Оптимальные задачи передачи энергии в легкогазовых баллистических установках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Леонтьев, Николай Евгеньевич

• Леонтьев, Николай Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Леонтьев, Николай Евгеньевич

Введение.2

Глава 1. Оптимизация ускорения тела в одноступенчатых установках 22

§ 1. Задача Лагранжа. Решения с однородной деформацией.22

§ 2. Оптимизация решения при ограничениях на начальную плотность 25

§ 3. Задача о торможении и разгоне поршня.32

§ 4. Задача Лагранжа при ограничениях на начальное давление.37

§ 5. Оптимизация работы метательной системы с подвижной задней стенкой.,.40

Глава 2. Оптимизация работы установок с деформируемым каналом . 43

§ 1. Постановка задачи. Движения с однородной деформацией.43

§ 2. Предельные оптимальные решения задачи о наилучшем КПД.

§ 3. Оптимизация начальных данных при ограничениях на начальное давление.59

§ 4. Оптимизация начальных данных при ограничениях на начальную температуру.63

§ 5. Оптимизация распределения параметров газа при ограничениях на начальную плотность.67

§ 6. Оптимизация формы боковой стенки. Совместная оптимизация

§ 7. Оптимизация распределения параметров газа и формы канала при движении с нулевым поперечным ускорением. Сравнение с задачей Лагранжа. 79

Глава 3. Оптимизация работы «разрежённых» метательных систем. 87

§ 1. Задача о слое газа между поршнями. 87

§ 2. Оптимизация работы многоступенчатых систем. 90

§ 3. Сравнение результатов оптимизации с точными решениями. 95

Глава 4. Оптимизация работы многоступенчатых легкогазовых баллистических установок. 99

§ 1. Математическая модель легкогазовой баллистической установки 99

§ 2. Оптимизация работы баллистических установок.107

§3.0 численном решении уравнений газовой динамики.114

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальные задачи передачи энергии в легкогазовых баллистических установках»

В пятидесятых годах двадцатого века развитие энергетической, авиационной, ракетной и других отраслей потребовало экспериментального изучения явлений, происходящих при высокоскоростных столкновениях тел с преградами, движениях тел в различных газовых смесях и в других процессах. Для исследований подобных явлений широко используются метательные системы различных типов, позволяющие ускорять небольшие тела массой от долей грамма до десятков граммов до сверхзвуковых скоростей порядка нескольких километров в секунду. В отличие от газодинамических исследований в аэродинамических трубах, где изучается взаимодействие сверхзвукового потока газа с неподвижной моделью, баллистический эксперимент фактически является лётным испытанием модели в лабораторных условиях и обладает рядом преимуществ: от, сутствуют устройства для поддержания модели (как в аэродинамических трубах), имеются возможности создать невозмущённую среду с точно известными характеристиками и не загрязнённую инородными частицами, изучать нестационарные явления, независимо менять числа Маха и Рей-нольдса [48]. В последние годы с применением метательных установок проводились следующие исследования [127,128,134]:

---Изучение картины гиперзвукового обтекания моделей космических аппаратов и их аэродинамических характеристик, т. е. сил и моментов, действующих на тело при полёте в атмосферах планет.

Исследование структуры газовой детонации и горения в сверхзвуковых потоках, вызванных полётом тел в смесях водорода с воздухом и кислородом.

Измерения в различных диапазонах спектра излучения разных газов и аблирующих примесей около тел, летящих с гиперзвуковой скоростью.

Определение основных неравновесных процессов в ударном слое и в следе за аблирующими и неаблирующими моделями, летящими в газовых смесях.

Изучение соударения быстролетящих тел с препятствиями из различных материалов, в том числе с горными породами. Эти исследования позволяют выяснить, как происходила «переработка» древних 3 пород Земли под действием ударов метеоритов и астероидов, выявлять механизмы образования метеоритных кратеров. Исследование динамических характеристик и термодинамических уравнений состояния различных веществ при высоких давлениях и температурах.

Диапазон экспериментальных исследований на баллистических установках непрерывно расширяется, и в последнее время такие системы предлагается использовать в новых направлениях науки и техники. Например, разгон частиц размерами порядка 1 мм до высоких скоростей предполагается использовать для инициирования термоядерного микровзрыва при ударе макрочастицы и подпитки топливом термоядерных реакторов [19,71]. Ещё одной областью применения баллистических установок может стать их использование для запуска в космос летательных аппаратов. Существуют проекты метательных устройств различных типов, которые, возможно, позволят выводить в космическое пространство искусственные спутники и контейнеры с различными материалами [40,44,133], причём запуск должен обходиться гораздо дешевле, чем использование нынешних ракет-носителей [88]. В [123] изложены технические требования к наземной метательной установке, с помощью которой можно запускать снаряды через атмосферу со скоростью свыше 8 км/с. Оценки показывают, что для вывода хорошо обтекаемых снарядов при малой абляции скорость пуска должна ненамного превышать конечную скорость в космосе, а при запуске тел с планет без атмосферы (например, с Луны) проблема абляции вообще отсутствует.

1. Современные методы ускорения тел. Существующие методы ускорения макротел до гиперзвуковых скоростей достаточно разнообразны как по принципам работы установок, так и по массам ускоряемых тел и достигаемым скоростям, а также по возможности использования в тех или иных исследованиях, размерам, стоимости, удобству эксплуатации, износоустойчивости при многократных метаниях тел. Разнообразие типов метательных установок объясняется необходимостью получения скоростей моделей в широком диапазоне, чего нельзя добиться посредством лишь одного типа разгонных устройств [51]. Современное состояние методов ускорения тел до гиперзвуковых скоростей, а также возможно4 сти применения метательных установок в аэробаллистических экспериментах и задачах защиты от метеоритов, управляемого термоядерного синтеза, моделирования ударных явлений и др. обсуждаются в обзорах [51,61,71,87,112,116,120,127,134]. Рассмотрим кратко некоторые наиболее распространённые типы метательных систем.

В задачах, в которых не требуется ускорять тела заданной формы и допустимо частичное разрушение метаемой частицы, широко используются метательные устройства, в которых тело ускоряется продуктами детонации обычного или кумулятивного заряда взрывчатого вещества (ВВ). Такие устройства принципиально просты, легко адаптируются к лабораторным условиям, сравнительно дёшевы, позволяют получать скорости метания в достаточно широком диапазоне и достаточно полно удовлетворяют потребности исследователей как в плане изучения свойств и поведения веществ при экстремальных нагрузках, так и для моделирования метеоритного удара [72]. Для получения кумулятивной струи обычно заряд ВВ имеет коническую выемку, покрытую металлической облицовкой; образующаяся при кумуляции струя расплавленного металла может двигаться с большой скоростью и ускорять тела [61]. Применяют также заряды, имеющие цилиндрическую полость, в которой при кумуляции образуется ударная волна, распространяющаяся вдоль канала [111]. В таких установках тела простой формы массой Ю-2—10 г ускоряются до скоростей 2—12 км/с, микрочастицы массой Ю-11—Ю-5 г — до скоростей 8—15 км/с, фрагменты кумулятивных струй массой Ю-1—1 г — до скоростей 8—21 км/с [61]. Скорости кумулятивных струй, получаемые с помощью взрывчатых веществ, на практике ограничены величинами порядка удвоенной скорости распространения детонационной волны в ВВ [71] и сравнимы с теми, которые дают легкогазовые пушки, но создаваемые взрывом ускорения частиц имеют в некоторые моменты гораздо большие значения. В этом одна из причин, почему ВВ не применяются в настоящее время для метания моделей заданной формы, которые могут разрушаться при движении с большими ускорениями. При взрыве ВВ метаемое тело подвержено абляции, часто разрушается под действием газовой струи, и его характеристики приходится определять косвенным образом и с трудом подвергаются контролю. Кроме того, тело трудно 5 отделить от спутного потока, а отношение массы ВВ к массе метаемого тела может достигать величин 104—106, и для метания тел массой порядка нескольких граммов масса заряда может составлять 10—100 кг [72].

