Математическое моделирование и оптимизация противоударных и виброзащитных систем в условиях неопределенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор физико-математических наук Баландин, Дмитрий Владимирович

• Баландин, Дмитрий Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Баландин, Дмитрий Владимирович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Виброизолированные механические системы

1.1. Цель, эффективность и примеры использования виброизоляторов

1.2. Внешние воздействия и показатели качества виброизоляции

1.3. Расчет и оптимизация виброизолированных систем как задача управления

Глава 2. Оптимальная противоударная защита в случае одиночного удара

2.1. Постановка задач оптимизации

2.2. Предельные возможности противоударной изоляции

2.3. Параметрическая оптимизация противоударных изоляторов

2.3.1. Постановка задач

2.3.2. Свойства критериев качества

2.3.3. Методика решения задач оптимизации противоударных изоляторов в общем случае

2.3.4. Параметрическая оптимизация противоударных изоляторов со степенными характеристиками

2.4. Задача двухкритериальной оптимизации

Глава 3. Оптимизация противоударных изоляторов при неполной информации об ударных возмущениях

3.1. Постановка задач

3.2. Интегральное ограничение на внешнее воздействие

3.2.1. Описание класса воздействий

3.2.2. Задача о наиболее опасном ударном воздействии

3.2.3. Пример виброизолированной системы, для которой мгновенный удар не является самым опасным

3.3. Предельные возможности противоударной изоляции

3.4. Параметрическая оптимизация

.110

Глава 4. Оптимизация противоударных изоляторов при неточно известной массе защищаемого объекта

4.1. Постановка задач

4.2. Исследование оптимизационной задачи

4.2.1. Переход к безразмерным переменным

4.2.2. Анализ одномерной задачи оптимизации

4.2.3. Алгоритм вычисления оптимальных параметров

4.2.4. Решение оптимизационных задач в исходных переменных

4.3. Оптимизация параметров изолятора с квадратичным демпфером

и линейным упругим элементом

4.3.1. Предварительный анализ задачи

4.3.2. Вычисление оптимальных параметров

4.3.3. Асимптотика оптимального решения

Глава 5. Оптимальное управление демпфированием в противоударных изоляторах

5.1. Постановка задач

5.2. Математическое исследование задач оптимального управления

5.2.1. Анализ свойств функционалов

5.2.2. Достаточные условия оптимальности

5.2.3. Алгоритм поиска оптимального управления

5.3. Пример решения задачи оптимального управления

5.3.1. Математическая модель противоударной системы

5.3.2. Численная реализация алгоритма

Глава 6. Оценивание максимального смещения тел в системах с сухим трением при ударных возмущениях

6.1. Математические модели систем и постановка задачи

6.1.1. Одномассовая система

6.1.2. Многомассовая система

6.1.3. Постановка задачи

6.2. Оценки максимального смещения контейнера

6.2.1. Предварительный анализ

6.2.2. Уточнение полученной оценки

6.2.3. Оценки смещения контейнера в случае линейной системы материальных точек

6.3. Оценки максимального смещения твердого тела в гибридной системе

6.3.1. Постановка задачи

6.3.2. Анализ задачи

Глава 7. Оптимальная виброзащита упругих систем

7.1. Оптимальная виброзащита многомассовой упругой конструкции

7.1.1. Постановка задач

7.1.2. Предельные возможности виброзащиты

7.1.3. Задача оптимизации гарантированного качества

7.2. Оптимальная виброзащита упругих объектов с распределенными параметрами

7.2.1. Постановка задач

7.2.2. Задача о предельных возможностях виброзащиты

7.2.3. Оптимизация гарантированного качества

7.2.4. Пример численного расчета

7.3. Выводы и возможные обобщения

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и оптимизация противоударных и виброзащитных систем в условиях неопределенности»

ВВЕДЕНИЕ

Проблема защиты машин, приборов, зданий, да и самого человека от вредного воздействия вибраций и ударов имеет многовековую историю. На первых порах, проектируя и создавая примитивные средства виброзащиты, люди действовали, подчиняясь инженерной интуиции и накопленному опыту. Езда в карете по неровной ухабистой дороге, доставлявшая много неудобств пассажирам, стала намного приятнее, когда карету оснастили рессорами, т.е. между корпусом кареты и осями колес установили упругие элементы. В древних японских пагодах, чтобы уберечь их от разрушительного воздействия землетрясений, к куполу храма прикрепляли тяжелый маятник. Так возникли первые средства сейсмозащиты зданий. С развитием техники потребность в средствах виброзащиты становилась все острее. Появились высокоточные приборы, то и дело выходящие из строя в условиях их эксплуатации на различных движуттщхся средствах: кораблях, автомобилях, летательных аппаратах. Резко возросли скорости движения автомобилей, и любая значительная неровность на дороге грозила серьезной поломкой. Росла высота зданий, в том числе и в сейсмических районах Земли, и уберечь их от разрушения могли только эффективные способы сейсмозащиты. Короче говоря, одной лишь инженерной интуиции становилось недостаточно для эффективной борьбы с вредным, а порой и разрушительным воздействием вибраций и ударов. Требовалась научная теория виброударозащиты, использующая математические модели и методы для количественной оценки эффективности применяемых и создаваемых вновь средств защиты. Такая теория действительно возникла в начале 60-х годов. Рождение ее совпало с бурным развитием и становлением науки об управлении, или кибернетики. И это, конечно, не простая случайность. Дело в том, что с точки зрения кибернетики задача виброударозащиты является типичной задачей управления, а именно: требуется так управлять объектом защиты, чтобы в максимальной степени парировать действующие на него возмущения. При этом управляющим органом как раз и является виброуда-

розащитное устройство. Исторически первыми работами, в которых задача виброударозащиты рассматривается с позиций теории управления, являются работы В.В.Гурецкого [73] и М.З.Коловского [106], а также В.Д.Пилки и Е.Севина [242].

В настоящее время спектр применения средств защиты от вибраций и ударов чрезвычайно широк: защита прецизионных установок и приборов [72], [111], [112], [113], [152]; сейсмозащита зданий и сооружений [207], [212], [214], [217], [234], [246], [245]; гашение колебаний упругих космических конструкций [33], [231], [233]; амортизация транспортных машин и летательных аппаратов [58], [91], [102]; защита фундаментов от нагрузок, порождаемых работающими машинами и агрегатами [103], [174], [175]; защита космических аппаратов от ударов метеорных частиц и частиц космического мусора [133]. Создание устройств, способных защитить объекты от вибраций и ударов, и, вместе с тем, обладающих ограниченными размерами, представляет собой сложную техническую задачу, которая остается актуальной до сих пор. Одним из традиционных и широко распространенных способов виброударозащиты является применение упруго-демпфированных виброзащитных систем пассивного типа. В последнее время значительное развитие получили управляемые (активные) виброзащитные системы. Это системы автоматического управления вибрацией объекта с целью снижения ее до заданного уровня в определенных точках или области пространства, в заданном диапазоне частот, для определенного класса внешних воздействий [68], [90], [91], [106], [111], [112], [113], [141], [183]. Несомненно, что управляемые виброзащитные системы обладают в целом гораздо большими возможностями в защите объектов от вредных механических воздействий, нежели системы пассивного типа. Тем не менее, системы виброударозащиты пассивного типа продолжают играть важную роль в силу свой относительно малой стоимости, простоты конструкции, удобства эксплуатации.

Естественное стремление к максимальной эффективности виброударо-защитных систем приводит к необходимости ставить и решать оптими-

зационные задачи. Одной из наиболее простых для анализа (и вместе с

V о \

тем, как оказалось, весьма плодотворной и интересной для исследователей) является система с одной степенью свободы. Механической моделью этой системы является твердое тело, расположенное в прямолинейно движущемся корпусе и закрепленное на виброударозапщтном устройстве (виброизоляторе) таким образом, что оно может перемещаться относительно корпуса в направлении его движения. Рассмотрение подобных систем целесообразно по двум причинам. Во-первых, они удовлетворительно описывают работу многих виброударозащитных устройств, во-вторых, относительная простота модели позволяет провести полный анализ и получить результаты, позволяющие, с одной стороны, качественно судить о поведении более сложных систем, а с другой, - использовать количественные данные для задания начального приближения при их расчете и оптимизации. Анализом и оптимизацией систем с одной степенью свободы занимались многие ученые, среди которых П.М.Алабужев, Н.Н.Болотник, Э.М.Болычевцев, В.В.Гурецкий, С.В.Елисеев, А.Ю.Ишлинский, М.З.Коловский, В.Б.Ларин, Ю.П.Максимович, В.Г.Саранчук, A.B.Синев, В.А.Троицкий, J.S.Arora, E.J.Haug, E.Sevin, W.D.Pilkey, J.E.Ruzicka. Результаты исследований отражены в работах [5], [6], [8], [43]-[52], [58], [73]-[81], [89],''[90], [95], [99], [100], [105], [115], [116], [119]-[122], [126], [127], [156]-[160], [164]-[167], [184], [185], [206], [235], [239], [241]-[244], [248].

Математически указанная система описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

х + м(-) = w(t), #(0) = ¿(0) = ¿о, (0.1)

где u(-) - функция из заданного класса, определяющая характеристику виброизолятора, численно равная силе, действующей на виброизолируемое тело, отнесенной к его массе в случае внешнего воздействия кинематического типа и отнесенной к приведенной массе системы в случае динамического воздействия; w(t) - ускорение корпуса или сила, приложенная к корпусу,

отнесенная к его массе, х - смещение виброизолируемого объекта относительно корпуса.

Постановка оптимизационной задачи определяется как требованиями, предъявляемыми к виброударозащитной системе, так и характером внешнего воздействия Важнейшими типами внешних воздействий, рассматриваемых в теории виброзащитных систем, являются удары и вибрации. Кроме того, внешние воздействия можно разделить на детерминированные и случайные. Пусть система с одной степенью свободы (0.1) подвергается детерминированному воздействию ударного типа. Введем функционалы, характеризующие качество защиты от ударного воздействия

Л[м(')1 = тах I Ь «Ы«0)1 = тах I ~ I»

здесь 3\[«(•)] - максимум модуля смещения объекта защиты, а [«(•)] -максимум модуля абсолютного ускорения (перегрузки) объекта защиты. Рассмотрим следующую задачу (именуемую в дальнейшем "задача 1"): из заданного класса функций и(-) (Е У найти такую, чтобы функционал -Л [«(•)] принимал наименьшее значение при условии, что другой функционал /2[и(')] ограничен заданной величиной щ. Задача в такой постановке была впервые сформулирована и исследована В.В.Гурецким в работе [73]. Было показано, что если оптимальная характеристика и{{) из класса кусочно-непрерывных функций существует, то среди множества возможных решений существует характеристика, принимающая значения ±гго и, может быть, тНа основании этого результата в работе [78] был предложен графоаналитический метод решения указанной задачи, а в работе [79] установлены оценки снизу для наибольшего числа переключений оптимальной характеристики в зависимости от вида внешнего воздействия.

В математическом плане задача выбора оптимальной характеристики виброизолятора представляет собой задачу оптимального управления с функционалом типа максимума функции фазовых координат на траектории движения системы. Для решения этой и других задач с функционалами указанного типа могут быть использованы методы численного поиска опти-

мальных управлений [63], [64], [83], [85], [117], [139], [143], [162], [163], [178], [180], [181], [186], [242].

