Модифицированные функционалы Лагранжа в механике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Ткаченко, Алексей Сергеевич

• Ткаченко, Алексей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ткаченко, Алексей Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. РЕШЕНИЕ ПОЛУКОЭРЦИТИВНОЙ ЗАДАЧИ СИНЬОРИНИ МЕТОДОМ ИТЕРАТИВНОЙ ПРОКСИМАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ МОДИФИЦИРОВАННОГО

ФУНКЦИОНАЛА ЛАГРАНЖА.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Метод Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала

Лагранжа на последовательности триангуляций.

§3. Алгоритм численного решения методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций.

§4. Метод Удзавы на основе модифицированной функции Лагранжа для конечномерного случая.

§5. Метод Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированной функции

Лагранжа для конечномерного случая.

Глава 2. РЕШЕНИЕ КОЭРЦИТИВНОЙ СКАЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ СИНЬОРИНИ

МЕТОДОМ УДЗАВЫ.

§1. Коэрцитивная скалярная задача Синьорини.

§2. Алгоритм решения коэрцитивной скалярной задачи Синьорини методом Удзавы на основе классического функционала Лагранжа.

§3. Алгоритм решения коэрцитивной скалярной задачи Синьорини методом Удзавы на основе модифицированного функционала Лагранжа.

Глава 3. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ЛАГРАНЖА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ С ТРЕНИЕМ.

§1. Постановка задачи. Функционалы Лагранжа.

§2. Метод Удзавы.

§3. Метод Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала.

§4. Алгоритм численного решения методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модифицированные функционалы Лагранжа в механике»

Актуальность темы.

Теория вариационных неравенств возникла в шестидесятых годах двадцатого века. Основы данной теории были заложены в работах [26], [27]. Первой задачей в области вариационных неравенств стала задачи из теории упругости - задача Синьорини, впервые полностью описанная в работе [26]. Далее исследование вариационных неравенств продолжилось в работах Ж. Лионса, Г. Стампаккьи и их учеников. В этой связи следует упомянуть следующие работы [1], [2], [5], [28], [29]. В настоящее время данная теория активно развивается и представляет интерес для математиков, механиков и экономистов. В экономике вариационные неравенства применяются при моделировании и исследовании равновесных задач экономики и исследований операций. Вариационные неравенства развивались и развиваются в работах Андерсена JI.-E. и Хлуднева A.M. [30], Аннина Б.Д. и Садовского В.М. [31], Аннина Б.Д. и Черепанова Г.П. [32], Антипина A.C. и Васильева Ф.П. [33], БадриеваИ.Б. и Задворнова O.A. [34], Бердичевского B.JI. [35], Вихтенко Э.М. и Намма Р.В. [20, 21, 23], Коннова И.В. [36-40], Лапина A.B. [41, 42], Мосолова П.П. и Мясникова В.П. [43], Рудого Е.М. и Хлуднева A.M. [44], Рязанцевой И.П. [45-47], Уральцевой H.H. [48], Уральцевой H.H. и Рожковской Т.Н. [49], Хлуднева A.M. [50], Чеботарева А.Ю. [51], Лапина A.B. и Игнатьевой М.А. [52], Лапина A.B., Лайтинена Е. и Пиеска Д. [53] и многих других.

В вариационной постановке формулируются такие задачи, как задача об упруго-пластическом кручении стержня, контактные задачи теории упругости, задача о течении вязкопластических сред, задача о препятствии, задачи теории пластичности и другие.

Для решения вариационных неравенств широко используется аппарат функционального и выпуклого анализа, развитый в работах Васильева Ф.П. [14, 54, 55], Гроссмана К. и Каплана A.A. [12], Нурминского Е.А. [56], Мину М. [57], Поляка Б.Т. [58], Пшеничного Б.Н. и Данилина Ю.М. [59], Рокафеллара Р. [60], Экланда И. и Темама Р. [61], и в других многочисленных источниках.

