Математическая модель восстановления гладких потенциалов в обратных задачах спектрального анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Смирнова, Лариса Викторовна

• Смирнова, Лариса Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Смирнова, Лариса Викторовна

Введение.

Обозначения и вспомогательные утверждения

Глава I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ С НЕПОЛНЫМИ СПЕКТРАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ.

1. Постановка обратной задачи для задачи Дирихле.

2. Математическая модель восстановления потенциала по неполному спектру в обратной задаче Дирихле.

3. Алгоритм восстановления потенциала по неполному спектру и бесконечному подмножеству значений производных собственных функции по нормали к границе заданной области.

4 Математическая модель восстановления потенциала по спектру с исключением па кун арных последовательностей.

5. Математические модели восстановления потенциала в двух-и трёхмерных случаях.

6. Математическая модель восстановления потенциала в обратной задаче Дирихле, если известна асимптотика собственных чисел.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическая модель восстановления гладких потенциалов в обратных задачах спектрального анализа»

Под обратными задачами спектрального анализа понимают задачи восстановления оператора по его заданным спектральным характеристикам. Такими характеристиками могут быть спектры (при различных граничных условиях), спектральная функция, данные рассеяния и др. Основная идея приложений обратных задач заключается в следующем: измеряются определённые величины, которые можно измерить, и на основании этого пытаются получить информацию об интересующих физических величинах. Так в обратной задаче рассеяния на потенциале физической величиной, представляющей интерес, является потенциал q{x) уравнения

Шрёдингера, а измеряемой величиной - амплитуда рассеяния. К задачам такого типа приводят, в частности, некоторые проблемы квантовой механики, например, определение внутриатомных сил по заданным уровням энергии, то есть по спектру, который может быть найден экспериментально.

Первые работы в этом направлении появились в 1929 году. В.А. Ам-барцумян доказал следующую теорему:

Пусть Л0 < Лх < Л2 <. собственные значения задачи Штурма - Лиувылля y" + q(x)y = Xy (О < х < я-) о) = /00 = о, (1) где q{x) - действительная непрерывная функция. Если Лп = п2, п = 0,1,2,., то q{x)= 0.

Таким образом, можно сказать, что впервые обратная задача была поставлена В.А. Амбарцумяном [43], и в простейшей постановке она заключается в том, чтобы определить оператор, зная его спектр.

Впоследствии шведский математик Борг выполнил систематическое исследование обратной задачи для классического оператора Штурма -Лиувилля вида (1) по спектрам [44]. Он показал, что в общем случае оператор Штурма - Лиувилля однозначно не определяется одним спектром, то есть результат В.А. Амбарцумяна является скорее исключением из общего правила. В этой же работе Борг показывает, что два спектра оператора Штурма - Лиувилля (при различных граничных условиях) определяют его однозначно. Борг доказал следующую теорему:

Пусть Я0 < А, < Я2 <. - собственные значения уравнения (1) при граничных условиях

0)-й>/(0)=0, о ' где h и Н — действительные конечные числа, и ju0 < ju} < ju2 < . - собственные значения уравнения (1) при граничных условиях

0)-Ау(0)=0, где Н \ - действительное конечное число, НХФ Н.

Тогда последовательности {Лт и {/ип однозначно определяют функцию q(x) и числа h,HuHv

Затем появились результаты исследований, выполненных Левинсо-ном [47], [48]. В первой своей работе Левинсон даёт более простые доказательства некоторых результатов, полученных Боргом. Во второй и в третьей работе рассматривается обратная задача квантовой теории рассеяния. В частности, Левинсон доказывает [48], что в случае отсутствия отрицательных собственных значений фаза рассеяния, заданная для всех положительных энергий и любого фиксированного углового момента, определяет потенциал однозначно.

Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач получены для задачи в следующей постановке [35].

Пусть Lq - оператор, определённый в £2(0;оо) дифференциальным выражением * d2 ( \ аг и граничным условием u{0,k)cosa + и'{О, k)sma - О,

Если q{r) - вещественно значная кусочно непрерывная функция, то существует монотонно возрастающая функция ра (Я) (-оо < X < со), такая, что для всякой / eZ2(0;co) имеет место равенство

СО +00 f\2dx= \\Fa^fdpa{X), (4)

О -00 в котором

00

Fa(X):= \f{x)(pa(x,X)dx. (5) о

Здесь сра(х,Х) - решение задачи lq<Pa *>0> сра (О, Х)= sin a, <p'a(0,X) = -cosa.

