Аппроксимационные и регуляризирующие свойства штрафных функций и функций Лагранжа в математическом программировании тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, доктор физико-математических наук Скарин, Владимир Дмитриевич

• Скарин, Владимир Дмитриевич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Скарин, Владимир Дмитриевич

Введение

Глава 1. Метод штрафных функций и несобственная задача выпуклого программирования

§ 1.1. Метод штрафных функций для задач выпуклого программирования.

1.1.1. Метод точных штрафных функций.

1.1.2. Асимптотический случай.

§ 1.2. Метод штрафных функций и оптимальная коррекция несобственных задач выпуклого программирования.

§ 1.3. Метод штрафных функций в лексикографической оптимизации

§ 1.4. Расширенная штрафная функция в анализе несобственных задач выпуклого программирования.

§ 1.5. Комбинирование точной и квадратичной штрафных функций

§ 1.6. Метод барьерных функций.

§ 1.7. Метод барьерных функций и оптимальная коррекция несобственных задач выпуклого программирования.

Глава 2. Методы регуляризированной функции Лагранжа

§ 2.1. Разрешимая задача выпуклого программирования.

2.1.1. Общий вид стабилизирующих функций.

2.1.2. Стабилизирующие функции на базе евклидовой нормы

2.1.3. Применение нормы Гельдера.

§ 2.2. Несобственная задача выпуклого программирования

2.2.1. Несобственная задача выпуклого программирования

1-го рода.

2.2.2. Общий случай несобственности задачи выпуклого программирования.

§2.3. Несобственная задача линейного программирования.

§ 2.4. Несобственная задача квадратичного программирования

§ 2.5. Задача полноквадратичного программирования.

§ 2.6. Об одном общем подходе к оптимальной коррекции несобственных задач выпуклого программирования.

2.6.1. Задача выпуклого программирования с противоречивыми ограничениями

2.6.2. Задача выпуклого программирования с совместной системой ограничений.

Глава 3. Методы регуляризации задач выпуклого программирования

§3.1. Метод штрафных функций и регуляризация задачи выпуклого программирования

§ 3.2. Метод барьерных функций и регуляризация задач выпуклого программирования.

§ З.З.Регуляризирующие свойства модифицированной функции

Лагранжа La{pc, Л) для задач, заданных приближенно

3.3.1. Регуляризация разрешимых задач выпуклого программирования.

3.3.2. Несобственная задача выпуклого программирования

§3.4. Методы регуляризации на основе расширенных штрафных функций.

§ 3.5. Метод расширенной штрафной функции и регуляризация задачи линейного программирования

§3.6. Методы итеративной регуляризации для несобственных задач линейного и выпуклого программирования.

3.6.1. Метод итеративной регуляризации для разрешимой задачи линейного программирования

3.6.2. Итеративная регуляризация несобственной задачи линейного программирования.

3.6.3. Метод итеративной регуляризации для несобственной задачи выпуклого программирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимационные и регуляризирующие свойства штрафных функций и функций Лагранжа в математическом программировании»

Данная работа посвящена построению и исследованию свойств методов численного анализа задач математического программирования (МП), основанных на применении различных модификаций штрафных функций и функций Лагранжа. Основное внимание при этом уделяется задачам оптимизации с особенностями, прежде всего, несобственным и некорректно поставленным.

Рассмотрим задачу МП где X = {х еЖп : Цх) < 0}, /(ж) = [Л(х),., /т(х)] , /¿(ж) непрерывные функции, определенные на 1п (г = 0,1,., т).

Метод штрафных функций лежит в основе универсального подхода к решению экстремальных задач различной природы. Применительно к МП данный метод ставит в соответствие проблеме (1) последовательность задач где = /о(ж) + Ф(ж,г), Ф(ж, г) — заданная некоторым образом функция "штрафа" за нарушение ограничений, определяющих множество X , 7* = [7*1, . , Гт] ~ вектор штрафных коэффициентов, Г{ > 0 , 1 < г < т, Хо — множество более простой природы, чем- X (чаще всего Хо = Мп). Функция Ф(х,г) строится таким образом,, чтобы последовательность решений задачи (2) сходилась (в том или ином смысле при определенном изменении параметра г) к решению исходной задачи (1).

Метод штрафных функций порождает не только целое семейство вычислительных процедур, но и служит эффективным инструментом теоретического анализа задач оптимизации. Методу посвящено большое количество работ (их обзоры содержатся, например, в [12, 20, 47, 55, 83, 112, 167, 184, тш{Мх):хеХ} (=/*),

1)

2>

185]). При этом важное значение имеет метод точных штрафных функций, предложенный в 1966 г. И.И.Ереминым [61, 62, 242]. Данный метод позволяет в принципе свести решение исходной задачи на условный экстремум к однократной минимизации без ограничений подходящим образом выбранной вспомогательной функции. Проблема построения таких функций и нахождение условий точности для различных классов задач МП занимает заметное место в специальной литературе и продолжает оставаться актуальной [48, 52, 56, 57, 68, 185, 192, 197, 206, 211, 243].

Вместе с тем точные штрафные функции не всегда отвечают необходимым условиям гладкости для применения эффективных процедур численной минимизации к решению задачи (2). С другой стороны, выбор конструкций штрафных функций достаточно обширен, что позволяет в общем случае обеспечить требуемые свойства выпуклости и гладкости функции г) при фиксированном г , но при этом сходимость метода достигается в пределе при ттгг —> +оо . С ростом же г увеличивается овражность функции Ф(ж,г) (ухудшается обусловленность (см., например, [123, 217]) задачи (2)), что влечет за собой значительные вычислительные трудности при практическом поиске минимума F(x, г).

Один из возможных путей преодоления трудностей, возникающих вследствие ухудшения обусловленности задачи (2), предлагает метод модифицированной функции Лагранжа. Наиболее прозрачно идея этого метода выглядит для задачи (1) с ограничениями-равенствами fi(x) = 0 , г = 1, m . В этом случае задаче (1) ставится в соответствие задача mî M (х, А, г), (3) X m где М(х, А, г) = /оН + ЕШ + Ф^г), А = [Ai,.,Am] > 0, i

Ф(ж,г) = г > 0. С одной стороны, данный метод можно рассматривать как некоторое расширение метода штрафных функций (за счет введения в штрафную функцию дополнительного слагаемого т

X) )> с Другой — замечаем, что М(х, Л, г) = Ь(х, А) + Ф(ж, г) , где 1

Ь(х, Л) = /о(^) + X Лг/г(ж)) — стандартная функция Лагранжа для задачи (1). Поэтому М(х,Х,г) можно интерпретировать и как определенную модификацию функции Лагранжа для задачи (1).

Хорошо известна тесная связь между решением задачи (1) и нахождением седловых точек [х, А] функции Ь(х, А). Эта связь, выраженная в классической теореме Куна-Таккера [171], играет центральную роль в теории МП. Множители Лагранжа А важны при анализе оптимальности и устойчивости в задаче МП [39, 73, 108], имеют наглядную и полезную интерпретацию, связанную с содержательной постановкой задач, прежде всего, экономических [72, 86, 104]. Идея поиска седловых точек функции Ь(х, А) широко используется для построения численных алгоритмов МП. Типичным представителем таких алгоритмов является градиентный метод Эрроу-Гурвица [171]. Однако данный метод сходится при достаточно жестких ограничениях на задачу (1) [40, 87, 123, 171]. Причина плохой сходимости кроется в неоднородности свойств выпуклости и вогнутости функции Ь(х, А) по х и по А соответственно.

