Метафотоника на основе резонансных диэлектрических структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, доктор наук Кившар Юрий

• Кившар Юрий
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Кившар Юрий

Реферат

Synopsis

CHAPTER 1. Introduction

CHAPTER 2. Resonances in dielectric particles

2.1 General remarks

2.2 Anapoles

2.3 Bound states in the continuum

2.4 Comparison and discussions

CHAPTER 3. Metasurfaces

3.1 General remarks

3.2 Metasurfaces and bound states in the continuum

3.3 Sensing with dielectric metasurfaces

CHAPTER 4. Nonlinear metaphotonics

4.1 General remarks

4.2 Basic foirmalism

4.3 Nonlinear effects at the nanoscale

4.4 Nonlinear metasurfaces

CHAPTER 5. Topological metaphotonics

Summary and conclusions

Bibliography

APPENDIX A. Main journal papers

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метафотоника на основе резонансных диэлектрических структур»

Реферат Общая характеристика работы

Актуальность темы. 21-й век станет веком фотоники. Использование света будет ключом к изменяющим жизнь технологиям, от энергетики до безопасности, от биотехнологий до недорогого высокоэффективного производства, от Интернета и новых ЫП - технологий до обработки информации на квантовом уровне. Многие важные отрасли, от производства микросхем и микролазеров, здравоохранения и наук о жизни до космоса, обороны и автомобилестроения используют функциональные свойства света. Технологии будущего должны внедрять фотонные субволновые элементы с энергетической эффективностью, намного превосходящей объемные оптические компоненты, кремниевую фотонику и плазмонные схемы. Новый уровень интеграции может быть достигнут путем встраивания функций обработки и передачи данных непосредственно на уровень материала, а не чипа, и единственным возможным решением этих новых задач является использование нанофотоники [1,2] в сочетании с недавно возникшими концепциями метаматериалов и ешрЬметафотоники, которые основаны на структурировании материалов на субволновых масштабах.

Благодаря метаматериалам были открыты новые направления в фотонике, от субволновой фокусировки до способности контролировать магнитный отклик немагнитных материалов. Однако большинство конкретных структур с магнитным откликом, предложенных и изученных до настоящего времени, содержат металлы, которые, как известно, обладают высокими потерями на оптических частотах, что существенно ограничивает возможности их использования на практике. Принципиальный вопрос заключается в том, как удалить металлические компоненты, сохраняя при этом магнитный отклик в метаустройствах с низкими потерями. Несколько лет назад было продемонстрировано, что субволновые наночастицы с высоким диэлектрическим индексом обладают индуцированными магнитными ди-польными резонансами и, в отличие от металлических плазмонных наноча-стиц, для них не существует проблемы омических потерь из-за отсутствия

свободных зарядов. Следовательно, диэлектрические наночастицы с высоким индексом могут заменять металлические элементы в наноразмерных метафотонных структурах, как это обсуждалось теоретически и продемонстрировано экспериментально [3-6]). Полностью диэлектрическая резонансная метафотоника использует субволновые Ми-резонансные диэлектрические наночастицы с высоким индексом в качестве элементарных единиц (или «метаатомов») для создания высокоэффективных оптических мета-устройств. Ожидается, что благодаря уникальным оптическим резонансам, которые сопровождаются сильной локализацией как электрического, так и магнитного полей, высокоиндексные диэлектрические субволновые структуры заменят плазмонные элементы в различных фотонных устройствах ближайшего будущего.

Отдельные диэлектрические наночастицы простой геометрии могут поддерживать резонансы как электрического, так и магнитного типа с одинаковой эффективностью. Сильный магнитный дипольный резонанс возникает из-за взаимодействия падающего света с круговыми токами смещения электрического поля вследствие проникновения поля и замедления фазы внутри частицы. Это происходит, когда длина волны внутри высокоиндексного материала частицы становится сравнимой с размером частицы, а именно 2Я « Хп , где п - показатель преломления материала, Я - радиус наночастицы, Л - длина электромагнитной волны. Это тип геометрического резонанса, который реализуется для частиц с большим показателем преломления чтобы поддерживать сильные магнитодипольные резонансы [7] в субволновом режиме. Аналогично, диэлектрическая наночастица может поддерживать другие резонансы, в которых доминирует электрический диполь, а также другие мультиполи высокого порядка, такие как электрические квадрупольные и магнитные квадрупольные резонансы.

Более того, в диэлектрических структурах может наблюдаться целый ряд новых эффектов, возникающих из-за интерференции нескольких мод, при этом следует отметить, что интерференция электрических и магнитных дипольных резонансов связана с эффектом Керкера [8,9]. Первоначально эффект Керкера был описан для гипотетической магнитной сферы

и не привлек большого внимания из-за малого количества различных магнитных материалов. Второе рождение эффекта Керкера связано с быстрым развитием физики метаматериалов с основной концепцией оптически индуцированного искусственного магнетизма, в результате чего изучение эффекта Керкера получает существенный импульс и быстро проникает в различные отрасли нанофотоники. В то же время концепция самого эффекта также была значительно расширена и обобщена. В контексте интерференции нескольких мод резонатора два важных явления - оптические анаполи и связанные состояния в континууме (в английской литературе - bound states in the continuum, сокращенно BIC) вводятся и обсуждаются в этой работе, включая их роль для усиления нелинейных эффектов.

Оптические метаповерхности представляют собой тонкослойные объекты с субволновой структурой [10,11], которые сильно взаимодействуют со светом и напоминают дифракционные решетки и массивы металлических нанопроволок, размещенные на подложках диэлектрических волноводов [12], а также другие периодические структуры. Концепция метаповерх-ностей стала логическим расширением области метаматериалов, в том числе в направлении их практического применения. Кроме того, в последнее время мы наблюдаем появление нового сегмента метаустройств, объединяющего устройства, обладающие уникальными и полезными функциональными свойствами, реализованными путем структурирования вещества в масштабе субволны. Действительно, постоянно растущий спрос на более быструю передачу и обработку информации мобилизует усилия по устранению дисбаланса между волоконно-оптическими телекоммуникационными сетями и электронной обработкой и маршрутизацией данных, оптимизируя хранение информации и развивая параллельную обработку данных в ограниченном пространстве. Выполнение этих задач потребует интенсивных и быстрых нелинейных процессов для переключения света светом и контроля электромагнитных свойств вещества с помощью внешних воздействий, таких как электрические сигналы.

Резонансы Ми обычно связаны с локализацией падающего электромагнитного поля внутри частиц, что предполагает усиление по меньшей

мере на два порядка многих оптических эффектов, наблюдаемых у диэлектрических наночастиц с высоким индексом по сравнению с нерезонансными случаями. Это приводит к новым возможностям, связанным с сильной локализацией света и нелинейными эффектами [13], часто связанными с возбуждением интенсивных оптических мод.

Наконец, быстро растущие потребности в обработке информации привели к гонке за компактными и эффективными оптическими устройствами, передающими сигналы без потерь. Недавно опубликованные исследования топологических фаз света [14-16] открывают уникальные возможности для создания новых фотонных систем, невосприимчивых к потерям из-за рассеяния и беспорядка. Ввиду топологической защищенности можно ожидать расширение функциональных возможностей нелинейных и невзаимных топологических структур. В этой работе мы обсуждаем нелинейную топологическую фотонику и последние разработки в области объединения топологической фотоники с нелинейной оптикой для управления световыми потоками.

Резюмируя, резонансные диэлектрические наноструктуры обеспечивают альтернативное решение для повышения производительности многих нанофотонных устройств, которые ранее использовали металлические элементы и плазмонные эффекты. Исследование резонансной диэлектрической метафотоники стало новым направлением в области метаматериалов и на-нофотоники, можно ожидать, что в результате будут дополнятся или заменятся различные плазмонные компоненты в фотонных устройствах. Резонансное поведение в совокупности с низкими потерями позволяет воспроизводить многие субволновые эффекты, уже продемонстрированные в нано-размерной плазмонике, без существенных энергетических потерь и, кроме того, привносит много новых концепций для практических применений. Мы ожидаем, что новая физика, основанная на полностью диэлектрической резонансной метафотонике, возникшая на базе старых концепций рассеяния Ми и квантовых связанных состояний в континууме и обогащенная недавними открытиями, приведет к созданию нового направления в современной нанофотонике.

Основные цели работы.

• Разработать новые теоретические концепции для уникальных мета-фотонных структур с низкими потерями, основанные на физике диэлектрических наночастиц с Ми-резонансами, основываясь на концепциях суперрезонансных мод и оптических нелинейностей, а также используя интенсивные магнитные и электрические резонансы Ми в на-норазмерных структурах и метаповерхностях;

• Разработать и проанализировать численно различные фотонные структуры и метаустройства с нетривиальной геометрией для управления однонаправленными световыми потоками, в том числе топологические фотонные структуры нового поколения, невосприимчивые к беспорядку и потерям на рассеяние;

• Экспериментально реализовать первые в мире высокоэффективные и компактные фотонные метаповерхности и метаустройства с малыми потерями для передовых технологий, которые будут обеспечивать функции сенсора, генерации оптических гармоник, управления световыми потоками.

Научные задачи работы включают, но не ограничиваются, следующими ключевыми направлениями:

1. Изучить мультипольные свойства рассеяния Ми на диэлектрических структурах с высоким индексом и интерференцию мультипольных моментов, которая описывается обобщенным эффектом Керкера.

2. Описать свойства нетривиального рассеяния, связанного с интерференцией дипольных и тороидальных мод с образованием слабоизлуча-ющего состояния анапольной моды.

3. Проанализировать особенности рассеяния Ми и резонансов Фабри-Перо в резонаторах конечных размеров с сильной связью, поддерживающих связанные состояния в континууме.

4. Изучить нелинейные эффекты, такие как генерация второй и третьей гармоник, вызванные магнитными дипольными модами Ми и связанными состояниями в континууме.

