробейчикова и Ю.Б. Буркатовской [7, 110, 141], в которых рассматривались задачи разладки случайных процессов.

Анализ литературы подтверждает актуальность задач разработки оптимальных и робастных алгоритмов и методов фильтрации и экстраполяции повышенной точности в условиях неполной информации для систем с неизвестными параметрами, неизвестным входом (возмущениями), при аддитивных и мультипликативных возмущениях, а также для систем со скрытыми скачкообразно изменяющимися параметрами. По-прежнему, остаются актуальными задачи обработки информации для систем с неизвестным входом, также для систем со скачкообразными параметрами и задачи повышения точности оценивания состояний и возмущений для таких систем. Задачи обработки информации широко используются в системах управления, поэтому важной и

актуальной задачей также являются вопросы применения методов обработки информации для управления сложными системами с неполной информацией о возмущениях и с учетом запаздываний.

Степень разработанности темы. В последние годы интенсивно развивались методы вычисления оценок вектора состояния совместно с оценками неизвестного возмущения (входа) M. Abolhasani [68], BB. Cui [86], M. Darouach [87, 88], A. Germani [96], C-S. Hsien [102], M. Hou [101], D. Janczak [103], H. Kong [111], Y. Wu [147], S.E. Yong [151], T. Bessaoudi [73], С.В. Смагин [62], В.И. Смагин, Г.М. Кошкин [59, 134, 135, 112, 113] и др. В работах K. Astrom, P. Eykhoff [69], J. Chen, R.J.Patton [79] рассматриваются алгоритмы расширения пространства состояний (к основной модели объекта добавляется модель ненаблюдаемого возмущения. В.И. Смагин [55-57] использовал для построения оценок компенсационный подход. В работах M. Darouach [87, 88], S. Gillijns, B. Moor [97], M. Hou, R. Patton [101] использовались подходы оценивания возмущений (неизвестного входа) без расширения пространства состояний, на основе методов МНК. В работах В.И. Смагина и Г.М. Кошкина [112, 113, 135] помимо методов МНК дополнительно используются алгоритмы непараметрического сглаживания на основе ядерных оценок регрессии Надарая-Ватсона.

В задачах обработки информации и управления процесс Маркова, описывающий скачкообразные процессы, часто является скрытым (в литературе такие процессы называют Hidden Markov Model (HMM)). Задачи оценивания скрытых марковских процессов рассматривались в работах B.M. Miller [122], J. Bilmes [74], S. Donnet [93], M. Awad [71], T. Ryden [125] и др. Так в [74, 93, 71] рассматривались EM-алгоритмы, в которых состояния скрытой цепи оценивались с использованием функции максимума правдоподобия. В работе [125] предложена версия ЕМ-алгоритма, использующая метод Монте-Карло. В работе [122] предложен рекурсивный фильтр, который относится к типу «ветвящегося», его размерность растет с каждым скачком скрытого марковского процесса.

Отметим, что в системах оценивания состояний стохастических систем нашли широкое применение робастные методы. Эти методы применяются для случаев, когда описание параметров модели содержат неопределённости (эти неопределенности могут быть различных видов) S. Mahmoud [119], E.K. Boukas [76], M.H. Terra [139], S. Xu [149], J. Chen [79], F. Li [114], A.M. De Oliveira [89], В.И. Смагин, С.С. Ломакина [30, 31, 33, 34, 61, 136]. Робастные методы рассматривались для случая, когда в объекте присутствует неизвестные (не наблюдаемые или частично наблюдаемые) возмущения M.H. Terra [139], Y. Yang [149]. Также в ряде работ рассмотрены задачи робастного оценивания для случая неизвестных вероятностей перехода скачкообразного параметра из различных состояний D. Zhao [153], Q. Zhong [155], X. Li [117], Е.А. Перепелкин [48].

Для управления объектами, модели которых содержат неопределенные параметры, широко применяются методы адаптивного и робастного управления В.Н. Буков [6], M.M. Kogan [109], А.А. Красовский [25], Е.В. Бодянский [3], S. Oucheriah [124], В.Н. Фомин [64, 65], А.Л. Фрадков [66], М. Уонем [63], В.И. Смагин [58], М.Ю. Приступа [50], И.В. Мирошник [37], Б.Т. Поляк [49], А.А. Крассовский [26], Г.К. Кельманс [13], И.Е. Казаков [11], М.М. Коган [23]. Работы W.M. Wonham [146], D.D. Sworder [138], П.В. Пакшин [38-40] посвящены методам управления системами со скачкообразными параметрами. Теория этих методов достаточно хорошо разработана, однако, некоторые проблемы решения задач управления для объектов с возмущениями, модели которых содержат неизвестные параметры, в том числе и ненаблюдаемые скачкообразно изменяющиеся параметры, остаются не решенными для моделей объектов с запаздыванием в управлении.

Таким образом, в существующих работах рассматриваются методы алгоритмы обработки информации в условиях неполной информации. Диссертация посвящена развитию этих методов и разработке новых (в том числе робастных) методов, обеспечивающих обработку информации с повышенной точности, разработаны также новые более простые в компьютерной реализации методы диагностики скачкообразных параметров, входящих в описание модели

объекта. В диссертации дано также применение методов обработки информации повышенной точности в задаче управления запасами.

Объект исследования. Стохастические дискретные динамические системы со скачкообразно изменяющимися параметрами, с аддитивными и мультипликативными возмущениями и неизвестными входами, функционирующие в условиях неполной информации о состоянии.

Цель диссертационной работы. Разработка методов робастной фильтрации и экстраполяции для объектов со скачкообразными параметрами, аддитивными и мультипликативными возмущениями и неизвестным входом. Повышение точности методов обработки информации. Разработка алгоритмов идентификации скачкообразно изменяющихся параметров. Решение задач управления стохастическим объектом при наличии запаздываний в контуре управления и при неполной информации о возмущениях.

Основные задачи:

1. Построить оценки фильтрации и экстраполяции для объектов с неизвестными входами, аддитивными и мультипликативными возмущениями, и со случайными скачкообразными параметрами, которые полностью доступны наблюдению.

2. Разработать алгоритм идентификации значений скачкообразных параметров для объектов с неизвестным входом и аддитивными и мультипликативными возмущениями.

3. Разработать алгоритмы робастного оценивания для объектов с неизвестным входом и со случайными скачкообразными параметрами.

4. Построить локально-оптимальное управление для объекта с запаздыванием и неполной информации о скачкообразно изменяющемся возмущении.

5. Выполнить исследование алгоритмов с помощью вычислительных экспериментов.

Методы исследования. Для достижения поставленных в диссертационной работе цели и задач используются методы математического анализа, теории

управления, теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, численные методы и методы имитационного моделирования.

Научная новизна:

1. Построены дискретные фильтры и экстраполяторы, позволяющие вычислять несмещенные оценки для систем с аддитивными и мультипликативных возмущениями, скачкообразно изменяющимися параметрами и с неизвестным входом в объекте и канале наблюдений.

2. Разработаны алгоритмы идентификации ненаблюдаемого скачкообразного параметра и алгоритмы робастной фильтрации и экстраполяции для определения оценок в условиях неполной информации о скачкообразно изменяющихся параметрах для систем с аддитивными и мультипликативными возмущениями и при наличии неизвестного входа.

Теоретическая значимость. Разработанные методы и алгоритмы реализуют дальнейшее развитие теории оценивания в системах с аддитивными и мультипликативными возмущениями, скачкообразно изменяющимися параметрами в условиях неполной информации.

Практическая значимость. Разработанные методы и алгоритмы, могут применяться в различных областях техники и экономики, в которых модели управляемых объектов имеют скачкообразно изменяющийся характер и неизвестные составляющие. Разработанные алгоритмы и методы можно рекомендовать для повышения качества (точности) обработки информации в системах управления со случайным изменением структуры.

Личный вклад. Постановка задачи сделана совместно с научным руководителем, профессором Смагиным Валерием Ивановичем. Основные результаты, представленные в диссертации, получены лично автором.

Реализация и внедрение результатов работы.

Исследование проводилось в рамках НИР: «Управление и фильтрация для дискретных систем при неполной информации и скачкообразными параметрами»,

поддержан грантом РФФИ 19-31-90080 (2018-2021 гг), НИ ТГУ (Руководитель проекта Смагин В.И.).

Материалы исследований используются в учебном процессе в Институте прикладной математики и компьютерных наук Томского государственного университета (Приложение А).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Решение задачи фильтрации и экстраполяции в дискретных системах с неизвестным входом, неизвестными параметрами и мультипликативными возмущениями с использованием процедур сглаживания.

2. Решение задачи фильтрации и экстраполяции для объектов с неизвестными входами, с мультипликативными возмущениями, и со случайными наблюдаемыми скачкообразными параметрами.

3. Алгоритмы идентификации (оценивания) значений скачкообразного параметра для объектов с неизвестным входом.

4. Алгоритмы робастной фильтрации и экстраполяции для объектов с неизвестным входом, аддитивными и мультипликативными возмущениями и со скрытыми случайными скачкообразными параметрами.

