Осреднение процессов в периодических средах с периодами разных порядков в различных направлениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Якубенко, Татьяна Андреевна

• Якубенко, Татьяна Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Якубенко, Татьяна Андреевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЭФФЕКТИВНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОРИСТЫХ СРЕД С ПЕРИОДАМИ РАЗНЫХ ПОРЯДКОВ В РАЗЛИЧНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ

1.1. Эффективные коэффициенты двумерной пористой среды

1.1.1. Постановка задачи и описание структуры

1.1.2. Приближение к решению первой задачи

на ячейке

1.1.3. Приближение к решению второй задачи

на ячейке

1.1.4. Явные формулы для эффективных коэффициентов и оценка погрешности

1.2. Теорема о близости решений

1.3. Эффективные коэффициенты трехмерной структуры

1.3.1. Постановка задачи и описание структуры

1.3.2. Приближение к решению первой задачи

на ячейке

1.3.3. Приближение к решению второй задачи

на ячейке

1.3.4. Приближение к решению третьей задачи

на ячейке

1.3.5. Вывод формул для эффективных коэффициентов и оценка погрешности

1.4. Численное исследование

1.4.1. Описание численного метода решения задач на ячейке

1.4.2. Расчет эффективных коэффициентов теплопроводности пористой среды

1.4.3. Расчет эффективных коэффициентов для процессов, описываемых системой уравнений

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СГЛАЖИВАНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ С НЕГЛАДКИМИ ДАННЫМИ

2.1. Эффективные коэффициенты двумерной среды

с негладкими данными. Изотропный случай

2.1.1. Постановка задачи

2.1.2. Решение первой задачи на ячейке

2.1.3. Решение второй задачи на ячейке

2.1.4. Вычисление приближенных эффективных коэффициентов в явном виде и оценка погрешности полученных формул

2.2. Эффективные коэффициенты двумерной среды с негладкими данными. Анизотропный векторный случай

2.2.1. Решение первой задачи на ячейке

2.2.2. Решение второй задачи на ячейке

2.2.3. Вычисление приближенных эффективных коэффициентов в явном виде и оценка погрешности полученных формул

2.3. Теорема о близости решений

2.4. Оценка погрешности численного решения краевой задачи с пограничным слоем

2.4.1. Постановка задачи

2.4.2. Оценки

2.4.3. Оценка

2.4.4. Оценка

и - и\\н и ||щ - ик\\к

а

л

и-щ и — щ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Осреднение процессов в периодических средах с периодами разных порядков в различных направлениях»

ВВЕДЕНИЕ

В современной технике и науке широко применяются материалы, состоящие из многократно чередующихся объемов веществ с различными свойствами. Такие среды можно назвать микронеоднородными, имея в виду, что характерный размер не-однородностей много меньше линейного размера тела, но при этом гораздо больше размеров молекул. Примером микронеоднородных сред могут служить композиционные и пористые материалы. Композиты проявляют существенно новые свойства по сравнению со свойствами компонент.

Наличие периодической структуры существенно облегчает математическое исследование процессов в таких средах.

Как правило, физические процессы,, протекающие в микронеоднородных средах, могут быть описаны дифференциальными уравнениями в частных производных [24,37]. В связи с тем, что коэффициенты этих уравнений являются быстро осциллирующими, непосредственное численное решение задач практически невозможно или существенно затруднено, так как требуется слишком малый размер сетки и непомерно большой обьем вычислений. Это обстоятельство приводит к необходимости использования осредненного описания, при котором неоднородная среда замяняется некоторой эффективной однородной средой. Для вывода уравнений эффективной среды могут использоваться разные подходы. Иногда они постулируются на основе экспериментальных данных и физических гипотез о поведении среды (см. [13, 14, 16, 34]).

Наличие малого параметра е, представляющего собой отношение характерного размера неоднородности к линейному масштабу задачи позволяет применить для исследования асимптотические методы [27]. Этому посвящена созданная и широко развитая за последние десятилетия теория осреднения уравнений в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами (см., например, книги [3, 12, 31, 49, 51, 52, 53]). Согласно

этой теории, исходные уравнения могут быть заменены "осред-ненными" уравнениями с постоянными, либо медленно меняющимися эффективными коэффициентами. Решения исходной и осредненной задач оказываются близкими в некоторой норме.