Можно выделить подкласс метательных установок, использующих энергию, выделяющуюся при детонации ВВ, для сжатия газа, который, в свою очередь, ускоряет метаемое тело. Например, в [14,136] приводятся описание и теоретический расчёт гиперзвуковой метательной установки, в которой сжатие газа в цилиндрическом стволе инициируется сходящейся сферической ударной волной в газе, образующейся при детонации заряда ВВ, расположенного на поверхности полусферы. Сообщается о достижении скоростей около 6 км/с телами массой 0,35 г. Другое разгонное устройство, в котором при взрыве окружающего камеру с лёгким газом цилиндрического заряда ВВ сжимающаяся оболочка камеры действует как поршень в газовой пушке, описывается в [139]. Таким образом тела массой 100 г ускорялись до скоростей порядка 6 км/с, частицы массой 0,1 г — до скоростей 7—9 км/с. Газодинамический расчёт метательного устройства, использующего для разгона деформируемого поршня газ, сжимаемый в сужающемся канале при детонации заряда ВВ [20], проводится в [25,26]. Хотя, строго говоря, при подробном описании работы таких метательных систем необходимо рассматривать волновые процессы в рабочем газе, некоторый интерес представляет модельное описание этих устройств с использованием некоторых упрощающих предположений, считая, в частности, что движение газа происходит с однородной деформацией. Такой подход позволяет упростить математическую модель установки и получить решения различных оптимизационных задач (гл. 2).

К другой большой группе метательных устройств можно отнести основанные на разных принципах системы, в которых используется энергия мощных источников электрического тока. В так называемых индукционных ускорителях разгон магнитного диполя осуществляется при включении синхронно с движением модели тока в соленоидах, причём в некоторых случаях увеличение магнитного поля достигается за счёт обжатия соленоида при детонации взрывчатого вещества [48]. Рельсотронные {англ. rail-gun) ускорители [41,81] основаны на ускорении проводника с током (якоря) в магнитном поле электрической цепи, частью кото6 рой является сам проводник (иногда дополнительное магнитное поле создаётся специальным контуром). Ток от источника питания пропускается по контуру, состоящему из двух проводящих параллельных рельсов и замыкающей рельсы подвижной перемычки, которая ускоряется за счёт действия силы Лоренца и выталкивает метаемое тело, то есть фактически такая система является электродвигателем постоянного тока. При использовании в качестве перемычки плазменного якоря, образующегося при взрыве тонкой фольги, рельсотроны называют магнитоплазменными ускорителями (МПУ); впервые такая схема была предложена в 1964 году [41]. Применяются также комбинированные установки, в которых тело сначала разгоняется в предускорителях на основе газовых, легкогазовых, пороховых, электротермических и др. пушек, а затем уже используются электромагнитные силы для дальнейшего ускорения [40,82]. Так, на двухкаскадном ускорителе, первая ступень которого представляет собой легкогазовую пушку, а вторая — электродинамический ускоритель, стеклянные шарики диаметром 0,6 мм ускорялись до 20 км/с [71].

Экспериментальные исследования с электродинамическими установками начались в 1944 году, когда были получены скорости около 1 км/с для тел массой 10 г. Максимальные скорости метания получены на рельсотронах с плазменным якорем: в воспроизводимых опытах с МПУ зарегистрированы скорости 5—7 км/с, а в единичных — 8—11 км/с для тел массой 0,1—1 г [40,81] и 16 км/с для тел массой порядка Ю-5 г [112], однако в проведённых испытаниях рельсовые пушки сильно повреждались от воздействия плазменного якоря и мощных магнитных полей. В ряде работ рассматривались проекты устройств для ускорения частиц массой порядка 1 г до скоростей 12—25 км/с [72], однако реально пока осуществим разгон тел массой в несколько граммов до скорости, близкой к 10 км/с. Состояние рельсовых метательных установок и предполагаемые возможности их развития обсуждаются в работах [41,123].

На конструкцию и работу рельсовых пушек налагается ряд практических ограничений [56]. В большинстве случаев металлический якорь плавится из-за омического нагрева, при этом происходит эрозионное разрушение, обгорание и оплавление рельсов [72]. В процессе выстрела на рельсы и метаемый снаряд действуют значительные нагрузки, большая 7 напряжённость поля между рельсами приводит к возникновению паразитных дуговых разрядов до и после метаемого тела, а сам плазменный якорь может терять устойчивость [95]. Для борьбы с этими нежелательными явлениями используется ряд специальных технических решений: создание предварительного напряжения сжатия конструкции [56], стабилизация плазменной области с помощью задней подвижной стенки [50], магнитного поля внешнего соленоида [107] и др. В [81] рассмотрены физические проблемы, определяющие эффективность разгона макротел в магнитоплазменном ускорителе. Проведённые оценки предельных скоростей разгона метаемого тела по различным физическим механизмам показывают, что допустимые значения скорости в МПУ в типовом режиме ограничены величинами порядка 10 км/с для тел с массой порядка грамма.

Для ускорения очень маленьких частиц используются электростатические ускорители, в которых заряженные тела разгоняются в сильном электрическом поле. Максимальные скорости разгона в таких системах определяются максимальным зарядом частиц (ограничиваемым эмиссией электронов при отрицательном заряде или прочностью частицы при положительном заряде) и достижимым значением напряжённости электрического поля. В настоящее время электростатические ускорители позволяют ускорять тела массой Ю-10—Ю-6 г до скоростей 10 км/с [61], тела субмикронных размеров разгонялись до рекордных скоростей в 160 км/с [72]. Применение нескольких расположенных друг за другом и включаемых синхронно с движением разгоняемой частицы электродов может ещё более увеличить скорость метания микротел. Также применяются установки, в которых ускорение происходит за счёт захвата метаемого тела потоком плазмы. Обычно потоки плазмы получают при взрыве тонких проволочек и фольг [61] или с помощью импульсных плазмотронов. При взрыве проводников максимальные скорости расширения продуктов взрыва значительно выше, чем скорость продуктов взрыва ВВ (скорость звука в плазме может достигать 30—50 км/с). Несмотря на то, что скорости плазменных потоков, получаемые в настоящее время, достигают 103 км/с [71], скорости разогнанных таким методом крупинок массой порядка 1 мг не превышают 40 км/с. Это связано с малыми плотностями массы и импульса, 8 сильной неоднородностью существующих импульсных плазменных потоков [71,72], что делает эти ускорители наиболее эффективными для разгона относительно лёгких частиц малого размера. Кроме этого, как и при работе взрывных ускорителей, в электротермических ускорителях в результате абляции происходит изменение массы метаемого тела, вплоть до полного его испарения.

Интересны разгонные устройства, в которых метаемое тело разгоняется в стволе пушки реактивным твердотопливным двигателем. Этот метод позволяет разгонять тело с почти постоянным ускорением и теоретически достижимые скорости не имеют верхнего ограничения. Однако такая установка должна иметь очень большую длину ствола, требует топлива с очень высокой скоростью горения (на три порядка выше, чем у обычных топлив) и имеется опасность детонации топлива [51]. В [69] рассмотрена возможность ускорения плотных макрочастиц пучком заряженных элементарных частиц или лазерным лучом с помощью создания реактивной тяги при испарении вещества в тонком поверхностном слое частицы или при рассеянии частиц электронного «ветра» на заряженной микрочастице. Проблемы здесь связаны с возможностью зарядки крупинки до высокого потенциала, а также осуществления энергичного электронного пучка большой длительности. Отметим, что при абляционном ускорении, в отличие от обычного реактивного ускорения, источник нагрева находится вне ускоряемого тела. Реально получены скорости 50—70 км/с для частиц с размерами порядка микрометра [71], однако оценки показывают, что для тел миллиметровых размеров даже скорости в 20 км/с не достижимы из-за малой длительности импульса.

2. Легкогазовые баллистические установки. Одним из самых распространённых типов метательных устройств (можно предполагать, около половины действующих ускорителей [51]) являются легкогазовые баллистические установки (ЛГУ), близкие по принципу действия к обычным артиллерийским системам. В настоящее время существует большое число действующих ЛГУ, описание конструкций различных легкогазовых установок можно найти во многих обзорах [48,79,80,127]. Наряду с метательными системами, использующими энергию детонации ВВ, ЛГУ являются одними из наиболее конкурентоспособных разгонных устройств [72].