5. Решение задач управления запасами с учетом запаздываний и с использованием методов робастной обработки информации.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждаются строгими математическими выкладками с использованием аппарата линейной алгебры, теории управления, теории случайных процессов и теории вероятностей и математической статистики, результатами численных расчетов и результатами моделирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценивание и управление в дискретных стохастических системах со случайными скачкообразными параметрами в условиях неполной информации»

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

1 . The second international summer school оп information Technologies for Complex System Analysis and Synthesis (IT CoSAS'2015) (Россия, Анапа, 2015);

2. VI, VII, VIII Международные молодежные научные конференции «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» (Томск, 2018, 2019, 2020);

3. The International Conference on Information and Digital Technologies (ITD 2016, ITD 2017) (Польша, Жешув, 2016, Словакия, Жилина, 2017);

4. The Second International Symposium on Stochastic Models in Reliability Engineering, Life Science and Operations Management (SMRLO 2016) (Израиль, Беэр-Шева 2016);

5. IV International research conference «Information technologies in Science, Management, Social sphere and Medicine» (ITSMSSM 2017). (Tomsk, 2017);

6. XVII Международная конференция им. А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ITMM - 2018) (Томск, 2018);

7. Международная конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (ICAM 2020) (Алтай, 2018, Томск, 2020);

8. The International Workshop «Applied methods of statistical analysis. Statistical computation and simulation» (AMSA-19) (Новосибирск, 2019).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 19 работ, из них 7 статей [14, 15, 17, 21, 22, 106, 108] в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук (в том числе 6 статей в российских научных журналах, входящих в Web of Science); 6 статей [105, 107, 130-133] в сборниках материалов международных конференций, представленных в изданиях, входящих в Web of Science и / или Scopus; 6 публикаций [16, 18, 19, 53, 129] в сборниках материалов всероссийской с международным участием и международных конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка условных обозначений, списка литературы и одного приложения. Объем диссертации составляет 142 страницы, включая 48 рисунков и 16 таблиц; список литературы содержит 156 наименования.

Благодарности. Выражаю глубокую благодарность научному руководителю доктору технических наук, профессору Смагину Валерию Ивановичу за помощь в написании диссертации. За содействие и поддержку автор выражает признательность доктору физико-математических наук, профессору Кошкину Геннадию Михайловичу.

1 Фильтрация и экстраполяция в дискретных системах с неизвестным входом, неизвестными параметрами и мультипликативными возмущениями

с использованием процедур сглаживания

В настоящей главе выполнена разработка алгоритмов фильтрации и экстраполяции в условиях неполной информации для систем с неизвестными параметрами, неизвестным входом, при аддитивных и мультипликативных возмущениях. Аддитивные возмущения, независящие от состояния и управления, являются внешними воздействиями, действующими на объект, а мультипликативные обычно интерпретируют как возмущения в моделях со случайно изменяющимися (флуктуирующими) параметрами.

Разностные уравнения с неизвестными параметрами, аддитивными и мультипликативными возмущениями могут использоваться в качестве моделей реальных физических, технических и экономических и др. систем при решении задач обработки информации и в задачах управления при косвенных измерениях вектора состояния при наличии или отсутствии в каналах наблюдений вектора неизвестных входов.

Во введении к диссертации отмечено, что часто методы вычисления оценок вектора состояния основываются на алгоритмах, использующих оценки неизвестного возмущения [3, 62, 55, 56, 57, 59, 96, 102, 103, 112, 134, 135, 145]. В работах [69, 79] рассматриваются алгоритмы расширения пространства состояний (к основной модели объекта добавляется модель ненаблюдаемого возмущения). В работах [87, 88, 97, 101] используются подходы оценивания возмущений (неизвестного входа) без расширения пространства состояний, на основе методов МНК. Однако в этих работах не рассмотрены задачи фильтрации и экстраполяции для систем с неизвестными параметрами, мультипликативными возмущениями и неизвестными входами.

В главе также рассмотрены задачи повышения точности фильтрации и экстраполяции в системах с неизвестными параметрами и мультипликативными

возмущениями за счет использования алгоритмов сглаживания оценок неизвестного входа.

Основные результаты главы опубликованы в работах [15, 16, 53, 105, 131,

132].

1.1 Постановка задачи главы 1

Пусть дискретная управляемая система описывается уравнением: х(к +1) = Ё(х(к), и (к), А, к) + к(д(к), /(к), х(к), и (к), к)

х (0) = х0, .

где х(к) - вектор состояния, и(к) - вектор управления (известный вход), /(к) -вектор неизвестного входа, А - неизвестные постоянные параметры (скалярные величины, векторы или матрицы), д(к) - векторная случайная последовательность, х0 - начальное условие. В (1.1) функция Ё(х(к), и(к), А, к) определяет динамику системы и удовлетворяет условию Липшица, функция ^(д(к), _Дк), х(к), и(к), к) определяет возмущение, действующее на объект.

Предполагается, что доступен наблюдению вектор Хк) (косвенные наблюдения)

у (к) = Ё (х(к), к) + к (л(к), у(к), к), (1.2)

где Хк) - вектор измерений, ц(к) - вектор неизвестного входа у(к) - вектор случайных ошибок измерений.

Конкретные постановки задач и аналитические решения задач приводятся в следующих разделах. Отметим, что задачи фильтрации и экстраполяции с учетом присутствия в модели скачкообразного процесса у(к) рассмотрены во второй и третьей главах.

1.2 Фильтрация в дискретных линейных системах с неизвестными параметрами, неизвестным входом и мультипликативными возмущениями

1.2.1 Определение оценок фильтрации вектора состояния (нестационарный

случай)

Пусть линейная модель объекта с неизвестным входом, неизвестными параметрами и мультипликативными возмущениями описывается разностным уравнением:

к

х(к +1) = (Л(к) + ДЛ(к)) х(к) + £ А (к) х(к Я (к) + (В(к) + ЛВ(к))и(к) +

5=1 (13)

+ Н(к)/(к) + ?(к), х(0) = х0,

где х(к) 6 В" - вектор состояния, и(к) 6 Ят -известный вход; Дк) 6 Ящ -неизвестный вход; х0 - начальное значение вектора состояния (предполагается, что вектор случайный с известной матрицей дисперсии N = М{(х0 -х0)(х0 -х0)т} и математическим ожиданием х0 = М{х0}); Л (к), В(к), Н, Л5(к) (б = 1..к ) - заданные матрицы соответствующих размерностей; АЛ (к), АВ(к) - матрицы неизвестных параметров; д(к) и 0s(k) - гауссовские случайные последовательности со следующими характеристиками: М{д(к)} = 0, М{д(к) дт(/')} = Q(k)5kj, М{ 0s (к)} = 0, М{ 0s (к) 0sT(/•)} = 0s(k)5k,j, где 5к,у - символ Кронекера.

Канал наблюдений имеет вид:

У(к) = 5 (к) х(к) + у(к), (1.4)

где у(к)6 Я1 - вектор наблюдения, у(к) - гауссовская случайная последовательность с характеристиками: М{у(к)} = 0, М{у(к) Ут(/)} = У(1к)Ьк^. Предполагается, что последовательности д(к), 05(к) и у(к) независимы между собой, для пары матриц £(к), Л (к) выполняется условие наблюдаемости по Калману [5], Q(k) > 0, > 0 (б = 1..ш2 ) и У(к) > 0.

Требуется найти соответствующую оптимальную оценку вектора состояния X(к +1) из наблюдений (1.4), полученных в момент времени к, для следующего критерия, заданного в интервале [ 0, Т ]:

T

т

J (0, Т) = М {£ ет (к) R(k )е(к)}, (1.5)

к=0

где e(k) = х(к) - Х(к) - вектор ошибок, Я(к) > 0 -весовая матрица. Представим модель (1.3) в следующем виде

к

х(к +1) = А(к) х(к) + £ АХк)^ + В(к)и(к) + г (к) + к), х(0) = х0, (1.6)

5=1

где г(к) - неизвестный вектор:

г(к) = АЛ(к)х(к) + АБ(к)ы(к) + И(к)/(к). (1.7)

Ниже, для простоты, дискретная переменная к в матрицах Л, В, Л3, АЛ, АБ, Б, Q, V, Qs опускается.

Для решения задачи фильтрации воспользуемся принципом разделения. Это означает, что мы сначала строим оценки вектора X (к) в предположении, что вектор г(к) известен, а затем строим оценки вектора Г(к) в предположении, что

известна оценка вектора состояния.

Для построения оценки воспользуемся алгоритмом рекуррентной

калмановской фильтрации, которая содержит оценки неизвестного входа:

Х(к +1) = АХ(к) + Ви(к) + Г(к) + К, (к )[у(к +1) - 5 (АХ(к) + Ви(к) + Г(к))],

_ (1.8) х(0) = х о,

где К/(к) - матрица коэффициентов передачи фильтра.

Теорема 1.1 Пусть существует положительно определенная матрица И(к) = М[в(к) е(к)т}, являющаяся решением уравнения:

к

И(к +1) = (А - Кг (к )5А) N (к)(А - К/ (к) 5А)т + (Е - К/ (к) 5 )[£ АД(к) А^т +

к ^ (19)

£ АхХ(к)Хт (к)А^т + Q] х (Е - Кг (к)5)т + Кг (к)УК}(к), N(0) = N •

5=1

Тогда матрица коэффициентов передачи, минимизирующая критерий (1.5), определится по формуле:

Kf (к) = л^^ (к) Лтт + ЛsN(k) ЛT + к^ Л5х (к) х (к )т Л5т +

Л

х

(1.10)

Л5х(к )х(к ) Л5 +

V 5=1 5=1

{ КК

х

SЛN(k) Лт5 т + ^ Л^(к) Л5Т + X Л5-х (к) хт(к) Л5т + т + Г

V 5=1 5=1

Доказательство. Уравнение (1.9) получается непосредственным вычислением матрицы Щ(к). Записав уравнение для вектора ошибок е(к):

к

е(к +1) = х(к +1) - х(к +1) = Лх(к) + X Лх(к + Ви(к) + г(к) + д(к) -

(111)

5=1

(Лх (к) + Ви(к) + г(к) + кг (к)[ у(к +1) - 5 (Лх(к) + Ви (к) + Г(к))]) =

= (Л - Кг (к)5Л)е(к) + (Е - Кг (к)Х Лх(к)0, +

5=1

+ (Е - Кг (к)^(к) - Кг (к)у(к),

где Е - единичная матрица соответствующей размерности, получим уравнение (1.9) для матрицы Щ(к) = М{е(к) е(к)т}.