Реальные характеристики виброизоляторов пассивного типа, как правило, имеют вид и(х,х) [60], [105], [183]. Поэтому целесообразно решать задачу 1 в классе кусочно-непрерывных функций фазовых координат. Задача в такой постановке часто называется задачей синтеза оптимального виброизолятора. Поскольку любому решению задачи синтеза соответствует характеристика виброизолятора, зависящая только от времени, то оптимальное значение критерия качества, полученное в классе управлений u(t), можно рассматривать как предельное для фиксированных начальных условий, которое нельзя уменьшить никакими техническими средствами. Для некоторых видов ударных воздействий решение задачи синтеза получено в работах [50], [81], [126], [160], [177]. В качестве оптимальных фигурируют изоляторы с демпфером типа сухого трения, релейной пружины и их комбинации.

Постановка задачи 1 не является единственно возможной при изучении вопроса об оптимальной виброударозащите. Так, в работе [129] рассмотрена задача о предельных возможностях противоударной изоляции в системе с одной степенью свободы, в которой минимизируется максимум модуля абсолютного ускорения при ограничении на максимум модуля смещения объекта защиты (в дальнейшем эту задачу будем именовать "задача 2"). Авторы работы [9], рассматривая систему с одной степенью свободы, подверженную ударному воздействию, принимали за критерий качества интеграл по времени от взвешенной суммы квадратов ускорения объекта защиты, управляющей функции u(t) и ее производной, который требовалось минимизировать и при этом вернуть виброизолируемый объект в исходное положение.

Много работ посвящено оптимизации систем с одной степенью свободы в случае внешнего детерминированного периодического воздействия [76], [126], [127], [156], [157], [159], [160], [178]. Следует отметить, что в отличие

от задач оптимальной противоударной защиты, где качество функционирования определяется механическими характеристиками свободных колебаний защищаемого тела, качество устройств, предназначенных для защиты от вибраций, определяется характеристиками установившихся колебаний. При этом оптимальная характеристика виброизолятора ищется в классе ограниченных по модулю периодических функций.

Задача синтеза оптимального виброизолятора, даже для систем с одной степенью свободы, может быть точно решена лишь для весьма узкого класса внешних воздействий. Поэтому представляется разумным построение приближенного решения этой задачи. Широко используемый в практике проектирования виброударозащитных систем подход состоит в том, чтобы искать оптимальную характеристику среди параметрического семейства функций и = ... ,ап) и свести исходную задачу к минимизации

функции многих переменных. Технически это означает, что структурная схема виброударозащитного устройства выбрана и требуется оптимальным образом подобрать конструктивные параметры. Этот подход широко использовался для решения конкретных задач проектирования и оптимизации виброударозащитных систем [5], [8], [43], [44], [47], [77], [86], [161], [179], [184], [185], [203], [205], [206], [209], [230], [223], [229], [242]. Методы решения подобных задач обычно сочетают в себе приемы аналитического [48]-[51], [77], [160] и численного [209], [228], [222], [244] исследования функции, определяющих показатели качества системы виброизоляции. Естественно, чем меньше известно о характере поведения этих функций, тем больше времени потребуется для получения численных результатов на ЭВМ. Таким образом, для возможно более широкого класса характеристик виброизоляторов, используемых в практике проектирования, хотелось бы иметь информацию о таких свойствах указанных функций, которые позволяли бы значительно сузить область поиска оптимума. Это, в свою очередь, дало бы возможность строить эффективные алгоритмы, ориентированные на использование ЭВМ. Следует отметить, что наиболее исследованными являются

виброизоляторы с демпферами сухого или вязкого (линейного и квадратичного) трения, релейной и линейной пружинами [48], [51], [52], [62], [75], [156], [206], [239]. Данное обстоятельство объясняется тем, что, во-первых, изоляторы указанных типов при некоторых видах ударных воздействий позволяют получить предельно возможное (либо очень близкое к нему) значение критерия качества, а, во-вторых, именно для таких характеристик удается построить решение дифференциального уравнения (0.1) и, следовательно, провести более детальный анализ. Однако, в современных средствах пассивной виброзащиты (например, в системах с квазинулевой жесткостью [61], в гидропневматических амортизаторах подвесок транспортных машин и шасси летательных аппаратов [84], в магнитожидкостных амортизаторах радиоэлектронной аппаратуры [140], [189], [191]) находят применение изоляторы с другими видами нелинейных характеристик. Для этих типов изоляторов также чрезвычайно важно иметь оценку возможностей по защите от ударных воздействий и вибрации.

В настоящей диссертации предлагается подход к исследованию и оптимизации противоударной защиты в системах с одной степенью свободы, базирующийся на методах качественного исследования динамических систем на плоскости [7], [30]. Этот подход позволяет для широкого класса изоляторов с нелинейными характеристиками установить некоторые свойства показателей качества системы и построить эффективные алгоритмы для численного решения задач параметрической оптимизации. При этом рассматривается как однокритериальная оптимизация, соответствующая задачам 1,2, так и двухкритериальная задача, в которой определяется оптимальное по Парето решение. Ранее задачи многокритериальной параметрической оптимизации амортизационных систем с линейными и некоторыми частными видами нелинейных характеристик рассматривались в работах [48], [53]. Метод исследования этих задач в случае, когда число параметров, подлежащих выбору, равно двум, обычно состоит в анализе линий уровней критериев качества и в последовательном "отсечении" на основе этого ана-

лиза неоптимальных частей множества допустимых значений параметров. Аналогичный метод решения двухкритериальной задачи применяется и в диссертации.

До сих пор были рассмотрены задачи оптимизации виброударозащит-ных систем, в которых предполагалось, что внешнее воздействие есть заданная функция времени. Однако, практически редко имеется полная информация о законе изменения ускорения корпуса или приложенной к нему силы. Во многих реальных задачах полагают известным лишь множество, содержащее внешние воздействия, при этом также могут быть известны и их вероятностные характеристики. Существует несколько подходов к постановке задачи оптимальной виброизоляции в условиях, когда закон изменения внешнего воздействия во времени заранее неизвестен. Первый из них состоит в том, что за показатели качества системы принимаются некоторые усредненные по ансамблю реализаций величины, характеризующие движение виброизолируемого тела. В частности, в случае, когда внешнее воздействие представляет собой стационарный эргодический случайный процесс с заданной спектральной плотностью корреляционной функции, таковыми величинами являются дисперсия относительного перемещения объекта защиты и дисперсия его абсолютного ускорения. Задачи состоят в таком выборе системы виброзащиты, которая либо минимизировала бы один из показателей качества при ограничении на другой, либо минимизировала бы их линейную комбинацию. Методы исследования этой задачи и конкретные примеры решения рассмотрены в работах [37], [80], [106], [166], [190]. Различные варианты постановок задач оптимизации виброзащитной систе-

_ с

мы и их исследование в случае, когда внешнее воздействие представляет собой совокупность стационарного случайного и детерминированного воздействий (такая ситуация характерна для систем амортизации приборов, помещенных на движущихся объектах во время их старта или торможения) содержатся в работах [119]-[122], [164], [167]. При этом наряду с указанными выше показателями, характеризующими качество защиты от случайной

вибрации, рассматриваются интегралы по времени от квадратов относительного смещения и ускорения защищаемого объекта, характеризующие качество воспроизведения объектом детерминированного движения корпуса.

Другой подход к постановке задачи оптимизации виброударозащитных систем в условиях неопределенности внешних воздействий изложен в работах [39]-[42], [65], [125]. Суть этого подхода состоит в следующем. Вместо рассмотренных ранее показателей качества системы виброударозащиты предлагается минимизировать вероятность того, что за время эксплуатации объекта его виброакустические характеристики (например, перегрузка и смещение объекта) хотя бы раз превысят допустимые нормы и вызовут отказ системы. Этот метод оптимизации применим как к линейным, так и нелинейным системам с произвольным числом степеней свободы, подверженных стационарным или нестационарным случайным воздействиям с известными вероятностными характеристиками.

Еще один возможный подход к постановке задачи оптимальной виброизоляции при неполной информации о внешнем воздействии - это, так называемый, "игровой" подход [1], [114], [187]. Предположим, что известно лишь множество, содержащее эти воздействия. Определим максимальное на множестве воздействий значение показателя качества системы. Очевидно, что при любой допустимой реализации внешнего воздействия величина показателя качества не превышает указанного значения. Можно сказать, что это гарантированное качество системы. Задача состоит в том, чтобы определить такую систему виброударозащиты, для которой гарантированное качество наилучшее. Рассмотрим некоторые аспекты такой постановки. Если информации о возможных внешних воздействиях мало, то задаваемое множество, их содержащее, может оказаться гораздо шире реализовавшегося в действительности. В этом случае виброзащитная система, спроектированная в расчете на наилучшее гарантированное качество для заданного широкого класса воздействий, может иметь довольно низкое качество

для реально действующих возмущений. В такой ситуации целесообразно, по крайней мере, при расчете линейных систем воспользоваться предложением автора работы [119]. Предлагается выбирать параметры так, чтобы система в возможно меньшей степени накапливала возмущения. Эта способность механической системы накапливать возмущения связана с ее степенью устойчивости. Иначе говоря, добиваясь максимальной степени устойчивости системы, тем самым можно уменьшить способность накапливать возмущения. Степень устойчивости - это величина, определенная только для устойчивых линейных систем, численно равная расстоянию от мнимой оси до ближайшего корня характеристического уравнения и характеризующая время затухания свободных колебаний. Задача о максимальной степени устойчивости линейных систем рассматривалась в работах [45], [87], [94], [134], [252].

Возможный вариант постановки задачи в случае, когда информации о внешнем воздействии мало, и "игровой" подход может привести к неудовлетворительным результатам, состоит в синтезе характеристик виброизоляторов, оптимальных на множестве внешних воздействий [151]. Основная идея состоит в построении такого множества воздействий, что для любой реализации из этого множества виброизолятор с данной характеристикой доставляет оптимальное (например, в смысле задачи 1) значение показателя качества системы. При этом, если полученное множество является не слишком "бедным", а реальные воздействия хотя бы частично входят в указанное множество, то система виброударозащиты может оказаться достаточно эффективной.