В основе теории осреднения лежит метод введения двух масштабов и асимптотических разложений. Обычно полагается 1 = 1. На первом этапе такого алгоритма вводятся наряду с медленными переменными Х{ быстрые переменные эд = х^/е. Решение и задачи для исходных уравнений рассматривается как функция независимых переменных £ и ищется в виде асимптотического ряда

оо

и « £ £гщ(х,у,г) i=О

с коэффициентами, периодическими по уЭтот ряд подставляется в исходную систему уравнений и граничных условий. Из требования равенства нулю коэффициентов при степенях е получаются задачи для определения функций щ. Исследование и решение этих задач приводит к осредненному уравнению и формулам для его коэффициентов. Часто первый член разложения не зависит от быстрых переменных и является решением осредненного уравнения. Использование нескольких членов асимптотического разложения дает более полное представление о процессах, протекающих в микронеоднородных средах с периодической структурой. Для многих моделей метод осреднения строго обоснован, доказаны теоремы о существовании предельной функции и оценки близости решений исходных и осреднен-ных уравнений [1 - 3, 11, 25, 30, 32, 50, 53, и др.]

Определение эффективных коэффициентов, как правило, связано с численным решением так называемых задач на ячейке периодичности. В некоторых случаях удается получить точные или приближенные явные формулы для осредненных характеристик. В работах [6 - 9, 17, 18, 33, 36, 41 - 48, 54] существенным моментом при выводе формул оказывается наличие дополнительных малых параметров, кроме малого периода среды е. Многие биологические материалы , а также материалы,

используемые в технике, в частности, в строительстве, имеют вытянутую структуру [35]. Для периодического материала это означает, что период в одном направлении много больше, чем в других. Наличие большого параметра а;, равного отношению периодов среды, для ряда задач позволяет получить приближенные формулы для эффективных коэффициентов в явном виде. Это может оказаться существенно важным при конструировании материала с заданными свойствами и при решении задачи оптимизации свойств композиционного материала по каким-либо характеристикам, так как они помогают не только определить характеристики материала, но и понять их зависимость от других параметров.

Задачи осреднения процессов в средах с периодами разного порядка в различных направлениях рассматривались ранее в работах [47], [19]. Случай неоднородной среды с быстро осциллирующими бесконечно гладкими коэффициентами был рассмотрен в статье В.Ю.Дубинской [19]. В работе Н.С. Бахвалова и St. Jean Paulin [47] дан вывод явных формул для эффективных модулей для задачи теплопроводности в двумерной изотропной пористой среде с симметричными порами.

Настоящая работа посвящена выводу и строгому математическому обоснованию явных приближенных формул для эффективных коэффициентов трех типов сред вытянутой структуры: 1) двумерной анизотропной среды с вытянутыми (в отличие от [47]), не обязательно симметричными порами; 2) трехмерной структуры, состоящей из пластинок, соединенных сетью перемычек произвольного поперечного сечения; 3) произвольной периодической неоднородной среды с негладкими коэффициентами. Данные результаты, так же, как и результаты [47], [19], получены для процессов, описывающихся эллиптическим уравнением или эллиптической системой.

Для каждого случая в работе доказаны также оценки близости между решением исследуемой исходной задачи и решением осредненной задачи с эффективными коэффициентами, вычисленными по предлагаемым формулам. Эти оценки получены в

норме пространства £2(Се), где - область, в которой рассматривается задача.

В работе приводятся также результаты расчетов эффективных коэффициентов, определенных через численное решение задач на ячейке. Расчеты проводились для двумерной пористой среды с различными по форме порами и с различной "вытяну-тостью", то есть с различными величинами отношений периодов. Полученные результаты соответствуют значениям эффективных коэффициентов, найденным с помощью формул, выведенных в работе.

Было проведено также численное решение задач на ячейке для нахождения эффективных упругих модулей изотропной пористой среды. Полученные результаты указывают на применимость, выведенных в работе формул, хотя метод их получения для данного случая не является обоснованным.

Во второй главе диссертации при рассмотрении задач с негладкими данными существенно используется метод сглаживания. Переход к задаче с гладкими коэффициентами явился важным моментом при выводе явных формул для эффективных коэффициентов неоднородных периодических сред и их обосновании в случае, когда коэффициенты исходного уравнения были измеримыми функциями.

