Оптические свойства слабопоглощающих наночастиц с высоким показателем преломления, обусловленные тороидальными мультипольными моментами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат наук Гурвиц Егор Андреевич

• Гурвиц Егор Андреевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Гурвиц Егор Андреевич

Реферат

Synopsis

Глава 1. Неприводимая декартовая мультипольная декомпозиция 5-го порядка с учетом тороидальных моментов до магнитного квадруполя и электрического октуполя

1.1 Введение

1.2 Неприводимые мультипольные моменты. Примитивные мультипольные моменты. Мультипольная декомпозиция электрического поля

1.3 Неприводимые базовые мультиполи и тороидальные мультипольные моменты

1.3.1 Неприводимые мультиполи

1.3.2 Тороидальные моменты

1.5 Численная проверка и визуализация тороидальных токов

1.6 Выводы

Глава 2. Тороидальные моменты и анапольные состояния высокого порядка в диэлектрической нанофотонике

2.1 Введение

2.2 Анапольные моменты высших порядков

2.3 Анализ вклада базовых и тороидальных моментов в анапольные состояния

2.4 Выводы

Глава 3. Исследование гибридных анапольных состояний в видимой области спектра при рассеянии света на диэлектрическом наноцилиндре

3.1 Введение

3.2 Рассеяние света на диэлектрическом цилиндре с высоким показателем

преломления

3.3 Гибридное анапольное состояние

3.3.1 Численное моделирование гибридного анапольного состояния

3.3.2 Экспериментальное обнаружение гибридного анапольного состояния в кремниевых наночастицах на подложке

3.4 Вывод

Глава 4. Исследование оптических свойств рассеяния света на ватеритовых сферолитах

4.1 Введение

4.2 Постановка задачи исследования рассеяния света на ватеритовых сферолитах

4.2.1 Постановка эксперимента

4.2.2 Модель сферолита ватерита и постановка численной задачи

4.3 Измерение спектров рассеяния света на сферолитах ватерита в темном поле

4.4 Численный анализ рассеяния света на ватеритовых сферолитах

4.5 Выводы

Заключение

Благодарности

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А (обязательное) Дополнительные материалы

Л.1 Базовые и тороидальные распределения полей

А.2 Фаза базовых и тороидальных моментов

Приложение Б (обязательное) Тексты публикаций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптические свойства слабопоглощающих наночастиц с высоким показателем преломления, обусловленные тороидальными мультипольными моментами»

Реферат Общая характеристика работы

Актуальность. Последние несколько десятилетий большое количество исследований было сфокусировано на изучении оптических устройств, в составе которых присутствовали металлические наночастицы или наноструктуры, поддерживающие плазмонные колебания, т.е. колебания электронов проводимости относительно кристаллической решетки. К достоинствам таких систем можно отнести: высокую локализацию и усиление полей, широкий выбор материалов, поддерживающих плазмонные колебания от ультрафиолетового до инфракрасного диапазона. Использование плазмонных структур в качестве резонирующих элементов позволяет достигать в оптическом диапазоне высоких добротностей Q~103-105, но стоп-фактором для внедрения плазмонных систем являются высокие потери в металлах и, как следствие, паразитный нагрев, особенно в видимой области спектра.

В свою очередь, традиционные диэлектрические материалы, применяемые в оптике, такие как стекла, кристаллы, некоторые полимеры имеют низкий показатель преломления, значение которого обычно не превышает 2-х [1]. Однако недавние работы показали, что для полупроводниковых частиц с размером меньше длины волны потери не являются существенной проблемой из-за небольшого размера частиц. Более того, относительно высокие показатели преломления полупроводников позволяют возбудить в субволновых частицах магнитные резонансные отклики, так как в объёме этих частиц образуются замкнутые конфигурации поляризационных токов. Таким образом, диэлектрические наноструктуры могут одновременно поддерживать и электрические, и магнитные резонансы, что открывает новые перспективы для контроля электромагнитных характеристик света в наномасштабах [3].

Открытие магнитных резонансов в оптическом диапазоне вызвало ажиотаж среди исследователей, занимающихся нанофотонными устройствами. Помимо магнитных резонансов, в диэлектрических субволновых резонаторах был обнаружен вклад в рассеяние от полоидальной конфигурации поляризационных

токов, которая соответствует возбуждению в резонаторе электрического дипольного тороидального момента [5, 6]. Было показано, что тороидальный электрический дипольный момент имеет диаграмму направленности идентичную электрическому дипольному моменту, что, например, может приводить к подавлению излучения в дальней зоне [2], в то время как в ближней зоне и внутри частицы подавления электромагнитных полей не происходит. Такие неизлучающие состояния названы анапольными.

Данный эффект был использован с целью создания диэлектрических устройств для усиления генерации второй и третьей гармоники [7, 8]; усиление неупругого рассеяния света было показано в кремниевых нанодисках за счет подавления отклика электрического дипольного момента тороидальным [9]; частицы с анапольными состояниями были использованы для разработки нанолазеров [10], создания маскирующих устройств и частиц, в спектре рассеяния которых присутствует только магнитный дипольный отклик [11]. Стоит отметить, что на момент начала написания диссертации исследовались системы, в которых возбуждался только тороидальный электрический дипольный момент без явного учета тороидальных моментов старших порядков.

Исследование старших мультипольных моментов - это важный этап развития диэлектрической нанофотоники. Сейчас диэлектрическая нанофотоника находит применение в различных устройствах, таких как волноводы (дискретные, однонаправленные, без потерь) [12, 13], модуляторы [14], направленные источники света (источники Гюйгенса) и наноантенны [15], детекторы [16], устройства для маскировки [17], фазовые метаповерхности [18] и многое другое. Разработки в области диэлектрической нанофотоники уже в ближайшем будущем позволят получать различные искусственные композитные материалы и устройства для обработки оптических сигналов любой сложности практически без потерь.

Таким образом, целью работы является изучение оптических свойств слабопоглощающих наночастиц с высоким показателем преломления, обусловленных тороидальными мультипольными моментами старших порядков.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Получить аналитические выражения для рассеянного электрического поля рассеянной мощности с помощью декартовой мультипольной декомпозиции в неприводимом представлении с явным вкладом тороидальных моментов высших порядков.

2. Апробировать полученные аналитические выражения мультипольного разложения рассеянной мощности и сравнить их с известным решением задачи Ми для рассеяния плоской волны на сфере.

3. Исследовать вклад тороидальных моментов высших порядков в эффективность рассеяния. Обнаружить и исследовать анапольные состояния высших порядков.

4. Исследовать рассеяние света на цилиндрических наночастицах кремния. Обнаружить спектрально перекрывающиеся анапольные состояния.

5. Исследовать рассеяние света на сферических частицах ватерита (полиморфная модификации CaCOз) со сложной анизотропией показателя преломления, описание которой невозможно с помощью теории Ми.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Симметризация и обесслеживание тензоров примитивных декартовых мультиполей в разложении рассеянного электрического поля до электрического 32-поля и магнитного 16-поля, начиная с третьего порядка (электрический октуполь и магнитный квадруполь), позволяет явно выделить вклад неприводимых тороидальных мультипольных моментов до электрического тороидального октуполя, магнитного тороидального квадруполя и тороидального электрического диполя 2-го порядка.

2. Тороидальному моменту произвольного порядка явно соответствует присущая ему тороидальная конфигурация поляризационных токов, возникающая при рассеянии электромагнитного излучения на

слабопоглощающей диэлектрической частице, меньшей или сравнимой с длиной волны. Появление характерных конфигураций поляризационных токов в таких частицах косвенным образом свидетельствует о наличии тороидальных мультиполей, порядка не менее, чем орбитальный порядок данной тороидальной конфигурации.

3. Интерференция тороидального момента произвольного порядка с соответствующим базовым мультипольным моментом может приводить к возникновению анапольного состояния того же порядка, что впервые продемонстрировано для анапольных состояний 2-го и 3-го порядков.

4. В субволновых цилиндрических частицах с высоким показателем преломления может быть получено гибридное анапольное состояние, образованное за счёт спектрального перекрытия нескольких анапольных состоянии разного типа и порядка, являющееся минимумом полного сечения рассеяния электромагнитной волны на частице.

5. Эффект подавления рассеяния света в обратном направлении по отношению к волновому вектору падающей волны для низкопоглощающих частиц ватерита объясняется широкополосным эффектом Керкера в длинноволновой области видимого спектра и обобщенным эффектом Керкера в коротковолновой области видимого спектра ввиду деструктивной интерференции в дальней зоне нерезонансных базовых мультипольных моментов электрического и магнитного типа и соответствующих им тороидальных моментов.

Научная новизна:

1. Впервые была получена декартовая мультипольная декомпозиция рассеянного электрического поля 5-го порядка с точностью до магнитного 16-поля и электрического 32-поля. В соответствии с требованием тензоров группы SO3 быть инвариантными по отношению к преобразованию вращения и отражения, декартовы тензоры примитивных мультипольных моментов с рангом более 2-х были приведены к симметричному и обесслеженному виду, что позволило явно выделить вклад тороидальных моментов высокого

порядка в рассеянное электрическое поле с точностью до тороидального магнитного квадруполя и тороидального электрического октуполя.

2. Для диэлектрических частиц с высоким показателем преломления впервые показано, что тороидальные члены имеют первостепенное значение для правильной интерпретации спектров эффективности рассеяния. Было продемонстрировано, что тороидальному моменту произвольного порядка явно соответствует присущая ему тороидальная конфигурация поляризационных токов, возникающая при рассеянии электромагнитного излучения на слабопоглощающей диэлектрической частице, меньшей или сравнимой с длиной волны.

3. В работе было показано, что появление характерных конфигураций поляризационных токов в таких частицах косвенным образом свидетельствует о наличии тороидальных мультиполей, порядка не менее, чем орбитальный порядок данной тороидальной конфигурации.

4. Впервые было продемонстрировано формирование 5-ти анапольных состояний, соответствующих деструктивной интерференции базовых и тороидальных моментов в дальней зоне, от электрического дипольного до электрического октупольного анапольного состояния.

5. В первые показано, что в субволновых слабопоглощающих диэлектрических цилиндрических частицах с высоким показателем преломления может быть получено гибридное анапольное состояние, образованное за счёт спектрального перекрытия нескольких анапольных состояний разного типа и порядка, суперпозиция которых определяет минимум полного сечения рассеяния электромагнитной волны на частице.