Для улучшения сходимости метода Эрроу-Гурвица и была первоначально использована [171] функция М(х, А, г) из (3). Таким образом, целесообразность рассмотрения модификаций функции Лагранжа обусловлена как трудностями численной реализации алгоритмов, основанных на штрафных функциях, так и алгоритмов поиска седловых точек функции Ь(х, А).

С конца 60-х годов прошлого столетия был предложен достаточно широкий спектр модификаций функции Лагранжа и численных алгоритмов, основанных на их применении, для различных классов задач МП [4, 35, 42, 55, 79, 84, 123, 124, 183, 184, 191, 196, 208, 227, 229, 244]. Как правило, новые функции строились таким образом, чтобы имело место совпадение множеств седловых точек модифицированной функции Лагранжа и функции L(x, А) или оно достигалось в пределе при изменении соответствующих параметров.

Современные тенденции в развитии методов штрафных функций и модифицированных функций Лагранжа состоят как в нахождении новых перспективных конструкций вспомогательных функций (например, сочетающих свойства функции Лагранжа и барьерных функций [127, 128, 176, 179, 195, 226]), так и в максимальном расширении сферы применения этих функций. В первую очередь это касается построения новых алгоритмов для анализа таких классов задач МП, как невыпуклые [48, 58, 84, 95, 178, 186, 187, 191, 202, 210], негладкие [25, 51, 175, 238], нестационарные [32, 55, 75], бесконечномерные [1, 9, 52, 189, 190, 193, 198, 232], многокритериальные [82, 90, 121, 166], полуопределенные [194, 212, 225, 237], билинейные [6, 241], несобственные [29, 76, 126,140,150,155] и некорректные [3,18,19, 22,152], а также задач большой размерности [180]. В настоящей работе основное внимание уделяется применению указанных выше функций к несобственным и некорректным задачам линейного и выпуклого программирования.

Одним из важнейших в теории МП является понятие двойственности. Задача, двойственная к (1), может быть сформулирована как где ф(А) = іпїЦх, А), А = {А Є 1? : ф(А) > -оо} . Из теории двойх ственности для различных классов задач МП известны условия (см., например, [12, 39, 73,129,131,170]), при которых для задач (1) и (4) выполняются соотношения двойственности где X* и А* — множества решений задач (1) и (4) соответственно. max{V>(A) : А Є А}, (= ф*)

4)

X* ^ 0, А* ^ 0, /* =

Если соотношения двойственности (5) не выполняются, то задача (1) становится несобственной [76]. Свойство несобственности тесно связано с тем, совместны или нет множества X и Л. Поэтому о несобственных задачах говорят в более узком смысле как о "противоречивых" моделях МП или как о задачах МП с противоречивыми ограничениями.

Интерес к противоречивым моделям обусловлен как потребностями математической теории (анализ систем уравнений и неравенств, задачи теории приближения функций, некорректные задачи, задачи идентификации, распознавания образов и др.), так и необходимостью анализа прикладных задач с противоречивыми условиями, прежде всего экономических. При этом практика показывает, что появление несовместных моделей в сфере управления производственной деятельностью — это обычное явление. Причинами его могут быть, с одной стороны, погрешности моделирования сложной экономической системы (ошибки в выборе и оценке структурных связей, плохое качество исходной информации, трудности формализации и т.п.), с другой, — объективные противоречия, характеризующие моделируемую систему. Так, для систем управления производственно-экономической деятельностью противоречивость может возникнуть вследствие дефицита сырьевых, финансовых и других ресурсов, необоснованности требований к состоянию технико-экономических показателей, несогласованности целей производства и охраны окружающей среды, стремления к оптимизации по нескольким критериям и т.д.

Распространенность и актуальность несобственных задач порождает острую необходимость разработки теории и методов их численной аппроксимации. Отдельные публикации, связанные с анализом противоречивых задач, появились достаточно давно [60, 63, 103,110, 115, 116]. Систематическое же исследование несобственных задач МП было инициировано работами уральской школы по МП, возглавляемой академиком И.И.Ереминым

65, 67, 74, 76]. Впоследствии эта тема получила достаточно широкое отражение в специальной литературе [17, 26, 28, 29, 44, 46, 78, 89, 102, 111, 114, 125, 169, 172, 188, 216, 231]. В области теории несобственных задач основное внимание уделялось формированию двойственных задач и выводу соотношений двойственности [8, 66, 71, 72, 74, 113], в области численных методов — созданию методов оптимальной коррекции несобственных задач [2, 27, 91, 126, 142, 150]. Построение методов оптимальной коррекции как объективных процедур "развязки" противоречивых ограничений может базироваться на разных идеях. Это может быть идея погружения рассматриваемой противоречивой модели в параметрическое семейство разрешимых задач с нахождением при этом оптимального значения параметра. Далее, существует идея ранжирования ограничений, когда условия задачи разбиваются на две части. Одна часть ограничений определяет непустое множество M , а вторая агрегируется с помощью вспомогательной штрафной функции с последующей ее минимизацией на M . Наконец, это может быть подход с позиций дискретной оптимизации, связанной с решением оптимизационной задачи на совместных покрытиях системы ограничений исходной модели.

Большое значение при численном решении задачи (1) имеет корректность ее постановки. Решение корректно поставленной задачи должно непрерывно зависеть от информации о функциях fi(x). Так как в реальных практических задачах эти функции задаются, как правило, с определенной степенью погрешности, то решение этой приближенной задачи в случае ее корректности и малой величины погрешности будет близким к решению точно заданной задачи. С другой стороны, многие важные в прикладном отношении задачи планирования, проектирования и управления не обладают [163] свойством корректности, т.е. задачи являются некорректно поставленными. Более строго: задача (1) некорректно поставлена [18], если /* > — ОО , X* 0 , существует последовательность точек Xf~ Е X таких, что lim fo{xk) = /* , но lim p(xk, X*) ф 0 . В таких задачах в качеоо к—>оо стве приближенного решения, вообще говоря, нельзя брать элемент минимизирующей последовательности с произвольно большим номером к . Для этой цели требуется строить специальные методы, которые бы обеспечивали сходимость итерационной последовательности точек к множеству решений задачи (1). Такие методы называются методами регуляризации.

Начало исследований теории и методов некорректных задач связано с именами А.Н.Тихонова [161, 162], В.К.Иванова [92, 93], М.М.Лаврентьева [105]. К настоящему времени по данной проблематике опубликовано значительное количество работ, среди которых отметим [15, 18, 21, 24, 69, 94, 101, 106, 117, 163, 164]. К этому направлению также тесно примыкают исследования по устойчивости задач МП (работы [7, 10, 16, 70, 108, 166, 174, 177, 199, 204, 245] — для непрерывных задач МП, [49, 50, 59, 132] — для дискретного случая).

Таким образом, тематика предлагаемой работы, посвященная построению и обоснованию методов МП, основанных на использовании различных модификаций штрафных функций и функций Лагранжа применительно, в первую очередь, к несобственным и некорректным задачам, лежит в русле современных исследований в области математической оптимизации.

