Ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кусраева, Залина Анатольевна

• Кусраева, Залина Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кусраева, Залина Анатольевна

Глава 0. Введение

0.1. Обзор литературы.

0.2. Актуальность темы исследования.

0.3. Краткое содержание работы.

0.4. Основные положения, выносимые на защиту.

0.5. Методы исследования.

0.6. Апробация работы.

Глава 1. Полилинейные операторы

1.1. Пространство регулярных полилинейных операторов

1.2. Ортосимметричность.

1.3. Однородное функциональное исчисление.

1.4. Степень векторной решетки.

1.5. Полилинейные операторы на решетке С (К).

Глава 2. Представление ортоаддитивных полиномов

2.1. Предварительные сведения о полиномах.

2.2. Полиномы в борнологических пространствах

2.3. Полиномы в пространстве непрерывных функций

2.4. Основные теоремы о представлении.

2.5. Полиномы в векторных решетках.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках»

0.2. Актуальность темы исследования

Изучение полиномов в бесконечномерных пространствах в значительной мере стимулировано исследованиями в области бесконечномерной голоморфности. В литературе достаточно хорошо представлены алгебраические свойства полиномов, а также взаимосвязи полиномов с геометрическими и линейно-топологическими свойствами банаховых пространств, см. [57]. Чем более детально изучены полиномы, тем больше возможностей для продвижения в структурной теории голоморфных функций в бесконечномерных пространствах. С этой точки зрения порядковые свойства полиномов — еще одна методика исследования бесконечномерной голоморфности, см, например, [61] и [54].

В то же время, полиномы в векторных решетках обладают интересными порядковыми свойствами, а классы полиномов в банаховых решетках, определяемые в смешанных терминах нормы и порядка, имеют богатую структуру и заслуживают самостоятельного изучения. Наибольший прогресс достигнут в изучении класса ортогонально аддитивных полиномов, см [24, 25, 26, 27, 38, 44, 53, 67, 72, 85, 93, 94]. Эти результаты дают новые возможности для получения более детальной информации о строении ортогонально аддитивных полиномов, с одной стороны, и дальнейших приложений в теории банаховых решеток и положительных операторов, — с другой.

0.3. Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кусраева, Залина Анатольевна, 2012 год

1. Абрамович Ю. А., Векслер А. И., Колдунов А. В. Об операторах, сохраняющих дизъюнктность // Докл. АН СССР.—1979.—Т. 248, № 5.-С. 1033-1036.

2. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства.—Новосибирск: Наука, 1978.—368 с.

3. Бухвалов А. В. Об интегральном представлении линейных операторов // Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР (ЛОМИ).—1974.—Т. 47.-С. 5-14.

4. Бухвалов А. В. Приложения методов порядково ограниченных операторов к теории операторов в пространствах Ьр // Успехи мат. наук.—1983.—Т. 38, № 6.-С. 37-83.

5. Бухвалов А. В. Порядково ограниченные операторы в векторных решетках и пространствах измеримых функций // Итоги науки и техники. Математический анализ.—М.: ВИНИТИ, 1988.—Т. 26.—С. 3-63.

6. Владимиров Д. А. Булевы алгебры.—М.: Наука, 1969.—318 с.

7. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных прост-ранств.-М.: ГИФМЛ, 1961.-407 с.

8. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные спорядком.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995 —С. 63-211.

9. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004.-812 с.

10. Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах,—М.; Л.: Гостехиз-дат, 1950.-548 с.

11. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.—М.: Мир, 1971.-392 с.

12. Кусраев А. Г. Об одном свойстве базы А'-пространства и некоторых его применениях.— Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1977.-16 с.

13. Кусраев А. Г. Общие формулы дезинтегрирования // Докл. АН СССР.—1982.—Т. 265, № 6.-С. 1312-1316.

14. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы,—М.: Наука, 2003.— 619 с.

15. Кусраев А. Г. О строении ортосимметричных билинейных операторов в векторных решетках // Докл. РАН,—2006.—Т. 408, № 1.— С. 25-27.

16. Кусраев А. Г. Ортосимметричиые билинейные операторы в векторных решетках // Исследования по современному анализу и математическому моделированию.—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН.—2008,—С. 186-225.

17. Кусраев А. Г. Однородные функции регулярных линейных и билинейных операторов // Владикавк. мат. журн.—2009.—Т. 11, № З.-С. 38-43.

18. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О билинейных операторах, сохраняющих дизъюнктность // Владикавк. мат. журн.—2004,—Т. 6, № 1.-С. 58-70.

19. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О некоторых свойствах ортосим-метричных билинейных операторов // Исследования по математическому анализу.—Владикавказ: ВНЦ РАН.—2011.—Т. 1.— С. 104-124.

20. Кусраева 3. А. О представлении ортогонально аддитивных полиномов // Материалы первой региональной междисциплинарной конференции молодых ученых «Наука Обществу». Тезисы докладов.—ВНЦ РАН.-2010

21. Кусраева 3. А. Об интегральной представимости однородных ортогонально аддитивных полиномов // Сборник работ международной научно-практической конференции «Молодые ученые в решении актуальных проблем науки».—Владикавказ: СОГУ.— 2010.—С. 329-332.

22. Кусраева 3. А. Однородные ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках // Труды международной конф. молодых ученых «Математический анализ и математическое моделирование».—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН.—2010.— С. 100-101.

23. Кусраева 3. А. О представлениии ортогонально аддитивных полиномов // Сиб. мат. журн—2011—Т. 52, № 2.-С. 315-325.

24. Кусраева 3. А. О продолжении ортогонально аддитивных регулярных полиномов // Владикавк. мат. журн.—2011.—Т. 13, № 4.-С. 28-34.

25. Кусраева 3. А. Однородные ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках // Мат. заметки.—2012—Т. 91, № 5.— С. 704-710.

26. Кусраева 3. А., Тасоев Б. Б. О полиномах Магарам // Владикавк. мат. журн—2012—Т. 14,№ 4.

27. Кутателадзе С. С. Опорные множества сублинейных операторов // Докл. АН СССР.—1976.—Т. 230, № 5.-С. 1029-1032.

28. Кутателадзе С. С. Выпуклые операторы // Успехи мат. наук.— 1979.—Т. 34, № 1.-С. 167-196.

29. Кутателадзе С. С. Теорема Крейна — Мильмана и ее обращение // Сиб. мат. журн.—1980.—Т 21, № 1.-С. 130-138.

30. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа.— Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН им. С.Л. Соболева.—2006.—хп+356 с.

31. Шефер X. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1971.-359 с.

32. Шотаев Г. Н. Некоторые свойства билинейных регулярных операторов // Владикавк. мат. журн. —1999.— Т. 1, № 2.—С. 44-47.

33. Энгелькинг Р. Общая топология.—М.: Мир, 1986.—751 с.

34. Abramovich Yu. A. Multiplicative representation of disjointness preserving operators // Indag. Math. N.S.—1983—V. 45, № 3, P. 265-279.

35. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators // New York: Academic Press.—1985.—xvi+367 p.

36. Ben Amor F. On orthosymmetric bilinear operators // Positivity.— 2010.—V. 14, № l.-P. 123-134.

37. Benyamini Y., Lassalle S., Llavona J. G. Homogeneous orthogonally additive polynomials on Banach lattices // Bull. London Math. Soc.-2006.-V. 38, № 3.-P. 459-469.

38. Birkhoff G., Piece R.S. Lattice-ordered rings // An. Acad. Brasil. Cli§nc-1956.-V. 28.—P. 41-69.

39. Boulabiar K. Products in almost /-algebras // Comment. Math. Univ. Carolinae.—2000.—V. 41, № 4.-P. 747-759.

40. Boulabiar K. On products in lattice-ordered algebras // J. Aust. Math. Soc.-2003.-V. 75.-P. 13-40.

41. Boulabiar K., Buskes G. Vector lattice powers: /-algebras and functional calculus // Comm. Algebra.-2006.-V. 34, № 4.-P. 14351442.

42. Boulabiar K., Buskes G., and Page R. On some properties of bilinear maps of order bounded variation // Positivity.—2005.—V. 9, № 3.— P. 401-414.

43. Bu Q., Buskes G. Polynomials on Banach lattices and positive tensor products // J. of Math. Analysis and Applications.—2011.—V. 388.— P. 845-862.

44. Bu Q., Buskes G., Kusraev A. G. Bilinear maps on product of vector lattices: A survey // Positivity/ Eds. K. Boulabiar, G. Buskes, A. Triki.—Basel a.o.: Birkhäuser.-2007.-P. 97-126.