6. Впервые рассеяние света на субволновых частицах ватерита было проанализировано с помощью неприводимой декартовой мультипольной декомпозиции, которая выявила значительный вклад тороидальных мультиполей высокого порядка. В частности, была обнаружена сильная интерференция мультиполей в дальней зоне связанная с широкополосным эффектом Керкера и обобщенным эффектом Керкера, что определяет преимущественное рассеяние света на ватеритовых сферолитах в

направлении вперед. Данный тип эффекта был впервые показан для биогенной системы листа высокогорных растений Saxífraga "Southside Seedling" и Saxífraga "Paniculata Ría", в которых частицы ватерита выступают в роли специфичных концентраторов света для увеличения эффективности фотосинтеза.

Практическая значимость обусловлена универсальностью полученных аналитических выражений для описания рассеяния на субволновых частицах любой геометрической формы, для произвольной конфигурации электромагнитной волны в пределах полученного приближения. Исследование в рамках диссертационной работы проводилось методами неприводимой декартовой мультипольной декомпозиции с разложением электрического поля до 5-го порядка, теории Ми, численного моделирования методом конечных элементов в прикладном пакете COMSOL Multiphysics.

Достоверность полученных результатов обеспечивается тщательным подбором методов исследования, апробацией результатов теоретического анализа методом численного моделирования и в эксперименте. Результаты не противоречат результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Progress in Electromagnetic Research Symposium, PIERS 2019 (Рим, 2019); IV International Conference on Metamaterials and Nanophotonics METANANO 2019 (Санкт-Петербург 2019); Summer School on Topological Photonics (Санкт-Петербург 2019); III International Conference on Metamaterials and Nanophotonics METANANO 2018; Летняя школа по нанофотонике и метаматериалам - 2017 (Санкт-Петербург 2017); VI конгресс молодых ученых -2017 (Санкт-Петербург 2017); Дни дифракции 2017 (Санкт-Петербург 2017).

Данная работа выполнена в рамках совместного российско--французского проекта «Гибридные фотонные наноустройства» при поддержке Министерства Науки и Высшего Образования Российской Федерации (проект №14.587.21.0050 с уникальным идентификатором RFMEFI58718X0050).

Личный вклад автора. Автором лично были получены все аналитические выражения для декартовой мультипольной декомпозиции в неприводимом представлении с явным выделением вкладов тороидальных моментов. Автором реализованы численные модели для описания рассеяния света на субволновых наночастицах и нахождения численного значения мультипольных моментов в программном пакете COMSOL Multiphysics. Дополнительно автор принимал личное участие в проведении экспериментов по темнопольной микроскопии. Выбор направлений исследований и их проработка были осуществлены совместно с научным руководителем д.ф.-м.н. Александром Сергеевичем Шалиным.

Публикации. Основные результаты по научно-квалификационной работе изложены в 8 печатных работах, индексируемых в научных базах Scopus и Web of Science.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из 4-х глав, заключения и 2-х приложений. Полный объём диссертационной работы составляет 127 страниц, включая 16 рисунков, 2 таблицы. Список литературы содержит 111 наименований.

Содержание работы

В первой главе был значительно расширен метод анализа субволновых рассеивателей, используя подход декартовой мультипольный декомпозиции и неприводимое представление тензоров относительно зеркальных отражений и вращений группы SOз. В результате была получена декартовая мультипольная декомпозиция 5-го порядка с точностью до магнитного 16-поля и электрического 32-поля, а также явно показан вклад тороидальных моментов высокого порядка с точностью до тороидального магнитного квадруполя и тороидального электрического октуполя. Исключив члены, имеющие нулевой вклад в рассеянное поле, было получено неприводимое представление мультипольной декомпозиции электрического поля в тензорной и векторной форме (ниже приводится выражение для электрического поля в векторной форме)

Е =

4яе

■е+кк1|

о

+ 2

я

п х

П х

пх| (¿Се) + ^гСНе)

п

+

п х

пх^О^+уГ^-п-пК

+

(1)

+

24

1 + -

с

п х [(^ - п - п - п) х п

¿^ г л 1

с / ] 2с

+

120

п х [(х - п - п - п - п) х п]|

пх -п

+§2[п х - п - п)]- п - п - п)х п])'

+

где k — обозначает волновое число в вакууме, £) — диэлектрическая проницаемость в вакууме, Я — радиус вектор от начала координат до точки наблюдения и Я — его длина, п — единичный вектор в направлении R. Обозначение всех базовых и тороидальных мультипольных моментов представлено в приложении к диссертации. Для рассеянного электрического поля были найдены выражения,

описывающие вклад мультипольных моментов произвольного ранга в рассеянную мощность, сечение рассеяния и эффективность рассеяния.

Полученные результаты были проверены с помощью сравнения численного моделирования мультипольной декомпозиции полных полей в COMSOL Multiphysics и теории Ми при рассеянии плоской электромагнитной волны на диэлектрической частице с показателем преломления п = 4, что показано на рисунке 1(а).

i" Com sol ■■■•Теория Ми1 —Сумма

-ED+TED+TED2

-MD+TMD

-EQ+TEQ

MQ+TMQ ЕО+ТЕО МО — Е16 М16 Е32

кг, [у.е.]

Рисунок 1 - (а) Декартовая мультипольная декомпозиция эффективности рассеяния для плоской волны, рассеянной на сферической частице с показателем преломления п=4 в сравнении с теорией Ми (штрихованная зеленая линия) и результатом численного интегрирования рассеяния на частице в СОМБОЬ МиШрЬувюБ (серая штрихованная линия). (б-г) Мультипольные вклады в эффективность рассеяния неприводимых базовых мультиполей, суммы базовых мультипольных и тороидальных моментов в сравнении с мультиполями,

полученными из теорий Ми

В работе продемонстрировано первостепенное значение тороидальных членов для адекватной интерпретации спектров эффективности рассеяния (см. рис.1(б-г)), детально рассмотрены поля внутри частиц в которых обнаруживаются тороидальные члены; показана эволюция поля внутри частицы для разных мультиполей, включающая только базовые мультипольные состояния (в которых тороидальным откликом можно пренебречь) и состояния ближних полей системы с преобладающим вкладом тороидальных моментов.

На примере электрического октупольного момента и магнитного октупольного момента было продемонстрировано, что увеличение безразмерного параметра кг приводит к возбуждению тороидальных членов с соответствующими вихревыми распределениями полей. Эта важная особенность декартовых мультиполей позволяет оценивать поведение токов или полей смещения внутри частицы по значениям основных и тороидальных членов.

Для электрического октупольного момента вклад полного октупольного момента полностью совпадает с теорией Ми, как в области малых значений кг, где возбуждается только базовый октупольный момент рис.2(б), так и в области относительно больших кг, где не учитывать вклад тороидального момента нельзя рис.2(а). Аналогично электрическому октупольному моменту в области малых значений кг, вклад базового магнитного октуполя полностью совпадает с вкладом в рассеянную мощность от магнитного октуполя, полученным по теории Ми рис.2(г).

Однако для значений кг близи резонанса наблюдается несоответствие вклада Ми магнитного октуполя и базового магнитного октуполя рис.1(ж), что характеризуется образованием в частице вихревых распределений магнитного поля (рис.2 (в)). Данные вихревые распределения свидетельствуют о возбуждении тороидального магнитного октупольного момента, который не может быть получен в приближении декартовой мультипольной декомпозиции 5-го порядка с точностью до магнитного 16-поля и электрического 32-поля, что еще раз подчеркивает важность включения тороидальных моментов для правильного описания сечения рассеяния.

Рисунок 2 - Нормированные электрические и магнитные поля и линии направления потока электрического (а, б) и магнитного (в, г) полей, построенные для электрических и магнитных октуполей по теории Ми для частицы с показателем преломления п = 4. Значения безразмерного параметра кг = 1.714 на рисунке (а) и кг = 2.011 на рисунке (в), соответствуют точкам, где дальнее поле определяется преимущественно тороидальными откликами (см. рис.

1.2). Безвихревые распределения полей, изображенные на рисунках (б, г) и построенные для кг = 1.256, демонстрируют распределения полей и линии потока, для которых тороидальные

вклады стремятся к нулю

Во второй главе, используя полученные тороидальные моменты, было продемонстрировано формирование 5-ти анапольных состояний, соответствующих деструктивной интерференции базовых и тороидальных моментов в дальней зоне, от электрического дипольного до электрического октупольного анапольного состояния (см. рисунок 3(а)).

С помощью теории Ми было показано, что анапольные состояния старших порядков, аналогично электрическому дипольному анаполю, имеют ненулевую

концентрацию энергии в частицы при нулевом рассеянии в дальнюю зону рисунок 3(б). Для этого была введена функция К:

К = <

И-N

—-;—- для мультиполеи электрического типа,

+ N

И-|Ь| „

—-— для мультиполеи магнитного типа.

|с| + |Ь|

К равно единице, когда происходит возбуждение мультипольного момента (ближние поля не нулевые), но излучение в дальнюю зону не происходит. Здесь (а, Ь) соответствуют коэффициентам рассеяния Ми, а с) — коэффициентам поля внутри частицы. Спектральные положения анапольных состояний и пиков К совпадают по определению анапольного состояния рисунок 3(а,б).

Для значений ^, в которых были обнаружены минимумы К и минимумы полных мультипольных моментов, были построены распределения ближних полей в частице. Поля на рисунке 3 (в) нормированы на их максимумы. Каждое распределение поля, соответствующее анапольному состоянию, обладает сильным вкладом тороидальных моментов, что на рисунке отображается как точка (точки) сингулярности, в которых электрическое или магнитное поле стремится к нулю (темно-синие области на рисунке 3 (в)) внутри вихревых линий вектора Пойнтинга.

Число таких особых точек увеличивается с ростом мультипольного порядка. Было показано, что анапольные состояния разных порядков приводят к концентрации поля внутри частицы, аналогично тому, как это было показано в [2] для электрического дипольного анапольного состояния. Кроме того, способность рассеивателя поддерживать анаполи магнитного типа открывает возможности для концентрации в нем магнитного поля.

Рисунок 3 - Эффективность рассеяния на рисунке 1.2 сферической частицы с n = 4 в полулогарифмическом масштабе (а) показывает первые пять анапольных состояний в терминах декартовых мультиполей; соотношение (26) для сферических мультиполей (б); визуализация нормированных внутренних полей (цвет) и линий тока реальных частей электрических или магнитных полей, соответствующих определенным сферическим мультиполям, находящимся в анапольных состояниях (в). Отметим, что для электрических мультиполей показано нормированное (до максимального значения) электрическое поле, а для магнитного типа -нормированное магнитное поле. Вклад электрического диполя в эффективность рассеяния приближается к минимуму при kr= 1.165, вклад магнитного диполя - при kr= 1.461, вклад электрического и магнитного квадруполей - при kr= 1.476 и kr= 1.764 соответственно, вклад

электрического октуполя - при kr= 1.778

В третьей главе описано неизлучающее состояние рассеяния света на диэлектрическом цилиндре с параметрами кг = 0.983 и h/r = 2.879 и показателем преломления п = 4, для которого каждый вклад мультипольного момента в полное сечение рассеяния является минимальным. Для цилиндра из аморфного кремния была построена карта полного сечения рассеяния, при котором для fcr = 0.983

обнаруживается минимум (длина волны Я = 780нм и радиус цилиндра г = 126нм при высоте к = 367нм), что показано на рис. 4(а)). Используя мультипольную декомпозицию, было показано, что минимумы сечения рассеяния для электрического диполя, магнитного диполя и электрического квадруполя являются результатом деструктивной интерференции базового и тороидального вклада, образуя анапольные состояния. В свою очередь, вклад в сечение рассеяния от магнитного квадрупольного момента не имеет тороидального момента при минимизации базового вклада, т.е. является тривиальным состоянием системы.

