Дискретные вейвлеты на локальных полях положительной характеристики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Крусс, Юлия Сергеевна

• Крусс, Юлия Сергеевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Крусс, Юлия Сергеевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Локальные поля положительной характеристики,

топология, характеры, функции Радемахера

§1. Нульмерные группы, основные понятия и факты

§2. Прямое произведение нульмерных групп

§3. Группы Виленкина и группы Р-адических чисел

§4. Локальные поля положительной характеристики

Глава 2. Построение всплесков (вейвлетов) на локальных полях положительной характеристики

§1. Кратномасштабный анализ. Масштабирующая

функция

§2. Ступенчатая масштабриующая функция с компактным носителем

§3. N-валидные деревья в теории всплесков

§4. Обобщение алгоритма на случай дробных значений

§5. Обобщение алгоритма на локальные поля положительной

характеристики

§6. Число шагов в алгоритме

§7. Несепарабельный кратномасштабный анализ

§8. Построение базисов всплесков для ^элементарных функций на локальных полях

§9. Построение базисов всплесков. ^валидные деревья на локальных полях

§10. Построение базисов всплесков. Пример

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретные вейвлеты на локальных полях положительной характеристики»

Введение

Понятие кратномасштабного анализа (далее - КМА) было введено в конце 80-х годов XX века С. Малла и Й. Мейером. Основное предназначение КМА состоит в том, что на его основе можно построить ортогональный базис, полученный с помощью сжатий и сдвигов некоторой функции (или нескольких функций). Такие функции называются всплесками или вейвлетами, а базис -всплесковым базисом или вейвлет-базисом соответственно.

В работах С. Малла и Й. Мейера рассматривается пространство В

дальнейшем понятие КМА было перенесено на другие алгебраические структуры: нульмерные группы [12,15-18,20,24,27-30], поля р-адических чисел [19], локальные поля [3,8,10,21-23,26,31].

Локальным полем Е (») называется топологическое пространство, обладающее следующими свойствами: оно локально компактное, недискретное, полное, вполне несвязно, т.е. только пустое и одноточечное множество связны, также в Е(в) определены операции сложения и умножения, удовлетворяющие аксиомам поля.

Согласно теореме Ковальского-Понтрягина [5, Глава II, §1] локальное поле Е (') положительной характеристики р изоморфно множеству формальных степенных рядов:

то

а = ^ajг3, к е а е СЕ(р3), 3=к

в которых лишь конечное число членов с отрицательными степенями отлично от нуля. СЕ (рв) - конечное поле, состоящее из й-мерных векторов

а = (ао, а1,... , а3-1), где а3- = 0,р — 1. Операции сложения и умножения в

Е (3)

определяются как сумма и произведение таких рядов:

£ а г3, ь = £ Ьз г3,

3=к 3=к

a+b = ^^(aj + bj)tj, aj + bj = (aj + bj) mod p, (1.35)

j=k

TO

ab = E tm E (ajbi). (1.36)

m=2k j,1:j+1=m

Можно рассматривать элементы F (s) как бесконечные в обе стороны последовательности, где лишь конечное число членов с отрицательными номерами имеет ненулевое значение: a = (..., 0, ak, ak+i,...), aj £ GF (ps), 0 = (0o, 01,... , 0s-1) - нулевой элемент поля GF(ps). Окрестностями нулевого элемента поля F(s) - 0 = (... ,0,0,0,...), являются множества Fis) (Fis) С F^)

F(s) = {a =(..., 0, an, an+i,...) : aj £ GF(ps)}, n £ Z.

Полная система окрестностей нуля определяет топологию в Норма элемента a £ F(s) определяется равенством:

||a|| = ||(..., 0, an, an+i,... )|| = ^p^J , ^ = 0.

Определение КМА на локальных полях положительной характеристики появилось в 2004 году в работе H. Jiang, D. Li, N. Jin [26].

Определение 2.1 [26] Пусть F(s) локальное поле положительной характеристики. Совокупность замкнутых подпространств {Vn}n£Z £ L2(F(s)) называется КМА в

L2(F(s)), если выполнены следующие аксиомы:

A1) Vn с Vn+i; A2) "ЦК = L2(F(s));

n£Z

A3) П Vn = {0};

n£Z

А4) f (x) £ Vn ^ f (Ax) £ Vn+i, A - оператор растяжения;

A5) существует функция if £ V такая, что система сдвигов {f (x—h)}h£Ho образует ортонормированный базис в V0. H0 - множество сдвигов.

Функция f из аксиомы A5 называется масштабирующей функцией для данного КМА.

