Конфигурирование индикатрисы рассеяния наноструктур, поддерживающих возбуждение мультипольных моментов высоких порядков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат наук Аль-Наима Хади Карим Шамхи

• Аль-Наима Хади Карим Шамхи
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Аль-Наима Хади Карим Шамхи

Реферат

Synopsis

Introduction

CHAPTER 1. Transverse scattering effect in all-Dielectric Mie-Resonant

metaoptics

1.1 Background

1.2 Transverse Kerker condition for spherical scatterers

1.3 Transverse scattering by an arbitrarily shape scatterers

1.4 Helicity density enhancement at the transverse Kerker .... 64 Chapter conclusions

CHAPTER 2. Transparency of all-Dielectric resonant metasurfaces

governed by the Transverse Kerker effect

Chapter conclusions

CHAPTER 3. Asymmetric scattering by dielectric nanoantenna in media

3.1 Multipole expansion of the Asymmetry Parameter

3.2 Symmetry governed broadband directive scattering

3.3 Multipolar resonances evolution in an optically tuned surrounding

3.4 Scattering asymmetricity of a particle situated near a dielectric

substrate

Chapter conclusions

CHAPTER 4. Superscattering of symmetrically reduced all dielectrics

structures

4.1 Background

4.2 Designing the scattering response with quasinormal modes

4.3 Frequency points of enhanced scattering

4.4 Superscattering by multi-object structure

4.5 Power limitation of a single scattering channel

Chapter conclusions

Conclusion

List of acronyms and symbols

Bibliography

APPENDIX A. Cartesian multipole expansion of the electromagnetic

fields

A.1 Exact expressions of the multipole moments

A.2 Green tensors in a homogeneous medium

A.3 Scattered fields near an interface

APPENDIX B. Main journal papers

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конфигурирование индикатрисы рассеяния наноструктур, поддерживающих возбуждение мультипольных моментов высоких порядков»

Реферат Общая характеристика работы

Обзор темы и мотивация. За последние десятилетия управление светом на наномасштабе стало возможным благодаря удержанию света в субволновых локализованных структурах. Такие структуры стали доступны с появлением технологий изготовления высокого разрешения. Особенно огромные усилия были приложены к адаптации плазмонных резонансов благородных металлов для управления поведением света ниже дифракционного предела. Было предсказано и продемонстрировано несколько экзотических явлений, проложивших путь к новым открытиям и лучшему пониманию взаимодействий света и вещества. В частности, рассеяние электромагнитных волн оказало весомое влияние на волновую физику и являет собой постоянно растущий интерес для науки и современных технологий. Управление рассеянием изолированных и кластерных структур стало более привлекательным с появлением диэлектриков с высоким показателем преломления и низкими омическими потерями [1-6]. Такие материалы доступны для всего оптического спектра. Кроме того, в отличие от плазмонных материалов, диэлектрические наночастицы с высоким показателем преломления способствуют возбуждению электрических и магнитных мод.

Сосуществование и взаимодействие электрических и магнитных мод позволяет реализовать конструктивную или деструктивную интерференции, порождающие необычные сигнатуры рассеяния [7,8]. С помощью них было показано, что диэлектрические наночастицы поддерживают следующие эффекты: неизлучающие состояния, известные как анаполи, деструктивные интерференции элементарного электрического диполя с тороидальным ди-польным моментом, способствующие уменьшению общего рассеяния в дальней зоне и ограничению ближних полей, значительное увеличение сечения рассеяния - явление суперрассеяния [9-13], формирование квазисвязанного состояния в континууме qBICs через передачу мощности к более высокодобротным мультипольным резонансам [14-16] и сильное асимметричное

рассеяние - эффект Керкера [17-21]. Распространение этих оптических явлений на структуры метаповерхностей и одновременно использование дополнительных резонансов решеток расширило области применения до плоской оптики. Например, максимально хиральная метаповерхность через qBICs [22] и направленность ближнего поля диполей Гюйгенса [23] открывает путь к физике высокоэффективных пассивных и активных диэлектрических метаустройств, основанных на резонансах Ми [24-27].

Недавние успехи неконсервативной физики сделали возможным использование преимуществ исследований РТ-симметрии различных неэрмитовых систем для обнаружения новых перспектив задачи рассеяния. Благодаря обширному распространению собственных частот такие достижения позволили выявить различные оптические эффекты [15,16,28,29]. Исследования в комплексной области реализуют физические величины, такие как траектории собственных состояний на параметрической диаграмме, а также упрощают задачу, ограничивая анализ оптического отклика несколькими доминирующими модами. Более того, в недавних работах успешно осуществлены надежные методы решения задачи на собственные значения уравнений Максвелла в дисперсионных и сложных структурах [30,31]. Эти методы послужили причиной продвижения концепции внутренних мультиполей, то есть разложения собственных полей, приводящего к независимым от возбуждения, фундаментально связанным с симметрией структуры мультиполям [32].

Цель данной работы - изучение настройки и усиления рассеяния в диэлектрических структурах с высоким показателем преломления за счет использования электрических и магнитных мультипольных мод и применения теории симметрии для неэрмитовых систем.

задачи данной работы:

• Изучение подходов, использующих метод электромагнитного мульти-

польного разложения для управления рассеянием по желанию.

• Разработка эффективных наноустройств для картирования энергии, которые перестраивают свет, излучаемый широкополосными источниками.

• Изучение явлений экстремального рассеяния света, разработка всеобъемлющих аналитических моделей с помощью электромагнитного

мультипольного разложения для описания этих явлений и для разработки стратегии проектирования.

• Описание и управление взаимодействующими полями от метаповерх-ностей и конечных субволновых массивов.

Основные положения, выносимые на защиту:

• При освещении плоской волной достижимо одновременное и почти полное подавление прямого и обратного рассеяния света субволновым объектом, который удовлетворяет закону сохранения энергии и принципу взаимности пассивного рассеивателя. Этот поперечный эффект Керкера (почти поперечное рассеяние) возникает, когда две группы возбужденных мультиполей удовлетворяют (обобщенному) условию Керкера, но смещены по фазе друг относительно друга; например, два когерентных электрических и магнитных диполя деструктивно интерферируют с двумя когерентными электрическими и магнитными квадруполями.

• Метаповерхности, состоящие из мета-атомов, которые рассеивают падающий свет в поперечном направлении, полностью прозрачны, при этом как амплитуда, так и фаза падающего света остаются невозмущенными.

• Широкополосное направленное рассеяние (эффект Керкера) может быть продемонстрирован путем уменьшения контрастности показателя преломления с окружающей средой (например, помещая рассеиватель в некоторую среду), что позволяет осуществить более эффективный вывод локализованных мод.

• Интерферирующие резонансные моды в открытых резонаторах, не обладающих сферической симметрией, позволяют мощности одного или нескольких выходных каналов превысить предел несвязанного канала в одной или обеих, верхней и нижней, ветвях в области антипересечения мод, что открывает путь к широкополосному сверхрассеянию с пониженной симметрией.

Ключевая новизна данной работы включает, но не ограничивается, следующими пунктами:

1. Первое теоретическое предсказание возможности одновременного и почти полного подавления прямого и обратного рассеяния в соответствии с оптической теоремой для пассивных объектов из однородных материалов; мы назвали этот эффект поперечным рассеянием Керкера.

2. Первое описание и наблюдение ключевых преимуществ метаповерх-ности, сделанной из поперечных рассеивателей, по сравнению с мета-поверхностями Гюйгенса с точки зрения ее полной невидимости для падающего света, для которого метаповерхность не привносит фазового сдвига и оставляет его амплитуду практически неизменной.

3. Первая демонстрация поперечного эффекта Керкера в диэлектрической кубической частице в микроволновой области спектра. А также первая демонстрация невидимой поперечной метаповерхности в микроволновом диапазоне с использованием диэлектрических дисков и частиц кубической формы.

4. Первое исследование эффекта сверхрассеяния в рассеивателях, не обладающих симметрией вращения и/или отражения.

5. Первое описание широкополосного направленного рассеяния в оптических системах с уменьшенной контрастностью между показателями преломления, используя обобщенный эффект Керкера для мультиполей разного порядка.

Научная и практическая значимость связана с универсальностью полученных аналитических выражений для описания изученных явлений рассеяния - на субволновых частицах любой геометрической формы, с произвольной конфигурацией падающей электромагнитной волны. В рамках диссертации исследования проводились следующими методами: мультиполь-ное разложение электрического поля в декартовых координатах, сферическое мультипольное разложение и теория Ми, методы матриц рассеяния и переноса (T-матрица), собственные моды открытых резонаторов (также известные как квазинормальные моды) и численное моделирование методом конечных элементов в COMSOL Multiphysics, скрипты с открытым исходным кодом для Python и FORTRAN, а также программное обеспечение Lumerical.