Метод сглаживания применен также при исследовании краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. Наличие пограничных слоев делает неэффективными традиционные сеточные методы решения с постоянным шагом интегрирования. В [4, 20] были предложены нетрадиционные методы решения таких задач. При этом оценка погрешности 0(А^-2) была получена в работе [4] при использовании неравномерной сетки, меняющейся от точки к точке. Позднее был предложен более простой метод [40] с оценкой погрешности 0(Л^~21п2Л^), где шаг интегрирования в отличие от [4] менялся только два раза вблизи от концов отрезка интегрирования. В данной работе получена равномерная по параметру оценка погрешности численного решения

задачи при малых требованиях на гладкость коэффициентов. В основе лежит метод, предложенный Н.С. Бахваловым в [4], и идея перехода к задаче с гладкими коэффициентами [5].

Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения; всего содержит 150 страниц, включая 3 рисунка и 3 таблицы.

Основное содержание работы.

Первая глава посвящена развитию асимптотических методов исследования процессов в микронеоднородных средах. Рассматриваются задачи для двумерной анизотропной среды, содержащей периодическую систему не обязательно симметричных пор, а также трехмерной среды специальной структуры. Для простоты изложения описывается скалярный случай. Однако, порядок сомножителей в различных произведениях берется таким, что результаты переносятся автоматически на векторный случай, если применить формализм, введенный в п.2.2 второй главы. При получении явных приближенных формул для эффективных коэффициентов таких сред используется методика, сходная с применяемой при исследовании задач для композиционных материалов с высокомодульной арматурой [3]. Выводятся и строго обосновываются явные приближенные формулы для эффективных коэффициентов данного материала в предположении, что период среды Е\ в направлении оси х\ много больше - периода среды в направлении оси £2^2 << £1 << 1- Доказываются оценки близости решений исходной и осредненной (с вычисленными по данным формулам коэффициентами) задач. Приводятся результаты численного исследования эффективных коэффициентов.

В п. 1.1 дается общая постановка задачи. Ячейка периодичности разбивается на подобласти единичного квадрата К\

К\ = {(2/1,2/2) : 0 < 2/1 < аь 0 < 2/2 < 1},

= {(2/1,2/2) '■ а1 < 2/1 < «2, 9-{у\) < 2/2 < 9+Ы)}, Къ = {(2/1,2/2) : а2 < 2/1 < 1 , 0 < 2/2 < 1}, Ко = иТСи

где 0 < аг < а2 < 1, функции д-(у{), д+{у\) <Е \УЦаиа2] и удовлетворяют соотношениям

О < д-Ы < 9+Ы) <

^-(ах) = д-{а 2) = 0, £+(а1) = = 1-

Предполагается, что Ко - Липшицева область. Вводятся обозначения

а2 г

р2 = / [(р!)2 + (д'+У) ¿к < оо, (в.1)

аг

П0 = {(2/1,2/2) : 3(пьп2) € Z2 такие,что (у1-пиу2-п2) Е

По = {(хих2) : {х1/еих2/е2) € П0}. Предполагается, что - ограниченная Липшицева область,

0£ = в ПП£0, 8£ = дв£\дО, Г е = дО\Б£

и что - также Липшицева.

Рассматривается краевая задача

Lu£ =

д

/

дхг

г \

А

%3 дх

/(*) в Ge

j.

(■и£ - Ф) |Ге = 0 ,

ди£

(В.2)

на Sf

Коэффициенты удовлетворяют условиям

Aij = Ат1г = const, 0 < Д <

г

{^з'Пу'Пг) (Vj^j

<(32<оо (В.З)

для векторов 771 и rj2 таких, что (777, rjj) > 0.

Для перехода к квадратной ячейке периодичности со стороной £i используется преобразование координат. Проводится осреднение уравнений согласно известной методике [3, 53]. При этом формально считается, что параметр lj — £\/s2 = const.

Выводятся задачи на ячейке и формулы для коэффициентов осредненного уравнения через их точные решения . Затем параметр оо "размораживается" и исследуется асимптотика решения задач на ячейке.