5. Разработать, изготовить и охарактеризовать экспериментально широкополосные высокоэффективные диэлектрические метаповерхности и метаустройства для контроля поляризации.

6. Разработать и продемонстрировать новый вариант нелинейных мета-поверхностей, в том числе нелинейных линз.

7. Разработать новый тип пиксельных метаповерхностей, которые функционируют благодаря связанным состояниям в континууме, и применить их для биосенсоров и основанного на визуализации молекулярного штрих-кодирования.

8. Разработать и охарактеризовать первые нелинейные фотонные структуры и двумерные нелинейные метаповерхности с нетривиальной топологией.

Основные положения, выносимые на защиту

• Оптические анаполи в изолированных диэлектрических частицах возникают благодаря деструктивной интерференции дипольных и тороидальных моментов электромагнитных полей с существенным подавлением излучения в дальней зоне.

• Обобщенный эффект Керкера может возникать при интерференции мультипольных моментов рассеяния Ми на наночастицах с высоким диэлектрическим индексом.

• В диэлектрических метаповерхностях с резонансами Ми экспериментально наблюдаемая эффективность пропускания света превышает величину 90% благодаря обобщенному эффекту Гюйгенса.

• Новые типы пиксельных метаповерхностей, функционирующие на основе связанных состояний в континууме, могут быть использованы для биосенсинга и молекулярного штрих-кодирования на основе изображений.

• Генерация второй гармоники в субволновых диэлектрических резонаторах ЛЮаЛэ может достигать эффективности преобразования 0,1% в ближней инфракрасной области благодаря возбуждению новых высокодобротных мод, определяемых оптическими связанными состояниями в континууме.

• Нелинейные диэлектрические метаповерхности могут быть созданы и использованы для генерации частот, нелинейного отклонения лазерного луча, нелинейной фокусировки и нелинейного переключения. Существенное усиление генерации третьей гармоники реализуется в топологических зигзагообразных массивах Ми-резонансных диэлектрических наночастиц и двумерных нелинейных топологических ме-таповерхностях за счет возбуждения топологических краевых состояний.

Научная и практическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты заложили основу для нового направления в нано-фотонике и могут быть использованы для следующего поколения систем метафотоники и метаустройств, а также для многих приложений, таких как планарная оптика, управление и контроль световых потоков, оптическая визуализация и томография, биосенсинг. В рамках этой работы были разработаны универсальные аналитические и численные методы для создания новых наноструктур с усиленным магнитным откликом и высокими значениями добротности (^-фактора) для достижения требуемых свойств, недоступных в природных материалах. Разработанные методы были использованы для изготовления и характеризации новых типов метаустройств.

Мы полагаем, что будущая платформа для высокоинтегрированной нанофотоники появится благодаря сочетанию нелинейных, управляемых и переключаемых функциональных возможностей диэлектрических резонансных структур с низкими потерями и высоким диэлектрическим индексом. Управление световыми потоками будет осуществляться путем создания «электромагнитного пространства» с использованием уникальных свойств таких резонансных структур определяемых, в том числе, оптическим магнетизмом.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием современных методов численного моделирования и экспериментальных исследований, которые всесторонне апробированы и широко применяются, а также соответствием полученных экспериментальных результатов дан-

ным численного моделирования. Воспроизводимость полученных экспериментальных результатов подтверждается серией численных расчетов и экспериментальных измерений с использованием различных методик.

Внедрение результатов работы. Предложенные концепции и базовые теоретические результаты использовались многими группами в их исследованиях со ссылками на наши работы. Образцы, разработанные и изготовленные в ходе данной работы, используются для проведения экспериментальных исследований в различных микроволновых и оптических лабораториях. Результаты автора оказывают заметное влияние на работы в прикладных областях, в частности, они были процитированы 274 раза в различных патентных заявках, что является еще одним свидетельством быстро растущего воздействия этих исследований на промышленность.

Апробация. Основные результаты исследований были представлены и обсуждались на более, чем 50 международных конференциях, в том числе на приведенных ниже приглашенных докладах, сделанных в последние годы:

• (Keynote) ICMAT 2019 International Symposium (Singapore, June 2019);

• (Invited) CLEO/QELS (San Francisco USA, May 2019);

• (Keynote) SPIE Photonics West (San Francisco, USA, February 2019);

• (Plenary) Annual Meeting of the Chinese Optical Society (Guangzhou, China, Nov 2018);

• (Plenary) Laser Physics Conference LIMIS'2018 (Changsha, China, November 2018);

• (Keynote) Optics and Photonics Taiwan Conference OPTIC 2017 (Taiwan, December 2017);

• (Plenary) Optics and Photonics Symposium OPS-NKU2017 (Tianjin, China, October 2017);

• (Invited) OSA Frontiers in Optics Conference (Washington, USA, September 2017);

• (Keynote) SPIE Congress (San Diego, USA, August 2016);

• (Keynote) ICMAT 2015 International Symposium (Singapore, June 2015);

• (Plenary) Metamaterials: Fundamentals and Technology (San Diego, USA, July 2015);

• (Plenary) Advances in Optoelectronics and Micro-optics (Hangzhou, China, October 2015);

• (Plenary) Photonics Middle East International Symposium (Doha, Qatar, December 2015).

Публикации. Результаты диссертации были опубликованы в более чем 100 статьях, которые проиндексированы в Scopus и Web of Science, основные 40 публикаций перечислены в конце реферата, среди которых 20 публикаций составляют часть диссертации в виде прикрепленных файлов PDF. Результаты диссертации основаны на высоко цитируемых статьях, индекс Хирша автора согласно базе данных Web Of Science на сентябрь 2019 года составляет H=100.

Авторский вклад. Автор руководил всем проектом, внес решающий вклад в выбор методов, реализаций и стратегий, провел ряд теоретических и экспериментальных исследования и получил конкретные результаты, а также сыграл ведущую роль в подготовке научных публикаций по итогам выполненных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и 20 основных публикаций автора (Приложение А). Общий объем диссертации составляет 286 страниц, включая библиографию из 156 наименований и 19 рисунков, содержащихся в основном тексте.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава представляет краткое введение в область исследований; в ней обсуждается мотивация работы, дается обзор сопутствующей

литературы по изучаемым темам, формулируются основные цели исследования, а также обосновывается новизна исследования и его практическая значимость.

Во второй главе диссертации обсуждается широкий спектр проблем, связанных с резонансами Ми, мультипольными модами и их интерференцией, включая обобщенные эффекты Керкера, и демонстрируется, насколько существенную роль играют эти эффекты в различных оптических явлениях и как реализуются в соответствующих практических приложениях.

Сначала обсудим симметрию фазы в дальнем поле для излучения электромагнитных мультиполей и продемонстрируем, как различные комбинации мультиполей могут обеспечить теоретическую основу для формирования картин рассеяния. Затем мы рассмотрим обобщенные эффекты Керкера для отдельных частиц и кластеров с конечным числом частиц, обсуждая операции как с дифференциальными, так и с полными сечениями рассеяния. Мы продемонстрируем, как обобщенные эффекты Керкера напрямую связаны с различными функциональными возможностями мета-фотоники, включая идеальную передачу, идеальное отражение, управление дифракцией высшего порядка и идеальное поглощение.

На рис. 1 схематически показана симметрия фазы в дальнем поле при излучении резонансно возбужденных мультиполей вплоть до квадру-полей (средний ряд), где предполагается, что возбуждающая плоская волна распространяется слева, а электрическое поле в плоскости направлено вниз. Для каждого мультиполя для ясности показаны только диаграммы рассеяния в плоскости (фиолетовая кривая) и вне плоскости (синяя кривая). Излучаемые электрические поля всех мультиполей интерферируют деструктивно в прямом направлении относительно падающей волны (все направленные вверх стрелки), как того требует оптическая теорема [6]. Что касается излучаемых в обратном направлении электрических полей, то фаза будет определяться симметрией каждого мультиполя.

Чтобы подавить рассеяние в обратном направлении, мы можем не только использовать совпадение частот электрической дипольной (ЕЭ) и

ЕБ+Е<3 МЕн-Мр

О о 80

ЕО+МЕ> ЕО+ЖНЕ<3+Мд Ед+Мр

Рисунок 1 — Фазово-симметрийный анализ для электромагнитных мультиполей вплоть до квадруполей (средний ряд - стрелки указывают излучаемые электрические поля в прямом и обратном направлениях) и различные сценарии перекрытия для подавления рассеяния назад (верхний и нижний ряды). Как для изолированных, так и для перекрывающихся по резонансной частоте мультиполей для наглядности показаны только диаграммы рассеяния в плоскости (фиолетовые кривые) и вне плоскости (синие кривые). Картины рассеяния являются азимутально-симметричными (диаграммы рассеяния в плоскости и вне плоскости идентичны) для перекрывающихся электрических и магнитных мультиполей одного порядка (нижний ряд).

магнитной дипольной (МБ) моды, как в простейшем случае источника Гюйгенса, но и в общем случае учитывать мультиполи с противоположной четностью (мультиполи одной природы, но разного порядка или мультиполи одного и того же порядка, но разной природы, см. верхний и нижний ряды на рис. 1). Более того, перекрытие по частоте большего числа электрических и магнитных мультиполей более высоких порядков не только подавило

Electric dipole Toroidal dipole Anapole

Bound state in the continuum

Aspect ratio, l/r

Рисунок 2 — Два типа слабо излучающих оптических мод. Вверху: слабо излучающее оптическое состояние анаполя возникает благодаря интерференции одновременно возбуждаемых дипольной и тороидальной оптических мод, которые могут возбуждаться в одной резонансной диэлектрической наночастице. Внизу: появление связанных состояний в континууме для одной наночастицы происходит из-за изменения аспектного отношения 1/г и сильной связи оптических мод типа Ми и Фабри-Перо.