Представим критерий (1.5) в виде:

J(0,T) = X ^ N (к) ад, (1.12)

к=0

где 1т - функция след матрицы. Тогда подставляя формулу (1.9) в уравнение (1.12)

со сдвигом на один такт, получим:

т

J (0,т) = а N^(0) + X Л - Кг (к -1) 5) N (к -1)( Л - К/ (к -1) 5)т +

к=1

+ (Е - К, (к -1) 5 )[Х Л5N (к -1) ЛТ + X Ах(к -1) хт(к -1) ЛТ + (1.13)

5=1 5=1

+ 0]( Е - К/ (к -1) 5 )т + К/ (к - 1)К (к - 1)]Я(к).

Используя правила дифференцирования функции след 1т от произведения матриц [1, 70]:

д*ЛХВ =вт,,^ = ВЛ, (1.14)

ах ах

и приравнивая частную производную по К производную к нулю:

а/ (0,т)

К

= 0, (1.15)

получим:

_ д и N0R(0)

5К7 " 5Ку

+

д т

+£1г [(А - К/{к -1)5) N (к -1)( А - К, (к -1)5 )т +

дК, к=1

+(Е - К, (к -1)5)[£ A5N(к -1) А5Т + £ А5Х(к -1)Xт(к -1) А] + ^^

5=1 5=1

х(Е - К (к -1)5)т + К (к - 1)К (к - 1Щк) = (1.16)

Т к к

= £[-2AN(к)Ат5т - 2[£А^(к)А + £А^к)Xт(к)А,т + Q]5т +

к=1 5=1 5=1

к

+ 2 К/ (к) 5AN (к) Ат5 т + 2 К/ (к) 5[£ АД (к) А^т +

5=1

+ £ А5Х(к) Хт(к) А^т + Q]5 т +2 К/ (к )¥ ] R(k) = 0.

5=1

Учитывая, что весовая матрица Я(к) положительно определена, получим:

-2AN(к)Ат5т - 2[£ А^(к)Ат + £ А5Х(к)Хт(к)А,т + Q]5т +

5

5=1 5=1

к

т т т

5=1

+ 2 К, (k)5AN(k) Ат5 т + 2 К, (к) 5[£ А^(к) А5Т + (1.17)

5=1

к

+ £ АХ(к) Хт(к) А^т + Q]5 т + 2 Ку (к )У = 0.

5=1

Тогда выполнив несложные преобразования, получим следующее уравнение:

Кг (к )5AN (к) Ат 5 т + Кг (к )5[ £ АN (к) А^т + £ А^(к) Х т(к) А^т +

5=1 5=1

+ Q]5 т + Кг (к)У = (1.18)

к

= AN (к) Ат 5 т + [£ АхN (к) Ат + £ АХ(к) Х т(к) А,т + Q]5 т.

5

5=1 5=1

из которого можно выразить формулу для матрицы коэффициентов передачи (1.10). Теорема доказана.

1.2.2 Определение оценок фильтрации вектора состояния (стационарный

случай)

В стационарном случае, все матрицы, входящие в описание модели, будут постоянные. Дополнительно будем предполагать, что пара матриц А и В управляема и существует управление с обратной связью, зависящее от х(к), которое реализует отслеживание некоторого постоянного заданного вектора г. В этом случае вместо критерия (1.5) рассматривается критерий:

1 = Нт1/(0,Г). (1.19)

т т

Тогда матрица К/ также будет постоянной и может быть рассчитана по формуле:

Кг = (лнл^т + [X л,шт + Х т АТ + ^]Бт) X

4=1 4=1 (1.20)

к к

х^АШт т + Я[Х А,ШТ + X Л**т АТ + д]$т + К )-\

5=1 5=1

где матрица N является решением матричного алгебраического уравнения:

N = (А - К^А)N(А - К^А)1 +

^ ^ (121)

+(Е - К,Б)[Х АМ5 + X ТАТ + 0](Е - К,Б)т + К/¥К}.

5=1 5=1

Так как матрица (Е - К^)[Х А5МА5Т +Х А^ТАТ + <2](Е - К^)т + К/УКТ/ ,

5=1 5=1

входящая в уравнение (1.21) положительно определена (это не трудно доказать), то при условии существования положительно определенного решения N > 0 уравнения (1.21) и выполнения матричного неравенства:

(А - КГ8А)N(А - К^А)1 - N < 0, (1.22)

следует устойчивость матрицы динамики фильтра (А - К/ SA). Отметим, что условие устойчивости (1.22) следует из условия устойчивости по Ляпунову в форме матричного неравенства. Действительно, если матричное неравенство

(1.22) справедливо, то существует положительно определенная матрица R такая, что для матрицы N справедливо равенство:

(А - КГ5А)N(А - КГ5А)Т - N = -Я.

Не сложно показать, что в этом случае конечная разность от функции Ляпунова будет отрицательной. Тогда условие устойчивости по Ляпунову выполнится.

1.2.3 Определение оценок неизвестного входа в задаче фильтрации

В качестве алгоритма оценивания вектора неизвестного входа, используется алгоритм МНК, в этом случае оценку строится на основе минимизации дополнительного критерия [97, 103]:

I = £ О У (' +!) - 5Х«М1 г (' )|| 2 (!.23)

¿=1

где Ж\, Ж2 - заданные положительно определенные весовые матрицы, х(0 = + + • Оценки неизвестного входа строятся на основе минимизации (1.23), в основе которого лежит метод математической индукции, определяющий оценку по критерию (1.23) (вычисляется оценка сначала для к = 1, затем для к = 2 и так далее в соответствии с методом математической индукции). Окончательно получим:

г(ь8м)(к) = (5 ТЩ5 + щ )-15 Тщ [у(к +1) - 5 (АХ(к) + Ви (к))]. (1.24) Оценку неизвестного входа и соответственно вектора состояния для моделей с неизвестными параметрами, аддитивными и мультипликативными возмущениями, можно улучшить (подтверждено результатами моделирования (раздел 1.4)) используя алгоритмы дополнительного сглаживания инновационного процесса (в 1.24) записан в квадратных скобках).

Применение алгоритма непараметрического сглаживания реализуется по формулам:

(№>(к) = (5 ТЩ5 + Щ )-15 Щ О, (1.25)

А

гдеая компонента вектора О(к) имеет вид:

£[ у{1 +1) - 5 (ЛЗД + Ви (!))]

О; (к) =

г=1

^ Л

к - г +1

у ц; у

IС

г =1

к - г+1

у ц; у

(1.26)

В соотношении (1.26), G(•) является ядерной функцией и ц, - коэффициентом размытости. Формула (126) является интерпретацией формул непараметрического сглаживания для непрерывного времени [90] на случай дискретного времени.

Отметим, что при сглаживании можно использовать вместо формул (1.26) непараметрическое сглаживание со скользящим интервалом наблюдения данных (Т - ширина окна сглаживания):

I [у(г +1) - 5(ЛЗД + ВиЦ))]

О (к) = <±Т±

г к - г + 1Л ц;

у у

I С

г=к -Т -1

г к - г + 1Л ц;

у у

(1.27)

Оценки неизвестного входа Г можно также определить с использованием метода скользящего среднего, используемого для вычисления сглаженной величины ,-ой компоненты вектора О:

п (к) = £ № + + Ви{1^'

Т

. к т 5 1 Т 5

тогда оценка вектора неизвестного входа определиться по формуле:

(1.28)

г{5м) (к) = (5 ТЩ5 + Г2 )-15 ТЩ О

(1.29)

к

к

1.2.4 Определение оценок неизвестного входа в канале наблюдений

Для задачи фильтрации в дискретных системах с неизвестным входом в модели объекта и в канале наблюдения необходимо рассмотреть задачу минимизации дополнительного критерия вида:

Л(Л(£)) = Х {1т - +||л(г)||2}, (13°)

г =1 1

где Щ > 0, ж, > 0 - заданные весовые матрицы.

Оценка Т определяется на основе минимизацией критерия (1.3°) и примет

вид:

ц(к I \) = (П1ЩП I 1¥2) Ч~ГЩ[у(к I 1)-Зл-(А I 1)]. (1.31)

Оценка вектора состояния будет определяться по формуле:

х (к +1) = Ах (к) + Бы(к) + г (к) + +К (к)[ у (к +1) - 5 (Ах (к) + Ви (к) + г(к)) - Йт\ (к +1)]. (1.32)

Отметим, что в (1.31) для вычисления оценки тТ(к +1) необходимо знать оценку х(к +1), которая к этому моменту не известна, поэтому предлагается использовать оценку на предыдущем шаге тТ (к), вычисленную по формуле:

Т (к) = (Йт ЩЙ + Щ) -1 Йт Щ [ у (к) - Бх(к)], (1.33)

с последующим прогнозом на 1 такт, например, на основе скользящего среднего:

Тр (к +1) = 1ХТ (к - 0.

1 Т-

(1.34)

Т 1=0

По формуле (1.34) вычисления проводятся от к = Т (Т - целое число определяет величину скользящего интервала). Для к < Т5 можно брать значение оценки тТ(к), вычисленное на предыдущем такте или какие-либо другие оценки.

Можно также для вычисления прогноза на один такт использовать метод взвешенного скользящего среднего:

ц{Р)(к + \^) = ^ёт_1Цк-1\ а 35)

¡=0 у ' '

где gi > 0 - весовые коэффициенты, для которых выполняется условие:

Т -1

Х 8г, - =1 (1.36)

¡=0

Значения gi определяются на основании решения следующей оптимизационной задачи:

ЛЮ = Х(Л0')-Л(Р)0',Ю)2 ^тт (1 37)

при ограничениях

& ^ 0, Е& =1 г =1Т• (1.38)

¿=1

Также для вычисления прогноза 7-ой компоненты вектора п на один такт можно использовать метод непараметрического сглаживания со скользящим интервалом:

Е щоЛ

1Ч 1=к-Т„ -1 I ^ ) У

Л) '(к +1) =-1-1-\ У • (1.39)

к - г +1

Е о

v ^ у

¿=к-Г, -1

Здесь С() является ядерной функцией и ц,- - коэффициент размытости.

