Системы всплесков с матричным коэффициентом растяжения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Максименко, Ирина Евгеньевна

• Максименко, Ирина Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Максименко, Ирина Евгеньевна

§0. Введение.

Глава 1. Вспомогательные результаты.

§1. Вспомогательные результаты

Глава 2. Системы всплесков в несепарабельном случае

§2. Масштабирующее уравнение.

§3. Кратномасштабный анализ.

§4. Базисы всплесков.

Глава 3. Биортогональность целых сдвигов масштабирующих функций в несепарабельном случае.

§5. Вспомогательные утверждения.

§6. Биортогональность целых сдвигов масштабирующих функций в терминах масок.

§7. Характеризация биортогональности в терминах собственных векторов оператора.

§8. Достаточные условия биортогональности.

Глава 4. Многомерные всплески в двухканальных системах

§9. Функции всплесков.

§10. Построение гладких масштабирующих функций.

§11. Пример.

Глава 5. Периодические системы всплесков в несепарабельном случае.

§12. ПКМА и масштабирующая последовательность.

§13. Пространства всплесков.

§14. Всплески Котельникова-Шеннона.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Системы всплесков с матричным коэффициентом растяжения»

Базисы всплесков играют важную роль как для решения ряда прикладных задач, так и в качестве аппарата теории приближения функций. В конце 80-х годов в работах С. Малла [24] и И. Мейера [25] был предложен метод построения базисов всплесков в 1/2(К), основанный на конструкции кратномасштабного анализа (далее КМ А). Суть метода состоит в следующем. КМ А порождается некоторой функцией (называемой масштабирующей), обладающей рядом специальных свойств. По масштабирующей функции строится другая функция (называемая функцией всплесков), сдвиги и растяжения которой и образуют базис всплесков в Ь2(Ж) (см., например, [1], гл. 5). Для построения многомерных базисов всплесков существуют различные подходы. Во-первых, можно взять тензорное произведение нескольких одномерных базисов всплесков. Такой путь прост, но полученный многомерный базис не наследует все достоинства породившего его одномерного базиса. Во-вторых, для построения d-мерного базиса всплесков можно рассмотреть тензорное произведение d одномерных КМА - конструкцию, аналогичную одномерной, порожденную функцией, являющейся тензорным произведением одномерных масштабирующих функций (сепарабельный случай). В этом случае естественным образом возникает несколько многомерных функций всплесков, сдвиги и растяжения которых образуют базис в L2(Md). В определении КМА И. Мейера [25] коэффициентом растяжения является диагональная матрица с двойками на диагонали, т. е. растяжение по всем направлением одно и то же. Для некоторых прикладных задач представляют интерес и другие коэффициенты растяжения. Более общий подход к многомерному КМА дан, например, в книге П. Войтащика [30]. В качестве коэффициентов растяжения рассматриваются целочисленные матрицы, удовлетворяющие некоторым естественным требованиям.

Задача нахождения функций всплесков в многомерном случае оказалась существенно более сложной, чем в одномерном. При различных предположениях на масштабирующую функцию она рассматривалась в работах К. де Бора, Р. Девора, А. Рона [14], Р.К. Джиа, К. А. Митчел-ли [18], [19], С.Д. Рименшнейдера, 3. Шена [26], [27]. В наиболее общем случае явное описание метода построения функций всплесков получено Р.К. Джиа, 3. Шеном [20]. В [28], [17] X. Джи, С.Д. Рименшнейдер, 3. Шен дали описание алгоритма построения ортогональных и биортогональных базисов всплесков, в случае, когда соответствующие масштабирующие функции имеют компактный носитель.