200

650 700

750 800 X, (нм)

(В)

х1(Г

850

х10~

700

800 900

X, (нм)

1000

х10

* —<№ / _ «^^(е) / —<А так/

7Г/2

-7Г/2

760 780 800 X, (нм)

760 780 800 X, (нм)

760 780 800 X, (нм)

Рисунок 4 — Карта эффективности рассеяния = 4а5са/л:Л2 в логарифмическом масштабе (а) демонстрирует положение минимума рассеяния в зависимости от диаметра наноцилиндра и длины волны, при фиксированной высоте кремниевого наноцилиндра в 367нм. Мультипольная декомпозиция сечения рассеяния для плоской волны, падающей на наноцилиндр из аморфного кремния (б). Вставка с цилиндром на рисунке (б) демонстрирует расположение цилиндра в декартовой системе координат и направление и поляризацию падающей волны; вставка с распределением поля показывает отсутствие возмущения фронта плоской волны наноцилиндром с высотой 367нм и диаметром 252нм на длине волны Я = 780нм, соответствующей гибридному анапольному состоянию. Нижний ряд графиков (в) показывает зависимости амплитуд и фаз для базовых и тороидальных моментов, а также разницу фаз межу ними для электрического дипольного, магнитного дипольного и электрического

квадрупольного моментов

Для подтверждения обнаруженного эффекта, используя электронно-лучевую литографию, были произведены образцы наноцилиндров из аморфного кремния на стеклянной подложке (вставка на рисунке 5(а)). Для полученных образцов спектры рассеяния света были измерены с помощью метода темнопольной спектроскопии (рисунок 5(а,б)).

(а)

Ю-2

650

750

Длина волны, нм

850

(б)

Белый свет

Образец

МкиЮуо 10х Ц М1ШЮуо 100х

□ИI с

Спектрометр

; 0(

пи

ЗФП

ПИ

Рисунок 5 - Спектры рассеяния плоской волны на наноцилиндре, полученные экспериментально и с помощью численного моделирования (а). Сплошными линиями обозначены результаты измерения рассеяния света на одиночных кремниевых наноцилиндрах методом темнопольной спектроскопии для нескольких структур с диаметрами 211нм, 221нм, 251нм и 270нм и высотой 367нм. Штрихованными линиями обозначены результаты численного моделирования. Вставка на рисунке (а) показывает фотографию наноцилиндра с диаметром 251нм, полученную с помощью электронного микроскопа. (б) Схематическое изображение экспериментальной установки для измерения спектров рассеяния на наноцилиндре методом

темнопольной спектроскопии

Экспериментальные данные были соотнесены с уточненной численной моделью наноцилиндра, учитывающей реальную дисперсию материалов и параметры экспериментальной установки, такие как числовая апертура собирающей оптики, Фурье фильтр и наличие стеклянной подложки. Таким образом, гибридное анапольное состояние было обнаружено как экспериментально, так и численно.

В четвертой главе были рассмотрены оптические свойства самоорганизующихся биоминеральных ватеритовых сферолитов (полиморфное соединение СаСОз) с использованием метода темнопольной микроскопии. Сложная внутренняя микроструктура сферолитов была описана численно с помощью недиагонального координатно-зависимого тензора эффективной диэлектрической проницаемости и исследована численно с помощью метода конечных элементов.

Эксперимент

Моделирование

450 500 550 600 650 700 750 800 т 450 500 550 600 650 700 750 800

! ТЕ/"

(В)

500 пт <0

¿5

■[V]! к £ X к а> о о аз п

540 пт

150 500 550 600 650 700 750 800 т 450 500 550 600 650 700 750 800

5 0.4

•

ТЕ

450 500 550 600 650 700 750 800'"' 450 500 550 600 650 700 750 800

Длина волны (нм) Длина волны (нм)

Рисунок 6 - Экспериментальные и теоретические спектры рассеяния ТЕ и ТМ поляризованных волн на ватеритовых сферолитах для частиц с размерами 440нм (а), 490нм (б), 540нм (в). Численное моделирование было выполнено для двух главных положений оси сферолита

относительно границы подложка/воздух

Рассеяние света на нескольких субволновых частицах ватерита было проанализировано экспериментально и численно (рисунок 6). Было показано, что оптические изображения в разных поляризациях обладают значительными различиями, которые можно обнаружить невооруженным глазом, что хорошо объясняется высокой чувствительностью метода темнопольной микроскопии к ориентации поляризации падающей волны относительно подложки. Полученные спектры рассеяния обладают ярко выраженными спектральными особенностями. При увеличении размера частиц четко наблюдается красное смещение пиков для спектров, полученных как численно, так и экспериментально. Для ТМ поляризации угол падения падающего излучения близок к углу Брюстера, в результате чего подложка слабо отражает свет, рассеянный на частице, в апертуру объектива для сбора излучения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гурвиц Егор Андреевич, 2020 год

Список литературы

1. Kuznetsov A.I. Optically resonant dielectric nanostructures / Kuznetsov A.I., Miroshnichenko A.E., Brongersma M.L., Kivshar Y.S., Luk'yanchuk B. // Science. -2016. - Vol. 354, no. 6314. - P. 2472.

2. Evlyukhin A.B. Demonstration of Magnetic Dipole Resonances of Dielectric Nanospheres in the Visible Region / Evlyukhin A.B., Novikov S.M., Zywietz U., Eriksen R.L., Reinhardt C., Bozhevolnyi S.I., Chichkov B.N. // Nano Lett. - 2012. - Vol. 12, no. 7. - Pp. 3749-3755.

3. Kuznetsov A.I. Magnetic light / Kuznetsov A.I., Miroshnichenko A.E., Fu Y.H., Zhang J., Luk B. // Scientific reports. - 2012. - Vol. 2, no. 492. - Pp. 1-6.

4. Basharin A.A. Dielectric Metamaterials with Toroidal Dipolar Response / Basharin A.A., Kafesaki M., Economou E.N., Soukoulis C.M., Fedotov V.A., Savinov V., Zheludev N.I. // Phys. Rev. X. - 2015. - Vol. 5, no. 1. - P. 011036.

5. Miroshnichenko A.E. Nonradiating anapole modes in dielectric nanoparticles / Miroshnichenko A.E., Evlyukhin A.B., Yu Y.F., Bakker R.M., Chipouline A., Kuznetsov A.I., Luk'yanchuk B., Chichkov B.N., Kivshar Y.S. // Nature Communications. - 2015. - Vol. 6 - Pp. 1-8.

6. Grinblat G. Enhanced Third Harmonic Generation in Single Germanium Nanodisks Excited at the Anapole Mode / Grinblat G., Li Y., P. Nielsen M., F. Oulton R., A. Maier S. // Nano Letters. - 2016. - Vol. 16, no. 7. - Pp. 4635-4640.

7. Timofeeva M. Anapoles in Free-Standing III-V Nanodisks Enhancing Second-Harmonic Generation / Timofeeva M., Lang L., Timpu F., Renaut C., Bouravleuv A., Shtrom I., Cirlin G., Grange R. // Nano Letters. - 2018. - Vol. 18, no. 6. - Pp. 36953702.

8. Baranov D.G. Anapole-Enhanced Intrinsic Raman Scattering from Silicon Nanodisks / Baranov D.G., Verre R., Karpinski P., Kall M. // ACS Photonics. - 2018. - Vol. 5, no. 7. - Pp. 2730-2736.

9. Totero Gongora J.S. Anapole nanolasers for mode-locking and ultrafast pulse generation / Totero Gongora J.S., Miroshnichenko A.E., Kivshar Y.S., Fratalocchi A. //

Nature Communications. - 2017. - Vol. 8, no. 1. - Pp. 1-9.

10. Feng T. Ideal magnetic dipole scattering / Feng T., Xu Y., Zhang W., Miroshnichenko

A.E. // Physical Review Letters. - 2017. - Vol. 118, no. 17. - P. 173901.

11. Savelev R.S. Resonant transmission of light in chains of high-index dielectric particles / Savelev R.S., Filonov D.S., Petrov M.I., Krasnok A.E., Belov P.A., Kivshar Y.S. // Phys. Rev. B. - 2015. - Vol. 92, no. 15. - P. 155415.

12. Savelev R.S. Bending of electromagnetic waves in all-dielectric particle array waveguides / Savelev R.S., Filonov D.S., Kapitanova P. V, Krasnok A.E., Miroshnichenko A.E., Belov P.A., Kivshar Y.S. // Appl. Phys. Lett. - 2014. - Vol. 105, no. 18. - P. 181116.

13. Limon O. Microelectronic Engineering Fabrication of electro optical nano modulator on silicon chip / Limon O., Businaro L., Gerardino A., Bitton L., Frydman A., Zalevsky Z. // Microelectronic Engineering. - 2009. - Vol. 86, no. 4-6. - Pp. 1099-1102.

14. Krasnok A.E. All-dielectric optical nanoantennas / Krasnok A.E., Miroshnichenko A.E., Belov P.A., Kivshar Y.S. // Optics Express. - 2012. - Vol. 20, no. 18. - Pp. 837842.

15. Henry B.J. Thin-Film Amorphous Silicon Position-Sensitive Detectors / Henry B.J., Livingstone J. // Advanced Materials. - 2001. - Vol. 13, no. 12-13. - Pp. 1023-1026.

16. Mirzaei A. All-Dielectric Multilayer Cylindrical Structures for Invisibility Cloaking / Mirzaei A., Miroshnichenko A.E., Shadrivov I. V, Kivshar Y.S. // Scientific reports. -2015. - Vol. 5, no. 9574. - Pp. 1-6.

17. Lin D. Dielectric gradient metasurface optical elements / Lin D., Fan P., Hasman E., Brongersma M.L. // Science. - 2014. - Vol. 345, no. 6194. - Pp. 5189-5192.