Пусть р масштабирующая функция, тогда из аксиомы А1 следует, что

Р(х) =^2 снр(Ах—Н), ^ Ы2 < (2.1)

НеН0 НеН0

где он е С. Уравнение (2.1) называется масштабирующим уравнением. Применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения (2.1), его можно записать в виде

р(х) = ш(0)(х)Ф(хЛ—1), (2.2)

где т(0)(х) = ^ сН(хА—1, Н) - маска уравнения (2.1).

НеНо

В работе [26] установлено следующее:

Теорема 2.1. [26] Пусть Е(в) - локальное поле положительной характеристики р, р - простое число. Если система замкнутых подпространств Ь2(Е(3)) удовлетворяет аксиомам 1-5 определения 2.1 и существуют интегрально-периодические функции т(1) 1 е СЕ(рв), 1 = 0 такие, что матрица М(х) = [ш(1)(хг^0)] (1, а0 е СЕ(рв), г0 - функция Радемахера), унитарна, то существует ортонормированный базис вейвлетов ^(1)(Апж—Н), 1 е СЕ(р3), 1 = 0, Н е Но в Ь2(Е(з')), где ^(1)(х) = ш(1)(х)ф(хЛ-1), 1 е СЕ(р3), 1 = 0, т(0) - маска масштабирующего уравнения.

Таким образом, вейвлет-базис строится с помощью преобразования Фурье масштабирующей функции. О методах нахождения самой масштабирующей функции в работе [26] не говорится, предполагается, что она нам известна. Стоит отметить, что поиск подходящей функции р представляет собой отдельную задачу. В конце работы [26] авторы приводят пример построения всплесков по заданной функции р. В качестве функции р рассматривается характеристическая функция единичного шара. Всплески, построенные по такой функции, авторы предлагают называть всплесками Хааровского типа. Других примеров в работе не приводится.

В 2012 году в работе [21] В. ВеЬега и Q. ЛаЬап опубликовали необходимое и достаточное условия, для того чтобы функция р е Ь2(Е(в)) порождала КМА.

Теорема 2.2 [21] Обозначим через U = (r^1 ... , aj е GF (ps), v е No}, rj - функции Радемахера. Функция f е L2(F(s)) удовлетворяет аксиоме А5 КМА (определение 2.1) тогда и только тогда, когда для любых

x е F<s)^

Е ^)|2 = 1, (2.4)

ееи

lim |f(xA-j)| = 1, для п.в.х е X (2.5)

и существует интегрально-периодическая функция m(0)(x) е L2(F1(s)±) такая, что для п.в. х е X справедливо равенство (2.2)

f(x) = m(0)(x)f(xA-1).

Таким образом, задача построения всплесков сводится к построению масштабирующей функции f, удовлетворяющей условиям теоремы 2.2. О способе нахождения или построения такой функции f в работе [21] также не говорится. Отметим, что в работах [21,26] при рассмотрении локального поля

F (s)

используется подход, основанный на понятии образующего (prime) элемента [32].

В 2014 году в работах [3, 31] С.Ф. Лукомский и А.М. Водолазов предложили другой подход к локальным полям положительной характеристики. Они рассматривают локальное поле F(s) положительной характеристики p как линейное пространство над конечным полем GF(ps). При этом произведение элемента а е F(s) на элемент Л е GF(ps) определяется покоординатно, т. е. Ла = (..., 0n-1, Лап, Лап+1,...), а модуль элемента Л е GF(ps) - равенством:

f 1, Л = 0, |Л| = i , = , [ 0, Л = 0.

Такое представление локального поля

F (s) позволило выражать любой элемент а

F(s)

в виде ряда по некоторым базисным элементам локального

поля F(s).

Лемма 1.15 [31] Пусть (дп)пеъ - фиксированная базисная последовательность в Е (з), т.е. дп е ЕПз) \ еП+)1. Тогда любой элемент а е Е (з) можно представить в виде:

а = £ Акдк, Хк е СЕ(рз).

kеZ

В работе [3] установлена связь между локальными полями Е(з) положительной характеристики и группами Виленкина С. При в = 1 аддитивная группа Е(1)+ локального поля Е(з) положительной характеристики р есть группа Виленкина с постоянной образующей последовательностью рп = р. Верно и обратное, если в группе Виленкина С с постоянной образующей последовательностью ввести операцию умножения равенством (1.36), то (С, +, •) становится полем изоморфным Е(1), где единичный элемент имеет вид (..., 0, 0—1,10, 01,...). Для случая в > 1 в [3] доказана следующая теорема.

Теорема 1.16. [3] При в > 1 аддитивная группа Е (з)+ поля Е (з) изоморфна произведению групп Виленкина, т.е.