Для того, чтобы построить ортогональную систему всплесков необходимо найти масштабирующую функцию, то есть функцию, удовлетворяющую следующему функциональному уравнению ip(x) = cq<p(2x -q), Хб1, се I2. (0.1) q£Z

Уравнение (0.1) называют масштабирующим уравнением, а последовательность с — маской. Масштабирующая функция может быть построена по маске. При этом наибольший интерес вызывают маски с конечным носителем. С другой стороны, для построения ортогональных базисов всплесков требуется обеспечить ортогональность целых сдвигов масштабирующей функции (р. Необходимое условие для этого хорошо известно:

2Y,ckcj^i = 6i о, leZ. (0.2) keZ

Но это условие не является достаточным. Достаточные условия ортогональности для одномерного случая активно изучались в начале 90 гг. Всего в одномерном случае известно четыре необходимых и достаточных условия ортогональности целых сдвигов масштабирующих функций. А. Коен [11] показал, что ортогональность зависит от поведения маски на некотором компактном множестве (первое условие), а также от отсутствия циклических множества относительно некоторого оператора, на котором преобразование Фурье маски отлично от нуля (второе условие). В. Лоутон [22] получил (третье) условие ортогональности в терминах собственных чисел некоторого оператора. Переписав это условие в других терминах, получим (четвертое) необходимое и достаточное условие, которое говорит, что целые сдвиги будут ортогональны, тогда и только тогда, когда единственными тригонометрическими полиномами, инвариантными относительно некоторого оператора будут положительные константы. Аналогичная задача рассматривается для построения пары биортогональных базисов всплесков. В [12] А. Коен, И. До-беши и Дж.-К. Фово распространили три условия ортогональности (первое, второе, четвертое) на биортогональный случай. Причем в четвертом условии, в отличии от ортогонального случая, доказывается существование пары строго положительных тригонометрических полиномов (для каждой масштабирующей функции - свой) таких, что это единственные тригонометрические полиномы (с точностью до постоянного множителя), инвариантные относительно пары вспомогательных операторов. В несепарабельном случае В. Лоутон, С. Л. Ли, 3. Чен [23] рассмотрели третье необходимое и достаточное условие ортогональности для такой матрицы. Случай маски с равными элементами (для конечного носителя) подробно был изучен Войтащиком [30].

В книге И. Добеши [1] изучен вопрос, какими свойствами должна обладать масштабирующая функция в одномерном случае, чтобы она порождала КМА и при каких условиях построенные функции всплесков образуют безусловный базис в L2(R). А. Коен, И. Добеши и Дж.-К. Фово [12] рассмотрели последний вопрос в биортогональном случае более подробно.

Если модуль определителя матрицы М равен ш, то масштабирующая функция порождает (т-1) функцию всплесков (см., например, книгу Войтащика [30]). В классической одномерной теории всплесков коэффициентом растяжения в масштабирующем уравнении является "2", что соответствует одной масштабирующей функции и одной функции всплесков. И. Добеши [1] был разработан метод построения гладких всплесков с компактными носителями в одномерном случае. Вообще говоря, многомерного аналога этого метода не существует.

Одномерные периодические всплески чаще всего определяются как периодизированные всплески в Ь2{К). Такой подход к периодическим объектам не очень естественен, тем более, что в литературе рассматривались периодические всплески (например, в работе Ч.К. Чуй, Х.Н.Маскара [9]), которые не подходят под такое определение. Определение кратномасштабного анализа периодических функций (далее ПКМА) предлагалось рядом авторов (Ч.К. Чуй, Ж.З.Ванг [10]; В.А.Желудев [31]; С.С. Гон, С.З.Ли, З.Шен, В.С.Танг [15]; А.П.Петухов [6] и др.). Наиболее общее определение ПКМА в пространствах LP, 1 < р < со, и С предложено Скопиной [29].

Настоящая работа посвящена изучению биортогональных систем всплесков (в WLd) в несепарабельном случае, т. е. в качестве коэффициента растяжения рассматривается матрица М размером d х d, где d -размерность пространства, такая что все собственные числа по модулю больше единицы. Такая матрица при многократном действии дает растяжение пространства по всем направлениям. Будем говорить, что числа к, п е Zd сравнимы по модулю М и писать к = п (mod М), если к — п = М£, £ € U1. Целочисленная решетка Zd разбивается на классы смежности относительно введенного отношения сравнения. Возьмем по произвольному представителю из каждого класса смежности, назовем их цифрами и обозначим через D(M).