Интеграл в (5) можно понимать как предел при п —> оо в п (- со, оо, dpa (А)) подпоследовательности J/(х)(ра (х, X)dx. о

Функция ра(уl) со свойствами, определяемыми выражениями (4), (5), называется спектральной функцией оператора (2), определяемого граничным условием (3). Вообще говоря, может быть несколько спектральных функций, соответствующих дифференциальному выражению (2) и граничному условию (3). Если симметричный дифференциальный оператор, определяемый равенством (2) на множестве гладких функций, которые удовлетворяют условию (3) и обращаются в нуль на бесконечности, является существенно самосопряжённым, т.е. его замыкание является самосопряжённым, то спектральная функция единственна .

Обратная спектральная задача заключается в нахождении q{x) и граничного условия (3) по данной спектральной функции ра (Я). Функция ра(/1) предполагается нормированной таким образом, что Ра^~0)=Ра{Я)и Ра(-со)=0.

Особые успехи в теории обратных задач были достигнуты математиками В .А. Марченко [33], [34], М.Г. Крейном [20] - [24], И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном [ 10 ], Л.Д. Фаддеевым [ 38 ], Б.М. Левитаном, М.Г. Гасымовым [ 32 ], [ 8 ], [ 9 ], Ю.М. Березанским [ 6 ], [ 7 ] и др.

Начиная с В.А. Марченко, к исследованию обратных задач стали применять, так называемые, операторы преобразования, которые возникли из общих идей теории операторов обобщённого сдвига, предложенных французским математиком Ж. Дельсартом [45], и подробно разработан ых Б.М. Левитаном [29], [30],[31].

В.А. Марченко [34] доказал, что спектральная функция оператора Штурма - Лиувшля (заданного на полупрямой или на конечном промежутке) однозначно определяет оператор. В этой теореме содержится как теорема Борга, так и теорема Левинсона.

М.Г. Крейн нашёл метод построения оператора Штурма - Лиувилля по спектральной функции и по двум спектрам [20] - [24].

В работе И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана [ 10 ], опубликованной в 1951 году, был предложен метод решения обратных задач для оператора Штурма - Лиувилля , который был использован для некоторых других операторов (дискретный аналог оператора Штурма - Лиувилля, матричная задача Штурма - Лиувилля, системы дифференциальных уравнений и др.).

В дальнейшем Фаддеевым в статье [38] были изложены различные подходы к обратным задачам и изучена связь между основными интегральными уравнениями обратной задачи Штурма - Лиувилля и обратной задачи теории рассеяния. Обратная задача теории рассеяния для системы Дирака второго порядка рассмотрена в работе Гасымова и Левитана [32], а для системы Дирака произвольного чётного порядка - в работе Гасымов [9].

Таким образом, в теории обратных задач для дифференциального оператора Штурма - Лиувилля получены наиболее значимые результаты, в которых достаточно полно решена проблема корректности постановки, а также методов их решения.

Наиболее подробно об этом изложено в монографии Б.М. Левитана [31], которая посвящена изложению современного состояния теории обратных задач спектрального анализа на примере уравнения Штурма - Лиувилля, а также связи обратных задач с вопросами разрешимости задачи Коши.

Впервые обратная спектральная задача для оператора Лапласа с потенциалом была поставлена Ю.М. Березанским [6], [7]. Так в 1958 году Ю.М. Березанский [7] опубликовал результаты своих исследований для обратной спектральной задачи уже в трёхмерном пространстве. В его работе было доказано, что в уравнении, заданном в некоторой конечной или бесконечной ограниченной области G трёхмерного пространства,

- Ли + с{р)и = Ли, Imс{р) = О с граничным условием = 0, on где а(р) - непрерывная вещественная функция точки р на границе Г области G, спектральная функция &(p,q,/1) (p,q е /,- °о < А < оо) однозначно определяет коэффициент с(р) в классе кусочно аналитических коэффициентов, а также граничное условие на некоторой части границы Г, т.е. функцию сг(р) . Таким образом Ю.М. Березанский связывает решение многомерной обратной задачи с её спектральной функцией. В этой же работе Ю.М. Березанский подчёркивает, что к сожалению так и не получен "эффективный" метод восстановления потенциала.

Другая, более конкретизированная, постановка обратной спектральной задачи заключается в следующем [35]: пусть

-A(pn+q(x)(pn =1п(рп, х & D с. R2, + a(s)<pn =0, s е Г = 3D. dv

Здесь —нормальная производная функции срп на Г. dv

Предположим, что q(x)= q(x) е L2 (D), каждое число 1п считается в соответствии с его кратностью,

1п Ф О при всех п и что cr(s) е С(г), cr(s) > 0.

Тогда формулировка обратной спектральной задачи состоит в следующем:

Даны величины \Лп, срп | | при всех п; найти сг(^) и q(x). Если граничное условие имеет вид

Рп\Г=°> то обратная спектральная задача модифицируется следующим образом: Даны величины \Яп,(рп\[г | при всех п; найти q(x).