Несмотря на отмеченные выше обстоятельства задача оптимизации гарантированного качества виброударозащитных систем, рассчитанных на класс внешних воздействий, имеет важное значение для оптимального проектирования средств защиты от ударов и вибраций. Однако, указанная проблема, даже для систем с одной степенью свободы, в настоящее время разработана явно недостаточно. Среди работ, посвященных этой за-

даче, можно отметить [46], [48], [158], [211], [241], [242], [243]. Так, в работе [158] рассмотрена задача определения оптимальной характеристики виброизолятора, рассчитанного на класс периодических внешних воздействий, ограниченных по амплитуде. За критерий качества, который требуется минимизировать, принимается гарантированное значение максимума модуля смещения виброизолируемого объекта. Данная задача рассмотрена также для класса ударных воздействий, принадлежность к которому означает, что среднее значение воздействия во время удара равно нулю, а среднее значение его квадрата - некоторой заданной величине. В работе [48] рассмотрена та же задача в случае последовательности мгновенных ударов, относительно которых известно, что время между двумя последовательными ударами не меньше заданного, а интенсивность каждого удара не превышает некоторой фиксированной величины. В той же работе рассмотрены задачи оптимизации противоударных изоляторов, рассчитанных на класс ударных воздействий, интеграл модуля которых по времени ограничен. Подробно исследованы изоляторы с линейной упруго-демпфирующей характеристикой и характеристикой типа сухого трения. Показано, что наихудшим из допустимых является мгновенный удар в виде дельта-функции. Именно это воздействие и доставляет гарантированное значение максимуму модуля перегрузки и максимуму модуля смещения объекта защиты. Следовательно, в соответствии с результатами работы [177], изолятор с характеристикой типа сухого трения наилучшим образом защищает объект от внешних воздействий из указанного класса, обеспечивая минимально возможное гарантированное значение максимального смещения при заданном ограничении на максимум модуля перегрузки. Для изолятора с линейной упруго-демпфирующей характеристикой, согласно [48], минимальное гарантированное значение максимального смещения при заданном ограничении на максимум модуля перегрузки всего на 4% больше предельно возможного. Исходя из вышеизложенного, указанные типы изоляторов можно рекомендовать как эффективные средства защиты от удар-

ных воздействий. Однако, часто объект защиты помимо ударов подвергается также и вибрации, что весьма характерно, например, для приборов и аппаратуры, расположенных на транспортных средствах [93]. В этом случае необходимо осуществлять эффективную защиту от такого комбинированного воздействия. Очевидно, что изолятор с характеристикой типа сухого трения, рассчитанный на снижение ударных нагрузок, для этого не годится. В самом деле, если максимальная сила трения покоя в таком изоляторе больше внешней вибрационной силы, то он превращается в жесткую связь и снижения вибрационных перегрузок не происходит. Изолятор с линейной упруго-демпфирующей характеристикой, также рассчитанный на снижение ударных нагрузок, будет не эффективен, если квадрат собственной частоты системы превысит более чем в два раза квадрат частоты внешнего вибрационного воздействия [183]. Одним из способов решения проблемы защиты от комбинированного воздействия (вибрация и удары) является многокаскадная система виброзащиты. Так, в случае двухкаскадной системы одним из каскадов мог.1 бы быть изолятор с характеристикой сухого трения, работающий лишь при ударных воздействиях, а последовательно расположенный второй каскад снижал бы вибрационные перегрузки. В последнее время интенсивно разрабатывается также проблема создания многокаскадных виброзащитных систем, при этом один из каскадов предлагается организовать как активную виброзащитную систему [111], [112], [113]. Другим способом является выбор изолятора с такой характеристикой, которая позволяла бы, с одной стороны, снижать вибрационные перегрузки, а с другой, - эффективно действовала бы при ударах. Этот способ встречается, например, в системах амортизации транспортных машин [84], в системах виброзащиты с квазинулевой жесткостью [61]. При этом эффективность защиты от вибрации достигается выбором нелинейной статической характеристики амортизатора, имеющей малую крутизну в окрестности точки статического равновесия, что соответствует снижению собственной частоты системы. Таким образом, возникает задача оценки ударозагцитных свойств системы

с заданной упруго-демпфирующей характеристикой. Это приводит в свою очередь к задачам параметрической оптимизации, отмеченным выше.

В диссертации исследуются задачи параметрической оптимизации противоударных изоляторов для класса воздействий, интеграл модуля которых по времени ограничен. В отличие от работы [48] рассматривается более широкий класс характеристик изоляторов. Изложены новые обобщающие [48] результаты, касающиеся проблемы о наиболее опасном ударном возмущении.

Во многих реальных виброударозагцитных системах наряду с неопределенностью во внешнем воздействии не исключена также неопределенность в параметрах самого виброударозащитного устройства и защищаемого объекта. Эта неопределенность может вызываться различными факторами. Так, например, в виброизоляторе с демпфером типа сухого трения с течением времени вследствие приработки трущихся элементов изменяется коэффициент трения, а, следовательно, изменяется и сила трения скольжения. В виброизоляторах с гидравлическими элементами изменение температуры окружающей среды влечет за собой изменение силы гидравлического сопротивления. Кроме того, параметры виброударозащитного устройства, а также массо-инерционные характеристики виброизолируемого тела, как правило, задаются не точно, а лишь приближенно с некоторой погрешностью, что также следует учитывать при проектировании и расчете ви-броударозащитной системы. Следует отметить, что вопросы оптимального проектирования виброударозагцитных систем с учетом указанной выше неопределенности параметров пока не нашли достаточного освещения в отечественной и зарубежной научно-технической литературе. Среди работ, посвященных этим вопросам, можно отметить [35], [36], [123], [138], [202]. В работе [138] рассматриваются вопросы проектирования и оптимизации амортизаторов удара подвижного состава железнодорожного транспорта. При этом предполагается, что массы вагонов и скорости их соударения есть случайные величины с заданными плотностями вероятности. Исполь-

зование этой информации позволяет ввести показатели качества амортизаторов такие, как величину усталостных повреждений в конструкции вагона, величину повреждения от единичного удара, связанную со сдвигами различного рода грузов, величину, характеризующую повреждения самого груза, а также расходы на производство, эксплуатацию и ремонт амортизирующего устройства. Указанные показатели качества, просуммированные с различными весами, определяют обобщенный критерий качества, который требуется минимизировать, подобрав оптимальную характеристику амортизатора. В работе [35] рассмотрена задача проектирования посадочного устройства с учетом статистического характера условий посадки и параметров летательного аппарата. Определяется вероятность удачной посадки, т.е. посадки без опрокидывания летательного аппарата и без превышения допустимых перегрузок. Требуется определить параметры посадочного устройства из условия, что вероятность удачной посадки не меньше заданной.

Одним из возможных подходов к постановке задачи оптимизации ви-броударозащитных систем в условиях неопределенности параметров, также как и в условиях неопределенности внешнего воздействия, является "игровой" подход. Задача состоит в том, чтобы подобрать характеристику изолятора, доставляющую минимум гарантированному результату, который в свою очередь определяется как максимальное на множестве неопределенных параметров значение показателя качества системы. Некоторые подобные задачи оптимизации виброударозащитных систем в рамках "игрового" подхода рассмотрены в работах [123], [128], [202].

Наряду с детальным исследованием системы с одной степенью свободы две последние главы данной диссертационной работы посвящены проблемам оптимальной виброзащиты многомассовых и распределенных упругих систем. Задачи анализа, управления и оптимизации систем со многими степенями свободы гораздо сложнее задач, возникающих при рассмотрении системы с одной степенью свободы. Они до сих пор остаются в центре

внимания многих исследователей. Более того, интерес к этим задачам в последние годы существенно возрос, что диктуется необходимостью адекватного математического моделирования таких сложных процессов, как например, колебания многоэтажных зданий под действием сейсмической нагрузки [216], [233], [234], [246].

Значительная часть работ концентрируется вокруг проблем виброуда-розаидаты объектов, математической моделью которых является система многих тел, связанных упруго-диссипативными связями [69], [110], [124], [155], [170], [226], [231], [237], [238]. Среди постановок задач оптимальной виброударозащиты таких объектов можно выделить две основные группы: анализ предельных возможностей виброударозащиты [124], [226], [228], [238]; оптимальное гашение колебаний объекта с применением как динамических гасителей [108], [170], [171], так и различных систем автоматического управления [207], [212], [214], [216], [219], [234], [246], [245], [251]. Для поиска оптимальных характеристик виброизоляторов часто применяются либо численные методы линейного программирования [124], [226], либо методы теории автоматического регулирования [33], [106], [219], [246], [247], либо методы теории оптимального управления [2]- [4], [104], [107]. Поиск оптимальных параметров виброударозагцитных устройетв осуществляется с применением алгоритмов и соответствующего программного обеспечения решения задач нелинейного программирования [203], [209].

При исследовании задач оптимальной виброударозащиты объектов, моделируемых системами с многими степенями свободы, точно также, как и в случае системы с одной степенью свободы, актуальной является проблема расчета оптимальных характеристик виброизоляторов в условиях неполной информации о действующих возмущениях и параметрах самой системы. Одним из возможных подходов к постановке задачи оптимальной виброударозащиты является игровой подход, описанный выше. Критерии качества виброударозащиты в этом случае формируются в соответствии с принципом гарантированного результата. Среди публикаций на эту тему отметим

работы [33], [110], [192], [219], [224], [225], [247]. Конкретный вид критериев качества определяется классом возможных возмущений, действующих на систему. Так, в случае, когда класс возмущений есть множество ограниченных по модулю функций в задаче оптимизации гарантированного качества используются функционалы типа максимума по времени от функций фазовых переменных [110], [224], [225]. Если класс возмущений задается как множество квадратично интегрируемых функций, то используются интегрально-квадратичные функционалы [201], [219], [247], [251]. Следует также отметить, что в задачах оптимизации интегрально-квадратичных функционалов широко применяются новые идеи и методы одного из недавно возникших направлений в теории управления - Н°°—оптимизации [29], [146].

В данной диссертационной работе рассматривается ряд задач по оптимальной виброзащите многомассовых систем и систем с распределенными параметрами. Основное отличие излагаемых здесь результатов состоит в построении оценок предельных возможностей виброзащиты с учетом неполной информации о возмущениях. Приводятся примеры систем, для которых полученные оценки могут быть достигнуты.

Приведенный обзор литературы свидетельствует, что проблемы оптимальной виброударозащиты, особенно с учетом неполной информации о действующих возмущениях и параметрах виброударозагцитных систем, столь же сложны, сколь и актуальны. На сегодняшний день, даже сравнительно простые системы с одной степенью свободы исследованы пока явно недостаточно. Данная диссертация имеет своей целью в какой-то мере восполнить указанный пробел.

Цель диссертационной работы состоит

в развитии теории оптимальной виброударозащиты объектов, функционирующих в условиях отсутствия полной информации о действующих возмущениях и параметрах виброзащитной системы;

в разработке методик и алгоритмов расчета оптимальных характери-

стик и параметров виброизоляторов;

в применении теории к решению прикладных задач оптимальной защиты объектов от ударов и вибраций.

Методы исследования. В диссертации используются методы аналитической механики, математической физики, качественной теории динамических систем на плоскости, теории оптимального управления, нелинейного программирования, а также компьютерное моделирование.

Достоверность полученных результатов основана на строгом и обоснованном применении математических методов, на сравнении результатов компьтерного моделирования с теоретическими выводами.

Научная новизна. На основе принципа гарантированного результата построена теория оптимальной противоударной защиты объектов, моделируемых механической системой с одной степенью свободы, с учетом неполной информации о действующих ударных возмущениях и параметрах самой системы. Разработаны методики и алгоритмы расчета оптимальных параметров противоударных нелинейных изоляторов по критериям минимума гарантированного результата.

Теоретически решен ряд новых задач оптимальной виброзащиты многомассовых систем и систем с распределенными параметрами, подверженных действию неконтролируемых возмущений. Проанализированы предельные возможности защиты таких объектов. Даны примеры виброизоляторов, позволяющих достигнуть предельно возможное качество защиты.

Практическая ценность работы. Теоретические результаты диссертации, а также содержащиеся в ней методики и алгоритмы расчета оптимальных характеристик виброизоляторов могут быть использованы как элементы систем автоматизированного проектирования средств виброзащиты.