В заключение отметим, что алгоритмы, рассмотренные в этой главе, представляют собой рекуррентные схемы и достаточно просто реализуются в режиме реального времени. Результаты моделирования с использованием этих алгоритмов приведены в разделе 1.4.

Замечание 1.1 При отсутствии в модели (1.3) неизвестных параметров, необходимо учесть матрицу влияния неизвестных входов Н, тогда оценки неизвестных входов (1.24), (1.25), (1.29) примут вид:

/<^М(к) = (5тН+ Ж,)-15тНТЩ[у(к +1) - 5 (Ах(к) + Ви(к))]. (1.40) /<№>(к) = (5т Н ТЖН5 + Ж )-15т Н ТЖ П, (1.41)

рш\к) = (5ТЯТ^Ж + ЦГ2у18тНт№1а(к), (1.42)

Замечание 1.2 В математической модели (1.3) могут также присутствовать мультипликативные возмущения, в которых отражается зависимость от известного входа и(к). Тогда уравнение системы с дополнительным слагаемым примет вид:

Т -1

V 1

к

x(k +1) - (A(k) + АЛ^))x(k) + X Л^)x(k)9Я (k) +

5=1

к+Г

+(Б(к) + АБ(к))ы^) + X В^)и(k^) + ДТ(k) + ^), (1-43)

5—К+1

х (0) — ,

Однако этот случай в задачах фильтрации достаточно просто сводится к обычным аддитивным возмущениям, которые в модели (1-3) уже учтены.

1.3 Экстраполяция в дискретных линейных системах с неизвестными параметрами, неизвестным входом и мультипликативными возмущениями

1.3.1 Определение оценок экстраполяции вектора состояния

(нестационарный случай)

Модель объекта, канал наблюдений и критерий, на основе которого будут строиться оценки прогноза X^ +1) приведены в предыдущем разделе 1.2 формулами (1.3)—(1.5) соответственно.

Для решения задачи экстраполяции воспользуемся принципом разделения. Оценки строятся с помощью рекуррентного алгоритма экстраполятора Калмана: х^ +1) — Лх (^) + Ви ^) + г (^) + Ке ^ Ху^) - )], Х(0) — х0, (1.44) где Ке(к) - матрица коэффициентов передачи экстраполятора.

Матрицу коэффициентов передачи Ке(к), обеспечивающую минимум критерия (1.5), определим в следующей теореме.

Теорема 1.2 Пусть существует положительно определенная матрица И(к) = М{е(к) е т(к) }, являющаяся решением уравнения:

N(Н +1) — (Л - Ке ф)8)N(Н)(Л - Ке (Н)8)т + X ф)Л? +

5—1

(1.45)

+ X АХ^)Xт ^)ЛТ + £ + Ке (k)УК] ^), N(0) — N0.

5—1

Тогда матрица коэффициентов передачи экстраполятора определится по формуле:

Ке ^) — ЛN(k )8 T(SN(k )8 т + V )-1. (1.46)

Доказательство. Найдем сначала уравнение для матрицы Ы(к). Для этого запишем уравнение для вектора ошибок е(к):

к

е(к +1) = х(к +1) - х(к +1) = Ах(к) + Е А (к)х(к(к) + Ви(к) +

,=1

+ г (к) + д(к) - Ах(к) - Ви (к) - г (к) - Ке (к)[ у(к) - Бх(к)] = (1.47)

к

= (А - Ке (к)5)е(к) + Е А, (к)х(к)0, (к) + д(к) - Ке (к>(к).

,=1

Тогда, вычисляя матрицу И(к) = М{е(к) е(к)т} получим уравнение (1.45)

Представим критерий (1.5) в виде

т

3 (0,т) = 1х NЯ(0) + Е1г м(к +1) К(к +1), (148)

к=0

где 1т - след матрицы. Тогда, подставив в (1.48) формулу (1.45) со сдвигом на один такт, в результате имеем:

3(0,Т) = 1г N0Я(0) + Е 1Г[(А - Ке (к)5)#(к)(А - Ке(к)5)т +

к=0

к

(149)

+Е А,М(к) АТ + Е А,Х(к)хт(к) АТ + б + Ке (к)УК] (к)]Я(к +1).

,=1 ,=1

Используя правила дифференцирования функции след 1т от произведения матриц [1, 70] и приравнивая частную производную нулю (см формулы (1.14), (1.15)) получим уравнение:

т

= + ^-Е 1Г[( А - К. (к ) N (к)(А - К. (к) 5 )т +

оК„ як як _л

~е ~"е ~"е к=0

к к

+ Е А,N (к) А, + Е А,х(к) хт(к) А, + б + Ке (к )УКеТ (к )]Я(к +1) =

,=1 ,=1

т Я

= Е^ 1г[AN(к)Ат - AN(к)5тКТ(к) -Ке(к)^(к)Ат +

к=0 ЯКе

+ Ке (к(к)5тКет(к) + ЕЕ АД(к) А,т + ЕЕ А,х(к)хТ) Ат +

,=1 ,=1

т

(1.50)

+

+ б + Ке(к)УК](к)]Д(к +1) = Е[-AN(к)5т - AN(к)51

к=0

+К (к(к)5т + Ке (к)SN(к)5т + К (к)У +К (к)У ] Щ +1) = 0.

т

Также учитывая, что матрица Я(к) не вырождена, получим выражение для матрицы коэффициентов передачи экстраполятора Ке(к):

Ке + Ке (^Г - ЛN(k)Sт — 0 (1.51)

Выражая из (1.51) матрицу Ке(к) получим формулу (1.47). Теорема доказана.

1.3.2 Определение оценок экстраполяции вектора состояния (стационарный

случай)

Оптимизируемый критерий в этом случае будет (1.19). Дополнительно будем предполагать, что пара матриц А, В управляема и существует управление в форме обратной связи, зависящей от х(k), которое осуществляет слежение за некоторым постоянным вектором г. Тогда матрица коэффициентов передачи экстраполятора также будет постоянной и может быть вычислена по формуле

К — ЛШТ(8ШТ + V)-1, (1.52)

где матрица N определяется из решения матричного алгебраического уравнения:

N — (Л - К8)N(Л - К8)т + Х^Л] + XЛ5^тл; + е + К/К ет. (1.53)

5—1 5—1

Если решение уравнения (1.53) существует, N > 0, а также, в силу того, что

к к

матрица X Л^Л] +X Л22ТЛ] + е + КеУКет положительно определена, следует

5—1 5—1

устойчивость матрицы динамики экстраполятора (А - Ке5), так как в этом случае будет выполнено условие устойчивости по Ляпунову для дискретных систем (в виде матричного неравенства):

(Л - К8)N(Л - К8)т - N < 0. (1.54)

1.3.3. Определение оценок неизвестного входа в задаче экстраполяции

Оценивание неизвестного входа осуществляется с помощью алгоритмов МНК на основе минимизации критерия:

I —

XX {|| у(г) - 8х(г )|| ^ +| г (г )|| ^ I

г —1

(1.55)

где Ц^ > О, Ж2 > 0 - весовые матрицы, х(?) = Ах(( -1) + Ви(( -1) + г(( -1). Построенные с использованием методов математической индукции, оценки неизвестного входа примут вид:

г^м)^) — (8 + Ж )-18 ТЩ [ у(1) - 8 (Лх^ -1) + Ви^ -1))]. (1.56) Оценка неизвестного входа, использующая дополнительное непараметрическое сглаживание, определим по формуле:

Г N^>(k) — (8Ж + Ж )-18 ТЩ О,

А

где--ая компонента вектора О^) имеет вид:

(1.57)

X[у(0 - 8(Лх(1 -1) + Ви(г -1)])р

о, ^)

г—1

г£ - г + 1Л

П3 у

X с

г—1

k - г +1

v пз у

(1.58)

В соотношении (1.58), G(•) является ядерной функцией и ц - коэффициент размытости.

Совместно с непараметрическим сглаживанием можно использовать скользящий интервал наблюдения данных (Т):

X [у(г) - 8(Лх(г -1) + Ви(г -1)]]в

г£ - г + 1Л

о (k) —

п

3_у

X с

г—k-Т5 -1

г k - г + 1Л

п

(1.59)

з у

Также можно использовать оценки вектора неизвестного входа, построенные на основе метода скользящего среднего:

(k) — (8 Ж + Ж )-18 Ж О, (1.60)

к

где --ая компонента вектора о, которую вычислим по формуле:

П,(*) = £ —--(1 61)

г=к-тз-1 тз

Для задачи экстраполяции в дискретных системах с неизвестным входом в модели объекта и в канале наблюдения дополнительно рассматривается задача минимизации критерия:

3г(л(к)) = Е{||уС^)-Яад)||Ж +||Л(0 & }, (1.62)

г=1 1 2

где Щ > 0, Ж, > 0 - весовые матрицы.

Оценка Л определяется минимизацией критерия (1.62). В результате получим формулу:

Л(£) = (Ят Щнг + Ж,)-1 Нт Щ [у(к) - 5ЗД]. □ □ □ □ (1.63)

Отметим, что оценку вектора состояния системы необходимо определять по формулам:

х(к +1) = Ах(к) + Ви(к) + г(к) + Ке (к )[у (к) - 5х(к) - НЛ(к)]. (1.64) Для повышения качества оценивания в формуле (1.63), также, как и в предыдущем параграфе, можно использовать дополнительное сглаживание. Оценки на основе скользящего среднего будут иметь вид:

1 т,-1

Л<м(к) = т Е Л(к - ')• (1.65)

, ¿-О

Оценки, построенные с использованием метода непараметрического сглаживания со скользящим интервалом, примут следующий вид:

к - г +1

к Г,

Е Л(о,°

v ^ у

лР (к) = ^-, 4 У • (1.66)

^ I к - г +1

Е о-

г=к-т,-1 V ^ У

Здесь G(•) является ядерной функцией и ц,- - коэффициент размытости.