Достоверность полученных результатов обеспечивается современными методами исследования и воспроизводимостью результатов измерений, а также подтверждается хорошим соответствием экспериментальных данных, численного моделирования и аналитических результатов.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и обсуждались на российских и международных конференциях: международная школа-конференция "Saint-Petersburg Open 2018"; международная конференция METANANO 2018, Сочи, Россия (постер), 2019, Санкт-Петербург, Россия (устный доклад), 2020 (онлайн, устный доклад); конференция METAMATERIALS 2019, Рим, Италия (устный доклад); Летние школы METANANO 2018, 2019 и 2020; конференция SNAIA 2021, Париж, Франция (онлайн, устный доклад). Также результаты докладывались на научных семинарах в Университете ИТМО.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 5 научных статьях в журналах, входящих в перечень Высшей аттестационной комиссии Российской Федерации и индексируемых в научных реферативных базах данных Scopus и Web of Science, а также в 7 рецензируемых материалах конференций, индексируемых в научных базах данных Scopus и Web of Science.

Вклад автора. Вклад автора заключается в разработке теории и математическом описании представленных физических эффектов (поперечное и широкополосное рассеяние Керкера, прозрачная метаповерхность и сверхрассеяние), численном моделировании оптического отклика исследуемых структур, участии в формулировании постановки задачи и написании научных статей.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Полный объём диссертационной работы составляет 102 страницы, включая список литературы, который

содержит 158 наименований. Работа включает 20 рисунков и 1 таблицу, представленные в главах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертации представляет предсказание и демонстрацию нового эффекта в резонансной мета-оптике, определяемого поперечным рассеянием на субволновых рассеивателях. В этом эффекте почти полностью подавляются рассеянные поля одновременно в прямом и обратном направлении.

Схожим образом с эффектом Керкера, возможно спроектировать оптический отклик от субволновых объектов, удовлетворив определенные условия для амплитуд и фаз для мультипольных составляющих рассеянного поля. Чтобы вывести условия для одновременного подавления прямого и обратного рассеяния, угловое дифференциальное сечение рассеяния на сферической частице определяется с точностью до дипольных и квадрупольных членов [33]:

^ =

/л к

— + ат сое в + — £0 4

( сое в + ам сое 20 ) \3£о У

(1)

где в - полярный угол, а диаграмма рассеяния считается симметричной в нормальной (азимутальной) плоскости. При исследовании уравнения 1, когерентное рассеяние диполей направлено главным образом в полупространство в прямом или обратном направлении, в зависимости от того, является ли Ке{а^а:^} положительным или отрицательным, соответственно [18]. Таким образом, чтобы реализовать полное подавление рассеяния в обратном направлении |0| > 90° (см. Рис. 1), диполи должны быть в фазе, а их поляризуемости должны быть равны. В противоположном случае, чтобы подавить рассеяние в прямом направлении (|0| < 90°), поляризуемости диполей также должны быть равны; однако их разность фаз должна составлять ж (диполи в противофазе). Эти случаи хорошо известны как эффект Керкера и антиэффект Керкера [18], и их легко можно обобщить для учета квадруполей и других мультиполей высоких порядков (см. Рис. 1 и Главу 4).

2

(Ь) ED+MD

(a)

EQ=MQ ED+MD=-(EQ+MQ)

ж 2 0 6

J k

k

1800

H-plane--E-plane

1 1.2 Size parameter

Рисунок 1 — (a) Диаграмма поперечного рассеяния на a-Si объекте кубической формы в видимом диапазоне. (b) Концепция формирования диаграммы идеального поперечного рассеяния. Электрический диполь (ЭД) находится в фазе с магнитным диполем (МД), а электрический квадруполь (ЭК) находится в фазе с магнитным квадруполем (МК), при

этом диполи находятся в противофазе с квадруполями. (c) Теоретическое и экспериментальное сравнение сечения экстинкции, полученного для керамической сферы с диэлектрической проницаемостью 16+0.001i и радиусом 7.5 мм. (d) Диаграммы рассеяния на частоте / = 7.85 ГГц (размерный параметр 1.23), где зеленая (синяя) кривая обозначает плоскость падающего электрического (магнитного) поля. Рисунки

взяты из [34]

В конкретной ситуации можно реализовать две диаграммы рассеяния в зависимости от соотношения фаз между когерентными диполями и когерентными квадруполями, при этом учитывая равные или близкие амплитуды:

к2

\ар + £оат\ = —\aQ + 3£оам |, arg (ар + £оат) = ± arg (aQ + 3soaM). (2)

Первое условие (со знаком 'плюс') соответствует конструктивной интерфе-

(а).

(Ь)

2.5

2

1.5 1

0.5

и

2.5

2

1.5 1

0.5

700 800 900 Шауе!епд1Ь1, пт

Рисунок 2 — (я) Амплитуды и фазы мультипольных соотношений из уравнения (3) для кубической кремниевой наночастицы с ребром 250 нм. Стрелками показана длина волны, соответствующая поперечному рассеянию. А=788 нм. (Ь,е) Расчетное электрическое поле внутри наночастицы с диаграммой поперечного рассеяния, Л = 788 нм в плоскостях ху и хг, соответственно. Все вычисления проводились в СОМБОЬ МиШрЬувюБ, диэлектрическая проницаемость кремния взята из [36]. Рисунок из [34].

ренции диполей-квадруполей. Также известное как обобщенный эффект Керкера, приводящее к повышению направленности по сравнению с рассеянием типа Керкера (см., к примеру, [35]). Другой вариант рассеяния, который описывается уравнением 2 (со знаком минус), соответствует почти подавленному рассеянию вперед и назад. Этот случай реализуется, когда когерентные диполи и когерентные квадруполи деструктивно интерферируют, образуя диаграмму направленности поперечного рассеяния (как показано на Рис. 1)—боковые "лепестки" квадруполей формируют рассеяние в боковой плоскости. Однако для физической системы с потерями оптическая теорема, которая связывает полное сечение экстинкции частицы с полями, рассеянными вперед, предписывает, что наличие рассеяния в направлении падения (вперед) является условием для ненулевой полной экстинкции. Таким образом, хотя рассеяние вперед нельзя устранить для нетривиального решения, его можно значительно уменьшить, если выполняются условия 2. Рис.1(Ь) схематически иллюстрирует эту концепцию. Концепция поперечного рассеяния (см. уравнение 2) была подтверждена путем измерения

поперечного сечения экстинкции и диаграммы рассеяния для сферической частицы в микроволновом диапазоне. Измеренная экстинкция сравнивается с результатами численных расчетов (теория Ми) на Рис. 1(с). Диаграммы рассеяния для расчетов по теории Ми и данные измерений в плоскости хх представлены на Рис. 1^). Рассеяние бокового типа происходит в широкой полосе частот вне резонанса от / = 7.6 ГГц до / = 7.9 ГГц.

Условия для бокового рассеяния были распространены на более общий случай несферических частиц за счет использования декартовых мульти-польных моментов [37, 38]. После применения процедуры, аналогичной описанной выше, условия для поперечного рассеяния при освещении плоской ж-поляризованной волной можно записать в следующем виде:

срх/ту = 1, сЯхг/3Муг = 1,

2гсрх/кМуг = -1. (3)

На Рис. 2(а) показаны расчетные абсолютные значения отношений из уравнения (3) и их фазы. В диапазоне длин волн 700 — 820 нм электрический диполь демонстрирует особенности резонанса с профилем Фано [39], в то время как магнитный диполь непрерывно увеличивается. Квадруполь-ное отношение демонстрирует линейное поведение с постоянной нулевой разницей фаз, после Л = 780нм это поведение связано с длинноволновым режимом [33]. На длине волны Л = 788 нм можно видеть, что диполи в фазе (сплошная красная линия) с почти равными амплитудами (сплошная синяя линия), что указывает на эффект Керкера. Схожим образом, квад-руполи сохраняют сравнимые амплитуды cQxz/3Муг = 0.94 (штриховая синяя линия) и находятся в фазе (штриховая красная линия). Когерентные диполи сдвинуты по фазе примерно на 0.75^ по отношению к квадруполям (пунктирная красная линия), что приводит к тому, что наблюдается почти полное подавление рассеяния вперед и назад. В результате в дополнение к математическим условиям возникают следующие физические требования для поперечного рассеяния: интерференция Фано для дипольной моды и квадруполи в длинноволновой области, находящиеся вне резонанса.

На Рис. 2(Ь,е) показано, что электрическое поле сильно локализовано внутри наночастицы в плоскостях ух и хг на длине волны поперечного рассеяния. Наблюдаемое усиление ближнего поля сопровождается сильным подавлением рассеяния, напоминающим случай анапольной моды [40], где излучение диполя почти полностью аннулируется полем электрического тороидального момента.

Вторая глава представляет исследование и реализацию метаповерх-ностей, которые обеспечивают подавление отраженных полей. В отличие от метаповерхностей Гюйгенса, свет проходит через эту метаповерхность без изменения амплитуды или фазы, таким образом, демонстрируется решеточная невидимость, сопровождаемая локализованными ближними полями, что может интерпретироваться как полное пропускание света фотонной структурой.