бы обратное рассеяние, но также и улучшило бы диаграмму направленности для рассеяния вперед. Дополнительно были бы подавлены боковые лепестки диаграммы рассеяния; см., например, отмеченный желтой стрелкой случай в нижнем ряду на рис. 1 с перекрывающимися ED, MD, электрической квадрупольной (EQ) и магнитной квадрупольной (MQ) модами. Передний рассеивающий лепесток может быть дополнительно коллимирован с помощью специально разработанных массивов перекрывающихся мультиполей.

Изолированная диэлектрическая наночастица может поддерживать резонансы, в которых преобладают не только электрические и магнитные диполи, но также и другие мультиполи высокого порядка, такие как квадру-польные и тороидальные моменты. В качестве примеров такой интерферен-

ции мы рассмотрим два экзотических состояния, связанные с резонансами Ми в высокоиндексных диэлектрических структурах и известные как оптические анаполи и связанные состояния в континууме. Эти состояния могут привести к значительному усилению субволнового поля на нано-масштабах в зависимости от геометрии структуры (см. рис. 2).

Термин анаполь, означающий «без полюсов», был первоначально предложен в конце 50-х годов Яковом Зельдовичем для моделирования элементарных частиц, которые не взаимодействуют с электромагнитными полями. Анапольные состояния были исследованы в астрофизике, так как они могли объяснить происхождение и состав темной материи во Вселенной в рамках классической физики.

В контексте неизлучающих источников теория, разработанная в 90-х годах, продемонстрировала, что различные типы неизлучающих состояний могут быть образованы путем объединения классических электрических и магнитных дипольных мод с электромагнитными тороидальными мульти-полями в конфигурациях, в которых угловое распределение плотности энергии имеет одинаковую амплитуду, но противоположную фазу. Простейшая из этих конфигураций создается тороидальной дипольной модой, которая колеблется в противофазе относительно одиночного электрического диполя. Было отмечено, что такое особое интерференционное состояние образует простой, но нетривиальный неизлучающий точечный источник, который впоследствии был определен как элементарное динамическое анапольное состояние или просто анаполь. На рис. 2 (вверху) изображено концептуальное представление анапольного состояния в виде суперпозиции электрических дипольной и тороидальной дипольной мод. Особенностью этих двух диполей является то, что их распределение в дальнем поле идентично. Для определенного набора параметров эти два диполя могут полностью компенсировать друг друга путем деструктивной интерференции в дальнем поле при колебаниях в противофазе, что приводит к образованию слабо излучающего анаполя.

Связанные состояния в континууме (В1С) возникают из-за сильной связи между модами в диэлектрических структурах, таких как фотонные

кристаллы, метаповерхности и изолированные резонаторы. Эти состояния были введены в квантовую механику 90 лет назад Дж. Фон Нейманом и П. Вигнером, в то время как в фотонике они были обнаружены всего несколько лет назад. Важно отметить, что истинно связанное состояние в континууме в фотонике является математической абстракцией с бесконечным значением добротности ((^ фактор) и исчезающей шириной резонанса. Такое состояние может существовать только в идеальных бесконечных структурах без потерь или для экстремальных значений параметров. На практике состояния, которые охарактеризуются как квази- В1С, может быть реализовано в качестве суперрезонансных мод, когда как добротность , а также резонансная ширина остаются конечными, однако асимптотически приближаются к математическому условию В1С.

Одной из ключевых задач для создания высокоэффективного лазера является локализация света в оптическом резонаторе. Обычный оптический резонатор локализует свет, используя реальные или эффективные зеркала, либо эффект полного внутреннего отражения или рассеяния на периодических микроструктурах, таких как фотонные кристаллы. Удержание света во всех таких системах характеризуется добротностью - мерой эффективности отражающих границ. Недавно было продемонстрировано, что даже одиночный субволновой резонатор, изготовленный из диэлектрика с высоким индексом п, может быть настроен на режим, поддерживающий квази-В1С состояния. Это может быть достигнуто путем варьирования геометрических параметров цилиндрической наночастицы, когда при определенном аспек-тром отношении 1/г радиационные потери практически подавлены из-за деструктивной интерференции утекающих мод (Рис. 2), и возникает новый тип оптической моды - суперрезонансная мода.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Кившар Юрий, 2019 год

— ED /

. — MD y ,

L.0 1.1 1.2 1.3 Wavelength (nm)

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

Wavelength (nm)

Wm.E-field5 °THG dlsk/THG sub10

Figure 2. Spatially resolved THG from individual Si nanodisks enhanced by the magnetic resonance. (a) Scanning electronic microscopy image of an array of silicon nanodisks with d = 360 nm, h = 260 nm, and p = 2.85 ^m. (b) Experimental normalized transmission spectrum of the sample (black) with the pump pulse spectrum denoted with the red area. ED denotes the position of the electric dipole resonance, and MD shows the position of the magnetic dipole resonance. (c) Calculated scattering cross section (SCS) spectra of the nanodisks (black) decomposed to electric dipole (red) and magnetic dipole (blue) contributions with corresponding electric field distributions. (d) Microscopic image of the sample taken with a scanning optical microscope by detecting THG signal at X = 413 ± 5 nm. The signal is normalized by the signal acquired under the same conditions from the substrate area. Local-field-enhanced THG is seen at the nanodisk sites as compared to the substrate between them.

the mentioned factors are taken into account in Figure 2;the role of the lattice spacing is discussed in Supporting Information, Section VI.

In order to straightforwardly indicate the enhanced nonlinear response from single nanodisks, we perform THG microscopy and laser scanning microscopy using a confocal microscope and an external femtosecond optical parametric oscillator as a pump (see Supporting Information, Section II). Figure 2d shows an image of the first nanodisk array taken in the regime of the THG signal detection by tuning the spectrometer to the region of the TH radiation detection at 413 nm. Here, the pump radiation centered at Apump = 1.24 ^m is focused to a spot of approximately 5 ^m in diameter to specifically address the magnetic dipole resonance of four nanodisks. THG is seen to be enhanced by a factor of up to 10 at the nanodisk sites if compared to THG from the bulk substrate in between them, despite that the substrate contains a silicon slab which is roughly 0.5 mm thick.

To further investigate the role of the magnetic resonance in the enhanced nonlinear response of the nanodisks, we perform THG spectroscopy measurements. Bulk silicon possesses a high intrinsic third-order nonlinear susceptibility of up to X3 = 2.5 X 10-10 esu3 as well as significant X3 dispersion in the spectral range of interest caused by the resonant coherent three-photon direct transitions at 3hw = 3.45 eV. To unambiguously disclose wavelength-dependent contributions coming specifically from the nanodisks and their magnetic dipole resonances, for each pump wavelength, THG was measured consecutively from the nanodisk arrays and from the adjacent area where the top silicon layer was etched away. Because the source of both TH signals is bulk silicon, normalizing THG from the samples by THG from the unstructured area cancels out the ,X(3)(X) dispersion.

The relative density of the disks is very important for higher yield of the TH radiation. Therefore, we measure the THG spectra for the nanodisk array with a smaller period of p = 0.8 ^m. Also, we match the thickness of the disks to the penetration depth of the TH radiation into Si at the magnetic dipole resonance for better extraction of the TH from the whole nanodisk volume (see Supporting Information, Section V). As indicated with the gray area in Figure 3a, the sample possesses a resonance at 1.24 ^m with considerable magnetic dipole component as indicated in Figure 3b. The resonance is characterized by enhanced local electric fields tightly bound within the nanodisk volume. Because the third-order nonlinear polarization scales with the local fields cubed, one expects a considerable enhancement of the nonlinear optical effects, including THG, from the disks pumped by the resonant laser radiation. This is proved by the THG spectrum of the sample shown with purple dots. We observe the resonance of the nanodisks enhance the THG by the factor of up to 100 as compared to the bulk silicon slab at the fundamental wavelength of X = 1.26 ^m. This generates the 420 nm radiation bright enough to be observed by naked eye under the table-lamp illumination conditions as shown in the inset of Figure 4.

The THG resonance is seen to be split into two. The splitting can be connected to the microscopic structure of the fields within the disks and their multipole moments. Figure 3b shows the simulated transmission of the fundamental frequency through the disk array and substrate. This simulated transmission is in good agreement with that measured in the experiment. We extract the electric and magnetic dipole

Third harmonic wavelength (nm) 350 400 450

150

100

ID X

ra 50 E

! i A; v i

(a)]1-25^

O -%

ÚÍ

0.75 =

o.s

L.O 1.1 1.2 1.3

Fundamental wavelength (nm)

0.25 I

o

3

6

c o

E 2

o

- Electric dipole \ A (b)

-- Magnetic dipole 1 A __-

/1

1.0 1.1 1-2 1.3 1.4

Wavelength (nm)

Figure 3. (a) THG spectroscopy of Si nanodisk arrays. The negative logarithm of the normalized transmission spectrum of the sample with p = 0.8 ^m, h = 220 nm, and d = 0.5 ^m is given with the gray area indicating a resonance at 1.24 ^m. The THG spectrum of the sample normalized over the spectrum of the substrate is shown in purple dots to be strongly enhanced within the spectral band of the resonance. The inset shows the SEM image of the sample fragment. The scale bar is 500 nm. (b) The simulated transmission spectrum of the fundamental wavelength through the disk array and substrate, showing good agreement with the observed transmission in the experiment. The overlaid blue and red curves give the magnitude of the electric and magnetic dipole moments (respectively) induced in a single disk in the transmission simulation. These dipole moments demonstrate that the electric and magnetic resonances are either side of the observed transmission resonance. The two-peak structure of each dipole moment spectrum contributes to the two-peak THG spectrum in (a).

moments of an individual disk by integrating the induced currents according to the standard expressions for the dipole moments.18 These dipole moments represent the main multipole moments of the system as seen in the reconstructed transmission spectra (see Supporting Information, Section VI). As follows from Figure 3b, the electric and magnetic resonances are in fact either side of the main resonance observed in transmission, respectively. This stems from the fact that the electric resonance of the sparse nanodisk array undergoes considerable red shift upon decreasing the period of the array and comes to a partial overlap in with the magnetic resonance. The locations of the resulting two resonances notably correspond to the peaks of the observed TH signal as could be expected.