Результаты диссертации нашли применение при расчете систем противоударной защиты оборонного назначения, а также при проектировании амортизаторов шасси летательных аппаратов. Одно из предложенных тех-

нических решений защищено патентом Российской Федерации (патент N 1380134).

Ряд результатов работы, касающийся методики исследования оптимизационных задач, использован при разработке спецкурсов, прочитанных автором диссертации в 1986-1997 гг. студентам Нижегородского государственного университета.

Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертационной работы.

В первой главе описаны математические модели виброизолированных механических систем с одной степенью свободы, а также критерии Качества виброизоляции, фигурирующие в дальнейшем в постановках задач. Таковыми критериями являются максимум модуля смещения (отклонения) объекта защиты и максимум модуля его абсолютного ускорения. Формулировки многих задач, рассматриваемых в диссертации, состоят в минимизации одного из критериев при заданном ограничении на другой. В этой же главе изложены необходимые сведения о типах воздействий (возмущений, действующих на систему) и способах их математического моделирования. Отмечается, что задача расчета и оптимизации виброизолированных систем представляет собой задачу управления.

Во второй главе излагаются проблемы оптимальной противоударной защиты от одиночного мгновенного удара в системах с одной степенью свободы, сформулированы две задачи оптимизации параметров изолятора: задача минимизации максимума модуля смещения объекта защиты при заданном ограничении на максимум модуля его абсолютного ускорения; задача минимизации максимума модуля абсолютного ускорения объекта защиты при заданном органичении максимум модуля его смещения. Сформулирован ряд утверждений, в которых устанавливаются свойства монотонности критериев качества. В частности, показано, что критерии качества как функции параметров демпфирующего и упругого элементов нелинейного противоударного изолятора не достигают экстремальных значений

во внутренних точках областей своего определения. Для широкого класса характеристик противоударного нелинейного изолятора на базе установленных свойств критериев качества приводится общая методика решения задач параметрической оптимизации. Подробно исследованы задачи параметрической оптимизации противоударных изоляторов со степенными характеристиками. Приводится алгоритм решения задач, а также результаты численной его реализации. В последнем разделе второй главы рассмотрена задача двухкритериальной оптимизации, состоящая в определении эффективных по Парето решений, минимизирующих векторный критерий, компонентами которого являются максимум модуля смещения защищаемого тела и максимум модуля его абсолютного ускорения. Предложен способ построения множества Парето, основанный на использовании свойств монотонности критериев качества.

В третьей главе в соответствии с принципом гарантированного результата рассматриваются задачи оптимизации нелинейных противоударных изоляторов в случае неполной информации о действующем ударном возмущении. В класс допустимых включаются возмущения, интеграл от модуля которых по времени ограничен заданной величиной. Исследован вопрос о наиболее опасном для системы с одной степенью свободы возмущении из указанного класса. Установлено, что в случае, когда противоударный изолятор состоит из демпферов сухого и вязкого линейного трения и нелинейного упругого элемента, то наиболее опасным ударным возмущением, доставляющим максимальные (на классе ударных возмущений) значения максимуму (по времени) модуля смещения объекта защиты и максимуму (по времени) модуля его абсолютного ускорения, является мгновенный удар максимально допустимой интенсивности. В обоснование того, что этот факт отнюдь не тривиален, приведен пример системы с изолятором, включающим квадратичный демпфер, для которой мгновенный удар не является самым опасным. Исследованы предельные возможности противоударной защиты объектов от воздействий из указанного класса. Показа-

но, что изоляторы, включающие демпфер сухого трения и релейный упругий элемент, обеспечивают предельные возможности противоударной изоляции. Исследованы задачи параметрической оптимизации противоударных изоляторов по критериям гарантированного качества. Указан класс характеристик изоляторов, для которых эти задачи сводятся к изученным во второй главе задачам оптимальной противоударной защиты от одиночного мгновенного удара.

В четвертой главе изучаются задачи оптимизации параметров противоударного изолятора, осуществляющего защиту от мгновенного удара в случае, когда масса защищаемого объекта не известна точно, но задан интервал возможных ее значений. Задачи оптимизации поставлены в соответствии с принципом гарантированного результата. Устанавливается, что решение задач находится на границе области параметров изолятора, допустимой ограничениями. На основе этого факта построен алгоритм решения задач для нелинейных изоляторов со степенными характеристиками. В качестве примера подробно исследована задача оптимизации параметров противоударного изолятора с квадратичным демпфированием и линейным упругим элементом. Приводится численное решение задачи, а также анализ ассимптотического поведения оптимальных решений. •

В пятой главе исследованы задачи оптимального управления демпфированием в противоударном изоляторе с учетом неполной информации об одном из параметров изолятора. Также, как и в предыдущих главах, задачи поставлены в соответствии с принципом гарантированного результата. Подробный анализ позволяет выявить структуру оптимального управления и дать алгоритм его построения. В качестве примера рассмотрена задача выбора переменного по ходу изолятора коэффициента демпфирования гидропневматического изолятора. Приводятся результаты численного решения задачи путем компьютерного моделирования.

В шестой главе обсуждаются задачи об оценивании максимального смещения одного из тел в механических системах с сухим трением, под-

верженныж ударным возмущениям, интеграл от абсолютной величины которых ограничен. В качестве основного объекта исследования рассмотрена нелинейная механическая система, связанная посредством нелинейных упруго-диссипативных элементов с некоторым твердым телом, называемым контейнером. Оно находится в фрикционном контакте с другим твердым телом (основанием), совершающим заданное движение относительно инерциальной системы отсчета. В этом случае возмущение, действующее на систему, есть ускорение основания, представленное функцией времени. Задача состоит в нахождении оценок на максимальное смещение контейнера относительно основания с учетом влияния на его движение механической системы. Предложен способ построения такого рода оценок и даны аналитические выражения для них. Проанализированы различные предельные случаи, в которых величина оценки совпадает с максимально возможным смещение контейнера. Обсуждаются основанные на полученных оценках задачи оптимальной гарантированной защиты упругих тел от ударных воздействий.

В седьмой главе рассмотрен ряд задач виброзащиты механических систем, представляющих собой упругое тело или совокупность твердых тел, связанных между собой упруго-диссипативными связями. Предполагается, что система подвержена внешним возмущениям кинематического типа, причем возмущения заранее не известны, а заданы лишь множества, заведомо их содержащие. Задачи поставлены в соответствии с принципом гарантированного результата и состоят в минимизации максимума по всем допустимым возмущениям интегрального квадратичного функционала путем выбора соответствующего управления. Изучены задачи о предельных возможностях управления. Смысл этих задач состоит в определении минимально возможного значения функционала качества, которое не может быть улучшено при любом реальном управлении (характеристике виброизолятора). Предложена общая схема решения задач о предельных возможностях управления для систем с сосредоточенными и распределенными па-

раметрами. На основе построенных оценок функционала указаны некоторые параметрические классы управления, в которых возможно обеспечить оптимальное значение критерия гарантированного качества, равное или достаточно близкое к предельному значению. Путем численного моделирования установлено, что управление, реализующее обратную связь по возмущению, позволяет получить оптимальное значение критерия качества, равное предельно возможному, с высокой степенью точности. Приведены соответствующие примеры численного решения задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на IV, VI и VII Всесоюзных конференциях по управлению в механических системах (Москва, 1982; Львов, 1988; Свердловск, 1990), на VII и VIII Всесоюзных конференциях "Проблемы теоретической кибернетики" (Иркутск, 1985; Горький, 1988), на VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986), на I и II Всесоюзных конференциях "Проблемы виброизоляции машин и приборов" (Москва, 1986; Иркутск, 1990), на I, II, III и IV научных конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Горький, 1987, 1990, 1993, 1996), на Всесоюзной конференции по вибрационной технике (Кобулети, 1987), на XVIII Гагаринских научных чтениях (Москва, 1988), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы механики и технологии машиностроения" (Москва, 1989), на Международной конференции "Экстремальные задачи и их приложения" (Нижний Новгород, 1992), на IV Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1996), а также на Итоговых научных конференциях Горьковского госуниверситета (1981-1989) и на семинарах по теории управления и оптимизации (Институт проблем механики РАН, 1984, 1988, 1990, 1992; руководитель семинара - академик РАН Ф.Л.Черноусько).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах, среди которых 13 ([11]-[17], [19], [21], [23]-[25], [27]) статей в центральных научных журналах РАН, 3 ([18], [20], [22]) статьи в межвузовском

научном сборнике Нижегородского госуниверситета, 2 ([196], [197]) статьи в Международном журнале "Shock and Vibration", 4 ([26], [198]-[200]) статьи в трудах международных конференций.

Излагаемые в диссертации результаты получены в период с 1979 г. по 1997 г. при выполнении в НИИ прикладной математики и кибернетики при ННГУ ряда хоздоговорных и госбютжетных тем, а также трех инициативных научных проектов (руководителем которых являлся автор диссертации), поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований (коды проектов 93-01-16282, 95-01-00138) и Международным научным фондом (код проекта J27100).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Баландин, Дмитрий Владимирович

7.3. Выводы и возможные обобщения

В настоящей главе рассмотрены задачи оптимальной виброзащиты упругих объектов, описываемых как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями в частных производных. Исследованы две группы задач: о предельных возможностях виброзащиты и задачи оптимизации гарантированного качества. Предложены алгоритмы для решения задачи о предельных возможностях виброзащиты. Приведены примеры решения задач синтеза оптимальных характеристик виброизоляторов, обеспечивающих гарантированное качество защиты, равное предельно возможному значению. Вместе с тем остался открытым вопрос о решении задачи синтеза оптимальных характеристик изоляторов в общем виде. По мнению автора изложенный в главе подход к исследованию предельных возможностей виброизащиты может представлять интерес для проектировщиков виброзащитных систем сложных многомассовых упругих конструкций, поскольку он дает возможность сравнительно простыми средствами оценить тот предел возможностей любой сколь угодно сложной системы, который невозможно превзойти. Тем самым уже на начальном этапе проектирования создаются предпосылки для оценки технической и экономической целесообразности проекта.

Следует отметить, что рассмотренные в главе задачи допускают обоб щения. Действительно, в исследованных выше задачах предполагалось, что система имеет всего один изолятор. Однако, предполагаемый подход позволяет исследовать задачи в случае, когда изолятор не один, а их несколько. Точно также можно полагать, что внешнее воздействие представлено не одной скалярной функцией, а вектор-функцией, как, например, в случае, когда требуется организовать защиту сооружения и от сейсмических и от ветровых перегрузок.

Наконец, предложенный подход позволяет не только определить предельные возможности виброзащиты при заданном расположении виброизоляторов, но и, варьируя точки приложения управляющих сил со стороны виброизоляторов, решить вопрос об их оптимальном расположении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные в диссертационной работе научные результаты, выносимые на защиту, могут быть сформулированы в следующем виде.

1. Разработана общая методика решения задач оптимальной противоударной защиты объектов, моделируемых системой с одной степенью свободы. Построены алгоритмы поиска оптимальных параметров противоударных изоляторов, осуществляющих защиту от мгновенного одиночного удара. Предложен способ построения парето-оптимального множества решений в двухкритериальной задаче.