Замечание 1.3 По аналогии с замечанием 1.1, при отсутствии в модели (1.3) неизвестных параметров, необходимо учесть матрицу влияния неизвестных

входов Н, в этом случае оценки неизвестных входов (1.56), (1.57), (1.60) примут вид:

/< ^^) — [8Т Н ТЖН8 + Ж ]-18Т Н ТЖ [ у^) - 8 (Лх^ -1) + Ви ^ -1))].

/(—[8т н +ж ]-18 тн тж О,

}{т) (k) — [8 ТН + Ж ]-18 ТН ТЖ О,

(1.67)

(1.68) (1.69)

1.4 Результаты численных расчетов главы 1

Пример 1.1 Моделирование алгоритма экстраполяции в дискретных системах с мультипликативными возмущениями, неизвестным входом и неизвестными параметрами проведено для трех вариантов вычисления оценок вектора неизвестного входа (формулы (1.56), (1.57), (1.60)).

Моделирование выполнено для следующих исходных данных:

' 0,85 0,1 ^ (10^ ( 0,01 -0,0015^ ( 0,01 0,004Л , В — , Л —

-0,05 0,94, , 0 1 , 1 ,0,003 0,01

Л—

АЛ

0,1 0 ^,05 0,1у

АВ

'0,1 -0,03 ^ (0,03

, е—

, Л2 —

V-0,002 0,01 У

8 —

1 0

V0 1У

V —

0,06

V

0

0

0,1

У

V 0 0,04У

0 ^ (1 0Л , н

V0 1У

V 0 0,02У

, Ж —

0,1 0 V 0 0,1у

Я —

0,1 0 V 0 0,15у

, Ж —

10

V0 1У

и ( k )

(0,1 -0,1)Т, если k е [1;30],

(0,2 0,1)Т, если k е [31;75],

(0 0)Т, если k е [76;126],

(0,1 -0,1)Т, если k е [127;184],

(0,2 0,1)Т, если k е [185;200].

В (1.63) использовалась ядерная функция гауссовского вида:

exp

( 2 Л -и

О (и)

V 2 У

(1.70)

Результаты моделирования представлены на рисунках 1.1-1.4 и в таблицах 1.1, 1.2. На рисунках 1.1 и 1.2 приведены графики компонент вектора состояния х и оценок вектора состояния, полученные с использованием алгоритмов МНК х(ьш), модифицированного МНК с использованием непараметрического сглаживания , модифицированного МНК с использованием метода

скользящего среднего .

I I I

21_I_._._

О 50 100 150 к

(х - линия 1; X- линия 2, - линия 3, - линия 4) Рисунок 1.1 - Графики первой компоненты вектора состояния х и её оценок

_I_I_I_

0 50 100 150 к

ft 1 "(LSM) _ *(NP) 0 ^(SM)

((х - линия 1, x - линия 2, x - линия 3, x - линия 4) Рисунок 1.2 - Графики второй компоненты вектора состояния х и её оценок

В таблице 1.1 приведены результаты сравнения среднеквадратических ошибок отклонений оценок вектора состояния для алгоритмов МНК и модифицированного МНК, использующего процедуру скользящего среднего и алгоритм непараметрического сглаживания для оценки неизвестного входа. Расчет среднеквадратических ошибок оценивания выполнялся по формулам:

ст

X ,1

1

N

X (X. (к) - X, (к ))2

к=1

1

N

X (г (к) - г (к))2 _

- (1 = 1,2). (1.71)

к=1

N -1

N -1

При построении таблиц 1.1 и 1.2 выполнялось усреднение по 100 реализациям.

Таблица 1.1 - Среднеквадратические ошибки оценок вектора состояния (ох,г)

Номер компоненты г МНК МНК и скользящее среднее МНК и непараметрическое сглаживание

1 0,732 0,527 0,294

2 0,821 0,425 0,268

Результаты моделирования оценок неизвестного входа полученных с использованием алгоритмов МНК , модифицированного МНК с

использованием непараметрического сглаживания г, модифицированного МНК с использованием метода скользящего среднего г ' различными методами приведены на рисунке 1.3 и 1.4.

-2-1-1-1-

О 50 100 150 к

(r - линия 1, fLsM - линия 2, ГNp - линия 3, r^M - линия 4) Рисунок 1.3 - Графики первой компоненты вектора неизвестного входа r и её

оценок

0 50 100 150 к

(г - линия 1, - линия 2, Г- линия 3, ГМ - линия 4) Рисунок 1.4 - Графики второй компоненты вектора неизвестного входа г и её

оценок

В таблице 1.2 показаны среднеквадратические ошибки отклонений оценок неизвестного входа.

Таблица 1.2 - Среднеквадратические ошибки оценок г(к) (ог,г)

Номер компоненты г МНК МНК и скользящее среднее МНК и непараметрическое сглаживание

1 0,712 0,454 0,293

2 0,763 0,302 0,099

Из таблиц 1.1 и 1.2 видно, что применение для оценок неизвестного входа МНК с дополнительным сглаживанием с помощью алгоритмов скользящего среднего и непараметрического сглаживания, позволяет уменьшить среднеквадратические ошибки оценок экстраполяции вектора состояния и среднеквадратические ошибки оценок вектора неизвестного входа.

Пример 1.2 Рассматривается алгоритм фильтрации для линейной дискретной системы с мультипликативными возмущениями и неизвестным входом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ким Константин Станиславович, 2021 год

Список литературы

1. Амосов А.А. Скалярно-матричное дифференцирование и его применение к конструктивным задачам теории связи / А.А. Амосов, В.В. Колпаков // Проблемы передачи информации. - 1972. - № 1. - С. 3-15.

2. Белявский Г.И. Фильтрация сигналов со скачками, возникающими в дискретном времени и с конечным горизонтом / Г.И. Белявский, И.В. Мисюра // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. - 2014. - № 2(194). - С. 137-144.

3. Бодянский Е.В. Локально-оптимальное псевдодуальное управление объектами с неизвестными параметрами / Е.В. Бодянский, М.Д. Борячок // Автоматика и телемеханика. - 1992. - № 2. - С. 90-97.

4. Бокс Д. Анализ временных рядов. Прогнозирование и управление / Д. Бокс, Г. Дженкинс. - Мир, 1974. - 197 с.

5. Браммер К. Фильтр Калмана-Бьюси / К. Браммер, Г. Зиффлинг. - М.: Наука, 1972. - 200 с.

6. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом / В.Н. Буков. - М.: Наука, 1987. - 232 с.

7. Воробейчиков С.Э. Об обнаружении разладки в линейной стохастической системе по зашумленным наблюдениям / С.Э. Воробейчиков, В.В. Конев // Проблемы передачи информации. - 1992. - Т. 28, № 3. - С.68-75.

8. Востриков А.С. Синтез нелинейных систем методом локализации / А.С. Востриков. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 1990. - 120 с.

9. Дегтярев Г.Л. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления летательными аппаратами / Г.Л. Дегтярев, И.С. Ризаев. - М.: Машиностроение, 1991. - 304 с.

10. Домбровский В.В. Прогнозирующее управление системами с марковскими скачками и авторегрессионным мультипликативным шумом с марковским переключением режимов / В.В. Домбровский, Т.Ю. Пашинская //

Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2018. - № 44. - С. 4-9.

11. Казаков И.Е. Оптимизация управления в нелинейной стохастической системе по локальному критерию // Изв. РАН Теория и системы управления. -1996. - № 6. - C. 102-109.

12. Калинин Н.М. Управление многопродуктовыми запасами в условиях постоянного и случайного спроса / Н.М. Калинин, Е.Н. Хоботов // Сб. тр. ИСА РАН «Динамика неоднородных структур». - 2008. - Т. 33, № 12. - С. 185-199.

13. Кельманс Г.К. Локально-оптимальное управление объектами с неизвестными параметрами / Г.К. Кельманс, А.С. Позняк, А.В. Черницер // Автоматика и телемеханика. - 1982. - № 10. - C. 80-95.

14. Ким К.С. Фильтрация и диагностика в дискретных стохастических системах со скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями / К.С. Ким, В.И. Смагин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2020. -№ 51. - С. 79-86.

15. Ким К.С. Экстраполяция в дискретных системах с мультипликативными возмущениями при неполной информации / К.С. Ким, В.И. Смагин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2019. - № 47. - С. 49-57.

16. Ким К.С. Фильтрация в дискретных системах со случайными скачкообразными параметрами и неизвестным входом / К.С. Ким, В.И. Смагин // Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем : материалы VII Международной молодежной научной конференции. Томск, 23-25 мая 2019 г. - Томск, 2019. - С. 79-85.

17. Ким К.С. Робастная экстраполяция в дискретных системах со случайными скачкообразными параметрами и неизвестным входом / К.С. Ким, В.И. Смагин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2018. - № 44. - С. 31-39.

18. Ким К.С. Синтез нестационарного экстраполятора для дискретных моделей с марковскими скачкообразными параметрами / К.С. Ким, В.И. Смагин //

Информационные технологии и математическое моделирование : материалы XVII Международной конференции имени А.Ф.Терпугова. Томск, 10-15 сентября 2018 г. - Томск, 2018. - С. 388-394.

19. Ким К.С. Робастная экстраполяция в дискретных системах со случайными скачками с двумя состояниями / К.С. Ким, В.И. Смагин // Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем : материалы VI Международной молодежной научной конференции. Томск, 24-26 мая 2018 г. - Томск, 2018. - С. 211-216.

20. Ким К.С. Рекуррентное прогнозирование в дискретных системах со случайными скачкообразными параметрами с двумя состояниями и неизвестным входом / К.С. Ким, В.И. Смагин // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : материалы Двенадцатой конференции с международным участием. Горно-Алтайск, 04-08 июня 2018 г. - Горно-Алтайск, 2018. - С. 112-113.