Приближение к решению первой задачи ищется в виде

М? «

1

Ml = Nu + -N:

Lü

12

Функции Иц и N12 находятся из следующих условий: 1) М\ удовлетворяет уравнению в каждой области К{ и граничному условию на границе поры с точностью до членов порядка о;0; 2) М\ — у\ является 1-периодичной функцией по каждой переменной; 3) выполняется условие непрерывности главных членов потока вдоль оси у\ и функции Иц на границах областей К\ и К2, К2 и В работе найден явный вид функций _ЛГц,

А^С*У1 + Ьг

Nu =

«1

g(t 1)

+ A71lC*a1 + bi в К2t

lAn1^!-1)4-1 + 6!

Г 0

N12 =

А-^А dNn

У2

где А

Ii

Ап - A12A221A2I, д = д+

9-

С* -

а2

Апа + А/ J "

а 1

dyi

д(у 1),

вК3, в КгиКз,

в К2,

а = 1 + ai

-1

«2,

Поскольку ТУ12 разрывна, то в дальнейшем проводится ее сглаживание, и рассматривается функция

M{ = Nn+X6

N-

12

Lü

Выбор константы Ь\ фиксируется условием — у\ < • > - обозначение среднего по периоду К.

Для Д1 = М( — М" доказывается неравенство

— 11 —

= 0, где

Л(ДЬ до = / ш^А^^у < Ст\ г =

к ОУ1 дуг

\

6 +

1

оАГ (В.4)

где С - константа, не зависящая от и и 6.

Приближение к решению второй задачи на ячейке ищется в виде

М2Ш « М2 = ^N20 + N21 . Построена функция

Мк

(У2 + ?ШУ1+Ь2 в Къ

^ (N11 + Хб— \ Вх + В2и; + 2/2(1 - Хб) + в К2, + - 1) + Ь2 в

Константа 62 выбирается из условия ^М— у2) = О,

Г = -А^А^ + ^(ГБь Вх = А^А^а, £2 = -А^А^ь Для Д2 = — получена оценка

Л(Д2,Д2) < Си2г2 . (В.5)

Си и

использованием вместо точных решении задач на ячейке М^ функций = 1,2) в формулах

4 =

найдены коэффициенты:

Ап = С*, А12 = СМП1 Л12 а, А21 = А^А^/С* а, (В.6)

Л22 = (А21 А^С*А^А12 а - А2\ А^ А12 + А22) а . Доказана следующая теорема

Теорема 1.1. Приближенные формулы для эффективных коэффициентов двумерной анизотропной периодической пористой среды при выполнении условий (В.З), (ВЛ) = —Ь оо имеют вид

Ац ~ Ац,

где Ац определяются формулами (В. 6).

Оценка погрешности формулы (В. 7) :

\Ац ~ Агэ| < (В.8)

В п. 1.2 получена оценка близости решений исходной и осредненной задач, которая дается следующей теоремой

Теорема 1.2. Пусть и6 - решение задачи (В.2), V -решение осредненной задачи

£ А ^

¡¿=г 13 дх1&х^

Е о., =f Чдо = Ф,

где коэффициенты А^ определены формулами (В.6). Пусть V е С3(С).

Тогда для разности решений этих задач выполнена оценка

где - константа, не зависящая от Е\ и е2.

В п. 1.3 рассматривается аналогичная задача для трехмерной периодической пористой среды в предположении, что структура среды представляет собой набор пластин, соединенных сетью перемычек. При некоторых условиях на функции, задающие форму перемычек, по аналогии с предыдущим параграфом

— 13 —

проводится асимптотическое построение приближенных решений задач на ячейке. Получены следующие явные приближенные формулы для эффективных модулей среды:

Ап=С\ Аи = С*А^А12а, А13 = С*А^А13 а,

Л21 = А21Ап}С* а, А31= А31А^С* а, (В.9)

Л22 = (А21 А12 а - А2\А^А\2 + А22) а,

Л32 = (А31А^С*А^А12 а - А31А^А12 + А32) а, Л23 = (А21 А1г а - А21А^А1Ъ + Мъ) а,

А33 = (А31А^С*А^А13 а - А31 А^Агг + А33) а,

где

/ «2 \-1 С*= А^а + Ай1/ , Ап=Аи+А12Р2 + А13Рг,

V «1 8{у1))

р2 = — [а22 — а23а3%а32) (а.2 1 — а23а33а3^ ,

■Рз = - (¿зз - А32А22\А23)~1 (А31 - А32А221А21),

а = 1 -f ai — а2 - ширина пластинки, S(y\) - площадь сечения перемычки плоскостью у\ — const. Доказывается следующая теорема

Теорема 1.3. Приближенные формулы для эффективных коэффициентов трехмерной пористой среды данной структуры при си — е\/£2 —> оо имеют вид

AijttAij, (В. 10)

где Aij определяются формулами (В.9).