Позже в своих работах [1] - [5] М.И. Белишев опубликовал результаты своих исследований для многомерных обратных задач волнового уравнения. Так в статье М.И. Белишева [5], опубликованной в 1990 году, рассматривается задача продолжения волновых полей и начальная краевая задача граничного управления для того же уравнения. В ходе решения задачи продолжения волновых полей восстанавливается неизвестный коэффициент (плотность), входящий в волновое уравнение.

Теоремы о существовании потенциала в обратной задаче спектрального анализа известны лишь для обыкновенных дифференциальных уравнений [7], [31], [35] и др. или для степеней оператора Лапласа с потенциалом на прямоугольнике [15]. Кроме этого многие обратные задачи имеют не единственное решение. Поэтому одной из важных становится проблема единственности восстановления потенциала, в решении которой возникает вопрос о выявлении дополнительных условий, обеспечивающих единственность решения обратной задачи

В 1988 году А Л. Nachman, J. Sylvester , G. Uhlmann [50] опубликовали статью, посвященную доказательству многомерной теоремы Борга -Левинсона. Они рассмотрели следующую задачу:

- Д +■ q)u = Ли вО.,

I п u\s = 0, где Q - ограниченная область в Rn [п > 2) с границей S класса Сю. Пусть Я, < Л2 <. собственные значения задачи (6), взятые с учётом кратности, rrij - порядок Лj:, а щ,и2,.,ит. - действительнозначные ортонормальные собственные функции, соответствующие Л] . Введя определённым образом отношение эквивалентности на множествах

Е) = ди{ ди2 ^ dv dv dv

V У s. обозначив классы эквивалентности через W-, АЛ. Nachman, J. Sylvester , G. Uhlmann доказали

Теорема. Пусть q{,q2 - действительнозначные функции из сф) такие, что л,, (с/1) = Aj (q2) для всех j > 1, Wj (q i) = Wj (q2) для всех j > 1.

Тогда qx- q2 ■

В дальнейшем Ramm [51], Suzuki [52] получили подобные результаты и для других задач.

Вопрос об устойчивости решения обратных задач спектрального анализа поднимался в работе Alessandrini, Sylvester [42]. Факт о том, что в теорему об устойчивости решения обратных задач входят величины, не влияющие на единственность восстановления потенциала, стал ясным после работы H.Isozaci [49] . Он доказал теорему:

Теорема. Пусть q] , q2 - действительнозначные функции из такие, что

Х - (ql) = Я - (q2 ) для всех j > N, Wj(q\)=Wj(q2) для всех j > N, где N - достаточно большое натуральное число. Тогда g,= q2 .

В 1994 году В.В. Дубровским в статье [11] была доказана теорема устойчивости восстановления потенциала для краевой задачи Дирихле по неточно заданным спектральным данным, в которой единственность восстановления потенциала гарантируется выполнением неравенства X с duj -ь Ф) dVj \ dUj dVj

V dv dv his) J dv dv his) mini duj 2 dVj 2 dv •> his) dv < 00. где v - нормаль к поверхности S , /Uj и Aj собственные числа краевой задачи Дирихле соответственно с потенциалами q{ ,q2 s C2(q) , а и ■ ж Vj соответствующие им ортонормированные собственные функции, в выборе которых есть определённый произвол.

Проблема единственности восстановления потенциала в обратных задачах спектрального анализа при отсутствии бесконечного числа спектральных данных впервые изучалась В.В.Дубровским [11] - [14].

Вопрос о единственности восстановления потенциала в задаче Неймана в случае, если отсутствует бесконечное число собственных значений и значений собственных функций на границе заданной области, был поднят В.В.Дубровским в статье [12]. Он доказал, что существует бесконечная подпоследовательность собственных чисел краевой задачи Неймана, не влияющая на единственность восстановления потенциала.

Несколько позднее В.В.Дубровский [13], [14] показал, что если П

2 2 ограниченная область в R с границей S класса С , то при определённом асимтотическом разложении собственных значений и при выполнении некоторых условий следует единственность восстановления потенциала в обратных задачах для задач Дирихле и Неймана.

Данное диссертационное исследование посвящено проблеме восстановления потенциала в обратных задачах спектрального анализа при отсутствии бесконечного числа спектральных данных.

Цель данного исследования: разработать математическую модель восстановления гладких потенциалов по неполному спектру в обратных задачах спектрального анализа, а также исследовать возможность её применения для различных бесконечных подмножеств собственных чисел данных задач. При этом объектом исследования являются обратные задачи оператора Лапласа с потенциалом с краевыми условиями Дирихле, Робена и Неймана. Предметом исследования является математическая модель восстановления потенциала в обратных задачах для задач Дирихле, Робена и Неймана.