The nanodisks demonstrate a remarkable resonant THG conversion efficiency. To estimate the efficiency, we first calibrate the PMT output by measuring the TH beam directly with a calibrated photodiode power meter (see Supporting

Peak pump intensity (GW/cm1) 2 4 6 8

10 15 20 BO 40 50 Pump power (mW)

Figure 4. Power dependence and conversion efficiency of the resonant THG process in Si nanodisks. Blue circles denote the THG power dependence upon increasing the power of the pump, while red circles denote the reverse procedure both obtained at X = 1.26 ^m fundamental wavelength. The reversibility of the process, as well as the deviation at 5 GW/cm2 pump peak intensity from the cubic dependence given by the black line are demonstrated. The left inset shows a photographic image of the sample irradiated with the invisible IR beam impinging from the back side of the sample as indicated by the red arrow. The blue point represents the scattered TH signal detected by the camera. Note the colors are not reproduced reliably. The right inset shows the conversion efficiency of the nanodisk sample as a function of the pump power.

Information, Section IV). The maximum time-averaged yield of the TH radiation from the disks at X = 420 nm is measured to be P3m a 4 nW, which is observed by naked eye;see the corresponding inset of Figure 4. As proved by measuring a reversible P3m(Pm) dependence shown in Figure 4, the sample does not undergo irreversible changes even after being irradiated with high-power resonant laser pulses, making it a more attractive tool for the wavelength conversion than any highly absorbing surface plasmon-enhanced media reported thus far.6'8'19 21 Here, up until the pump power of Pm = 30 mW (peak intensity a 5.5 GW/cm2), the dependence represents the expected cubic law, whereas for the higher pump power values the dependence comes to a saturation regime, which is discussed below. The maximum efficiency of IR-to-visible conversion is calculated as n = P3m/Pm and is estimated to peak at n a 10-7. To compare to the previously known record in silicon set by the slow light in photonic crystal waveguides,22 the nanodisks provide similar conversion rate being essentially a subwavelength device. This improvement can be explained by both higher X3 value observed closer to the three-photon direct transition wavelength at 3hw = 3.45 eV and lower two-photon absorption build-up sensitivity threshold: in our system the critical peak intensity value is a5 GW/cm2, whereas for ref 22, it is 2.5 MW/cm2.

The saturation regime comes as a limitation of using an SOI wafer: at these powers, free carriers generated via two-photon absorption in the bulk Si substrate lead to free-carrier absorption of the pump beam. Using proper expressions23 and data on two-photon absorption (¡ = 0.5 cm/GW and Imx(3) = 3 X 10-12 esu at 1.2 ^m),24 we calculate the free-carrier absorption attenuation constant to be approximately 10 cm-1 at the peak pump intensity of 5 GW/cm2. This corresponds to 1 mm 1/e penetration depth of the pump, which is comparable to the thickness of our substrate and could possibly address the observed saturation. We anticipate that by

using the reflection geometry or a sample with no underlying Si substrate the threshold intensity of the two-photon absorption effect could be increased by approximately 4 orders of magnitude limited by the thickness of the disks. This could allow for a vast increase of the conversion efficiency;however, note that under these conditions, various limiting factors will start to play a role, such as, for example, the quality of the sample surface and the properties of the environment. Further optimization of the TH yield and output wavelength could be performed by more sophisticated design of the nanoparticles.

In conclusion, using third-harmonic generation microscopy and spectroscopy techniques, we have observed enhanced third-order optical nonlinearities of silicon nanodisks in the vicinity of the magnetic dipolar resonances pumped by femtosecond laser pulses. The efficiency of the IR-to-visible conversion is enhanced by 2 orders of magnitude with respect to the unstructured bulk silicon slab. High conversion efficiency of И10-7 is found to be limited only by two-photon absorption in the substrate. We believe the results will pave a way to establishing novel efficient platforms of nanoscale resonant nonlinear optical media driven by optically induced magnetic response of low-loss high-index nanoparticles.

■ ASSOCIATED CONTENT [» Supporting Information

The detailed information on the used methods and technical results. This material is available free of charge via the Internet at http://pubs.acs.org.

■ AUTHOR INFORMATION Corresponding Author

*E-mail: [e-mail]. Notes

The authors declare no competing financial interest.

■ ACKNOWLEDGMENTS

The authors would like to thank L. Novotny and H. Giessen for useful comments and suggestions, as well as A. Fedotova for her assistance with the experiment automatization. The authors acknowledge the financial support from Russian Science Foundation (grant #14-12-01144) and Russian Foundation for Basic Research. This work was performed, in part, at the Center for Integrated Nanotechnologies, an Office of Science User Facility operated for the U.S. Department of Energy (DOE) Office of Science. Sandia National Laboratories is a multiprogram laboratory managed and operated by Sandia Corporation, a wholly owned subsidiary of Lockheed Martin Corporation, for the U.S. Department of Energy's National Nuclear Security Administration under contract DE-AC04-94AL85000. The authors also acknowledge a support from the Australian Research Council.

■ REFERENCES

(1) Boyd, R. W. Nonlinear Optics; Elsevier: New York, 2008.

(2) Kauranen, M.; Zayats, A. V. Nat. Photonics 2012, 6, 737-748.

(3) Burns, W. K.; Bloembergen, N. Phys. Rev. B 1971, 4, 3437-3450.

(4) Lippitz, M.; Van Dijk, M. A.; Orrit, M. Nano Lett. 2005, 5, 799802.

(5) Hentschel, M.; Utikal, T.; Giessen, H.; Lippitz, M. Nano Lett. 2012, 12, 3778-3782.

(6) Metzger, B.; Hentschel, M.; Schumacher, T.; Lippitz, M.; Ye, X.; Murray, C. B.; Knabe, B.; Buse, K.; Giessen, H. Nano Lett. 2014, 14, 2867-2872.

(7) Metzger, B.; Schumacher, T.; Hentschel, M.; Lippitz, M.; Giessen, H. ACS Photonics 2014, 1, 471-476.

(8) Klein, M. W.; Wegener, M.; Feth, N.; Linden, S. Opt. Express

2007, 15, 5238-5247.

(9) Kim, E.; Wang, F.; Wu, W.; Yu, Z.; Shen, Y. R. Phys. Rev. B 2008, 78, 113102.

(10) Reinhold, J.; Shcherbakov, M. R.; Chipouline, A.; Panov, V. I.; Helgert, C.; Paul, T.; Rockstuhl, C.; Lederer, F.; Kley, E.-B.; Tunnermann, A.; Fedyanin, A. A.; Pertsch, T. Phys. Rev. B 2012, 86, 115401.

(11) Evlyukhin, A. B.; Novikov, S. M.; Zywietz, U.; Eriksen, R. L.; Reinhardt, C.; Bozhevolnyi, S. I.; Chichkov, B. N. Nano Lett. 2012,12, 3749-3755.

(12) Kuznetsov, A. I.; Miroshnichenko, A. E.; Fu, Y. H.; Zhang, J.; Luk'yanchuk, B. Sci. Rep. 2012, 2, 492.

(13) Rose, A.; Huang, D.; Smith, D. R. Phys. Rev. Lett. 2013, 110, 063901.

(14) Rose, A.; Powell, D. A.; Shadrivov, I. V.; Smith, D. R.; Kivshar, Y. S. Phys. Rev. B 2013, 88, 195148.

(15) Staude, I.; Miroshnichenko, A. E.; Decker, M.; Fofang, N. T.; Liu, S.; Gonzales, E.; Dominguez, J.; Luk, T. S.; Neshev, D. N.; Brener, I.; Kivshar, Y. ACS Nano 2013, 7, 7824-7832.

(16) Grahn, P.; Shevchenko, A.; Kaivola, M. New J. Phys. 2012, 14, 093033.

(17) Liu, S.; Ihlefeld, J. F.; Dominguez, J.; Gonzales, E. F.; Bower, J. E.; Burckel, D. B.; Sinclair, M. B.; Brener, I. Appl. Phys. Lett. 2013,102, 161905.

(18) Jackson, J. D. Classical Electrodynamics, 3rd ed.; Wiley: New York, 1998.

(19) Liu, T.-M.; Tal, S.-P.; Yu, C.-H.; Wen, Y.-C.; Chu, S.-W.; Chen, L.-J.; Prasad, M. R.; Lin, K.-J.; Sun, C.-K. Appl. Phys. Lett. 2006, 89, 043122.

(20) Klein, M. W.; Wegener, M.; Feth, N.; Linden, S. Opt. Express

2008, 16, 8055-8055.

(21) Aouani, H.; Rahmani, M.; Navarro-Cía, M.; Maier, S. A. Nat. Nanotechnol. 2014, 9, 290-294.

(22) Corcoran, B.; Monat, C.; Grillet, C.; Moss, D. J.; Eggleton, B. J.; White, T. P.; O'Faolain, L.; Krauss, T. F. Nat. Photonics 2009, 3, 206210.

(23) McMorrow, D.; Lotshaw, W. T.; Melinger, J. S.; Buchner, S.; Pease, R. L. IEEE Trans. Nucl. Sci. 2002, 49, 3002-3008.

(24) Lin, Q.; Zhang, J.; Piredda, G.; Boyd, R. W.; Fauchet, P. M.; Agrawal, G. P. Appl. Phys. Lett. 2007, 91, 021111.

nature

photonics

REVIEW ARTICLE

PUBLISHED ONLINE: 1 SEPTEMBER 2017 | DOI: 10.1038/NPHOTON.2017.142

Fano resonances in photonics

Mikhail F. Limonov12, Mikhail V. Rybin12*, Alexander N. Poddubny1,2 and Yuri S. Kivshar2,3

Rapid progress in photonics and nanotechnology brings many examples of resonant optical phenomena associated with the physics of Fano resonances, with applications in optical switching and sensing. For successful design of photonic devices, it is important to gain deep insight into different resonant phenomena and understand their connection. Here, we review a broad range of resonant electromagnetic effects by using two effective coupled oscillators, including the Fano resonance, electromag-netically induced transparency, Kerker and Borrmann effects, and parity-time symmetry breaking. We discuss how to introduce the Fano parameter for describing a transition between two seemingly different spectroscopic signatures associated with asymmetric Fano and symmetric Lorentzian shapes. We also review the recent results on Fano resonances in dielectric nano-structures and metasurfaces.