2. Для нелинейной системы с одной степенью свободы решена задача о наиболее опасном ударном возмущении из заданного класса. Установлено, что в случае, когда противоударный изолятор состоит из демпферов сухого и вязкого линейного трения и нелинейного упругого элемента, наиболее опасным возмущением из класса возмущений, интеграл от модуля которых ограничен, является мгновенный удар максимально допустимой интенсивности. »

3. Изучены предельные возможности противоударной защиты объектов, подверженных действию возмущений, интеграл от модуля которых ограничен заданной величиной. Показано, что изоляторы, включающие демпфер сухого трения и релейный упругий элемент, обеспечивают предельно возможное гарантированное качество защиты.

4. Разработаны методика и алгоритм расчета оптимальных параметров противоударных нелинейных изоляторов в случае, когда масса объекта защиты не известна точно, а задан интервал возможных ее значений. Найдена зависимость оптимальных значений параметров противоударного изолятора с квадратичным демпфированием и линейным упругим элементом от величины, характеризующей неточность в задании массы объекта защиты.

5. Предложен способ построения оптимального управления демпфированием в противоударной системе с учетом неопределенности одного из параметров изолятора. Разработан алгоритм численного решения задачи оптимального управления и дан пример расчета противоударного гидропневматического изолятора.

6. Решен ряд задач об оценивании максимального смещения одного из тел в многомассовых механических системах с сухим трением, подверженных ударным возмущениям, интеграл от модуля которых ограничен. Предложен способ построения оценок максимального смещения и даны аналитические выражения для них.

7. Изучены предельные возможности виброзащиты многомассовых и упругих систем с распределенными параметрами при действии неконтролируемых возмущений, интеграл от квадрата которых ограничен. На основе построенных предельных оценок указана параметрические классы виброизоляторов, в которых возможно обеспечить оптимальное значение критерия гарантированного качества, равное или достаточно близкое предельно возможному. г

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Баландин, Дмитрий Владимирович, 1997 год

Список литературы

[1] Айзеке Р. Дифференциальные игры: Пер. с англ. - М.: Мир, 1967, -479 с.

[2] Акуленко Л.Д. Асимптотические методы оптимального управления. -М.: Наука, 1987. - 368с.

[3] Акуленко Л.Д. Квазистационарное финитное управление движением гибридных колебательных систем// Прикладная математика и механика. - 1991. - Т.55. Вып.2. - С.183-192.

[4] Акуленко Л.Д. Колебания твердого тела, содержащего упругий элемент с распределенными параметрами// Прикладная математика и механика. - 1992. - Т.56. Вып.6. - С.1006-1015.

[5] Акуленко Л.Д., Болотник H.H., Каплунов A.A. Исследование и оптимизация систем амортизации вращающихся частей механизмов с сухим трением // Изв. АН СССР. МТТ. - 1982. - N 1. - С.56-65.

[6] Алабужев П.М., Мищенко В.Я., Яцун С.Ф. Оценка управляемых возможностей противоударной амортизации / / Динамика управляемых механических систем: Межвуз.сб. / Под ред. С.В.Елисеева. - Иркутск: Изд-во Иркутск, политехи, ин-та. 1982. - С.82-91.

[7] Андронов А.А.,Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Физматгиз, 1959. - 915 с.

[8] Афимивала К.А., Мэйн Р.В. Оптимальное проектирование ударного амортизатора // Контруирование и технология машиностроения: Пер. с англ. - 1974. - N 1. - С.24-30.

[9] Бабицкий В.И., Израилович М.Я. Об одной задаче оптимальной амортизации // Изв. АН СССР. Инж.журн. - 1968. - N 5. - С.44-46.

[10] Базара Н., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1982. - 583 с.

[11] Баландин Д.В. Параметрическая оптимизация нелинейных амортизаторов // Изв. АН СССР. МТТ. - 1985. - N 3. - С.72-74.

[12] Баландин Д.В. Оптимизация противоударных амортизаторов при неточно известной массе защищаемого объекта // Изв. АН СССР. МТТ.- 1988.- N 3. - С.27-31.

[13] Баландин Д.В. Оптимизация противоударных амортизаторов для класса внешних воздействий // Изв. АН СССР. МТТ. - 1989. N 1. - С.53-60.

[14] Баландин Д.В. Оптимальное управление демпфированием в противоударных амортизаторах // Изв. АН СССР. МТТ. - 1989.- N 6. -С.66-73.

[15] Баландин Д.В. О накоплении возмущений в линейных и нелинейных системах при ударных воздействиях //Прикладная математика и механика. - 1993. - Т.57. Вып. 1.- С.20-25.

[16] Баландин Д.В. Предельные возможности управления линейной системой// Доклады РАН. - 1994. - Т.334. N 5. - С.571-573.

[17] Баландин Д.В. Предельные возможности виброизоляции многомассовой упругой конструкции// Изв. РАН. МТТ.- 1994. - N 6. - С.10-17.

[18] Баландин Д.В. Предельные возможности управления колебаниями стержня, находящегося на подвижном основании// Математическое моделирование и оптимальное управление. Межвуз. сб. научн. трудов/ Под. ред. Р.Г.Стронгина.- Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1994. - С.35-47.

[19] Баландин Д.В. Об оптимальном гашении колебаний упругих объектов/ / Прикладная математика и механика. - 1995. - Т.59. Вып.З. -С.464-474.

[20] Баландин Д.В. Оценки максимального отклонения в двухмассовой системе с сухим трением// Математическое моделирование и оптимальное управление. Межвуз. сб. научн. трудов/ Под. ред. Р.Г.Стронгина.-Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1996. - С.65-73.

[21] Баландин Д.В. Максимальное смещение материальной точки в системе с сухим трением// Изв. РАН. МТТ. - 1996. - N 6. - С.23-26.

[22] Баландин Д.В. Математические задачи оптимальной виброизоляции// Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. - Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1997. -С.174-183.

[23] Баландин Д.В. Оценки максимального смещения твердого тела в гибридной системе с сухим трением// Прикладная математика и механика. - 1997. - Т.61. - Вып.З. - С.529-534.

*

[24] Баландин Д.В. Максимальное смещение контейнера в системе с сухим трением// Изв. РАН. МТТ. - 1997. - N 6.

[25] Баландин Д.В., Малов Ю.Я. Оптимизация параметров амортизаторов при случайных ударных воздействиях // Изв. АН СССР. МТТ. - 1987. - N 3. - С.27-33.

[26] Баландин Д.В., Малов Ю.Я. Оптимизация противоударных систем по критериям гарантрованного качества//В сб. докладов международной научно-техн. конф. "Актуальные проблемы фундаментальных наук". - Москва: Изд-во МВТУ им. Н.Э.Баумана, 1991. - Т.8. - С.11-14.

[27] Баландин Д.В., Марков A.A. Оптимизация параметров нелинейных противоударных амортизаторов // Изв. АН СССР. МТТ. - 1986. N 2. - С.61-66.

[28] Баничук Н.В., Братусь A.C. Об оптимальном проектировании конструкций, оснащенных актюаторами// Изв. РАН. Техническая кибернетика. - 1993. - N 1. - С.24-31.

[29] Барабанов А.Е., Первозванский A.A. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теория) // Автоматика и телемеханика. -1992. -N 9. -С.3-32.

[30] Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1976. -496с.

[31] Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973. - 632 с.

[32] Белых В.Н. Качественные методы теории нелинейных колебаний сосредоточенных систем: Учебное пособие. - Горький: Изд-во Горьковск. ун-та, 1980. - 98 с.

[33] Беннет В.Г., Кватни Г.Г. Континуальное моделирование гибких конструкций применительно к управлению колебаниями// Аэрокосмическая техника: Пер. с англ. - 1990. -N 7. - С.21-32.

[34] Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. - М.: Физмат-гиз, 1959. - 620с.

[35] Богомолов А.И., Горшенин Ю.П., Круглов Г.Е., Свилин A.B., Си-разетдинов Т.К. Об аналитическом проектировании посадочного устройства летательного аппарата // Изв. Вузов. Авиационная техника. - 1975. - N 4. - С.31-38.

[36] Богомолов А.И., Горшенин Ю.П., Свилин A.B., Сиразетдинов Т.К. Аналитическое проектирование посадочного устройства летательного аппарата при случайном разбросе начальных условий и конструктивных параметров // Изв. Вузов. Авиационная техника. - 1976. - N 4. - С.23-26.

[37] Богомолов А.И., Степанов П.П. Определение оптимальных передаточных функций систем амортизации // Изв.вузов. Машиностроение. -1970. - N 7. - С.55-59.

[38] Божко А.Е., Пермяков В.И., Соколов А.Ю. Задачи оптимального перемещения колебательных систем при действии внешних возмущений// Проблемы машиностроения. - Киев: Наукова думка, 1991. - Вып. 35. - С.1-6.

[39] Болотин В.В. Теория надежности механических систем с конечным числом степеней свободы //Изв. АН СССР. МТТ. - 1969. - N 5. - С.73-81.

[40] Болотин В.В. Теория оптимальной виброзащиты при случайных воздействиях // Тр. ин-та / МЭИ. - 1970. - Вып.74. - С.5-15.

[41] Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Стройиздат, 1982. - 351 с.

[42] Болотин В.В., Захаров A.A. Оптимизация сейсмозащиты атомных электростанций по критерию сейсмического риска// Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1990. - N 2. - С.14-22.

[43] Болотник H.H. Оптимизация параметров некоторых механических колебательных систем // Изв. АН СССР. МТТ. - 1974. - N 5. - С.27-33.

[44] Болотник H.H. Оптимизация параметров механической колебательной системы с сухим трением // Изв. АН СССР. МТТ. - 1975. - N 5.

- С.56-58.

[45] Болотник H.H. О максимизации степени устойчивости линейной колебательной системы // Прикладная математика и механика. - 1975.

- Т.39, вып.4. - С.730-734.

[46] Болотник H.H. Задачи оптимальной амортизации для классов внешних воздействий // Изв. АН СССР. МТТ. - 1976. - N 4. - С.34-41.

[47] Болотник H.H. Оптимальная амортизация крутильных колебаний // Изв. АН СССР. МТТ. - 1977. - N 2. - С.51-55.

[48] Болотник H.H. Оптимизация амортизационных систем. - М.: Наука, 1983. - 256 с.

[49] Болотник H.H. Оптимизация характеристик и параметров противоударных изоляторов и вибротехнологических машин// Изв. РАН. Техническая кибернетика. - 1993. - N 1. - С.62-67.

[50] Болычевцев Э.М. Выбор оптимального закона амортизации при ударных воздействиях // Изв. АН СССР. МТТ. - 1971. - N 5. - С.51-54.

[51] Болычевцев Э.М., Борисов А.П. Защита от ударов в линейной системе // Изв. АН СССР. МТТ. - 1976. - N 2. - С.55-57.

[52] Болычевцев Э.М., Жиянов Н.И., Лавровский Э.К. Оптимизация параметров колебательной системы при импульсных возмущениях // Вестник МГУ, сер.1. матем., мех. - 1975. - N 6. - С.103-106.

[53] Болычевцев Э.М., Лавровский Э.К. О построении множества Парето в некоторых задачах оптимизации // Изв. АН СССР. МТТ. - 1977. -N 6. - С.44-53.