В соответствии с указанной целью нами были сформулированы следующие задачи:

- построить алгоритм восстановления гладких потенциалов по бесконечным подмножествам собственных чисел в обратных задачах Дирихле, Робена и Неймана для оператора Лапласа с потенциалом, который, в предположении, что решение обратных задач существует, можно положить в основу математической модели восстановления гладких потенциалов, а для этого:

- выяснить условия, при которых можно исключить бесконечное множество точек спектра, не влияющих на восстановление потенциала в обратной задаче для задачи с краевыми условиями Дирихле;

-решить задачу единственности восстановления потенциала в постановке Н. Isozaki [49] в обратной задаче для задачи Робена;

- найти условия восстановления потенциалов в обратных задачах для задач Дирихле, Робена и Неймана, рассматриваемых в N - мерной (N > 2) ограниченной области, при определённом асимптотическом разложении собственных чисел.

В процессе работы над темой исследования возникла и была решена задача оценки роста собственных функций задачи Робена, сама по себе имеющая определённую научную значимость. Для задачи Дирихле этот вопрос был рассмотрен в работах академика В.А. Ильина и И.А. Шишмарёва [19] , а также отдельно И.А. Шишмарёвым в [39]. Достаточное внимание оценке роста обобщённых собственных функций первой

- третьей краевых задач для эллиптического оператора уделено О.А. Ладыженской, Н.Н. Уральцевой в книге [27]. Ещё ранее этой темы, но для задач Дирихле и Неймана касались Х.Л. Смолицкий [36], О.А. Ладыженская

26], Д.М. Эйдус [40], [41]. Метод, изложенный в работах В.А. Ильина и И.А. Шишмарёва [19], [39] позволил нам оценить рост собственных функций задачи Робена.

Основным методом исследования является метод применённый в работе Н. Isozaki [49], затем более полно разработанный В.В. Дубровским [ 11 ] - [ 14 ], в основе которого лежит резольвентный метод.

Диссертация состоит из двух глав: « МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ С НЕПОЛНЫМИ СПЕКТРАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ », « МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ГЛАДКОГО ПОТЕНЦИАЛА В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ РОБЕНА С НЕПОЛНЫМИ СПЕКТРАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ ».

В главе 1 доказано, что в модели восстановления потенциала в задаче Дирихле можно опустить бесконечное число спектральных объектов, обладающих некоторыми свойствами, получены различные условия, налагаемые на бесконечное число точек спектра, не влияющих на восстановление потенциала.

Первая глава включает в себя шесть параграфов.

В первом параграфе дана постановка обратной задачи для оператора

Лапласа с потенциалом из и краевыми условиями Дирихле (обратной задачи Дирихле).

Во втором параграфе построены математические модели восстановления потенциала в обратной задаче Дирихле (1.1.1) в случае размерности пространства сначала равной двум и трём, а затем не меньше двух. Также получены условия, налагаемые на бесконечное множество точек спектра не влияющее на восстановление потенциала. Теоремы, доказанные в этом параграфе, можно рассматривать, как теоремы единственности восстановления потенциала в обратной задаче Дирихле.Из них следует, что можно исключить конечное число значений производных собственных функции по нормали к границе заданной области и даже некоторые бесконечные специально выбранные подпоследовательности собственных чисел, что не повлияет на единственность восстановления потенциала.

В третьем параграфе будет получен алгоритм восстановления потенциала, если не известна некоторая бесконечная подпоследовательность собственных чисел, а также бесконечное число соответствующих им значений производных собственных функции по нормали к границе заданной области.

В четвёртом параграфе мы покажем, что можно исключить бесконечную подпоследовательность собственных чисел, номера которых образуют лакунарную последовательность натуральных чисел, что не изменит алгоритма восстановления потенциала в математической модели, построенной во втором параграфе. Причём в двух- и трёхмерных случаях не требуется никаких дополнительных ограничений.

В пятом параграфе рассмотрен более широкий класс подпоследовательностей собственных чисел, не влияющий на восстановления потенциала в построенной ранее модели. Приведены примеры таких подпоследовательностей.

В шестом параграфе мы покажем, что при определённом характере асимптотического разложения собственных чисел задачи (1.1.1) с потенциалами q},q2 е C°°(q) и выполнении некоторых дополнительных условий можно сделать вывод о совпадении потенциалов. Это делает возможным построение нового алгоритма восстановления гладкого потенциала в обратной задаче Дирихле, если известна асимптотика собственных чисел.

В главе 2 основным является вопрос о возможности восстановления потенциала по неполным спектральным данным в обратной задаче Борга -Левинсона с краевыми условиями Робена.