Оценка погрешности формулы (В.10) :

IА^ - Aij| < С/у/ш. (B.ll)

П. 1.4 посвящен сравнению эффективных коэффициентов, определенных через численное решение задач на ячейке, с вычисленными с помощью формул, выведенных в работе. Приводится описание численного метода, используемого при решении задач на ячейке, и полученных результатов.

Вторая глава посвящена задачам, при решении которых используется метод сглаживания.

В п.2.1 и п.2.2 выводятся явные приближенные формулы для эффективных коэффициентов периодических двумерных сред в предположении, что материал обладает вытянутой по оси х\ структурой, а исходные характеристики сред Аг] Е Ь°°.

В ограниченной Липшицевой области 6г рассматривается задача Дирихле для эллиптической системы

Ьи£ =

д

(

А

ди

е\

%3дхз1

= /(*) в а,

(В.12)

дх1 х Цгхе-Ф) \да = 0.

Периодические с периодами Е\ по переменным ж/ функции Ац {ЬЗ ~ 1,2) удовлетворяют условиям (В.З). Поскольку коэффициенты уравнения являются измеримыми функциями, рассматривается обобщенная постановка задачи.

Вводится параметр и = £\/£2 >> 1- После преобразования координат ¿1 = ¿2 = используется метод осреднения, основанный на введении быстрых переменных = хг/£\ и асимптотическом разложении решения по степеням е\ при фиксированном значении параметра со. Полученные таким образом задачи на единичной ячейке для функций (матриц) имеют вид

АЛ(М2>) = 0, (В.13)

V Е Н1(К). Функции (матрицы) </?, Щ = — у^Е являются 1-периодическими по каждой из переменных у^. Здесь

аа{М,Ч>) = 1

к 1

1-1

Л дм г_хдср

оу1 дуг

¿У,

к ' VI к

[А, В] = £ (А)\(В Л = 53 а^Ъы,

1=1 4 7 п,/=1

для любых матриц А и В размера к х к] (А)1 - вектор-столбец матрицы А с номером I.

Эффективные характеристики осредненной среды Аг] вычисляются по формулам

■ 4 = (дД^'-') • (В.14)

В п.2.1 рассматривается скалярный случай в предположении, что Л12 = Л21 = 0. Подробное описание векторного анизотропного случая приведено в п.2.2.

Для построения приближения к решению (В. 13) рассматриваются " сглаженные" задачи

\А,(Щ,Ч>) = О, (В.15)

где А5- - функции, полученные в результате сглаживания Аг] усреднением по Соболеву,

К{5) —0 при^о,

/ = 1,2, д(*) = оф.

дуг

Приближенное решение первой задачи ищется в виде

м5

М{ = У1Е + Л^ +

си

Периодические с периодом 1 функции Л^, выбираются так, чтобы М{ удовлетворяла уравнению (В. 15) с точностью до членов порядка 0(1), (М* — у= 0, и выполнялось условие непрерывности потока в направлении у\ с точностью до членов порядка 1/со. Найден явный вид А^ и

Для = М{ — М^ доказывается оценка Аа(ЯьЯ1)<г2(5,Ш), г(6^) = д(к(5) + ^у (В.16)

Приближенное решение второй задачи находится в виде

где N20 ■) N21 - 1-периодические функции. Для — — доказана оценка

Ла№,Л2) <Ш2Г2{5,со).