[54] Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах с постоянными параметрами// ДАН СССР. - 1946. Т.51. -N 5. - С.339-342.

[55] Булгаков Б.В. Колебания. - М.: ГИТТЛ, 1949. - 464 с.

[56] Бэрдесс, Меткалф. Активное подавление вынужденных колебаний, вызванных произвольным возмущением// Труды американского общества инженеров- механиков. Конструирование и технология машиностроения: Пер. с англ. - 1985. - Т.105. - N 1. - С.28-33.

[57] Ваганов В.И. Оценка системы амортизации для защиты от удара// В сб. "Вопросы динамики и прочности механических систем". - Челябинск, 1984. - С. 74-78.

[58] Варава В.И. Прикладная теория амортизации транспортных машин.

- Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. - 188с.

[59] Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1988. - 552 с.

[60] Вибрации в технике: Справочник: в 6 т. Под ред.'К.В.Фролова. - М.: Машиностроение, 1995. - Т.6. - 456 с.

[61] Виброзащитные системы с квазинулевой жесткостью / П.М.Ала-бужев, А.А.Гритчин, Л.И.Ким и др.; Под ред. К.М.Рагульскиса. - Л.: Машиностроение, 1986. - 96 с.

[62] Викторов Е.Д., Ларин P.M. Некоторые особенности задачи о минимуме максимального отклонения управления // Инж.журн. МТТ. - 1967.

- N 4. - С.68-71.

[63] Викторов Е.Д., Ларин P.M. Метод постепенного улучшения управляющих функций в задаче оптимальной амортизации // Тр. ин-та / ЛПИ им. М.И.Калинина. - 1969. - Вып. 307. - С.136-143.

[64] Виноградова Т.К., Демьянов В.Ф. О принципе минимакса в задачах оптимального управления // ДАН СССР. - 1973. - Т.213, N 3. - С.512-514.

[65] Волоховский В.Ю., Радин В.П. О выборе оптимальных параметров нелинейных виброзащитных систем при случайных воздействиях // Изв. АН СССР. МТТ. - 1972. - N 2. - С.50-53.

[66] Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. - 2-е изд., испр. - М.: Наука, 1960. - 296 с.

[67] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - 4-е изд. - М.: Наука, 1988. - 552с.

[68] Генкин М.Д., Елезов В.Г., Яблонский В.В. Методы управляемой виброзащиты машин. - М.: Наука, 1985. - 240 с.

[69] Генкин М.Д., Рябой В.М. Упругоинерционные виброизолирующие системы. Предельные возможности, оптимальные структуры. - М.: Наука, 1988. - 191с.

[70] Герасимов Н.В. О задаче посадки летательного аппарата с управляемой амортизацией // Изв. АН СССР. МТТ. - 19^5. - N 5. - С.58-62.

[71] Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: Пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 509 с.

[72] Градецкий A.B., Рыбак Л.А., Синев A.B., Пашков А.И. Построение управляющих регуляторов активной системы виброизоляции кинематического принципа действия// Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1996. N 3. - С.88-93.

[73] Турецкий В.В. Об одной задаче оптимального управления // Изв. АН СССР. Механика. - 1965. - N 1. - С.159-162.

[74] Турецкий В.В. Предельные возможности защиты оборудования от воздействия ударов // Изв. АН СССР. Механика. - 1965. - N 2. - С.76-81.

[75] Турецкий В.В. О выборе оптимальных параметров характеристик противоударных амортизаторов // Инж. журн. МТТ. - 1966. - N 1.

- С.167-170.

[76] Турецкий В.В. О предельных возможностях амортизации при вибрационных нагрузках // Изв. АН СССР. МТТ. - 1969. - N 1. - С.51-54.

[77] Турецкий В.В. К определению оптимальных параметров противоударных амортизаторов // Тр. ин-та / ЛПИ им. М.И.Калинина. -1966. - Вып. 266. - С.17-23.

[78] Турецкий В.В. К задаче о максимизации наибольшего отклонения // Тр. ин-та / ЛПИ им. М.И.Калинина. - 1969. - Вып. 307. - С.11-21.

[79] Турецкий В.В. О числе переключений оптимального управления в задаче минимизации наибольшего отклонения // Инж.журн. МТТ.

- 1968. - N 1. - С.26-30.

[80] Турецкий В.В. Об оптимизации параметров системы амортизации при стационарных случайных воздействиях // Машиноведение. -

1971. - N 5. - С.23-28.

[81] Турецкий В.В., Коловский М.З., Мазин Л.С. О предельных возможностях противоударной амортизации // Изв. АН СССР. МТТ. - 1970.

- N 6. - С.17-22.

[82] Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. -М.: Наука, 1981. - 384 с.

[83] Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. - М.: Наука,

1972. - 368 с.

[84] Дербаремдикер А.Д. Амортизаторы транспортных машин. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1985. - 200 с.

[85] Джонсон. Оптимальное управление с показателем качества типа ми-нимакса Чебышева // Теоретические основы инженерных расчетов: Пер. с англ. - 1967. - N 2. - С.12-25.

[86] Диджгальвис Р., Жилинскас А., Рагульскис К., Тешис В. Оптимальный синтез линейного амортизирующего устройства / / Теория оптимальных решений / Под ред. А.Жилинскаса. - Вильнюс: Изд-во ин-та матем. и киберн. АН Лит.ССР, 1972. - Вып. 4. - С.13-26.

[87] Дроговоз A.M., Лиховид П.И. О подборе параметров линейной динамической системы, обеспечивающей заданную степень устойчивости // Машиноведение. - 1971. - N 6. - С.3-5.

[88] Едемский В.А., Сергиевский A.B., Слугин С.Н., Чубаров М.А., Шаш-ков В.М. Оптимизация характеристики амортизатора на прямом ходу в режиме сброса // Математическое обеспечение САПР: Межвуз. сб. / Под ред. А.В.Сергиевского. - Горький: Изд-во Горьк. гос. ун-та, 1978.

- С.89-97.

[89] Елисеев В.В., Малинин Л.М. О противоударной амортизации опоры валопровода// Проблемы машиностроения и надежности машин.

- 1990. - N 2. - С.29-35.

[90] Елисеев C.B. Структурная теория виброзащитных систем. - Новосибирск: Наука, 1978. - 224 с.

[91] Елисеев C.B., Засядко A.A. Методы виброзащиты технических объектов // Управляемые механические системы: Межвуз. сб. / Под ред. С.В.Елисеева. - Иркутск: Изд-во Иркутск, политехи, ин-та, 1986. -С.3-32.

[92] Ивович В.А., Оншценко В.Я. Защита от вибрации в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1990. - 272с.

[93] Ильинский B.C. Защита аппаратов от динамических воздействий. -М.: Энергия, 1970. - 320 с.

[94] Исполов Ю.Г., Троицкая З.В. Асимптотические оценки характеристик переходного процесса в двухкаскадной системе амортизации при ударном воздействии // Машиностроение. - 1986. - N 4. - с.7-10.

[95] Ишлинский А.Ю. Классическая механика и силы инерции. - М.: Наука, 1987. - 320 с.

[96] Кабаков A.M., Пабат А.И. Управляемые магнитореологические амортизаторы/ / Магнитная гидродинамика. - 1990. - N 2. - С.99-104.

[97] Карманов В.Г. Математическое программирование. - 2-е изд., пере-раб. и доп. - М.: Наука, 1980. - 256 с.

[98] Карнопп Д. Принципы проектирования систем управления колебаниями с применением полуактивных демпферов// Современное машиностроение. Сер.Б.: Пер. с англ. - 1991. - N 2. - С .«32-39.

[99] Кащеев В.М. О спектральных характеристиках ударного воздействия // Управляемые механические системы: Межвуз. сб. / Под ред. С.В.Елисеева. - Иркутск: Изд-во Иркутск, политехи, ин-та, 1984. -С.28-34.

[100] Кельзон A.C., Малинин JI.M. Управление колебаниями роторов/ Под ред. К.М.Рагульскиса. - СПб.: Политехника, 1992. - 120с.

[101] Кейн В.М. Оптимизация систем управления по минимаксному критерию. - М.: Наука, 1985. - 248 с.

[102] Киселев Л.И., Павлов H.A. О выборе характеристик посадочных устройств// Ученые записки ЦАГИ. - 1986. - Т.17. N4. - С.109-114.

[103] Климов И.В., Кошелев В.П., Носов B.C. Виброизоляция штамповочных молотов. - М.: Машиностроение, 1979. - 134с.

[104] Ковалева A.C. Управление колебательными и виброударными системами. - М.: Наука, 1990. - 256с.

[105] Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. - М.: Наука, 1966. - 317 с.

[106] Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами. - М.: Наука, 1976. - 320 с.

[107] Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем: Пер. с англ. - М.: Мир, 1975. - 160с.

[108] Коренев Б.Г., Резников JI.M. Динамические системы колебаний. Теория и технические приложения. - М.: Наука, 1988. - 304 с.

[109] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике: Пер. с англ. - М.: Наука, 1974. - 832с.

[110] Корнеев А.Б. Определение оптимальных параметров системы вибро-

»

изоляции при нестационарных колебаниях// Изв. Вузов. Машиностроение. - 1989. N 4. - С.30-34.

[111] Красовский A.A. Ярусные структуры и системы активной амортизации предельной чувствительности// Автоматика и телемеханика. -1994. - N 2. - С.38-51.

[112] Красовский A.A. Активные системы амортизации высокой чувствительности и микрогравитация // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1995. - N 2. - С.135-144.

[113] Красовский A.A. Прецизионные исполнительные органы с инерциаль-ным контролем движения и активной виброзащитой// Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1995. - N 3. - С.109-115.

[114] Красовский H.H. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. - М.: Наука, 1985. - 520 с.

[115] Круглов Ю.А., Осипов С.Н. Оптимальное управление в активной системе амортизации// В сб. Механика машин. - Вып.62. - М:: Наука, 1989. - С.70-76.

[116] Круглов Ю.А., Туманов Ю.А. Ударовиброзащита машин, оборудования и аппаратуры. - JL: Машиностроение, 1986. - 222 с.

[117] Кузнецов А.Г., Черноусько Ф.Л. Об оптимальном управлении, минимизирующем экстремум функции фазовых координат // Кибернетика. - 1968. - N 2. - С.50-55.

[118] Ларин P.M. Градиентный метод решения приближенной задачи синтеза оптимальных амортизаторов // Тр. ин-та / ЛПИ им. М.И.Калинина. - 1969. - Вып. 307. - С.155-162.

[119] Ларин В.Б. Выбор параметров системы виброизоляции приборов //

Прикладная механика. - 1966. - Т.2, N 6. - С.99-104.

»

[120] Ларин В.Б. Об амортизации приборов на движущихся объектах // Инж. журн. МТТ. - 1966. - N 2. - С.186-189.

[121] Ларин В.Б. Синтез систем амортизации при "медленно меняющихся" нестационарных воздействиях // Инж. журн. МТТ. - 1968. - N 6. -С.14-21.

[122] Ларин В.Б. Статистические задачи виброзащиты. - Киев: Наук, думка, 1974. - 127 с.

[123] Мазин Л.С. Влияние ошибок в определении инерционных характеристик твердого тела на систему его амортизации // Изв. АН СССР. МТТ. - 1969. - N 1. - С.44-51.