Первый параграф носит вспомогательный характер для данной главы. Он посвящен вопросу оценки модуля собственных функций задачи Робена, который представляет собой отдельный научный интерес. Получены оценки модуля собственных функций задачи Робена для эллиптического оператора и их производных по конормали к границе заданной поверхности.

В параграфе 2 даётся постановка обратной задачи единственности восстановления потенциала для задачи Робена, а также доказывается основная лемма о виде функции рассеяния. Выводы полученные в этом параграфе, были использованы во всех последующих параграфах главы 2.

В параграфе 3 этой главы решена обратная задача Борга - Левинсона с краевыми условиями Робена в постановке работы Н. Isozaki [ 49 ], сделанной для условий Дирихле. А именно, доказано, что в задаче о единственности восстановления потенциала можно исключить конечное число точек спектра и значений собственных функций на границе заданной области. На основе этого построена математическая модель восстановления потенциала в обратной задаче Робена и, как следствие, обратной задачи Неймана.

В четвёртом параграфе построена математическая модель восстановления потенциала в обратной задаче Робена, а также дан ответ на вопрос, в каком случае эта задача имеет единственное решение, если известен характер асимптотического разложения её собственных чисел.

В заключительной части диссертации формулируются основные выводы, полученные в главах 1 и 2.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доктору физико - математических наук, профессору Владимиру Васильевичу Дубровскому за постоянное внимание, постановку задач, советы и замечания на протяжении всей работы.

Автор выражает признательность канд. физ. - мат. наук, доценту МГУ А.Ю. Попову за конструктивное обсуждение полученных результатов.

Обозначения и вспомогательные утверждения

1 .Пусть RN - евклидово пространство N измерений. В дальнейшем будем считать, что Q - область в RN, S - граница Q, S - сферы единичного радиуса в R N . Будем обозначать через N Г у -JZc*/-х-)2 = 1 расстояние между точками х = {хх,х2,. ,xN) и у = (j/,, у2, .,yN ) .

2.Пусть а = (аиа2,.,ап)- целочисленный вектор с неотрицательными составляющими. Через Dafix) обозначаем производную функции f{x) порядка led = а{ + а2 +. + ап,

D' дх"] дх22 .дхУ

D = (Dl,D2,.,Dn), Dj j = 1,2,.,и. dXj

Множество функций fix), непрерывных вместе с производными Daf{x), \а\ < р (0 < р < оо), в области Q, образуют класс функций Ср (Q). Функции / класса Ср (Q), у которых все производные Da fix), \а\ < р (0 < р < оо) допускают непрерывное продолжение на замыкание Q, образуют класс Ср (q). Класс функций, принадлежащих Ср (Q), при всех р, обозначим через Cm (Q) . Аналогично определяется класс Сю (q). В работе рассматриваются действительнозначные функции/ Функция fa (х) е L2 loc (Q) называется а - й обобщённой производной в об Н / ласти Q функции f(x)e L2hc(Q) , если для любой функции g(jc)еС имеет место равенство f{x)Dag(x)dx = (- if \Г q a

3.Функция f(x), определённая и непрерывная на Q, удовлетворяет условию Гёльдера с показателем /л (0<//<1) в Q, если отношение

Ж>-/(у) гм ху ограничено сверху при любых х и у из Q. Функция /(х), определённая на компакте QgRn , принадлежит классу если её производные порядка к гёльдеровы в Q с показателем ju. С- класс функций гёльде-ровых с показателем /и.

4.Пусть граница S открытой области Qg Rn удовлетворяет требованию: каждой точке х е S можно поставить в соответствие N- мерный шар В(х,р(х)) с центром в точке х и радиусом р(х)> 0 так, что часть S , содержащаяся в В(х,р(х)), допускает по отношению к некоторой новой регулярной локальной системе координат , ,., ) с началом в точке х представление вида <э 5 <5 2 ' •••' <r/v-l )•

Регулярность новых координат означает, что между новыми и старыми координатами существует взаимно однозначное непрерывное соответствие.

Будем говорить, что граница S принадлежит классу С2 (с00), если функция £eC2(S) (С00(5))

5.Через pt ,Я( (или jut (q),A( (q) ) будем обозначать собственные значения рассматриваемых операторов. Через обозначим норму оператора \\А\\ Li^Li .

6. Под 1(П,Я) (кратко < р < оо, будем понимать пространство функций х: Q -» R, компоненты которых суммируемы на Г2 со степенью р, г /

Иг. =

VQ Р

7. Множество функций из L2 loc (Q) , имеющих все обобщённые производные до порядка к, k> 1, включительно, будем обозначать через нШ

7. Замкнутая ограниченная поверхность S называется поверхностью Ляпунова, если она удовлетворяет следующим условиям: а) в каждой точке S существует касательная плоскость; б) существует такое число г0 >0, что для любой точки х eS множество S n U(x, г0) связное, и оно пересекается прямыми, параллельными нормали пх, не более чем в одной точке; в) нормаль пх непрерывна по Гёльдеру на S, то есть существуют числа С > О, 0 < а < 1 такие, что С\х - у\а, Х,у G S .