Рис.В.1

Газодинамический подход к описанию внутренней баллистики метательных систем имеет достаточно давнюю историю. В 1793 г. Лагранж по поручению Конвента первым рассмотрел вошедшую в литературу под его именем задачу о движении снаряда в канале орудия под действием пороховых газов [106]; в 1832 г. его исследования были опубликованы Пуассоном. Считая, что порох сгорает мгновенно, Лагранж выписал уравнения движения газа и поршня и из предположения о постоянстве плотности газа в каждый момент времени получил, что скорость газа распределена по линейному закону. В решениях с таким распределением скорости, которые могу т быть реализованы при специальном задании неоднородного начального давления, почти все частицы газа одновременно приходят в движение, в то время как, например, в случае постоянного начального давления газа между метаемым снарядом и дном установки на плоскости (ж, t) возникает система волн разрежения (рис. В.1), представление о которой впервые ввёл Гюгонио в 1887 году. Им же было найдено решение в области волны разрежения 1, граничащей с невозмущённой областью 0. Решения в областях 2 и 3 (для показателя адиабаты 7 = 3) были опубликованы Ф. Госсо и Ж. Лиувиллем в 1922 году. Сведя задачу к решению уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу, в том же году А. Ляв и Ф. Пиддак получили в рядах решения в областях 3, 4, 5 для показателя адиабаты, удовлетворяющего соотношению 2т = (7 + 1)/(7 — 1), т, € G N [138]. Для этих же значений 7 решение в области 3 было сведено Ю. А. Созоненко к решению нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения [109], а при 7 = 5/з им получено точное решение этого

10 уравнения в бесселевых функциях. Обзор некоторых классических работ, в которых развивался газодинамический подход к решению баллистической задачи Лагранжа, со ссылками на первоисточники можно найти в [114]. Задачу рассматривали также В. А. Фок, Ф. И. Франкль [119], К. П. Станюкович [10], С. А. Чаплыгин (в случае движения с линейным распределением скорости) [124], А. И. Некрасов [76].

Численно задача Лагранжа изучалась в случаях однородного начального состояния газа [93], движения газа в трубе переменного сечения [83], с учётом противодавления [21,73], с использованием специальных уравнений состояния газа [42]. В классе решений с однородной деформацией с случае канала переменного поперечного сечения задача исследовалась в [85]. С помощью замены газа системой частиц с конечным числом степеней свободы задача исследовалась в [75], с учётом горения пороха и трения поршня рассмотрение работы одноступенчатой установки проводилось, например, в [7]. Газовая динамика орудий, включая внутреннюю баллистику и процесс распространения газа за дулом, изучалась в одномерной постановке в [15,16]. Ряд задач об ускорении поршня в трубе, когда в газ вводится некоторое количество энергии, численно и аналитически изучался в [43,55].

Хотя для исчерпывающего описания движения поршня и газа необходимо решать полные уравнения движения газа в двумерной нестационарной постановке, во многих случаях с достаточной для приложений точностью можно изучать работу газодинамических установок используя уравнения газовой динамики в квазиодномерном приближении без учёта теплопроводности [43], о чём говорит сравнение результатов, полученных с помощью точного и приближённого подходов. Например, в двумерной постановке движение газа в трубе переменного сечения рассматривалось в работах [47,100], в которых делается вывод о том, что в рассмотренном диапазоне определяющих параметров имеется малое отличие в одномерном и пространственном случаях, а учёт поперечных изменений слабо сказывается на положении и скорости поршня. В одномерной постановке численные и аналитические решения задач о метании поршня в трубе переменного сечения при наличии продольной теплопроводности приводятся в [43]. В рассмотренных примерах снижение скорости модели

11 по сравнению со случаем, когда теплопроводностью пренебрегают, не превышало долей процента, то есть для данного класса задач влиянием теплопроводности на скорость модели, как и в случае артиллерийских систем [57], можно пренебречь.

Рис. В.2

Пороховые газы обладают достаточно большим молекулярным весом и относительно малой скоростью расширения, поэтому их использование не позволяет ускорять тела быстрее 2—2,5 км/с. Применение лёгких газов с большой скоростью звука (таких как гелий и водород) дало увеличение скорости метания до 3—4 км/с. Кардинальным шагом было использование двухступенчатых установок, в которых пороховые газы в первой ступени толкали поршень, сжимавший лёгкий газ во второй ступени. Впервые эта схема была предложена в 1940-х годах [135]. Такие установки состоят из двух цилиндрических стволов — поршневого 2 и баллистического б, соединённых коническим переходником (рис. В.2). При сгорании порохового заряда 1 образующиеся газы толкают поршень 3, который сжимает лёгкий газ 4. После раскрытия при заранее заданном давлении диафрагмы 5 лёгкий газ входит в баллистический ствол и ускоряет метаемое тело 7. Двухступенчатые установки с тяжёлым недеформируемым поршнем имеют низкую степень сжатия лёгкого газа (около 100) и позволяют ускорять тела до скоростей порядка 4 км/с. Ещё большие скорости достигаются на двухступенчатых ЛГУ с лёгким пластмассовым поршнем (степень сжатия около 1000) за счёт увеличения скорости движения передней границы промежуточного деформируемого поршня во время его входа в коническую часть установки (применение деформируемого поршня и камеры высокого давления конической формы предложено Чар-терсом [61]). Кроме того, удобство применения пластмассового поршня состоит ещё и в том, что он не разрушает установку. В настоящее время с помощью ЛГУ возможно ускорение тел массой Ю-1—1 г до скоростей 9—11 км/с и массой около 103 г до скоростей 3—7 км/с [1,61].

12

Легкогазовые пушки обеспечивают повторяемость, стабильность результатов экспериментов, дают возможность ускорения тел заданной формы и сравнительно большого веса до достаточно высоких скоростей, легко оснащаются стационарными измерительными комплексами.

Расчёт параметров двухступенчатой легкогазовой установки методами классической внутренней баллистики проводился в [140]. В [84,132] предлагались приближённые аналитические методики расчёта ЛГУ, основанные на последовательном расчёте параметров отдельных узлов установки и учитывающие нагрев лёгкого газа при многократном прохождении ударных волн через лёгкий газ. Для численных исследований внутренней баллистики двухступенчатых установок широко применяются уравнения газовой динамики в квазиодномерном приближении [43,90,122], дающие хорошее совпадение с экспериментальными данными. Численное исследование разгона тела газом в установке с каналом переменного поперечного сечения в случае подвижной задней стенки проводилось в [70] в рамках квазиодномерных уравнений газовой динамики с выделением возникающей ударной волны. Изложение основ теории и практики высокоскоростных экспериментальных легкогазовых устройств и принципов расчёта их конструктивных и баллистических параметров, а также результаты исследования процессов, имеющих место при высокоскоростном движении тел различной формы в газообразных и твёрдых средах, можно найти в монографии [48]. Вопросы применения методов теории подобия к задачам моделирования работы двухступенчатых ЛГУ рассмотрены в [8,90], где приведены различные варианты точного и приближённого моделирования метательных установок.

Для повышения скорости метания в ЛГУ используются различные технические решения, например увеличение числа ступеней, применение нетрадиционных схем, дополнительный нагрев газа и т.д. Например, в [142] предлагается трёхступенчатая газовая пушка, предназначенная для изучения ударных явлений при скоростях более 7 км/с. Трёхступенчатые установки, в которых горючее использовалось для движения большого поршня через лёгкий газ (гелий или смесь кислорода и водорода), который в свою очередь приводил в движение меньший поршень, сжимающий гелий, описываются в [18]. На некоторых установках использовался так

13 называемый способ «дульной струи»: несущий метаемое тело поддон деформировался, наталкиваясь на специальную насадку в конце дула, и дополнительно ускорял снаряд, повышая его скорость на 1—2 км/с [51]. В качестве способа увеличения скорости снаряда используется дополнительный разгон тела при помощи реактивных сил. В [137] исследуются схемы легкогазовой пушки с деформируемым поршнем и поршнем, несущим пороховой заряд; приводятся данные об ускорении алюминиевых и нейлоновых шариков диаметром 3 мм до 10,7 км/с. В [122] приводятся результаты теоретического и экспериментального изучения метательных установок с дополнительным твердотопливным зарядом, присоединяемым к тыльной части ускоряемого тела; показана возможность увеличения КПД системы по сравнению с классической схемой без присоединённого заряда.