45. Buskes G., Kusraev A. G. Representation and extension of orthoregular bilinear operators // Vladikavkaz Math. J.—2007.— V. 9, № l.-P. 16-29.

46. Buskes, G., de Pagter.B., van Rooij. A. Functional calculus on Riesz spaces // Indag. Math.(N. S.).-1991.-V. 4, № 2.-P. 423-436.

47. Buskes G., van Rooij A. Almost /-algebras: commutativity and the Cauchy-Schwarz inequality // Positivity—2000 —V. 4, № 3 — P. 227-231.

48. Buskes G., van Rooij A. Almost /-algebras: structure and Dedekind completion // Positivity.-2000.-V. .4, № 3.-P. 233-243.

49. Buskes G., van Rooij A. The bornological tensor product of two Riesz spaces: proof and background material. Ordered algebraic structures // Dev. Math—Dordeecht: Kluwer Acad. Publ., 2002 — V. 7.-P. 189-203.

50. Buskes G., van Rooij A. Bounded variation and tensor products of Banach lattices // Positivity.-2003.-V. 7, № 1/2.-P. 47-59.

51. Buskes G., van Rooij A. Squares of Riesz spaces // Rocky Mountain J. of Math.—2004.—V. 31, № l.-P. 45-56.

52. Carando D., Lassale S., Zalduendo I. Orthogonally additive polynomials over C(K) are measures — a short proof // Int. Eq. and Oper. Theory.-2006.-V. 56, № 4.-P. 597-602.

53. Carando D., Lassale S., Zalduendo I. Orthogonally additive holomorphic functions of bounded type over C(K) // arXiv:0810.5352vl math FA. .-2008.

54. Cristescu R. Ordered vector spaces and linear operators // Translated from the Romanian.—Tunbridge: Abacus Press, 1976.

55. Defant A., Kalton, N. Unconditionality in spaces of m-homogeneous polynomials // Q. J. Math.-2005.-V. 56, № l.-P. 53-64.

56. Dineen S. Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces.— Berlin: Springer, 1999.—xv+543 p.

57. Fremlin D. H. Tensor products of Archimedean vector lattices // Amer. J. Math.-1972.-V. 94.-P. 778-798.

58. Fremlin D. H. Tensor products of Banach lattices // Math. Ann.— 1974.—V. 211.—P. 87-106.60. van Gaans O. The Riesz part of a positive bilinear form // Circumspace.—Nijmegen: Katholieke Universiteit Nijmegen, 2001.—P. 19-30.

59. Grecu B. C., Ryan R. A. Polynomials on Banach spaces with unconditional bases // Proc. Amer. Math. Soc.—2005.—V. 133, № 4.-P. 1083-1091.

60. Gutman A. E. Locally one-dimensional if-spaces and er-distributive Boolean algebras // Siberian Adv. Math.-1995.-V. 5, № 2.-P. 99121.

61. Gutman A. E. Disjointness preserving operators // Vector Latticesand Integral Operators /Ed. S. S. Kutateladze.—Dordrecht etc.: Kluwer—1996.—P. 361-454.

62. Gutman A. E., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. The Wickstead Problem.—Vladikavkaz: IAMI VSC RAS.-2007.-№ 3.-44 p.

63. Hogbe-Nlend H. Theorie des Bornologie et Applications.—Berlin etc.: Springer, 1971.-P. 168.

64. Ibort A., Linares P., Llavona J. G. On the representation of orthogonally additive polynomials in lp // Publ. RIMS, Kyoto Univ.—2009.—V. 45, № 2.-P. 519-524.

65. Ibort A., Linares P., Llavona J. G. A representation theorem for orthogonally additive polynomials on Riesz spaces // arXiv: 1203.2379vl math.Fa.— 2012.

66. Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities.— Basel-Boston-Berlin: Birkhauser.—2009.

67. Kusraev A. G. Orthosymmetric biliniar operators // Vladikavkaz: VSC RAS, 2007.-34 p.-(Prep./IAMI VSC RAS; № 1.)

68. Kusraev A. G. On some properties of orthosymmetric bilinear operators // Vladikavkaz Math. J.-2008.-V. 10, № 3.-P. 29-33.

69. Kusraev A. G. A Radon-Nikodym type theorem for orthosymmetric bilinear operators // Positivity.-2010.-V. 14, № 2.-P. 225-238.