Е(з) = е(1)+ х Е(1)+ х • • • х Е(1)+ = (Е(1)+)з.

Этот изоморфизм переводит базу топологии группы Е (з)+ в базу топологии произведения Е(1)+ х Е(1)+ х • • • х Е(1)+ групп Виленкина.

Отметим, что в работе [31] исследуется вопрос построения КМА для ступенчатых функций с компактным носителем. Обозначим через Эм(Е^) множество ступенчатых функций / е Ь2(Е(з)) таких, что вирр / С Е(з^ и / постоянна на множествах вида Е^--д.

Для функций с компактным носителем, масштабирующее уравнение (2.1) содержит сумму с конечным числом слагаемых.

Теорема 2.4. [31] Пусть р е &м(Е^) решение масштабирующего уравнения (2.1).Тогда

р(х) = ^ онр(Ах—Н). (2.6)

ненО?+1)

Уравнение (2.6) может быть записано в виде

р(х) = ш(0)(х)Р(хА—1), (2.7)

где т(0)(х) = - маска уравнения (2.6).

Для функций из класса ) справедлива следующая теорема.

Теорема 2.9. [31] Пусть р € ). Система сдвигов (р(ж—

ортонормированна тогда и только тогда, когда Уа_^,..., а—1 € СР(р)

£ |р(Р—^г—-NN ... г?0... Г«—1 )|2 = 1, (2.8)

где гк - функции Радемахера.

В работе [26] установлено, что функция т(0) (х) является интегрально-периодической, т.е. периодична с любым периодом г?1 г?2... г?1',

V € М, а^- € СР(р5), $ = 1,^.

Наложим дополнительное ограничение на маску т(0)(х). Потребуем, чтобы

Т?( «К

ее значение на множестве равнялось единице, т.е.

ш(0)(Р(5у"1) = 1. Тогда из уравнения (2.7) с помощью рекурсии можно вывести следующее равенство

р(х) = П т(0)(хА—к). (2.9)

к=0

Справедлива следующая

Лемма 2.10. [31] Пусть функция р € ) - решение масштаби-

рующего уравнения

р(х) = т(0)(х)р(хА—1),

и система сдвигов (р(ж—^))^€я0 функции р образует ортонормированную систему. Тогда для любых а—^, а—..., а—1 € СР(р) справедливо равенство

£ |т<°>(^г—У... г—!'г?0)|2 = 1. (2.10)

ао€С^ (р)

Таким образом, с учетом уравнения (2.9) для функций из класса Эм(Е(з^) задача построения масштабирующей функции свелась к построению маски масштабирующего уравнения.

Подобная задача рассматривалась на группах Виленкина С. В 2013 году в работе [29] С.Ф. Лукомский предложил алгоритм построения масштабирующей функции р из класса Эм(С—N) по дереву Т с дополнительным ограничением: функция р должна быть 1-элементарной.

Определение 2.2. [29] Маска т(0)(х) называется N-элементарной (Ы е М0), если т(0) (х) принимает постоянные значения на подгруппах х, при этом ее абсолютное значение |т(0)(х)| может принимать только два значения 0 либо 1, и ш(0)(С^я) = 1. Масштабирующая функция р(х) с преобразованием Фурье

<х

р(х) = П т(0)(хА-п)

п=0

также называется N-элементарной. N-элементарная функция р называется (Ы,М)-элементарной, если р(х) е (СМ). При этом преобразование Фурье р(х) тоже называется (Ы,М) -элементарным.

Пусть дерево Т построено. Значения маски т(0) по дереву Т определяются следующим образом. Если в дереве Т есть ребро (а—1,а0), где уровень вершины а-1 выше уровня вершины а0, то значение ш(0)(С^1 г^1 г) выбирается так чтобы |т(0)(С-1г-11 С)|2 = 1.

Все остальные значения ш(0)(С^1га^1 г^'0) задаются нулями, кроме значения т(0)(С^1), которое полагается равным единице по определению 2.2. В работе [29] доказана следующая теорема.

Теорема 2.16. [29] Пусть р > 3 - простое число. Пусть Т - дерево, корнем которого является 0, а вершинами элементы 1,р — 1. Обозначим через р функцию, построенную по дереву Т. Тогда функция р порождает КМА на Ь2(С).

Отметим, что в работе [29] приводится не только алгоритм построения мас-

штабирующей функции, но и алгоритм построения всплесков.

Возвращаясь к работе [31] заметим, что авторам удалось обобщить алгоритм построения масштабирующей функции р, изложенный в [29], на локальные поля положительной характеристики, сохраняя при этом ограничения: функция р должна быть из класса Э«(С—1) и являться 1-элементарной.