Повышения скорости метания в ЛГУ можно добиться, предварительно подводя к лёгкому газу дополнительную энергию с использованием тех же методов, которые используются для повышения эффективности ударных труб [6,115]. Так, использование горючих смесей (например, кислорода, водорода и гелия) [61] и электроимпульсного подогрева газа позволяет повысить скорость метания тел массой Ю-4—10~3 кг в одноступенчатых установках до 5—7 км/с [48]. ЛГУ с предварительным электроподогревом газа описываются в [1,13,141]. Кроме того, возможен также подогрев газа в самом процессе выстрела. Численное моделирование ускорения тела в канале с применением электродинамических методов подогрева газа проводится в [39]. В рассмотренном случае за время выстрела конденсаторная батарея не успевает существенно разрядиться и отдать значительную часть энергии газу. В [27] описывается установка, в которой разгон снаряда достигается путём последовательных электродуговых разрядов, происходящих в расширяющемся лёгком газе непосредственно за снарядом при его движении в пусковом стволе газовой пушки. Хотя в экспериментах зарегистрировано увеличение скорости снаряда на 2,5 км/с, отмечается эрозия ствола и загрязнение рабочего газа примесями с большим молекулярным весом, которые выделяются из электродов и стенок камеры. Кроме того, коэффициент полезного действия (КПД) процесса всё ещё остаётся достаточно низким, так как накопленная электрическая энергия не успевает

14 передаться газу за короткое время. Этот относительно сложный метод позволяет надеяться на полезный эффект для сравнительно несовершенных пушек, но полученные результаты довольно скромны [61].

Кроме упомянутых выше методов, для предварительного нагрева газа, в дальнейшем используемого в ЛГУ, можно использовать безударное сжатие газа в специальных установках. Обзор большого числа работ, посвященных математическому описанию и оптимизации процесса безударного сжатия газа, приведён в монографии [9]. Среди методов повышения температуры газа особое место занимает способ, основанный на использовании многокаскадных газодинамических установок, в которых неизоэнтропический нагрев газа осуществляется при многостадийном перепуске газа в вакуумированные объёмы (дросселировании) [48,53]. Описания различных конструкций таких одно- и многокаскадных установок приводятся в работах [17,52-54,97,130]. С помощью таких систем удаётся повышать температуры и давления газов от 2 до 10 раз по сравнению с их первоначальными значениями и получать плазму с температурой до 8000—12000 К и давлением до 5 • 106—108 Па. Для расчёта и оптимизации работы подобных установок с достаточной для практики точностью обычно применяются выражающие баланс массы и энергии приближённые интегральные соотношения, описывающие квазистатические процессы [53]. Также интересны установки, в которых клапан для перепуска газа (сквозное отверстие) делается непосредственно на подвижном поршне. Например, в [131] описывается баллистическая установка для нагрева газа с двумя свободными поршнями, в одном из которых имеется клапан для перепуска газа. В таких системах возможен нагрев газа до 15000 К, а КПД преобразования энергии толкающего газа во внутреннюю энергию плазмы достигает 80%. Задачи о движении поршня, имеющего отверстия, под действием давления расширяющегося газа рассматривались в [43]. В этих расчётах метаемое тело заменялось двумя поверхностями сильного разрыва, на которых выполнялись законы сохранения. Такая схема одномерной аппроксимации хорошо подтверждается анализом решения соответствующих задач в осесимметричной постановке.

3. Оптимизация параметров метательных систем. Как отмечается в

15 обзорах [81], возможности традиционных средств разгона тел (газовых, легкогазовых, пороховых и электротермических пушек, взрывных, взры-вокумулятивных и рельсотронных ускорителей) близки к предельным. В связи с этим особую актуальность получают постановка и решение оптимизационных задач, связанных с работой ускорителей частиц. В этом разделе мы кратко остановимся только на решении задач оптимизации работы легкогазовых баллистических установок.

Для типичных двухступенчатых легкогазовых установок влияние многих конструктивных параметров на скорость модели изучалось экспериментально и теоретически. Обычно скорость метаемой модели возрастает при увеличении веса порохового заряда [48] и длины баллистического ствола [127]. Влияние начального давления в лёгком газе и давления форсирования на скорость метания изучалось в [90].

При оптимизации работы легкогазовых установок с каналом постоянного поперечного сечения можно использовать специальный класс точных решений уравнений газовой динамики с однородной деформацией [78]. В случае систем с относительно длинным стволом эти решения достаточно хорошо описывают движение газа и поршня, позволяя аналитически решать оптимальные задачи при различных ограничениях на начальные данные. Например, в [29] получено решение задачи о наилучшем финальном КПД одноступенчатой установки при двусторонних ограничениях на величину начальной плотности газа. Численно большое количество задач об оптимальном управлении процессом метания поршня изучалось в [43] с использованием прямой минимизации целевых функционалов (методов нелинейного программирования). Показано, что за счёт подвода энергии к лёгкому газу, выбора оптимальных формы канала установки и закона перемещения подвижной задней стенки одноступенчатой установки возможно увеличение скорости метания по сравнению с обычно применяемыми схемами.

Приближённая теория выбора оптимальных параметров двухступенчатых ЛГУ, основанная на аппроксимации скорости метания как функции известных параметров установки, даётся в [48]. Численно-графический метод расчёта оптимальных параметров ЛГУ излагается в [12]. Предварительные данные о желательном распределении масс поршней, обеспечива

16 ющем оптимальную передачу энергии, можно получить, аппроксимируя баллистические установки с большим числом поршней конечномерными системами [32,85]. Например, в работе [74] методом замены газа системой частиц с конечным числом степеней свободы проводится расчёт работы трёхступенчатой метательной установки, в первой ступени которой используется сжатый воздух, а также рассматривается вопрос выбора оптимального режима метания. Движение поршней в многоступенчатых установках исследовалось в квазиоднородном приближении с учётом роста энтропии газа на ударных волнах в [85], где в данном приближении показано, что за счёт введения дополнительного поршня в двухступенчатую установку с постоянной площадью поперечного сечения можно повысить КПД системы. Последующее изучение таких систем с использованием уравнений газовой динамики и учётом процессов горения пороха подтверждает возможность увеличения скорости модели [36].

Близкими по принципу действия и методам оптимизации, применяемым для улучшения рабочих характеристик, являются гидроструйные установки (гидропушки), которые могут использоваться для метания тел [4,59]. Оптимальные задачи для таких систем численно решались в [3,5] с использованием методов вариационного исчисления. Отметим, что в этих задачах при применении метода множителей Лагранжа, как и при использовании методов нелинейного программирования, приходится многократно решать системы гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных для параметров течения и множителей Лагранжа при итерационной минимизации целевого функционала [5].

Результаты численного оптимального проектирования модельных двухступенчатых установок приводятся в [43]. Существенно, что в силу громоздкости математических моделей двухступенчатых ЛГУ применение традиционных вариационных методов в таких задачах затруднительно, в связи с чем обычно приходится использовать так называемые прямые методы вариационного исчисления [58]. Аппроксимация искомых функций (формы канала установки, закона ввода энергии в газ и т.п.) разложением по какой-либо системе базисных функций позволяет свести оптимизацию к задаче о поиске экстремума функции конечного числа переменных при наличии дополнительных ограничений, которая

Г7 может быть решена методами нелинейного программирования. Приводимые результаты расчётов показывают, что за счёт подходящего выбора толкающего газа, начальных условий, профиля камеры сжатия и размеров установки в рассмотренных случаях возможно увеличение скорости метания в несколько раз.

4. Основное содержание данной работы. Диссертация посвящена изучению в различных постановках работы одно- и многоступенчатых метательных установок, а также аналитическому и численному решению оптимальных задач передачи энергии в таких системах.