Отсюда вытекает, что поверхности Ляпунова находятся в классе поверхностей гладкости С1; с другой стороны , всякая замкнутая поверхность класса С есть поверхность Ляпунова.

ПХ ~Пу

8. Всюду по парам одинаковых индексов подразумевается суммирование в пределах от 1 до TV", в частности, -а,д а w^w to J дх,- '■' (=1 dxt

9. Будем полагать, что

Зададим линейный самосопряженный дифференциальный оператор L эллиптического типа равенством: n q

Lu = ^ — a i > (*) ди дх с{х)и = f{x\ j

ГДе u(x)eCi2](D)nCm(D) и для всех x = (x],x2,.,xN)eC :

N N а, (х) = а у/ (х) и £ ^ j > а £ (а = const > 0)

7=1 при любых вещественных . N .

Рассмотрим первую (с краевыми условиями Дирихле) задачу для заданного оператора L :

Lu + Ли = 0 в D, и |s=0, и третью (с краевыми условиями Робена) задачу для того же самого оператора:

Lu •+ Ли = 0 е D, с- I г\ + 5и = О, ду где S :S -» R положительная непрерывная на S, у - конормаль к границе S. Производная по конормали задаётся равенством: где

I/ 2 а

W= Е ZaAx)c°in>xj

1 \ 7=1

Под решением задачи (2.1.2) будем понимать функцию и е С(2)(/))пС(1)(Г>), удовлетворяющую (2.1.2) всюду на D. Справедливы теоремы.

Теорема 0.1. Собственные значения /1|, , • • • первой или третьей краевой задачи вещественны и Лs —> —со ирм —» оо.

Теорема 0.2. При любой f из Z2(p) существует единственное обобщённое решение и{х)для каждой из первой и третьей краевых задач при однородных граничных условиях, если нуль не является собственным значением соответствующей краевой задачи для оператора L. Теорема 0.3. Если с(х) < 0 в Q, а функция (р является граничным значением некоторой функции из Н1(0.), то существует единственное обобщённое решение первой краевой задачи для оператора L с неоднородными краевыми условиями.

Теорема 0.4. Если с(х) < 0 в Q и или а{х)не равно тождественно нулю в Q, или 8(х) не равно тождественно нулю на S, то для любых f из L2 (Q) и (риз L2(S^) существует единственное обобщённое решение третьей краевой задачи для оператора L.

Теорема 0.5. При выполнении перечисленных при постановке первой и третьей задач условий, при f(x)e. Са (q) g?(s) е С,+а (S) первая третья задачи с неоднородными краевыми условиями однозначно разрешимы в С2+сс . В случае же, если f{x) е Сю С°° (5) первая и третья

23 неоднородные краевые задачи для оператора L однозначно разрешимы в

Пусть Q - ограниченная область в RM, с границей S класса С00. Рассмотрим краевую задачу Дирихле с действительной функцией q е С00 (Q) со спектральным параметром Я :

Известно [27], что эта задача имеет не более счетного числа собственных значений, каждое из которых действительно и имеет конечную кратность.

Пусть собственные значения задачи занумерованы с учетом возрастания их величин с учётом их кратности.

Тогда справедлива асимптотика для собственных значений:

С00 .

10. Будем считать, что размерность Nпространства RN не меньше двух.

- (Ли)(х) + q{x)u(x) = X и{х),х е Q, и(х) /s = 0.

V У где С - константа, С > 0. [20]

Для составления использовались источники [27], [37].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Смирнова, Лариса Викторовна

Основные результаты, полученные в главе 2, были опубликованы в работах [54], [55], [57], [60].

Заключение

В данном диссертационном исследовании рассматривалась проблема восстановления потенциала в обратных задачах спектрального анализа при отсутствии бесконечного числа спектральных данных и возможности создания математической модели восстановления гладких потенциалов в обратных задачах спектрального анализа. Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Построены алгоритмы восстановления гладких потенциалов по бесконечным подмножествам собственных чисел обратных задач Дирихле, Ро-бена и Неймана для оператора Лапласа с потенциалом. В предположении, что решение обратных задач существует, эти алгоритмы можно положить в основу математической модели восстановления гладких потенциалов.

2. Получен цикл теорем, где установлены условия и требования, которым должно удовлетворять бесконечное множество спектральных данных, не влияющее на единственность восстановления потенциала в обратной задаче для задачи Дирихле.