Таким образом, к 2015 году сложилась следующая ситуация. В теории КМА на локальных полях появилось достаточно много теорем о свойствах КМА и трудно проверяемых условий на масштабирующую функцию, при которых она порождает ортогональный КМА. Единственным примером КМА на локальных полях положительной характеристики долгое время оставался КМА Хаара. Поэтому возникла естественная задача научиться строить на локальных полях нехааровский КМА. Частично эта задача была решена в работах [3] и [31], где были построены ступенчатые масштабирующие функции, порождающие ортогональный нехааровский КМА. Но это достаточно узкий класс масштабирующих функций, преобразование Фурье которых по модулю равно 1 либо 0 и

которые постоянны на смежных классах по шару радиуса . Кроме того ока-

залось, что конкретных алгоритмов построения вейвлетов на локальных полях положительной характеристики по известной масштабирующей функции нет. Есть только условный результат, что если существует некая унитарная матрица, то, используя ее, можно построить вейвлеты по масштабирующей функции. Таким образом, возникли следующие задачи:

1) Научиться строить на локальных полях положительной характеристики ступенчатые масштабирующие функции, носитель которых лежит в произвольном шаре радиуса и которые порождают ортогональный КМА.

2) Избавиться от требования, что модуль преобразования Фурье масштабирующей функции принимает только два значения 0 и 1.

3) Указать алгоритм построения всплесков (вейвлетов) по найденной масштабирующей функции.

Эти задачи и решаются в диссертации.

Обобщить алгоритм изложенный в [29] для случая произвольного N на группах Виленкина С, удалось С.Ф. Лукомскому и Г.С. Бердникову в 2014 году работе [30]. В связи с увеличением N, потребовался специальный вид деревьев - N -валидные деревья.

Определение 2.3. [30] Пусть N натуральное число. Обозначим через V = {0,1,... ,р — 1} и построим дерево Т следующим образом:

1) Вершинами дерева являются элементы множества V.

2) Корень дерева и все вершины вплоть до N — 1 уровня принимают значение 0.

3) Дерево содержит всевозможные пути ^ • • • ^ ), а е V длины N — 1 и при чем каждый из них встречается только один раз. При этом рассматриваем только те пути, которые идут от вершин большего уровня к вершинам меньшего уровня.

Такое дерево называется N-валидным.

Пусть дерево Т построено. Значения маски т(0) по дереву Т определяются следующим образом. Если в дереве Т есть путь (а—м ^ • • • ^ а—1 ^ а0), то значение т(0)г0^ ...г0а0) выбирается так чтобы ...го0)|2 = 1. Все остальные значения ...го0) за-

даются нулями, кроме значения ш(0)(С^ ^), которое полагается равным единице по определению 2.2.

В работе [30] доказана следующая теорема.

Теорема 2.18. [30] Пусть р > 3 - простое число. Пусть Т - N-валидное дерево. Обозначим через р функцию, построенную по дереву Т. Тогда функция р порождает КМА на Ь2(С).

В дальнейшем в 2015 году С.Ф. Лукомскому, Г.С. Бердникову и автору в работе [12] удалось снять ограничение на ^элементарность на группах Виленкина С, т.е. на абсолютные значения масштабирующей функции. Основная идея, которая лежит в основе алгоритма, заключается в том, чтобы сначала преобразовать ^валидное дерево Т к графу Г, добавив некоторое количество

новых ребер, а затем по графу определять значения маски т(0).

Пусть построено дерево Т и по нему граф Г. Если вершина (а _N, а_/+1,..., а-1) в графе Г связана с вершинами (а_/+1, а- /+2 ..., а -1? а0) то значения маски определяем так, чтобы

Е 1™(0)(С_жг!„" г!/-... г!-' г?» )|2 = 1

«о

ш(0)(С^г!-/г!/-1 ... г!-1 С) = 0 для всех ао / {ао}. (2.13)

Также, определим ш(0)(С^ж) = 1.

Терема 2.20. [12] Пусть по N -валидному дереву Т построены дерево Т, граф Г и определены значения маски т(0) так, как указано в равенствах (2.13). Пусть Н- высота дерева Т. Тогда равенство:

то

р(х) = Пт(0)(хА_к) е (С«) к=0

определяет ортогональную масштабирующую функцию р(х) е ),

причем М не превышает Н _ N.

Алгоритм построения масштабирующей функции по ^валидному дереву, изложенный в [12], был обобщен автором на локальные поля положительной характеристики [23]. Стоит отметить, что, в силу особенностей алгебраической структуры локального поля положительной характеристики, определение N валидного дерева так же было обобщено.