We live in a world of resonances. The human environment is filled with natural and artificial resonators, ranging from musical instruments to complex devices such as lasers and body-imaging machines. Resonances are the cornerstone of photonics, with the more familiar Fabry-Perot and Bragg resonators employed as building blocks for sophisticated optical devices with unique properties. A very special example of a resonance in optics is the Fano resonance that occurs when a discrete localized state becomes coupled to a continuum of states. Although the paper by Ugo Fano was published in Physical Reviews in 19611, the original results for an important limiting case appeared back in 19352.

In general, the Fano resonance occurs when a discrete quantum state interferes with a continuum band of states, and it is manifested in the absorption spectrum, a(E), with the shape described by the famous Fano formula:

a(E) = D2

(q + Q)2 1 + Q2

(1)

where E is the energy, q = cot8 is the Fano parameter, 8 is the phase shift of the continuum, Q = 2(E - E0) / r, where r and E0 are the resonance width and energy, respectively, and D2 = 4sin28 (in the form presented in ref. 3). Equation (1) turns out to be generally applicable not only to absorption but also to different optical spectra (including transmission and scattering) in a variety of systems. In recent years, Fano resonance has attracted a lot of attention due to the progress in photonics, which deals with objects that have multiple resonances. Indeed, almost any resonant state can be considered as quasi-discrete with a complex frequency that can be described in terms of Fano resonance. We note that the major interest in the study of Fano resonances in photonics originates from sharp transmission-reflection curves supplied by this resonance, with a sharp transition from the total transmission to reflection. This is an attractive feature that underpins concepts of many switching devices in photonics.

To provide an example of a resonance with the characteristic Fano response, we consider the elastic Mie scattering of electromagnetic waves by a high-index dielectric rod. Figure 1 summarizes the unique properties of the Fano resonance in this case, and it also demonstrates why the Fano resonance is so important for numerous applications in photonics. Indeed, the study of the resonant Mie scattering by a dielectric rod reveals4-6 that the scattering spectra can be presented as

an infinite series of Fano resonances. The unique feature of the Fano formula is that the scattering efficiency described by equation (1) has two critical points: when the scattering efficiency vanishes and when it takes the maximum value close to unity. This feature is useful for many applications, allowing the scattering to be switched from total reflection to total transmission. Indeed, for a particular normalized frequency (x = 0.504 in Fig. 1), the resonant field Hz near the surface

0.40 f

0.45 g

0.50 Size parameter x h

0.55

0.60

x = 0.470

x = 0.485

x = 0.504

x = 0.600

Figure 1 | Fano resonances in Mie scattering. a-i, Numerical results for Mie scattering by a single dielectric rod (e = 60) embedded in air (e = 1) are shown for the scattering efficiency, Qsca. The component Hz of the transverse-electric electromagnetic field is shown for the selected points outside (a-d) and inside (f-i) a dielectric rod marked by the green circles in e. Shown are strong Mie scattering at x = 0.485 (b,g) and Fano invisible regime at x = 0.504 (c,h). Here x = rw/ c, and r is the rod radius and c the speed of light.

1Ioffe Institute, St. Petersburg 194021, Russia. 2ITMO University, St. Petersburg 197101, Russia. 3Nonlinear Physics Center, Australian National University,

Canberra, Australian Capitial Territory 2601, Australia. *e-mail: [e-mail]

inside the rod mimics the incident field distribution, so we observe almost complete suppression of scattering. This means that an incident transverse-electric-polarized light passes the rod almost without scattering, and the rod becomes invisible for any angle of observation without additional coating layers.

In atomic spectroscopy, the minimum in the Fano response function is usually referred to as the 'resonance window, to avoid confusion with other types of minima in the absorption cross-sec-tion3,7. In photonics, the characteristic windows in the transmission or absorption spectra can also be observed in the case of different regimes caused, for example, by the Borrmann effect810 or by the optical analogue of electromagnetically induced transparency (EIT)11-15. To further deepen our understanding of the physics of Fano resonance, we need to answer the following question: How can we distinguish between Fano resonance and other resonances in experimental data or calculated spectra? A more general question is: How do we prove that an asymmetric or even symmetric feature in the spectrum originates from Fano resonance? In the past decade, we have observed a growing number of publications mentioning Fano resonance. However, many authors call almost any feature observed in the spectrum 'Fano resonances' without giving a rigorous proof. Below, we provide the basic tools to prove the existence of Fano resonances in any system.

One of the goals of this Review is to present a general picture of different resonant photonic effects (Fano, Kerker, Borrmann, EIT) based on a simple model of two weakly coupled oscillators. Next, we provide a detailed analysis of the Fano asymmetry parameter q, which is the key characteristic of the Fano theory. By analysing experimental data or numerical spectra, it is possible to extract different expressions for the response function and compare them with the expected form of the Fano formula.

It is crucially important that the Fano formula (equation (1)) is useful for describing resonant phenomena in a broad range of systems, including optomechanical resonators16, semiconductor nano-structures17,18, superconductors19,20, photonic crystals21-26, dielectric nanoparticles27, plasmonic nanoantennas28-34, and many others. In nanophotonics, the Fano resonance was initially introduced and observed for plasmonic structures. However, for such structures, ohmic losses and heating limit performance in many optical devices. For this reason, several research teams have turned their attention to the study of all-dielectric metamaterials35-40 with considerably lower losses, and also metasurfaces, which are two-dimensional (2D) successors of metamaterials41-45. These two classes of photonic structures are the main focus of this Review.

In addition, we emphasize that Fano resonance and associated effects have been found in very recent studies related to photonics. Using spectral features of the resonant lineshape, Fano physics can help to achieve negative optical scattering force for nanoparticles46, reveal bound states in the continuum47,48 and exotic states of subwave-length topological photonics49, as well as realize a variety of useful applications50-57. We believe this Review will provide useful guidelines for future, not yet discovered manifestations of Fano resonances and their novel applications.

Two coupled oscillators and a phase diagram

Here we illustrate the physics of Fano resonances, optical EIT, and Borrmann and Kerker effects, as well as parity-time symmetry breaking by using a model of two coupled driven oscillators12,58-61 described by the following matrix equation:

o>! - o> - g

g V2 - V - 1Y2

Ix ! TT

K /2,

(2)

f2 are the external forces with the driving frequency w. The coupling constant g describes the interaction between the oscillators.

Various resonant effects possible in such system, optical realizations and characteristic spectra are summarized in Box 1. We will now analyse them in a unified fashion by comparing the values of the damping constants y1 and y2 as shown in the phase diagram (Fig. 2). The damping constants are normalized by the absolute value of the coupling parameter g between the oscillators. The physical origin of the dampings can be ohmic losses or scattering losses due to coupling to other modes. In the weak-coupling regime, the coupling strength is less than one of the dampings, |g|<<| yj or |g|<<| y2| (ref. 62). Then the interaction between the oscillators slightly shifts their complex eigenfrequencies, for example, w1' = w1 - iy1 + Aw1 is the eigenfrequency of oscillator 1 modified due to the interaction with oscillator 2 characterized by a complex shift Aw1. In the case when the first oscillator emulates a quantum emitter and the second oscillator corresponds to a photonic mode of a cavity, the imaginary part of Aw1 describes the Purcell effect63, that is, modification of the spontaneous emission rate in the cavity. The real part of Aw1 is the radiative correction to the eigenfrequency being analogous to the Lamb shift64.

Fano resonance. This resonance is realized in the two-oscillator model in the weak-coupling regime when only one of the oscillators (with larger damping) is driven (namely, f1 ^ 0, f = 0; see the inset of Fig. 2 for a mechanical analogy). This corresponds to the two sectors of the first quadrant of the phase diagram (Fig. 2) close to the axes, shown in red. The amplitude of the driven oscillator 1 in the spectral vicinity of the resonance of oscillator 2 can be presented in the form:

I *i (ß) I2 - I fi2I ■

h

(ß + q)2

K -

W2)2 + Yi2

(ß2 + 1)

where

Ü =

(w, - w2) 1 + q2

y,(1 + q2)

£2

Here x1 and x2 are the oscillator amplitudes, œl and œ2 are the resonant frequencies, y1 and y2 are the damping coefficients, and f and

is the dimensionless frequency. The Fano parameter q determines the spectral shape and depends on the spectra detuning of the oscillators w2 - w1. Similar to equation (1), q = cot8, where 8 is the phase of the response function (w2 - w1 + iy1)-1 of the damped oscillator 2, playing the role of continuum at the resonance of oscillator 1. The Fano resonance directly manifests itself in the absorption spectrum ^y1|x1(fl)|2 (Box 1, panel b). For two ring resonators side-coupled to the waveguide, the absorbed waves are subtracted from the transmission, which leads to Fano-like transmission spectra11.

Electromagnetically induced transparency. EIT can be viewed as a special case of Fano resonance when the frequencies of strongly and weakly damped oscillators match, w1 = w2, so that q = 0, as explained in Box 1.

Borrmann effect. This effect is an anomalously strong transmission of waves through an absorbing crystal due to the Bragg diffrac-tion8-10,65,66. It is similar to EIT but should be described in the spatial domain rather than in the time domain, which means that the frequencies are to be replaced by wave numbers, w ^ k. Namely, x1 and x2 become the amplitudes of the left and right propagating plane waves, with w1 = -w2 and w being their wave vectors and the Bloch wave vector calculated from the edge of the Brillouin zone. The coupling coefficient g appears due to the Bragg diffraction. The damping constants y1 = -y2 describe the wave attenuation due to absorption and they have opposite signs because the left and right propagating

w - w +

Box 1 | Resonant phenomena in photonics realized for different coupling regimes.