Элементы, составляющие основу невидимых метаповерхностей (т.е. мета-атомы), являются "поперечными рассеивателями" и были подробно представлены в первой главе этой диссертации [34]. Дуализм эффекта Кер-кера и анти-эффекта Керкера, определяющий поперечное рассеяние на одиночных рассеивателях, сохраняется для невидимых решеток в режиме субдифракции вне зависимости от вариаций параметра решетки. Также в микроволновом диапазоне было продемонстрировано, что как амплитуда, так и фаза прошедшей волны остаются неизменными. Полуаналитический метод мультипольного разложения для рассеяния на одиночном объекте использовался для разложения коэффициентов отражения и пропускания для субдифракционной периодической решетки в однородной среде в присутствии подложки и без нее.

Знание поля вне структуры метаповерхности, состоящей из периодически расположенных диэлектрических рассеивателей, бесконечной в плоскости х-у, позволяет сформулировать не-френелевские коэффициенты отражения ^ > 0 и пропускания ^ < 0 [4]. Эти коэффициенты - комплексные величины для диэлектрических частиц с потерями и без, и они включают в себя характеристики периодичности решетки. В этой работе всюду использовалось освещение метаповерхностей падающей по нормали, линейно

(а) 10 0.8

га

aT о

(Я

га .с

О- -п -2п

10.5

9.0 9.5

Frequency (GHz)

Рисунок 3 — Смоделированные коэффициенты отражения (гт), пропускания (tm), и мультипольное разложение полностью диэлектрической метаповерхности, состоящей из (a) дисков и (b) кубических частиц. Разложение сделано с использованием уравнения 4, вертикальными линиями отмечено спектральное положение поперечного эффекта Керкера (эффект невидимости). Геометрические и материальные параметры изготовленных метаповерхностей и их составных элементов: (a) d = 8.0 мм, h = 5.0 мм, а = 20 мм, е = 23 + г0.138 (b) h = 8.0 мм, а = 22 мм, е = 21 + ¿0.168. Рисунок из [41]

поляризованной плоской волной Einc = Е0elkzx, где x - единичный вектор, направленной вдоль оси х, тогда

i к ( 1 i к i к \

~ту — 2с /'

г =

' т —

t = 1 +

ьт — -1- >

2 ЕоАео V

( 1 'L ^ п 'L ^ ж \ [Рх ~Qmy + 2с )'

(4)

2ЕоАе о

где с - скорость света в вакууме, А = х ay | - площадь элементарной ячейки. Последние уравнения связывают рассеяние на одиночной частице и волновой фронт метаповерхности в дальнем поле. Таким образом, возможно анализировать поле, излучаемое метаповерхностью, используя мультипольное разложение поля, рассеянного составляющим мета-атомом. В первой главе представлены условия, при которых происходит практически одновременное подавление прямого и обратного рассеяния на одиночном рассеивателе [34]. Аналогичные условия можно получить для полностью прозрачной метаповерхности в однородной среде, просто приравняв как отражение решетки, так и ее вклад в прохождение волны к нулю, гт = 0 и 1 — £ т = 0 (уравнение

(a) i.o

(b)

!.0

^ 71/2 2>

0

i^K/2

со

-71

t

А

10.5

8.5 9.0 9.5 10.0 — 11.0 8.5 9.0 9.5 " 10.0

Frequency (GHz) Frequency (GHz)

Рисунок 4 — Смоделированные (светлые линии) и измеренные (яркие линии) амплитудные коэффициенты пропускания (tm) и отражения (гт) для полностью диэлектрической метаповерхности, состоящей из (a) дисков и (b) кубических частиц. В

моделировании учитывались реальные потери в веществе (tan 8 = 6 х 10-3) в керамических частицах, в то время как подложка моделировалась как диэлектрик без

потерь, с показателем преломления, почти равным единице. На вставках показаны фрагменты прототипов метаповерхности. Геометрические параметры частиц и период решётки такие же, как на Рис. 3. Рисунок из [41]

3). Хотя ранее предполагалось, что рассеяние полностью описывается вкладами мультиполей не выше магнитного квадруполя МК, однако эти условия можно обобщить, чтобы учесть мультиполи более высокого порядка.

Аналитические прогнозы были подтверждены численным моделированием и экспериментальными измерениями в микроволновом диапазоне спектра (8 — 15 ГГц), чтобы продемонстрировать эффект невидимости. Были изучены массивы частиц из керамики с низкими потерями и высоким показателем преломления, изготовленных в форме дисков и кубов. Электромагнитный отклик метаповерхностей был получен наложением периодических граничных условий Флоке на четырех границах элементарной ячейки, чтобы смоделировать бесконечный двумерный массив частиц. На Рис. 3 показаны амплитуды и фазы рассчитанных коэффициентов отражения и пропускания для двух метаповерхностей, состоящих из дисков (3(a)) и кубических частиц (3(b)), организованных в квадратную решетку с периодом а = |аж| = |ay |. Моделирование подтверждает, что в выбранной полосе частот действительно

(а)

(Ь)

0.1 цт < Н < 0.4 цт

А (/хт)

А (¿¿т)

8 1 А (дт)

8 1 А (/1Ш)

(С) I0-8 0.35 . 1 05 30.25 0.4 1 ¡0.3 0-2 . 1 0.2 \ : ■ (V ш й 1

ил о.е 1 0.8 (И)04 1 0.25 0.35 10.2 °'15 1о.25 I01 1 0.2 |005 0.15 л л 1 1.2 \ (/хт)

I / I

Рисунок 5 — (а) Схематичное изображение кремниевого нанокубоида с изменяемой высотой (Н) и квадратным основанием с заданной стороной 250 . Нанокубоид находится в свободном пространстве и освещается нормально падающей плоской волной. (Ь) Полное сечение рассеяния (^т,)2 нанокубоида. (с) Показатель асимметрии дифференциального

рассеяния нанокубоида. Вклады электрического диполя (е), магнитного диполя (Г), электрического квадруполя и магнитного квадруполя (Ь) в полное сечение рассеяния.

возникают области полной прозрачности. Вертикальными штриховыми линиями отмечены соответствующие резонансные частоты (они равны /8р = 10.5 ГГц и /8р = 9.67 ГГц для массива дисков и массива кубических частиц, соответственно).

Можно принять во внимание, что ЭД обладает профилем резонанса Фано, и точка, в которой отражение близко к нулю, находится вблизи провала на кривой. Резонанс МК оказывается смещенным в красную область спектра относительно точки почти нулевого отражения для массива дисков и смещенным в синюю область для массива кубических частиц. В то же время, другие мультиполи находятся вне резонанса. Условия (3) почти выполнены; можно заметить, что все четыре мультиполя сохраняют сравнимые амплитуды в точке нулевого отражения, где диполи находятся в фазе (эффект Керкера), и квадруполи также в фазе (обобщенный эф-

фект Керкера). Последнее из условий (3), представленное черной штриховой линией, показывает, что когерентные диполи находятся в противофазе с когерентными квадруполями. Разность фаз между падающим и прошедшим через структуру светом равна нулю (синие линии), что означает, что эти ме-таповерхности чрезвычайно прозрачны, что подчеркивает их преимущество по сравнению с метаповерхностями Гюйгенса. Измеренные коэффициенты пропускания и отражения для обеих метаповерхностей представлены на Рис. 4. Для сравнения были выполнены дополнительные численные расчеты, которые учитывают измеренные отклонения размеров метаповерхностей от номинальных значений, возникшие при изготовлении, и потери в частицах. Представленные данные демонстрируют отличное соответствие между измерениями и моделированием.

Третья глава иллюстрирует спектральную эволюцию мультиполь-ного разложения для отдельных рассеивателей в декартовых координатах, расположенных в непоглощающей среде с настроенными оптическими свойствами и интересный эффект широкополосного рассеяния вперед (широкополосный эффект Керкера). Были объяснены роль симметрии резонатора в усилении направленности рассеяния и эффект уменьшения волнового сопротивления окружающей среды.

На рис.5 показаны полное рассеяние и расчеты показателей асимметрии для кремниевого нанокубоида, а также декартовое мультипольное разложение рассеяния. В качестве основания кубоида выбран квадрат со стороной 250(нм) и высотой, варьируемой в диапазоне (нм 100 < Н < 400 нм). Кубоид принадлежит точечной группе симметрии Д^, что позволяет связать моды в мультипольные каналы различного порядка и четности. Так как кубоид инвариантен к отражению в плоскости, перпендикулярной его главным осям, а падающая плоская волна распространяется вдоль этих осей, его резонансный профиль очень похож на профиль цилиндра. Как видно из рис.5 (е) и (Ь), электрическая дипольная мода связывается с магнитной квадрупольной модой, и они не пересекаются в окрестностях длины волны Л = 780(нм). Рис. 5 (£) и иллюстрируют аналогичный механизм связки магнитной дипольной и электрической квадрупольной мод в коротковолно-

15

0

1

1.5 n

400

395

390

385

N X Icr

SB

2

380

2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1

Рисунок 6 — Траектории собственных частот электрической квадрупольной моды кремниевого нанокуба (250 ) в среде с управляемым показателем преломления (n). Мнимая (действительная) часть собственной частоты моды соответствует левой (правой) оси y и закрашенным (незакрашенным) точкам. Цветовая палитра справа показывает нормированную возбужденную эффективность моды для нормально падающей плоской

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аль-Наима Хади Карим Шамхи, 2021 год

* 0.4 -

0.2 -

0.0 -

71 "

3. 71/2 ■

G?

re 08 0 -

7*1

» -71/2 •

re

71 -1 8

(b) 1.0-1

0.8

I 0.6

* 0.4

0.2 "

0.0

71 "

S 71/2 ■

P

m 0 -

OÖ

2 p -71/2 ■

re

-71 J

!.0 9.5 10.0 Frequency (GHz)

fsp

11.0

* 3/ ---1 1% 1 * ■ 1 ■ 1

1 1' ■ ■ r-^vJ I-

1.0 9.5 10.0

Frequency (GHz)

10.5

FIG. 5. Simulated (dashed lines) and measured (solid lines) transmission (tm) and reflection (rm) coefficients of the all-dielectric metasurface composed of (a) disk and (b) cubic particles. The insets demonstrate fragments of the metasurface prototypes. In the simulation the substrate is modeled as a lossless dielectric with near-unity refractive index, while actual material losses in ceramic particles are taken into account, where (a) e = 23 + ¿0.138, (b) e = 21 + ¿0.168, and all geometrical parameters of the particles and lattice spacing are the same as in Fig. 2.