Излагаемый в данной диссертации материал подразделен на пять глав, нумерация параграфов сплошная. Переходим к обзору содержания диссертации по главам.

Первая глава содержит обозначения, а также вспомогательные результаты, связанные с матричным коэффициентом растяжения.

Во второй главе указаны свойства, которыми должна обладать масштабирующая функция в несепарабельном случае, чтобы она порождала КМА, а также указаны условия на функции всплесков, чтобы они образовывали базис в L2.

В §2 напоминается определение многомерной масштабирующей функции ip(x) = т ^^ cq(p{Mx — g), х £ ge zrf где m - модуль определителя матрицы М. Маска cq имеет конечное число ненулевых членов.

Обсуждается вопрос равносильности двух необходимых условий биортогональности целых сдвигов пары масштабирующих функций.

Пусть mo{w) := с^е-27™^'1^. Необходимое условие биортогональности ке zd rnQ(w + M*~1s)mo(w + M*1s) = 1 для п.в. w е (0.3) seD(M*) где М* - сопряженная к М матрица, равносильно условию т CqCq-Mp = £ро, (0.4) qeZd

В §3 напоминается определение несепарабельного КМА. Дается ответ на вопрос: какие требования надо наложить на пару биортогональ-ных масштабирующих функций, чтобы каждая из них порождала КМА. Оказывается достаточно, чтобы каждая из масштабирующих функций из L2(Md) имела непрерывное, отличное от нуля в точке ноль преобразование Фурье и выполнялось условие

A<Y^ + 012<В, A<Ys + Ol2 < В. (0.5) le zd lezd

Если масштабирующие функции из L2(Rd) имеют конечные маски, то условие (0.5) выполнено.

В §4 показано, что при определенных условиях биортогональная система всплесков образует базис Рисса в L2(Kd).

Пусть <р, ф Е L2(Rd) масштабирующие функции с конечными масками, их целые сдвиги биортогональны. Предположим, что по ним построена биортогональная система всплесков фг, фг, г = 1 ,.,m— 1 с конечными масками, соответствующая фуннкциям ф, т. е. фг(х) = m + 1\ фг(х) = т ^ %ф(Мх + £), iezd eezd где последовательности {с^} и {с^} имеют конечное число ненулевых членов (эти последовательности также будем называть масками), и, положив ф° := (р, ф° := ф, для любых ri, = 0, .,т — 1 и А;, I Zd выполнено ф^(. + к),фГ2(- + 1) ) = <Ww

Такие всплески могут быть построены (см., например, [16, 17]). Для г = 1,., m — 1 положим ф)к{х) mj/^r{Mjx + к), ф)к(х) := mj/2i>r{Mjx + к).

Теорема 0.1. Пусть </?, ф (Е L2(Rd) - масштабирующие функции с конечными масками, £>(0) Ф 0, <,5(0) ф 0 и пусть для некоторого е > 0 г*)| < С( 1 + \u\rd\ф(и)\ < С(1 + \u\)-d/2-£.

Пусть фТ, фг, г — l,.,m— 1, биортогональная система всплесков с конечными масками, соответствующая фуннкциям ip, ф и фг(0) = 0 = фг(0), г = 1,., т — 1. Тогда для любой функции f из L2(Rd) m—1 m—1 j|<J,|fc|<tf r=l UI<^,|fc|<K г=1 где сходимость по норме в L2.

Более того, каждая из двух систем функций и tpjk образует безусловный базис в L2{Rd), т. е. для любой функции / из L2(Rd) m-l т—1

• = f' > ^ = fj,k r—1 r=l

Третья глава посвящена необходимым и достаточным условиям биортогональности целых сдвигов масштабирующих функций в несепара-бельномом случае. Доказано, что многомерный аналог первого и третьего условий являются необходимыми и достаточными условиями биортогональности целых сдвигов масштабирующих функций многих переменных, а второе и четвертое - достаточными.