Настоящая работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Скарин, Владимир Дмитриевич

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем.

1. Построены новые общие конструкции штрафных функционалов и сформулированы условия точности и асимптотической сходимости метода штрафных функций как для разрешимой задачи выпуклого программирования, так и обеспечивающие оптимальную коррекцию задачи в случае ее несобственности; ■ введены новые перспективные расширения штрафных функций, обладающие характерными свойствами модифицированных функций Лагранжа; построен на основе предложенных вариантов штрафных функций ряд итерационных алгоритмов, сходящихся к решению задачи, аппроксимирующей исходную несобственную постановку.

2. Получены оценки уклонений компонент седловой точки регуляризо-ванной по прямым и двойственным переменным функции Лагранжа Ьа(х, А) от решений исходной и двойственной задач ВП, в том числе, и для несобственных постановок; исследованы различные по степени общности виды стабилизирующих добавок; предложены и обоснованы два универсальных по отношению к типам несобственности подхода к оптимальной коррекции задач ВП, основанных на применении функции Ьа(х, А) .

3. Найдены условия управления параметрами регуляризации а = [а, ¡3] функции Ьа(х, А) в случае симметрической аппроксимации несобственных задач линейного и квадратичного программирования для нахождения минимальных по норме решений соответствующей пары двойственных задач.

4. Исследованы регуляризирующие свойства ряда модификаций штрафных функций и функции La(x, А) в условиях неточно заданной информации об исходной задаче ВП как для разрешимого, так и для несобственного случаев; предложены новые варианты конструктивно реализуемого метода регуляризации для задач линейного и выпуклого программирования, использующие расширенные штрафные функции и функцию La(x, А) и основанные, в частности, на идее итеративной регуляризации.

5. При доказательстве аппроксимационных и регуляризирующих свойств различных модификаций штрафных функций и функции Лагранжа получил систематическое развитие оценочный подход, опирающийся, в первую очередь, на теорию двойственности для соответствующих классов задач оптимизации.

Результаты, составляющие основное содержание диссертации, опубликованы в следующих работах автора:

§ 1.1 - [151, 153], § 1.2 - [140, 141, 153, 154], § 1.3 - [140, 141, 234],

§ 1.4 - [156, 157], § 1.5 - [139, 155], § 1.6 - [139, 155], § 1.7- [150, 155],

§ 2.1 - [135, 235], § 2.2 - [142, 148, 149, 235], § 2.3 - [144],

§ 2.4 - [235], § 2.5 - [147], § 2.6 - [158],

§ 3.1 - [153], § 3.2 - [155], § 3.3 - [152],

§ 3.4 - [157], § 3.5 - [136, 137, 157], § 3.6 - [138, 143, 145].

Обозначения и сокращения

Мп — вещественное п -мерное евклидово пространство; (•, ■) — скалярное произведение в М71; х = [жі,.,жп] — вектор х Є Мп с координатами Xj (при матричной записи х — матрица размера (n х 1)) ; х > 0 — Xj > 0 для всех j = 1,., п ; х > 0 — Xj > 0 для всех j — 1,., п ; {х <е W1 : х > 0} ; ж : £} — множество всех точек х , удовлетворяющих условию С ; — равно по определению;

V х Є М — для всех точек х из множества М ;

3 х Є М — существует точка х множества М ; п

Wx\\i = \хз\ ~~ октаэдрическая норма вектора х ; г=1

Оп^ \ 1/2

Г xf J — евклидова норма вектора х Є Мп ; / п \і/Р

МІр = ( \xj\P) ~ норма Гельдера вектора х (1 < р < оо) ;

ЦхЦоо = max \xj\ — чебышевская норма вектора х ; 1 <j<n

Ат — матрица, транспонированная к матрице А ;

Е — единичная матрица; А\\ — норма матрицы А ; intX — внутренность множества X ; diamX = sup ||ж — у\\ — диаметр множества X ;

Х,уех sup — точная верхняя грань; inf — точная нижняя грань; /+(*) = max {0,/(я)}; а [аь ., ап]+ = [а+,., а+] ег- = ef = [0,., 1,., 0] — г -й единичный вектор пространства Rn ; i df(x) — субдифференциал выпуклой функции f(x) в точке х ; V/M = , • • •, dj^ — градиент функции f(x) в точке ж ; df(x) f(x + al)—f(x) l ' = lim -^-J v ' — производная функции / в точке х по направлению I £ Жп ; Ргм (х) — проекция точки х на множество М С Rn ; р(х, М) = inf IIж — у\\ — расстояние от точки х до множества М ; уеМ

Arg min f{x) — множество точек глобального минимума функции f{x) на хеХ множестве X; arg min f(x) — точка из множества Arg min/(ж); х£Х ХЕХ

1) найти /* = inf f(x),

2) если inf достигается, найти х* = arg min/(ж); xGX

Arg(Р) — множество решений задачи Р ; arg(P) — элемент множества Arg(P) ; opt(P) — оптимальное значение задачи Р ; N — множество натуральных чисел; к,р= {к,к +1,., р}, к,р £ N; 7 ] — целая часть числа 7 ;

ЛП — линейное программирование; КП — квадратичное программирование;

ВП — выпуклое программирование; МП — математическое программирование; НЗ — несобственная задача.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Скарин, Владимир Дмитриевич, 2010 год

1. Абанъкин А.Е.О точных штрафных функциях // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 1995. 3(13). -С. 3-8.

2. Абрамов А.П. Несобственные задачи оптимального выбора плановых пропорций. -В кн. "Исследование операций (модели, системы, решения)". -М.: ВЦ РАН, 1994. -С. 3-14.

3. Антипин A.C. Метод регуляризации в задачах выпуклого программирования // Экономика и матем. методы, 1975. -Т. 11, № 2. -С. 336-342.

4. Антипин A.C. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа. -М.: Изд-во ВНИИСИ, 1979. -74 с.

5. Антипин A.C. О сходимости и оценках скорости сходимости проксимальных методов к неподвижным точкам экстремальных отображений // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1995. -Т. 35, № 5. -С. 688-704.

6. Антипин A.C. Методы множителей в билинейном равновесном программировании с приложением к играм с ненулевой суммой // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2002. -Т. 8, № 1. -С. 3-30.

7. Астафьев H.H. Устойчивость и маргинальные значения задачи выпуклого программирования // Сиб. мат. ж., 1978. -Т. 19, № 3. -С. 491-503.

8. Астафьев H.H. Бесконечномерные задачи линейного программирования с разрывом в двойственности // ДАН СССР, 1984. -Т. 275, № 5. -С. 1033-1036.

9. Астафьев H.H. Бесконечные системы линейных неравенств в математическом программировании. -М.: Наука, 1991. -136 с.229

10. Ашманов С.А. Линейное программирование. -М.: Наука, 1981. -340 с.

11. Ащепков Л.Т., Белов Б.И., Булатов В.П. Численные методы в математическом программировании и оптимальном управлении. -Новосибирск: Наука, 1984. -233 с.

12. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. -М.: Мир, 1982. -583 с.

13. Бакушинский А.Б. Методы решения монотонных вариационных неравенств, основанные на принципе итеративной регуляризации // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1977. -Т. 17, № 6. -С. 1350-1362.