V. METASURFACES PLACED ON A CONDUCTING SUBSTRATE

For various practical realizations, where the lattice is to be placed on a substrate, we extend the semi-analytic derivation of the reflection and transmission decomposition of the lattice shown in Sec. II to account for a substrate. We found the transverse scatterers gradually transform to Kerker scatterers on high-index substrates [32], and the broadband Huygens' metasurfaces can be realized as a result of this mechanism [29]. Nonetheless, in this section we discuss the transformation of the considered metasurface to a fully absorbing lattice

x 10

9.8 10.2 Frequency (GHz)

11.0

FIG. 6. Absorption cross section and its approximated multipole decomposition of the stand-alone ceramic cube in the two situations presented in the text, i.e., free space and placed 3 mm above the PEC sheet. The left inset shows the calculated electric-field distribution associated with the MQ at resonance for the cube above the PEC sheet (the point of maximal absorption), and the right inset depicts the electric-field amplitude of the m = 5/2 eigenmode for the equivalent 1D Fabry-Perot resonator. The material and geometrical parameters of the cube are the same as in the metasurface in Fig. 5(b).

with the addition of a conducting substrate (a PEC sheet in the microwave range). Analytic results will be supported by numerical calculations and experimental measurements.

We start our discussion with an investigation of the spectral behavior of an isolated meta-atom, i.e., a single cube (introduced in Fig. 1) deposited over a PEC sheet. Since the holder has a finite thickness, there can be a distance (gap) between the particles and the PEC sheet. We suppose that the gap is much smaller than the wavelength of the wave in the substrate material (in our experimental samples the gap is 3 mm). Hereinafter we account for this gap between the cubes and the sheet.

To provide better physical intuition, let us follow Ref. [48] and consider only spatial variations along the height of the cavity. In the 1D case, an open cavity can be seen as a lossy dielectric Fabry-Perot resonator of refractive index n = After excitation with an external pulse (the incident wave), the resonator supports a series of standing-wave-like field patterns whose excitation depends on the number of effective wavelengths that can be introduced inside the cavity of length A0 (see inset of Fig. 6). In the general case, the walls of the resonator have nonzero transmittance and thus allow the confined modes to leak into the environment in the form of outgoing plane waves. When the internal field interferes constructively with itself, mode resonances occur. The latter take place only when the phase shift induced in the circulating wave after reaching the second wall and returning to the first accounts for 2n. Using this fact, it is straightforward to show that the resonant frequencies for a lossless dielectric Fabry-Perot resonator are [49]

fm —

cm 2nAo '

(9)

where m is an integer or half-integer number accounting for the different resonance modes [50]. If losses are considered, an imaginary term needs to be added to the expression for fm [48], but the real part remains the same as in Eq. (9). Higher values of m allow us to contain additional quarter wave-

lengths inside the resonator. For example, for the first three m = 1/2, 1, 3/2, a quarter wavelength, half wavelength, and three quarters of a wavelength can be fit in the length A0, respectively. In the general case, the effective wavelengths that can be fit in the resonator for a given m are A0/Xeff = m/2, where Xeff = X/n and X is the wavelength in free space.

In Fig. 6 we show the numerically calculated absorption cross section of the cubic particle above PEC substrate, its multipole decomposition, and insets showing the link between the aforementioned Fabry-Perot mode and the resonant MQ.

The individual contribution of the leading multipoles was calculated approximately as the difference between the extinction and scattering cross sections [9,11]. First, we considered the exact expressions for the extinction cross sections of the electric and magnetic dipoles and quadrupoles [9,51]:

^ext = W Imip • Eexc(r0)l'

21o

<t = ^ Im{m • Hxc(ro)},

21o

OQt — — Re{Q : VEe*xc lr—ro}'

m Î2Î0 1

<xt —-^ Re([V X (M • V )] • Egxc lr—ro }'

(10)

where w is the angular frequency, I0 is the incident energy flux, and E^xc(r0) and Hxc(r0) are the complex conjugates of the excitation electric and magnetic fields evaluated at the center of the particle r0. The expressions above are valid for any excitation field and particles of arbitrary shape. For an x-polarized plane wave normally incident on a PEC substrate along the z axis, the exciting field which needs to be substituted in Eq. (10) corresponds to the sum of the incident and reflected waves. Second, the individual contributions of each multipole to absorption are assumed to be

OL — OL — OL

Oabs — Oext Osca '

(11)

where L denotes any of the leading multipole moments. The formulas for each term in the scattering cross-section decomposition are taken from Ref. [11]. Therefore, the approximate total absorption cross section can be written in the form

Oabs — O.

+oms+oQ

abs

I „M + °abs-

(12)

Here we neglect magnetoelectric coupling between the mul-tipoles due to the PEC [51], and other cross terms between the multipoles. However, Fig. 6 shows that Eq. (12) is in good quantitative agreement with the numerically calculated absorption cross section obtained with comsol Multiphysics, indicating the validity of the approach used in the spectral range considered.

Consequently, in Fig. 6 we observe a strong enhancement of the absorption peak centered at the eigenfrequency in comparison with the free-space scenario. Moreover, the induced magnetic quadrupole responsible for this enhancement is fully driven by the eigenmode (standing wave) of the Fabry-Perot resonator. This is confirmed by the identical internal field distributions of the mode and the one obtained from numerical simulations (insets of Fig. 5). Thus, simple physics of 1D open resonators suffices to qualitatively describe the resonant

behavior of the single nanoparticle on PEC, as well as the metasurface, as will be discussed shortly.

With the physical intuition gained by the investigation of the single meta-atom, we now turn our attention toward the case of the metasurface. Following the analytical treatment from Sec. II, modeling the metasurface as a plane crossing the center of the particles with non-Fresnel reflection and transmission coefficients (4), and the method given in Refs. [52-54], we can apply the well-known Airy-Fresnel formulas to study the reflection from the whole system. It is similar to the 1D Fabry-Perot model but is suitable for metasurfaces since it takes into account the mutual particle interaction and provides useful information on each multipole contribution.

Now, Ah is the distance from the substrate interface to the plane, where point-like multipoles are localized (particle centers), considered as an imaginary interface [52-54]. These two boundaries now play the role of the walls of a resonator. The reflection and transmission coefficients of the whole system take the form

(a)

and

rtot — rm +

ttot —

r 12 e2ikAh 'slmK_

1 — r r e2ik^h ' 1 1 sl m^

tstm

1 — r r e2ik^h 1 ' s'm*-

(13)

(14)

where rtot and itot are the overall system reflection and transmission with the substrate, and rs and ts are Fresnel coefficients of the substrate for the normally incident wave. When a PEC is used as substrate (i.e., the reflection of the lower wall of our Fabry-Pérot resonator is — 1), the total reflection is simplified to

2„2ikAh

rtot — rm

t2 e

1 + m2

(15)

where rs = — 1 and ts = 0 have been substituted. Therefore, to cancel the reflection and absorb all incident light, the an-tireflection condition should be fulfilled, and direct reflection from the lattice and the substrate-aided reflection [the second term of Eq. (15)] should be in a n phase relation having equal amplitudes [50].

Let us use formula (15) to study the reflection from the metasurface on a substrate. Figure 7 shows the results of the analytical calculations together with the measured reflection and the results of simulations in comsol Multiphysics. It is noteworthy that the results are very close to each other, validating the suggested approach.

The multipolar decomposition (15) of rm gives us the particular contributions of the multipoles to the reflection. As is clearly seen from Fig. 6(b), the resonant MQ is once again responsible for the reflection dip (absorption peak, because the PEC interface now allows for nonzero transmission). The spectral position of the MQ resonance at /sp = 10.25 GHz is slightly shifted in comparison with the free-space case shown in Fig. 2, which is at /sp = 10.17 GHz. However, both positions are in the vicinity of the original MQ resonance of the stand-alone cubic particle (see Fig. 6), underlining that the resonant modes of an isolated meta-atom provide valuable insight into the optical response of the metasurface.