21. Ким К.С. Локально-оптимальное управление дискретными системами с запаздыванием в канале управления при неполной информации о состоянии и возмущениях / К.С. Ким, В.И. Смагин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2016. - № 34. - С. 11-17.

22. Ким К.С. Управление дискретными системами с запаздыванием при неполной информации о модели возмущений / К.С. Ким, В.И. Смагин // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2015. - Т. 58, № 11-12. - С. 31-36.

23. Коган М.М. Адаптивное локально-оптимальное управление / М.М. Коган, Ю.И. Неймарк // Автоматика и телемеханика. - 1987. - № 8. - С. 126-136.

24. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР, Серия математическая. - 1941. - Т. 5, № 1 - С. 3-14.

25. Красовский А.А. Системы автоматического управления летательных аппаратов / А.А. Красовский, Ю.А. Вавилов, А.И. Сучков // ВВИА им. Жуковского. - 1985. - 476 с.

26. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Крассовского. - М.: Наука, 1987. - 712 с.

27. Красовский Н.Н. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами / Н.Н. Красовский, Э.А. Лидский // Автоматика и телемеханика. - 1961. - № 11. - С. 1273-1278.

28. Ланкастер П. Теория матриц / П. Ланкастер. - М.: «Наука», 1973. -

280 с.

29. Липцер Р.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука». - 1974. - 696 с.

30. Ломакина С.С. Робастная фильтрация в непрерывных системах со случайными скачкообразными параметрами / С.С. Ломакина, В.И. Смагин // Вестник Томского государственного университета. - 2003. - № 280. - С. 201-203.

31. Ломакина С.С. Робастная фильтрация для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами и вырожденными шумами в наблюдениях / С.С. Ломакина, В.И. Смагин // Автометрия. - 2005. -Т. 41, № 2. -С. 36-43.

32. Ломакина С.С. Следящие системы управления для объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями, зависящими от состояния и управления / С.С. Ломакина,

B.И. Смагин // Вестник Томского государственного университета. - 2004. - № 284. - С. 153-157.

33. Ломакина С.С. Робастная фильтрация в непрерывных системах со случайными параметрами и мультипликативными возмущениями /

C.С. Ломакина, В.И. Смагин // Электронные средства и системы управления : материалы Международной научно-практической конференции. - Томск: Изд-во Института оптики атмосферы СО РАН, 2004. - С. 159-161.

34. Ломакина С.С. Робастные следящие системы с фильтром для объектов со случайными скачкообразными параметрами / С.С. Ломакина, В.И. Смагин // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 2, № 11. -С.363-364.

35. Лотоцкий В.А. Управление запасами при частично наблюдаемом спросе // Статистические методы теории управления. - М.: Наука, 1978. - С. 222224.

36. Лотоцкий В.А. Модели и методы управления запасами / В.А. Лотоцкий, А.С. Мандель. - М.: Наука, 1991. - 189 с.

37. Мирошник И.В. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами / И.В. Мирошник, В.О. Никифоров, А.Л. Фрадков. -Спб.: Наука, 2000. -549 с.

38. Пакшин П.В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой / П.В. Пакшин. - М.: Наука, 1994. - 303 с.

39. Пакшин П.В. Оптимальное линенйное управление дискретынми объектами при случайном скачкообразном изменении их параметров // Проблемы управления и теории информации. - 1982. - № 3. - С. 179-193.

40. Пакшин П.В. Синтез робастного управления в гибридных стохастических системах со скачкообразными изменениями вектора состояния // П.В. Пакшин, Д.М. Ретинский // Нелинейное моделирование и управление: материалы международного семинара. - Самара, 2000. - С. 87-88.

41. Параев Ю.И. Решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2000. - № 2. -С. 103-107.

42. Параев Ю.И. Уравнения Ляпунова и Риккати / Ю.И. Параев. - Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1989. - 168 с.

43. Параев Ю.И. Двухкритериальная задача оптимального производства и сбыта товара // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2003. - № 1. - С. 138141.

44. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации / Ю.И. Параев. - М.: Сов.радио, 1976. - 184 с.

45. Параев Ю.И. Алгебраические методы в теории линейных систем управления / Ю.И. Параев. - Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1980. - 140с.

46. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством / А.А. Первозванский. - М.: Наука, 1975. - 616 с.

47. Перепелкин Е.А. Прогнозирующее управление экономической системой производства, хранения и поставок товара потребителям // Экономика и математические методы. - 2004. - Т. 40, № 1. - С 125-128.

48. Перепелкин Е.А. Робастный наблюдатель состояния неоднородной цепи Маркова с непрерывным временем // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2021. - № 54. - С. 74-79.

49. Поляк Б.Т. Робастная устойчивость и управление / Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков. - Москва, 2002. - 273 с.

50. Приступа М.Ю. Прогнозирующее управление дискретными системами с неизвестным входом и его применение к задаче управления экономическим объектом / М.Ю. Приступа, В.И. Смагин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2012. - № 1(18). - С. 5-15.

51. Пугачев В.С. Стохастические дифференциальные системы / В.С. Пугачев, И.Н. Синицин. - М.: Наука, 1990. - 630 с.

52. Симон Г.А. О применении теории следящих систем для изучения процессов регулирования производства / ред. В.Я. Фридман, Л.П. Якименко // Процессы регулирования в моделях экономических систем: Сб. статей. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1961. - 290 с.

53. Смагин В.И. Применение методов непараметрической статистики в задаче управления дискретными системами / В.И. Смагин, Г.М. Кошкин, К.С. Ким // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : материалы 11-й Международной конференции. Томск, 06-10 июня. 2016 г. - Томск, 2016. - С. 99-100.

54. Смагин В.И. Адаптивное управление запасами с учетом ограничений и транспортных запаздываний / В.И. Смагин, С.В. Смагин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2008. - № 3 (4). - С. 19-26.

55. Смагин В.И. Оценивание состояний линейных дискретных систем при неизвестном входе с использованием компенсаций // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2014. - Т. 57, № 5. - С. 104-110.

56. Смагин В.И. Оценивание состояний нестационарных дискретных систем при неизвестном входе с использованием компенсаций // Изв. вузов Физика. - 2015. - Т. 58, № 7. - С. 122-127.

57. Смагин В.И. Прогнозирование состояний дискретных систем при неизвестных входах с использованием компенсаций // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2016. - Т. 59, № 9. - С.162-167.

58. Смагин В.И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериям / В.И. Смагин, Ю.И. Параев. - Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1996. -

171 с.

59. Смагин В.И. Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах с неизвестными возмущениями / В.И. Смагин, С.В. Смагин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 3 (16). - С. 43-50.

60. Смагин В.И. Синтез следящих систем управления для объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями / В.И. Смагин, Е.В. Поползухина // Вестник Томского государственного университета. - 2000. - № 271. - С. 171-174.

61. Смагин В.И. Робастные следящие регуляторы для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями / В.И. Смагин, С.С. Ломакина // Автоматика и вычислительная техника. -2004. - № 4. - С. 31-43.

62. Смагин С.В. Фильтрация в линейных дискретных системах с неизвестными возмущениями // Автометрия. - 2009. - Т. 45. - № 6. - С. 29-37.

63. Уонем М. Линейные многомерные системы управления / М. Уонем. -М.: Наука, 1980. -376 с.

64. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация / В.Н. Фомин. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 288 с.

65. Фомин В.Н. Адаптивное управление динамическими объектами / В.Н. Фомин, Ф.Л. Фрадков, В.А. Якубович. - М.: Наука, 1980. - 480 с.

66. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах / А.Л. Фрадков. - М.: Наука, 1990. - 296 с.

67. Хоботов Е.Н. Задачи и методы управления многономенклатурными запасами в условиях производства продукции // Известия РАН. Теории и системы управления. - 2011. - № 6. - C. 221-232.

68. Abolhasani M. One-Step Prediction for Discrete Time-Varying Nonlinear Systems With Unknown Inputs and Correlated Noises / M. Abolhasani, M. Rahmani // IEEE Transactions On Signal Processing. - 2020. - Vol. 68. - P. 808-817.

69. Astrom K. System identification - A survey / K. Astrom, P. Eykhoff // Automatica. - 1971. - Vol. 7. - P.123-162.

70. Athans M. The matrix minimum principle // Inform. and Contr. - 1968. -Vol. 11. - P. 592-606.

71. Awad M. Efficient learning machines. Ch. 5. Hidden Markov Model / M. Awad, R. Khanna. - Apress open, 2015. - 248 p.

72. Bensoussan A. Estimation and control of dynamical systems // Springer International Publishing AG. - 2018. - 547 p.

73. Bessaoudi T. Robust state and fault estimation for non-linear stochastic systems with unknown disturbances: a multi-step delayed solution / T. Bessaoudi, F. Ben Hmida, C. -S. Hsieh // Iet Control Theory and Applications. - 2019. - Vol. 13, is. 16. - P. 2556-2570.

74. Bilmes J. A gentle tutorial of the EM algorithm and its application to parameter estimation for gaussian mixture and hidden markov models // Technical Report TR-97-021, ICSI. - 1997. - P. 1-13.

75. Blair W.P. Feedback-control of a class of linear discrete systems with jump parameters and quadratic cost criteria / W.P. Blair, D.D. Sworder // Int. J. of Control. -1975. - Vol. 21, is. 5. - P. 833-841.

76. Boukas E.K. Guaranteed cost control for discrete-time markovian jump linear system with mode-dependent time-delays / E.K. Boukas, Z.K. Liu // Proceedings

of the 41st IEEE Conference on Decision and Control. Las Vegas, Nevada USA, December 2002. - Las Vegas, 2002. - P. 3794-3798.

77. Cajueiro D.O. Stochastic optimal control of jumping Markov parameter processes with applications to finance // Ph.D. Thesis, Instituto Tecnologico de Aeronautica-ITA. Brazil. - 2002. - 125 p.