14. Бакушинский А.Б. К принципу итеративной регуляризации // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1979. -Т. 19, № 4. -С. 1040-1043.

15. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1989. -128 с.

16. Белоусов Е.Г. Разрешимость и устойчивость задач математического программирования. -В кн. "Методы оптимизации и их приложения" (Тр. ХШ-й Байкальской междунар. шк.-сем.). -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. -Т. 1. -С. 203-208.

17. Булавский В.А. Обобщенные решения и регуляризация систем неравенств // Вычисл. методы линейной алгебры. -Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1985. -Т. 6. -С. 161-174.

18. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988. -552 с.

19. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. -М.: Факториал, 1998. -176 с.

20. Васильев Ф.П., Ковач М. О регуляризации некорректных экстремальных задач с использованием штрафных и барьерных функций / / Вестник Моск. ун-та. Сер. вычисл. матем. и киберн., 1980. 2. -С. 29-35.

21. Васильев Ф.П., Ячимович М.Д. Об итеративной регуляризации метода условного градиента и метода Ньютона при неточно заданных исходных данных // ДАН СССР, 1980. -Т. 250, № 2. -С. 265-269.

22. Васин В.В., Агеев A.J1. Некорректные задачи с априорной информацией. -Екатеринбург: УИФ Наука, 1993. -262 с.

23. Васин В.В., Еремин И. И. Операторы и итерационные процессы фейе-ровского типа. Теория и приложения. -Екатеринбург: УрО РАН, 2005. -212 с.

24. Ватолин A.A. Об аппроксимации несобственных задач выпуклого программирования // Мат. заметки, 1983. -Т. 33, вып. 4. -С. 627-636.

25. Ватолин A.A. Аппроксимация несобственных задач линейного программирования по критерию евклидовой нормы // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1984. -Т. 24, № 2. -С. 1907-1908.

26. Вересков А.И., Гольштейн Е.Г. О задаче линейного программирования в размытой постановке // Экономика и матем. методы, 1986. -Т. 22, № 6. -С. 1078-1093.

27. Вересков А.И., Третьяков И.В. Об использовании модифицированных функций Лагранжа для корректировки несовместных задач выпуклого программирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1988. 1. -С. 70-81.

28. Вилков В. Б. Некоторые свойства функции Лагранжа в задачах математического программирования // Кибернетика, 1986. -№ 1. -С. 65-69.

29. Владимиров A.A., Нестеров Ю.Е., Чеканов Ю.Н. О равномерно выпуклых функционалах // Вестник Моск. ун-та. Сер. вычисл. матем. и киберн., 1978. 1. -С. 12-23.

30. By Г., Намм Р.В., Сачков С.А. Итерационный метод поиска седло-вой точки для полукоэрцитивной задачи Синьорини, основанный на модифицированном функционале Лагранжа // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 2006. -Т. 46, № 1. -С. 25-36.

31. Гермейер Ю.Б. К задаче отыскания максимина с ограничениями // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1970. -Т. 10, № 1. -С. 39-54.

32. Галл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. -М.: Мир, 1985. -509 с.

33. Голиков А.И. Модифицированные функции Лагранжа в нелинейном программировании. -М.: ВЦ АН СССР, 1988. -56 с.

34. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Отыскание нормальных решений в задачах линейного программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 2000. -Т. 40, № 12. -С. 1766-1786.

35. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Новый метод решения систем линейных равенств и неравенств // Докл. РАН, 2001. -Т. 381, № 4. -С. 444-447.

36. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Нахождение проекции заданной точки на множество решений задач линейного программирования //Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2008. -Т. 14, № 2. -С. 33-47.

37. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. -М.: Наука, 1971. -352 с.

38. Голъштейн Е.Г. Обобщенный градиентный метод отыскания седло-вых точек // Экономика и матем. методы, 1972. -Т. 8, № 4. -С. 569-579.

39. Голъштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лаг-ранжа // Экономика и матем. методы, 1974. -Т. 10, № 3. -С. 568-591.

40. Голъштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лаг-ранжа. Теория и методы оптимизации. -М.: Наука, 1989. -400 с.

41. Горбунов В.К. О регуляризации экстремальных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1991. -Т. 31, № 2. -С. 235-248.

42. Горелик В.А. Матричная коррекция задачи линейного программирования с несовместной системой ограничений // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 2001. -Т. 41, № 11. -С. 1697-1705.

43. Горелик В.А., Ерохин В.И. Оптимальная матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений по минимуму евклидовой нормы. -М.: ВЦ РАН, 2004. -192 с.

44. Горелик В.А., Кондратьева В.А. Параметрическое программирование и несобственные задачи линейной оптимизации. В кн. "Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов". -М.: ВЦ РАН, 1999. -С. 56-82.

45. Гроссман К., Каплан A.A. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. -Новосибирск: Наука, 1981. -184 с.

46. Данилин Ю.М., Ковнир В.Н. Об одной точной штрафной функции для задачи нелинейного программирования // Кибернетика, 1986.5. -С. 43-46.

47. Девятерикова М.В., Колоколов A.A. Анализ устойчивости некоторых алгоритмов дискретной оптимизации / / Автоматика и телемеханика, 2004. 3. -С. 48-54.

48. Девятерикова М.В., Колоколов А.А., Колосов А.П. К решению дискретной задачи планирования производства с интервальными данными // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2008. -Т. 14, № 2. -С. 48-57.

49. Демьянов В.Ф. Точные штрафные функции в задачах негладкой оптимизации // Вестник СПб ун-та. Сер. 1, 1994. 4(12). -С. 21-27.

50. Демьянов В. Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. -М.: Высш. шк., 2005. -335 с.• 53. Денисов Д. В. Метод итеративной регуляризации в задачах условной минимизации // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1978. -Т. 18, № 6. -С. 1405-1415.

51. Дикин И.И., Зоркальцев В.И. Итеративное решение задач математического программирования (алгоритмы метода внутренних точек). -Новосибирск: Наука, 1980. -144 с.

52. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. -М.: Наука, 1982. -432 с.

53. Евтушенко Ю.Г. Оценки точности в методах штрафных функций. -В кн. "Проблемы прикладной математики и информатики". -М.: Наука, 1987. -С. 199-208.

54. Евтушенко Ю.Г., Жадан В. Г. Точные вспомогательные функции в задачах оптимизации // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1990. -Т. 30, № 1. -С. 43-57.

55. Евтушенко Ю.Г., Жадан В. Г. Барьерно-проективные и барьерно-ньютоновские методы решения задач нелинейного программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1994. -Т. 34, № 5. -С. 669-684.

56. Емеличев В.А., Подкопаев Д.П. Устойчивость и регуляризация векторных задач целочисленного линейного программирования // Дискретный анализ и исслед. операций. Сер. 2, 2001. Т. 8. -С. 47-69.

57. Еремин И. И. О несовместных системах линейных неравенств // ДАН СССР, 1961. -Т. 138, № 6. -С. 1280-1283.

58. Еремин И. И. О методе штрафов в выпуклом программировании // Тез. междунар. матем. конгр. Секц. 14. -М., 1966.

59. Еремин И. И. Метод "штрафов" в выпуклом программировании // ДАН СССР, 1967. -Т. 173, № 4. -С. 748-751.