18. Liu W. Generalized Kerker effects in nanophotonics and meta-optics / Liu W., Kivshar Y.S. // Optics Express. - 2018. - Vol. 26, no. 10. - P. 13085.

19. Abdelrahman M.I. Experimental demonstration of spectrally broadband Huygens sources using low-index spheres / Abdelrahman M.I., Saleh H., Fernandez-Corbaton I., Gralak B., Geffrin J.M., Rockstuhl C. // APL Photonics. - 2019. - Vol. 4, no. 2. - P. 020802.

20. PorsA. Unidirectional scattering by nanoparticles near substrates : generalized Kerker conditions / Pors A., Andersen S.K.H., Bozhevolnyi S.I. // Optics Express. - 2015. - Vol. 23, no. 22. - Pp. 523-530.

21. H. A. Herman, Waves and Fields in Optoelectronics. - Prentice-Hall, Inc, 1984.

22. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics. - John Wiley & Sons, 1999.

23. R. E. Raab, O. L. De Lange, Multipole theory in Electromagnetism. - Oxford University Press, 2005.

24. C.F. Bohren, D. R. Huffman, Absorption and Scattering of Light by Small Particles.

- John Wiley & Sons, 2008.

25. Engheta N. actional Calculus and Fracti ultipoles in Electromagnetism / Engheta N. // IEEE Transactions on antennas and propagation. - 1996. - Vol. 44, no. 4. - Pp. 554566.

26. Monticone F. Fundamental and high-order anapoles in all- dielectric metamaterials via Fano - Feshbach modes competition / Monticone F., Alu A., Decker M., Staude I., Rubinsztein-dunlop H., Forbes A., Berry M. V, Chen H., Taylor A.J., Yu N., Sebastian J., Gongora T., Favraud G., Fratalocchi A. // Nanotechnology. - 2017. - Vol. 28, no. 10.

- P. 104001.

27. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - Москва: Наука, 1973.

28. Gorbatsevich A.A. Toroidal order in crystals / Gorbatsevich A.A. // Ferroelectrics. -1994. - Vol. 161 - Pp. 321-334.

29. Dubovik V.M. Toroid moments in electrodynamics and solid-state physics / Dubovik V.M., Tugushev V. V. // Physics Reports. - 1990. - Vol. 187, no. 4. - Pp. 145-202.

30. Zel'dovich Y.B. Parity nonconservation in the first order in the weak-inter- action constant in electron scattering and other effects / Zel'dovich Y.B. // Sov. Phys. JETP. -1959. - Vol. 36 - Pp. 964-966.

31. Shcherbakov M.R. Enhanced Third-Harmonic Generation in Silicon Nanoparticles Driven by Magnetic Response / Shcherbakov M.R., Neshev D.N., Hopkins B., Shorokhov A.S., Staude I., Melik-gaykazyan E. V, Decker M., Ezhov A.A., Miroshnichenko A.E., Brener I., Fedyanin A.A., Kivshar Y.S. // Nano Lett. - 2014. - Vol. 14 - Pp. 6488-6492.

32. Fan Y. Low-loss and high- Q planar metamaterial with toroidal moment / Fan Y., Wei Z., Li H., Chen H., Soukoulis C.M. // Phys. Rev. B. - 2013. - Vol. 87, no. 115417. - Pp. 1-5.

33. Kaelberer T. Toroidal Dipolar Response in a Metamaterial / Kaelberer T., Fedotov V.A., Papasimakis N., Tsai D.P., Zheludev N.I. // Science. - 2010. - Vol. 330, no. 6010. - Pp. 1510-1512.

34. Dong Z.-G. Optical toroidal dipolar response by an asymmetric double-bar metamaterial Optical toroidal dipolar response by an asymmetric double-bar metamaterial / Dong Z.-G., Zhu J., Rho J., Li J.-Q., Lu C., Yin X., Zhang X. // Appl. Phys. Lett. - 2012. - Vol. 101, no. 144105. - Pp. 1-5.

35. Huang Y. Design of plasmonic toroidal metamaterials at optical frequencies / Huang Y., Chen W.T., Wu P.C., Fedotov V., Savinov V., Ho Y.Z., Chau Y., Zheludev N.I., Tsai D.P. // Optics Express. - 2012. - Vol. 20, no. 2. - Pp. 12837-12842.

36. Raybould T.A. Toroidal circular dichroism / Raybould T.A., Fedotov V.A., Papasimakis N., Kuprov I., Youngs I.J., Chen W.T., Tsai D.P., Zheludev N.I. - 2016. -Vol. 035119 - Pp. 2-6.

37. Tseng M.L. Coherent selection of invisible high- order electromagnetic excitations / Tseng M.L., Fang X., Savinov V., Wu P.C., Ou J., Zheludev N.I., Tsai D.P. // Scientific reports. - 2017. - Vol. 7, no. 44488. - Pp. 1-11.

38. Wut P.C. Optical Anapole Metamaterial / Wut P.C., Liao C.Y., Savinov V., Chung T.L., Chen W.T., Huang Y.-W., Wu P.R., Chen Y.-H., Liu A.-Q., Zheludev N.I., Tsai D.P. // ACSNano. - 2018. - Vol. 12, no. 2. - Pp. 1920-1927.

39. Dubovik M. Axial toroidal moments in electrodynamics and solid-state physics / Dubovik M., Tosunyan A. // Zh. Eksp. Teor. Fiz. - 1986. - Vol. 90, no. 2. - Pp. 590-605.

40. Luk'yanchukB. Suppression of Scattering for Small Dielectric Particles: an Anapole Mode and Invisibility / Luk'yanchuk B., Paniagua-Dominguez R., Kuznetsov A.I., Miroshnichenko A.E., Kivshar Y.S. // Philosophical transactions A. - 2017. - Vol. 375, no. 2090. - P. 20160069.

41. Zimmermann A.S. Ferroic nature of magnetic toroidal order / Zimmermann A.S., Meier D., Fiebig M. // Nature Communications. - 2014. - Vol. 5, no. 1. - Pp. 1-6.

42. Li S.-Q. Origin of the anapole condition as revealed by a simple expansion beyond the toroidal multipole / Li S.-Q., Crozier K.B. // Phys. Rev. B. - 2018. - Vol. 97, no. 24. - P. 245423.

43. Afanasiev G.N. Some remarkable charge-current configurations the radiation of the elementary toroidal sources / Afanasiev G.N., Dubovik V.M. // Physics of Particles and

Nuclei. - 1998. - Vol. 29, no. 4. - P. 891-945.

44. Boardman A.D. Dispersion properties of nonradiating configurations: Finite-difference time-domain modeling / Boardman A.D., Marinov K., Zheludev N., Fedotov V.A. // Phys. Rev. E. - 2005. - Vol. 72, no. 3. - P. 036603.

45. Alaee R. An electromagnetic multipole expansion beyond the long-wavelength approximation / Alaee R., Rockstuhl C., Fernandez-Corbaton I. // Optics Communications. - 2018. - Vol. 407, no. 17-21. - Pp. 1-21.

46. Fernandez-Corbaton I. On the dynamic toroidal multipoles from localized electric current distributions / Fernandez-Corbaton I., Nanz S., Rockstuhl C. // Scientific Reports. - 2017. - Vol. 7, no. 1. - Pp. 1-8.

47. Jerphagnon J. The description of the physical properties of condensed matter using irreducible tensors / Jerphagnon J., Chemla D., Bonneville R. // Advances in Physics. -1978. - Vol. 27, no. 4. - Pp. 609-650.

48. Coope J.A.R. Irreducible cartesian tensors / Coope J.A.R., Snider R.F., Mccourt F.R.

// The Journal of Chemical Physics. - 1965. - Vol. 43, no. 7. - Pp. 2269-2275.

49. Nanz S.Toroidal Multipole Moments in Classical Electrodynamics: An Analysis of their Emergence and Physical Significance. - Springer Spektrum, 2015.

50. Evlyukhin A.B. Optical theorem and multipole scattering of light by arbitrarily shaped nanoparticles / Evlyukhin A.B., Fischer T., Reinhardt C., Chichkov B.N. // Physical Review B. - 2016. - Vol. 94, no. 20. - Pp. 1-7.

51. Dubovik V.M. Multipolnoe razlojenie v classichescoi iv kvantovoi torii polia i izluchenie / Dubovik V.M., Tcheshkov A.A. // Fiz. Elem. Chastits At. Yadra. - 1974. -Vol. 5 - Pp. 791-837.

52. Radescu E.E. Exact calculation of the angular momentum loss, recoil force, and radiation intensity for an arbitrary source in terms of electric, magnetic, and toroid multipoles / Radescu E.E., Vaman G. // Physical Review E - Statistical Physics, Plasmas, Fluids, and Related Interdisciplinary Topics. - 2002. - Vol. 65, no. 4. - P. 47.

53. Fano U., Racah G, Irreducible tensors sets. - Academic Press., 1959.

54. Wigner E.P., Group theory: and its application to the quantum mechanics of atomic

spectra. - Academic Press., 1959.

55. Damour T. Multipole analysis for electromagnetism and linearized gravity with irreducible Cartesian tensors / Damour T., Iyer B.R. // Phys. Rev. D. - 1991. - Vol. 43, no. 10. - Pp. 3259-3272.

56. Dinçkal Ç. Orthonormal Decomposition of Third Rank Tensors and Applications / Dinçkal Ç. // Proceedings of the World Congress on Engineering. - 2013. - Vol. 144 -Pp. 1-6.

57. Chen J. Optical pulling force / Chen J., Ng J., Lin Z., Chan C.T. // Nature Photonics. - 2011. - Vol. 5, no. 9. - Pp. 531-534.

58. Luk'yanchuk B. Hybrid anapole modes of high-index dielectric nanoparticles / Luk'yanchuk B., Paniagua-Domínguez R., Kuznetsov A.I., Miroshnichenko A.E., Kivshar Y.S. // Physical Review A. - 2017. - Vol. 95, no. 6. - Pp. 1-8.

59. Guo P.H. The first {Dy 4} single-molecule magnet with a toroidal magnetic moment in the ground state / Guo P.H., Liu J.L., Zhang Z.M., Ungur L., Chibotaru L.F., Leng J.D., Guo F.S., Tong M.L. // Inorganic Chemistry. - 2012. - Vol. 51, no. 3. - Pp. 1233-1235.

60. Nemkov N.A. Electromagnetic sources beyond common multipoles / Nemkov N.A., Basharin A.A., Fedotov V.A. // Physical Review A. - 2018. - Vol. 98, no. 2. - P. 023858.

61. Gurvitz E.A. The High-Order Toroidal Moments and Anapole States in All-Dielectric Photonics / Gurvitz E.A., Ladutenko K.S., Dergachev P.A., Evlyukhin A.B., Miroshnichenko A.E., Shalin A.S. // Laser and Photonics Reviews. - 2019. - Vol. 13, no. 5. - Pp. 1-13.