3. Получена теорема о том, что отсутствие сведений о конечном числе спектральных объектов не влияет на единственность восстановления потенциала в обратной задаче для задачи Робена.

4. Сформулированы условия единственности восстановления потенциала в обратных задачах для задач Дирихле, Робена и Неймана, рассматриваемых в N - мерной (N > 2) ограниченной области при определённом характере асимптотического разложения собственных чисел.

Полученные в работе результаты имеют как теоретический, так и практический характер. Впервые построены математические модели восстановления гладких потенциалов при отсутствии информации о бесконечных подмножествах спектральных данных в обратных задачах, что может быть использовано при решении обратных задач спектрального анализа. Разра

105 ботанные алгоритмы восстановления гладких потенциалов можно положить в основу создания численных алгоритмов. Полученные результаты носят окончательный характер.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Смирнова, Лариса Викторовна, 2002 год

1. Белишев М.И. Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения// ДАН СССР. - 1987. - т. 297, № 3 . - С. 524 - 527.

2. Белишев М.И. Уравнения типа Гельфанда Левитана в многомерной обратной задаче для волнового уравнения. - Записки научных семинаров ЛОМИ. - 1987.-Т. 165, вып. 17.-С. 15-20.

3. Белишев М.И. Волновые базисы в многомерных обратных задачах. -Матем. Сборник. 1989. - Т . 180, №5. - С . 584 - 602.

4. Белишев М.И., Благовещенский А.С. Прямой метод решения нестационарной обратной задачи: В сб. Условно корректные задачи матем. физики и анализа. - Красноярск . - 1988 . - С . 43 - 49.

5. Белишев М.И. Граничное управление и продолжение волновых полей. -Ленинград. 1990 . - Препринт Р -1 - 90.

6. Березанский Ю.М. Об обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера//ДАН СССР. 1955. - Т . 105, № 2.- С . 197-200.

7. Березанский Ю.М. О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера. Труды Моск. матем. об- ва. 1958. - Т . 7, № 3.

8. Гасымов М.Г. Определение уравнения Штурма Лиувилля с особенностью по двум спектрам // ДАН СССР. - 1965 . - Т. 161, №2. - с. 274 -276.

9. Гасымов М.Г. Обратная задача по данным рассеяния для системы уравнений Дирака порядка 2п // ДАН СССР. 1966. - Т. 169, №5. - с. 1037 -1040.

10. Ю.Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв. АН СССР, сер. Матем.- 1951.-Т. 15.-С . 309-360.

11. П.Дубровский В.В. К устойчивости обратных задач спектрального анализа для уравнений математической физики. Труды Моск. матем. об — ва. - 1994. - Т. 49, вып. 3 (297). - С . 171 - 172.

12. Дубровский В.В. К многомерной обратной задаче спектрального анализа. Труды Моск. матем. об - ва. - 1994. - Т. 49, вып. 3 (297). - С.229 -230.

13. Дубровский В.В. Теорема о единственности решения обратных задач спектрального анализа // Дифференциальные уравнения. 1997. - Т33, №3,-С. 421 -422.

14. И.Дубровский В.В. Об одном неравенстве в обратных задачах спектрального анализа // Дифференциальные уравнения. 1997. - Т . 33, № 6. -С. 843-844.

15. Дубровский В.В., Великих А.С. Теорема о существовании решения обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа // Электромагнитные волны и электронные системы. 1998. - №5. - С. 6 -9.

16. Дубровский В.В., Печенцов А.С. Об асимптотике спектральной функции самосопряжённых псевдодифференциальных операторов // Дифференциальные уравнения. 1993. - Т. 29, № 5. - С. 852 - 858.

17. Иврий В.Я. О точных спектральных асимптотиках для эллиптических операторов, действующих в расслоениях // Функц. Анализ и его прил. -1982. Т.16, №2. - С.25 -34.

18. Иврий В.Я. Об асимптотиках дискретного спектра для некоторых операторов в Rn // Функц. Анализ и его прил. 1985. - Т.19, №1. - С.73 -74.

19. Ильин В.А., Шишмарёв И.А. Равномерные в замкнутой области оценки для собственных функций эллиптического оператора и их производных. Изв. АН СССР, сер. Матем. - 1960. - Т. 24. - С. 883 - 896.

20. Костюченко, Байтматов // Функциональный анализ. 1985. - вып.2.

21. Крейн М.Г. Решение обратной задачи Штурма Лиувилля // ДАН СССР. - 1951. - Т. 76, № 1. - С. 669 - 672.

22. Крейн М.Г. Об обратных задачах для неоднородной струны // ДАН СССР. 1952. - Т. 82, № 5. - С. 669 - 672.