60. Еремин И. И. О задачах выпуклого программирования с противоречивыми ограничениями // Кибернетика, 1971. 4. -С. 124-129.

61. Еремин И. И. О задачах последовательного программирования // Сиб. мат. ж., 1973. Т. 14, №. 1. -С. 53-63.

62. Еремин И. И. Двойственность для несобственных задач линейного и выпуклого программирования // ДАН СССР, 1981. -Т. 256, № 2. -С. 272-276.

63. Еремин И. И. Двойственность и аппроксимация для несобственных задач математического программирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1987. 1. -С. 70-81.

64. Еремин И.И. Противоречивые модели оптимального планирования. -М.: Наука, 1988. -160 с.

65. Еремин И. И. К методу штрафов в математическом программировании // Докл. РАН, 1996. -Т. 346, № 4. -С. 459-461.

66. Еремин И.И. Теория линейной оптимизации. -Екатеринбург: УрО РАН, 1999. -312 с.

67. Еремин И. И. Общая теория устойчивости в линейном программировании // Изв. ВУЗов. Математика, 1999. -№ 12. -С. 43-52.

68. Еремин И. И. Двойственность в линейной оптимизации. -Екатеринбург: УрО РАН, 2001. -180 с.

69. Еремин И. И. Теория двойственности в линейной оптимизации. -Челябинск: "Библиотека А.Миллера", 2005. -196 с.

70. Еремин И.И., Астафьев H.H. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. -М.: Наука, 1976. -192 с.

71. Еремин И.И., Мазуров В.Д., Астафьев H.H. Несобственные задачи линейного и выпуклого программирования. -М.: Наука, 1983. -336 с.

72. Еремин И.И., Мазуров В.Д., Опарин В.Д., Хачай М.Ю. Математические методы в экономике. -Екатеринбург: Изд-во "Y-Фактория", 2000. -280 с.

73. Ерохин В. И. Матричная коррекция двойственной пары несобственных задач линейного программирования // Ж. вычисл. матем. и матом. физики, 2007. -Т. 47, № 4. -С. 587-601.

74. Жадан В. Г. Модифицированные функции Лагранжа в нелинейном программировании // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1982. -Т. 22, № 2. -С. 296-308.

75. Жадан В. Г. Об одном классе итеративных методов решения задач выпуклого программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1984. -Т. 24, № 5. -С. 665-676.

76. Жадан В. Г. О некоторых оценках коэффициента штрафа в методах штрафных функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1984. -Т. 24, № 8. -С. 1164-1171.

77. Жадан В. Г. Точные штрафные функции в невыпуклой многокритериальной оптимизации. -В кн. "Методы оптимизации и их приложения" (Тр. XII-й Байкальской междунар. конф.). -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2001. -Т. 1. -С. 317-323.

78. Жадан В. Г. Численные методы линейного и нелинейного программирования. Вспомогательные функции в условной оптимизации. -М.: ВЦ РАН, 2002. -160 с.

79. Заботин Я.И., Фукин И. А. Об одной модификации метода сдвига штрафов для задач нелинейного программирования // Изв. ВУЗов. Математика, 2000. 12. -С. 49-54.

80. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. -М.: Сов. радио, 1973. -312 с.

81. Зоркалъцев В.И. Обоснование алгоритма внутренних точек // Ж. вы-числ. матем. и матем. физики, 1999. -Т. 39, № 2. -С. 208-221.

82. Зыкина A.B. Параметризация в несобственных задачах линейного программирования. -В кн. "Дискретная оптимизация и анализ сложных систем". -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989. -С. 56-61.

83. Зыкина A.B. Параметрическое обобщенное решение в линейной векторной оптимизации // Кибернетика и сист. анализ, 2001. 1. -С. 177-181.

84. Зыкина A.B. Обобщенное решение для интерактивной процедуры // Кибернетика и сист. анализ, 2004. -JY® 2. -С. 10-16.

85. Иванов B.K. О линейных некорректных задачах // ДАН СССР, 1962. -Т. 145, № 2. -С. 270-272.

86. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сборник, 1963. -Т. 61, № 2. -С. 211-223.

87. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. -М.: Наука, 1978. -208 с.

88. Ижуткин B.C., Петропавловский М.В. Методы приведенных направлений на основе модифицированной функции Лагранжа для задачи нелинейного программирования // Изв. ВУЗов. Математика, 1995. 12. -С. 33-42.

89. Ижуткин B.C., Петропавловский М.В., Блинов A.B. Методы центров и барьерных функций с использованием приведенных направлений для задачи нелинейного программирования // Изв. ВУЗов. Математика, 1996. 12. -С. 30-41.

90. Ишмухаметов А.З. Двойственный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 2000. -Т. 40, № 7. -С. 1045-1060.

91. Ишмухаметов А.З. Регуляризованные приближенные методы проекции и условного градиента с конечношаговыми внутренними алгоритмами // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 2003. -Т. 43, № 12. -С. 1896-1909.

92. Калинин И.Н., Стерлин A.M. Об одном варианте модифицированной функции Лагранжа // ДАН СССР, 1982. -Т. 267, № 4. -С. 787-789.

93. Каплан A.A. Алгоритмы выпуклого программирования, использующие сглаживание точных функций штрафа // Сиб. матем. ж., 1982. -Т. 23, № 4. -С. 53-64.

94. Карманов В.Г. Математическое программирование. -М.: Наука, 1980. -256 с.

95. Ковалев М.М., Топчишвили А.Л. Несобственные задачи выпуклой дискретной оптимизации // Вестник БГУ. Сер. 1, 1991. 1. -С. 39-41.

96. Коробкин А.Д., Михайленко Ю.М. К анализу несовместных систем ограничений в задачах оптимизации. -В кн. "Применение ЭВМ в оптимальном планировании и управлении". -Новосибирск: ИМ СО РАН, 1980. 4. -С. 3-25.

97. Крушевский A.B., Швецов К.И. Математическое программирование и моделирование в экономике. -Киев: Вища школа, 1979. -456 с.

98. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. -Новосибирск: СО АН СССР, 1962. -92 с.

99. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. -М.: Наука, 1980. -286 с.

100. Левитин Е. С. О корректности ограничений и устойчивости в экстремальных задачах // Вестник Моск. ун-та. Сер. матем., мех., 1968.1. -С. 24-34.

101. Левитин Е.С. Теория возмущений в математическом программиро- „ вании и ее приложения. -М.: Наука, 1992. -360 с.

102. Любич Ю.И., Майстровский Г.Д. Общая теория релаксационных процессов для выпуклых функционалов // Усп. матем. наук, 1970. -Т.25, № 1(151). -С. 57-112.

103. Мазуров Вл.Д. О построении комитета системы выпуклых неравенств // Кибернетика, 1967. -№ 2. -С. 56-59.

104. Мазуров Вл.Д. Метод комитетов в задачах оптимизации и классификации. -М.: Наука, 1990. -248 с.

105. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. -М. : Наука, 1990. -488 с.

106. Мирзоахмедов Ф., Мошеев Л. И. Двойственность для одного класса несобственных задач линейного программирования и их приложения // Кибернетика, 1990. 6. -С. 30-34.

107. Могилевская Р.Л., Шварцман П. А. О корректировке свободных членов несовместной системы линейных неравенств // Экономика и ма-тем. методы, 1988. -Т. 24, № 1. -С. 147-154.