В настоящем введении дан краткий обзор характеристик современных метательных установок, позволяющих разгонять до гиперзвуковых скоростей модели массой от долей грамма до десятков граммов. Также рассматриваются способы повышения эффективности существующих баллистических установок, кратко перечисляются некоторые результаты решения оптимальных задач.

В первой главе изучаются задачи, связанные с оптимизацией работы одноступенчатых газодинамических метательных систем.

В первом параграфе даётся постановка баллистической задачи Jla-гранжа о метании тела сжатым газом в полу бесконечной трубе. Приводятся сведения об описании работы одноступенчатых установок с использованием точных решений с линейным распределением скорости газа, даются оценки максимально достижимых скоростей метания.

Во втором параграфе в случае постоянного начального давления газа проводится численная оптимизация скорости метания при двусторонних ограничениях на величину начальной плотности газа. При анализе рассматривается класс решений задачи для двухпараметрического семейства трёхступенчатых начальных распределений плотности, удовлетворящих наложенным ограничениям на начальные данные. Даётся сравнение со случаем постоянной начальной плотности газа, проводится сопоставление с известным решением задачи о наибольшем финальном КПД при тех же ограничениях в классе решений с однородной деформацией. Кроме того, рассматривается задача о наибольшем КПД установки в случае постоянного начального давления газа и двухступенчатого кусочно-постоянного распределения начальной плотности при заданном отношении плотно

18 стей. Оптимальное решение, полученное путём численной оптимизации, сравнивается с точным решением этой же задачи в классе решений с однородной деформацией. Обсуждается случай различных показателей адиабаты в «ступенях».

В третьем параграфе описывается задача об ударе тяжёлого поршня по слою газа с примыкающим к нему лёгким поршнем, которую можно рассматривать как простейшую модель работы одной ступени многоступенчатой метательной установки. Получено численное решение задачи с учётом образования ударных волн. Даётся сравнение закона движения поршня с приближённой зависимостью, полученной с использованием решений с однородной деформацией. Также рассматривается задача об ускорении поршня сжатым газом в случае наличия в начальный момент вакуумированной области между газом и поршнем. Показана возможность увеличения скорости поршня по сравнению с традиционной схемой метания.

В четвёртом параграфе приведены предельные решения задачи об оптимальном КПД метательной установки в классе решений с однородной деформацией при двусторонних ограничениях на величину начального давления газа. С использованием интегральных неравенств строятся последовательности начальных данных, для которых в пределе достигается верхняя грань максимизируемого функционала.

В пятом параграфе с использованием решений с линейным распределением скорости газа рассматривается работа метательной установки с подвижной задней стенкой, совершающей некоторую работу за счёт действия внешних сил. В случае двусторонних ограничений на начальную плотность газа решается задача о получении наибольшего КПД установки при выборе параметров газа.

Полученные результаты опубликованы в [33,35,37,64].

Во второй главе решаются задачи, связанные с оптимизацией работы метательных установок с подвижной боковой границей, совершающей некоторую работу над рабочим газом за счёт действия внешних сил. Описание систем проводится с использованием точных решений уравнений газовой динамики с однородной деформацией.

В первом параграфе даётся постановка задачи и приводятся необхо

19 димые для дальнейшего изложения сведения о движениях с линейным распределением скорости. Задача о наибольшем КПД установки сводится к минимизации интегрального функционала от начальных данных. На примере точных решений уравнений газовой динамики с образованием сходящихся ударных волн показывается возможный механизм образования движения газа с однородной деформацией в метательной системе. Проводится анализ степенных решений уравнений, описывающих временную эволюцию системы; в случае отсутствия поперечной стратификации газа отмечается возможность поперечной фокусировки газа с увеличением скорости поршня до бесконечности.

Во втором параграфе получены предельные оптимальные решения задачи о наилучшем КПД при отсутствии ограничений на начальные термодинамические данные. Строится последовательность начальных данных, для которой в пределе достигается наибольший возможный КПД. Аналогичным образом с использованием интегральных неравенств в третьем параграфе проводится оптимизация начальных данных при двусторонних ограничениях на начальное давление. Даётся сопоставление с решением оптимальной задачи в более узких классах начальных распределений плотности.

В четвёртом параграфе с использованием принципа максимума Пон-трягина выполняется оптимизация начальных данных при двусторонних ограничениях на начальную температуру газа. В пятом параграфе рассматривается случай двусторонних ограничений на начальную плотность. Структура оптимального распределения параметров устанавливается с помощью принципа максимума, позволяющего аналитически решить задачу в случае конической боковой стенки. В случае цилиндрической боковой стенки оптимальное решение получается численно с применением метода Ритца. В шестом параграфе проводится численная оптимизация формы боковой стенки в случае изохорических и изотермических начальных данных, а также совместная оптимизация формы боковой стенки и начальных параметров газа.

В седьмом параграфе при отсутствии поперечной стратификации газа аналитически проводится оптимизация КПД установки за счёт вариации формы канала и распределения начальных параметров газа при дву

20 сторонних ограничениях на начальную плотность в случае отсутствия поперечного движения газа, а также в случае поперечной фокусировки газа с постоянной скоростью. Даётся сравнение эффективности метательных систем с подвижной боковой границей и одноступенчатых установок классической схемы с каналом постоянного поперечного сечения.

Полученные результаты опубликованы в [34,62,63,65,66].

Втретьей главе проводится оптимизация работы «разрежённых» многоступенчатых метательных систем с помощью их аппроксимации системами с конечным числом степеней свободы.

В первом параграфе с использованием решений с однородной деформацией рассматривается задача о слое газа между поршнями; выводятся соотношения для скоростей поршней при их разлёте на достаточно большое расстояние. С использованием этих соотношений во втором параграфе проводится оптимизация работы «разрежённых» многоступенчатых систем. Упрощающее предположение о последовательном взаимодействии пар соседних поршней позволяет получить приближённые аналитические решения задачи об оптимизации скорости метания в случаях пренебрежимо малых, а также конечных масс промежуточных газовых слоёв. В третьем параграфе проводится сравнение полученных распределений масс с результатами оптимизации на основе газодинамического описания метательных систем.

Результаты, изложенные в третьей главе, опубликованы в [67].

В четвёртой главе проводится численная оптимизация работы трёхступенчатых баллистических установок с каналами постоянного и переменного поперечных сечений.

В первом параграфе приводится квазиодномерная математическая модель легкогазовой баллистической установки с учётом трения и деформации поршней и горения порохового заряда. Для модели, описывающей газо-пороховую смесь как односкоростную гетерогенную смесь, проводится подбор констант на основе сравнения расчёта работы одноступенчатой установки с опубликованными экспериментальными данными. Даются оценки применимости некоторых сделанных при построении модели предположений.

На основе описанной модели во втором параграфе проводится числен

21 ная оптимизация работы трёхступенчатых баллистических установок при выборе положения и массы промежуточного поршня. Показана возможность увеличения скорости метания двухступенчатой установки за счёт введения дополнительной третьей ступени. Исследуется зависимость скорости модели от некоторых определяющих параметров установки. В третьем параграфе даются сведения об использовавшихся при решении задач газовой динамики численных методах.

Изложенные в четвёртой главе результаты опубликованы в [36,68,86,

87].

В заключении перечислены основные результаты, выносимые на защиту.

22

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Леонтьев, Николай Евгеньевич

Заключение

В диссертации получены следующие результаты, выносимые на защиту.

1. Для одноступенчатых метательных установок с неподвижным цилиндрическим каналом: проведена численная оптимизация скорости метания тела по распределению начальной плотности, имеющей двусторонние ограничения, при постоянном начальном давлении, а также в случае двухступенчатого кусочно-постоянного распределения начальной плотности по величинам её значений; численно решена задача о торможении и последующем разгоне поршня однородным слоем газа; проведено сравнение с решением аналогичной задачи в случае движения с однородной деформацией при подходящем распределении начального давления; численно решена задача об ускорении поршня сжатым газом при наличии в начальный момент вакуума между газом и поршнем (обнаружено увеличение скорости метания по сравнению со случаем примыкания поршня к газу); построена оптимизирующая последовательность начальных данных в задаче о наилучшем КПД метательной установки в классе решений с однородной деформацией при двусторонних ограничениях на величину начального давления газа; проведена оптимизация КПД при наличии подвижной задней стенки в классе движений с линейным распределением скорости при двусторонних ограничениях на начальную плотность.