23. Крейн М.Г. О некоторых случаях эффективного определения плотности неоднородной струны по её спектральной функции // ДАН СССР. -1953. Т. 93, № 4. - С. 617 - 620.

24. Крейн М.Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // ДАН СССР. 1954. - Т. 95, № 6. - С. 767 - 770.

25. Крейн М.Г. Об определении потенциала частицы по её S функции // ДАН СССР. - 1955. - Т. 105, № 3. - С. 433 - 436.

26. Ладыженская О. А. Метод Фурье для гиперболических уравнений // ДАН СССР. 1950. - Т. 73, № 3.

27. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1962.

28. Левитан Б.М. Операторы обобщённого сдвига и некоторые их применения. Физматгиз, 1962.

29. Левитан Б.М. К решению обратной задачи квантовой теории рассеяния. Матем. заметки. - 1975. - Т. 17, № 4. - С. 611 - 624.

30. Левитан Б.М. О разрешимости обратной задачи Штурма Лиувилля на всей прямой // ДАН СССР. - 1977. - Т . 234, № 1.31 .Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма Лиувилля. - М.: Наука, 1984.

31. Левитан Б.М., Гасымов М.Г. Определение дифференциального уравнения по двум спектрам. УМН. - 1964. - Т. 19, № 2 (116). - С. 3 - 63.

32. Марченко В.А. Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн // ДАН СССР. 1955. - Т. 104, № 5. - С. 695 - 698.

33. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. 1950. - Т. 72, № 3. - С . 457 - 460.

34. Рамм А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния. М.: Мир, 1994.

35. Смолицкий X.JI. Оценки производных фундаментальных функций // ДАН СССР. 1950. - Т. 74, № 2. - С. 205 - 208.

36. Трибель X. Теория функциональных пространств// М.: Мир, 1986. -448с.

37. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. УМН. — 1959.-Т. 14, №4.-С. 57-119.

38. Шишмарёв И.А. Введение в теорию эллиптических уравнений. М.: Изд. Моск. ун - та, 1979.

39. Эйдус Д.М. Оценки модуля собственных функций // ДАН СССР. 1953.- Т. 90, № 6. С. 973 - 974.

40. Эйдус Д.М. Некоторые неравенства для собственных функций И ДАН СССР. 1956. - Т. 107, № 6. - С. 796 - 798.

41. Alessandrini G., Sylvester J. //Com. Part. Dif. Eg. 1990. - V. 15, № 5. p. 711 -736.

42. Ambartsumian V. Uber eine Frage der Eigenwerttheorie. Zeitschrift fur Physik. - 1929. - Bd. 53. - S. 690 - 695.

43. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm Liouvillschen Eigenwert auf gabe // Acta. Math. - 1946. - Bd. 78, № 1. - S. 1 - 96.

44. Delsarte J. Sur une extension de la formule de Taylor // J. Math. Pures et appl. 1938. - V.17. - P. 213 - 230.

45. Hormander L. The spectral function of elliptic operator// Acta math. 1968.- 121.-C. 193-218.

46. Levinson N. The inverse Sturm Lionville problem. - Math. Tidsskr. B, 1949.-P. 25-30.

47. Levinson N. On the uniqueness of the potential in a Schrodinger equation for a given asymptotic phase. Danske Vid. Selsk. Mat. Fys. Medd., 1949.1. V. 25, №9.-P. 25.

48. Isozaki H. Some remarks on the multidimensional Borg Levinson theorem // J. Math. Kyoto Univ. (JMK YAZ). - 1991. - V.31, № 3. - P. 743 - 753.

49. Suzuki T. Ultra hyperbolic approach to some multi - dimensional inverse problems. - Proc. Japan Acad. - 1988. - 64 A.

50. Садовничий В.А., Дубровский B.B., Смирнова Л.В. О единственности решения обратных задач спектрального анализа // ДАН. 2000.- Т .370, № 3. - С. 319-321.

51. Дубровский В .В., Смирнова J1.B. К единственности решения обратных задач спектрального анализа для уравнений математической физики // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. - Т. 5, № 2. - С. 411 -416.

52. Смирнова JT.B. Оценка модуля собственных функций задачи Робина для самосопряжённого оператора // Электромагнитные волны и электронные системы. 1999. - Т.4, №6. - С. 15 -17.

53. Дубровский В.В., Смирнова JI.B. К единственности решения обратных задач спектрального анализа для уравнений математической физики //1.l

54. Дифференциальные и интегральные уравнения: Тез. докл. Междунар. науч. конф., 22 -26 июня 1999 г. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1999. -С. 45.

55. Смирнова Л.В. Теоремы о восстановлении потенциала// Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели: Тез. докл. междунар. науч. конф., 4-8 февраля2002 г. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002,- С.98.