Weak-coupling regime: |g|<<|y1| or |g|<<|y2|

Fano resonance. Fano resonance occurs from coupling of two oscillators with strongly different damping rates producing narrow and broad spectral lines. The coupling constant g is weaker than the larger damping y. The phase of the undamped oscillator changes by n at the resonance ('+' and '-' signs in panel a), while the phase of the strongly damped oscillator varies slowly (a pair of '+' signs). The resulting spectra (panel b; adapted from ref. 1, APS) show typical asymmetry with a sharp change between a dip and a peak. The spectral shape depends on the phase shift 8 between the oscillators encoded in the Fano parameter q (panel b).

Electromagnetically induced transparency. EIT can be viewed as a Fano resonance at w1 = w2, when the q parameter vanishes. Usually, the resonant mode with larger damping is manifested as a wide stop band in transmission. However, the transmission can be resonantly restored by the coupling to the undamped mode with the opposite phase, cancelling the losses out (panel c). This results in a narrow transparency window as shown in panel d (reproduced from ref. 11, Macmillan Publishers Ltd).

Borrmann effect. This effect is a spatial analogue of EIT for a structure with a periodic loss distribution. At the bandgap edge, the Bragg diffraction pins the field maxima to the lossless material (red in panel e) away from the lossy one (blue in panel e). This suppresses the losses and opens the transparency window (experimental and theoretical data correspond to red dotted and black solid curves in panel f, respectively; adapted from ref. 65, OSA).

Kerker effect. This effect is distinct from the Fano resonance because it does not require direct coupling between the oscillating modes but exploits their different spatial symmetry instead. Namely, electric dipole (ED) and magnetic dipole (MD) modes are odd (even) with respect to the spatial inversion (panel g). Hence, it is possible to suppress light scattering either in backward (Kerker 1 condition) or forward (Kerker 2) directions when the MD phase changes by n at resonance. Scattering patterns are shown in panel h (adapted from ref. 67, APS).

Strong-coupling regime: |^|>>|^1| and |^|>>|^2|

Rabi splitting or Autler-Townes effect. This is seen in the strong-coupling regime when the oscillators exchange their energy much faster than it leaks away. Two coupled eigenmodes form and their frequencies split from those of non-interacting oscillators (panel i). The transmission maximum between split modes (panel j; adapted from ref. 11, Macmillan Publishers Ltd) is reminiscent of the EIT window (panel d) but has a different origin: it is unrelated to loss cancellation. (The red dashed lines in panel j are guides for the resonant energy.)

Parity-time symmetry. Parity-time symmetry is an analogue of the strong-coupling regime for systems that are symmetric under simultaneous spatial and time inversion, where the gain is balanced by losses (y1 = — y2, w1 = w2). Despite the non-Hermitian properties, the spectrum is real and the real parts of eigenfrequencies split when the coupling overcomes gain/loss (g > YJ; panel k). When the coupling is weak, the parity-time symmetry is broken and the spectrum is complex with a large gain-loss contrast. In particular, this facilitates single-mode lasing: only the mode pinned to the gain regions is above the lasing threshold, akin to the Borrmann effect (panel l; adapted from ref. 73, AAAS); m is the azimuthal mode order.

10

Normalized frequency O

Normalized frequency O

m A A A m A

o _i l\ i\ JD o _i \

w V/ V/ 1

Layers

Kerker 1 Frequency

Weak-coupling Strong-coupling regime regime

Iri - Y2l / 2

Coupling coefficient g

Parity-time symmetry breaking

Parity-time symmetry

-2,000 0 2,000 Detuning (MHz)

0.5 . 0.4 i 0.3-i 0.2: 0.1 0.0

-60 0 60 Angle of incidence (°)

y

Kerker 2

10 8

6H tput 4

2 0

|Yi - Y21 / 2 Coupling coefficient g

-500 0 500 Detuning (MHz)

— Ring/Parity-time

1,450 1,500 1,550 Wavelength (nm)

b

a

+

+

+

d

c

+

f

e

h

g

0

0

k

0

Figure 2 | Phase diagram of different photonic resonances (Fano, EIT, Kerker, Borrmann, parity-time symmetric) in the damping constants (y-i, Y2) plane. Inset: schematic view of two coupled damped oscillators with a driving force f1 applied to one of them.

waves decay in the opposite directions. Hence, the Borrmann effect occupies the line y1 = -y2 in the phase diagram of Fig. 2.

The transmission coefficient can be estimated as |i|2 rc exp(-2L|Im(w±)|), where L is the dimensionless structure length and the Bloch vectors w± are defined by the eigenvalues of the system equation (2), w±(w1) = -[(Im(g) - w1)(-Im(g) + 2iy1 - w1)]1/2. As such, the transmission decays when Im(w) ^ 0. However, at the particular frequency, when the nodes of the electric field lie within the lossy regions, the absorption is suppressed (Box 1, panel e). Mathematically, this means that the off-diagonal complex coefficients in the matrix of equation (2) cancel each other for w1 = Im(g), so that Im(w) = 0 and the transmission is restored, |i| =1, resembling the case of EIT (Box 1, panel f).

Kerker effect. Non-trivial effects can be observed even in the limit of vanishing direct coupling between the oscillators, just due to the interference of their independent responses to the external field. As an example, we mention the Kerker effect, defined as cancellation of the scattering amplitude from spherical particles due to the different spatial symmetry of electric and magnetic dipole scattering67-70. In the model equation (2), the Kerker effect corresponds to negligible coupling g = 0 and equal excitation amplitudes f = f2. In contrast to the Fano and EIT regimes, both oscillators can interact with the field directly f1 ^ 0, f ^ 0) and also the ratio of their damping rates can be arbitrary. Hence, the Kerker regime occupies the whole region y1,y2 >> g in the phase diagram (shown in purple in Fig. 2). There are two Kerker conditions, leading to the scattering suppression in either the forward or backward direction when respectively (Box 1, panels g and h).

Strong-coupling regime. This regime is realized when the dampings of both oscillators are weak, y1,y2 << g. Hence, in contrast to the Fano, EIT and Kerker regimes, the strong coupling corresponds to the central region of the phase diagram (Fig. 2). In the strong-coupling regime, the real parts of the eigenfrequencies of the system of two coupled oscillators are split by |w+ - w-| = 2g when the bare

oscillator frequencies w1 and w2 are tuned to each other. This splitting is termed vacuum Rabi splitting62,71,72 or Autler-Townes split-ting11 in analogy with quantum optics. Importantly, while the real parts of w+ and w- split at g = |y1 - y2| / 2 (Box 1, panel i), this splitting can be spectrally resolved only when it exceeds the imaginary parts of the eigenfrequencies, that is, g >> y1,y2, which is the true strong-coupling condition. In the system of ring resonators coupled to the waveguide, the transmission is suppressed at the eigenfre-quencies w± and restored between them. The transmission spectrum can then be confused with that in the EIT regime (panels j and d in Box 1). However, the physical origin of the central transmission maximum is quite different. In the strong-coupling case, the resonators are not excited at the central frequency, whereas in the EIT case, the central frequency corresponds to the resonant excitation of the weakly damped resonator. The experimental fingerprint of the strong-coupling regime is the avoided crossing of the spectral resonances11,65, observed when the oscillator frequencies are tuned with respect to each other.

Parity-time symmetry. A non-Hermitian system with balanced gain and loss, that is, w1 = w2 but opposite coefficients, y1 = -y2, can exhibit parity-time symmetry73-76. As such, parity-time-symmetric structures occupy the line crossing the second and fourth quadrants of the phase diagram (Fig. 2). When |y1| < g, both eigenfrequencies w± are real despite the presence of loss and gain (Box 1, panel k). For sufficiently strong loss and gain (|y1| > g), the parity-time symmetry breaks down, and both eigenfrequencies acquire non-zero and opposite imaginary parts, as dictated by the properties of non-interacting oscillators. Hence, the parity-time-symmetric and the parity-time-symmetry-broken regime can be viewed as the strong-coupling and the weak-coupling regimes, respectively, of the particular non-Her-mitian system. Balanced gain and loss facilitate single-mode lasing in the parity-time-symmetry-broken regime: only the mode pinned to the gain regions is above the threshold73. In periodic structures, this is strongly reminiscent of the Borrmann effect discussed above. Such correspondence between the Borrmann effect and the parity-time symmetry is clearly seen in the phase diagram (Fig. 2). This has been uncovered only recently in the context of topological edge states77,78. The conventional photonic crystal with a periodic array of lossy elements is mapped to the parity-time-symmetric photonic crystal with periodic gain and loss elements just by adding an effective homogeneous gain (panels e and l in Box 1). It is worth noting that in the linear regime, the parity-time structure remains reciprocal and the forward and backward transmission coefficients are equal79. Non-reciprocal transmission can be realized in the nonlinear regime76,80.

To summarize this general classification of resonant effects, we note that their variety extends far beyond the model of two coupled oscillators represented in equation (2). For example, scattering from complex structures such as dielectric oligomers characterized by the Fano effect can be analysed conveniently in terms of the interference between the collective eigenmodes of particles, rather than resonances of individual particles. This interference occurs due to non-Hermitian properties of open optical systems, and it can lead to strongly asymmetric spectral lineshapes81.