(b)

10.0

10.5 10.75

Frequency (GHz)

11.0

FIG. 7. (a) Simulated and measured total reflection coefficient of the all-dielectric metasurface (rtot) composed of cubic particles and placed 3 mm above the PEC substrate. (b) The multipole decomposition of the first term of Eq. (15) (rm) which represents the lattice direct contribution to the total reflection. Note here rm has been calculated by taking into account the total excitation field acting on the particles. The material and geometrical parameters of the metasurface are the same as in Fig. 5(b).

VI. CONCLUSIONS

We have studied, both theoretically and experimentally, a novel class of all-dielectric Mie-resonant metasurfaces governed by the transverse Kerker effect. Such metasurfaces can demonstrate a complete transparency similar to Huygens' metasurfaces, but they experience zero phase shift between the incident and transmitted waves. We have clarified the underlying physics of this effect, and we have formulated the specific conditions for which both reflection and transmission coefficients vanish simultaneously for a square lattice composed of Mie-resonant dielectric particles. This type of optical response occurs when the coherent dipole modes and coherent quadrupole modes excited in the individual dielectric particles satisfy the so-called generalized Kerker condition, and they possess a phase difference between each others. When these conditions are satisfied, the metasurface becomes absolutely transparent, and both amplitude and phase of a transmitted wave are completely unaffected. We demonstrate this effect experimentally for microwave frequencies. Importantly, the coupled multipoles in the lattice do not affect the transparency point, and we have shown that a variation of the lattice spacing in the subdiffractive scattering regime results in either narrowing or broadening of the near-zero-reflection region, and the reflection dip itself does not disappear.

We have studied theoretically and also verified in experiment the effect of the total absorption by the dielectric metasurfaces supporting the transverse Kerker effect placed on a conducting substrate. The qualitative explanation of this effect is based on the Fabry-Perot resonances, and it shows that the absorption peak is due to a standing wave

h

corresponding to the magnetic quadrupole resonance. A more detailed analysis based on the metasurface multipole decomposition and the Airy formulas suggests a good agreement with both numerical simulations and experimental data, and it proves a dominant role played by the MQ resonance in the metasurface absorption.

Thus, the dielectric metasurfaces governed by the transverse Kerker effect can provide both transparency and full absorption, and they could be useful for a design of a variety of optical elements with enhanced properties, allowing for more flexible manipulation of light with ultrathin planar optics. Moreover, strong near-fields mediated by the almost-nonscattering regime pave the way to a plethora of applications such as nonlinear harmonic generation, enhanced lasing and Raman scattering, and ultrasensitive sensing. On the other hand, we believe that the perfect absorption delivered naturally by low-absorbing dielectric particles could be of a

significant relevance for the future device applications that require efficient light trapping and absorption, such as active integrated photonic circuits, selective thermal emitters, or microwave-to-infrared signature controllers.

ACKNOWLEDGMENTS

The experimental studies of the reflection and transmission coefficients in the microwave frequency range have been supported by the Russian Science Foundation (Grant No. 17-79-20379). A.S. acknowledges the support from the President of the Russian Federation (Grant No. MK-3620.2019.8). Y.S.K. acknowledges the support from the Strategic Fund of the Australian National University. V.R.T. acknowledges the hospitality and financial support of the Jilin University.

H.K.S. and A.S. contributed equally to this work.

[1] M. Kerker, The Scattering of Light (Academic Press, Inc., New York, 1969).

[2] H. C. van de Hulst, Light Scattering by Small Particles (Dover Publications, Inc., New York, 1981).

[3] C. F. Bohren and D. R. Huffman, Absorption and Scattering of Light by Small Particles (Wiley, New York, 1998).

[4] F. Frezza, F. Mangini, and N. Tedeschi, J. Opt. Soc. Am. A 35, 163 (2018).

[5] M. I. Mishchenko, W. J. Wiscombe, J. W. Hovenier, and L. D. Travis, Overview of scattering by nonspherical particles, in Light Scattering by Nonspherical Particles, edited by M. I. Mishchenko, J. W. Hovenier, and L. D. Travis (Academic Press, San Diego, 2000), Chap. 2, pp. 29-60.

[6] F. M. Kahnert, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 79-80, 775 (2003).

[7] T. Wriedt, Mie theory: A review, in The Mie Theory. Springer Series in Optical Sciences, edited by W. Hergert and T. Wriedt (Springer, Berlin, Heidelberg, 2012), Vol. 169, Chap. 2, pp. 5371.

[8] A. V. Osipov and S. A. Tretyakov, Modern Electromagnetic Scattering Theory with Applications (Wiley, Chichester, 2017).

[9] A. B. Evlyukhin, T. Fischer, C. Reinhardt, and B. N. Chichkov, Phys. Rev. B 94, 205434 (2016).

[10] P. D. Terekhov, V. E. Babicheva, K. V. Baryshnikova, A. S. Shalin, A. Karabchevsky, and A. B. Evlyukhin, Phys. Rev. B 99, 045424 (2019).

[11] E. A. Gurvitz, K. S. Ladutenko, P. A. Dergachev, A. B. Evlyukhin, A. E. Miroshnichenko, and A. S. Shalin, Laser Photonics Rev. 13, 1970025 (2019).

[12] R. Alaee, C. Rockstuhl, and I. Fernandez-Corbaton, Adv. Opt. Mater. 7, 1800783 (2019).

[13] R. Rezvani Naraghi, S. Sukhov, and A. Dogariu, Opt. Lett. 40, 585 (2015).

[14] C. Díaz-Avinó, M. Naserpour, and C. J. Zapata-Rodríguez, Opt. Express 24, 18184(2016).

[15] T. Yamane, A. Nishikata, and Y. Shimizu, IEEE Trans. Electromagn. Compat. 42, 441 (2000).

[16] J. C. Sureau, IEEE Trans. Antennas Propag. 15, 657 (1967).

[17] P. S. Kildal, A. A. Kishk, and A. Tengs, IEEE Trans. Antennas Propag. 44, 1509 (1996).

[18] M. Riso, M. Cuevas, and R. A. Depine, J. Opt. (Bristol, UK) 17, 075001 (2015).

[19] M. Naserpour, C. J. Zapata-Rodríguez, S. M. Vukovic,

H. Pashaeiadl, and M. R. Belic, Sci. Rep. 7, 12186 (2017).

[20] V. I. Fesenko, V. I. Shcherbinin, and V. R. Tuz, J. Opt. Soc. Am. A 35, 1760 (2018).

[21] V. I. Shcherbinin, V. I. Fesenko, and V. R. Tuz, J. Opt. Soc. Am. B 35, 2066 (2018).

[22] M. Kerker, D.-S. Wang, and C. L. Giles, J. Opt. Soc. Am. 73, 765 (1983).

[23] B. García-Cámara, R. Alcaraz de la Osa, J. M. Saiz, F. González, and F. Moreno, Opt. Lett. 36, 728 (2011).

[24] W. Liu and Y. S. Kivshar, Philos. Trans. R. Soc., A 375, 20160317(2017).

[25] P. D. Terekhov, H. K. Shamkhi, E. A. Gurvitz, K. V. Baryshnikova, A. B. Evlyukhin, A. S. Shalin, and A. Karabchevsky, Opt. Express 27, 10924 (2019).

[26] W. Liu and Y. S. Kivshar, Opt. Express 26, 13085 (2018).

[27] K. V. Baryshnikova, M. I. Petrov, V. E. Babicheva, and P. A. Belov, Sci. Rep. 6, 22136 (2016).

[28] V. E. Babicheva, M. I. Petrov, K. V. Baryshnikova, and P. A. Belov, J. Opt. Soc. Am. B 34, D18 (2017).

[29] M. Decker, I. Staude, M. Falkner, J. Dominguez, D. N. Neshev,

I. Brener, T. Pertsch, and Y. S. Kivshar, Adv. Opt. Mater. 3, 813 (2015).

[30] V. E. Babicheva and A. B. Evlyukhin, Laser Photonics Rev. 11, 1700132 (2017).

[31] Z.-J. Yang, R. Jiang, X. Zhuo, Y.-M. Xie, J. Wang, and H.-Q. Lin, Phys. Rep. 701, 1 (2017).

[32] H. K. Shamkhi, K. V. Baryshnikova, A. Sayanskiy, P. Kapitanova, P. D. Terekhov, P. Belov, A. Karabchevsky, A. B. Evlyukhin, Y. Kivshar, and A. S. Shalin, Phys. Rev. Lett. 122, 193905 (2019).

[33] S. D. Swiecicki and J. E. Sipe, J. Opt. (Bristol, UK) 19, 095006 (2017).

[34] F. J. García De Abajo, Rev. Mod. Phys. 79, 1267 (2007).

[35] J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 3rd ed., McGraw-Hill Physical and Quantum Electronics Series (W. H. Freeman, Englewood, 2005).

[36] C. Qian, X. Lin, Y. Yang, X. Xiong, H. Wang, E. Li, I. Kaminer, B. Zhang, and H. Chen, Phys. Rev. Lett. 122, 063901 (2019).