78. Carvalho L.D.P. Robust fault detection Hm filter for Markovian jump linear systems with partial information on the jump parameter / L.D.P. Carvalho, A.M. De Oliveira, O.L.D. Valle Costa // IFAC-PapersOnLine. - 2018. - Vol. 51, is. 25. -P. 202-207.

79. Chen J. Optimal filtering and robust fault diagnosis of stochastic systems with unknown disturbances / J. Chen, R.J. Patton // IEE Proc. Control Theory Appl. -1996. - Vol. 143. - P. 31-36.

80. Conte P. Inventory control by model predictive control methods / P. Conte, P. Pennesi // IFAC Proceedings. -2005. - Vol. 38, is. 1. - P. 85-90.

81. Costa E.F. Linear minimum mean square filters for Markov jump linear systems / E.F. Costa, B. De Saporta // IEEE Trans. On Automatic Control. - 2017. -Vol. 62, is. 7. - P. 3567-3572.

82. Costa O.L.V. Stationary filter for linear minimum mean square error estimator of discrete-time Markovian jump systems / O.L.V. Costa, S. Guerra // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - Vol. 47. - P. 1351-1356.

83. Costa O.L.V. Robust mode-independent filtering for discrete-time Markov jump linear systems with multiplicative noises / O.L.V. Costa, G.R.A.M. Benites // Int. J. of Control. - 2013. - Vol. 86, is.5. - P. 779-793.

84. Costa O.L.V. Continuous-time markov jump linear systems / O.L.V. Costa, M.D. Fragoso M.G. Todorov. - Springer, 2013. - 295 p.

85. Costa O.L.V. Discrete-time markovian jump linear systems / O.L.V. Costa, M.D. Fragoso R.P. Marques. - Springer-Verlag, New York, 2005. - 286 p.

86. Cui BB. Unbiased steady minimum-variance estimation for systems with measurement-delay and unknown inputs / BB. Cui, XM. Song, XY. Liu // Applied Mathematics and Computation. - 2019. - Vol. 356. - P. 379-391.

87. Darouach M. Unbiased minimum variance estimation for systems with unknown exogenous inputs / M. Darouach, M. Zasadzinski // Automatica. - 1997. -Vol. 33. - P. 717-719.

88. Darouach M. Full-order observers for linear systems with unknown inputs / M. Darouach, M. Zasadzinski, S. J. Xu // IEEE Trans. on Automat. Contr. - 1999. -Vol. AC-39(3). - P. 606-609.

89. De Oliveira A. M. H-2-Filtering for discrete-time hidden Markov jump systems / A. M. De Oliveira, O.L.V. Costa // Int. Journal of Control. - 2017. - Vol. 90, is. 3. - P. 599-615.

90. Dobrovidov A. Non-Parametric State Space Models / A. Dobrovidov, G. Koshkin, V. Vasiliev. Heber, UT 84032, USA. - Kendrick Press, Inc, 2012. - 520p.

91. Dogadova T.V. Adaptive prediction of non-gaussian ornstein-uhlenbeck process / T.V. Dogadova, V.A. Vasiliev // Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. - 2018. -Vol. 43. - P. 26-32.

92. Dombrovskij V.V. Design of model predictive control for constrained Markov jump linear systems with multiplicative noises and online portfolio selection / V.V. Dombrovskij, T.Y. Pashinskaya // Int. J. Robust Nonlinear Control. - 2020. - Vol. 30, is. 3. - P. 1050-1070.

93. Donnet S. EM algorithm coupled with particle filter for maximum likelihood parameter estimation of stochastic differential mixed-effects models / S. Donnet, A. Samson // Hal archives-ouvertes. - 2011. - P. 1-28.

94. Gagliardi G. Fault detection and isolation filter design method for Markov jump linear parameter varying systems / G. Gagliardi, A. Casavola, D.A. Famularo // Int. Journal of Adaptive Control and Signal. Processing. - 2012. - Vol. 26, is. 3/SI. -P. 241-257.

95. Geng H. State estimation for asynchronous sensor systems with Markov jumps and multiplicative noises / H. Geng, Z. Wang, Y. Liang et al. // Information

Sciences. - 2017. - Vol. 417. - P. 1-19.

96. Germani A. Linear filtering for bilinear stochastic differential systems with

unknown inputs / A. Germani, C. Manes, P. Palumbo // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - Vol. 47. - P. 1726-1730.

97. Gillijns S. Unbiased minimum-variance input and state estimation for linear discrete-time systems / S. Gillijns, B. Moor // Automatica. - 2007. - Vol. 43. -P. 111-116.

98. Gomes M.J.F. On the stability of the recursive Kalman filter with Markov jump parameters / M.J.F. Gomes, E.F. Costa // Proceeding 2010 American Control Conference Marriott Waterfront. - Baltimore, 2010. - P. 4159-4163.

99. Gray W.S. Stability analysis of digital linear flight controllers subject to electromagnetic disturbances / W.S. Gray, O.R. González, M. Dogan // IEEE Aerosp. Electron. Syst. Mag. - 2000. - Vol. 36. - P. 1204-1218.

100. Hewer G.A. Analysis of a matrix Riccati equation of linear control and Kalman filtering // J. Math. Anal. Appl. - 1973. №. 12. - P. 226-236.

101. Hou M. Optimal filtering for systems with unknown inputs / M. Hou, R. Patton // IEEE Trans. on Automat. Contr. - 1998. - Vol. AC-43. - P. 445-449.

102. Hsien C-S. On the optimality of two-stage Kalman filter for systems with unknown input // Asian Journal of Control. - 2010. - Vol. 12. - P. 510-523.

103. Janczak D. State estimation of linear dynamic system with unknown input and uncertain observation using dynamic programming / D. Janczak, Yu. Grishin // Control and Cybernetics. - 2006. - № 4. - P. 851-862.

104. Kalman R.E. A new results in linear filtering and prediction theory / R.E. Kalman, R. Busy // Trans. ASME J. Basic Engr. -1961. - Vol.83. - P. 95-108.

105. Kim K.S. Filtering in discrete systems with multiplicative perturbations and unknown input / K.S. Kim, V.I. Smagin // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. Krasnoyarsk Science and Technology City Hall of the Russian Union of Scientific and Engineering Associations. - 2020. - P. 42053.

106. Kim K.S Robust Filtering for Discrete Systems with Unknown Inputs and Jump Parameters / K.S. Kim, V.I. Smagin // Automatic Control and Computer Sciences. - 2020. - Vol. 54, is. 1. - P. 1-9.

107. Kim K.S. Filtering and identification of Markov jump discrete time systems using filter with unknown input / K.S. Kim, V. I. Smagin // Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - Vol. 1680(1), - P. 012020

108. Kim K.S. Identification of discrete time systems with random jump parameters and incomplete information / K.S. Kim, V.I. Smagin // Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. - 2021. - №54. - P. 48-56.

109. Kogan M.M. On the optimality of locally optimal solutions of linear-quadratic problems of control and filtering / M.M. Kogan and Y.I. Neimark // Automation and Remote Control. - 1992. - Vol. 53, is. 4. -P. 561-569.

110. Konev V.V. Quickest detection of parameter changes in stochastic regression: nonparametric CUSUM / V.V. Konev, S.E. Vorobeychikov // IEEE Transactions on Information Theory. - 2017. - Vol. 63, is. 9. - P. 5588-5602.

111. Kong H. Filtering for systems subject to unknown inputs without a priori initial information / H. Kong, M. Shan, D. Su, Y. Qiao, A. Al-Azzawi, S. Sukkarieh // Automatica. - 2020. - Vol. 120. - P. 109-122.

112. Koshkin G.M. Filtering and prediction for discrete systems with unknown input using nonparametric algorithms/ G.M. Koshkin, V.I. Smagin // Proceedings 10th International Conference on Digital Technologies. Zilina, Slovakia. July 09-11. -Zilina, 2014. - P. 120-124.

113. Koshkin G.M. Kalman filtering and forecasting algorithms use of nonparametric function estimators / G.M. Koshkin, V.I. Smagin, eds. R.Cao et al. // Springer proceeding in Mathematical Statistics. - 2016. - Vol. 175. - P. 75-84.

114. Li F. Control and filtering for semi-markovian jump systems / F. Li, P. Shi, L. Wu. - New York: Springer, 2016. - 208 p.

115. Li L. Decentralized robust control of uncertain Markov jump parameter systems via output feedback / L. Li, V.A. Ugrinovskii, R. Orsi // Automatica. - 2007. -Vol. 43. - P. 1932-1944.

116. Li Y. H-infinity fault detection filter design for discrete-time nonlinear Markovian jump systems with missing measurements / Y. Li, H.R. Karimi, D. Zhao and etc. // European J. of Control. - 2018. - Vol. 44/SI. - P. 27-39.

117. Li X. H<x> and H2 filtering for linear systems with uncertain Markov transitions / X. Li, J. Lam , H. Gao , J. Xiong // Automatica. - 2016. - Vol. 67. -P. 252-266.

118. Liu W. On State Estimation of Discrete-Time Linear Systems with Multiplicative Noises and Markov Jumps // 32nd Chinese Control Conference. Xian, China, July 26-28, 2013. - Xian, 2013. - P. 3744-3749.

119. Mahmoud S. Optimal guaranteed cost filtering for markovian jump discrete-time systems / S. Mahmoud, P. Shi // Mathematical Problems in Engineering. -2004. №. 1. - P. 33-48.

120. Mariton M. Jump linear systems in automatic control. - New York: Marcel Dekker, 1990. - 320 p.

121. McLane P.J. Optimal linear filtering for linear systems with state-dependent noise // Int. J. Contr. - 1969. - Vol. 10, №. 1. - P. 41-51.

122. Miller B.M. Kalman filtering for linear systems with coefficients driven by a hidden Markov jump process / B.M. Miller, W.J. Runggaldier // Systems and Control Letters. - 1997. - Vol. 31. - P. 93-102.