62. Peña O. Scattering of electromagnetic radiation by a multilayered sphere / Peña O., Pal U. // Computer Physics Communications. - 2009. - Vol. 180, no. 11. - Pp. 23482354.

63. Ladutenko K. Mie calculation of electromagnetic near-field for a multilayered sphere / Ladutenko K., Pal U., Rivera A., Peña-Rodríguez O. // Computer Physics Communications. - 2017. - Vol. 214 - Pp. 225-230.

64. Rodríguez O.P. Scatnlay algorithm [Электронный ресурс]. URL: https://github. com/ovidiopr/scattnlay/.

65. Papasimakis N. Electromagnetic toroidal excitations in matter and free space / Papasimakis N., Fedotov V.A., Savinov V., Raybould T.A., Zheludev N.I. // Nature Materials. - 2016. - Vol. 15, no. 3. - Pp. 263-271.

66. Fedotov V.A. Resonant Transparency and Non-Trivial Non-Radiating Excitations in Toroidal Metamaterials / Fedotov V.A., Rogacheva A. V, Savinov V., Tsai D.P., Zheludev N.I. // Scientific reports. - 2013. - Vol. 3, no. 2967. - Pp. 1-5.

67. Terekhov P.D. Resonant forward scattering of light by high-refractive-index dielectric nanoparticles with toroidal dipole contribution / Terekhov P.D., Baryshnikova K. V., Shalin A.S., Karabchevsky A., Evlyukhin A.B. // Optics Letters. - 2017. - Vol. 42, no. 4. - Pp. 1-4.

68. Li J. From non- to super-radiating manipulation of a dipolar emitter coupled to a toroidal metastructure / Li J., Xin X.-X., Shao J., Wang Y.-H., Li J.-Q., Zhou L., Dong Z.-G. // Optics Express. - 2015. - Vol. 23, no. 23. - P. 29384.

69. Zenin V.A. Direct Amplitude-Phase Near-Field Observation of Higher-Order Anapole States / Zenin V.A., Evlyukhin A.B., Novikov S.M., Yang Y., Malureanu R., Lavrinenko A. V., Chichkov B.N., Bozhevolnyi S.I. // Nano Letters. - 2017. - Vol. 17, no. 11. - Pp. 7152-7159.

70. Baryshnikova K. Giant magnetoelectric field separation via anapole-type states in high-index dielectric structures / Baryshnikova K., Filonov D., Simovski C., Evlyukhin A., Kadochkin A., Nenasheva E., Ginzburg P., Shalin A.S. // Phys. Rev. B. - 2018. - Vol. 98, no. 16. - P. 165419.

71. Yang Y. Nonradiating anapole states in nanophotonics: from fundamentals to applications / Yang Y., Bozhevolnyi S.I. // Nanotechnology. - 2019. - Vol. 30, no. 20. -P. 204001.

72. Liu W. Invisible nanowires with interfering electric and toroidal dipoles / Liu W., Zhang J., Lei B., Hu H., Miroshnichenko A.E. // Optics Letters. - 2015. - Vol. 40, no. 10. - P. 2293.

73. Kasperczyk M. Excitation of magnetic dipole transitions at optical frequencies / Kasperczyk M., Person S., Ananias D., Carlos L.D., Novotny L. // Physical Review Letters. - 2015. - Vol. 114, no. 16. - Pp. 1-5.

74. Giessen H. Glimpsing the Weak Magnetic Field of Light / Giessen H., Vogelgesang R. // Science. - 2009. - Vol. 326, no. 5952. - Pp. 529-530.

75. Burresi M. Probing the magnetic field of light at optical frequencies / Burresi M., Oosten D. Van, Kampfrath T., Schoenmaker H., Heideman R., Leinse A., Kuipers L. // Science. - 2009. - Vol. 326, no. 5952. - Pp. 550-553.

76. Taminiau T.H. Quantifying the magnetic nature of light emission / Taminiau T.H., Karaveli S., Hulst N.F. Van, Zia R. // Nature Communications. - 2012. - Vol. 3 - Pp. 976-979.

77. Baryshnikova K. V. Magnetic field concentration with coaxial silicon nanocylinders in the optical spectral range / Baryshnikova K. V., Novitsky A., Evlyukhin A.B., Shalin A.S. // Journal of the Optical Society of America B. - 2017. - Vol. 34, no. 7. - Pp. 1-6.

78. Yang Y. Anapole-Assisted Strong Field Enhancement in Individual All-Dielectric Nanostructures / Yang Y., Zenin V.A., Bozhevolnyi S.I. // ACS Photonics. - 2018. - Vol. 5, no. 5. - Pp. 1960-1966.

79. Hüttenhofer L. Anapole Excitations in Oxygen-Vacancy-Rich TiO2-x Nanoresonators: Tuning the Absorption for Photocatalysis in the Visible Spectrum / Hüttenhofer L., Eckmann F., Lauri A., Cambiasso J., Pensa E., Li Y., Cortés E., Sharp I.D., Maier S.A. // ACS Nano. - 2020. - Vol. 14, no. 2. - Pp. 2456-2464.

80. Xu L. Boosting third-harmonic generation by a mirror-enhanced anapole resonator / Xu L., Rahmani M., Zangeneh Kamali K., Lamprianidis A., Ghirardini L., Sautter J., Camacho-Morales R., Chen H., Parry M., Staude I., Zhang G., Neshev D., Miroshnichenko A.E. // Light: Science and Applications. - 2018. - Vol. 7, no. 1. - Pp. 18.

81. R. Wiecha P. Deep Learning Meets Nanophotonics: A Generalized Accurate Predictor for Near Fields and Far Fields of Arbitrary 3D Nanostructures / R. Wiecha P., L. Muskens O. // Nano Letters. - 2019. - Vol. 20, no. 1. - Pp. 329-338.

82. TerekhovP.D. Magnetic Octupole Response of Dielectric Oligomers / Terekhov P.D., Evlyukhin A.B., Redka D., Volkov V.S., Shalin A.S., Karabchevsky A. // ArXiV. - 2019. - Pp. 1-14.

83. Sinev I.S. Chirality Driven by Magnetic Dipole Response for Demultiplexing of Surface Waves / Sinev I.S., Bogdanov A.A., Komissarenko F.E., Frizyuk K.S., Petrov M.I., Mukhin I.S., Makarov S. V., Samusev A.K., Lavrinenko A. V., Iorsh I. V. // Laser and Photonics Reviews. - 2017. - Vol. 11, no. 5. - Pp. 1-8.

84. Lowenstam H.A., Weiner S., On biomineralization. - Oxford University Press., 1989.

85. Aizenberg J. Calcitic microlenses as part of the photoreceptor system in brittlestars / Aizenberg J., Tkachenko A., Weiner S., Addadi L., Hendler G. // Nature. - 2001. - Vol. 412, no. 6849. - Pp. 819-822.

86. Polishchuk I. Coherently aligned nanoparticles within a biogenic single crystal: A biological prestressing strategy / Polishchuk I., Bracha A.A., Bloch L., Levy D., Kozachkevich S., Etinger-Geller Y., Kauffmann Y., Burghammer M., Giacobbe C., Villanova J., Hendler G., Sun C.-Y., Giuffre A.J., Marcus M.A., Kundanati L., Zaslansky P., Pugno N.M., Gilbert P.U.P.A., Katsman A., Pokroy B. // Science. - 2017. - Vol. 358, no. 6368. - Pp. 1294-1298.

87. Sutor D.J. Gallstone of Unusual Composition: Calcite, Aragonite, and Vaterite / Sutor D.J., Wooley S.E. // Science. - 1968. - Vol. 159, no. 3819. - Pp. 1113-1114.

88. Kanakis J. The crystallization of calcium carbonate on porcine and human cardiac valves and the antimineralization effect of sodium alginate / Kanakis J., Malkaj P., Petroheilos J., Dalas E. // Journal of Crystal Growth. - 2001. - Vol. 223, no. 4. - Pp. 557-564.

89. Lakshminarayanan R. Purification and Characterization of a Vaterite-Inducing Peptide, Pelovaterin, from the Eggshells of Pelodiscus s inensis (Chinese Soft-Shelled Turtle) / Lakshminarayanan R., Chi-Jin E.O., Loh X.J., Kini R.M., Valiyaveettil S. // Biomacromolecules. - 2005. - Vol. 6, no. 3. - Pp. 1429-1437.

90. Qiao L. Special Vaterite Found in Freshwater Lackluster Pearls / Qiao L., Feng Q.-L., Li Z. // Crystal Growth & Design. - 2007. - Vol. 7, no. 2. - Pp. 275-279.

91. Morse H. Spherulite Optics / Morse H., Donnay J.D.H. // American Journal of Science. - 1932. - Vol. 5, no. 137. - Pp. 440-461.

92. Volodkin D. V. Matrix Polyelectrolyte Microcapsules: New System for Macromolecule Encapsulation / Volodkin D. V., Petrov A.I., Prevot M., Sukhorukov G.B. // Langmuir. - 2004. - Vol. 20, no. 8. - Pp. 3398-3406.

93. Parakhonskiy B. V. Tailored intracellular delivery via a crystal phase transition in 400 nm vaterite particles / Parakhonskiy B. V., Foss C., Carletti E., Fedel M., Haase A., Motta A., Migliaresi C., Antolini R. // Biomaterials Science. - 2013. - Vol. 1, no. 12. - Pp. 1273-1281.

94. Svenskaya Y.I. Photodynamic therapy platform based on localized delivery of photosensitizer by vaterite submicron particles / Svenskaya Y.I., Pavlov A.M., Gorin D.A., Gould D.J., Parakhonskiy B.V., Sukhorukov G.B. // Colloids and Surfaces B:

Biointerfaces. - 2016. - Vol. 146 - Pp. 171-179.

95. Wightman R. Leaf margin organisation and the existence of vaterite-producing hydathodes in the alpine plant Saxifraga scardica / Wightman R., Wallis S., Aston P. //

Flora: Morphology, Distribution, Functional Ecology of Plants. - 2018.

96. Parkin S.J. Highly birefringent vaterite microspheres: production, characterization and applications for optical micromanipulation / Parkin S.J., Vogel R., Persson M., Funk M., Loke V.L., Nieminen T.A., Heckenberg N.R., Rubinsztein-Dunlop H. // Optics Express. - 2009. - Vol. 17, no. 24. - P. 21944.

97. Friese M.E.J. Optical alignment and spinning of laser-trapped microscopic particles / Friese M.E.J., Nieminen T.A., Heckenberg N.R., Rubinsztein-Dunlop H. // Nature. -1998. - Vol. 394, no. 6691. - Pp. 348-350.