Исследование по численному анализу вариационных задач проводится с использованием метода конечных элементов. Большой вклад в данный вопрос внесли работы французских математиков Гловински Р., Лионса Ж.-JL, Тремольера Р. и других, которые подробно исследуют применение метода конечных элементов для аппроксимации непрерывных задач и алгоритмы решения их конечномерных аналогов.

В данной работе используются функции Лагранжа, которые лежат в основе общепринятой схемы анализа экстремальных задач с ограничениями. Функция Лагранжа формируется по исходной задаче и зависит от двух групп переменных - прямых (переменных исходной задачи) и двойственных (переменных, отвечающих ограничениям). В работах Антипина A.C., Голикова A.A., Евтушенко Ю.Г., Поляка Б.Т., Третьякова Н.В., Рокафеллара Р.Т. исследовались модифицированные функции Лагранжа применительно к конечномерным задачам линейного и выпуклого программирования. В последнее время получили развитие схемы двойственности с модифицированными функционалами Лагранжа, для решения бесконечномерных вариационных неравенств механики.

Известные методы решения вариационных неравенств в механике, основанные на поиске седловых точек функционалов Лагранжа, как правило, предполагают сильную выпуклость минимизируемых функционалов. Для подобных задач сходимость имеет место только по прямой переменной классического функционала Лагранжа и обеспечивается согласованием константы сильной выпуклости с шагом сдвига по двойственной переменной. Поэтому для полукоэрцитивных вариационных неравенств алгоритмы поиска седловых точек, основанные на классических функционалах Лагранжа, непригодны. Для преодоления этого затруднения в работах [3], [4], [23], [24] рассматривается модифицированный функционал Лагранжа. Методы двойственности, основанные на модифицированном функционале Лагранжа, обеспечивают сходимость к седловой точке, как по прямой, так и по двойственной переменной, причем не, только в коэрцитивных, но и в полукоэрцитивных вариационных неравенствах.

Так же вариационные задачи минимизации недифференцируемых функционалов часто возникают в задачах механики, учитывающих трение. Конечноэлементная аппроксимация таких задач приводит к конечномерной выпуклой задаче негладкой оптимизации [5], [8]. Поэтому стандартный подход к решению таких задач заключается в сглаживании недифференцируемого слагаемого в исходной задаче [24], либо в применении специальных алгоритмов негладкой оптимизации. В некоторых случаях задачу безусловной минимизации недифференцируемого функционала удается свести к задаче условной минимизации дифференцируемого функционала, для решения которой можно применить эффективные методы условной оптимизации [22], [25]. В данной работе исследуется метод решения полукоэрцитивной задачи с заданным трением, позволяющий сглаживать вспомогательный функционал на каждом шаге итерационного процесса.

Несмотря на ряд важных достижений в области решения вариационных неравенств, в настоящее время мало проводится исследований, относящихся к обоснованию применения принципов двойственности для решения вариационных задач механики.

Цель работы.

Построение и обоснование новых методов двойственности для решения полукоэрцитивных вариационных неравенств, соответствующих скалярной задаче Синьорини и модельной задаче с заданным трением.

Методы исследования.

В работе использованы вариационные принципы механики сплошной среды [2], методы функционального анализа, теория выпуклого анализа, теория вариационных неравенств [2], методы вычислительной математики и математического программирования, теория пространств С.Л. Соболева, общая теория нелинейных краевых задач.

Научная новизна.