В формулы для эффективных коэффициентов (В. 14) вместо точных решений задач на ячейке подставляются приближенные решения сглаженных задач. Путем выделения конечных членов, не зависящих от параметра сглаживания 5 и ш, выводятся явные формулы:

Ап=С2, А21 = (С1(у1)}1 (В.17)

Ап = С6, А22 = {С4{у1))1. (В.18)

Здесь

С2 = (Л, - А1 А2 А4);', С*!(У1) = ¿3 А4 С2, С4(у,) = А3(Е + А4С6), Св=С2(А4А3)1. А\ = (А„ - А12 (А22)~1 А21)~1, А2 = (А12 (А22у1)2,

Аз = {(А^Г1 (Е + А21 А! А2)}2А4 = ((АяГ1 А21 АЧ2

Доказана теорема

Теорема 2.2. Приближенные формулы для эффективных характеристик двумерной среды для задачи (В. 12), (В.З) с измеримыми коэффициентами при со = Е\/£2 —> оо имеют вид

Ац ~ (В. 19)

где Ац определяются формулами (В. 17), (В. 18). Оценка погрешности формулы (В.19) :

А — А

13 и

< РН,

Р(ш) = ттг(£,о;) 0 при со оо. (В.20)

В п.2.3 доказана близость решений осредненной и исходной задач для произвольной двумерной периодической среды.

Теорема 2.3. Пусть и£ - решение задачи (В. 12), (В.З), V - решение осредненной задачи

2 ~ 82У

£ д = / Лдо = ф,

¿¿=1 ох1охз

где коэффициенты АЪ] определены формулами (В. 17), (В.18). Пусть V е Съ(в).

Тогда для разности решений этих задач справедлива следующая оценка

Ы ~ у\\Ь2{0) < О^у^Г + ^о;)),

/3(ш) —> 0 при и; —> со.

Переход к задаче с гладкими коэффициентами оказался существенным моментом и при решении другой задачи. А именно, в п.2.4 рассматривается на отрезке [-1, 1] краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

-I и и

с малым параметром /л < < 1 при старшей производной

ц2и(х) - р(х)и(х) = /(ж), = 6_ь и(1) = Ьг (В.21)

со следующими условиями на коэффициенты |6±1| < В- шр(х) = Ъ> 0, /(ж), р(х) £ Ст+Х(А', [-1,1]),

А' > 0 - константа, т = 0,1; 0 < Л < 1.

В работе получена равномерная по малому параметру оценка погрешности численного решения для метода, предложенного в работе Н.С.Бахвалова, где рассматривалась задача при более сильных требованиях на гладкость коэффициентов.

Аппроксимация задачи (В.21) берется в виде

^Цщ - ргщ = /¿, 0 <i<N, (В.22)

Щ = Ь_ь их = Ьи Р1 = р(хг), £ = /(Хг),

где щ - приближения к значениям и(х{), - удвоенный оператор разделенной разности:

2 (щ+1-щ щ-щ-х Ь{Щ = ——-—-— ——-—----—■—

Пусть щ - решение сеточной задачи (В.22). Для получения оценки погрешности Ц-м — щ\\н — тахЩжЛ — щ\ рассматрива-

г

ется задача с гладкими коэффициентами

ц2й"{х) - р(х)й(х) = /(ж), (В.23)

я: €[-1,1], й(-1) = Ь_ь й(1) = Ьь

где pJ - усреднения по Соболеву. Погрешность \\и — записывается в виде

II™ - ик\\к < |\и - й\\н + ||гх - й}г11д + \\щ - (В.24)

В работе доказываются оценки

||г/ - % < (¿Ат+\ ||щ - йн\\к < (5Дт+л, (В.25)

где СЦ - константа, не зависящая от параметра сглаживания А.

Устанавливается зависимость величины производных решения задачи (В.23) от А .

Теорема 2.4 Решение задачи (В.23) удовлетворяет неравенствам:

|Й(*)| < Аь |й'(х)| < АоА(т+Л>/2-1 + -Оц5е, Ц < 1,

D

D

\(üf\x)\ < +r = 2,3,4; /х<1,

где d, Do, Dio, Dn, Dro, Dri > 0 - константы, не зависящие от А,

SP =

1 ?

exp

d{ l+x) H>

+ exp

d{ 1-х)

С использованием этих оценок получена равномерная по /х оценка погрешности

и

щ\\к <

Q_ N2

А

т+А-2

(В.26)

При помощи (В.24), (В.25), (В.26) доказывается, что оценка погрешности численного решения имеет вид

\\u-uh\\<C/Nm+\

В заключении перечислены основные результаты, представляемые на защиту.