Определение 2.4. [23] Пусть Р(в) - локальное поле положительной характеристики р, N - натуральное число. Построим дерево Т, удовлетворяющее следующим условиям:

1) Каждая вершина представляет собой элемент конечного поля СР(рв),

2 ( (0) (1) («_1)\ С?) п-т

т.е. имеет вид: а = (а) , а) ,..., а) ), а) = 0,р _ 1.

2) Корень и все вершины вплоть до N _ 1-го уровня имеют значение равное нулевому элементу поля СР(рв): 0 = (0(0),0(1),...,0(в_1)).

3) Дерево содержит всевозможные пути (ак+1,...,ак+/), ак е СР(рв) длины N _ 1 и при чем каждый из них встречается только один раз. При

этом рассматриваем только те пути, которые идут от вершин большего уровня к вершинам меньшего уровня.

Такое дерево называется N-валидным деревом на локальном поле Е (») положительной характеристики р.

Значения маски по графу Г на локальном поле Е (з) определяются аналогично случаю на группах Виленкина О.

£ |т<0>(Е-£ г--г--!... г-14»)|2 = 1

а0

т(0)(Е-% г-уг—N+1 • • • г-!1 га») = 0 для всех ао / {ао}. (2.15)

±

Также, определим т(0)(Е(3) ) = 1. В работе [23] доказана следующая теорема:

Теорема 2.23. [23] Пусть по N-валидному дереву Т построены дерево Т, граф Г и определены значения маски т(0)(х) так, как указано в равенствах (2.15). Пусть Пусть Н- высота дерева Т. Тогда равенство

то

Ф{х) = П т(0)(хА-к) е (Е^) к=0

определяет ортогональную масштабирующую функцию р(х) е (Е^), порождающую КМА, причем М не превышает Н — N.

В 2015 в работе автора [10] было установлено точное значение М.

Теорема 2.24. [10] В теореме 2.23 М = Н - N.

В 2016 году в работе автора [8] было установлено, что в результате алгоритма из [23] могут быть получены несеперабельные КМА.

Теорема 2.25. [8] Функция р(х) е (Е^) из теоремы 2.23 порождает как сепарабельные так и несепарабельные КМА.

В работах [12, 23] изложен алгоритм построения масштабирующей функции, но ничего не говорится об алгоритме построения всплесков. Для ^элементарных функций из класса ©м(Е(^) на локальном поле положительной характеристики такой алгоритм может быть получен обобщением алгорит-

ма построения всплесков для ^элементарных функций из класса Э«(С_/) на группах Виленкина С.

Шаг 1. Выберем простое число р и зафиксируем его. Строим ^валидное дерево Т на локальном поле согласно определению 2.4.

Шаг 2. Определяем значения маски т(0) и строим функцию р. Теорема 2.28. [31] Пусть р - простое число, в е N. Пусть Т -N-валидное дерево. Обозначим через р функцию, построенную по дереву Т. Тогда функция р порождает КМА на (в)). Шаг 3. Находим коэффициенты вл,:

т(0)(х) = А Е ^(ХА-1^).

Р ^ея0ЛГ+1)

Шаг 4. Строим по маске т(0) функции т(1), 1 е СР(рв), 1 = 0 по формуле

т(1)(Х) = т(0)(хг_1). Функции т(1) можно записать в ряд:

т(1)(х) = А Е в^(хг0, А_^) = Е в!1)(х,

Р ^ея0ЛГ+1) Р ^ея0лг+1)

где в!1) = в^(г0, А_1^).

Лемма 2.29. V к = 1: т(к)(х)т(1)(х) = 0. Шаг 5. Строим всплески ^(1):

^(1)(х) = Е в[1)р(Аж"^ Л).

^ея0лг+1)

Теорема 2.30. Функции ^(1)(ж—Л), где 1 е СР(рв), 1 = 0, Н е Н0, образуют ортонормированный базис в W0.

Естественным образом возник вопрос обобщения вышеизложенного алгоритма для функций из класса Э«) (т.е. без ограничения ^элементарности) Однако оказалось, что точно такой же алгоритм не подходит. Рассмотрим формулу т(1) (х) = т(0)(хг0 1)). Для N-элементарных функций справедлива

лемма 2.29, согласно которой V к = 1: т(к)(х)т(1)(х) = 0. В силу построения маски т(0) для функций из класса Э«) может оказаться, что при некото-

рых значениях к = 1 т(к)(х)т(1)(х) = 0. В связи с этим возник вопрос, какому условию должны удовлетворять маски т(1), чтобы система сдвигов всплесков (^(1)(ж—Н)), 1 е СР(рв), Н е Н0, построенных по маскам т(1), образовывала ортонормированную систему.