В диссертации исследуется задача Синьорини в полукоэрцитивной и коэрцитивной постановках и модельная задача с заданным трением. Для данных задач были получены следующие результаты:

- разработан, обоснован и реализован алгоритм численного решения полукоэрцитивной скалярной задачи Синьорини методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения;

- показано, что даже в коэрцитивном случае модифицированные функционалы Лагранжа ведут себя лучше как в теоретическом, так и 2 в практическом плане (параметр сдвига 0 < р < для классического функционала должен быть достаточно мал, а для модифицированного функционала он должен быть лишь положительным г > 0 );

- введен и изучен новый вид модифицированного функционала Лагранжа и на его основе разработан, обоснован и реализован сглаживающий алгоритм численного решения модельной задачи с заданным трением методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения, когда сглаживание вспомогательного функционала происходит на каждом шаге итерационного процесса.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на X (2007 г., г. Хабаровск) и XIII (2011 г., г. Хабаровск) краевых конкурсах молодых ученых; на научных семинарах по дифференциальным уравнениям в ТОГУ (руководитель проф. А.Г. Зарубин); на XXXIV (2009 г., г. Хабаровск) и XXXV (2010 г., г. Владивосток) Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Е.В. Золотова; на девятом международном форуме студентов, аспирантов и молодых учёных стран Азиатско-Тихоокеанского региона (2009 г., г. Владивосток); на научном семинаре Вычислительного центра ДВО РАН (рук. член.-корр. РАН, д.ф.-м.н., Смагин С.И.), г. Хабаровск (2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 5 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы (§§1-5 в главе 1, §§1-3 в главе 2, §§1-4 в главе 3), заключения и трех приложений. Общий объем диссертации составляет 105 страниц машинописного текста, включает список литературы из 80 наименований. Нумерация формул в диссертационной работе состоит из двух чисел: первое число — номер параграфа, второе -порядковый номер формулы в этом параграфе. Нумерация теорем состоит из двух чисел: первое число — номер главы, второе — порядковый номер теоремы в этой главе.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Ткаченко, Алексей Сергеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена обоснованию и применению новых схем двойственности, основанных на модифицированных функционалах Лагранжа, для решения вариационных неравенств. Исследования были проведены с использованием вариационных принципов механики сплошной среды, методов функционального анализа, теории выпуклого анализа, а так же методов вычислительной математики и математического программирования. Получены следующие новые результаты:

1) разработан, обоснован и реализован алгоритм численного решения для полукоэрцитивной скалярной задачи Синьорини методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения;

2) показано, что даже в коэрцитивном случае модифицированные функционалы Лагранжа ведут себя лучше как в теоретическом, так и в практическом плане (параметр сдвига 0<р< —^у для И классического функционала должен быть достаточно мал, а для модифицированного функционала он должен быть лишь положительным г > 0 );

3) введен и изучен новый вид модифицированного функционала Лагранжа и на его основе разработан, обоснован и реализован сглаживающий алгоритм численного решения модельной задачи с заданным трением методом Удзавы с итеративной регуляризацией модифицированного функционала Лагранжа на последовательности триангуляций области решения, когда сглаживание вспомогательного функционала происходит на каждом шаге итерационного процесса.

О достоверности полученных результатов можно судить по совпадению (в рамках некоторых допустимых погрешностей) приближенных решений, полученных при решении задач различными методами: методом поточечной релаксации с проектированием и методом Удзавы, как с классическим, так и с модифицированным функционалом Лагранжа.

Главный вывод по диссертационной работе. Модифицированные функционалы Лагранжа являются эффективным инструментом при исследовании и решении как полукоэрцитивных, так и коэрцитивных вариационных неравенств механики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ткаченко, Алексей Сергеевич, 2011 год

1. Главачек, И. Решение вариационных неравенств в механике /

2. И. Главачек, Я. Гаслингер, И. Нечас, Я. Ловишек. М.: Мир, 1986.

3. Дюво, Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе. -М.: Мир, 1980.

4. By, Г. Метод итеративной проксимальной регуляризации для поиска седловой точки в полукоэрцитивной задаче Синьорини / Г. By,

5. С. Ким, Р.В. Намм, С.А. Сачков // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. Т. 46, № 11. — С. 2024-2031.

6. Гловински, Р. Численное исследование вариационных неравенств / Р. Гловински, Ж.-Л. Лионе, Р. Тремольер. М.: Мир, 1979. - 574 С.