§5 носит вспомогательный характер. Доказываются две леммы, одна из которых посвящена сходимости каскадного алгоритма в многомерном случае.

Определение 0.2. Компактное множество К называется конгруэнтным [—l/2,l/2]d по модулю I/1, если объем К равен 1 и для любого и € [—1/2, l/2]d существует такое I £ hd, что и + I Е К.

Лемма 0.3. Сходимость каскадного алгоритма. Пусть тр ~ тригонометрический полином, удовлетворяющий условию тр{0) = 1, и пусть существует компакт К, конгруэнтный [—1/2, l/2]d по модулю Ъй, содержащий окрестность нуля, такой что mF{M*~kx)\ >С ЧхеК, N (0.6) для некоторого С > 0. Положим оо

Fn(u) = Y[mF(M*-ju)xK(M*-nu), F(u) = ]JmF(M*-ju). j=i J=i

Тогда если F £ L1^), mo Fn сходится к F в L1^), если F <= L2(IRd), mo Fn сходится к F в L2(Rd).

В §6 доказывается

Теорема 0.4. Пусть ip, ф Е L2(Md) масштабирующие функции с конечными масками с, с соответственно. Пусть соответствующие этим маскам тригонометрические полиномы то, то удовлетворяют условию (0.3), то (О) = то(0) = 1. Тогда следующие условия эквивалентны

B) Целые сдвиги ip, ф - биортогональны;

C) существует компакт К, конгруэнтный [—1/2, l/2]d по модулю 1, содержащий окрестность нуля, такой что inf inf Im0(M*~ku)\ > 0, inf inf \m0(M*~ku)\ > 0.

В §7 определяются функция и последовательность v*(x) := J <p(t)<p(t - x)dt, ar 6 q£ zd и оператор WC) действующий из l2(Rd) в l2(Rd) :

СWcb)p:=mJ2cMP-gbq, b G l2(Rd).

Если / : —»• С, то через /i будем обозначать сужение / на целочисленную решетку.

Теорема 0.5. Пусть ip, ф масштабирующие функции с конечными масками с, с соответственно. Пусть соответствующие этим маскам тригонометрические полиномы то, то удовлетворяют условию то(0) = ?710(о) = 1. Тогда следующие условия эквивалентны (В) Целые сдвиги (р, ф - биортогональны;

L) 5ро - единственный собственный вектор оператора Wc*, соответствующий собственному числу 1.

L1) а) маски с, с удовлетворяют условию (0.4), т. е. тс*Мр = бро для любого р £ Zd, б) ф\(и) ф 0 для любого и €

В §8 определяются операторы Р0, PQ : L2(Rd) ->■ L2(Rd) для любого х е Rd по следующему правилу: Y1 ImoCM-^ + M'-^J^Af^ + Af*-^), s£D(M*) seD{M•)

Обозначим через (P) условие: существуют строго положительные полиномы /о, /о такие, что Ро/о = /о» Л>/о = /о, и это единственные тригонометрические полиномы (с точностью до постоянного множителя), инвариантные относительно Pq5 Д соответственно.

Определим оператор г : [0, l)d [0, l)d по следующему правилу та: = М*х — к, где к Е такое что тх £ [0, l)d. Циклическим множеством относительно т назовем множество векторов xi, .,хп б [0, l)d, такое что тхп = хп-\, тхп-1 = жп2, =

Обозначим через (С1) условие: не существует ненулевого циклического множества {xi, .,жп} относительно т такого, что mo(xj -Ь M*~1s) = 0 или rho(xj + M*~1s) = 0 для всех j = 1, .,пи s е D0(M*), где Дз(М*) - множество цифр, из которого исключен сравнимый с нулем элемент.

Теорема 0.6. Пусть <р, ф € L2(Md) масштабирующие функции с конечными масками с, с соответственно. Пусть соответствующие этим маскам тригонометрические полиномы то, то удовлетворяют условию (0.3), гоо(0) = mo(0) = 1. Тогда выполнены следующие импликации

С1) => (Р) (В).