98. Arita Y. Laser-induced rotation and cooling of a trapped microgyroscope in vacuum / Arita Y., Mazilu M., Dholakia K. // Nature Communications. - 2013. - Vol. 4, no. 1. -P. 2374.

99. Johnston J. The several forms of calcium carbonate / Johnston J., Merwin H.E., Williamson E.D. // American Journal of Science. - 1916. - Vol. 41, no. 246. - Pp. 473512.

100. Donnay J.D.H. Optical determination of water content in spherulitic vaterite / Donnay J.D.H., Donnay G. // Acta Crystallographica. - 1967. - Vol. 22, no. 2. - Pp. 312314.

101. Loke V.L.Y. FDFD/T-matrix hybrid method / Loke V.L.Y., Nieminen T.A., Parkin S.J., Heckenberg N.R., Rubinsztein-Dunlop H. // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. - 2007. - Vol. 106, no. 1-3. - Pp. 274-284.

102. Noskov R.E. Non-Mie optical resonances in anisotropic biomineral nanoparticles / Noskov R.E. // Nanoscale. - 2018. - Vol. 20 - Pp. 21031-21040.

103. Cherkas O. Direct Observation of Microparticle Porosity Changes in Solid-State Vaterite to Calcite Transformation by Coherent X-ray Diffraction Imaging / Cherkas O., Beuvier T., W. Breiby D., Chushkin Y., Zontone F., Gibaud A., Breiby D.W., Chushkin Y., Zontone F., Gibaud A. // Cryst. Growth Des. - 2017. - Vol. 17, no. 8. - Pp. 41834188.

104. KerkerM. Electromagnetic scattering by magnetic spheres / Kerker M., Wang D.-

S., Giles C.L. // Journal of the Optical Society of America. - 1983. - Vol. 73, no. 6. - Pp. 765-767.

105. Liu W. Broadband Unidirectional Scattering by Magneto-Electric Core-Shell / Liu W., Miroshnichenko A.E., Neshev D.N., Kivshar Y.S., A A.C. // ACS Nano. - 2012. -Vol. 6, no. 6. - Pp. 5489-5497.

106. Decker M. High-Efficiency Dielectric Huygens ' Surfaces / Decker M., Staude I., Falkner M., Dominguez J., Neshev D.N., Brener I., Pertsch T., Kivshar Y.S. // Advanced Optical Materials. - 2015. - Vol. 3, no. 6. - Pp. 813-820.

107. Alaee R. A generalized Kerker condition for highly directive nanoantennas / Alaee R., Filter R., Lehr D.., Lederer F., Rockstuhl C. // Optics Letters. - 2015. - Vol. 40, no. 11. - P. 2645.

108. Gausman H. W. Refractive Index of Plant Cell Walls / Gausman H.W., Allen W.A., Escobar D.E. // Applied Optics. - 1974. - Vol. 13, no. 1. - P. 109.

109. Shen Y. Ultralong photonic nanojet formed by a two-layer dielectric microsphere / Shen Y., Wang L. V., Shen J.-T. // Optics Letters. - 2014. - Vol. 39, no. 14. - P. 4120.

110. Totero Gongora J.S. Fundamental and high-order anapoles in all-dielectric metamaterials via Fano-Feshbach modes competition / Totero Gongora J.S., Favraud G., Fratalocchi A. // Nanotechnology. - 2017. - Vol. 28, no. 10. - Pp. 1-8.

111. Tribelsky M.I. Giant in-particle field concentration and Fano resonances at light scattering by high-refractive-index particles / Tribelsky M.I., Miroshnichenko A.E. // Physical Review A. - 2016. - Vol. 93, no. 5. - Pp. 1-22.

121

Приложение А (обязательное) Дополнительные материалы

A.1 Базовые и тороидальные распределения полей

Чтобы проанализировать конфигурации электрических и магнитных полей внутри частицы, были построены распределения полей используя теории Ми. Поля были построены для частицы с показателем преломления п = 4 в областях спектра, где тороидальные моменты вносят существенный вклад в дальнее поле, их вклад можно считать близким к нулю.

(а) (б) (в)

Рисунок А.1 - Нормализованные на максимальное значение распределения ближних полей и линий потока действительной части электрического поля полного электрического дипольного момента, построенные с помощью теории Ми. Частица имеет показатель преломления п = 4. Поля построены для безразмерных параметров (а) кг = 0,754, (б) кг = 1,091, (в) кг = 1,909. (а) Базовый дипольный момент. Отсутствуют замкнутые конфигурации линий потока. На рисунках (б) и (в) показаны распределения электрических полей со значительным вкладом тороидальных моментов первого и второго порядка и образованием вихревых распределений электрических

полей

В отличие от других тороидальных моментов, декартова мультипольная декомпозиция с точностью до 5-го порядка позволяет получить тороидальные члены электрического дипольного момента 1-го и 2-го порядка. На рисунке А.1(а) показано распределение электрического поля для базового электрического дипольного момента, нормированное на максимальное значение. Появление

вихревых конфигураций полей на рис. А.1(б) и рис. А.1(в) указывает на наличие тороидальных моментов. Линии потока на рисунке А.1(б) обнаруживают две особые точки (точки сингулярности в центре частицы), окруженные вихрями, что свидетельствует о возбуждении электрического тороидального момента первого порядка.

На рисунке А.1(в) можно увидеть 4 особые точки и соответствующие им вихри, что является индикатором возбуждения тороидального электрического дипольного момента 2-го порядка.

Рисунок А.2 - Нормализованное на максимальное значение распределения внутренних полей и линии потока реальных частей электрического поля (б, г, е, з) и нормализованного магнитного поля (а, в, д, ж) для полных мультиполей, построенных по теории Ми: магнитное диполь (а) кг

= 1,480 и (д) кг = 0,754, электрический квадруполь (б) кг = 1,533 и (е) кг = 1,109, магнитный квадруполь (в) кг = 1,821 и (д) кг = 1,109 и электрический октуполь (г) кг = 1,934 и (з) кг = 1,256. Поля на рисунках (а-г) рассчитаны для кг, в которых тороидальный момент носит значительный вклад. В противоположность этому, на рисунках (д-з) показаны конфигурации полей для кг, соответствующих возбуждению только базовых мультиполей Как и в случае с электрическим дипольным моментом, тороидальные моменты более высокого порядка вплоть до магнитного квадруполя и электрического октуполя проявляются в виде полоидальных конфигураций электрического поля, что показано на рисунке А.2 (а-г). Таким образом,

разработанный метод декартовой мультипольной декомпозиция рассеянного поля позволяет утверждать о наличие тороидальных моментов в спектре рассеяния.

Хотя приближение декартовых мультиполей 5-го порядка не включает в себя магнитный тороидальный октупольный момент, электрический и магнитный тороидальные 16-поли и электрический тороидальный 32-поль (см. рисунок А.3 (а-г) особые точки и вихревые распределения линий потока электромагнитного поля указывают на достаточный вклад тороидальных моментов в областях, близких к анапольным состояниям или резонансам системы.

Магнитный октуполь

Электрический 16-поль

Магнитный 16-поль

Электрический 32-поль

50 100

Рисунок А.3 - Нормализованное на максимальное значение распределения внутренних полей и линии потока реальных частей электрического поля (б, г, е, з) и нормализованного магнитного поля (а, в, д, ж) для полных мультиполей, построенных по теории Ми: магнитный октуполь (а) кг = 2,011 и (д) кг = 1,256, электрический 16-поль (б) кг = 2,154 и (е) кг = 1,508, магнитный 16-поль (в) кг = 2,335 и (ж) кг = 1,508, и электрический 32-поль (г) кг = 2,403 и (з) кг = 1,508. Поля на рисунках (а-г) рассчитаны для кг, в которых тороидальный момент носит значительный вклад. В противоположность этому, на рисунках (д-з) показаны конфигурации полей для кг, соответствующих возбуждению только базовых мультиполей

Как можно видеть из рисунков А.2 и А.3, число особых точек увеличивается на 2 для каждого порядка мультипольного момента (например, для квадруполя таки точек 4, для октуполя 6 и т. д.). Рисунки А2 (д- з) и А.3 (д-з) соответствуют распределению полей для базовых декартовых мультиполей без каких-либо

тороидальных вкладов, о чем свидетельствует отсутствие сингулярных точек внутри частицы.

А.2 Фаза базовых и тороидальных моментов

В этом разделе были определены амплитуды и фазы базовых и тороидальных

мультиполей (до второго порядка: магнитный дипольный и электрический квадрупольный моменты) для сферической частицы с радиусом г = 120нм и показателем преломления п = 4. Как и в случае [110] было обнаружено, что вклады тороидальных и базовых мультипольных моментов для рассеяния плоской волны на диэлектрической сфере всегда синфазны или сдвинуты по фазе (см. рисунок А.4(б,г,е)). Этому факту может быть дано несколько объяснений.

Электрический диполь

Рисунок А.4 - Амплитуды (а, в, д) и фазы (б, г, е) вкладов мультиполей (ненулевых компонент) в рассеянное поле для сферической частицы с г = 120нм и показателем преломления п = 4

С одной стороны — это симметрия рассматриваемых частиц и, следовательно, симметричное распределение электрического и магнитного полей, тогда как в случае частиц произвольной формы разность фаз между базовым и тороидальным слагаемыми может иметь любое значение. Чтобы проиллюстрировать это, были найдены фазовые зависимости для частицы в форме усеченного конуса (см. рисунок А.5). Как видно из рисунка, для несферической геометрии отсутствует фазовое согласование, и конкретные зависимости на рис. 4 (б,г,д) определяются свойствами симметрии объемных интегралов соответствующих мультиполей.

С другой стороны, фазовый сдвиг является прямым следствием резонансов типа Фано [111] (см. Также рис. 4 (a, в, д)). Хорошо известно, что для таких резонансов мнимая часть комплексного значения меняет знак, приводя к упомянутому фазовому сдвигу.