123. Mohanty N.C. Linear filtering in multiplicative noise / N.C. Mohanty, T.T. Soong // Information and Control. - 1977. - Vol. 34, is.2. - P. 141-147.

124. Oucheriah S. Robust tracking and model following of uncertain dynamic delay systems by memoryless linear controllers // IEEE Transactions on Automatic Control. -1999. - Vol. 44. - P. 1473-1477.

125. Ryden T. EM versus Markov chain Monte Carlo for estimation of hidden Markov models: a computational perspective. Bayesian Anal. - 2008. -Vol. 3(4). -P. 659-688.

126. Sales-Setien E. Markovian jump system approach for the estimation and adaptive diagnosis of decreased power generation in wind farms / E. Sales-Setien, I. Penarrocha-Alos // Iet Control Theory and Applications. - 2019. - Vol. 13, is. 18. - P. 3006-3018.

127. Shi P. Kalman filtering for continuous-time uncertain systems with Markovian jumping parameters / P. Shi, E.K. Boukas, R.K. Agarwal // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1999. - Vol. 44, is. 8. - P. 1592-1597.

128. Shi P. A survey on Markovian jump systems: Modeling and design / P. Shi, F. Li // Int. J. of Control, Automation and Systems. - 2015. - Vol. 13/1. - P. 1-16.

129. Smagin V.I. Robust extrapolation in discrete systems with random jump parameters and incomplete information / V.I. Smagin, G.M. Koshkin, K.S. Kim // Applied Methods of Statistical Analysis. Statistical Computation and Simulation -AMSA'2019 : Proceedings of the International Workshop. Russia, Novosibirsk. - 2019.

- P. 203-211.

130. Smagin V.I. Inventory control with time delays in deliveries using linear and quadratic criteria / V.I. Smagin, G.M. Koshkin, K.S. Kim // Proceedings of the IV International research conference information technologies in science, management, social sphere and medicine (ITSMSSM 2017). Russia, Tomsk, December, 2017. - 2017.

- P. 226-230.

131. Smagin V.I. Control for discrete delayed systems with unknown inputs and model parameters using nonparametric algorithms / V.I. Smagin, G.M. Koshkin, K.S. Kim // Proceedings of the international conference on information and digital technologies (IDT 2017). Slovakia, Zilina, July 05-07, 2017. - 2017. - P. 350-355.

132. Smagin V.I. Control strategies for discrete delayed systems with unknown input using nonparametric algorithms / V.I. Smagin, G.M. Koshkin, K.S. Kim // Proceedings of the international conference on information and digital technologies (IDT 2016). Poland, Rzeszov, July 05-07, 2016. - 2016. - P. 133-137.

133. Smagin V.I. Locally optimal inventory control with time delay in deliveries and incomplete information on demand / V.I. Smagin, G.M. Koshkin, K.S. Kim // Proceedings 2nd international symposium on stochastic models in reliability engineering, life science, and operations management (SMRLO 2016). Israel, Beer Sheva, Febrary, 2016. - 2016. - P. 570-574.

134. Smagin V. State estimation for linear discrete-time systems with unknown input using nonparametric technique / V. Smagin, G. Koshkin, V. Udod // Advances in Computer Science Research (ACSR). - 2015. - Vol. 18. - P. 675-677.

135. Smagin V.I. Kalman filtering and conrol algorithms for systems with unknown disturbances and parameters using nonparametric technique / V.I. Smagin, G.M. Koshkin // Proceedings 20th International conference on methods and models in

automation and robotics (MMAR 2015). Poland, Miedzyzdroje, August 24-27, 2015. -2015. - P. 247-251.

136. Smagin V.I. Robust Servocontrollers For Continuous-Time Systems With Random Jumping Parameters And Multiplicative Disturbances / V.I. Smagin, S.S. Lomakina // Automatic Control and Computer Sciences. - 2004. - Vol. 38, № 4. -P. 26-37.

137. Svensson L.E.O. Optimal monetary policy under uncertainty: a Markov jump linear-quadratic approach / L.E.O. Svensson, N. Williams // Federal Reserve of St. Louis Review. - 2008. - Vol. 90. - P 275-293.

138. Sworder D.D. Feedback control of a class of linear systems with jump parameters // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1969. - Vol. 14(1). - P. 9-14.

139. Terra M.H. Robust estimation for discrete-time Markovian jump linear systems / M.H. Terra, J.Y. Ishihara, G. Jesus, J.P. Cerri // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2013. - Vol. 58, № 8. - P. 2065-2071.

140. Ugrinovskii V.A. Decentralized control of power systems via robust control of uncertain Markov jump parameter systems / V.A. Ugrinovskii, H.R. Pota // Int. J. Control. - 2005. - Vol. 78. - P. 662-677.

141. Vorobeychikov S.E., Burkatovskaya Yu.B. Parameter estimation and change-point detection for process AR(P)/ARCH(Q) with unknown parameters // Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. - 2019. - № 46. - P. 40-48.

142. Wang J. Dissipativity-based state estimation for Markov jump discrete-time neural networks with unreliable communication links / J. Wang, F. Yao, H. Shen // Neurocomputing. - 2014. - Vol. 139/SI. - P. 107-113.

143. Wang H. An LMI approach to fault detection and isolation filter design for Markovian jump system with mode-dependent time-delays / H. Wang, C. Wang, H. Gao, L. Wu // Proceedings of the American Control Conference. Minneapolis, USA, June 14-16, 2006. - 2006. - P. 5686-5691.

144. Wiener N. Extrapolation, Interpolation and smoothing of stationary time series. - John. Wiley, 1949. - 163 p.

145. Witczak M. Fault diagnosis and fault-tolerant control strategies for nonlinear systems. Chapter 2. Unknown input observers and filters // Lecture Notes in Electrical Engineering. - Springer International Publishing, 2014. - P. 19-56.

146. Wonham W.M. Random differential equation in control theory, in probabilistic methods in applied mathematics // Bharucha-Reid, A.T., Ed. -New York: Academic Press, 1971. - P. 131-213.

147. Wu Y. Kalman filtering with multiplicative and additive noises / Y. Wu, Q. Zhang, Z. Shen // Proceedings 12th World Congress on Intelligent Control and Automation (WCICA). - 2016. - P. 483-487.

148. Xu S. Robust h® filtering for a class of nonlinear discrete-time markovian jump systems / S. Xu, T. Chen, J. Lam, M.A. Simaan // Journal of optimization theory and applications. - 2004. - Vol. 122, №. 3. - P. 651-668.

149. Yang Y. Recursive linear optimal filter for Markovian jump linear systems with multi-step correlated noises and multiplicative random parameters / Y. Yang, Y. Qin, Q. Pan, Y. Yang, Z. Li // Int. Journal of Systems Science. - 2019. - Vol. 50, №. 4. - P. 749-763.

150. Yao X. Fault detection filter design for Markovian jump singular systems with intermittent measurements / X. Yao, L. Wu, W.X. Zheng // IEEE Transactions on Signal Processing. - 2011. - Vol. 59/7. - P. 3099-3109.

151. Yong S.E. Simultaneous input and state estimation for linear discrete-time stochastic systems with direct feedthrough / S.E. Yong, M. Zhu, E. Frazzoli // 52nd IEEE Conference on Decision and Control. Florence, Italy, December 10-13, 2013. -2013. - P. 7034-7039.

152. Zhang H. Performance analysis of recoverable flight control systems using hybrid dynamical models / H. Zhang, W.S. Gray, O.R. Gonzalez // Proceedings American Control Conf. 2005 (ACC). Portland, USA, June 08-10, 2005. - 2005. -P. 2787-2792.

153. Zhao D. Network-based robust filtering for Markovian jump systems with incomplete transition probabilities / D. Zhao, Y. Liu, M. Liu, J. Yu, Y. Shi // Signal Process. - 2018. - Vol. 150. - P. 90-101.

154. Zhong M. Fault detection for Markovian jump systems / M. Zhong, H .Ye, P. Shi, G. Wang // IEE Proc. Control Theory and Applications. - 2005. - Vol. 152/4. -P. 397-402.

155. Zhong Q. Finite-time boundedness filtering for discrete-time Markovian jump system subject to partly unknown transition probabilities / Q. Zhong, J. Bai, B. Wen, S. Li, F. Zhong // ISA Transactions. - 2014. - Vol. 53, is. 4. - P. 1107-1118.

156. Zhu Y. HMM-based H-infinity filtering for discrete-time Markov jump LPV systems over unreliable communication channels / Y. Zhu, Z. Zhong, W.X. Zheng. and etc. // IEEE Transactions on Systems Man Cybernetics-Systems. - 2018. - Vol. 48, is. 12. - P. 2035-2046.

142

Приложение А

(справочное)

Акт о внедрении результатов кандидатской диссертации в учебный процесс НИ

ТГУ

«У Г В К Р Ж Д Л К)» Проректор по научной и инновационной деятельности П/У ! /' д ф -м н., профосвод А Б Ворожцов

Акт

о внедрении результатов кандидатской дисеср1ации Ким К.С. в учебный процесс III! ГГУ

Настоящим подтверждается, что результаты диссертации Ким КС. «Оценивание и управление в дискретных стохастических системах со случайными скачкообразными параметрами в условиях неполной информации» на соискание ученой степени кандидата технических наук но специальности 05 13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», используются в институте прикладной ма1ематики и компьютерных наук Томского государственного университета (ИПМКН ТГУ) в учебном процессе по дисциплине «Вероятностные модели логистики» для магистрантов, обучающихся по направлению «Прикладная матсмагика и информатика». В указанный лекционный курс включен раздел, который использует материалы 3-ей и 4-ой глав диссертации По теме 4-ой главы разработаны две лабораторные работы для магистрантов.

Директор ИПМКП ПИ ТГУ

д.т.н., доцент

Л В Замятин

Зав кафедрой прикладной математик д.т.н.. профессор

КН НИ ТГУ

ИМ/

Л М. I орцев

и И Аьдтнко