В четвертой главе в качестве коэффициента растяжения рассматриваются матрицы с модулем определителя т равным двум (двухка-нальные системы). Такие матрицы разбивают целочиленную решетку на два класса смежности: сравнимые с нулем и не сравнимые с нулем по модулю этой матрицы векторы. В случае т = 2 получены явные формулы для функций всплесков.

В ходе построения масок в одномерном случае из тригонометрического полинома выделяется множитель вида (1 + e2mx)N, где N - кратность корня в точке 1/2. Для полиномов многих переменных в общем случае выделить аналогичный множитель невозможно. Тем не менее, Куклев, Нишихара, Йошида и Саблаташ [13] заметили, что на базе мног-мерных полиномов Бернштейна удается построить двух- и трехмерные i# пары биортогональных масок, удовлетворяющих необходимому условию гладкости, для "шахматных" (quincunx) матриц соответственно второго и третьего порядка в качестве коэффициентов растяжения ("шахматная" матрица второго порядка показана в §11). В четвертой главе показано как полиномы Бернштейна могут быть использованы при построении пар биортогональных масок, удовлетворяющих необходимому условию гладкости, в пространствах любой размерности и для широкого класса i матриц. Построен пример пары биортогональных масок, порождающих

1 пару биортогональных гладких финитных функций всплесков.

I В §9 предъявлены явные формулы для построения функций всплес

I ков по масштабирующим функциям в случае т = 2. Пусть so и Sq представители ненулевых классов смежности соответственно по модулю матриц М и М*, причем, таких что М~гзо, M*~1Sq е [0, l)d. Обозначим через S* = (Sf,.,5i)T вектор М*'^.

Пусть у нас есть две масштабирующие функции </?, ф из L2(Rd) с конечными масками, их целые сдвиги биортогональны. Функции всплесков определяются следующим образом: $(w) = mi{M*~lw)(p{M*~1w), %{w) = m\{M*~lw)4)(M*~lw), где mi{w) = e~27TiMm0{w + S*), mi И = e~2ni^m0(w + S*).

Построенная система всплесков биортогональна. Если, к тому же, <£>(0) ф О, Ф(0) Ф 0, \(p{w)\ < С{ 1 + M)~d/2~e, 1?М1 < С(1 + H)-d/2-e, для некоторого е > 0 и если mi (О) = mi(0) = 0, то построенная система всплесков является безусловным базисом в L2(Rd).

В §10 показан метод построения пары биортогональных масштабирующих функций. Схема построения такова: сначала строится четный (по косинусам) тригонометрический полином то степени N, такой что то имеет в точке S* ноль кратности N и mo(w) -hmo(w-h S*) = 1. Далее, полагается m0(w) := 1 + E(w)m0(w + S*), где полином Е, такой что J5(iu) + E(w 4- 5*) = 0, £7(5*) = -1. При таком выборе Е выполнено необходимое условие биортогональности. Чтобы функция ф имела гладкость порядка К, надо потребовать, чтобы частные производные Е до порядка К включительно в точке S* равнялись нулю.

Построены маски в случае, когда имеются хотя бы две ненулевые координаты у вектора S*. Положим /о(я) := 1, если х\ + . + х^ < к/2, /о(ж) := 0.5, если xi + . + Xk = к/2 и fo{x) := 0 для остальных х 6 [0, l)d. В качестве то берется mo(u>i,Wd) := B]sifo(sin2iTWi,., sir^nwd), где Д/v ~ многомерный полином Бернштейна.

Чтобы функция ф имела гладкость порядка К, то при построении fho(w) в качестве Е можно взять E(w) = 2BKh{sin2"Kw) — 1.

При таком построении полиномы то и то четные, значит, их коэффициенты образуют симметричный массив чисел, выполнено необходимое условие биортогональности, а также выполнены необходимые условия гладкости для функций фиф порядка К и N соответственно.