[37] I. Staude, A. E. Miroshnichenko, M. Decker, N. T. Fofang, S. Liu, E. Gonzales, J. Dominguez, T. S. Luk, D. N. Neshev, I. Brener, and Y. Kivshar, ACS Nano 7, 7824 (2013).

[38] A. B. Evlyukhin, C. Reinhardt, A. Seidel, B. S. Luk'yanchuk, and B. N. Chichkov, Phys. Rev. B 82, 045404 (2010).

[39] V. A. Markel, J. Phys. B: At., Mol. Opt. Phys. 38, L115 (2005).

[40] W. Liu, A. E. Miroshnichenko, D. N. Neshev, and Y. S. Kivshar, Phys. Rev. B 86, 081407(R) (2012).

[41] C. R. Simovski, A. S. Shalin, P. M. Voroshilov, and P. A. Belov, J. Appl. Phys. 114, 103104 (2013).

[42] V. E. Babicheva and A. B. Evlyukhin, ACS Photonics 5, 2022 (2018).

[43] M. G. Silveirinha, Phys. Rev. A 89, 023813 (2014).

[44] M. V. Rybin, K. L. Koshelev, Z. F. Sadrieva, K. B. Samusev, A. A. Bogdanov, M. F. Limonov, and Y. S. Kivshar, Phys. Rev. Lett. 119, 243901 (2017).

[45] V. E. Babicheva, MRS Commun. 8, 1455 (2018).

[46] A. Sayanskiy, A. S. Kupriianov, S. Xu, P. Kapitanova, V. Dmitriev, V. V. Khardikov, and V. R. Tuz, Phys. Rev. B 99, 085306 (2019).

[47] S. Xu, A. Sayanskiy, A. S. Kupriianov, V. R. Tuz, P. Kapitanova, H.-B. Sun, W. Han, and Y. S. Kivshar, Adv. Opt. Mater. 7, 1801166 (2019).

[48] P. Lalanne, W. Yan, K. Vynck, C. Sauvan, and J. P. Hugonin, Laser Photonics Rev. 12, 1700113 (2018).

[49] N. Ismail, C. C. Kores, D. Geskus, and M. Pollnau, Opt. Express 24, 16366 (2016).

[50] M. Born and E. Wolf, Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light, 7th ed. (Cambridge University Press, Cambridge, 1999).

[51] A. E. Miroshnichenko, A. B. Evlyukhin, Y. S. Kivshar, and B. N. Chichkov, ACS Photonics 2, 1423 (2015).

[52] D. A. Baranov, P. A. Dmitriev, I. S. Mukhin, A. K. Samusev, P. A. Belov, C. R. Simovski, and A. S. Shalin, Appl. Phys. Lett. 106, 171913 (2015).

[53] A. S. Shalin, JETP Lett. 91, 636 (2010).

[54] A. S. Shalin and S. G. Moiseev, Opt. Spectrosc. 106, 916 (2009).

Check for updates

Я)

Broadband forward scattering from dielectric cubic nanoantenna in lossless media

P. D. Terekhov,1'2'3'4'8 H. K. Shamkhi,2'8 E. A. Gurvitz,2

K. V. Baryshnikova,2 A. B. Evlyukhin,2'5'6 A. S. Shalin'2'7 and

A. Karabchevsky1'3'4'*

1 Electrooptics and Photonics Engineering Department, Ben-Gurion University, Beer-Sheva 8410501, Israel 2ITMO University, 49 Kronverksky Ave., St. Petersburg 197101, Russia

3Ilse Katz Institute for Nanoscale Science & Technology, Ben-Gurion University, Beer-Sheva 8410501,

4 Center for Quantum Information Science and Technology, Ben-Gurion University, Beer-Sheva 8410501,

5 Moscow Institute of Physics and Technology, 9 Institutsky Lane, Dolgoprudny 141700, Russia 6Institute of Quantum Optics, Leibniz Universität Hannover, Hannover 30167, Germany 7Ulyanovsk State University, Ulyanovsk 432017, Russia 8 Authors contributed equally * [e-mail]

Abstract: Dielectric photonics platform provides unique possibilities to control light scattering via utilizing high-index dielectric nanoantennas with peculiar optical signatures. Despite the intensively growing field of all-dielectric nanophotonics, it is still unclear how surrounding media affect scattering properties of a nanoantenna with complex multipole response. Here, we report on light scattering by a silicon cubic nanoparticle embedded in lossless media, supporting optical resonant response. We show that significant changes in the scattering process are governed by the electro-magnetic multipole resonances, which experience spectral red-shift and broadening over the whole visible and near-infrared spectra as the indices of media increase. Most interestingly, the considered nanoantenna exhibits the broadband forward scattering in the visible and near-infrared spectral ranges due to the Kerker-effect in high-index media. The revealed effect of broadband forward scattering is essential for highly demanding applications in which the influence of the media is crucial such as health-care, e.g., sensing, treatment efficiency monitoring, and diagnostics. In addition, the insights from this study are expected to pave the way toward engineering the nanophotonic systems including but not limited to Huygens-metasurfaces in media within a single framework.

© 2019 Optical Society of America under the terms of the OSA Open Access Publishing Agreement

1. Introduction

Tuning the scattering resonances of plasmonic or dielectric nanoparticles has enabled scientists and engineers to localize light at nanoscale and enhance peculiar optical phenomena over the last decade [1,2]. Specifically, changing the shape and dimensions of high-index dielectric nanoparticles leads to the variation of their optical properties opening a door for a plethora of interesting phenomena [2-7] . Nanoparticles scatter light and support the excitation of the geometrical (Mie) electric and magnetic multipolar resonances [2-8] which in turn enhance light-matter interaction. Despite the fact that the influence of nanoparticles size, geometry, and material on their optical properties is being extensively explored [3,9,10] for cloaking [11] and spectroscopy [12], the influence of media in which the nanoparticles are embedded is still obscured. Here, therefore, we bridge this gap in knowledge by exploring the optical properties of high-index nanoparticles depending on the optical properties of a surrounding medium. One of the auxiliary tools for understanding the interaction of light with nanoparticles is multipole

Israel

Israel

#358113 Journal © 2019

https://doi.org/10.1364/OE.27.010924 Received 21 Jan 2019; revised 25 Feb 2019; accepted 25 Feb 2019; published 4 Apr 2019

Vol. 27, No. 8 | 15 Apr 2019 | OPTICS EXPRESS 10925

OptiCS EXPRESS

decomposition [13].

The role of multipole contributions to scattering effect is of high importance for a variety of applications, including but not limited to nanoantennas [14-18], sensors [19-21], solar cells [22], multi-functional metasurfaces [23-25] and cloaking devices [11,26]. Dielectric nanoparticles could be used for a drug delivery, and as probes for an electromagnetic diagnosis in emerging medical applications [27-29]. The particles' resonant behavior in dielectric media like, e.g., the human body environment is another very interesting question [30].

Forward scattering phenomenon has been a subject of extensive studies both theoretically and experimentally [31-37]. Most of such studies are based on engineering the multipolar resonances to meet the requirement of the well-known Kerker effect [31]. In a core-shell nanoparticle, for instance, the dielectric shell shifts the electric dipole resonance of the metal core so both core and shell resonances overlap and contribute to the forward scattering due to constructive interference [33]. A high-index substrate on another hand provides a leakage medium and results in a broadening of the multipoles resonances, therefore supporting broadband forward scattering and allowing a design of efficient dielectric Huygens' metasurfaces [32,34].

Recent analytics [35,37] followed by experimental verification [36] has been carried out for low-index Mie spheres in vacuum for obtaining broadband backscattering suppression. Artificially created low-index materials enable comparable amplitudes for all multipole moments so exhibit the duality effect. However, for realistic applications in visible and near infrared frequencies, it is convenient to use the nanostructures embedded in homogeneous dielectric media.

We show that increasing the refractive index of a medium induces high-order multipole resonances in the scatterer. In addition, induced resonances experience a spectral broadening and incoherent red shift. It also allows to use smaller nanoparticles to design compact optical devices based on high-index particles.

The proposed structure supports overlapping of several multipole resonances leading to the strong asymmetric broadband forward scattering. We found that subwavelength silicon cubic particle embedded in a dielectric medium is capable to support a considerable scattering efficiency while maintaining broadband forward scattering in the visible spectrum. Insights from this study are expected to pave the way towards engineering the nanophotonic systems in media within a single framework.

2. Theoretical background

In this paper, we consider the optical system including the single silicon nanocube suspended in a lossless medium. Figure 1 shows the schematics of the studied system which is a nanocube with edge of H = 250 nm, made of polycrystalline silicon [38] and suspended in media with the indexes n of 1 < n < 2 having increment of dn = 0.2. Note that the wavelengths values throughout the article are considered for the incident light wave in air.