2. Применение точных решений уравнений газовой динамики с однородной деформацией для исследования работы одноступенчатой метательной установки с подвижной границей, совершающей работу над толкающим газом. Указание в рамках класса решений с однородной деформацией новых интегралов, отвечающих вырожденным случаям движения.

Нахождение оптимизирующей последовательности начальных данных в задаче о наилучшем КПД при отсутствии ограничений на начальные термодинамические параметры. Оптимизация начальных данных в случаях двусторонних ограничений на начальные давление, температуру и плотность газа; численная оптимизация формы границы в случаях постоянных начальных распределений плотности или температуры, а также совместная оптимизация формы границы и начальных параметров газа

П9 при двусторонних ограничениях на начальную плотность газа. Оптимизация КПД установки за счёт вариации формы канала и распределения начальных параметров газа при двусторонних ограничениях на начальную плотность как в случае отсутствия поперечного движения газа, так и в случае поперечной фокусировки газа с постоянной скоростью.

3. Оптимизация скорости метания для многоступенчатых «разрежённых» метательных систем в случаях пренебрежимо малых, а также конечных масс промежуточных газовых слоёв; сопоставление полученных распределений масс с результатами численной оптимизации на основе газодинамического описания баллистических систем. Указание возможности значительного повышения скорости метания за счёт увеличения числа поршней.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Леонтьев, Николай Евгеньевич, 2001 год

1. А н и с и м о в С. П., Л ы с и к о в Ю. И. О расширении газового облака в вакуум // ПММ, 1970, Т. 34, Вып. 5, с. 926-929.

2. Атанов Г. А. Оптимизация выстрела импульсного водомёта с пороховым приводом //Изв. РАН, МЖГ, 1993, № 6, с. 156-159.

3. Атанов Г. А., Губе кий В. Г., Сем ко А. Н. Внутренняя баллистика гидропушки //Изв. РАН, МЖГ, 1997, № 6, с. 175-179.

4. Атанов Г. А., Коломенская В. В. Оптимизация подвода энергии в электроимпульсном водомёте по средней за время выстрела скорости истечения // Изв. РАН, МЖГ, 1997, № 1, с. 104-110.

5. Баженова Т. В., К и р е е в В. Т. Схемы современных ударных труб и особенности течения газа в ударных трубах. Тр. ИМ МГУ, № 20, Часть 1. М.: Изд-во МГУ, 1973, с. 6-26.

6. Баулин Н. Н., И о с е л е в и ч В.А.,Пилюгин Н. Н., Чернявский С. Ю. Влияние трения метаемого поршня на внутреннюю баллистику одноступенчатой установки //Изв. АН СССР, МЖГ, 1978, №3, с. 76-83.

7. Баулин Н. Н., Пилюгин Н. Н., Чернявский С. Ю. Теоретические и экспериментальные исследования внутренней баллистики двухступенчатой поршневой легкогазовой установки. Отчёт ИМ МГУ № 2184. М.: 1979.45 с.

8. Баутин С. П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1997.160 с.121

9. Бетехтин С. А., В и н и ц к и й А. М., Горохов М. С., Станюкович К. П., Федотов И. Д. Газодинамические основы внутренней баллистики. М.: Оборонгиз, 1957. 384 с.

10. Богоявленский О. И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980. 320 с.

11. Б о х а н А. С., К у л и к о в С. В., Л а п и ч е в Н. В. и др. Опыт отработки высокоскоростного метания сферических элементов из ЛГУ. В кн.: Воздействие мощных потоков энергии на вещество. / Подред В.Е. Фортова, Е.А. Кузьменкова. М.: 1992, с. 156-163.

12. Браун В.,Б о й д В.,К э н н о н Е.,П ар т р и д ж В. Легкогазовая пушка с высоким давлением и высокой температурой. В кн.: Техника гиперзвуковых исследований. / Под ред. Г.Ф. Бураго. М.: Мир, 1964, с. 83-93.

13. Броуд Г., Энстром Дж. Применение численного метода в расчётах внутренней баллистики. В кн.: Броуд Г. Расчёты взрывов на ЭВМ. Газодинамика взрывов. М.: Мир, 1976, с. 187-191,

14. Василик Н.Я.,Крупкин В. Г., М ар г о л и н А. Д.,Пин-чук В. В., Шмелев В. М. Оптимизация рабочих процессов в баллистическом плазмотроне с многостадийным нагревом // ТВТ, 1998, Т. 36, №3, с. 380-384.

15. Винтерберг Ф. Получение плотной термоядерной плазмы при помощи интенсивных релятивистских электронных пучков. В кн.: Физика высоких плотностей энергии / Под. ред. П. Кальдиролы и Г. Кнопфеля. М.: Мир, 1974, с. 421-453.

16. В о й т е н к о А. Е. Получение газовых струй большой скорости // Докл. АН СССР, 1964, Т. 158, № 6, с. 1278-1280.

17. Волконская Т. Г., Павлов Б. М., Попов Н. Н. Расчёт процесса сжатия в поршневых установках. В кн.: Численные методы в газовой динамике. Вып. 4, М.: Изд-во МГУ, 1965, с. 184-210.

18. Галеев Э. М. Курс лекций по вариационному исчислению и оптимальному управлению. М.: Изд-во МГУ, 1996. 160 с.

19. Г е л ь ф а н д И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 228 с.

20. Гендугов В. М., Моргунов Ю. А. Внутренняя баллистика взрывного плазменного компрессора // Вестн. МГУ, Сер. 1, Матем. Механ. 1987, № 1, с. 41-46.

21. Г е н д у г о в В. М., Моргунов Ю. А. Исследование динамики пластины и поршня в метательном устройстве типа взрывного компрессора // Вестн. МГУ, Сер. 1, Матем. Механ. 1987, № 3, с. 22-27.

22. Голубятников А. Н. Аффинная симметрия сплошных сред. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2001.94 с.

23. Голубятников А. Н. К оптимальной постановке газодинамической задачи Лагранжа // Вестн. МГУ. Сер. 1, Матем. Механ. 1995, №6, с. 59-61.

24. Голубятников А. Н. О механизме отделения энергии-импульса от массы покоя. В кн.: Механика. Современные проблемы. М.: Изд-во МГУ, 1987. с. 152-157.

25. Г о л у б я т н и к о в А. Н., Плотников С. И. Об отделении энергии от массы в неоднородных дискретных механических системах // Докл. АН СССР, 1989, Т. 309, № 3, с. 559-562.

26. Голубятников А. Н., Леонтьев Н. Е. К оптимизации решения задачи Лагранжа по начальным данным // Труды МИ РАН им. В.А. Стеклова, Т. 223,1998, с. 118-122.

27. Григорян С.С. Новый закон трения и механизм крупномасштабных горных обвалов и оползней // Докл. АН СССР, 1979, Т. 244, № 4, с. 846.

28. Гущин И. С. Метод расчёта ускорения тела в канале в квазиодномерном магнитогидродинамическом приближении. В кн.: Прямые и обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1991, с. 248—258.

29. Д ж о н с Р. М. МикроКЛА научного назначения, запускаемые с помощью электродинамических ускорителей массы // Аэрокосм, техн., 1990, Т. 8, № 11, с. 14-21.

30. Дьяков Б. Б., Резников Б. И. Электромагнитные рельсовые метатели: состояние проблемы и элементарная теория. Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе. Препринт № 969. Л. 1985. 40 с.

31. Ерошин В.А.,Старова Е. Н. Одномерное неустановившееся течение реального газа. В кн.: Численные методы в газовой динамике. Вып. 4, М.: Изд-во МГУ, 1965, с. 221-231.125

32. Жаровцев В. В.,К о м а р о в с к и й Л. В.,П о г о р е л о в Е.И. Математическое моделирование и оптимальное проектирование баллистических установок. Томск: Изд-во ТГУ, 1989. 256 с.

33. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям: Приложения в механике, точные решения. М.: Физматлит, 1993. 464 с.