В §11 построен пример пары конечных масок для "шахматной" матрицы второго порядка, порождающие пару биортогональных масштабирующих функций, для каждой из которых выполнено необходимое уеловие гладкости порядка 1.

Пятая глава посвящена описанию многомерных ПКМА, построению ортогональных и биортогональных базисов всплесков и разложениям по этим базисам. Спецификой периодического случая является то, что мас-штабируящая функция не одна (или пара в биортогональном случае), а последовательность масштабирующих функций (пара последовательностей в биортогональном случае).

В §12 дано определение многомерного ПКМА, дана характеризация масштабирующей последовательности в терминах коэффициентов Фурье, что имеет преимущество по сравнению с непериодическим случаем в прикладном аспекте, т.к. задачи становятся дискретными.

Пусть TP* - d-мерный единичный тор. Под пространством X будем понимать либо С(Т*), либо 1 < р < оо. Определим на X оператор сдвига S'pf(x) := f(x + М^р), р G j G Z+.

Теорема 0.7. Функции ipj G X, j G образуют масштабирующую последовательность для некоторого ПКМА в X тогда и только тогда, когда

Ф1. <р0(к) = 0, Укф 0;

Ф2. V? G Z+ Vn G Ъа 3 к = п (mod M*j) : &{к) ф 0;

ФЗ. \tk G Zd 3j G Z+ : (pj{k) ф 0; * Ф4. Mj G N VneZd 3/4 : (pj-i{k) = а4Й№ Ук = n (mod M*j);

Ф5. Vj G Z+ Vn G Zd Зу^фО: 13п&{к) = fij+l(M*k) \/к = n (mod M*j).

В §13 даны явные формулы для последовательности всплесков. Это возможно, поскольку в периодическом случае задачи становятся дискретными, и остается достроить числовую матрицу по первой строке.

Будем рассматривать пары ПКМА с первой компонентой {Vj}jl0 в ЩГ), 1 < р < оо, (С(Т*) для р = оо) и второй компонентой {Vj}JL0 в щ Lq(Т*), l/p+1/q = 1, (С(Т*) дляр = 1). Их будем называть (р, д)-парами.

Пусть {V}}£L0 и {у;-}£0 образуют (р, д)-пару с масштабирующими последовательностями соответственно и {tpj}j^=0. По масштабирующим последовательностям строятся последовательности всплесков о и {V'jlj^o; причем даны явные формулы для нахождения последовательностей всплесков. Определяются пространства всплесков

Wjv) := span{S^f] : п G D{Mj)},

Wjv) := span{Sii>f] : п G D(Mj)}. j Теорема 0.8. Пусть и образуют (p,q)-napy с ф масштабирующими последовательностями соответственно и pj}f=o такими, что {S3nipj}neD(M^) и {S3k&j}neD(Mi) ~ биортонормиро-ванные системы. Тогда

1. Wjv) CVi+i W = 1,., m — 1.

771-1 , .

2. V/ G Vj+1 / = /о + £ fv, где /0 G V,-, Д, G wf

WjK\ уфк v, к = l,.,m- 1. 5. (s^, s^) = vi/ = 1,., m — 1, vn, a; g D(Mj).

В §14 построен пример ПКМА в Ь2(ТГ2) с масштабирующей последовательностью, состоящей из тригонометрических полиномов с минимально возможными симметричными спектрами для матрицы М =

-Л

I в качестве коэффициента растяжения.

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [3], [4] и [5], докладывались на международной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань 2000г), на Воронежских зимних математической школах "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж 2001, 2003 гг.), на международной конференции "Optimization of Finite Element Approximations ф & Splines and Wavelets" ( С-Петербург, 2001г.), на Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов 2002г.), на II международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" (Новороссийск 2002г), на международной конференции "Wavelets and Splines" ( С-Петербург, 2003г.), на семинарах по конструктивной теории функций (рук. проф. Г.И.Натансон), и "Всплески и их приложения" (рук. проф. Ю.К.Демьянович, проф. В.Н.Малоземов, проф. М.А.Скопина).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Максименко, Ирина Евгеньевна, 2003 год

1. Добеш и И. Десять лекций по вейвлетам // Издательство НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевск, 2001, 464 стр.