[124] Мазин JI.С. Об оптимальной амортизации упругих тел// Тр. ин-та/ ЛПИ им. М.И. Калинина. - 1969. - Вып.307. - С.21-31.

[125] Макаров Б.П. Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов. - М.: Машиностроение, 1983. - 262 с.

[126] Максимович Ю.П. Об оптимальной виброзащите // Изв. АН СССР. МТТ. - 1970. - N 5. - С.23-27.

[127] Максимович Ю.П. О достижимом качестве виброзащиты от периодического воздействия // Машиноведение. - 1970. - N 4. - С.13-20.

[128] Маланин В.В., Набоков Ф.В. Оптимальное проектирование управляющих устройств гидравлических амортизаторов для диапазона условий функционирования// Проблемы механики управляемого движения. Межвуз. сб. научн. трудов. - Пермь: Изд-во Пермского гос. ун-та, 1993. - С.79-87.

[129] Манойленко В.Д., Рутман Ю.Л. Упругая аналогия оптимального управления амортизируемым объектом при минимизации наибольших перегрузок // Изв. АН СССР. МТТ. - 1974. -,N 6. - С.3-11.

[130] Математическая теория оптимальных процессов / Л.С.Понтря-гин, В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мшценко; Под ред. Л.С.Понтрягина. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1969. - 384с.

[131] Михалевич B.C., Гупал A.M., Норкин В.И. Методы невыпуклой оптимизации. М.: Наука, 1987. - 280 с.

[132] Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Наука, 1970. - 512с.

[133] Мог А. Оптимизация конструкции зашиты космического аппарата// Аэрокосмическая техника: Пер. с англ. - 1991. - N 12. С.39-48.

[134] Нагаев Р.Ф., Степанов A.B. Об оптимизации коэффициента затухания свободных колебаний двухмассовой системы // Изв. АН СССР. МТТ. - 1979. - N 4. - С.24-28.

[135] Нагурка, Янь. Оптимальное управление нелинейными динамическими системами на основе рядов Фурье// Современное машиностроение. Сер.Б.: Пер. с англ. - 1990. - N 10. С.47-58.

[136] Наумавичюс Р.Г., Рагульскис K.M. Построение алгоритмов управления перемещениями нелинейных систем// Вибротехника. - 1988. -Т.61. N 4. - С.79-84.

[137] Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфирование колебаний: Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 448с.

[138] Никольский Л.Н., Кеглин Б.Г. Амортизаторы удара подвижного состава. - М.: Машиностроение, 1986. - 144 с.

[139] Никулина В.Н. Численный синтез демпферов при заданном внешнем воздействии // Вопросы механики и процессов управления / Под ред. Р.А.Нелепина и В.С.Новоселова. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - Вып. 10. -С.115-118.

[140] Орлов Д.В., Савостьянов A.M., Самсонов В.И., Драгун Д.К. Экспериментальные исследования демпфирующих устройств на магнитных жидкостях// Магнитная гидродинамика. - 1984. - N 2. - С.133-135.

[141] Пассивная и активная виброзащита судовых механизмов / А.Е.Божко, А.Ф.Галь, А.П.Гуров и др. - Л.: Судостроение, 1987. - 176 с.

[142] Парс Л. Аналитическая динамика: Пер. с англ. - М.: Наука, 1971. -636 с.

[143] Первозванский A.A. О минимуме максимального отклонения управляемой линейной системы // Изв. АН СССР. Механика. - 1965. - N 2. -С.51-57.

[144

[145

[146

[147

[148 [149

[150

[151

[152

Победря Б.Е. Одномерные модели механики деформируемого тела// Вестник МГУ. Сер.1. - 1991. - N 5. - С.43-55.

Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982. - 256 с.

Позняк A.C., Семенов A.B., Себряков Г.Г., Федосов Е.А. Новые результаты в Н°°— теории управления// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1991. N 6. - С.10-39.

По лак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход: Пер. с англ. - М.: Мир, 1974. - 376 с.

Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. - М.: Наука, 1983. - 384 с.

Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - 4-е изд. - М.: Наука, 1974. - 332 с.

»

Проектирование ракетных и ствольных систем / Б.В.Орлов, Ю.И.Топчеев, В.Ф.Устинов и др.; Под ред. Б.В.Орлова. - М.: Машиностроение, 1974. - 828 с.

Проурзин В.А. Оптимальная амортизация круглого прибора // Изв. АН СССР. МТТ. - 1988. - N 2. - С.32-37.

Радина О.В., Яблонский В.В. Активная виброзащитная система с управляемым демпфированием и модулируемой обратной связью// Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1993. - N 2. -С.100-105.

[153] Разработка методики, алгоритма и программы поиска демпфирующих параметров амортизатора// Отчет по НИР/ НИИ ПМК при ГГУ; Рук. А.В.Сергиевский. Инв. N Г12963. - Горький, 1989. - 89с.

[154] Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С.Понтрягина в теории оптимальных систем // Автоматика и телемеханика. - 1959. - Т.20. - N 12.

- С.1561-1578.

[155] Рябой В.М. О предельной эффективности упругоинерционных виброизолирующих систем в дорезонансной и зарезонансной областях// Изв. РАН. МТТ. - 1993. - N 1. - С.45-53.

[156] Самсонов Б.П. К расчету комбинированной защиты от вибрационных воздействий // Тр. ин-та / МЭИ. - 1974. - Вып. 184. - С.119-125.

[157] Саранчук В.Г. О минимуме отклонения колебательной системы с одной степенью свободы // Тр. ин-та / ЛПИ им. М.И.Калинина. - 1971.

- Вып. 318. - С.35-43.

[158] Саранчук В.Г. Одна вибрационная задача в игровой постановке // Изв, АН СССР. МТТ. - 1974. - N 1. - С.176-183. ,

[159] Саранчук В.Г., Троицкий В.А. Вибрационные устройства с минимальным свободным ходом // Тр. ин-та / ЛПИ им. М.И.Калинина. -1969. - Вып. 307. - С.31-39.

[160] Саранчук В.Г., Троицкий В.А. К синтезу оптимальных амортизаторов // Тр. ин-та / ЛПИ им. М.И.Калинина. -1971. - Вып. 318. - С.43-49.

[161] Севин Е. Автоматизированная идентификация конструктивных параметров. Новый подход // Динамические системы и управление: Пер. с англ. - 1972. - N 2. - С.123-130.

[162] Сивцова B.K. О применении метода последовательных приближений для решения негладких задач оптимального управления // Вестн. ЛГУ. Математика, механика и астрономия. - 1986. - Вып.4. - С.87-

92.

[163] Силина И.Р. Численный метод решения минимаксной задачи теории управления // Вестн. ЛГУ. Математика, механика и астрономия. -1976. - Вып.2. - С.76-81.

[164] Синев A.B. Оптимальные спектральные плотности входных случайных воздействий для пассивных и активных виброзащитных систем // Машиноведение. - N 1. - С.14-20.

[165] Синев A.B., Степанов Ю.В. К определению оптимальных параметров виброизолятора при комбинированном воздействии гармонической и постоянной нагрузок // Управляемые механические системы: Меж-вуз. сб. / Под ред. С.В.Елисеева. - Иркутск: Изд-во Иркутск, политехи. ин-та, 1985. - С.18-23.

[166] Синев A.B., Степанов Ю.В. К расчету нелинейной виброзащитной системы методом построения функциональных рядов и многомерного преобразования Лапласа // Изв. АН СССР. МТТ. - 1988. - N 5. - С.24-28.

[167] Синев A.B., Фурунжиев Р.И. Оптимизация активных виброзащитных систем // Вопросы надежности и вибрационной защиты приборов: Межвуз. сб. / Под ред. С.В.Елисеева. - Иркутск: Изд-во Иркутск, политехи. ин-та, 1972. - С.8-24.

[168] Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.5. - М.: Физматгиз, 1959. - 656с.

[169] Солдатова JI.JL Работа зданий с сейсмоизолирующим скользящим поясом в фундаменте при нагрузках типа сейсмических// Изв. Вузов. Строительство и архитектура. - 1991. - N 2. - С.14-18.

[170] Степанов A.B. Гашение свободных колебаний в подвижных упругих системах// Прикладная математика и механика. - 1995. - Т.59. Вып.5. - С.799-802.

[171] Степанов A.B. Оптимальное гашение вынужденных колебаний в упругих системах с несколькими степенями свободы. 4.1. Гашение в окрестности наименьшей собственной частоты// Изв. РАН. МТТ. -1997. - N 1. - С.29-33.

[172] Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. -М.: Наука, 1978. - 240 с.

[173] Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. - М.: Наука, 1986. - 328 с.

[174] Танака Н., Кикусима Ю. Активная виброзащита при ударном воздействии с использованием метода управления по возмущению// Современное машиностроение. Сер.Б.: Пер. с англ. - 1989. - N 8. - С.122-130.

[175] Танака Н., Кикусима Ю. О комбинированном методе виброизоляции// Современное машиностроение. Сер.Б.: Пер. с англ. - 1989. -N 8. - С.131-140.

[176] Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. - 512с.

[177] Троицкий В.А. О синтезе оптимальных амортизаторов // Прикладная математика и механика. - 1967. - Т.31. Вып.4. - С.624-630.

[178] Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. - JI.: Машиностроение, 1976. - 248 с.

[179] Уилмерт К.Д., Фокс P.JL Оптимальное проектирование ударного амортизатора как линейной системы со многими степенями свободы // Динамические системы и управления: Пер. с англ. - 1972. - N 2. -С.203-210.

[180] Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. - М.: Наука, 1978. - 488 с.

181] Федоров В.В. Численные методы максимина. - М.: Наука, 1979. - 280с.

Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. - М.: Наука, 1974. - 368 с.

Фролов К.В., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем. - М.: Машиностроение, 1980. - 276 с.

Хог Э., Apopa Я. Прикладное оптимальное проектирование: Пер. с англ. - М.: Мир, 1983. - 478 с.

Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. - М.: Наука, 1980. - 384 с.

Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. - М.: Наука, 1973. - 238 с.

Черноусько Ф.Л., Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска. - М.: Наука, 1978. - 271 с.

Чернышев В.И. Проявление локального эффекта в методе динамического программирования и оптимальное управление виброзащитных систем// Изв. Вузов. Приборостроение. - 1993. - N 5. - С.55-59.

Шаповалов A.B., Шатохин В.М. Об алгоритме расчета оптимальной вязкости силиконового масла в демпфере крутильных колебаний// В сб. Динамика и прочность машин. - Харьков, 1987.- N 46. - С.72-77.

[190] Шульженко А.В., Павловский М.А. К вопросу защиты конических тел от вибрации и ударов// Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1991. - N 6. - С.23-29.

[191] Шульман З.П., Хусид Б.М., Коробко Е.В. Системы виброзащиты на основе демпферов вязкого трения с электрореологической суспензией// Доклады АН БССР. - 1987. - Т.31. - N 8. - С.717.

[192] Якубович В.А. Линейно-квадратичная задача оптимального гашения вынужденных колебаний при неизвестном гармоническом внешнем воздействии// Доклады РАН. - 1993. - Т.ЗЗЗ. - N 2.

[193] Alanoly J., Sankar S. A new concept in semi-active vibration isolation// Trans. ASME. Journ. Mech. Transmiss., and Autom. Des. - 1987. - V.109. No.2. - P.242-247.