34. Зельдович Я. Б., Лейпунский О. И., Либрович В. Б. Теория нестационарного горения пороха. М.: Наука, 1975. 132 с.

35. Зинченко Ю.К. Численное решение пространственной задачи Лагранжа. Тр. НИИ ПММ при ТГУ, Т. 4. Томск: Изд-во ТГУ, 1974, с. 110-116.

36. Златин Н. А., Кр ас и л ь щ и к о в А. П., Мишин Г. И., П о-------------п о в Н. Н. Баллистические установки и их применение в экспериментальных исследованиях. М.: Наука, 1974. 344 с.

37. К а р м а н о в В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975. 272 с.

38. Кацнельсон С. С., Загорский А. В. Влияние начального состояния на эффективность разгона в рельсовых электромагнитных ускорителях масс // ПМТФ, 2001, Т. 42, № 1, с. 13-16.

39. КейблА. Ускорители для метания со сверхвысокими скоростями. В кн.: Высокоскоростные ударные явления / Под ред. В.Н.Николаевского. М.: Мир, 1973, с. 13-28.

40. Кислых В. В., В а с и л ь е в В. Н., В е р е м ь е в Е. С. Исследование параметров сжатого газа в установке адиабатического сжатия (УАС) // ТВТ, 1971, Т. 9, № 5, с. 920-925.126

41. Кислых В. В., К р а п и в н о й К. В. Использование неизоэнтро-пического многокаскадного сжатия для получения плотного высокотемпературного газа // ТВТ, 1990, Т. 28, № 6, с. 1195-1204.

42. Кнёос С. Ударная труба со свободным поршнем и перепуском — новое устройство для получения газов при высокой температуре и большом давлении // РТК, 1968, Т. 6, № 4, с. 69-80.

43. Комаровский Л. В., Шабловский О. Н. Аналитические исследования некоторых внутренних задач нестационарной газовой динамики и переноса тепла. Томск: Изд-во ТГУ, 1981. 208 с.

44. Кондратенко М. М., Лебедев Е. Ф., Осташев В. Е. и др. Экспериментальное исследование магнитоплазменного ускорения диэлектрических ударников в рельсотроне // ТВТ, Т. 26, № 1, с. 159-164.

45. Корнер Дж. Внутренняя баллистика орудий. М.: ИЛ, 1953. 462 с.

46. К р а й к о А. Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979. 448 с.

47. Крекнин Д. А., Ерзин М. А. Математическое моделирование гидроструйной установки. В кн.: Международная научно-практическая конференция «Вторые Окуневские чтения». Материалы докладов. СПб.: 2000, с. 92-96.

48. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

49. ЛеконтК. Высокоскоростное метание. В кн.: Физика быстропро-текающих процессов / Под ред. Н.А. Златина. Т. 2. М: Мир, 1971. 252 с.62127

50. Л е о н т ь е в Н. Е. К оптимизации решения задачи Лагранжа при ограничениях на начальные данные. В кн.: Материалы Всероссийской конференции «Современные методы и достижения в механике сплошных сред», Москва, 12-14 ноября 1997, с. 52-54.

51. Л е о н т ь е в Н. Е. Оптимальные задачи ускорения тела сжатым газом. В кн.: Тезисы докладов 1-й Московской конференции «Декомпозиционные методы в математическом моделировании» (Москва, 25-29 июня 2001 г.). М.: ВЦ РАН, 2001. с. 60.

52. Линхарт Дж. Ускорение макрочастиц до гиперскоростей. В кн.: Физика высоких плотностей энергии / Под. ред. П. Кальдиролы и Г. Кнопфеля. М.: Мир, 1974, с. 171-187.128

53. Максимов В. Ф., Филиппов Ю. Г. Разгон тела поршневым сжатием газа // Вестн. МГУ, Сер. 1, Матем. Механ. 1987, № 1, с. 75-78.

54. МанзонБ. М. Ускорение макрочастиц для управляемого термоядерного синтеза // УФН, 1981, Т. 134, Вып. 4, с. 611-639.

55. Мержиевский Л. А., Титов В. М., Фадеенко Ю. И., Швецов Г. А. Высокоскоростное метание твёрдых тел // Физика горения и взрыва, 1987, Т. 23, № 5, с. 77-91.

56. Морозова Т. К., С л а д к о в Ю. Н., Ч у д о в Л. А. Разностный метод решения задачи о движении газа в трубе переменного сечения. В кн.: Численные методы в газовой динамике. Вып. 4, М.: Изд-во МГУ, 1965, с. 232-241.

57. М у м и н о в М. М. К выбору оптимального режима для установки с двухступенчатым сжатием лёгкого газа. Отчёт ИМ МГУ № 500. М.: 1965. 22 с.

58. М у м и н о в М. М. Расчёт движения газа в трубе методом замены газа системой частиц с конечным числом степеней свободы. В кн.:-----------------Численные методы в газовой динамике. Вып. 4, М.: Изд-во МГУ,1965, с. 242-254.

59. И е к р а с о в А. И. О движении снаряда в канале орудия. В кн.: Собр. соч. А.И. Некрасова. Т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1962, с. 661-663.

60. НигматулинР. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.

61. Овсянников Л. В. Новое решение уравнений гидродинамики // Докл. АН СССР, 1956, Т. Ill, № 1, с. 47-49.

62. Основные данные аэродинамических труб и газодинамических установок США. М.: Изд-во ЦАГИ, 1968. 304 с.

63. Основные данные иностранных аэродинамических труб и газодинамических установок. М.: Изд-во ЦАГИ, 1968. 264 с.129

64. Осташев В. Е., Лебедев Е. Ф., Фортов В. Е. Причины ограничения скорости разгона макротел в магнитоплазменном ускорителе // ТВТ, 1993, Т. 31, № 2, С. 313-320.

65. Осташев В.Е.,Старцев С.А.,Ульянов А. В., Янковский Б. Д. Инициирование электрического тока в высокоскоростном якоре рельсотрона // ТВТ, 1995, Т. 33, № 3, с. 473-478.

66. Пав лов Б.М.,Попов Н.Н. Численное решение задачи Лагранжа для канала переменного сечения. В кн.: Численные методы в газовой динамике. Вып. 4, М.: Изд-во МГУ, 1965, с. 211-220.

67. Палкин С. Н., Резников Б. И. Расчёт легкогазовой пушки с лёгким поршнем. В кн.: Аэрофизические исследования сверхзвуковых течений. М.-Л.: Наука, 1967, с. 210-218.

68. Пилюгин Н. Н., Голубятников А. Н., Соколик A.M. Исследование оптимальной передачи энергии и повышение скорости метания в легкогазовых баллистических установках. Отчёт ИМ МГУ № 4169. М.: 1990. 40 с.

69. Пилюгин Н. Н., Л е о н т ь е в Н. Е. Возможности повышения---------------скорости метания тел в баллистических установках. Отчёт ИМ МГУ4554. М.: 1999.41 с.

70. Пилюгин Н. Н., Л е о н т ь е в Н. Е. Возможности повышения скорости метания тел в баллистических установках. ИМ МГУ, Препринт № 52-99,1999. 58 с.

71. Пилюгин Н. Н., Лишевский В. П. Начинается пушечная космонавтика//Инженер, 1997, № 9, с. 12-14.

72. Пилюгин Н. Н., Соколик А. М. Исследование возможности повышения скоростей метания в легкогазовых баллистических установках. Отчёт ИМ МГУ № 4025. М.: 1990. 43 с.

73. Пилюгин Н. Н., Чернявский С. Ю. Расчёт газодинамических параметров двухступенчатой легкогазовой баллистической130установки с деформируемым поршнем // Изв. АН СССР, МЖГ, 1976, № 1, с. 69-75.

74. Погорелов Е. И., Потемкин С. В. Применение методов нелинейного программирования при решении задачи параметрической оптимизации одного газодинамического процесса. В кн.: Аэрогазодинамика / Под ред. Л.В. Комаровского. Томск: Изд-во ТГУ, 1987, с. 104-110.

75. П о п о в Н. Н. К вопросу о сообщении телам высоких скоростей полета // Вестн. МГУ. Сер. 1, Матем. Механ., 1962, № 4, с. 69-74.