2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, Т. 2 // Издательство "Мир", Москва, 1965.

3. Максименко И. Е. Биортогональность масштабирующих функций многих переменных // Современные проблемы теории аппроксимации (в печати).

4. Максименко И. E., Скопина M. А. Многомерные периодические всплески// Алгебра и анализ. 2003. Т. 15. Вып. 2. Р. 1-39.

5. Петухов А.П. Периодические всплески// Математ. Сборник. 1997. Т. 188. N 10. С. 1481-1506.

6. Садовничий В.А. Теория операторов// Издательство "Высшая школа", Москва,1999.

7. Стейн И. Вейс. Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах// М.: Мир. 1974.

8. Chui С.К.and Mhaskar H.N. On trigonometric wavelets// Constr. Approx. 1993. V. 9. P 167 190.

9. Chui C.K. and Wang J. A general framework of compact supported splines and wavelets// J. Approx. Th. 1992. V. 71. P. 263 304.

10. Cohen A.Ondelettes, analyses multiresolutions et filtres miroir en quadrature. //Ann.Inst.H.Poincare, Anal, non lineaire,7, pp.439-459.

11. Cohen A., Daubechies I. and Feauveau J.- C. Biorthogonal Basesof Compactly Supported Wavelets, / j Communications on Pure and Applied Mathematics. 1992. Vol. XLV. P. 485-560.

12. Goh S.S., Lee S.Z., Shen Z, Tang W.S. Construction of Schauder decomposition on Banach spaces of periodic functions! j Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 41 (1998), 61-91.

13. H. Ji. S.D. Riemenschneider and Z. Shen. Multivatiate compactly supported fundamentional functions, duals and biorthogonal wavelets! j

14. Ji H., Riemenschneider S.D. and Shen Z.W. Multivariate compactly supported fundamintal refinable functions and biorthogonal wavelets// Preprint.

15. Jia R.Q., Micchelli C.A. Using the refinement equestion for theconstruction of pre-wavelets II: Powers of two. f / Curves and SurfacesP.J. Laurent, A. Le Mhaute and L.L. Schumaker, eds.), Academic Press. New York. 1991. P. 209-246.

16. Jia R.Q., Micchelli C.A. Using the refinement equestion for the construction of pre-wavelets V: extesibility of trigonometric polynomials// Computing 48 (1992). P. 61-72.

17. Jia R.Q., Shen Z. Multiresolution and wavelets Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 37(1994). P. 271-300.

18. Kelly S.E., Коп M.A., Raphael L.A., Local convergence for Wavelet Expansions/j Preprint.

19. Lawton W.Tight frames of compactly supported wavelets, j/ J. Math. Phys., v. 31, pp. 1898-1901, 1990.

20. Lawton W, Lee S. L, Chen Z. Stability and orthonormality of multivarate refinable functions// SIAM J. of Math. Anal. 1997. Vol. 28. N 4. P. 999-1014.

21. Mallat S.Multiresolution approximation and wavelets// Trans. Amer. Math. Soc. 1989. 315. P. 69-88.

22. Meyer Y. Ondelettes// Herman, Paris. 1990.

23. Riemenschneider S.D. and Shen Z.W. Construction of compactly supported biorthogonal wavelets in L2(MS)// Preprint. 1997.

24. Skopina M. Multiresolution analysis of periodic functions // EJA. 1997. V3. N2. P.203-224.

25. Wojtaszczyk P. A mathematical introduction to wavelets// London Math. Soc. Student texts 37. 1997.

26. Zheludev V.A. Periodic splines and wavelets// Proc. of the Conference "Math. Analysis and Signal processing", Cairo, Jan. 2-9, 1994.