108. Молчанов H.H., Яковлев М.Ф. Итерационные процессы решения одного класса несовместных систем алгебраических уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1975. -Т. 15, № 3. -С. 547-558.

109. Морозов В.А. О псевдорешениях // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1969. -Т. 9, № 6. -С. 1387-1391.

110. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. -М.: Наука, 1987. -239 с.

111. Нестеров Ю.Е. Эффективные методы выпуклой оптимизации. -М.: Радио и связь, 1989. -301 с.

112. Нурминский Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации. -М.: Наука, 1991. -167 с.

113. Панин В.М. Методы конечных штрафов с линейной аппроксимацией ограничений // Кибернетика, 1984. -Ч. 1, № 2. -С. 44-50. -Ч. 2, № 4. -С. 73-81.

114. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. -М.: Сов. радио, 1987. -192 с.

115. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. -М.: Мир, 1974. -376 с.

116. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. -М.: Наука, 1983. -384 с.

117. Поляк Б. Т., Третьяков Н.В. Метод штрафных оценок для задач на условный экстремум // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1973. -Т. 13, № 1. -С. 34-46.

118. Попов Л.Д. Линейная коррекция несобственных выпукло-вогнутых минимаксных задач по максиминному критерию //Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физики, 1986. -Т. 26, № 9. -С. 1325-1338.

119. Попов Л.Д. Применение модифицированного ргох-метода для оптимальной коррекции несобственных задач выпуклого программирования // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1995. -Т. 3. -С. 261-266.

120. Попов Л. Д. Об одной модификации метода логарифмических барьерных функций в линейном и выпуклом программировании // Тр. Инта матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2008. -Т. 14, № 2. -С. 103-114.

121. Попов Л.Д. Схемы включения двойственных переменных в обратные барьерные функции задач линейного и выпуклого программирования // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2009. -Т. 15, № 1. -С. 195-207.

122. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. -М.: Наука, 1980. -320 с.

123. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. -М.: Наука, 1975. -320 с.

124. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. -М.: Мир, 1973. -472 с.

125. Сергиенко И.В., Козерацкая Л.Н., Лебедева Т.Т. Исследование устойчивости и параметрический анализ дискретных оптимизационных задач. -Киев: Наукова думка, 1995. -168 с.

126. Скарин В.Д. О методе штрафных функций для задач нелинейного программирования // ДАН СССР, 1973. -Т. 209, № 6. -С. 1292-1295.

127. Скарин В.Д. Об одной модификации метода штрафных функций в выпуклом программировании // Нелинейная оптимизация и приложения в планировании. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1973. -С. 51-62.

128. Скарин В.Д. К регуляризации минимаксных задач, возникающих в выпуклом программировании //Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1977. -Т. 17, № 6. -С. 1408-1420.

129. Скарин В Д. Об алгоритмах линейного программирования, использующих модификации функции Лагранжа. -В кн. "Методы для нестационарных задач математического программирования". -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1979. -С. 74-83.

130. Скарин В Д. Об одном итерационном методе нахождения нормального решения задачи линейного программирования. -В кн. "Методы математического программирования и приложения". -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1979. -С. 20-25.

131. Скарин В.Д. О некоторых методах анализа несобственных задач выпуклого и линейного программирования. -В кн. "Несобственные модели математического программирования". -ВИНИТИ, 1980. -№2823-80 Деп. -С. 187-234.

132. Скарин В.Д. О скорости сходимости метода барьерных функций. -В кн. "Методы оптимизации и распознавания образов в задачах планирования". -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980. -С. 27-36.

133. Скарин В.Д. К анализу несобственных задач выпуклого программирования с позиций последовательной оптимизации. -В кн. "Несобственные задачи оптимизации". -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. -С. 30-36.

134. Скарин В.Д. О применении метода регуляризации для коррекции несобственных задач линейного программирования 1-го рода. -В кн. "Методы аппроксимации несобственных задач математического программирования". -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. -С. 55-66.

135. Скарин В.Д. Об одном подходе к анализу несобственных задач линейного программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1986. -Т. 26, № 3. -С. 439-448.

136. Скарин В.Д. Об одном методе численного анализа противоречивых задач выпуклого программирования. -В кн. "Противоречивые модели оптимизации". -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987. -С. 56-63.

137. Скарин В.Д. Об одном регуляризирующем алгоритме коррекции противоречивых задач выпуклого программирования с линейными ограничениями. -В кн. "Исследования по несобственным задачам оптимизации". -Свердловск: УрО АН СССР, 1988. -С. 48-56.

138. Скарин В.Д. Регуляризирующий алгоритм для несобственных полноквадратичных задач выпуклого программирования. -В кн. "Нерегулярная двойственность в математическом программировании". -Свердловск: УрО АН СССР, 1990. -С. 58-67.

139. Скарин В.Д. О методе регуляризации для противоречивых задач выпуклого программирования // Изв. ВУЗов. Математика, 1995. 12. -С. 81-88.

140. Скарин В.Д. Об одном универсальном подходе к оптимальной коррекции несобственных задач выпуклого программирования. -В кн.

141. Методы оптимизации и их приложения" (Тр. XI-й междунар. Байкальской шк.-сем.)- -Иркутск: СЭИ СО РАН, 1998. -Т. 1. -С. 56-59.

142. Скарин В.Д. О применении барьерных функций для коррекции несобственных задач выпуклого программирования. -В кн. "Методы оптимизации и их приложения" (Тр. XII-й Байкальской междунар. конф.). -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2001. -Т. 1. -С. 50-54.

143. Скарин В.Д. Оценочный подход в методах линейного и выпуклого программирования // Информ. бюллетень АМП (Приоритетные результаты в области математического программирования. Ч. 1). -Екатеринбург: УрО РАН, 2001. 9. -С. 123-127.

144. Скарин В.Д. О применении функции Лагранжа для регуляризации задач выпуклого программирования. -В кн. "Современные методы оптимизации и их приложения к моделям энергетики". -Новосибирск: Наука, 2003. -С. 189-209.

145. Скарин В.Д. О некоторых регуляризирующих и аппроксимирующих свойствах метода штрафных функций в выпуклом программировании // Оптимизация, управление, интеллект, 2005. 1(9). -С. 107-128.

146. Скарин В.Д. О применении штрафных функций для коррекции несобственных задач выпуклого программирования. -В кн. "Методы оптимизации и их приложения" (Тр. ХШ-й Байкальской междунар. шк.-сем.). -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. -Т. 1. -С. 175-180.

147. Скарин В.Д. О методе барьерных функций и алгоритмах коррекции несобственных задач выпуклого программирования // Тр. Ин-та ма-тем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2008. -Т. 14, № 2. -С. 115-128.

148. Скарин В.Д. Расширенная штрафная функция и оптимальная коррекция несобственных задач выпуклого программирования. -В кн.

149. Методы оптимизации и их приложения" (Тр. XIY-й Байкальской междунар. шк.-сем.). -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2008. -Т. 1. -С. 203-209.

150. Скарин В.Д. Аппроксимационные и регуляризирующие свойства расширенной штрафной функции в выпуклом программировании // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2009. -Т. 15, № 4. -С. 234-250.