кг, (у.в) кг, (у.в)

Рисунок А.5 - Амплитуды (a, в) и фазы (б, г) вкладов мультиполей (ненулевых компонентов) в рассеянное поле для усеченного конуса с высотой h = 200нм, полуоси а = 60(нм), b = 80 (нм), соотношение верхних и нижних оснований к = 0.5, а показатель преломления п = 4

126

Приложение Б (обязательное) Тексты публикаций

ORIGINAL PAPER

All-Dielectric Nanophotonics www.lpr-journal.org

The High-Order Toroidal Moments and Anapole States in All-Dielectric Photonics

Egor A. Gurvitz,* Konstantin S. Ladutenko, Pavel A. Dergachev, Andrey B. Evlyukhin, Andrey E. Miroshnichenko, and Alexander S. Shalin

All-dielectric nanophotonics attracts ever increasing attention nowadays due to the possibility of controlling and configuring light scattering on high-index semiconductor nanoparticles. It opens a room of opportunities for designing novel types of nanoscale elements and devices, and paves the way for advanced technologies of light energy manipulation. One of the exciting and promising prospects is associated with utilizing the so-called toroidal moment, being the result of poloidal currents excitation, and anapole states, corresponding to the interference of dipole and toroidal electric moments. Here, higher-order toroidal moments of both types (up to the electric octupole toroidal moment) are presented and investigated in detail via the direct Cartesian multipole decomposition allowing new near- and far-field configurations to be obtained. Poloidal currents can be associated with vortex-like distributions of the displacement currents inside nanoparticles, revealing the physical meaning of the high-order toroidal moments and the convenience of the Cartesian multipoles as an auxiliary tool for analysis. High-order nonradiating anapole states accompanied by the excitation of intense near-fields are demonstrated. It is believed that the results are of high importance for both the fundamental understanding of light scattering by high-index particles and a variety of nanophotonics applications and light governing on nanoscale.

1. Introduction

All-dielectric nanophotonics is one of the fastest-growing hot top-

ics in the field of modern research,'1' aimed at the investiga-

tion of nearly lossless high refractive index semiconductor and

E. A. Gurvitz, Dr. K. S. Ladutenko, Dr. A. B. Evlyukhin, Dr. A. S. Shalin ITMO University

49 Kronverkskiy pr., St. Petersburg, 197101, Russia E-mail: [e-mail] Dr. K. S. Ladutenko loffe Institute

26 Polytekhnicheskaya st., St. Petersburg, 194021, Russia Dr. P. A. Dergachev

National Research University Moscow Power Engineering Institute 14 Krasnokazarmennaya st., Moscow 111250, Russia Dr. P. A. Dergachev

National University of Science and Technology (MISIS) 4 Leninsky pr., Moscow 119049, Russia

©The ORCID identification number(s) for the author(s) of this article can be found under https://doi.org/10.1002/lpor.201800266

DOI: 10.1002/lpor.201800266

dielectric nanoparticles (e.g., Si, Ge, TiO2) for applications in the optical frequency range. Such structures can possess both electric and magnetic multipole resonances opening new and impressive possibilities to control all the components of light on nanoscale.'2'

The applications of the all-dielectric nanophotonics are widespread and manifold, for example, waveguides (discrete, unidirectional, lossless, etc.),'3,4' modulators,'5' directional sources (e.g., Huygens sources) of light and nanoantennas,'6' detectors,'7' devices for cloaking and invisibility,'8' phase metasurfaces,'9' etc. The development of the dielectric nanophotonics in the near future will allow different materials and devices to be invented for handling an optical signal of any complexity almost without losses.

Modern electrodynamic toolkit describing the light interaction with high-index dielectric particles is based on the multipole decompositions, for example, Cartesian,'10,11' spherical,'12' fractional,'13' and so on. In particular, we would like to mention the recently published very promising decomposition method based on the orthogonal Fano-Feshbach modes.'14' Recently, Cartesian multipole decomposition was substantially extended by introducing the so-called

Dr. A. B. Evlyukhin Institut für Quantenoptik Leibniz Universität Hannover Weifengarten 1, D-30167 Hannover, Germany Dr. A. B. Evlyukhin

Moscow Institute of Physics and Technology 9 Institutsky Lane, Dolgoprudny 141700, Russia Prof. A. E. Miroshnichenko

School of Engineering and Information Technology University of New South Wales Canberra Campbell, ACT 2600, Australia

Dr. A. S. Shalin Ulyanovsk State University Lev Tolstoy Street 42 432017 Ulyanovsk, Russia

www.advancedsciencenews.com

www.lpr-journal.org

toroidal moments.[15-17] When the optical size of a particle is large enough, the system can support displacement current oscillations along toroidal surfaces (besides the linear and closed loop charge currents oscillations) leading to the toroidal moments excitation.[18]

Toroidal moment may be equivalently represented as a circulation of an effective magnetic current.[19] During the last decade, there were some works reporting experimental results on the systems possessing a dominating toroidal response. The pioneer work was done for artificial toroidal metamolecules in Zheludev's group for microwave frequency range.[20] Later on, a toroidal electric dipole (TED) response was also demonstrated in the terahertz frequency range[21] and for the optical frequencies.[22-26]

Toroidal moments are not limited to the electric type; there are few works showing the existence of the corrections to magnetic dipole (MD) moments, which can be associated with the magnetic toroidal dipoles.[27-30] Thereby, the electric and magnetic toroidal moments complement the conventional electric and magnetic ones and form a full set of all possible sign permutations under the inversion of space r ^—r and time t ^ —t .[18]

It has been shown that electric and magnetic toroidal dipoles inherit the same "space" coordinates inversion property as the basic electric and magnetic dipoles. It is not the case for the "time" inversion: the toroidal electric dipole changes its sign and the toroidal magnetic dipole (TMD) does not, in contrast to the basic multipoles.

The system of currents providing toroidal response can cause oscillations of a vector potential outside a particle in the absence of the electromagnetic field[31]; a medium containing molecules with elements of toroidal symmetry can rotate the polarization of light,[32] etc. making it to be very interesting for investigation. On the other hand, the toroidal contributions could be hidden by stronger electric or magnetic dipole responses making their direct observation very difficult. Another problem for the characterization and observation of the toroidal moments is related to the fact that in the far-field zone, their contributions are identical to that of basic dipoles, which causes some discussions on the need of their introduction.[33,34]

Particularly, Fernandez-Corbaton et al.[34] demonstrate that dynamic toroidal dipoles do not have an independent physical meaning. For this, Alaee et al. and Fernandez-Corbaton et al.[33,34] considered dipole contributions to the fields generated by a local time-dependent current source in terms of spherical harmonics. And then using size expansion for dipole coefficient corresponding to a certain vectorial spherical harmonic, they obtained an expression for a basic dipole moment together with its toroidal counterpart declaring that the toroidal multipoles are simply the higher-order terms of an expansion of the spherical multipolar coefficients of electric parity. From the mathematical point of view, this approach is absolutely correct and can be used for multipole decomposition of external fields generated by local current sources. However, there is another method used in the present manuscript giving a possibility to get explicit contributions of toroidal type multipoles from the very beginning and showing their independence from the basic counterparts in terms of irreducibility of Cartesian tensors with respect to the SO(3) group.[35-37] This method includes a Taylor (multipole) expansion of the currents in source regions.[38] In this approach, the multipole definitions differ from the ones considered in

refs. [33,34]. For example, a toroidal dipole term appears as a third-order multipole moment and, naturally, differs from the electric dipole (ED) term. In many cases, this approach based on Taylor expansion can be very useful providing information about current configurations, which are responsible for resonant or antiresonant contributions of certain multipoles into generated (scattered) fields. In this context, the introduction of the toroidal type multipoles can be very reasonable from the physical point of view, because it can be used for an interpretation and prediction of new physical effects.

The electromagnetic field generated by toroidal dipole moments can interfere with the fields produced by electric and magnetic dipoles constructively forming super-dipole states,[21,39-41] or destructively giving rise to nonradiative current configurations—"anapole" states.[20,42,43] Now, the study of nonra-diative current configurations is in its initial stage, and only electric dipole "anapole" states of different orders[30,39,42-44] and magnetic "anapoles" (destructive interference of a magnetic dipole moment and a corresponding toroidal multipole)[45,46] are shown. The Mie theory allows the numerous zeros of the scattering coefficients for spherical particles to be investigated, but does not allow the basic and/or toroidal contributions corresponding to different current configurations to be distinguished.[28] Therefore, higher-order toroidal multipoles and anapole states were neither identified nor discussed.

Thus, in Section 2, we extend the Cartesian multipole expansion up to the fifth order limited by a magnetic 16-pole and electric 32-pole. The primitive multipoles are reduced to symmetric and traceless forms. Among the residual terms, the radiative ones form the first five toroidal moments (up to the third order—toroidal electric octupole (TEO) and toroidal magnetic quadrupole (TMQ)) and the second order toroidal correction to an electric dipole (TED2). We show the formal independency of the toroidal moments using the requirement of irreducibility of the tensors with respect to SO(3) group. In comparison to the third order approximation of the Cartesian multipole decomposition, the obtained results allow the detailed analysis of light scattering by optically large particles and pave the way for achieving new optical effects due to the additional degrees of freedom provided by new electric, magnetic, and toroidal multipoles contributions. In the summary of this section, we present a generalization of the cumbersome algebra for the calculation of power coefficients of multipole moments and multipole expansion of a scattered power, scattering cross section, and scattering efficiency.

Section 3 demonstrates the verification of the Cartesian multi-poles up to the fifth order via the comparison with spherical mul-tipoles and numerical calculations of a scattering efficiency. We show that a multipole accompanied by a toroidal moment fully coincides with the corresponding spherical multipole, where the basic Cartesian multipoles differ from the spherical ones exactly by the toroidal configurations of the displacement currents or fields inside the particles. For the multipoles of fourth and fifth orders, we obtain a mismatch caused by a lack of the higher-order toroidal moments.

In Section 4, we prove Cartesian multipoles to provide additional useful information about the current configurations in a system. For instance, we for the first time demonstrate the explicit impact of high-order toroidal moments into the first five "anapole" states (actually—zeros of contributions to the

www.advancedsciencenews.com

www.lpr-journal.org

Table 1. Primitive Cartesian multipoles.

Order

Electric type multipoles

Magnetic type multipoles

Pi = - f Jidv o J

Qj = X-\ rjJi + J v

O j = -

Sijki =

X ijklp = — I r

l- j rkrjJi + rkiiJj + riijJkdv

- rirkrjJi + rirkriJj + ririijJk + riikrjJkd v (O J

j rprirkrjJi + rprirkriJj + rpiliiijJk + rpiiikrjJl + ririfkfjJp

dv

mj = If(r x J) jd v

Qjp = \j rp (r x J)jd v

j = 4/ nrp (r x J)jdv

Yjpit = 4 j rtr,rp (r x J)jdv

far-field because of the destructive interference between basic and toroidal multipoles, however, with nontrivial near-fields) and the corresponding near-field maps.

2. Irreducible Multipole Moments

2.1. Primitive Multipole Moments: E-Field Multipole Decompositions

There are several widely known textbooks devoted to the multipole decomposition of a scattered field.[10,12] They describe the problem using irreducible infinite series of orthogonal sets implicitly comprising toroidal moments.[33] Other approaches[11'38'47,48] reveal toroidal moments via delta-function-based series or retarded potentials.