Ответ на данный вопрос был получен в работе С.Ф. Лукомского, Г.С. Берд-никова и автора [22].

Теорема 2.31. [22] Пусть функции т(к)(х) (к е СР(рв)) постоянны на множествах по подгруппе и периодичны с любым периодом г^1 г^2 ... г^,

а

е СР(рв), V е N. Определим функции ^(1) уравнениями:

з

^(1)(х)= т(1) (х)Р(хА_1),

где р е Э«) масштабирующая функция. Система сдвигов (^(1)(ж—Н)), 1 е СР(рв), Н е Н0 является ортонормированной тогда и только тогда, когда для любых а_я ... а_1 е СР(рв)

Е т(к)(^га_/... гао)т(1)(Р_/1га_-/г... гао) = 5к,1. (2.27)

(р8)

Замечание. Достаточность теоремы 2.31 была доказана в [26, Теорема 3].

В работе [22] предложен алгоритм построения всплесков по графу Г на локальном поле Р(в) положительной характеристики р для функций из Э«)

Шаг 1. Выберем простое число р и зафиксируем его. Строим ^валидное дерево Т.

Шаг 2. Преобразуем дерево Т к дереву Т , а затем к графу Г.

Шаг 3. Определяем значения маски т(0) масштабирующего уравнения по графу Г по правилам, изложенным в §5. Находим преобразование Фурье масштабирующей функции по формуле (2.9).

Шаг 4. Построим по функции т(0), функции т(1), используя следующий алгоритм.

Обозначим

т(0) = т(0)(Е (з)±га-у гао) т(1) = т(1)(Е (в)±га-у га») та_у...а0 = т ... г0 ), та_у...а0 = т 1 -М . . . г0 ).

1) Для каждого а-М ... а_1 строим матрицу М(а-М ... а_1) е МаЬр^хр^(С) с элементами М1?а»(а-М ... а-1) следующим образом. В первой строке содержатся все значения

т(0) , т(0) , . . . , т(0)

та-у...а-1,0, та-у...а_1,1, . . . , та_у...а_ьря-1 где а-М ... а-1 фиксированы и ] = а00) + а01)р + • • • + а0в 1)рв-1 вычисляются

( (0) (1) (з-1)\ тт

из а0 = (а0 , а0 , . . . а0 ). Дополняем эту матрицу до унитарной следующим образом.

Если т^0^ а х 0 = 0 тогда полагаем Мц = 1 для 1 = 0 и М1ао = 0 для 1 = 0,1 = а0.

Если а х 0 = 0 тогда существует число

3 = 3 (а0) = а00) + а01)р + • • • + а0s_1)ps_1

для которого т^0^ а ■ = 0. Такое ненулевое значение существует согласно свойству маски т(0) (смотри в [26] ) В этом случае мы полагаем М|,0 = 1, Мц = 1 для 1 = 0,1 = и М1ао =0 в другом случае.

2) Для каждой матрицы применяем алгоритм Грама-Шмидта для того чтобы сделать их унитарными.

3) Теперь для каждого 1 е ОЕ(рв), 1 = 0 найдем значения маски т(1) из равенств

т(1)(Е-М^г-М ... га») = М1,ао(а-м ... а-1). . Шаг 5.Всплески ^(1) могут быть получены по формуле

^(1)(Х)= т^хЖхА-1) с использованием обратного преобразования Фурье.

Глава 1

Локальные поля положительной характеристики, топология, характеры, функции

Радемахера

Для изложения основного результата данной работы мы используем конструкцию локального поля положительной характеристики. Локальное поле положительной характеристики мы будем рассматривать как линейное пространство над конечным полем. Аддитивную группу локального поля положительной характеристики мы будем рассматривать как группу Виленкина. Поэтому целесообразно использовать существующую терминологию теории нульмерных групп и теории локальных полей.

В §1 приведены основные сведения о нульмерных группах, включая вопросы меры и интегрирования. Также рассматривается двойственная к группе структура - группа характеров. В §2 рассматривается прямое произведение нульмерных групп. Описывается процесс преобразования многомерной группы в одномерную с помощью уплотнения цепочки подгрупп. Для полученной одномерной группы приводится явный вид аннуляторов. В §3 дано описание классического примера нульмерных групп - групп Виленкина, основным отличием которых от других нульмерных групп является специальным образом заданная операция сложения. Также здесь приводятся некоторые сведения о другом примере нульмерных групп - о группе р-адических чисел. §4 посвящен вопросу о локальных полях положительной характеристики. Дается описание классического подхода к локальным полям в терминах образующего элемента, а также другого подхода, благодаря которому удается установить связь локальных полей и групп Виленкина. Кроме этого рассматриваются характеры аддитивной группы локального поля положительной характеристики, а также

аналоги функций Радемахера и их основные свойства.