[194] Alanoly J., Sankar S. Semi-active force generators for shock isolation// J. Sound and Vibration. - 1988. - V.126. No.l. - P.145-156.

[195] Anderson J.R., Ferri A.A. Behavior of a sigle-degree-of-freedom system with generalized friction law// J. Sound and Vibration. - 1990. - V.140. No.2. - P.287-304.

[196] Balandin D.V. On maximum energy of mechanical systems under shock disturbances// Shock and Vibration.- 1993. - V.l. No.2. - P.135-144.

[197] Balandin D.V. Limiting vibroisolation control of an oscillating string on a moving base// Shock and Vibration. - 1995. - V.2. No.2. - P.163-172.

[198] Balandin D.V. Optimal vibration isolation under incomplete information about external disturbances// The 3-d Intern. Conference on Motion and Vibration Control (MOVIC). - Chiba, Japan, 1996. - V.2. - P.13-17.

[199] Balandin D.V. The limiting control possibilities for linear systems with uncertainty// Proceedings of the 13-th IFAC World Congress. Elsevier Science, 1996. - Vol.C. - P.391-395.

[200] Balandin D.V. Optimal control of oscillations in distributed systems//Proceedings of 1-st Intern. Conf. "Control of Oscillations and Chaos". - St. Petersburg, 1997. - V.l. - P.29-32.

[201] Bennighof J.K., Meirovitch L. Active vibration control a distributed system with moving support// Trans. ASME. J. Vibr. Acoust., Stress, and Rel. Des. - 1988. - V.110. No.2. - P.246-253.

[202] Bond R.A.B. Landing gear performance and glide path angles // South African Mech. Eng. - 1969. - V.19. No.2. - P.25-32.

[203] Choi D.-H., Kim M.-S. A new approach to the min-max dynamic response optimization// IUTAM Symp. on Optimization of Mechanical Systems. -Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. - 1996. - P.65-72.

[204] Gilbert C., Lekuch H. Isolating shock and vibration// Mech. Eng. - 1982.

- V.104. No.10. - P.58-63.

[205] Hrovat D., Hubbard H. A comparison between jerk optimal and acceleration optimal vibration // J. of Sound and Vibration. - 1987. -V.112. No.2. - P.201-208.

[206] Hundal M.S. Impact absorbers with linear spring and quadratic low damper // J. of Sound and Vibration. - 1976. - V.48. No.2. - P.189-193.

[207] Iwanami K., Suzuki K., Seto K. Vibration control method for parallel structure connected by damper and spring// JSME Intern. Journ. Dynamics, Control, Robotics, Design and Manufacturing. Ser.C. - 1996.

- V.39. No.4. - P.714-720.

[208] Joshi S.P., Vincent T.L., Lin Y.C. Control for energy dissipation in structures//J. Guid. Contr. and Dyn. - 1990. - V.13. No.4. - P.751-753.

[209] Kim M.-S., Choi D.-H. Multibody dynamic response optimization with ALM and approximate line search// Multibody System Dynamics. - 1997.

- V.l. No.l. - P.47-64.

[210] Klotter K., Stanford C. Free oscillations of systems having quadratic damping and arbitrary restoring forces // Journal of Applied Mechanics.

- 1955. - V.22. No.4. - P.493-499.

[211] Kwak B.M., Arora J.S., Haug E.J. Optimum desigh of damped vibration absorbers over a finite frequency range // AIAA Journal. - 1975. - V.13. No.4. - P.540-542.

[212] Lai J.S., Wang K.W. Parametric control of structural vibrations via adaptive stiffness dynamic absorbers// Trans, of the ASME. Journ. of Vibration and Acoustics. -1996. - V.118. No.l. - P.41-47.

[213] Lin S., Goodarz A. Comparative study of base isolation systems// J. Eng. Mech. - 1989. - V.115. No.9. - P.1976-1992.

»

[214] Nishida E., Suzuki K., Yasuda T., Onwa Y. Aseismic optimization of nonlinear joint element in boiler plant structures based on substructure synthesis method// JSME Intern. Journ. Dynamics, Control, Robotics, Design and Manufacturing. Ser.C. - 1996. - V.39. No.l. - P.130-136.

[215] Meiler T., Fruhaut F. Variable damping - philosophy and experiences of a preferred system// Proc. Inst. Mech. Eng. Int. Conf. "Adv. Suspensions".

- 1988. - P.113-118.

[216] Mizutani K., Yatoni C., Inoue K. Active vibration control for flexible structures using wave-absorbing control method// JSME Intern. Journ. Dynamics, Control, Robotics, Design and Manufacturing. Ser.C. - 1996.

- V.39. No.2. - P.188-194.

[217] Markus N., Constantinou M.C. Spring-viscous damper system for combined seismic and vibration isolation// Earthquake Eng. and Struct. Dynamics. - 1992. - V.21. No.8. -P.649-664.

[218] Mottershead J.E., Stanway R. Identification of n-th power velocity damping // J. of Sound and Vibration. - 1986. - V.105. No.2. - P.309-319.

[219] Nonami K. Control performance based on control system design strategies for active structural control// JSME Intern. Journ. Dynamics, Control, Robotics, Design and Manufacturing. Ser.C. - 1995. - V.38. No.3. - P.367-378.

[220] Ohmata K., Kondo N., Yasui K. A seismic isolator using the ball screw-type damper with magnetic damping// Trans. JSME. Ser.C. - 1991. -V.57. No.535. - P.734-739.

[221] Pilkey W.D. Optimization of shock isolation systems// Trans. Society of Automotive Eng. - 1968. - P.2900-2909.

[222] Pilkey W.D. Interactive optimal design of isolation systems// Shock and Vibration Bulletin. - 1970. - V.41.

[223] Pilkey W.D. Optimal shock absorbers in freigh car// ASME Rail Transportation Transactions. - ASME, 73-RT-3. - 1973.

[224] Pilkey W.D., Kalinovskii A.J. Design for incompletely prescribed loading// ASCE Engineering Mech. Journ. - 1975. - V.101. No.EM4. -P.505-510.

[225] Pilkey W.D., Kang W., Kitis L. Best and worst disturbance analysis of structures under crash pulse loadings// The 1993 ASME Winter Annual Meeting. - New Orleans, 1993.

[226] Pilkey W.D., Kitis L. Limiting performance of shock isolation systems by a modal approach// Earthquake Eng. anf Struct. Dynamics. - 1986. -V.14. - P.75-81.

[227] Pilkey W.D., Lim T.W. Optimum shock isolation with minimum setting time// Shock and Vibration Bulletin. - 1987. - V.57. - P.379-388.

[228] Pilkey W.D., Sevin E., Kalinovskii A.J. Computer aided design of optimum shock isolation systems// Shock and Vibration Bulletin. - 1968. - V.39. - P.185-198.

[229] Pilkey W.D., Strenkovskii J. Optimal performance of crashing automobiles// Vehicle System Dynamics. - Swets and Zeitinger, 1974.

[230] Pilkey W.D., Wang B.P. Limiting performance of ground transportation vehicles// Proc. 19-th AIAA/ASME, SAE Structural Dynamic Conf. -1972.

[231] Politansky H., Pilkey W.D. Suboptimal feedback vibration control of a beam with a proof-mass actuator// J. Guid. Control and Dyn. - 1989. -V.12. No.5. - P.691-697.

[232] Rao S.S., Hati S.K. Optimum design of shock and Vibration isolation using game theory // Eng. Optimizat. - 1980. - V.4. No.4. - P.215-221.

[233] Reinhorn A.M., Manolis G.D., Soong T.T. Restructuring of numerical algorithms for active control of dynamic systems// Proceed. 4-th Int. Symp. "Innovative Numerical Methods in Engineering". - 1986. - P.541-546.

[234] Reinhorn A.M., Soong T.T., Chung L.L. Active control of buildings structures during earthquake// Proceed. 3-rd US Nat. Conf. Earthquake Eng. - 1986. - V.3. - P.1971-1980.

[235] Ruzicka J.E. Passive shock isolation. Pt I // Sound and Vibration. - 1970.

- V.4. No.8. - P. 14-24.

[236] Ruzicka J.E. Passive shock isolation. Pt I // Sound and Vibration. - 1970.

- V.4. No.9. - P.10-22.

[237] Ryaboy V.M. Limiting performance estimates for the active vibration isolation in multi-degree-of-freedom mechanical systems// J. of Sound and Vibration. - 1995. -V.186. No.l. - P.l-21.

[238] Ryaboy V.M. Shock isolation by a low-damped multi-degree-of-freedom mechanical system//J. of Sound and Vibration. - 1996. - V.197. No.3. -P.381-385.

[239] Schlesinger A. Vibration isolation in the presence of Coulomb friction // J. of Sound and Vibration. - 1979. - V.63, N 2. - P.213-224.

[240] Sekiguchi H., Asami T. Theory of Vibration isolation of system with two degrees of freedom // Bull of JSME. - 1984. - V.27, N 234. - P.2839-2846.

[241] Sevin E. Min-max solutions for the linear mass-spring system// Journ. of Appl. Mech. V.24. Trans. ASME. - 1957. - V.79. - P.131-136.

[242] Sevin E., Pilkey W. Optimum shock and vibration isolation. - Wash.: Gov. print, off., 1971. - 162 p.

[243] Sevin E., Pilkey W.D. Computational approaches to the min-max response of dynamical systems with incompletely prescribed input functions// J. of Applied Mechanics. - 1967. - V.34. - P.87-90.

[244] Sevin E., Pilkey W.D. Min-max response of dynamic systems and computational solution technics// Shock and Vibration Bulletin. - 1967.

- V.36. - P.69-76.

[245] Shing P.B., Dixon M.E., Kermiche N., Su R., Frangopol D.M. Control of building vibrations with active/passive devices// Earthquake Eng. and Structural Dynamics. - 1996. - V.25. No.10. - P.1019-1039.

[246] Singh M.P., Matheu E.E., Suarez L.E. Active and semi-active control of structures under seismic excitation// Earthquake Eng. and Structural Dynamics. - 1997. - V.26. No.2. - P.193-213.

[247] Tsuji H., Itoh H., Ogasawara Y., Mitsuta S. Vibration control by optimal trajectory with feedback systems// JSME Intern. Journ. Dynamics, Control, Robotics, Design and Manufacturing. Ser.C. - 1995. - V.38; No.4.

- P.663-669.

[248] Vucobratovich D. Principles of vibration isolation// Proc. Soc. Photo-opt. Instrum. Eng. - 1987. - No.732. - P.27-46.

[249] Wang B., Pilkey W.D. Limiting performance characteristics of steady-state systems// J. Appl. Mech. - 1975. - V.42. No.3. - P.721-726.

[250] White K.P., Pilkey W.D., Gabier H.C., Hollowell T. Optimizing design parameters for highway vehicle safety// Int. J. of Vehicle Design. - 1983.

- V.4. No.6. - P.618-632.

[251] Ying S., Tan C.A. Active vibration control of axially moving string using space feedforward and feedback controllers// Trans, of the ASME. Journ. of Vibration and Acoustics. -1996. - V.118. No.2. - P.306-312.

[252] Zajac E. Bounds of the decay rate of damped linear systems // Quart. Appl. Math. - 1963. - V.20. No.4. - P.383-390.