Оптимальное восстановление некоторых линейных операторов на классах функций по неточной информации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Чудова, Софья Сергеевна

• Чудова, Софья Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чудова, Софья Сергеевна

Введение

Глава 1. Задачи оптимального восстановления.

1.1. Введение.

1.2. Общая постановка задачи оптимального восстановления линейного оператора ."

1.3. Оценка снизу для погрешности оптимального восстановления

1.4. Общая теорема об оценке сверху.

1.5. Задачи выпуклого программирования.

Глава 2. Восстановление разностей последовательностей

2.1. Постановка задачи.

2.2. Формулировка результатов.

2.3. Доказательства

2.4. Численный эксперимент

Глава 3. Восстановление функций и их дробных производных по неточно заданному спектру

3.1. Оптимальное восстановление по преобразованию Фурье

3.2. Оптимальное восстановление по коэффициентам Фурье

Глава 4. Восстановление интегралов по многомерным шарам на различных классах гладких функций по информации о граничных значениях функций и их нормальных производных.

4.1. Предварительные сведения.

4.2. Восстановление интеграла по d-мерному шару от функции из Wl(Dd) по её значению на границе.

4.3. Восстановление интеграла по единичному кругу от функции из W^iD2) по значению на границе самой функции и ее нормальных производных до (тг — 1)-го порядка

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное восстановление некоторых линейных операторов на классах функций по неточной информации»

Актуальность работы

Во многих практических задачах возникает ситуация, когда необходимо знать (по возможности, точно) какую-либо характеристику сигнала (скажем, его значение в данной точке, или интеграл от него, или вообще целиком весь сигнал в той или иной метрике) по некоторой информации о самом сигнале (например, известны значения этого сигнала в данном наборе точек или известны его коэффициенты Фурье, Тейлора и т.п.), которая может быть задана неполно и/или неточно. Математическая теория, где ставятся и изучаются подобного рода задачи называется теорией оптимального восстановления. Она активно развивается последние несколько десятилетий. Теория оптимального восстановления предлагает новый подход к решению достаточно широкого класса задач, связанных с восстановлением тех или иных характеристик объектов по неполной и/или неточной информации о самих объектах. Важная особенность данного подхода заключается в том, что ставится задача о нахождении на данном классе элементов метода восстановления, являющегося наилучшим среди всех возможных.

Цели диссертационной работы:

Диссертация посвящена решению различных задач теории оптимального восстановления линейных операторов по неточной информации. Рассматриваются следующие задачи:

1. Восстановление разностей последовательностей по неточной информации о самой последовательности.

2. Восстановление функций и их дробных производных по неточно заданному спектру;

3. Восстановление интегралов по многомерным шарам на различных классах гладких функций по информации о граничных значениях функций и их нормальных производных.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Решена задача об оптимальном восстановлении к—й разности числовой последовательности по неточной информации о самой последовательности;

2. Исследована проблема восстановления функций и их производных на прямой по приближенно известному на конечном отрезке преобразованию Фурье этих функций. Найдено семейство оптимальных методов.

3. Получено явное выражение оптимального метода восстановления функций и их дробных производных по конечному набору коэффициентов Фурье, заданных с погрешностью, и найдена оценка погрешности оптимального восстановления;

4. Решена задача об оптимальном восстановлении интегралов по многомерным шарам на соболевских классах функций по информации о граничных значениях функций и их нормальных производных.

Научная новизна

При решении поставленных задач использовался современный подход, основанный на применении общих методов теории экстремума и принципов выпуклой двойственности. Были построены и проанализированы новые методы оптимального восстановления.

Практическая значимость

В различных областях науки при исследовании тех или иных сигналов (звуковых, оптических и т.д.) возникает необходимость восстановления их по коэффициентам Фурье. Это типичная обратная задача, примеры которой можно найти, например, в геофизике, астрономии, дистанционном зондирование Земли, спектральном анализе. Задача восстановления разностей последовательностей по неточным данным возникает всякий раз, когда необходимо численно продифференцировать некоторую экспериментальную кривую. Используемые для численного дифференцирования формулы, как правило, содержат в себе конечные разности. Апробация работы

Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• научном семинаре кафедры «Общих проблем управления» механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В. М. Тихомирова;

• Международной конференции «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики.» («01ТУ-2007») 8-12 октября 2007 г., Тамбов;

• XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2004 г.

• 52-й научно-технической конференции МИРЭА, Москва, 2003 г. Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 1 статья в рецензируемом журнале, рекомендованном ВАК [12] . 6

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объём диссертации составляет 90 страниц. Диссертация содержит 8 рисунков, 3 таблицы, список литературы из 14 наименований и приложение.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Чудова, Софья Сергеевна

Заключение

В диссертации был решен ряд задач оптимального восстановления:

1. Восстановление разностей последовательностей по неточной информации о самой последовательности

2. Восстановление функций и их дробных производных по неточно заданному спектру

3. Восстановление интегралов по многомерным шарам на различных классах гладких функций по информации о граничных значениях функций и их нормальных производных

Рассмотренные задачи объединяет общий подход к их решению, основанный на теории экстремума и принципах выпуклой двойственности.

В каждой из задач был построен оптимальный метод, получено выражение для погрешности оптимального восстановления. Там, где это было возможно, были проведены численные эксперименты, подтверждающие эффективность предложенных методов восстановления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чудова, Софья Сергеевна, 2010 год

1. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью // Матем. сб. 2002. Т. 193, вып. 3. С. 79-100.

2. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его прилож. 2003. № 37. С. 51-64.

3. Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и фунцио-налов от них: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М., 1965.

4. Sard A. Best approximate integration formulae; best approximation formulae // Amer. J. Math. 1941. Vol. 71. Pp. 81-90.

5. Никольский С. M. Квадратурные формулы. 2-е изд. М.: Наука, 1974.

6. Micchelli С. A., Rivlin Т. J. Lectures on optimal recovery // Numerical analysis, Proc. SERC Summer Sch., Lancaster/Engl // Lecture Notes in Math., V. 1129. Berlin: Springer-Verlag, 1984. Pp. 21-93.

7. Micchelli C. A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data: a second look // Numer. Algorithms. 1993. Vol. 5. Pp. 375-390.

8. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Матем.заметки. 1991. Т. 50, вып. 1. С. 85-93.

9. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. Изд. 2-е, испр. М.: Эдиториал УРСС, 2003. 176 с.

10. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

11. Зорин В. А. Математический анализ. Часть 2. М.: МЦНМО, 2002. 787 с.

12. Чудова С. С. Оптимальное восстановление разностей последовательностей по неточной информации // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика,информатика, физика. 2009. Т. 3. С. 12-15.

13. Чудова С. С. Оптимальное восстановление разностей последовательностей // Вестник тамбовского университета. Серия „Естественные и технические науки". 2007. Т. 12, вып. 4. С. 562-563.

14. Чудова С. С. Восстановление периодических сигналов и их производных по конечному набору коэффициентов Фурье, заданных с погрешностью //52 научно-техническая конференция МИРЭА. Сборник трудов. 4.2. М.: 2003. С. 14-17.