Let us follow[38] and consider a Taylor series of the retarded scalar and vector potentials.

t) =

A(R, t) =

— f

4nsо J

V

= — i = 4n J

P (r, t' + At)

|R - r|

d v

J (r, t' + At) |R - r|

dv

(1) (2)

Ei =

k2

JkR

4ns0 R

(ninj - n2(-pj + y Qjknk + T °fkpnknp

-ik3 - -k4 - \ + Sjkplnknpnl + — X-jkpltnknpnlnt I

1

ik

+ Sikjnkl —mj + 2c Çtjp np + rOjminpn

k2

2c

6c

+

ik3

24c

Yjpltnpnlnt

(3)

Here, p and J are charge and current densities in an infinitesimal volume dv, s0 and ¡i0 are vacuum permittivity and permeability. The vector from the origin of coordinates to the observation point is denoted as R = {R1, R2, R3}, where numerical indices correspond to x, y, z components, the vector from the origin of coordinates to an arbitrary point of the charge/current distribution area is denoted as r = {r1, r2, r3}, and retarded time at dv is (t' + At) = t -|R — r|/c, where c is the speed of light in vacuum and t! = t — |R|/c is the time retardation at the coordinate origin.'11' The time dependence is assumed to be e—l(0t, where co is the angular frequency (the full list of the used definitions and notation is shown in the Supporting information).

We perform an expansion of the scalar and vector potentials (e.g., Section 2, Supporting Information) omitting all near-field components, and apply Lorentz gauge E = —VO — A to obtain the E-field in the far-field zone in the vacuum

where k is a wave-number in vacuum, sikj is a Levi-Chivita symbol, and repeated indices imply the summation over them in accordance with the Einstein's notation (a summation is assumed to be over two repeating subscript indices. For example, substituting two repeating indices in fourth order tensor Sijkl gives the 2nd rank tensor Sjkk = Sjii + Sj22 + Sj33, where ij,k... = {1,2,3}); ni = Ri /|R|, and the primitive multipole moments are shown in Table 1.

The expansion of the electric field and the derivation of multipoles are given in the Supporting Information. In contrast to spherical multipoles, the order of Cartesian multipoles coincides with the order of the Taylor series expansion. Therefore, an electric dipole individually forms the first order, while an electric quadrupole (EQ) and a magnetic dipole form the second order, etc.

Starting with an electric quadrupole, all electric type primitive multipoles are overlined (see Table 2) in our notation; this denotes a symmetrical tensor. All the integral expressions of over-lined multipoles consist of the sum of tensor products of vectors with a cyclic permutation of indices. Later on, double overlined multipoles will correspond to symmetrical, traceless tensors, but primitive multipoles are not traceless in general.

Therefore, the multipole moments in Table 1 do not form a fully independent set[11,38]: the detailed explanation is given in the next section.

2.2. Formulation of Irreducible Basic Multipoles and Toroidal Terms

2.2.1. Irreducible Multipoles

Starting from Racah's works devoted to the tensor algebra operations and Wigner's developments on the group theory,[49,50] which are usually applied to the reduction of tensors in quantum mechanics (spin operators, angular moments, Hamiltonians, etc.), the irreducibility of tensors in physics became an inherent part of complex systems analysis.[35,36,51,52] The irreducibility appears from the requirement of a tensor defined on a group to be invariant under transformations defined for this group.

The Cartesian multipoles must be invariant with the respect to mirror reflections and rotations of the SO(3) group,[37]

V

www.advancedsciencenews.com

www.lpr-journal.org

Table 2. The set of the toroidal moments.

Order

Toroidal electric multipoles

Toroidal magnetic multipoles

j = T0 /(J 'r)rj -2r2jjdv

ТУ'' = 280 f 3r"Jj - 2r2(r ■ J)rjdv je) = / "(r ■ Jj + 2(J ■ r)r2Sjk-5r2(rjJk + rkJj)dv = 300 f 35(r ■ J)rjrkr, —20r2(JIrkrj + Jkrirj + Jjr,rk) + (SijSkp + SikSjp + SipSjk)[(r ■ J)r2 r p + "J pr v

Tf - g/ r 2(r x j ,

i

Tp = 7? r [rj (r x J)p + (r x J)jrp ]dv

which implies symmetrization and detracing of the Cartesian

tensors.[35,36,53]

The tensor symmetrization is performed using this simple relation

A 1 a - jii Aai ■■

(4)

{ai ■■an)

In the left part, an overlined tensor A defines a symmetrized tensor, and the round brackets (a1 ..an) in Equation (4) denote the summation over all possible permutations of the indices, for example

" - 1 Y^

m

An ...an —J2 (—I)" (2n — 2m — 1)!!

m—0

X £ s {ai ...an}

S An:m

a1 a2 a(2m—1) a(2m^ a(2m+1) a(n)

(5)

where | n | is rounded down to the nearest integer, double exclamation sign (!!) denotes double factorial, Àn:m denotes tensor of rank (n-m) contracted m/2 times (m is an even integer), and Saia2is a delta Kronecker symbol. Figure brackets {a1..an} correspond to the summation of tensors without index contractions over all possible indices permutation in respect to the symmetry ofthe delta Kronecker symbols. An example is Saia2 Avva3 =

{ai -«3}

Saia2 Avva3 + Saia3 Avva2 + Sa2« Avvai. The resulting symmetrized and traceless tensor is denoted using double overline mark such as A.

Therefore, by symmetrizing and detracing Cartesian primitive multipoles, we can derive arbitrary order toroidal moments (see Sections 3 and 4, Supporting Information). The far-field

multipole decomposition up to the magnetic 16-pole and electric 32-pole in tensor form is given for the electric field as

- 2

Ei — —-—eikR 4ns 0 R

(rnnj — n2 s,)(—1( pj + ) + ^ tf^

i-i = (e ) ikSd A( Qe Л -2 / = (ß ) i-Sd Y Oe)\

+ Tv Qj- + )n- + J l m +—Tj-p}n-np

—ik3 A — k4 A \ + —Sjkpin-npni + 120^AJkpii n-npnint )

(6)

1

i-Sd

+j — m, + t;- + - Qjp + T

r) + 2C(<

i^ /A (m) i-Sd A (Qm)^

-2

+ ^ j nPni + YJpitnpnin

-i-3 =

= 3! (Aijk + Aikj + Ajik + Ajki + Akji + Akij)

Next, we should perform tensor detracing procedure. Basically, the trace is well defined only for the 2nd rank tensors. After de-tracing the sum of the matrix, main diagonal elements should be zero. For tensors with rank > 2, the detracing operation is not so obvious. Following the Applequist's theorem,[54] we find traces of symmetrized multipoles using

I i I

6c

24c

Equation (6) shows the contributions of the irreducible multi-poles to the far-field. For simplification, let us also introduce its dyadic-like form as in, for example[38,53]

E =

-2

1

4ns0 R

p + i-±T(e) + ^T(2e) I X

cc

^ X n

i-+ 2

n

-2

+J ln x

nx ,, Q(e) + -Lp . n

n xll O(e) + ii-SL Oe)) ■ n ■ n

i-3

+--In X

24

+î2ô [n 4 ■n ■n ■n ■n)x n]]

+ i + T(m)) x n"

[n x • n • n • ^ x nj j

c i-

+ _ [n x ^(Q(m) + Q-^ ■ n

-2 + 6c

[n x (O(m) • n • ^ + - • n • n • ^ x n^j (6.1)

In Equation (6.1), high-order tensors (rank > 2) are denoted with hat (e.g., Q) and vectors such as E, p, m are bold. Note that here

n

n

www.advancedsciencenews.com

www.lpr-journal.org

and further the multipole sources are assumed to be localized in a medium with the relative dielectric permittivity sd. For better understanding, we provide a detailed table with all the notations in the Supporting Information. In the tensor form, we use subscript indices without the hat. The toroidal moments denoted by T with superscripts (e.g., T(Qm) contributing to the magnetic quadrupole (MQ)) will be discussed in the next section. The irreducible traceless and symmetrical Cartesian multipoles are double overlined and they are considered hereinafter. The relations seem to be quite cumbersome, and we will write them step by step with a necessary discussion. The dipoles have the same form as previously

Pj =

Uj v

mj = 1 J (r x J)jdv

The basic electric quadrupole is expressed as Qjk = rjJk + rkJj - 3j (r • J)dv

(7)

(8)

(9)

Equations (8) and (9) form the second order of the Cartesian multipoles. The third order is formed by the electrical octupole (EO)

j = j - 5 (Sjk Övvi + Sji öVVk + Sik Oj

where

-i

co J

r2 Jj + 2rj (r • J) d v

and the magnetic quadrupole Qm = l/ ((r x J)+ (r x J) prj ) d v

(10)

(10.1)

(11)

+ Sjl Svvpk + Skl Svvpj + Spi Svvjk)

1

IC (S pj Skl Suuvv + S pk Sjl Suuvv + S S S )

15

where the definitions of the lower rank constituent tensors are

(12)

Svvjp —

S —

uuvv —

-f

CO J

—i f

CO J

4

2 (r • J) rjrp + r2 Jjrp + r2 J prj - - (r • J) r2 d v

4 (r • J) r2 d v

(12.1)

The irreducible magnetic octupole is obtained after the sym-metrization and detracing the 3rd rank tensor and the sym-metrization of the residual 2nd rank tensors

omi — om - 5 (Sjp om+sß omp+s pt c^ )

+ m I 1

1 /= 1 \ 1 /= 1 \

— 3 Sajp I + 2 £ßalG ß ) — 3 Saji I Sap + ^ SßapG ß )

2

3

with the lower rank tensors

(13)

S(m) — Ojpi -

Om — 7 I r 2(r x J) d v,

—3 (

3 V Ojpi + Opji + Oijp

(m)

,

Sal —

— 41'

J r2 (Jira + Ja ri) - 2 (J • r) ra ri d v,

—-4 f

Gß — -- r2 (r x J)ß dv

(13.1)

The electric 32-pole and magnetic 16-pole form the fifth order of the basic Cartesian multipoles. The irreducible electric 32-pole is obtained after detracing the 5th rank tensor and detracing the resulting 3rd rank tensors

— _ - 1 V^ = 1 V^ -

Xjkplt — XSjkpit - 9 SjkXvvplt - 35 SjkSpi XSvvuut (14)

{jkpit}

35 {jkpit}

The fourth order of the basic Cartesian multipoles consists of the electric 16-pole and the magnetic octupole. The basic electric 16-pole is obtained by detracing the 4th rank tensor and then detracting again its residual 2nd rank resulting tensors

Sjkpi — Sjkpi 7 (Spj Svvki + SpkSvvji + SjkSvvpi