151. Скарин В.Д. Об одном общем подходе к оптимальной коррекции несобственных задач выпуклого программирования // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2010. -Т. 16, № 3. -С. 265-275.

152. Стрекаловский A.C. Элементы невыпуклой оптимизации. -Новосибирск: Наука, 2003. -356 с.

153. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. -М.: Наука, 1986. -328 с.

154. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач // ДАН СССР, 1963. -Т. 151, № 3. -С. 501-504.

155. Тихонов А.Н. О некорректных задачах оптимального планирования и устойчивых методах их решения // ДАН СССР, 1965. -Т. 164, № 3. -С. 507-510.

156. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979. -288 с.

157. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. -М.: Наука, 1995. -312 с.

158. Третьяков Н.В. Метод штрафных оценок для задач выпуклого программирования // Экономика и матем. методы, 1973. -Т. 9, № 3. -С. 526-540.

159. Федоров В.В. Численные методы максимина. -М.: Наука, 1979. -280 с.

160. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. -М.: Мир, 1972. -240 с.

161. Численные методы условной оптимизации (ред. Гилл Ф., Мюррей У.). -М.: Мир, 1977. -292 с.

162. Шамрай Н.Б. Вариационный подход к решению несобственных задач линейного программирования. -В кн. "Методы оптимизации и их приложения" (Тр. ХШ-й Байкальской междунар. шк.-сем.). -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. -Т. 1. -С. 155-160.

163. Элъстер К.-Х., Рейнгардт Р., Шойбле М., Донат Г. Введение в нелинейное программирование. -М.: Наука, 1985. -264 с.

164. Эрроу К.Дж., Гурвиц Л., Удзава X. Исследования по линейному и нелинейному программированию. -М.: ИЛ, 1962. -336 с.

165. Amaral РBarahona P. Connections between the total least squares and the correction of an infeasible system of linear inequalities // Linear Algebra and its Appl., 2005. 395. -P. 191-210.

166. Auslender A. Penalty methods for computing points that satisfy second-order necessary conditions // Math. Progr., 1979. -V. 17, № 2. -P. 229-238.

167. Auslender A. Stability in mathematical programming with nondifferen-tiable data // SIAM J. Control Optim., 1984. -V. 22, № 2. -P. 239-254.

168. Auslender A. Numerical methods for nondifferentiable convex optimization // Math. Progr. Study, 1987. -V. 30. -P. 102-126.

169. Auslender A., Cominetti R., Haddou M. Asymptotic analysis of penalty and barrier methods in convex and linear programming // Math. Oper. Res., 1997. -V. 22, № 1. -P. 1-18.

170. Bank В., Guddat J., Klatte В., Rummer В., Tammer K. Non-linear parametric optimization // Berlin: Akademic-Verlag, 1982.

171. Bazaraa M.S., Goode J.J. Sufficient conditions for a globally exact penalty function without convexity // Math. Progr. Study, 1982. -V. 19. -P. 1-15.

172. Benchakroun A., Dussault J.P., Mansouri A. A two parameter mixed interior-exterior penalty algorithm // Math. Methods of Oper. Res., 1995. -V. 41. -P. 25-55.

173. Ben-Tal A., Roth G. A trancated log barrier algorithm for large-scale convex programming and minimax problems: implementation and computational results // Optim. Methods and Software, 1996. -V. 6, № 4. -P. 283-312.

174. Ben-Tal A., Zibulevsky M. Penalty / barrier multiplier methods for convex programming problems // SIAM J. Optim., 1997. -V. 7, № 2. -P. 347-366.

175. Bertsekas D. Combined primal-dual and penalty methods for constrained minimization // SIAM J. Control, 1975. -V. 13, № 3. -P. 521-544.

176. Bertsekas D.P. Multiplier methods: a survey // Automatica, 1976. -Vol. 12, № 2. -P. 133-145.

177. Bourkary D., Fiacco A. V. Survey of penalty, exact-penalty and multiplier methods from 1968 to 1993 // Optimization, 1995. -V. 32, № 4. -P. 301-334.

178. Burke J. V. An exact penalization viewpoint of constrained optimization // SIAM J. Contr. Optim., 1991. -V. 29, № 4. -P. 968-998.

179. Charalambous C. On conditions for optimality of the nonlinear l\ -problem // Math. Progr., 1979. -V. 17, № 2. -P. 123-135.

180. Conn A.R., Gould N.I.M., Toint P.L. A globally convergent augmented Lagrangian algorithm for optimization with general constraints and simple bounds // SIAM J. Numer. Anal., 1991. -V. 28, № 2. -P. 545-572.

181. Dax A. The smallest correction of an inconsistent system of linear inequalities // Optimization and Engineering, 2001. 2. -P. 349-359.

182. Demyanov V.F., Di Pillo G., Facchinei F. Exact penalization via Dini and Hadamars conditional derivatives // Optim. Methods and Software, 1998. -V. 9. -P. 19-36.

183. Demyanov V.F., Giannessi F., Karelin V. V. Optimal control problems via exact penalty functions // J. of Global Optim., 1998. -V. 12, № 3. -P. 215-223.

184. Di Pillo G., Grippo L. Exact penalty functions in constrained optimization // SIAM J. Contr. Optim., 1989. -V. 27. -P. 1333-1360.

185. Dolecky S., Rolewich S. Exact penalties for local minima // SIAM J. Contr. Optim., 1979. -V. 17, № 5. -P. 596-606.

186. Doljansky M., Teboulle M. An interior proximal algorithm and the exponential multiplier method for semidefinite programming // SIAM J. Optim., 1998. -V. 9, № 1. -P. 1-13.

187. Dussault J.-P. Numerical stability and efficiency of penalty algorithms // SIAM J. Numer. Anal., 1995. -V. 32, № 1. -P. 296-317.

188. Dussault J.-P. Augmented non-quadratic penalty algorithms // Math. Progr., Ser. A, 2004. -V. 99. -P. 467-486.

189. Evans J.P., Gould F.J., Tolle J. W. Exact penalty functions in nonlinear programming // Math. Progr., 1973. -V. 4, № 1. -P. 72-97.

190. Evtushenko Y.G., Rubinov A.M., Zhadan V.G. General Lagrange-type functions in constrained global optimization // Optim. Methods and Software, 2001. -V. 16. -P. 193-256.

191. Fiacco A. V. Introduction to sensitivity and stability analysis in nonlinear programming. -New York: Academic Press, 1983.

192. Frank M., Wolfe P. An algorithm for quadratic programming // Naval Res. Logist. Quart., 1956. -V. 3. -P. 95-110.

193. Gill P.E., Murray W., Saunders M.A., Tomlin J.A., Wright M.H. On projected Newton barrier methods for linear programming and an equivalence to Karmarkar's projected methods // Math. Progr., 1986. -V. 36. -P. 183-209.

194. Gould N.I.M., Tomt Ph.L. A note on the corvergence of barrier algorithms to second-order necessary points // Math. Progr., 1999. -V. 85, № 2. -P. 433-438.

195. Grodzevich 0., Wolkowicz H. Reqularization using a parametrized trust region subproblem // Math. Progr., Ser. B, 2009. -V. 116, №1-2. -P. 193-220.