To analyze the considered system, we use the semi-analytical multipole decomposition approach reported in [39]. This approach is based on the multipole expansions frequently used in electrodynamic theory [39-41]. Here we use the expressions of the dynamic multipole moments up to the magnetic quadrupoles as defined in [41]. Note that for scatterers located in a medium the wavenumber, introducing in the expressions for multipoles [41], should be taken in this medium. In addition, we consider the quasistatic electric octupole moment as derived in [39]. We validated that the considered set of multipole moments is sufficient for the proper description of the system we study. In contradiction, the quasistatic approximation is not suitable, because long-wavelength approximation cannot be applied. The comparison between the approximation and the rigorous approach has been performed in [41]. The full electric field in the system is numerically calculated by the finite elements method (FEM) implemented in the COMSOL Multiphysics commercial package [42,43]. The calculated electric field is used for obtaining of the multipole moments and their contributions in the scattering cross sections [39-41].

medium l<n<2

Fig. 1. The schematics of the single particle suspended in a medium.

2.1. Asymmetry parameter

The main goal of our work is studying of the directional scattering effect in lossless media. Such effects like Kerker-effect are of interest due to asymmetric light scattering in the forward and backward directions. For the convenient description of such effects, we introduce the asymmetry parameter. The asymmetry parameter is the efficiency factor that quantifies the directivity of light scattering. To derive and calculate the asymmetry parameter for an arbitrarily shaped particle, we apply the Cartesian multipole decomposition method for the scattered field. Then, the scattered electric field Esca by a particle in a homogenous host medium is the superposition of the induced multipole moments contributions [39]:

eikd r 1

ESCa (r) *--A.([„ x [D x n]] + — [m x n]

r 4ne0 Vd

+ ^ [„ X [„ x(Q • „)]] + ^ [n x (m • „)] + kf [„ x [n x (O • n • „)]])

(1)

where the unit vector n is in the direction of scattering vector r, sd = n2d is the relative dielectric permittivity of the surrounding medium, s0 is the vacuum electric permittivity , vd = c/ySd is the light speed in the surrounding medium and c is the light speed in the vacuum; k0 and kd are the wavenumbers in vacuum and in the surrounding medium, correspondingly. m is the magnetic dipole moment (MD) of a particle; D is the total electric dipole moment (TED); Q ,M and O are the electric quadrupole moment tensor (EQ), the magnetic quadrupole moment tensor (MQ) and the tensor of electric octupole moment (OCT), respectively. Note that these tensors are symmetric and traceless and in tensor notation e.g. Q is equal to Qap , where subscript indices denote components (e.g a = x, y, z) [39]. The scattering cross-section can be presented

Vol. 27, No. 8 | 15 Apr 2019 | OPTICS EXPRESS 10927

OptiCS EXPRESS

as (see [39] for details):

CS

k0

6ne2 |E inc |2 k0

|D|2 +

k0 £d H0 6neo |Einc

k 6 02

■|m|2

720neg |Einc |2 k0ed

1890ne2 |Einc

\Q \2 +

:\0\>

k0 ed H0

80ne0 \Einc \:

r\M\2

(2)

where Einc is the electric field amplitude of the incident light wave. The total scattering cross-section is obtained through the integration of the Pointing vector over a closed surface in the far-field zone and the normalization to the incident field intensity [39]. The asymmetry parameter is the ratio of the cosine-weighted scattering cross section over the total scattering cross section Csca and can be calculated as

1

g =

I

\ESca\2r 2 COSe d Q,

|Einc PCs

after the integrating over the solid angle dQ = sindddd$ , we find

g -

1

k 4 k0

\Einc\2Csca 360ne02vd

60vd%{Dxml - Dym*x} - 6kdvd"3{DaQ* }

-18kd 3{maM*az } - kd Vd %{Q*yaMxa - QXaMya }

24

-^kdv2d5{Q№O*aaz + 2QPzO"ppa - 5QapO*apz}

(3)

(4)

where we used the properties of the involved multipole tensors - the symmetry and traceless. Physically, Iinc ( 1 - g)Csca is the net rate of momentum transferring to the particle in the direction of the propagation where Iinc is the irradiance of the incident light beam. Upon inspection of the asymmetry parameter formula presented above, we found that all the multipoles cross-terms scattering light symmetrically along the polar angle e = 90o have vanished. Therefore, the asymmetry parameter is a measure of light directivity; meaning that, its zero value corresponds to the equal scattering in both half spaces. Predominating scattering to the lower half space (forward) and the upper half space (backward) results in positive and negative values, respectively. Furthermore, the aforementioned Kerker effect for dipoles and Kerker-like effects for high-order multipoles can be understood with the asymmetry parameter equations [44,45]. If we consider the case of Ex polarized incident light, then Kerker condition of TED and MD fulfills when the ratio vdDx/my = 1 with g = 0.5 . Kerker-like condition of TED and EQ interplay fulfills at 6iDx/kdQxz = 1 while for the MD and MQ interplay it fulfills when 2imy/kdMyz = 1 . Consequently, the EQ and MQ interplay scatter in forward directions when vdQxz/3Myz = 1 and finally for EQ andEO coherence the condition is 5Qxz /4ikdOzzx = 1. Generally, the synchronous multipole couplings enhance the field directivity, and play a key role for the suppression of the backscattering. Here, the total electric fields and the corresponding induced polarization current in the scatterers are calculated numerically using COMSOL Multiphysics. Using the calculated polarization current, the multipole moments and their contributions to scattering cross-sections and the asymmetry parameter are obtained by the numerical integration.

In the next section we analyze in detail the results obtained for the different surrounding media and the multipoles behavior in the system.

EQ ■ A —TED EQ —OCT —MD —MQ Sum Scat — Total scat (COMSOL) TED / MD r

/md AA MQ *

0 600

800 900 1000 Wavelength, nm

1100 1200 1300

x105

X = 640;nm —TED EQ OCT /T

EQ+ MD —MD —MQ Sum Scat ~ j\ = 750 nm — Total scat (COMSOL) MQ + EQ.

0 600

800 900 1000 1100 1200 1300 Wavelength, nm

x105

X = 790 nm MQ + EQ X = 650 nm | EQ+ MD "

y

—TED EQ —OCT —MD —MQ Sum Scat — Total scat (COMSOL)

800 900 1000 Wavelength, nm

1100 1200 1300

X = 795 nm MQ + EQ X = 650 nm EQ+ MD + OCT

—TED EQ —OCT —MD —MQ Sum Scat

0 600

800 900 1000 Wavelength, nm

1100 1200 1300

x105

X = 660 nm 6 - EQ+ MD + OCT

/

—TED EQ —OCT —MD —MQ Sum Scat — Total scat (COMSOL) X = 810 nm

0 600

800 900 1000 Wavelength, nm

1100 1200 1300

x105

X = 665 nm EQ+ MD + OCT

—TED EQ —OCT —MD —MQ Sum Scat — Total scat (COMSOL)

TED + MD

/

800 900 1000 Wavelength, nm

1100 1200 1300

Fig. 2. Total scattering cross-sections and the multipoles contributions calculated for the silicon nanocube embedded in different media. The refractive indexes of the surrounding media are (a) n =1 (b) n = 1.2 (c) n = 1.4 (d) n = 1.6 (e) n = 1.8 (f) n =2. 'Sum Scat' states for the scattering cross-section as the sum of the multipole contributions; 'Total scat (COMSOL)' states for the total scattering cross sections calculated directly in COMSOL. Black arrows mark the resonant areas and describe the dominant multipole contributions to the resonant scattering.

3. Results and discussion

3.1. Multipoles spectra evolution

To analyze the optical properties of the considered nanoparticle in different media, we draw the multipole decomposition of the scattering cross-section spectra for the six different cases of 1 < n < 2 (see Fig. 2). To prove that our multipole decomposition approach can be applied, we compare the scattering cross-sections obtained as the sum of multipole contributions (Sum Scat) and the scattering cross-section obtained with the direct calculation (Total scat (COMSOL)) for every case. As discussed above, this comparison shows the good coincidence between the calculation methods when we use the dynamic multipole moments.

We start our analysis with the case of the particle embedded in air. The case of n = 1 (see Fig. 2(a)) has been considered in details in [3] for the similar nanoantenna. One can note the pronounced resonant peaks in the scattering cross-section spectrum; as can be noted from Fig. 2, these peaks are associated with the resonant excitations of the total electric dipole (TED) moment, the magnetic dipole (MD) moment, the electric quadrupole (EQ) moment and the magnetic quadrupole (MQ) moment. Figure 2(b) shows that starting from n =1.2 the scattering cross-section resonant peaks start to merge with each other. At A = 640 nm, the scattering cross-section peak is now due to the interaction between MD and EQ moments forming the one wider scattering peak. Similarly, the EQ and MQ moments resonant peaks begin to merge into

d

a

c 8

6

6

4

4

n 2

2

700

700

b

e

n 8

c 8

TED + MD

4

TÎ 2

2

700

700

f

C

0

0

600

600

700

700

Vol. 27, No. 8 | 15 Apr 2019 | OPTICS EXPRESS 10929

OptiCS EXPRESS

no5

-n = 1

TED Contributions -n = 1.2 - n = 1.4 n = 1.6 - n = 1.8 - n = 2

600 700 800

900 1000 1100 Wavelength, nm

bE

£ 5

o

5 4

-Q

£ 3

600 700 800

900 1000 1100 Wavelength, nm

E 6

n

¡Ê 5

0

'H 4

i= 3

8 2

1 1

a

^ 0

,105

EQ Contributions

- n = 1

- n = 1.2

— n = 1.4

n = 1.6

- n = 1.8

- n = 2

600 700 800

900 1000 1100 Wavelength, nm

E 6

n

c 5

0

'H 4

1 3

8 2

I 1 i!