§1. Нульмерные группы, основные понятия и факты

Определение 1.1. [14] Группа С называется топологической группой, если она обладает топологической структурой и при этом групповая операция и операция перехода к противоположному элементу непрерывны в данной топологии. Последнее означает, что:

1) для любой окрестности и(х+у) элемента х+у найдутся такие окрестности и (х) и и (у), что и (х) +и (у) С и (х+у);

2) для любой окрестности и( _х) элемента х существует и(х) такая что _и(х) С и( _х).

Замечание 1. В обозначении операции + точка ставится для того, чтобы отличать операцию сложения на группе от обычной операции сложения.

Замечание 2. В данной работе рассматриваются только коммутативные группы.

Обычно для того чтобы задать топологию на некотором множестве описывают множетсва базы этой топологии. Однако в нашем случае достаточно задать лишь систему В0 окрестностей нуля. Для любого элемента а е С отличного от нулевого система окрестностей элемента а представляет собой множества вида (а+и), где и е В0. Таким образом, по множеству В0 строится множество В = {а+и | и е В0, а е С} окрестностей элементов группы С. Для того чтобы множество В было базой некоторой топологии, необходимо чтобы система В0 окрестностей нуля была полной, т.е. чтобы выполнялось условие VU С В0 ЗУ С В0: V С и. Этот факт а также свойства полной системы окрестностей нуля отражены в следующей теореме.

Теорема 1.1. [14] Пусть(О, +) - топологическая группа, В0 - некоторая полная система окрестностей нуля. Тогда В = {а+и | и е В, а е О} - есть полная система окрестностей в группе (О, +), а система В0 удовлетворяет следующим условиям:

1) П и = 0;

и еВо

2) V и,У е В ЗЖ е В0: Ж с и п V;

3) V и е В ЗУ е В0: V+(-V) с и;

4) V и е В0, Vа е и ЗУ е В0: V+а с и.

Спрведливо и обратное утверждение.

Теорема 1.2. [14] Пусть (О, +) - алгебраическая группа и В0 - некоторая система подмножеств множества О, удовлетворяющая условиям теоремы 1.1. Тогда в множестве О можно ввести топологию и притом единственным способом, так что при этом групповая операция + будет непрерывна в этой топологии и система В0 будет полной системой окрестностей нуля.

Для топологических групп, как и для алгебраических, вводятся понятия подгруппы, смежного класса, фактор-группы.

Определение 1.2. [1] Множество Н с О называется подгруппой топологической группы О, если

1) Н - подгруппа О в алгебраическом смысле;

2) Н - замкнутое подмножество в топологии О.

Одно из важных свойств подгрупп топологической группы О отражено в следующей теореме.

Теорема 1.3. [1] Всякая открытая подгруппа Н топологической группы О замкнута.

Рассмотрим цепочку вложенных подгрупп (Оп): О = О0 Э О1 Э • • • Э Оп Э ..., таких что Р| Оп = {0}. Несложно убедиться, что данные подгруппы

п

удовлетворяют условиям теоремы 1.2. Таким образом, мы можем рассматривать цепочку подгрупп (Оп) как полную систему окрестностей нуля в группе (О, +).

Множества Н+а = {у е О : у = х+а,х е Н}, а е О образуют смеж-

ные классы группы G по подгруппе H. Также множества H+а часто называют сдвигом подгруппы H на элемент а. Смежные классы (H+а) либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, группу G можно представить в виде дизъюнктного объединения смежных классов по подгруппе H. Совокупность смежных классов по подгруппе H образует топологическую группу, которая называется фактор-группой и обозначается G/H. Топологию в фактор-группе G/H можно задать множествами H+U, где U G Во [14]. Нулевым элементом в фактор-группе является H, обратным элементом к H+а - элемент H—а, а результатом сложения двух элементов H+а и H+b - элемент H+а+b.

Свойства топологической группы G определяются топологией, заданной на ней. В зависимости от того какими свойствами обладает топологическое пространство группы G, выделяют разные виды топологических групп. Так, если топологическое пространство группы G компактно, то топологическая группа G называется компактной, и соответственно, если оно локально компактно, то группа G называется локально компактной.

Группа G называется нульмерной, если связная компонента нуля в группе G есть нуль. Известно, что, если в каждой окрестности нуля топологической группы G содержится открытая подгруппа, то группа G - нульмерна [1].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Крусс, Юлия Сергеевна, 2017 год

Список литературы

1. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку: Элм, 1981. - 180 с.