70. Linares P. Orthogonal additive polynomials and applications. Thesis.—Departamento de Análisis Matemático. Universidad Complutense de Madrid—2009

71. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces. Vol. 2. Function Spaces.—Berlin etc.: Springer-Verlag, 1979.—243 p.

72. Loane J. Polynomials on Riesz Spaces. Thesis.—Department of Mathematics National University of Ireland, Galway.—2007.

73. Luxemburg W. A. J., Schep A. A Radon-Nikodym type theorem for positive operators and a dual // Indag. Math—1978.—V. 10— P. 357-375.

74. Luxemburg W. A. J., Zaanen A. C. Riesz Spaces. V. 1.— Amsterdam and London: North-Holland, 1971,—514 p.

75. McPolin P. T. N., Wickstead A. W. The order boundedness of band preserving operators on uniformly complete vector lattices // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.-1985.-V. 97, № 3.-P. 481-487.

76. Meyer M. Le stabilisateur d'un espace vectoriel réticulé // C.r. Acad. sci. A.-1976.-V. 283.—P. 249-250.

77. Meyer-Nieberg P. Banach Lattices.—Berlin etc.: Springer,—1991.

78. Maharam D. The representation of abstract integrals // Trans. Amer. Math. Soc-1953 -V. 75, № l.-P. 154-184.

79. Maharam D. On positive operators // Contemp. Math.—1984.— V. 26.—P. 263-277.

80. Nakano H. Product spaces of semi-ordered linear spaces // J. Fac. Sci. Hokkaido Univ. Ser. I.-1953.-V. 12.-P. 163-210.

81. Page R. On bilinear maps of order bounded variation. Thesis.— University of Mississippi, 2005.

82. De Pagter B. /-algebras and orthomorphisms. Thesis-Leiden, 1981.

83. Perez-Garcia D., Villanueva I. Orthogonally additive polynomialson spaces of continuous functions // J. Math. Anal. Appl.—2005.— V. 306, № l.-P. 97-105.

84. Quinn J. Intermediate Riesz spaces // Pacific J. of Math.—1975.— V-56, № l.-P. 225-263.

85. Ryan R. A. Introduction to tensor products of Banach spaces.— London: Springer, 2002.—xiv+225 p.

86. Schaefer H.H. Banach lattices and positive operators.—Berlin etc.: Springer, 1974.—xi+376 p.

87. Schaefer H, H. Aspects of Banach lattices // In: Studies in Functional Analysis, MM A Studies in Math.-1980.-V. 21.-P. 158221.

88. Schaefer H. H. Positive bilinear forms and the Radon-Nikodym theorem // Funct. Anal.: Survey and Resent Results. 3.—Amsterdam e.a., 1984, P. 135-143. (Proc 3rd Conf. Parderborn.-24-29 May,1983.)

89. Schep A. R. Factorization of positive multilinear maps // Illinois J. Math.—1984.—V. 28.-P. 579-591.

90. Schwarz H.-V. Banach lattices and operators.—Leipzig: Teubner,1984.-208 p.

91. Sundaresan K. Geometry of spaces of homogeneous polynomials on Banach lattices // Aplplied geometry and discrete mathematics.— DIMACS Ser. Discrete Math. Compute. Sci. Math. Soc — Providence, RI.-1991.-P. 571-586.

92. Toumi M. A. Orthogonally additive polynomials on Dedekind acomplete vector lattices // Proc. Irish Royal Academy.—2011.— V. 110.-P. 83-94.

93. Wickstead A. W. Representation and duality of multiplication operators on Archimedean Riesz spaces // Compositio Math.— 1977.—V. 35, № 3.-P. 225-238.

94. Wittstock G. Ordered normed tensor products, Foundations of quantum mechanics and ordered linear spaces // Advanced Study Inst., Marburg, Lecture Notes in Phys.—Springer.—Berlin.—1974.— V. 29.—P. 67-84.

95. Wittstock G. Eine Bemerkung liber Tensorprodukte von Banachverbanden // Arch. Math.-Basel.-1974.-V. 2.-P. 627634.

96. Zaanen A. C. Riesz spaces. V. 2.—Amsterdam etc.: North-Holland, 1983.-720 p.

97. Zalduendo I. Extending polynomials on Banach spaces-a survey // Revista de la Union Mathematica Argentina.—2005.— V.46, №2-P. 45-72.