^ 0

x10S

MQ Contributions

- n = 1

- n = 1.2

— n = 1.4

n = 1.6

- n = 1.8

- n = 2

600 700 800

900 1000 1100 Wavelength, nm

Fig. 3. The multipole evolution of (a) the TED moment (b) the MD moment (c) the EQ moment (d) the MQ moment contribution to the scattering cross-section as the refractive index of surrounding medium rises.

a

c

±; 0

1200 1300

1200 1300

d

2

■5 0

1200 1300

1200 1300

the single peak around A = 750 nm, but for n =1.2 they still can be distinguished. At last, the TED and MD resonances in the near-infrared spectral range experience some broadening and become a bit smoother. However, the spectra for n = 1.2 is still close to the case of air medium.

For n =1.4 (see Fig. 2(c)), the MQ and EQ resonant peaks merge to the single scattering cross-section peak at A = 790 nm. At the same time, the TED and MD resonances in the near-infrared spectral range continue their broadening; the TED resonant excitation no longer leads to a separate scattering cross-section peak. Finally, the EQ and MQ resonances continue to merge and provide the scattering cross-section peak together at A = 650 nm. In the case of n = 1.4 only three scattering peaks can be distinguished.

Next, we consider n = 1.6 (see Fig. 2(d)). The EQ moment still experiences the bigger red shift in comparison with the magnetic multipole moments MQ and MD. For n = 1.6, one can note the resonant excitation of electric octupole moment (OCT) at A = 620 nm. We also expect the excitation of higher-order multipole moments in this wavelength region, but the moments taken into account are enough for a proper qualitative description of the system. It is worth noting that OCT contributes to the scattering peak formed by EQ and MD at A = 650 nm. At the region of longer wavelengths, the spectral positions of MQ and EQ resonances match each other at A = 795 nm and the resulting scattering cross-section peak is well pronounced in Fig. 2(d). The MD-induced scattering cross-section peak can be still noted at A = 1160 nm. Such intermediate case still shows three scattering cross-section peaks however slightly broadened.

The final step of the study is presented in Figs. 2(e) and 2(f) for n =1.8 and n = 2. In the wavelength range 600 < A < 700, the resonant excitation of OCT provides the incremental contribution to the scattering cross-section. This contribution, together with the EQ and MD resonant excitations and the non-resonant MQ contribution, forms the scattering cross-section peak at the considered region. The EQ moment resonance continues its shifting to the red zone with respect to the MQ resonant area; hence, their joint scattering cross-section peak becomes smoother (A = 810 nm). The MD-induced scattering peak at A « 1170 nm is almost smoothed out for n = 2. The multipole analysis performed in this way is very important to understand the origins of scattering process. Obtained insights are necessary to study broadband forward scattering enchantment and explain it in detail.

To provide the better visibility of the multipole evolution in Fig. 3, and to improve the

Vol. 27, No. 8 | 15 Apr 2019 | OPTICS EXPRESS 10930

OptiCS EXPRESS

consequent analysis of the scattering asymmetry we show the evolution of each multipole contributions as n changes. The evolution of the dipole moment contributions is shown in Figs. 3(a) and 3(b) for the TED and MD correspondingly; the evolution of the quadrupole moment contributions is shown in Figs. 3(c) and 3(d) for the EQ and MQ correspondingly. Figure 3(a) clearly shows that the TED resonant area becomes broader, but the peak value decreases as n rises. Moreover, the TED resonant region experiences a relatively strong redshift as n rises. Similarly, both MD resonances at A « 660 nm and A « 1150 nm (see Fig. 3(b)) experiences broadening, but the maximum contribution decreases as n rises. In addition, both resonant areas

experience the little redshift.

Interestingly, the quadrupole resonances (see Figs. 3(c) and 3(d)) behave slightly differently. As shown in Fig. 3(c), both EQ resonances experience the redshift; it is especially strong for the resonant excitation at longer wavelengths, where the EQ resonant peak shifts from A = 700 nm for n = 1 to A = 810 nm for n = 2. The maximum value of the contribution to the scattering cross-section for this resonance decreases slower in comparison with TED moment as n rises. Both EQ resonant regions experience some broadening. Further, the MQ moment has the only one resonant area for the considered system (see Fig. 3(d)). This resonance experiences the noticeable redshift, but it is weak in comparison with the redshift of the EQ moment. The MQ resonance shows the broadening as n rises, but the maximum value of the MQ contribution decreases. However, this decrease is slower in comparison with MD moment. Thus, we can associate the behavior of certain multipole moments with a change in refractive index of the media.

Such comparative analysis allows the study of the evolution of each multipole contribution to the scattering cross-section and to compare their behavior with each other. First, we prove that electric multipole resonances experience a stronger redshift than their magnetic counterparts as n increases. Next, we show that the relative contributions of quadrupole moments to the scattering cross-section get stronger with n. These insights can be used to design specific combinations of the multipole moments for tuning the direction of the light scattering.

We note that the spectral contributions of the multipole moments significantly change with n. In addition, the separated peaks merge, hence, the scattering peaks for higher n smooth out and broaden, which, as we will show in the next section, leads to the significant amplification of the forward scattering in a broad wavelength range. This enables us to design novel types of nanoantennas and antireflective coatings to apply in high-index surroundings and provides a room of opportunities for the design of new Huygens-type metasurfaces [32].

3.2. Far-field scattering and electric field distribution inside the particle

In this section, we discuss the physical limitations of the forward scattering enhancement as refractive index contrast between the scatterer and the host media is reduced. The optical theorem states that the total energy extinct by a single nanoparticle is in direct relation to the scattering amplitude in the forward direction [46]. Based on this definition we underline the energy conservation and physical limitations with the following explanations. The wave impedance of a medium is (Zo/n) where Z0 is the wave impedance in free space and hence high refractive index surrounding medium provide better coupling for the optical modes leaking out of the particle. Consequently, as the index contrast between the scatterer and the host media reduces, the inner reflection from the scatterer-medium interface decreases according to theFresnel coefficients [13]. As a result, the induced multipole moments broadened and become less confined inside the nanoparticle. Figure 4 illustrates this effect by plotting the evolution of the field distribution both inside the nanocube and in the far-field region. The upper row (i.e. Figs. 4(a)-4(c)) in Fig. 4 shows the evolution of the far-field scattering pattern at the wavelength corresponding to the first MQ peaks in spectrum for the cases n = 1, 1.6 and 2; in turn, the middle row (i.e. Figs. 4(d)-4(f)) presents the field distribution inside the particle for the same cases. By selecting these points,

Vol. 27, No. 8 | 15 Apr 2019 | OPTICS EXPRESS 10931

OptiCS EXPRESS

Fig. 4. The radiation patterns, the electric field distribution inside the particle and the 2D drawing of near-field distribution in (xz) plane for (a, d, g) n =1, A = 765 nm (b, e, h) n = 1.6, A = 789 nm (c, f, i) n = 2, A = 789 nm.

we show the smooth transformation of the far-field radiation pattern. The lower row (i.e. Figs. 4(g)-4(i)) in Fig. 4 shows the near-field distribution in (xz) plane for a better visualization of the leakage and spreading of the mode to the surrounding dielectric media. In the case of air medium MQ resonant contribution leads to the simultaneous scattering in four directions (see Fig. 2); however, the radiation pattern transforms as n rises and exhibits the well-pronounced forward scattering effect with n = 2. Here we analyse the evolution of the radiation pattern to emphasize the huge difference between two extreme cases.

In Figs. 5(a) and 5(b), we present the scattering efficiency (Eq. (2)) normalized to geometrical cross-section of the cube) for the three cases of n =1, n =1.6 and n = 2 along with the asymmetry parameter (Eq. (4)). As expected, the multipole broadening afore-explained in Fig. 3 causes the synchronous overlapping of the multipoles of different orders and leads the asymmetry parameter to be dramatically broadened and enhanced as the surrounding medium refractive index increases. Balanced dipole moments fulfilling the Kerker's condition provide the asymmetry parameter g = 0.5; however, when the quadrupole contributions are significant, the asymmetry parameter becomes g > 0.6, indicating strong enhancement of the forward directivity. To clarify this point, in Fig. 5(c), we show the 2D radiation patterns for 6 different wavelengths over the spectrum for n = 2 and a strong asymmetry remains for all spectral points. Thereby, the forward scattering amplification in the broad range is the direct consequence of the high refractive index of the surrounding medium; the similar nanoantenna does not show such properties in case of n = 1 [3]. Importantly, we note that the scattering efficiency for the cubical particle is also enhanced over the short wavelength optical range where the dipole, quadrupole and higher order multipoles contribute. However, for the long wavelength region, the scattering decreases since the higher order multipoles contribution is not enough to compensate the leaked dipoles. This result can be widely implemented to develop nanoantennas and other optical devices for applications in

Vol. 27, No. 8 | 15 Apr 2019 | OPTICS EXPRESS 10932

OptiCS EXPRESS

12.8