7. Brezis, H. Problèmes unilatéraux / H. Brezis // J. de Math. Pures et Appliquées. 1972. -№ 51. - P. 1-168.

8. Grisvard, P. Boundary value problems in nonsmooth domains / P. Grisvard // Univ. Dept. Math. College Park, MD, Maryland, 1980.

9. Glowinski, R. Numerical methods for nonlinear variational problems / R. Glowinski. New York: Springer, 1984. - 381 P.

10. Гроссман, К. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации / К. Гроссман, А.А. Каплан. — Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1981. — 183 С.

11. Голынтейн, Е.Г. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации / Е.Г. Голынтейн, Н.В. Третьяков. М.: Наука, 1989.-400 С.

12. Васильев, Ф.П. Методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. -М.: Наука, 1981. -400 С.

13. Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. -М.: Мир, 1979. 399 С.

14. Scarpini, F. / F. Scarpini, М.А. Vivaldi // Error estimates for the approximation of some unilateral problems // R.A.I.R.O. Analyse Numeriqe / Numerical Analysis. 1977. - №11. - C. 197-208.

15. Намм, P.B. О единственности гладкого решения в статической задаче с трением по закону Кулона и двусторонним контактом /Р.В. Намм // ПММ. 1995. - Т. 59, № 2. С. 330-335.

16. Бертсекас, Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа / Д. Бертсекас. М.: Радио и связь, 1987. - 399 С.

17. Ito, К. Augmented Lagrangian methods for nonsmooth convexoptimization in Hilbert spaces / K. Ito, K. Kunisch // Nonlinear Analysis. -2000.-V. 41.-P. 591-616.

18. Вихтенко, Э.М. Схема двойственности для решения полукоэрцитивной задачи Синьорини с трением / Э.М. Вихтенко,

19. P.B. Намм // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. - Т. 47, № 12. - С. 2023-2036.

20. Кушнирук, H.H. Метод Удзавы с модифицированной функцией Лагранжа для решения задачи о движении жидкости в бесконечной трубе с трением на границе / H.H. Кушнирук // Информатика и системы управления. -2009. № 1(19). - С. 3-14.

21. Вихтенко, Э.М. Характеристические свойства модифицированного функционала Лагранжа в полукоэрцитивной скалярной задаче Синьорини / Э.М. Вихтенко, Р.В. Намм // Вестник ТОГУ. 2008. - № 4 (11).-С. 77-86.

22. Kikuchi, N. and Oden T. Contact Problem in Elasticity: A Study of Variational Inequalities and Finite Element Method / N. Kikuchi, T. Oden. -Philadelphia: SIAM, 1988. P. 495.

23. Кушнирук, H.H. Метод множителей Лагранжа для решения полукоэрцитивной модельной задачи с трением / H.H. Кушнирук, Р.В. Намм // Сибирский журнал вычислительной математики. 2009. -Т. 12, №4.-С. 409-420.

24. Fishera, G. Problemi elastostatici con vincoli unilaterali : il problema di Signorini con ambiguë condizioni al contorno / G. Fishera // Mem. Accad. Naz. Lincei. Ser. 8, 7. - 1964. - P. 91-140.

25. Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. - 587 С.

26. Байокки, К. Вариационные и квазивариационные неравенства: Приложения к задачам со свободной границей / К. Байокки, А. Капело. -М.: Наука, 1988. 448 С.

27. Glavachek, I. Numerical solution of variational inequalities / Glavachek I., J. Haslinger, I. Ñecas, J. Lovishek. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1988.-322 P.

28. Андерсен, JI.-E. Трещина, выходящая за контактную границу. Метод фиктивных областей и инвариантные интегралы / JI.-E. Андерсен,

29. A.M. Хлуднев // Сибирский журнал индустриальной математики. -2008. Т. XI, № 3. - С. 15-29.

30. Аннин, Б.Д. О численной реализации вариационного неравенства в задачах динамики упругопластических тел / Б.Д. Аннин,

31. B.М. Садовский // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1996. Т. 36, № 9.

32. Аннин, Б.Д. Упруго-пластическая задача / Б.Д. Аннин, Г.П. Черепанов. М.: Наука, 1983. - 239 С.