2. Виленкин Н.Я. К теории лакунарных ортогональных систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1949. Т. 13, № 3. С. 245-252

3. Водолазов А.М., Лукомский С.Ф. КМА на локальных полях положительной характеристики // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 4(2). С. 511--518.

4. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла (2-е изд.). М.: Наука, 1973. 352 с.

5. Гельфанд И.М., Граев М.И., Пятецкий-Шапиро И. И. Теория представлений и автоморфные функции. М.: Наука, 1966. 512 с.

6. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. - 288 с.

7. Келли Дж. Общая топология. М.: Наука, 1968. - 385 с.

8. Крусс Ю.С. Несепарабельный КМА на локальных полях // Материалы 18-й международной Саратовской зимней школы. Саратов. 2016. С. 159-161.

9. Крусс Ю.С. Об операторе дифференцирования на компактных нуль-мерных группах // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 3. С. 279-287.

10. Крусс Ю.С. О точности оценки числа шагов алгоритма построения масштабирующей функции на локальных полях // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, № 3. С. 279-287.

11. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: в 2-х томах. Том 1. М.: Мир, 1988. - 430 с.

12. Лукомский С.Ф., Бердников Г.С., Крусс Ю.С. Об ортогональности системы сдвигов масштабирующей функции на группах Виленкина // Матем. заметки. 2015. Т. 98, вып. 2. C. 310-313.

13. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: Физ-матлит, 2005. - 616 с.

14. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. - 519 с.

15. Протасов В.Ю. Аппроксимация диадическими всплесками // Матем. сб. 2007. Т. 198, вып. 11. С. 135-152.

16. Протасов В.Ю., Фарков Ю.А. Диадические вейвлеты и масштабирующие функции на полупрямой // Матем. сб. 2006. Т. 197, вып. 10. С. 129-160.

17. Фарков Ю.А. Ортогональные вейвлеты с компактными носителями на локально компактных абелевых группах // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. Т. 69, вып. 3. С. 193-220.

18. Фарков Ю.А. Ортогональные вейвлеты на прямых произведениях циклических групп // Матем. заметки. 2007. Т. 82, вып. 6. С. 934-952.

19. Хренников А.Ю., Шелкович В.М. Современный p-адический анализ и математическая физика: теория и приложения. М.: Физматлит, 2012. - 449 с.

20. Хромов А.П., Лукомский С.Ф., Сидоров С.П., Терехин П.А. Новые методы аппроксимации в задачах действительного анализа и в спектральной теории. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2015.

21. Behera B, Jahan Q. Wavelet packets and wavelet frame packets on local fields of positive characteristic //J. Math. Anal. Appl., 395(2012), pp. 1-14.

22. Berdnikov G., Kruss Iu., Lukomskii S. How to construct wavelets on local fields of positive characteristic // Preprint arxiv.org/abs/1702.01246

23. Berdnikov G., Kruss Iu., Lukomskii S. On orthogonal systems of shifts of scaling function on local fields of positive characteristic // Turk. J. Math. -2017. Vol. 41, no. 2. Pp. 244-253. Published online. DOI: 10.3906/mat-1504-7.

24. Farkov Yu.A. Multiresolution Analysis and Wavelets on Vilenkin Groups // Facta universitatis, Ser.: Elec. Energ. 2008. Vol. 21, no. 3. Pp. 309-325.

25. Haar A. Der Massbegriff in der Theorie der Kontinuierlichen Gruppen // Annals of Mathematics. 1933. Vol. 34, no. 1. Pp. 147-169

26. Jiang H., Li D., Jin N. Multiresolution analysis on local fields //J. Math. Anal. Appl., 294(2004), pp. 523-532.

27. Lukomskii S.F. Haar system on a product of zero-dimensional compact group // Centr. Eur. J. Math., 2011, vol. 9, no. 3, pp. 627-639.

28. Lukomskii S.F. Multiresolution analysis on product of zero-dimensional Abelian groups // J. Math. Anal. Appl., 2012, vol. 385, pp. 1162-1178.

29. Lukomskii S.F. Trees in Wavelet analysis on Vilenkin groups // Preprint arxiv.org/abs/1303.5635.

30. Lukomskii S.F., Berdnikov G. S. N-Valid trees in wavelet theory on Vilenkin groups // Int. J. Wavelets Multiresolut Inf. Process. 13, 1550037 (2015) [23 pages] DOI: http://dx.doi.org/10.1142/S021969131550037X

31. Lukomskii S.F., Vodolazov A.M. Non-Haar MRA on local fields of positive characteristic // J. Math. Anal. Appl., 2016, vol. 433(2), pp. 1415-1440.

32. Taibleson M.H. Fourier Analysis on Local Fields. Princeton, Princeton University Press, 1975.