Proving the existence of Fano resonance

A simple tool to reveal the Fano resonance in a considered photonic structure is to develop and study a simple theoretical model that describes the major spectral properties4,82-86. Another approach is to decompose the spectrum and fit the spectral line with the Fano formula (equation (1)) by varying different available parameters. Below, we employ both these approaches for analysing the Fano resonance in several examples of dielectric photonic structures. We discuss in detail how to extract the key Fano parameter q characterizing the specific asymmetric profile of the Fano response function (Fig. 3), being responsible for the coupling strength between

10 r

Jj

Lorentz shape

No Fano window

No coupling to the continuum

Fano shape

Fano window at k>o = -q

Quasi-Lorentz shape Fano window at = 0

No coupling to the discrete state

-10

Fano shape Fano window at w0 = -q

Lorentz shape No Fano window No coupling to the continuum

n/4

n/2 Phase shift S

3n/4

Figure 3 | Fano parameter versus phase shift and the Fano response function. Function q(S) is periodic in n. The insets show the Fano lineshapes cr(w) from equation (1) for selected values of q(S). The Fano function cr(w) has a Lorentzian lineshape for the extreme cases of S^ nn (integer n) corresponding to q ^ and q ^ For S = (n + 1/2)n, q = 0, the Fano profile has symmetric quasi-Lorentzian lineshape (a Fano window).

effective discrete and continuum states as well as relative excitation strengths associated with these two states.

The Fano parameter q, being a cotangent of the phase shift S between two modes, depends on geometric and material parameters of the system and incident waves. There is no general rule how to design a system with a desired value of this parameter. Moreover, the Fano parameter should be regarded as an indicator of the Fano resonance features in the system under study. However, one can suggest an ad hoc procedure for tuning the system parameters and the resulting Fano parameter to achieve a certain value.

If an external perturbation does not couple to the continuum of states, we obtain q ^ and the Fano lineshape becomes a symmetric Lorentzian function (Fig. 3). When the external perturbation does not couple to the discrete state, the Fano profile becomes a symmetric quasi-Lorentzian anti-resonance in the continuum spectrum (q = 0), and it appears as a true zero in the spectrum. However, this minimum does not vanish and its value grows progressively when more continuum states become involved in the scattering process. The background component that does not interfere with the narrow band can be accounted for by introducing an interaction coefficient n G [0...1] (ref. 67):

a(Q) = D2

(q + Q)2 1 + Q2

n+(1 - n)

0D dielectric spheres and rods. In 1908, Gustav Mie published an analytical solution of Maxwell's equations for the scattering of electromagnetic waves by a spherical particle87. In 2008 (exactly 100 years later), the similarity of the Mie scattering in optics and Fano resonances in quantum physics was pointed out88. In 2013, it was proven that the well-known resonant Mie scattering from high-contrast dielectric resonators results in an infinite series of Fano res-onances5. The conclusion was made for the case of dielectric rods4-6 and recently for dielectric spheres84,85 and core-shell dielectric

particles89. For a dielectric rod, it was demonstrated numerically4,5 that each partial scattered wave can be presented as a sum of two contributions: one of them corresponds to the non-resonant-background scattering while the other is associated with the excitation of a resonant Mie mode. Their interference leads to a typical asymmetric Fano resonance profile5. The calculated q values show a general cyclic cotangent-type dependence with a certain phase5 (Fig. 4d). For dielectric homogeneous and core-shell spheres, the Fano resonance was proved analytically84,85,89 (Fig. 4b).

1D disordered structures. Fano resonances are usually associated with coherent scattering in regular structures, but experimental and theoretical results demonstrate that such resonances may survive in some structures with disorder83,90,91 as well as in aperiodic photonic systems such as quasi-crystals92.

A remarkable example of a disorder-induced Fano resonance is observed in a 1D system composed of alternating A and B layers with permittivity eA and random permittivity £B in B layers83,93 (Fig. 4e). Owing to ergodicity, Fano resonance is a fingerprint feature for any realization of a structure with a certain degree of disorder. The background extinction is determined by uncompensated Fabry-Perot scattering on different B layers. Depending on the values of the dispersion parameter and the order of the band h, the shape of the Bragg reflecting band changes in accord with the Fano formula, namely it transforms from a Bragg stop band to Bragg pass band. The Fano nature of the resonance was proved both numerically and analytically. Figure 4f presents a cotangent-type behaviour (with a certain phase) of the Fano parameter q for third-order Bragg bands.

When the nodes of the electric field are centred at the B layers, the wave is insensitive to the fluctuations of eB, and it does not decay (Bragg pass band or Fano window with q = 0). This can be interpreted as the Borrmann effect generalized to disordered systems83.

2D cavities in waveguides. One of the typical designs to achieve the Fano resonance in the waveguide geometry is to couple the guided modes to local defects or cavities94,95. In the case of a side-coupled cavity (Fig. 4g), an analytical expression for the transmission intensity can be presented in the form of the Fano formula86. In such a system, the background amplitude does not change its phase monotonically. As a result, the Fano parameter q does not follow the characteristic cotangent-type dependence, but instead it has the sine-type dependence shown in Fig. 4h.

3D photonic structures. There are many examples of Fano resonances in different types of photonic crystal. Opals represent the well-known example of 3D photonic crystals composed of nearly spherical particles of amorphous silica (a-SiO2) (Fig. 4i). The porosity of the a-SiO2 particles produces inhomogeneity of dielectric permittivity of a single a-SiO2 particle. Dissimilarity in the permittivity of a-SiO2 particles leads to the disorder-induced broad background Mie scattering. A narrow photonic Bragg band interacts with the continuum spectrum through an interference effect constructively or destructively leading to Fano resonance90. Opals have an overlapping net of air voids in between the a-SiO2 particles, which allows one to infill the voids with various materi-als93,96. Experimental results clearly indicate a remarkable transformation of the Bragg band when the filler permittivity is changed. By changing the filler permittivity, one can change the value of the parameter q (Fig. 4j), for example, switch the Fano-induced asymmetric Bragg stop band into a symmetric Lorentzian pass band and vice versa, and thus control the wave transmission.

Strongly disordered photonic crystals with random scatterers91 were created from a 3D opal-like structure where disorder appears due to vacancies in a face-centred cubic lattice (Fig. 4k). It was shown that the amount of vacancies not only determines the intensity but

0

0

n

Figure 4 | Photonic systems and Fano parameter q. a, Dielectric homogeneous sphere. b, Fano parameter for dielectric sphere depending on the size parameter x = 2nr / X. c, Dielectric homogeneous circular rod. d, Fano parameter for the transverse electric TE0 (red), TE1 (green) and TE2 (blue) modes for a circular rod at £1 = 50. e, 1D structure composed of alternating A and B layers with random permittivity in B layers. f, Fano parameter for third-order Bragg bands. Lines and symbols present q, calculated analytical and extracted from numerical spectra, respectively. wB / a is the ratio of the thickness of the B layers to the period. g, A waveguide structure with a high-Q side-coupled cavity and a pair of reflectors forming a low-Q Fabry-Perot resonator.

h, Fano parameter calculated for r2 = 0.1 (dashed blue), r2 = 0.3 (dotted green) and r2 = 0.5 (solid red). Circles are the values obtained from fitting of the spectra calculated directly for the photonic crystal circuit. d is the distance between reflectors, w0 is the microcavity frequency and c is the speed of light.

i, Scanning electron microscopy (SEM) image of opal sample. j, Fano parameter as a function of the filler permittivity, ef, calculated from experimental spectra for three samples with different thickness. The solid line is a guide for the eye. k, SEM image of vacancy-doped opal-based photonic crystal for a 50% of vacancy doping. l, Fano parameter as a function of the vacancies for different number of layers comprising all the thicknesses measured: from 1 to over 30 monolayers. p is the fraction of missing spheres. Figure reproduced from: b, ref. 84, APS; d, ref. 5, OSA; f, ref. 83, Macmillan Publishers Ltd; g,h, ref. 86, under a Creative Commons licence (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/); i, ref. 96, Macmillan Publishers Ltd; j, ref. 90, APS; k,l, ref. 91, courtesy of C. Lopez.

0D

20

O

2 4 6 8 Size parameter x

2D

g Reflector Reflector

10

2.0

dœ0 / (2nc)

0D

46 Size parameter x

3D

10

1.90

1D

3D

25

20

? 15 er

et 10

m

ra 5 a

o 0

C

-5 -10 -15

0.4 0.6

wB /a

10

20 30 p (%)

40

1.0

50

e

b

f

0

0

2

8

k

h

0

also the nature of the light scattering. The disorder-induced extra scattering produces a background spectrum with a narrow Bragg band superimposed onto this background, with Fano resonance. As the amount of defects varies, light scattering undergoes a transition that very closely resembles the Bragg band transformation observed in the transmission spectra of synthetic opals90. The usual Bragg peak changes into a Bragg dip, which can be readily described with the Fano parameter q. When the disorder level reaches the percolation threshold, the Fano parameter q changes its sign (Fig. 4l), signalling the transition from a crystal to a mosaic of microcrystals through a state where scattering is maximum. Beyond that point, the system re-enters a state of low scattering with the normal Bragg diffraction91.

Fano resonances and metasurfaces

Here we review examples of Fano resonances in the 2D counterpart of metamaterials known as metasurfaces.

Lattices of nanospheres. As demonstrated above, a single sphere and a 3D metacrystal composed of spheres can both support Fano

resonances of different nature (Fig. 4). Therefore, we can expect that an array of such spheres (also called a metasurface) can have similar properties. Indeed, Fano resonances have been observed for metasurfaces composed of single and coated spheres that form a simple square lattice97, and 2D periodic arrays of nanoparticle oligomers98 or circular nanoclusters99. Importantly, the Mie scattering from individual spheres can demonstrate Fano resonances as well. Here, we are interested in cooperative effects due to a 2D geometry. Indeed, an array-induced Fano resonance was found for a planar metasurface of plasmonic nanoparticles under oblique plane-wave incidence97. Absorption of the ordered arrays of coated spheres is shown in Fig. 5a for both transverse-electric- and transverse-magnetic-polarized plane waves under the oblique incidence with two distinct types of resonance. The first spectral feature is related to the electric dipolar Mie resonance of a single coated sphere (at 1,750 and 2,400 THz). The authors of ref. 97 clarify that the other feature in transverse-magnetic-polarization at 2,050 and 2,800 THz is due to the forced excitation of free modes with a small attenuation constant that is an array-induced sharp Fano collective resonance.