33. Антипин, A.C. Регуляризированный метод с прогнозом для решения вариационных неравенств с неточно заданным множеством / A.C. Антипин, Ф.П. Васильев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2004. Т. 44, № 5. - С. 796-804.

34. Бадриев, И.Б. Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами / И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов // Известия ВУЗов. Математика. 2003. - № 1. - С. 20-28.

35. Бердичевский, B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды / В.Л. Бердичевский. М.: Наука, 1983. - 448 С.

36. Коннов, И.В. Комбинированный метод для решения вариационных неравенств с монотонными операторами / И.В. Коннов // Журналвычислительной математики и математической физики. — 1999. — Т. 39, №7.-С. 1091-1097.

37. Коннов, И.В. Метод множителей Лагранжа для вариационных неравенств / И.В. Коннов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. - Т. 41, № 9. - С. 1344-1357.

38. Коннов, И.В. Метод спуска для негладких вариационных неравенств / И.В. Коннов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. Т. 46, № 7. - С. 1251-1257.

39. Коннов, И.В. О системах вариационных неравенств / И.В. Коннов // Известия ВУЗов. 1997. - № 12. - С. 79-88.

40. Konnov, I.V. Combined relaxation methods for variational inequality problems over product sets / I.V. Konnov // Lobachevskii J. Math. 1999. -V. 2.-P. 3-9.

41. Лапин, A.B. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации / A.B. Лапин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. - Т. 19, № 3. — С. 689-700.

42. Лапин, A.B. Об аппроксимации нелинейных стационарных вариационных неравенств / A.B. Лапин // Исследования по прикладной математике. — 1981. — Вып. 9. С. 9-23.

43. Мосолов, П.П. Механика жестко-пластических сред / П.П. Мосолов, В.П. Мясников. -М.: Наука, 1981.-208 С.

44. Рудой, Е.М. Односторонний контакт пластины с тонким упругим препятствием / Е.М. Рудой, A.M. Хлуднев // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. - Т. XII, № 2. - С. 120-130.

45. Рязанцева, И.П. О разрешимости вариационных неравенств с неограниченными полумонотонными отображениями / И.П. Рязанцева // Известия ВУЗов. Математика. — 1999. № 7. — С. 49-53.

46. Уральцева, Н.Н. О регулярности решений вариационных неравенств / Н.Н. Уральцева // Успехи математических наук. 1987. - Т. 42, № 6. -С. 151-174.

47. Уральцева, Н.Н. Теоремы регулярности для вариационных неравенств и односторонних задач / Н.Н. Уральцева, Т.Н. Рожковская // Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды международной конференции. Новосибирск: Наука.- 1987.-С. 187-192.

48. Laitinen, E. Large splitting iterative methods and parallel solution of variational inequalities / E. Laitinen, A.V. Lapin, J. Pieska // Lobachevskii J. Math.-2001.-V. 8.-P. 167-184.

49. Васильев, Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач / Ф.П.Васильев. М.: Изд-во Московского университета, С. 1974. — 374.

50. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. -М.: Наука, 1980. 518 С.

51. Нурминский, Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации / Е.А. Нурминский. М.: Наука, 1991. - 167 С.

52. Мину, М. Математическое программирование: теория и алгоритмы / М. Мину. М.: Наука, 1990. - 485 С.

53. Поляк, Б.Т. Введение в оптимизацию / Б.Т. Поляк. — М.: Наука, 1983. — 384 С.

54. Пшеничный, Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах / Б.Н. Пшеничный, Ю.М. Данилин. М.: Наука, 1975. - 319 С.