Основные результаты работы были доложены на Международной конференции, посвященной 175-летию со дня рождения П. JI. Чебышева (Москва, 1996 г.), Всероссийской конференции " Современные методы и достижения в механике сплошной среды" (Москва, 1997 г.), Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы"(Москва, 1998г.) и VI Международной конференции "Математика, компьютер, образование" (Пущино, 1999г.); на научных семинарах механико-математического факультета МГУ под руководством Н.С. Бахвалова, Московского Энергетического Института (Технического Университета) под руководством Ю.А. Дубинского, ВЦ РАН под руководством A.A. Абрамова, Б.В. Пальцева, Ю.Д. Шмыглевского. По материалам работы имеется 7 публикаций.

/

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Якубенко, Татьяна Андреевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации

- выведены явные приближенные формулы для эффективных коэффициентов в случае трех типов периодических сред с периодами разных порядков в различных направлениях; рассмотрены случаи: двумерной анизотропной среды с вытянутыми порами; трехмерной структуры, состоящей из пластинок, соединенных сетью перемычек переменного поперечного сечения; двумерных сред с измеримыми характеристиками, в частности, композитов;

- установлены оценки близости эффективных коэффициентов, вычисленных по этим формулам, и эффективных коэффициентов, определенных через точные решения задач на ячейке;

- доказаны оценки близости точного решения исходного уравнения и решения осредненного уравнения с коэффициентами, найденными по предлагаемым в диссертации формулам, для всех рассмотренных случаев;

- получена равномерная по параметру оценка погрешности численного решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной при умеренных требованиях на гладкость коэффициентов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Якубенко, Татьяна Андреевна, 1999 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

1. Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой. М.: ДАН СССР, 1974, Т. 218, N0 2, с. 1046-1048

2. Бахвалов Н.С. Осреднение уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. В кн.: Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. Москва: Наука, 1982, 38-47

3. Бахвалов Н.С., Папасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композитных материалов. М.: Наука, 1984, 352 с.

4. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя. М.: ЖВМ и МФ, 1969, т.9, N0 4, С. 841-859

5. Бахвалов Н. С. Численное решение задач с негладкими данными и интерполяционные теоремы. Тр. МИАН СССР, 1984, т.166, с. 18-22

6. Бахвалов Н.С, Панасенко Г.П., Эглит М.Э. Эффективные свойства конструкций и композитов с включениями в виде стен и стержней. М.: Журнал вычислительной математики и математической физики, 1996, т.36, 12, с. 73-79

7. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. О предельном поведении периодических сред с мягкомодульными включениями. М.: Журнал вычислительной математики и математической физики, 1995, т.35, 6, с. 905-917

8. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Эффективные модули тонкостенных конструкций. М.: Вестник Моск. ун-та, 1997, Сер.1, математика, механика, 6, с. 60-63

9. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Эффективные модули композитов, армированных системой пластин и стержней. М.: ЖВМ и МФ, 1998, т.38, N0 5, с. 813-834

10. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987, 600 с.

И. Бердичевский В.Л. Об осреднении периодических структур. ПММ, 1977,т. 41, 6, с. 993-1006

12. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 447 с.

13. Болотин В.В. Основные уравнения теории армированных сред. М.: Механика полимеров, 1965, N0 2, с. 27-32

14. Григолюк Э.И., Филъштинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970

15. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979, 760 с.

16. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л.: Энергия, 1974.

17. Дубинская В.Ю. Осреднение стационарной задачи теплопроводности в тонкой неоднородной пластине. М.: ЖВМ и МФ, 1990, т.30, N0 4, с.632-634

18. Дубинская В.Ю. Асимптотическое разложение решения стационарной задачи теплопроводности в тонкой пластине с двумя периодами неоднородностей. Доклады РАН, 333(5), 1993, с. 571-574

19. Дубинская В.Ю. Осреднение стационарного теплового поля в неоднородной среде с тремя малыми параметрами. М.: Доклады РАН, 334(3), 1994, с. 272-274

20. Ильин А.М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. М.: Матем. заметки, 6, N0 2, 1969, с. 237-248

21. Косарев А.Ю. Асимптотика осредненных характеристик периодических упругих сред с сильно изменяющимися свойствами. М.: ДАН СССР, 1982, 267, N0 1, с. 38-42

22. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973, 408 с.