I r r f

0.8

0.6

■0.4

0.2

Sphere-based metasurfaces b

30°

ww T- ; L

g , „

0.0 1,000

0.8

0.6-

j 0.4-

j

0.20.0

4

0.4 0.30.20.1 0.0

1,500 2,000 2,500 Frequency (THz)

J№

U

mA

3,000

Hybrid graphene metasurfaces d

7

X (^m)

10

All-dielectric metasurfaces f

— L = 1.6 ^m

— L = 1.8 ^m

— L = 2.0 ^m

4.4 4.6 X (^m)

5.0

Metal-based metasurfaces h

Magnetic-field enhancement

100

-100-

-100

0

x (nm)

100

1.0 I 0.8-

y

1 0.6-c n

o

'¡S 0.4 E

| 0.2 0.0

^---

— |EfI = 0 eV j {

— |Ef| = 0.5 eV ;

— |Ef| = 0.75 eV 1

1.50

1.0

1.55 1.60

X (^m)

1.65

0.8 -0.6 -0.4 0.2 0.0 4

---T

R

---A

, i

\ ; i \ y V I 'v<

Experiment

1,320 1,340 1,360 1,380 1,400 1,420 Wavelength (nm)

1.0

8 10 12 14 Frequency (GHz)

16 18

8 9 10 11 Frequency (GHz)

12

Figure 5 | Fano resonances in metasurfaces. a, An array of core-shell (sapphire in aluminium) nanoparticles and absorption spectra for the incidence angle of 30°. The yellow arrows point to array-dependent Fano resonances. TE, transverse electric polarization; TM transverse magnetic polarization; £h, permittivity; a and b, geometrical parameters. b, A metasurface composed of symmetric circular nanoclusters for the magnetic-field enhancement in a unit cell computed at a representative point of the magnetic Fano resonance. H/Hinc is the magnetic field normalized by the incident magnetic field, and a, b, h are geometrical parameters. c, A Fano-resonant metasurface integrated with graphene and calculated reflectivity of normally incident y-polarized light for a wire grid (black), wire and C-shaped antenna (blue) and the full metasurface (red). d, A hybrid graphene/all-dielectric periodic metasurface and transmission coefficient for different doping levels of graphene. EF, Fermi level. e, SEM image of the fabricated silicon-based chiral metasurface and measured cross-polarized transmission spectra Txy for different nanorod lengths L. f, SEM image of a single unit cell of the fabricated metasurface and measured transmittance (T), reflectance (R) and absorption (A) spectra. g, Schematic of a Z-shaped meta-atom and measured (dashed) and calculated (solid) transmission coefficient under 30° and 45° H-plane incidence. h, A metasurface consisting of an array of asymmetric split-ring apertures and calculated transmission and reflection spectra. The angle of incidence 9 is measured between the incident wave vector kand the metasurface's surface normal n. Figure adapted from: a, ref. 97, AIP Publishing LLC; b, ref. 98, American Chemical Society; c, ref. 102, American Chemical Society; d, ref. 103, OSA; e, ref. 107, Macmillan Publishers Ltd; f, ref. 12, Macmillan Publishers Ltd; g, ref. 109, AIP Publishing LLC; h, ref. 110, AIP Publishing LLC.

a

0

c

5

6

8

9

e

T

R

d

y

g

6

4

Arrows in Fig. 5a mark the features that characterize metasurface-induced Fano resonances.

Magnetic Fano resonances were demonstrated for a metasur-face composed of a periodic array of circular clusters of spherical nanoparticles as building blocks98. Similar to the case of a simple square metasurface97, two kinds of narrow resonance were identified, and they are related either to single circular nanoclusters or an array-induced collective Fano resonance. The array-induced Fano resonances become narrower compared with resonances induced by a single cluster. The magnetic field spreads over a large area of the nanocluster while the electric field is concentrated mainly in the gaps between the neighbouring nanoparticles. The authors mention that similar narrow Fano resonances are expected for other geometries, such as nanodisks, and other materials, such as gold.

Also, we note here that the fabrication of nanospheres is a challenging task especially for dielectric particles with a large diameter. As a result, the measurements were performed for arrays of small plasmonic nanospheres100. In an experiment, the spheres have also been substituted by cylinders that are easier to fabricate but have similar optical properties101.

Hybrid graphene sheets. Graphene, a 2D semi-metal with a linear dispersion, has appeared as a promising optoelectronic material with highly tunable optical properties102-105. However, in the important range of the telecom (near-infrared) wavelengths, its response is weak, which is a challenge for the development of gra-phene-based optical devices. Different all-dielectric and plasmonic structures (such as metamaterials, photonic crystals or waveguides) coupled to graphene have been proposed for the design of novel types of tunable photonic structure enabling amplitude and phase modulations103. In this active research area, metasur-faces are promising for integration with 2D graphene layers102-105. In such hybrid structures, the Fano resonance appears as the key phenomenon responsible for tunable coupling between graphene, metasurface modes and incoming electromagnetic radiation. Depending on the proposed configuration and design, different Fano regimes have been described theoretically and realized experimentally, including double Fano resonances102 and cascaded Fano resonances105.

A Fano-resonant metasurface integrated with a single layer of graphene (Fig. 5c) exhibits an optical response with two deep reflectivity minima due to Fano resonances, and therefore it can be characterized as a metasurface with a double EIT effect102. It was demonstrated experimentally and theoretically that due to Fano resonance, the metasurface dramatically enhances the interaction of infrared light with graphene. The Pauli blockage of interband transitions in graphene results in spectral shifts of the Fano resonances and reflectivity modulation by nearly one order of magnitude102. A schematic of a theoretically proposed metasurface that is composed of periodic pairs of asymmetric silicon nanobars of the subwave-length dimension hybridized with a graphene sheet is presented in Fig. 5d103. A sharp Fano-type resonance is observed due to the cancellation of the electric and magnetic dipole responses at a special frequency point.

Dielectric metasurfaces. Low-loss all-dielectric metasurfaces placed on different substrates (including a magnetized gyromag-netic ferrite substrate106) have been proposed and studied for different designs and applications12,106-108. One of the key ideas here is to employ the interaction between dark and bright mode resonances to produce a Fano resonance21,28.

Fano-resonant metasurfaces based on Si and its oxides supporting optical resonances with high quality factors Q > 100 have been demonstrated experimentally107. Each unit cell is composed of one straight and one bent Si nanorod, where the bend is responsible for coupling between bright (electric dipole) and dark (electric

quadrupole/magnetic dipole) resonances (Fig. 5e). Cross-polarized transmission T spectra provide the most remarkable evidence of the Fano interference: the baseline Txy, small for all non-resonant wavelengths, dramatically increases at Fano resonances, as shown in Fig. 5e, because of the coupling of the dark modes to both x and y polarizations of the incident light. In addition, it was demonstrated experimentally that high (>50%) linear-to-circular polarization conversion efficiency can be achieved by making these metasur-faces chiral by design, opening possibilities for efficient ultrathin circular polarizers107.

Another design of a Si-based metasurface employing Fano-resonant unit cells with the bright- and dark-mode resonators (Fig. 5f) was utilized to demonstrate the EIT effect12. Collective oscillations of the bar resonators form the bright mode resonance while the ring resonators interact through near-field coupling forming the dark mode. Owing to the low absorption loss and coherent interaction of the neighbouring meta-atoms, the peak of the transparency window of 82% at the wavelength of 1,371 nm with a Q factor of 483 is observed experimentally, demonstrating the possibility to realize highly dispersive, low-loss, slow-light photonic devices12.

Plasmonic metasurfaces. The Fano resonance has been studied extensively in different metal-based metasurfaces109-111. An interesting example is a metasurface composed of planar Z-shaped metaatoms proposed as a design of the conventional LC resonators for achieving negative values of permittivity. Reflection and transmission spectra, calculated numerically and measured experimentally, demonstrate a dark (trapped) mode resonance that is associated with a Fano lineshape109 (Fig. 5g).

An ultrathin Babinet-inverted metasurface composed of asymmetric split-ring apertures fabricated in a metal plate demonstrates a high-Q Fano resonance and strong extrinsic chirality110 (Fig. 5h). Importantly, the electromagnetic response of the metasurface can easily be tuned by the angle of incidence, and the Q of the Fano resonance depends strongly on the asymmetry of the split-ring apertures and losses. We note that, in contrast to dielectric structures, metal-based metasurfaces are not scalable because in the gigahertz regime, the dissipation losses in metals are much lower, which explains the high Q value of Fano resonances. However, metallic structures provide illustrative examples for the specific features of Fano resonances in metasurfaces.

Perspectives and outlook

The Fano formula, first discovered in the studies of the Rydberg series for auto-ionization1, has been applied to various spectroscopic problems and for different objects, practically without limitations. Owing to the deep insight it provides for spectroscopic data and its appearance in a broad range of nanophotonics studies, the Fano formula will continue to be a vital tool for optical design and analysis.

Recently, a non-trivial manifestation of Fano resonance in the time and frequency domains7,112,113 has been analysed theoretically and observed experimentally across a variety of photonic phenomena. An educative example is a trapping and confining of the electromagnetic energy by the so-called bound states in the continuum (BICs). For any structure to support BICs, it should extend to infinity in at least one direction114. In compact photonic structures, a trapped state can manifest itself in the scattering spectrum as a sharp Fano resonance47,48. By changing the structural parameters or excitation conditions, one can observe that Fano resonances become sharper and eventually disappear when their Q value tends to infinity near the quasi-BIC point (Q = 106; Fig. 6a). Therefore, the Fano resonance can be considered as a precursor of BICs, with unique properties that may lead to applications including optical sensors, filters and waveguides, as well as low-loss fibres and large-area lasers.

Very recently, the concept of Fano resonance appeared in the field of topological insulators115 (Fig. 6b) and exotic states of light

Angle (») 20 40

60

0.2 0.4

35

30

25

20

10

0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 Reflectivity R

50 70 100 200 400 700 40 60