55. Рокафеллар, Р.Т. Выпуклый анализ / Р.Т. Рокафеллар. — М.: Мир, 1973.-469 С.

56. Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. -М.: Мир, 1979. 399 С.

57. Martinet, В. Determination apprachee d'un point fixe d'une application pseudo-contractence / B. Martinet // C.r.Acad.Sci. 1972. - V. 274, № 2. -P. 163-165.

58. Martinet, B. Regularization d'inequations variationelles par approximations successives / B. Martinet // RIRO. 1970. - V. 4, № 3. -P. 154-159.

59. Namm, R.V. About the method with regularization for solving the contact problem in elasticity / R.V. Namm // International series of numerical mathematics. Basel, 1992. -V. 106. - P. 223-228.

60. Namm, R.V. Sadie methods for ill-posed variational inequalities / R.V. Namm // Lecture notes in economics and mathematical systems. -Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1997. -V. 17. P. 497-510.

61. Namm, R.V. Introduction to the theory and solution methods for variational inequalities / R.V. Namm, W. Gyungsoo. Changwon National University Press, 2002. - 117 P.

62. Nguyen, Buong. On parameter choice and convergence rates in regularization for a class of ill-posed variational inequalities / Buong Nguyen, Van Loi Pham // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. - Т. 44, № 10. - С. 1735-1744.

63. Powell, M.J.D. A method for nonlinear constraints in minimization problems / M.J.D. Powell // Optimization, Fletcher R., ed. London: Academic Press, 1969. - P. 283-298.

64. Rockafellar, R.T. A dual approach to solving nonlinear programming problems by unconstrained optimization / R.T. Rockafellar // Mathematical programming. 1973. - V. 5, № 3. - P. 354-373.

65. Rockafellar, R.T. Augmented Lagrangians and applications of the proximal point algoritm in convex programming / R.T. Rockafellar // Math, operations Res. 1979. - V. 1, № 2. - P. 97-116.

66. Rockafellar, R.T. Moreau's proximal mappings and convexity in Hamilton-Jacobi theory / R.T. Rockafellar // Nonsmooth Mechanics and Analysis. 2006- V. 12. - P. 3-12.

67. Rockafellar, R.T. The multiplier method of Hestenes and Powele applied to convex programming / R.T. Rockafellar // Journal of optimization theory and applications. 1973. - V. 12, № 6. - P. 555-562.

68. Schmitt, H. On the regularized Bingham problem / H. Schmitt // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1997. V. 452. - P. 298-315.

69. Turner, M.J. Stiffness and deflection analysis of complex structures / M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin, L.J. Topp // J. Aero Sci. 1956. -№23.-P. 805-823.

70. Список работ, опубликованных по теме диссертации

71. Ткаченко, A.C. Решение полукоэрцитивной скалярной задаче Синьорини методом Удзавы / Р.В. Намм, A.C. Ткаченко // Вестник ТОГУ. 2007. - № 4 (7). - С. 161-170.

72. Ткаченко, A.C. Решение полукоэрцитивной задачи Синьорини методом итеративной проксимальной регуляризации модифицированного функционала Лагранжа / Р.В. Намм, A.C. Ткаченко // Известия вузов. Математика. 2010. — № 4. - С. 36-46.

73. Ткаченко, A.C. О сходимости методов двойственности в вариационном неравенстве Синьорини / A.C. Ткаченко // Материалы III конкурса-конференции научных работ молодых ученых Тихоокеанского государственного университета. — 2010. С. 44-51.

74. Ткаченко, A.C. О сходимости методов двойственности в вариационном неравенстве Синьорини /A.C. Ткаченко // ДМЖ. -2010.-Т. 10, № 1.-С. 70-80.

75. Ткаченко, A.C. О сглаживающем методе двойственности для решения модельной задачи с заданным трением / Р.В. Намм, A.C. Ткаченко // Вестник ТОГУ. 2010. - № 3 (18). - С. 13-23.