23. Ладыженская O.A., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973

24. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1954

25. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова Думка, 1974

26. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно сеточные методы. М.: Наука, 1981, 416с.

27. Митрополъский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова Думка, 1971, 440 с.

28. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969, 480с.

29. Никольский С.М. О продолжении функций многих переменных с сохранением дифференциальных свойств. М.: Ма-тем. сборник, 1956, т.40(82), с. 243-268

30. Олейник O.A., Иосифъян Г.А., Панасенко Г. П. Асимптотическое разложение решений системы теории упругости в перфорированных областях.М.: Матем. Сб., 1983, т.120(162), No 1, с. 22-41

31. Олейник O.A., Иосифъян Г.А., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990г., 311с.

32. Панасенко Г.П. Принцип расщепления осредненного оператора для нелинейной системы уравнений в периодических и случайных каркасных конструкциях. М.: ДАН СССР, 1982, т. 263, No 1, с. 35-40

33. Панасенко Г.П. Осреднение полей в рамных и тонкостенных конструкциях. УМН, 1981, 36, в.4, с. 224

34. Победрл Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984

35. Регирер С.А. Лекции по биологической механике. М.: Изд-

во МГУ,1980

36. Сандраков Г. В. Осреднение линеаризованной системы гидродинамики с малой вязкостью и скорость звука в смесях. М.: ОВМ Акад. Наук СССР, препринт N0. 178, 1987

37. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1,2, М.: Наука, 1994

38. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988

39. Тарайла С.Б. Оценка погрешности осреднения эллиптического уравнения в композитах сложной структуры. М.: Препринт N0 112, ОВМ Акад. Наук СССР, 1986, 20 с.

40. Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1992

41. Якубенко Т.А. Теплопроводность пористых сред с вытянутыми порами. Успехи математических наук, 1998, т.53, выпуск 4, стр. 151

42. Якубенко Т.А. Осреднение процессов в пористых средах с вытянутыми порами. Материалы всероссийской конференции " Современные методы и достижения в механике сплошных сред", М.: Изд. НИИ Механики МГУ, 1997, стр. 101

43. Якубенко Т.А. Осреднение периодических структур с негладкими данными, М.: Изд. МГУ им. М.В.Ломоносова, механико-математический ф-т, Препринт N 2, 1999, 30 с.

44. Якубенко Т.А. Осредненное описание микронеоднородных сред с вытянутой структурой. VI Международная конференция" Математика, компьютер, образование", тезисы, М.: Изд. МГУ, 1999, с.304

45. Якубенко Т.А. Оценка погрешности численного решения краевой задачи с пограничным слоем. ЖВМ и МФ, т.37, No 8, 1997г., с. 945-950

46. Якубенко Т.А. Решение краевых задач с пограничным слоем при негладких данных. Материалы международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175 - летию со дня рождения П.Л. Чебышева. М.: Изд. мех.-мат. факультета МГУ, 1996г., т.2, с. 380-382

47. Bakhvalov N.S., Saint Jean Paulin J. Homogenization for thermoconductivity in a porous medium with periods of different orders in the different directions, Asymptotic Analysis 13(1996), North-Holland, pp. 253-276

48. Bakhvalov N.S., Eglit M.E. Homogenization of dynamic problems singularly depending on small parameters. Proceedings of Second Workshop on Composite Media and Homogenization Theory (Trieste, 1993). World Scientific, Singapore, 1995, pp. 1735

49. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam: North Holland, 1978

50. Cioranescu D., Saint Jean Paulin J. Homogenization in open sets with holes. J.Math.Anal.Appl., 1979, Vol. 71, No 2, pp.509607

51. Lars-Erik Persson, Leif Persson, Nils Svanstedt, John Wyller. The homogenization method. Printed the Sweden, Student litterature, 1993, 78p.

52. Lions J.L. Some methods in the mathematical analysis of systems and their control. Sci. press, Beijing, Chine , 1981, 544p.

53. Sanchez-Palencia E. Non Homogeneous Media and Vibration Theory". Berlin, Springer-Verlag, Lecture Notes in Physics, 1980,127

54. Yakubenko T.A. Averaging a periodic porous medium with periods of different orders in different directions. Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. Vol. 13, No. 2, 1998, pp.149-157