76. ПославскийС.А. Исследование движений с однородной деформацией и многомерных автомодельных решений в газовой динамике. Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, мех-мат ф-т, 1985. 80 с.

77. Протасов Ю. С., Чу ваш ев С. Н., Осташев В.Е., Фор------------то в В. Е. О механизмах и критериях потери устойчивости нлаз----------------модинамических разрядов с токовой оболочкой // Докл. АН СССР, 1989, Т 309, №2, с. 339-343.

78. Райнхарт Дж. Краткий исторический обзор гиперзвуковых исследований. В кн.: Техника гиперзвуковых исследований / Под ред. Г.Ф. Бураго. М.: Мир, 1964, с. 9-21.

79. Р а х м а т у л и н X. А., Кислых В. В. Двухкамерная установка адиабатического сжатия // ТВТ, 1972, Т. 10, № 2, с. 400-404.

80. Рихтмайер Р.,Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. 420 с.

81. Рождественский Б. JI., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968. 592 с.131

82. Росляков Г. С., Дроздова Н. В., Фельдман Е. Г. Течение газа в трубе с поршнем. Научный отчёт ВЦ МГУ № 104-ЗА (403). М.: 1970. 23 с.

83. Росляков Г. С., Кестенбойм X. С., Чудов JI. А. Точечный взрыв (Методы расчёта. Таблицы) М.: Наука, 1974. 256 с.

84. Р о у ч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

85. Самарский А. А.,Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992. 424 с.

86. С е д о в JI. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1965.388 с.

87. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970. Т. 1. 492 с. Т. 2. 568 с.

88. Серебряков М. Е. Внутренняя баллистика ствольных систем и пороховых ракет. М.: Оборонгиз, 1962. 704 с.

89. Сивков А. А. Гибридная электромагнитная схема метания твёрдых тел // ПМТФ, 2001, Т. 42, № 1, с. 3-12.

90. С м и р н о в Н. Н., 3 в е р е в И. Н. Гетерогенное горение. М.: Изд-во МГУ, 1992. 448 с.

91. С о з о н е н к о Ю. А. Движение поршня под действием давления газа // ПММ, 1963, Т. 27, Вып. 3, с. 535-540.

92. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука, 1971. 856 с.

93. Титов В.М., Фадеенко Ю. И., Титова Н. С. Разгон твёрдых тел кумулятивным взрывом // Докл. АН СССР, 1968, т. 180, № 5, с. 1051-1052.

94. Титов В. М., Швецов Г. А. Ускорение макрочастиц до высоких скоростей. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып. 78. Гидродинамика взрыва. Новосибирск: Изд-во Института гидродинамики СО АН СССР, 1986, с. 128-136.132

95. ИЗ. Троищев В. Е. О дивергентности схемы «крест» численного решения уравнений газовой динамики // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1970, Т. 1, № 5, с. 87-93.

96. Т ю л и н а И. А., Н а д е е в а Р. И. К истории одной задачи внутренней баллистики. В кн.: История и методология естественных наук, Вып. 9, Механика, Математика, 1970, с. 113-121.

97. Ударные трубы / Под ред. Рахматулина Х.А., Семёнова С.С. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 700 с.

98. Фадеенко Ю. И. Высокоскоростной удар. Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы. Новосибирск: Изд-во Института гидродинамики СО АН СССР, 1967, Вып. 1; 1972, Вып. 2; 1976, Вып. 3; 1979, Вып. 4.

99. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969. Т. II. 800 с.

100. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991. Т. 1.504 е.; Т. 2. 552 с.

101. Ф р ан к л ь Ф. И. Задача внутренней баллистики. В кн.: Ф.И. Франкль. Избранные труды по газовой динамике / Под ред. Г.И. Майкапара. М.: Наука, 1973, с. 111-114.

102. Хвостов Н. И., Ширманов П. М. Баллистические трубы и стенды для аэродинамических исследований. Обзор. ОНТИ ЦАГИ, 1973, №425. 60 с.

103. Хоменко Ю. П. Уравнения нестационарного движения неньютоновской жидкости по трубе переменного сечения. Тр. НИИ ПММ при ТГУ. Т. 5. Томск: Изд-во ТГУ, 1974, с. 152-156.

104. Хоменко Ю. П., И щ е н к о А. Н., К а с и м о в В. 3. Математическое моделирование внутрибаллистических процессов в ствольных системах. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. 256 с.133

105. X о у к Р. С., Брукс A. JL, Ф аул ер К. М., П е т е р с о н Д. Р. Электромагнитные рельсовые метатели: возможности прямого запуска тел в космос // Аэрокосм, техн., 1983, Т. 1, № 2, с. 110-120.

106. Чаплыгин С. А. Опыт применения уравнений гидродинамики к вопросу о движении снаряда в канале орудия. В кн.: Полн. собр. соч. С.А. Чаплыгина, Т. 3. Л.: Изд. АН СССР, 1935, с. 120-164.

107. Чёрный Г. Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

108. Чёрный Г.Г. Движение плавящегося твёрдого тела между двумя упругими полупространствами // Докл. АН СССР, 1985, Т. 282, № 4, с. 813-818.

109. Чернявский С. Ю. Газодинамические исследования в аэробаллистических установках. В кн.: Теоретические и экспериментальные------------исследования гиперзвуковых течений при обтекании тел и в следах

110. Под ред. Г.Г. Чёрного и С.Ю. Чернявского. М.: Изд-во МГУ, 1979, с. 21-56.

111. Чернявский С. Ю.,Пилюгин Н. Н.,Баулин Н. Н. Трение полиэтилена по стали при высоких давлениях и скоростях // Трение и износ. 1980, Т. 1, № 3, с. 515-520.

112. Шмелев В. М., Кен да л л М., Морган Р. Баллистический нагрев толкающего газа в ударной трубе свободным поршнем // ТВТ, 1998, Т. 36, №2, с. 316-321.

113. Шмелев В. М., М ар г о л и н А.Д.,Василик Н.Я.,Круп-кин В. Г.,Волов В. Т., Волов Д. Б. Баллистический плазмотрон с вихревой камерой для накачки твердотельных лазеров // ТВТ, 1998, Т. 36, №4, с. 548-551.134

114. Эккерман Д.,Моккей В., О у л и т Р.,Шв е й г ер Р., Т е о -ф а н и с Ж. Баллистические трассы «Авко». В кн.: Техника гиперзвуковых исследований / Под ред. Г.Ф. Бураго. М.: Мир, 1964, с. 22-58.

115. Barnhart R. Research cannon facing financial troubles // Technology week, 1967, Vol. 20, No. 10, p. 38.

116. С e г г о n i P. Simulation of catastrophic fragmentation events: a review of the accelerating techniques and a resume of the experiments performed until now // Mem. S.A.It., 1986, Vol. 57, No. 1, p. 13-45.

117. С г о z i e r W. D., H u m e W. High velocity light gas gun // J. Applied Physics, 1957, Vol. 28, p. 892-894.

118. Glass I.I. Research frontiers at hypervelocities // Canad. Aeron. Space J., 1967, Vol. 13, No. 8, p. 348-367, No. 9, p. 401-425.

119. Love A. E. H., P i d d u с k F. B. Lagrange's ballistic problem // Phil. Trans. Roy. Soc. of London, 1922, Ser. A, Vol. 222, p. 167-226.

120. Moore E. Т., Mumma D., Godfrey C. S., Bernstein D. Explosive Gas Guns for Hypervelocity Acceleration. In: Advances in Experimental Techniques for Study of Hypervelocity Flight. 4th Hypervelocity Techniques Symp., Tennessee, Nov. 1965, p. 457-484.

121. Sodha M. S., Jain V. K. // Applied Scientific Research, Vol. 7, Sect. A, 1958, No. 5.

122. Swift H. F. A study of electrically augmented gas guns. In: Proc. of 7th Hypervelocity Impact Symp. Tampa, Florida, November 1964, Vol. 1, Florida, Martin Co., 1965, p. 61-102.

123. Young R. P., Smith M. E. Test techniques providing impacts at velocities between 7 and 14 km/sec // ALAA Pap., 1994, No. 4543, p. 1-8.135