196. Guddat J. Stability in convex quadratic parametric programming // Math. Operationsforsch, 1976. -V. 7. -P. 223-245.

197. Haarhoff P., Buyes J. A new method for the optimization of a nonlinear function subject to nonlinear constraints // Comp. J., 1970. -V. 13, № 2. -P. 171-177.

198. Han S.-P., Mangasarian O.L. Exact penalty functions in nonlinear programming // Math. Progr., 1979. -V. 17, № 3. -P. 251-269.

199. Hartung J. A stable interior penalty method for convex extremal problems // Numer. Math., 1978. -V. 29, № 2. -P. 149-158.

200. Hestenes M. Multiplier and gradient methods //J. Opt. Theory and Appl., 1969. -V. 4, № 5. -P. 303-320.

201. Hu X.M., Ralph D. Convergence of a penalty method for mathematical programming with complementarity constraints //J. Opt. Theory and Appl., 2004. -V. 123, № 2. -P. 365-390.

202. Huang X.X., Yang X.Q. Convergence analysis of a class of nonlinear penalization methods for constrained optimization via first-order necessary optimality conditions // J. Opt. Theory and Appl., 2003. -V. 116, № 2. -P. 311-332.

203. Huang X.X., Yang X.Q. A unified augmented Lagrangian approach to duality and exact penalization // Math. Oper. Res., 2003. -V. 28. -P. 533-552.

204. Huang X.X., Yang X.Q., Teo K.L. Lower-order penalization approach to nonlinear semidefinite programming //J. Opt. Theory and Appl., 2007. -V. 132, № 1. -P. 1-20.

205. Jongmans F. Enquete socio-geometrique sur les vertus de l'ignorance // Bull. Soc. roy. sci. Ligraveege, 1983. -V. 52, no. 4. -P. 5-10.

206. Kanzow C., Qi N., Qi L. On the minimum norm solution of linear programs 11 J. Opt. Theory and Appl., 2003. -V. 116, № 2. -P. 333-345.

207. Karmarkar N. A new polynomial-time algorithm for linear programming // Combinatorica, 1984. -V. 4. -P. 373-395.

208. Khachay M.Yu. On approximate algorithm of a minimal committee of a linear inequalities system // Pattern Recogn. and Image Anal., 2003. -V. 13, № 3. -P 459-464.

209. Lootsma F.A. Boundary properties of penalty functions for constrained minimization // Philips Res. Repts. Suppl, 1970. -V. 25, №. 3. -P. 201-308.

210. Mangasarian O.L. Least-norm linear programming solution as an unconstrained minimization problem //J. Math. Anal, and Appl., 1983. -V. 92, № 1. -P. 240-251.

211. Mangasarian O.L. Normal solution of linear programs // Math. Progr. Study, 1984. -V. 22. -P. 206-216.

212. Mangasarian O.L., De Leone R. Error bounds for strongly convex programs and (super) linearly convergent iterative schemes for the least2.norm solution of linear programs // Appl. Math, and Optim., 1988.17. -P. 1-14.

213. Mangasarian O.L., Meyer R.R. Nonlinear perturbation of linear programs // SIAM J. Contr. Optim., 1979. -V. 17, № 6. -P. 745-752.

214. Miele A., Cragg E.E., Iver R.R., Levy A. V. Use of the augmented penalty function in mathematical programming problems //J- Opt. Theory and Appl., 1971. -V. 8, № 2. -P. 115-153.

215. Miele A., Moseley P.E., Levy A.V., Cog gins G.M. On the method of multipliers for mathematical programming problems // J. Opt. Theory and Appl., 1972. -V. 10, № 1. -P. 1-33.

216. Mifflin R. On the convergence of the logarithmic barrier function method. In "Numerical methods for unconstrained optimization" (F.A. Lootsma, ed.) -London & New York: Acad. Press, 1972. -P. 367-369.

217. Mosheyev L., Zibulevsky M. Penalty / barrier multiplier algorithm for semidefinite programming // Optim. Methods and Software, 2000. -V. 13, № 4. -P. 235-261.

218. Polyak R. Modified barrier functions (theory and methods) // Math. Progr., 1992. -V. 54, № 2. -P. 177-222.

219. Powell M.J.D. A method for nonlinear constraints in minimization problems. In "Optimization" (R. Fletcher, ed.) -London: Acad. Press, 1969. -P. 283-298.

220. Rockafellar R.T. A dual approach to solving nonlinear programming problems by unconstrained optimization // Math. Progr., 1973. -V. 5, № 3. -P. 354-373.

221. Rockafellar R.T. Augmented Lagrange multiplier functions and duality in nonconvex programming // SIAM J. Contr., 1974. -V. 12, № 2. -P. 268-285.

222. Rockafellar R.T. Lagrange multipliers and optimality // SIAM Rev., 1993. -V. 35, № 2. -P. 183-238.

223. Rosen J.B., Park H., Glick J. Total least norm formulation and solution for structured problems // SIAM J. on Matrix Anal. Appl., 1996. -V. 17, № 1. -P. 110-128.

224. Rubinov A.M., Glover B.M., Yang X.Q. Modified Lagrange and penalty functions in continuous optimization // Optimization, 1999. -V. 46. -P. 327-351.

225. Rubinov A.M., Glover B.M., Yang X.Q. Decreasing functions with application to penalization // SIAM J. Optim., 2000. -V. 10. -P. 289-313.

226. Skarin V.D. Methods for the correction of ill-posed problems of linear and convex programming by using a sequential programming approach // Seminarberichte. -Berlin: Humboldt-Univ., Sekt. Math., 1986. 81. -P. 130-144.

227. Skarin V.D. Regularized Lagrange function and correction methods for improper convex programming problems // Proc. of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 1, 2002. -P. S116-S144.

228. Tripathi S.S., Narendra K.S. Constrained optimization problems using multiplier methods //J. Opt. Theory and Appl., 1972. -V. 9, № 1. -P. 59-70.

229. Vanderberge L., Boyd S. Semi-definite programming // SIAM Rev., 1996. -V. 38. -P. 49-95.

230. Ward D.E. Exact penalties and sufficient conditions for optimality in nonsmooth optimization //J. Opt. Theory and Appl., 1988. -V. 57, № 3. -P. 485-499.

231. Watson G.A. Data fitting problems with bounded uncertainties in the data 11 SIAM J. Matrix Anal. Appl., 2001. -V. 22, № 4. -P. 1274-1293.

232. Wierzbicki A. P. A penalty function shifting method in constrained static optimization and its convergence properties // Arch. Automat. Telemech., 1971. -V. 16, № 4. -P. 395-416.

233. Ye J.J., Zhu D.L., Zhu Q.J. Exact penalization and necessary optimality conditions for generalized bileved programming problems / / SI AM J. Optim., 1997. -V. 7. -P. 481-507.

234. Zangwill W.I. Nonlinear programming via penalty functions // Manag. Sci., 1967. -V. 13, № 5. -P. 344-358.

235. Zhou Y.Y., Yang X.Q. Some results about duality and exact penalization // J. Glob. Optim., 2004. -V. 29. -P. 497-509.

236. Zhou Y.Y., Yang X.Q. Duality and penalization in optimization via an augmented Lagrangian functions with applications //J. Optim. Theory and Appl., 2009. -V. 140, № 1. -P. 171-188.

237. Zlobec S. Stable parametric programming. -Dordrecht ets.: Kluwer Academic Publishers, 2001.